Wikiversité frwikiversity https://fr.wikiversity.org/wiki/Wikiversit%C3%A9:Accueil MediaWiki 1.47.0-wmf.24 first-letter Média Spécial Discussion Utilisateur Discussion utilisateur Wikiversité Discussion Wikiversité Fichier Discussion fichier MediaWiki Discussion MediaWiki Modèle Discussion modèle Aide Discussion aide Catégorie Discussion catégorie Projet Discussion Projet Recherche Discussion Recherche Faculté Discussion Faculté Département Discussion Département Transwiki Discussion Transwiki TimedText TimedText talk Module Discussion module Event Event talk Sujet 0 74574 987420 987418 2026-10-15T12:36:15Z Phl7605 31541 /* Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen */ 987420 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) == === Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque"> Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}s'écrit selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste"> Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.</ref> avec <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>. === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie par <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste" /> se réécrit, dans le cas où <math>\,M\,</math> est en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, pour lequel <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> a pour forme <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}intrinsèque «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» <ref name="forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\big]\,</math> soit, en explicitant <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}dans la définition de <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;</math>» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » <math>\,\big(</math>ce qui laisse ce dernier invariant <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref> La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;</math>».</ref> avec «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,</math> vecteur moment de <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> en <math>\,A\,</math> noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment vectoriel d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée"> Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant <math>\,A\,</math> par le centre <math>\,C\,</math> du cercle.</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation du point <math>\,M\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;</math>» avec }}<math>\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,</math> le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe <math>\,\Delta\,</math> noté <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit au final <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme nettement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref>. === Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\,M\,</math> de « mouvement quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\;M\;</math> de « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, avec <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque <math>\,\big(</math>c.-à-d. aussi de mouvement circulaire<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, pour <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> est la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2^nd membre, }}pour <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire de centre <math>\,C</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,</math> en <math>\,C</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}dans le cas où le point <math>\,M\,</math> a un mouvement « circulaire d'axe <math>\,\Delta\;</math>» <ref> Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.</ref>, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;</math>», <br>traduction symbolique de «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, avec <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>».</ref>.</center> == « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C == === Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\;(m)\,</math> décrivant un mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant <math>\,t</math>, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon <ref name="théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : {{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à <math>\,M\;(m)\,</math> calculés, à l'instant <math>\,t</math>, par rapport au centre <math>\,C\,</math> du cercle de rayon <math>\,R\,</math> décrit par <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» est égal au produit du moment d’inertie de <math>\,M \,</math> par rapport à son axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation <ref> C.-à-d. l'axe du cercle décrit par <math>\,M</math>.</ref> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;</math>» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». ” === « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen === {{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> fixes dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}de moment d'inertie par rapport à <math>\,\Delta\,</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;</math>» et de vecteur rotation instantanée à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation <math>\,\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» dans le but de faire apparaître, dans le 1^er membre, après utilisation de la distributivité de <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, la puissance instantanée <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2^nd membre «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» représente la puissance cinétique du point <math>\,M\,</math> à <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date <math>\,t\,</math> lors de son mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\dot{K}_M(t)\;</math>» en effet, «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="moment d'inertie constant"> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» étant une constante caractérisant la trajectoire de <math>\,M</math>.</ref> soit <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;</math>» <ref name="expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire autour d’un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen s'écrivant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;</math>» <math>\,\big(</math>en dynamique newtonienne<math>\big)</math>, nous retrouvons <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans un mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> » «<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à M"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » <math>\,\big(</math>grandeur cinétique énergétique<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » <math>\;\ldots</math> == Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe == === Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous : {{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,</math> et <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>». === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> prend la forme ci-dessous : {{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math><ref> En effet, définissant <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>» d'où «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>».</ref> où <math>\,J_\Delta(M) = m\;R^2\,</math> est le moment d'inertie de <math>\,M\;(m)\,</math> relativement à <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon <math>\,R\;</math><reF> On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,</math> dans laquelle <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,</math> est le moment cinétique scalaire de <math>\,M\,</math> relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <math>\,\big(</math>utilisée moins fréquemment<math>\big)\,</math> ou <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <math>\,\big(</math>pratiquement jamais utilisée<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>on rappelle la relation <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,</math> avec }}<math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. == Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide == === Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces extérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces extérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> que chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)</math>, extérieur à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de forces extérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée par ce système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}se détermine comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par chaque force extérieure <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi"> En notant <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel <math>\,M_i\,</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures «}}<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>». ==== Cas d’un « système de matière en translation » ==== {{Al|5}}Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un « système discret }}en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points matériels <math>\,M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> du système soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », tous les points matériels <math>\,\color{transparent}{M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ont }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}possibilité de factoriser « scalairement » <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> le 2^nd membre de la « relation <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> » par «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », possibilité de factoriser }}l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> d’où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» ou encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}<u>remarque</u> : <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\,t\,</math> et dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <ref> Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.</ref>. ==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » est, en pratique, indéformable, il est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret }}en rotation autour d'un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> avec, à la date <math>\,t</math>, la même vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\,</math> pour tous les points <math>\,M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref> Système indéformable dans la pratique <math>\Rightarrow</math> se comportant, dans ce cas <math>\,\big(</math>le seul que nous envisageons dans la suite<math>\big)</math>, comme un solide au sens de la mécanique <math>\,\big[</math>relire la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-système_en_rotation_autour_d'un_axe-32|³²]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation<math>\big]</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrivant selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> <math>\Rightarrow</math> la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» après factorisation par <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}«<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> étant le moment scalaire résultant dynamique relativement à <math>\,\Delta\,</math> s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, soit <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, d'où finalement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire par rapport à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) =</math> {{Nobr|<math>\left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>»}} dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étan le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, soit finalement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math> <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, soit au final «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M</math> <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}d'où la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation se réécrit selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque <math>\,\big(</math>axe mobile ou immobile dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de <math>\,\mathcal{R}</math>, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures }}le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures le produit }}de sa vitesse angulaire instantanée. ==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ==== {{Al|5}}On admet que le mouvement d’un point quelconque <math>\,M_i\,</math> d'un solide <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque }}peut être considéré comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}d’une rotation instantanée autour d’un axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par <math>\,G\,</math> de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}<math>\big[</math>ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\big]\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable"> Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable" /> <math>\Rightarrow</math> {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, }}<math>\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math><ref> Après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-distributivité_de_la_multiplication_scalaire_relativement_à_l'addition_vectorielle-15|¹⁵]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math><ref> Le 2^ème terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-invariance_du_produit_mixte_par_permutation_circulaire-4|⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> Par commutativité du produit scalaire <math>\;\ldots</math></ref> soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, }}«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> En effet on reconnaît dans <math>\,\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> le vecteur moment résultant dynamique s'exerçait sur le point <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,G\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_vectoriel_d'une_force-6|⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> » ; {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, s'obtient par « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}<math>\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right] + \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>= \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> Par facorisation scalaire de <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)\,</math> dans le 1^er terme et de <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,</math> dans le 2^nd terme <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-factorisation_scalaire-29|²⁹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> En effet <math>\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> exercée sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière <math>\,\big(</math>admis<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-résultante_dynamique_exercée_sur_un_système_continu_de_matière_30|³⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}<math>\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> est le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,G</math>, <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>, exercé sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière <math>\,\big(</math>admis et détaillé dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_résultant_dynamique_vectoriel_exercé_sur_un_système_continu_de_matière_relativement_à_G-43|⁴³]] » plus loin dans ce chapitre<math>\big)</math>.</ref>{{,}} <ref name="moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,;</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> » ou <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\, \vec{u}_{\Delta_G} \right]\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\vec{u}_{\Delta_G}\,</math> vecteur unitaire orientant <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>\,\Delta_G\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) = \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\,</math> où <math>\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée du <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}solide autour de l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide<math>\big]</math>, soit encore <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right]\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\,</math> où <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\,</math> est le <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }} moment résultant dynamique scalaire <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,</math> exercé sur le solide par rapport à <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide <ref name="moment résultant dynamique scalaire "> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.</ref> <math>\Rightarrow</math> {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, se réécrit, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;</math>» <ref> Forme légèrement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;</math>».</ref> s'obtenant en ajoutant <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}<math>\bullet\;</math>la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}<math>\bullet\;</math>la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour de l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math>». === Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces intérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système des forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures }}est la somme des puissances développées, à la date <math>\;t</math>, par chaque force intérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « }}<math>\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\,</math> après factorisation scalaire par <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> dans la somme sur <math>\,_j\;</math><ref> <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math> étant une constante dans la somme discrète sur <math>\,_j</math>.</ref>{{,}} <ref name="factorisation scalaire" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}dans laquelle <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> est le vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> . ==== Autres expressions équivalentes ==== {{Al|5}}<math>\succ\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\left( i\,,\, j \right)\,</math> dans la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans la puissance développée, }}par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans la puissance développée, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels }}avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1 et 2" />, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on utilise la 1^ère relation «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» introduite dans le principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> pour factoriser scalairement <ref name="factorisation scalaire" /> le terme entre crochets par «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>», ce qui donne <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,</math>» ou, en évaluant dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}<math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t)</math> <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;</math>» par utilisation de la [[w:Relation_de_Chasles|relation de Chasles]] <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la [[w:Relation_de_Chasles|relation dite de Chasles]], connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref>, <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\,</math> est donc la dérivée temporelle, dans <math>\,\mathcal{R}</math>, du vecteur position <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}relative <math>\,\overrightarrow{M_jM_i}(t)\,</math> de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}en définissant le « référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,;</math> lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport à <math>\,\mathcal{R}\;</math>», <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\,</math> est encore égale à <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>» c.-à-d. le « vecteur vitesse <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}relative à l'instant <math>\,t\,</math> de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_j\,</math>» <ref name="égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation"> En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] » du chap.<math>25</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Edmond_Bour|Jacques Edmond Émile Bour]] (1832 - 1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de <math>\,33\,</math>ans.</ref> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>». {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Si on remplace la double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>, tous deux variant dans <math>\,\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\,</math> avec la contrainte <math>\,j > i\,</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}par une double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>, tous deux variant dans <math>\,\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\,</math> avec la contrainte <math>\,j \neq i\,</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}on compte deux fois chaque terme de la 1^ère double somme dans la 2^ème double somme <ref> En effet le terme générique de la 1^ère double somme «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\,</math> avec <math>\,j = j_0 > i = i_0\;</math>» <math>\,\big(</math>aussi terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\,j > i\big)\,</math> étant égal au terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\,j < i\,</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\,</math> avec <math>\,j = i_0 < i = j_0\;</math>» car <math>\,\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\,</math> d'une part et <math>\,\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\,</math> d'autre part, chaque terme de la 1^ère double somme se retrouve tel quel dans la 2^ème double somme avec <math>\,j > i\,</math> mais aussi sous une forme résultant de la permutation <math>\,i \leftrightarrow j\,</math> du terme précédent conduisant à <math>\,j < i\,</math> d'où la 2^ème double somme égale à deux fois la 1^ère double somme <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math>}} <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\,</math> des forces que <math>\,M_j\,</math> exerce sur tous les autres points <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}}\,</math> des forces que <math>\,\color{transparent}{M_j}\,</math> exerce sur }}<math>\,M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;</math><ref> Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}</math>, <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\,</math> ou <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\,</math> des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que <math>\,M'\,</math> exerce sur tous les autres points «<math>\;M</math> <math>\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, <math>\,\in\,\left( S \right)\,</math> ou <math>\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math>».</ref>. ==== Conséquences diverses ==== {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}est non nulle dans le cas général soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\,</math> dans le cas général » <ref name="Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures"> Contrairement à la résultante et au moment résultant en n’importe quel point origine, du système des forces intérieures, tous deux toujours nuls, pour tout système fermé de matière discret ou continu, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement à la résultante et au moment résultant en n’importe quel point origine, du système des forces intérieures, tous deux toujours nuls, pour tout système }}indéformable ou déformable ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}celle développée par le moment résultant vectoriel également nulle par nullité du moment vectoriel, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement le fait }}montre que <u>la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures</u>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement le fait montre que }}<u>ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système</u> ; <br>{{Al|3}}on peut généraliser cela au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système fermé de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}<u>la résultante dynamique et le moment résultant dynamique en n’importe quel point origine sont insuffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures</u>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}la 1^ère permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. <math>\,G\,</math> du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}le 2^nd celle du mouvement de rotation autour de <math>\,G\,</math> dans le même référentiel galiléen mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « <u>on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant</u> <math>\,\big(</math>cela ne devenant possible que si le système ne se déforme pas<math>\big)\;</math>».</ref>, la raison étant que les relations <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives }}en général individuellement non nuls, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}« la non nullité de <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» sauf cas particuliers <math>\,\big(</math>restant à préciser<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>En repérant le point «<math>\;M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\,</math> soit <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> pour base sphérique liée à <math>\,M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}la « force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> liée à <math>\,M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="déduction de la 2ème relation du principe des actions réciproques"> Se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-principe_des_actions_réciproques-51|⁵¹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\,</math> <math>\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\,</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,</math>» <br>{{Al|3}}{{Transparent|cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet }}car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}</math>», ceci établit que <br>{{Al|3}}{{Transparent|cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet }}«<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» c.-à-d. une même expression par permutation de <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>.</ref> définissant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}« l'intensité de l’interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\;</math>» simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\,</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}le « vecteur vitesse relative de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\;</math>», «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>», s’écrit, dans la « base sphérique de <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> liée à <math>\,M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» « }}<math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[</math>la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> étant orthonormée<math>\big]\,</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» l'expression, en sphérique, de la puissance développée par }}«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, soit finalament <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> [[Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( S \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( S \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, <math>\Big[</math>pour simplifier on pose <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]\,</math> en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \Gamma \right)</math>, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}exprimée en repérant «<math>\;M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\;</math>», soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}si la distance séparant deux points quelconques de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> reste constante <math>\,\big\{</math>c.-à-d. si <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> « ne se déforme pas » <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref><math>\big\}</math>, on a <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures si }}«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t) = 0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;</math>» <ref name="distance entre deux points d'un système continu fermé indéformable"> Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)</math> <math>\,\in \left( \mathcal{V} \right)^2</math>, <math>\,\in \left( S \right)^2\;</math> ou <math>\,\in \left( \Gamma \right)^2\;</math>».</ref> et on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />{{,}} <ref> Applicable pour un système fermé indéformable, discret de points matériels ou continu de matière.</ref>. == Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === ==== Énoncé ==== {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique à la somme }}de celle développée par les forces intérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. ==== Démonstration ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire </u> : La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : La démonstration }}est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : La démonstration }}pourrait être refaite <math>\,\big(</math>bien qu'un peu plus lourde d'exposition<math>\big)\,</math> pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel <math>\,M_i\;</math><ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on applique }}«<math>\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu"> Pour <math>\,M\;\in\,</math> à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> s'écrit : * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( S \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, }}on ajoute, membre à membre, les <math>\,N\,</math> relations définies ci-dessus <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue"> La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> par une intégrale volumique sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, si ce système est d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> par une intégrale surfacique sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ou ce système est d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> par une intégrale curviligne sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 1^er membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;</math>» se réécrivant «<math>\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;</math>» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition <ref> Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er membre }}est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie cinétique du système s'écrit : * «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}</math>, * «<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref> à l'instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er membre est égale }}à la puissance cinétique du système «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» au même instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 1^er terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;</math>» définit la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er terme du 2^nd membre }}à l'instant <math>\;t</math>, soit «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 2^ème terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;</math>» la puissance développée par les forces intérieures appliquées <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 2^ème terme du 2^nd membre }}au système à l'instant <math>\,t</math>, soit «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-48|⁴⁸]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, {{Al|5}}{{Transparent|Exposé : }}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels <ref> Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_point_matériel_d'un_système_continu-68|⁶⁸]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-somme_continue-71|⁷¹]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-61|⁶¹]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-73|⁷³]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-74|⁷⁴]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-75|⁷⁵]] » présentées plus haut dans ce chapitre.</ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> C.-à-d. un solide au sens de la mécanique.</ref> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème conséquence » plus haut dans ce chapitre, à savoir « la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> est nulle c.-à-d. <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math>», utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <math>\,\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique"> Et donc de la puissance cinétique qui est la dérivée temporelle de l'énergie cinétique.</ref>, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2</math> <math>= \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»}} <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\;G\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\;\Delta\;</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|<math>\;\big\{</math>c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ne nécessite pas que <math>\;\Delta\;</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, le moment scalaire étant évalué par rapport à <math>\;\Delta\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique" />, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] }} kgedj4dc83x6fgl1xkt5mtbg0sobqhu 987421 987420 2026-10-15T12:47:29Z Phl7605 31541 /* Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen */ 987421 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) == === Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque"> Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}s'écrit selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste"> Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.</ref> avec <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>. === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie par <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste" /> se réécrit, dans le cas où <math>\,M\,</math> est en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, pour lequel <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> a pour forme <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}intrinsèque «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» <ref name="forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\big]\,</math> soit, en explicitant <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}dans la définition de <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;</math>» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » <math>\,\big(</math>ce qui laisse ce dernier invariant <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref> La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;</math>».</ref> avec «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,</math> vecteur moment de <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> en <math>\,A\,</math> noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment vectoriel d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée"> Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant <math>\,A\,</math> par le centre <math>\,C\,</math> du cercle.</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation du point <math>\,M\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;</math>» avec }}<math>\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,</math> le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe <math>\,\Delta\,</math> noté <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit au final <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme nettement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref>. === Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\,M\,</math> de « mouvement quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\;M\;</math> de « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, avec <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque <math>\,\big(</math>c.-à-d. aussi de mouvement circulaire<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, pour <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> est la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2^nd membre, }}pour <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire de centre <math>\,C</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,</math> en <math>\,C</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}dans le cas où le point <math>\,M\,</math> a un mouvement « circulaire d'axe <math>\,\Delta\;</math>» <ref> Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.</ref>, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;</math>», <br>traduction symbolique de «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, avec <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>».</ref>.</center> == « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C == === Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\;(m)\,</math> décrivant un mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant <math>\,t</math>, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon <ref name="théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : {{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à <math>\,M\;(m)\,</math> calculés, à l'instant <math>\,t</math>, par rapport au centre <math>\,C\,</math> du cercle de rayon <math>\,R\,</math> décrit par <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» est égal au produit du moment d’inertie de <math>\,M \,</math> par rapport à son axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation <ref> C.-à-d. l'axe du cercle décrit par <math>\,M</math>.</ref> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;</math>» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». ” === « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen === {{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> fixes dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}de moment d'inertie par rapport à <math>\,\Delta\,</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;</math>» et de vecteur rotation instantanée à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation <math>\,\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» dans le but de faire apparaître, dans le 1^er membre, après utilisation de la distributivité de <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, la puissance instantanée <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2^nd membre «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» représente la puissance cinétique du point <math>\,M\,</math> à <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date <math>\,t\,</math> lors de son mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\dot{K}_M(t)\;</math>» en effet, «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="moment d'inertie constant"> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» étant une constante caractérisant la trajectoire de <math>\,M</math>.</ref> soit <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;</math>» <ref name="expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire autour d’un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen s'écrivant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;</math>» <math>\,\big(</math>en dynamique newtonienne<math>\big)</math>, nous retrouvons <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans un mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> » «<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à M"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » <math>\,\big(</math>grandeur cinétique énergétique<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » <math>\;\ldots</math> == Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe == === Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous : {{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,</math> et <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>». === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> prend la forme ci-dessous : {{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math><ref> En effet, définissant <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>» d'où «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>».</ref> où <math>\,J_\Delta(M) = m\;R^2\,</math> est le moment d'inertie de <math>\,M\;(m)\,</math> relativement à <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon <math>\,R\;</math><reF> On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,</math> dans laquelle <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,</math> est le moment cinétique scalaire de <math>\,M\,</math> relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <math>\,\big(</math>utilisée moins fréquemment<math>\big)\,</math> ou <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <math>\,\big(</math>pratiquement jamais utilisée<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>on rappelle la relation <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,</math> avec }}<math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. == Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide == === Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces extérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces extérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> que chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)</math>, extérieur à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de forces extérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée par ce système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}se détermine comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par chaque force extérieure <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi"> En notant <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel <math>\,M_i\,</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures «}}<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>». ==== Cas d’un « système de matière en translation » ==== {{Al|5}}Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un « système discret }}en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points matériels <math>\,M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> du système soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », tous les points matériels <math>\,\color{transparent}{M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ont }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}possibilité de factoriser « scalairement » <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> le 2^nd membre de la « relation <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> » par «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », possibilité de factoriser }}l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> d’où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» ou encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}<u>remarque</u> : <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\,t\,</math> et dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <ref> Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.</ref>. ==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » est, en pratique, indéformable, il est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret }}en rotation autour d'un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> avec, à la date <math>\,t</math>, la même vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\,</math> pour tous les points <math>\,M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref> Système indéformable dans la pratique <math>\Rightarrow</math> se comportant, dans ce cas <math>\,\big(</math>le seul que nous envisageons dans la suite<math>\big)</math>, comme un solide au sens de la mécanique <math>\,\big[</math>relire la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-système_en_rotation_autour_d'un_axe-32|³²]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation<math>\big]</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrivant selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> <math>\Rightarrow</math> la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» après factorisation par <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}«<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> étant le moment scalaire résultant dynamique relativement à <math>\,\Delta\,</math> s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, soit <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, d'où finalement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire par rapport à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) =</math> {{Nobr|<math>\left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>»}} dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étan le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, soit finalement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math> <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, soit au final «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M</math> <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}d'où la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation se réécrit selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque <math>\,\big(</math>axe mobile ou immobile dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de <math>\,\mathcal{R}</math>, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures }}le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures le produit }}de sa vitesse angulaire instantanée. ==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ==== {{Al|5}}On admet que le mouvement d’un point quelconque <math>\,M_i\,</math> d'un solide <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque }}peut être considéré comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}d’une rotation instantanée autour d’un axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par <math>\,G\,</math> de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}<math>\big[</math>ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\big]\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable"> Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable" /> <math>\Rightarrow</math> {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, }}<math>\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math><ref> Après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-distributivité_de_la_multiplication_scalaire_relativement_à_l'addition_vectorielle-15|¹⁵]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math><ref> Le 2^ème terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-invariance_du_produit_mixte_par_permutation_circulaire-4|⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> Par commutativité du produit scalaire <math>\;\ldots</math></ref> soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, }}«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> En effet on reconnaît dans <math>\,\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> le vecteur moment résultant dynamique s'exerçait sur le point <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,G\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_vectoriel_d'une_force-6|⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> » ; {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, s'obtient par « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}<math>\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right] + \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>= \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> Par facorisation scalaire de <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)\,</math> dans le 1^er terme et de <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,</math> dans le 2^nd terme <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-factorisation_scalaire-29|²⁹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> En effet <math>\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> exercée sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière <math>\,\big(</math>admis<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-résultante_dynamique_exercée_sur_un_système_continu_de_matière_30|³⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}<math>\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> est le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,G</math>, <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>, exercé sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière <math>\,\big(</math>admis et détaillé dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_résultant_dynamique_vectoriel_exercé_sur_un_système_continu_de_matière_relativement_à_G-43|⁴³]] » plus loin dans ce chapitre<math>\big)</math>.</ref>{{,}} <ref name="moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,;</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> » ou <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\, \vec{u}_{\Delta_G} \right]\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\vec{u}_{\Delta_G}\,</math> vecteur unitaire orientant <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>\,\Delta_G\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) = \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\,</math> où <math>\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée du <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}solide autour de l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide<math>\big]</math>, soit encore <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right]\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\,</math> où <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\,</math> est le <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }} moment résultant dynamique scalaire <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,</math> exercé sur le solide par rapport à <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide <ref name="moment résultant dynamique scalaire "> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.</ref> <math>\Rightarrow</math> {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, se réécrit, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;</math>» <ref> Forme légèrement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;</math>».</ref> s'obtenant en ajoutant <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}<math>\bullet\;</math>la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}<math>\bullet\;</math>la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour de l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math>». === Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces intérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système des forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures }}est la somme des puissances développées, à la date <math>\;t</math>, par chaque force intérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « }}<math>\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\,</math> après factorisation scalaire par <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> dans la somme sur <math>\,_j\;</math><ref> <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math> étant une constante dans la somme discrète sur <math>\,_j</math>.</ref>{{,}} <ref name="factorisation scalaire" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}dans laquelle <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> est le vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> . ==== Autres expressions équivalentes ==== {{Al|5}}<math>\succ\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\left( i\,,\, j \right)\,</math> dans la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans la puissance développée, }}par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans la puissance développée, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels }}avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1 et 2" />, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on utilise la 1^ère relation «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» introduite dans le principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> pour factoriser scalairement <ref name="factorisation scalaire" /> le terme entre crochets par «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>», ce qui donne <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,</math>» ou, en évaluant dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}<math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t)</math> <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;</math>» par utilisation de la [[w:Relation_de_Chasles|relation de Chasles]] <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la [[w:Relation_de_Chasles|relation dite de Chasles]], connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref>, <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\,</math> est donc la dérivée temporelle, dans <math>\,\mathcal{R}</math>, du vecteur position <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}relative <math>\,\overrightarrow{M_jM_i}(t)\,</math> de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}en définissant le « référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,;</math> lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport à <math>\,\mathcal{R}\;</math>», <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\,</math> est encore égale à <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>» c.-à-d. le « vecteur vitesse <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}relative à l'instant <math>\,t\,</math> de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_j\,</math>» <ref name="égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation"> En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] » du chap.<math>25</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Edmond_Bour|Jacques Edmond Émile Bour]] (1832 - 1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de <math>\,33\,</math>ans.</ref> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>». {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Si on remplace la double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>, tous deux variant dans <math>\,\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\,</math> avec la contrainte <math>\,j > i\,</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}par une double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>, tous deux variant dans <math>\,\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\,</math> avec la contrainte <math>\,j \neq i\,</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}on compte deux fois chaque terme de la 1^ère double somme dans la 2^ème double somme <ref> En effet le terme générique de la 1^ère double somme «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\,</math> avec <math>\,j = j_0 > i = i_0\;</math>» <math>\,\big(</math>aussi terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\,j > i\big)\,</math> étant égal au terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\,j < i\,</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\,</math> avec <math>\,j = i_0 < i = j_0\;</math>» car <math>\,\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\,</math> d'une part et <math>\,\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\,</math> d'autre part, chaque terme de la 1^ère double somme se retrouve tel quel dans la 2^ème double somme avec <math>\,j > i\,</math> mais aussi sous une forme résultant de la permutation <math>\,i \leftrightarrow j\,</math> du terme précédent conduisant à <math>\,j < i\,</math> d'où la 2^ème double somme égale à deux fois la 1^ère double somme <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math>}} <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\,</math> des forces que <math>\,M_j\,</math> exerce sur tous les autres points <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}}\,</math> des forces que <math>\,\color{transparent}{M_j}\,</math> exerce sur }}<math>\,M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;</math><ref> Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}</math>, <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\,</math> ou <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\,</math> des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que <math>\,M'\,</math> exerce sur tous les autres points «<math>\;M</math> <math>\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, <math>\,\in\,\left( S \right)\,</math> ou <math>\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math>».</ref>. ==== Conséquences diverses ==== {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}est non nulle dans le cas général soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\,</math> dans le cas général » <ref name="Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures"> Contrairement à la résultante et au moment résultant en n’importe quel point origine, du système des forces intérieures, tous deux toujours nuls, pour tout système fermé de matière discret ou continu, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement à la résultante et au moment résultant en n’importe quel point origine, du système des forces intérieures, tous deux toujours nuls, pour tout système }}indéformable ou déformable ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}celle développée par le moment résultant vectoriel également nulle par nullité du moment vectoriel, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement le fait }}montre que <u>la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures</u>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement le fait montre que }}<u>ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système</u> ; <br>{{Al|3}}on peut généraliser cela au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système fermé de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}<u>la résultante dynamique et le moment résultant dynamique en n’importe quel point origine sont insuffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures</u>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}la 1^ère permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. <math>\,G\,</math> du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}le 2^nd celle du mouvement de rotation autour de <math>\,G\,</math> dans le même référentiel galiléen mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « <u>on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant</u> <math>\,\big(</math>cela ne devenant possible que si le système ne se déforme pas<math>\big)\;</math>».</ref>, la raison étant que les relations <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives }}en général individuellement non nuls, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}« la non nullité de <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» sauf cas particuliers <math>\,\big(</math>restant à préciser<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>En repérant le point «<math>\;M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\,</math> soit <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> pour base sphérique liée à <math>\,M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}la « force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> liée à <math>\,M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="déduction de la 2ème relation du principe des actions réciproques"> Se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-principe_des_actions_réciproques-51|⁵¹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\,</math> <math>\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\,</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,</math>» <br>{{Al|3}}{{Transparent|cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet }}car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}</math>», ceci établit que <br>{{Al|3}}{{Transparent|cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet }}«<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» c.-à-d. une même expression par permutation de <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>.</ref> définissant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}« l'intensité de l’interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\;</math>» simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\,</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}le « vecteur vitesse relative de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\;</math>», «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>», s’écrit, dans la « base sphérique de <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> liée à <math>\,M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» « }}<math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[</math>la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> étant orthonormée<math>\big]\,</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» l'expression, en sphérique, de la puissance développée par }}«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, soit finalament <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> [[Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( S \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( S \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, <math>\Big[</math>pour simplifier on pose <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]\,</math> en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \Gamma \right)</math>, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}exprimée en repérant «<math>\;M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\;</math>», soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}si la distance séparant deux points quelconques de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> reste constante <math>\,\big\{</math>c.-à-d. si <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> « ne se déforme pas » <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref><math>\big\}</math>, on a <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures si }}«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t) = 0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;</math>» <ref name="distance entre deux points d'un système continu fermé indéformable"> Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)</math> <math>\,\in \left( \mathcal{V} \right)^2</math>, <math>\,\in \left( S \right)^2\;</math> ou <math>\,\in \left( \Gamma \right)^2\;</math>».</ref> et on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />{{,}} <ref> Applicable pour un système fermé indéformable, discret de points matériels ou continu de matière.</ref>. == Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === ==== Énoncé ==== {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique à la somme }}de celle développée par les forces intérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. ==== Démonstration ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire </u> : La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : La démonstration }}est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : La démonstration }}pourrait être refaite <math>\,\big(</math>bien qu'un peu plus lourde d'exposition<math>\big)\,</math> pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel <math>\,M_i\;</math><ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on applique }}«<math>\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu"> Pour <math>\,M\;\in\,</math> à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> s'écrit : * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( S \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, }}on ajoute, membre à membre, les <math>\,N\,</math> relations définies ci-dessus <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue"> La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> par une intégrale volumique sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, si ce système est d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> par une intégrale surfacique sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ou ce système est d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> par une intégrale curviligne sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 1^er membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;</math>» se réécrivant «<math>\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;</math>» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition <ref> Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er membre }}est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie cinétique du système s'écrit : * «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}</math>, * «<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref> à l'instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er membre est égale }}à la puissance cinétique du système «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» au même instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 1^er terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;</math>» définit la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er terme du 2^nd membre }}à l'instant <math>\;t</math>, soit «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 2^ème terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;</math>» la puissance développée par les forces intérieures appliquées <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 2^ème terme du 2^nd membre }}au système à l'instant <math>\,t</math>, soit «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-48|⁴⁸]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, {{Al|5}}{{Transparent|Exposé : }}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels <ref> Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_point_matériel_d'un_système_continu-68|⁶⁸]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-somme_continue-71|⁷¹]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-61|⁶¹]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-73|⁷³]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-74|⁷⁴]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-75|⁷⁵]] » présentées plus haut dans ce chapitre.</ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> C.-à-d. un solide au sens de la mécanique.</ref> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème conséquence » plus haut dans ce chapitre, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété }}« la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété « la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}est nulle c.-à-d. <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété }}utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique"> Et donc de la puissance cinétique qui est la dérivée temporelle de l'énergie cinétique.</ref>, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2</math> <math>= \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»}} <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\;G\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\;\Delta\;</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|<math>\;\big\{</math>c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ne nécessite pas que <math>\;\Delta\;</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, le moment scalaire étant évalué par rapport à <math>\;\Delta\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique" />, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] }} 42fjte4i5hf5bll18yxqk5ncski2yb2 987422 987421 2026-10-15T12:48:33Z Phl7605 31541 /* Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen */ 987422 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) == === Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque"> Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}s'écrit selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste"> Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.</ref> avec <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>. === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie par <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste" /> se réécrit, dans le cas où <math>\,M\,</math> est en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, pour lequel <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> a pour forme <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}intrinsèque «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» <ref name="forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\big]\,</math> soit, en explicitant <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}dans la définition de <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;</math>» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » <math>\,\big(</math>ce qui laisse ce dernier invariant <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref> La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;</math>».</ref> avec «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,</math> vecteur moment de <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> en <math>\,A\,</math> noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment vectoriel d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée"> Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant <math>\,A\,</math> par le centre <math>\,C\,</math> du cercle.</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation du point <math>\,M\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;</math>» avec }}<math>\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,</math> le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe <math>\,\Delta\,</math> noté <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit au final <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme nettement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref>. === Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\,M\,</math> de « mouvement quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\;M\;</math> de « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, avec <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque <math>\,\big(</math>c.-à-d. aussi de mouvement circulaire<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, pour <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> est la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2^nd membre, }}pour <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire de centre <math>\,C</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,</math> en <math>\,C</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}dans le cas où le point <math>\,M\,</math> a un mouvement « circulaire d'axe <math>\,\Delta\;</math>» <ref> Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.</ref>, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;</math>», <br>traduction symbolique de «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, avec <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>».</ref>.</center> == « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C == === Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\;(m)\,</math> décrivant un mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant <math>\,t</math>, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon <ref name="théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : {{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à <math>\,M\;(m)\,</math> calculés, à l'instant <math>\,t</math>, par rapport au centre <math>\,C\,</math> du cercle de rayon <math>\,R\,</math> décrit par <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» est égal au produit du moment d’inertie de <math>\,M \,</math> par rapport à son axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation <ref> C.-à-d. l'axe du cercle décrit par <math>\,M</math>.</ref> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;</math>» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». ” === « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen === {{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> fixes dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}de moment d'inertie par rapport à <math>\,\Delta\,</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;</math>» et de vecteur rotation instantanée à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation <math>\,\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» dans le but de faire apparaître, dans le 1^er membre, après utilisation de la distributivité de <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, la puissance instantanée <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2^nd membre «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» représente la puissance cinétique du point <math>\,M\,</math> à <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date <math>\,t\,</math> lors de son mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\dot{K}_M(t)\;</math>» en effet, «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="moment d'inertie constant"> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» étant une constante caractérisant la trajectoire de <math>\,M</math>.</ref> soit <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;</math>» <ref name="expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire autour d’un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen s'écrivant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;</math>» <math>\,\big(</math>en dynamique newtonienne<math>\big)</math>, nous retrouvons <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans un mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> » «<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à M"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » <math>\,\big(</math>grandeur cinétique énergétique<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » <math>\;\ldots</math> == Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe == === Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous : {{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,</math> et <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>». === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> prend la forme ci-dessous : {{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math><ref> En effet, définissant <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>» d'où «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>».</ref> où <math>\,J_\Delta(M) = m\;R^2\,</math> est le moment d'inertie de <math>\,M\;(m)\,</math> relativement à <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon <math>\,R\;</math><reF> On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,</math> dans laquelle <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,</math> est le moment cinétique scalaire de <math>\,M\,</math> relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <math>\,\big(</math>utilisée moins fréquemment<math>\big)\,</math> ou <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <math>\,\big(</math>pratiquement jamais utilisée<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>on rappelle la relation <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,</math> avec }}<math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. == Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide == === Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces extérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces extérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> que chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)</math>, extérieur à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de forces extérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée par ce système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}se détermine comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par chaque force extérieure <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi"> En notant <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel <math>\,M_i\,</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures «}}<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>». ==== Cas d’un « système de matière en translation » ==== {{Al|5}}Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un « système discret }}en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points matériels <math>\,M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> du système soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », tous les points matériels <math>\,\color{transparent}{M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ont }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}possibilité de factoriser « scalairement » <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> le 2^nd membre de la « relation <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> » par «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », possibilité de factoriser }}l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> d’où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» ou encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}<u>remarque</u> : <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\,t\,</math> et dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <ref> Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.</ref>. ==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » est, en pratique, indéformable, il est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret }}en rotation autour d'un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> avec, à la date <math>\,t</math>, la même vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\,</math> pour tous les points <math>\,M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref> Système indéformable dans la pratique <math>\Rightarrow</math> se comportant, dans ce cas <math>\,\big(</math>le seul que nous envisageons dans la suite<math>\big)</math>, comme un solide au sens de la mécanique <math>\,\big[</math>relire la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-système_en_rotation_autour_d'un_axe-32|³²]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation<math>\big]</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrivant selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> <math>\Rightarrow</math> la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» après factorisation par <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}«<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> étant le moment scalaire résultant dynamique relativement à <math>\,\Delta\,</math> s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, soit <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, d'où finalement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire par rapport à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) =</math> {{Nobr|<math>\left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>»}} dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étan le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, soit finalement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math> <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, soit au final «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M</math> <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}d'où la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation se réécrit selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque <math>\,\big(</math>axe mobile ou immobile dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de <math>\,\mathcal{R}</math>, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures }}le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures le produit }}de sa vitesse angulaire instantanée. ==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ==== {{Al|5}}On admet que le mouvement d’un point quelconque <math>\,M_i\,</math> d'un solide <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque }}peut être considéré comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}d’une rotation instantanée autour d’un axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par <math>\,G\,</math> de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}<math>\big[</math>ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\big]\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable"> Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable" /> <math>\Rightarrow</math> {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, }}<math>\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math><ref> Après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-distributivité_de_la_multiplication_scalaire_relativement_à_l'addition_vectorielle-15|¹⁵]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math><ref> Le 2^ème terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-invariance_du_produit_mixte_par_permutation_circulaire-4|⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> Par commutativité du produit scalaire <math>\;\ldots</math></ref> soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, }}«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> En effet on reconnaît dans <math>\,\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> le vecteur moment résultant dynamique s'exerçait sur le point <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,G\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_vectoriel_d'une_force-6|⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> » ; {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, s'obtient par « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}<math>\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right] + \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>= \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> Par facorisation scalaire de <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)\,</math> dans le 1^er terme et de <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,</math> dans le 2^nd terme <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-factorisation_scalaire-29|²⁹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> En effet <math>\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> exercée sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière <math>\,\big(</math>admis<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-résultante_dynamique_exercée_sur_un_système_continu_de_matière_30|³⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}<math>\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> est le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,G</math>, <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>, exercé sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière <math>\,\big(</math>admis et détaillé dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_résultant_dynamique_vectoriel_exercé_sur_un_système_continu_de_matière_relativement_à_G-43|⁴³]] » plus loin dans ce chapitre<math>\big)</math>.</ref>{{,}} <ref name="moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,;</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> » ou <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\, \vec{u}_{\Delta_G} \right]\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\vec{u}_{\Delta_G}\,</math> vecteur unitaire orientant <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>\,\Delta_G\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) = \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\,</math> où <math>\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée du <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}solide autour de l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide<math>\big]</math>, soit encore <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right]\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\,</math> où <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\,</math> est le <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }} moment résultant dynamique scalaire <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,</math> exercé sur le solide par rapport à <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide <ref name="moment résultant dynamique scalaire "> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.</ref> <math>\Rightarrow</math> {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, se réécrit, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;</math>» <ref> Forme légèrement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;</math>».</ref> s'obtenant en ajoutant <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}<math>\bullet\;</math>la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}<math>\bullet\;</math>la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour de l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math>». === Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces intérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système des forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures }}est la somme des puissances développées, à la date <math>\;t</math>, par chaque force intérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « }}<math>\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\,</math> après factorisation scalaire par <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> dans la somme sur <math>\,_j\;</math><ref> <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math> étant une constante dans la somme discrète sur <math>\,_j</math>.</ref>{{,}} <ref name="factorisation scalaire" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}dans laquelle <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> est le vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> . ==== Autres expressions équivalentes ==== {{Al|5}}<math>\succ\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\left( i\,,\, j \right)\,</math> dans la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans la puissance développée, }}par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans la puissance développée, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels }}avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1 et 2" />, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on utilise la 1^ère relation «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» introduite dans le principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> pour factoriser scalairement <ref name="factorisation scalaire" /> le terme entre crochets par «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>», ce qui donne <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,</math>» ou, en évaluant dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}<math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t)</math> <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;</math>» par utilisation de la [[w:Relation_de_Chasles|relation de Chasles]] <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la [[w:Relation_de_Chasles|relation dite de Chasles]], connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref>, <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\,</math> est donc la dérivée temporelle, dans <math>\,\mathcal{R}</math>, du vecteur position <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}relative <math>\,\overrightarrow{M_jM_i}(t)\,</math> de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}en définissant le « référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,;</math> lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport à <math>\,\mathcal{R}\;</math>», <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\,</math> est encore égale à <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>» c.-à-d. le « vecteur vitesse <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}relative à l'instant <math>\,t\,</math> de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_j\,</math>» <ref name="égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation"> En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] » du chap.<math>25</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Edmond_Bour|Jacques Edmond Émile Bour]] (1832 - 1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de <math>\,33\,</math>ans.</ref> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>». {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Si on remplace la double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>, tous deux variant dans <math>\,\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\,</math> avec la contrainte <math>\,j > i\,</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}par une double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>, tous deux variant dans <math>\,\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\,</math> avec la contrainte <math>\,j \neq i\,</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}on compte deux fois chaque terme de la 1^ère double somme dans la 2^ème double somme <ref> En effet le terme générique de la 1^ère double somme «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\,</math> avec <math>\,j = j_0 > i = i_0\;</math>» <math>\,\big(</math>aussi terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\,j > i\big)\,</math> étant égal au terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\,j < i\,</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\,</math> avec <math>\,j = i_0 < i = j_0\;</math>» car <math>\,\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\,</math> d'une part et <math>\,\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\,</math> d'autre part, chaque terme de la 1^ère double somme se retrouve tel quel dans la 2^ème double somme avec <math>\,j > i\,</math> mais aussi sous une forme résultant de la permutation <math>\,i \leftrightarrow j\,</math> du terme précédent conduisant à <math>\,j < i\,</math> d'où la 2^ème double somme égale à deux fois la 1^ère double somme <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math>}} <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\,</math> des forces que <math>\,M_j\,</math> exerce sur tous les autres points <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}}\,</math> des forces que <math>\,\color{transparent}{M_j}\,</math> exerce sur }}<math>\,M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;</math><ref> Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}</math>, <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\,</math> ou <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\,</math> des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que <math>\,M'\,</math> exerce sur tous les autres points «<math>\;M</math> <math>\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, <math>\,\in\,\left( S \right)\,</math> ou <math>\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math>».</ref>. ==== Conséquences diverses ==== {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}est non nulle dans le cas général soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\,</math> dans le cas général » <ref name="Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures"> Contrairement à la résultante et au moment résultant en n’importe quel point origine, du système des forces intérieures, tous deux toujours nuls, pour tout système fermé de matière discret ou continu, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement à la résultante et au moment résultant en n’importe quel point origine, du système des forces intérieures, tous deux toujours nuls, pour tout système }}indéformable ou déformable ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}celle développée par le moment résultant vectoriel également nulle par nullité du moment vectoriel, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement le fait }}montre que <u>la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures</u>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement le fait montre que }}<u>ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système</u> ; <br>{{Al|3}}on peut généraliser cela au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système fermé de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}<u>la résultante dynamique et le moment résultant dynamique en n’importe quel point origine sont insuffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures</u>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}la 1^ère permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. <math>\,G\,</math> du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}le 2^nd celle du mouvement de rotation autour de <math>\,G\,</math> dans le même référentiel galiléen mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « <u>on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant</u> <math>\,\big(</math>cela ne devenant possible que si le système ne se déforme pas<math>\big)\;</math>».</ref>, la raison étant que les relations <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives }}en général individuellement non nuls, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}« la non nullité de <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» sauf cas particuliers <math>\,\big(</math>restant à préciser<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>En repérant le point «<math>\;M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\,</math> soit <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> pour base sphérique liée à <math>\,M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}la « force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> liée à <math>\,M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="déduction de la 2ème relation du principe des actions réciproques"> Se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-principe_des_actions_réciproques-51|⁵¹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\,</math> <math>\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\,</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,</math>» <br>{{Al|3}}{{Transparent|cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet }}car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}</math>», ceci établit que <br>{{Al|3}}{{Transparent|cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet }}«<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» c.-à-d. une même expression par permutation de <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>.</ref> définissant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}« l'intensité de l’interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\;</math>» simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\,</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}le « vecteur vitesse relative de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\;</math>», «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>», s’écrit, dans la « base sphérique de <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> liée à <math>\,M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» « }}<math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[</math>la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> étant orthonormée<math>\big]\,</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» l'expression, en sphérique, de la puissance développée par }}«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, soit finalament <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> [[Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( S \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( S \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, <math>\Big[</math>pour simplifier on pose <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]\,</math> en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \Gamma \right)</math>, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}exprimée en repérant «<math>\;M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\;</math>», soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}si la distance séparant deux points quelconques de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> reste constante <math>\,\big\{</math>c.-à-d. si <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> « ne se déforme pas » <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref><math>\big\}</math>, on a <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures si }}«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t) = 0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;</math>» <ref name="distance entre deux points d'un système continu fermé indéformable"> Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)</math> <math>\,\in \left( \mathcal{V} \right)^2</math>, <math>\,\in \left( S \right)^2\;</math> ou <math>\,\in \left( \Gamma \right)^2\;</math>».</ref> et on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />{{,}} <ref> Applicable pour un système fermé indéformable, discret de points matériels ou continu de matière.</ref>. == Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === ==== Énoncé ==== {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique à la somme }}de celle développée par les forces intérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. ==== Démonstration ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire </u> : La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : La démonstration }}est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : La démonstration }}pourrait être refaite <math>\,\big(</math>bien qu'un peu plus lourde d'exposition<math>\big)\,</math> pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel <math>\,M_i\;</math><ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on applique }}«<math>\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu"> Pour <math>\,M\;\in\,</math> à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> s'écrit : * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( S \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, }}on ajoute, membre à membre, les <math>\,N\,</math> relations définies ci-dessus <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue"> La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> par une intégrale volumique sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, si ce système est d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> par une intégrale surfacique sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ou ce système est d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> par une intégrale curviligne sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 1^er membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;</math>» se réécrivant «<math>\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;</math>» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition <ref> Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er membre }}est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie cinétique du système s'écrit : * «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}</math>, * «<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref> à l'instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er membre est égale }}à la puissance cinétique du système «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» au même instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 1^er terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;</math>» définit la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er terme du 2^nd membre }}à l'instant <math>\;t</math>, soit «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 2^ème terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;</math>» la puissance développée par les forces intérieures appliquées <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 2^ème terme du 2^nd membre }}au système à l'instant <math>\,t</math>, soit «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-48|⁴⁸]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, {{Al|5}}{{Transparent|Exposé : }}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels <ref> Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_point_matériel_d'un_système_continu-68|⁶⁸]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-somme_continue-71|⁷¹]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-61|⁶¹]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-73|⁷³]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-74|⁷⁴]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-75|⁷⁵]] » présentées plus haut dans ce chapitre.</ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> C.-à-d. un solide au sens de la mécanique.</ref> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème conséquence) » plus haut dans ce chapitre, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété }}« la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété « la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}est nulle c.-à-d. <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété }}utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique"> Et donc de la puissance cinétique qui est la dérivée temporelle de l'énergie cinétique.</ref>, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2</math> <math>= \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»}} <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\;G\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\;\Delta\;</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|<math>\;\big\{</math>c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ne nécessite pas que <math>\;\Delta\;</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, le moment scalaire étant évalué par rapport à <math>\;\Delta\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique" />, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] }} bsgctf0g40u5hvnuncwh45x361cdv54 987423 987422 2026-10-15T15:21:50Z Phl7605 31541 /* Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen */ 987423 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) == === Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque"> Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}s'écrit selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste"> Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.</ref> avec <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>. === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie par <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste" /> se réécrit, dans le cas où <math>\,M\,</math> est en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, pour lequel <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> a pour forme <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}intrinsèque «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» <ref name="forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\big]\,</math> soit, en explicitant <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}dans la définition de <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;</math>» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » <math>\,\big(</math>ce qui laisse ce dernier invariant <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref> La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;</math>».</ref> avec «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,</math> vecteur moment de <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> en <math>\,A\,</math> noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment vectoriel d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée"> Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant <math>\,A\,</math> par le centre <math>\,C\,</math> du cercle.</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation du point <math>\,M\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;</math>» avec }}<math>\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,</math> le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe <math>\,\Delta\,</math> noté <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit au final <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme nettement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref>. === Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\,M\,</math> de « mouvement quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\;M\;</math> de « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, avec <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque <math>\,\big(</math>c.-à-d. aussi de mouvement circulaire<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, pour <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> est la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2^nd membre, }}pour <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire de centre <math>\,C</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,</math> en <math>\,C</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}dans le cas où le point <math>\,M\,</math> a un mouvement « circulaire d'axe <math>\,\Delta\;</math>» <ref> Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.</ref>, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;</math>», <br>traduction symbolique de «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, avec <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>».</ref>.</center> == « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C == === Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\;(m)\,</math> décrivant un mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant <math>\,t</math>, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon <ref name="théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : {{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à <math>\,M\;(m)\,</math> calculés, à l'instant <math>\,t</math>, par rapport au centre <math>\,C\,</math> du cercle de rayon <math>\,R\,</math> décrit par <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» est égal au produit du moment d’inertie de <math>\,M \,</math> par rapport à son axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation <ref> C.-à-d. l'axe du cercle décrit par <math>\,M</math>.</ref> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;</math>» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». ” === « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen === {{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> fixes dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}de moment d'inertie par rapport à <math>\,\Delta\,</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;</math>» et de vecteur rotation instantanée à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation <math>\,\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» dans le but de faire apparaître, dans le 1^er membre, après utilisation de la distributivité de <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, la puissance instantanée <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2^nd membre «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» représente la puissance cinétique du point <math>\,M\,</math> à <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date <math>\,t\,</math> lors de son mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\dot{K}_M(t)\;</math>» en effet, «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="moment d'inertie constant"> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» étant une constante caractérisant la trajectoire de <math>\,M</math>.</ref> soit <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;</math>» <ref name="expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire autour d’un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen s'écrivant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;</math>» <math>\,\big(</math>en dynamique newtonienne<math>\big)</math>, nous retrouvons <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans un mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> » «<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à M"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » <math>\,\big(</math>grandeur cinétique énergétique<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » <math>\;\ldots</math> == Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe == === Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous : {{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,</math> et <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>». === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> prend la forme ci-dessous : {{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math><ref> En effet, définissant <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>» d'où «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>».</ref> où <math>\,J_\Delta(M) = m\;R^2\,</math> est le moment d'inertie de <math>\,M\;(m)\,</math> relativement à <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon <math>\,R\;</math><reF> On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,</math> dans laquelle <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,</math> est le moment cinétique scalaire de <math>\,M\,</math> relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <math>\,\big(</math>utilisée moins fréquemment<math>\big)\,</math> ou <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <math>\,\big(</math>pratiquement jamais utilisée<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>on rappelle la relation <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,</math> avec }}<math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. == Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide == === Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces extérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces extérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> que chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)</math>, extérieur à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de forces extérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée par ce système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}se détermine comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par chaque force extérieure <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi"> En notant <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel <math>\,M_i\,</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures «}}<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>». ==== Cas d’un « système de matière en translation » ==== {{Al|5}}Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un « système discret }}en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points matériels <math>\,M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> du système soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », tous les points matériels <math>\,\color{transparent}{M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ont }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}possibilité de factoriser « scalairement » <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> le 2^nd membre de la « relation <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> » par «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », possibilité de factoriser }}l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> d’où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» ou encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}<u>remarque</u> : <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\,t\,</math> et dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <ref> Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.</ref>. ==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » est, en pratique, indéformable, il est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret }}en rotation autour d'un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> avec, à la date <math>\,t</math>, la même vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\,</math> pour tous les points <math>\,M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref> Système indéformable dans la pratique <math>\Rightarrow</math> se comportant, dans ce cas <math>\,\big(</math>le seul que nous envisageons dans la suite<math>\big)</math>, comme un solide au sens de la mécanique <math>\,\big[</math>relire la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-système_en_rotation_autour_d'un_axe-32|³²]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation<math>\big]</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrivant selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> <math>\Rightarrow</math> la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» après factorisation par <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}«<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> étant le moment scalaire résultant dynamique relativement à <math>\,\Delta\,</math> s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, soit <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, d'où finalement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire par rapport à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) =</math> {{Nobr|<math>\left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>»}} dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étan le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, soit finalement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math> <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, soit au final «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M</math> <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}d'où la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation se réécrit selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque <math>\,\big(</math>axe mobile ou immobile dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de <math>\,\mathcal{R}</math>, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures }}le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures le produit }}de sa vitesse angulaire instantanée. ==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ==== {{Al|5}}On admet que le mouvement d’un point quelconque <math>\,M_i\,</math> d'un solide <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque }}peut être considéré comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}d’une rotation instantanée autour d’un axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par <math>\,G\,</math> de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}<math>\big[</math>ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\big]\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable"> Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable" /> <math>\Rightarrow</math> {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, }}<math>\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math><ref> Après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-distributivité_de_la_multiplication_scalaire_relativement_à_l'addition_vectorielle-15|¹⁵]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math><ref> Le 2^ème terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-invariance_du_produit_mixte_par_permutation_circulaire-4|⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> Par commutativité du produit scalaire <math>\;\ldots</math></ref> soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, }}«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> En effet on reconnaît dans <math>\,\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> le vecteur moment résultant dynamique s'exerçait sur le point <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,G\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_vectoriel_d'une_force-6|⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> » ; {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, s'obtient par « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}<math>\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right] + \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>= \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> Par facorisation scalaire de <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)\,</math> dans le 1^er terme et de <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,</math> dans le 2^nd terme <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-factorisation_scalaire-29|²⁹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> En effet <math>\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> exercée sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière <math>\,\big(</math>admis<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-résultante_dynamique_exercée_sur_un_système_continu_de_matière_30|³⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}<math>\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> est le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,G</math>, <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>, exercé sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière <math>\,\big(</math>admis et détaillé dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_résultant_dynamique_vectoriel_exercé_sur_un_système_continu_de_matière_relativement_à_G-43|⁴³]] » plus loin dans ce chapitre<math>\big)</math>.</ref>{{,}} <ref name="moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,;</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> » ou <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\, \vec{u}_{\Delta_G} \right]\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\vec{u}_{\Delta_G}\,</math> vecteur unitaire orientant <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>\,\Delta_G\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) = \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\,</math> où <math>\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée du <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}solide autour de l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide<math>\big]</math>, soit encore <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right]\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\,</math> où <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\,</math> est le <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }} moment résultant dynamique scalaire <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,</math> exercé sur le solide par rapport à <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide <ref name="moment résultant dynamique scalaire "> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.</ref> <math>\Rightarrow</math> {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, se réécrit, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;</math>» <ref> Forme légèrement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;</math>».</ref> s'obtenant en ajoutant <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}<math>\bullet\;</math>la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}<math>\bullet\;</math>la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour de l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math>». === Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces intérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système des forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures }}est la somme des puissances développées, à la date <math>\;t</math>, par chaque force intérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « }}<math>\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\,</math> après factorisation scalaire par <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> dans la somme sur <math>\,_j\;</math><ref> <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math> étant une constante dans la somme discrète sur <math>\,_j</math>.</ref>{{,}} <ref name="factorisation scalaire" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}dans laquelle <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> est le vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> . ==== Autres expressions équivalentes ==== {{Al|5}}<math>\succ\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\left( i\,,\, j \right)\,</math> dans la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans la puissance développée, }}par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans la puissance développée, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels }}avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1 et 2" />, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on utilise la 1^ère relation «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» introduite dans le principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> pour factoriser scalairement <ref name="factorisation scalaire" /> le terme entre crochets par «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>», ce qui donne <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,</math>» ou, en évaluant dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}<math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t)</math> <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;</math>» par utilisation de la [[w:Relation_de_Chasles|relation de Chasles]] <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la [[w:Relation_de_Chasles|relation dite de Chasles]], connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref>, <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\,</math> est donc la dérivée temporelle, dans <math>\,\mathcal{R}</math>, du vecteur position <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}relative <math>\,\overrightarrow{M_jM_i}(t)\,</math> de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}en définissant le « référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,;</math> lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport à <math>\,\mathcal{R}\;</math>», <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\,</math> est encore égale à <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>» c.-à-d. le « vecteur vitesse <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}relative à l'instant <math>\,t\,</math> de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_j\,</math>» <ref name="égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation"> En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] » du chap.<math>25</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Edmond_Bour|Jacques Edmond Émile Bour]] (1832 - 1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de <math>\,33\,</math>ans.</ref> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>». {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Si on remplace la double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>, tous deux variant dans <math>\,\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\,</math> avec la contrainte <math>\,j > i\,</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}par une double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>, tous deux variant dans <math>\,\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\,</math> avec la contrainte <math>\,j \neq i\,</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}on compte deux fois chaque terme de la 1^ère double somme dans la 2^ème double somme <ref> En effet le terme générique de la 1^ère double somme «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\,</math> avec <math>\,j = j_0 > i = i_0\;</math>» <math>\,\big(</math>aussi terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\,j > i\big)\,</math> étant égal au terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\,j < i\,</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\,</math> avec <math>\,j = i_0 < i = j_0\;</math>» car <math>\,\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\,</math> d'une part et <math>\,\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\,</math> d'autre part, chaque terme de la 1^ère double somme se retrouve tel quel dans la 2^ème double somme avec <math>\,j > i\,</math> mais aussi sous une forme résultant de la permutation <math>\,i \leftrightarrow j\,</math> du terme précédent conduisant à <math>\,j < i\,</math> d'où la 2^ème double somme égale à deux fois la 1^ère double somme <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math>}} <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\,</math> des forces que <math>\,M_j\,</math> exerce sur tous les autres points <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}}\,</math> des forces que <math>\,\color{transparent}{M_j}\,</math> exerce sur }}<math>\,M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;</math><ref> Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}</math>, <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\,</math> ou <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\,</math> des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que <math>\,M'\,</math> exerce sur tous les autres points «<math>\;M</math> <math>\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, <math>\,\in\,\left( S \right)\,</math> ou <math>\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math>».</ref>. ==== Conséquences diverses ==== {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}est non nulle dans le cas général soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\,</math> dans le cas général » <ref name="Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures"> Contrairement à la résultante et au moment résultant en n’importe quel point origine, du système des forces intérieures, tous deux toujours nuls, pour tout système fermé de matière discret ou continu, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement à la résultante et au moment résultant en n’importe quel point origine, du système des forces intérieures, tous deux toujours nuls, pour tout système }}indéformable ou déformable ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}celle développée par le moment résultant vectoriel également nulle par nullité du moment vectoriel, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement le fait }}montre que <u>la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures</u>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement le fait montre que }}<u>ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système</u> ; <br>{{Al|3}}on peut généraliser cela au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système fermé de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}<u>la résultante dynamique et le moment résultant dynamique en n’importe quel point origine sont insuffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures</u>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}la 1^ère permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. <math>\,G\,</math> du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}le 2^nd celle du mouvement de rotation autour de <math>\,G\,</math> dans le même référentiel galiléen mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « <u>on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant</u> <math>\,\big(</math>cela ne devenant possible que si le système ne se déforme pas<math>\big)\;</math>».</ref>, la raison étant que les relations <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives }}en général individuellement non nuls, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}« la non nullité de <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» sauf cas particuliers <math>\,\big(</math>restant à préciser<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>En repérant le point «<math>\;M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\,</math> soit <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> pour base sphérique liée à <math>\,M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}la « force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> liée à <math>\,M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="déduction de la 2ème relation du principe des actions réciproques"> Se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-principe_des_actions_réciproques-51|⁵¹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\,</math> <math>\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\,</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,</math>» <br>{{Al|3}}{{Transparent|cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet }}car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}</math>», ceci établit que <br>{{Al|3}}{{Transparent|cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet }}«<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» c.-à-d. une même expression par permutation de <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>.</ref> définissant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}« l'intensité de l’interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\;</math>» simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\,</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}le « vecteur vitesse relative de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\;</math>», «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>», s’écrit, dans la « base sphérique de <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> liée à <math>\,M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» « }}<math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[</math>la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> étant orthonormée<math>\big]\,</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» l'expression, en sphérique, de la puissance développée par }}«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, soit finalament <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> [[Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( S \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( S \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, <math>\Big[</math>pour simplifier on pose <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]\,</math> en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \Gamma \right)</math>, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}exprimée en repérant «<math>\;M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\;</math>», soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}si la distance séparant deux points quelconques de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> reste constante <math>\,\big\{</math>c.-à-d. si <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> « ne se déforme pas » <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref><math>\big\}</math>, on a <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures si }}«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t) = 0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;</math>» <ref name="distance entre deux points d'un système continu fermé indéformable"> Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)</math> <math>\,\in \left( \mathcal{V} \right)^2</math>, <math>\,\in \left( S \right)^2\;</math> ou <math>\,\in \left( \Gamma \right)^2\;</math>».</ref> et on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />{{,}} <ref> Applicable pour un système fermé indéformable, discret de points matériels ou continu de matière.</ref>. == Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === ==== Énoncé ==== {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique à la somme }}de celle développée par les forces intérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. ==== Démonstration ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire </u> : La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : La démonstration }}est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : La démonstration }}pourrait être refaite <math>\,\big(</math>bien qu'un peu plus lourde d'exposition<math>\big)\,</math> pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel <math>\,M_i\;</math><ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on applique }}«<math>\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu"> Pour <math>\,M\;\in\,</math> à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> s'écrit : * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( S \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, }}on ajoute, membre à membre, les <math>\,N\,</math> relations définies ci-dessus <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue"> La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> par une intégrale volumique sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, si ce système est d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> par une intégrale surfacique sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ou ce système est d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> par une intégrale curviligne sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 1^er membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;</math>» se réécrivant «<math>\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;</math>» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition <ref> Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er membre }}est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie cinétique du système s'écrit : * «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}</math>, * «<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref> à l'instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er membre est égale }}à la puissance cinétique du système «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» au même instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 1^er terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;</math>» définit la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er terme du 2^nd membre }}à l'instant <math>\;t</math>, soit «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 2^ème terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;</math>» la puissance développée par les forces intérieures appliquées <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 2^ème terme du 2^nd membre }}au système à l'instant <math>\,t</math>, soit «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-48|⁴⁸]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, {{Al|5}}{{Transparent|Exposé : }}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels <ref> Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_point_matériel_d'un_système_continu-68|⁶⁸]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-somme_continue-71|⁷¹]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-61|⁶¹]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-73|⁷³]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-74|⁷⁴]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-75|⁷⁵]] » présentées plus haut dans ce chapitre.</ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> C.-à-d. un solide au sens de la mécanique.</ref> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème conséquence) » plus haut dans ce chapitre, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété }}« la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété « la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}est nulle c.-à-d. <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété }}utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système d’où les expressions <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique"> Et donc de la puissance cinétique qui est la dérivée temporelle de l'énergie cinétique.</ref>, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2</math> <math>= \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»}} <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\;G\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\;\Delta\;</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|<math>\;\big\{</math>c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ne nécessite pas que <math>\;\Delta\;</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, le moment scalaire étant évalué par rapport à <math>\;\Delta\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique" />, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] }} 4nitre22ci8hnwhm7c26drmh1hdxqcp 987424 987423 2026-10-15T15:50:04Z Phl7605 31541 /* Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen */ 987424 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) == === Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque"> Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}s'écrit selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste"> Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.</ref> avec <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>. === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie par <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste" /> se réécrit, dans le cas où <math>\,M\,</math> est en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, pour lequel <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> a pour forme <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}intrinsèque «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» <ref name="forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\big]\,</math> soit, en explicitant <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}dans la définition de <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;</math>» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » <math>\,\big(</math>ce qui laisse ce dernier invariant <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref> La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;</math>».</ref> avec «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,</math> vecteur moment de <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> en <math>\,A\,</math> noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment vectoriel d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée"> Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant <math>\,A\,</math> par le centre <math>\,C\,</math> du cercle.</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation du point <math>\,M\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;</math>» avec }}<math>\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,</math> le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe <math>\,\Delta\,</math> noté <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit au final <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme nettement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref>. === Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\,M\,</math> de « mouvement quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\;M\;</math> de « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, avec <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque <math>\,\big(</math>c.-à-d. aussi de mouvement circulaire<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, pour <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> est la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2^nd membre, }}pour <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire de centre <math>\,C</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,</math> en <math>\,C</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}dans le cas où le point <math>\,M\,</math> a un mouvement « circulaire d'axe <math>\,\Delta\;</math>» <ref> Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.</ref>, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;</math>», <br>traduction symbolique de «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, avec <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>».</ref>.</center> == « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C == === Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\;(m)\,</math> décrivant un mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant <math>\,t</math>, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon <ref name="théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : {{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à <math>\,M\;(m)\,</math> calculés, à l'instant <math>\,t</math>, par rapport au centre <math>\,C\,</math> du cercle de rayon <math>\,R\,</math> décrit par <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» est égal au produit du moment d’inertie de <math>\,M \,</math> par rapport à son axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation <ref> C.-à-d. l'axe du cercle décrit par <math>\,M</math>.</ref> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;</math>» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». ” === « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen === {{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> fixes dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}de moment d'inertie par rapport à <math>\,\Delta\,</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;</math>» et de vecteur rotation instantanée à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation <math>\,\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» dans le but de faire apparaître, dans le 1^er membre, après utilisation de la distributivité de <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, la puissance instantanée <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2^nd membre «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» représente la puissance cinétique du point <math>\,M\,</math> à <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date <math>\,t\,</math> lors de son mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\dot{K}_M(t)\;</math>» en effet, «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="moment d'inertie constant"> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» étant une constante caractérisant la trajectoire de <math>\,M</math>.</ref> soit <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;</math>» <ref name="expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire autour d’un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen s'écrivant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;</math>» <math>\,\big(</math>en dynamique newtonienne<math>\big)</math>, nous retrouvons <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans un mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> » «<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à M"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » <math>\,\big(</math>grandeur cinétique énergétique<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » <math>\;\ldots</math> == Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe == === Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous : {{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,</math> et <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>». === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> prend la forme ci-dessous : {{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math><ref> En effet, définissant <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>» d'où «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>».</ref> où <math>\,J_\Delta(M) = m\;R^2\,</math> est le moment d'inertie de <math>\,M\;(m)\,</math> relativement à <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon <math>\,R\;</math><reF> On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,</math> dans laquelle <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,</math> est le moment cinétique scalaire de <math>\,M\,</math> relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <math>\,\big(</math>utilisée moins fréquemment<math>\big)\,</math> ou <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <math>\,\big(</math>pratiquement jamais utilisée<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>on rappelle la relation <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,</math> avec }}<math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. == Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide == === Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces extérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces extérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> que chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)</math>, extérieur à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de forces extérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée par ce système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}se détermine comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par chaque force extérieure <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi"> En notant <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel <math>\,M_i\,</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures «}}<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>». ==== Cas d’un « système de matière en translation » ==== {{Al|5}}Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un « système discret }}en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points matériels <math>\,M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> du système soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », tous les points matériels <math>\,\color{transparent}{M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ont }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}possibilité de factoriser « scalairement » <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> le 2^nd membre de la « relation <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> » par «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », possibilité de factoriser }}l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> d’où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» ou encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}<u>remarque</u> : <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\,t\,</math> et dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <ref> Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.</ref>. ==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » est, en pratique, indéformable, il est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret }}en rotation autour d'un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> avec, à la date <math>\,t</math>, la même vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\,</math> pour tous les points <math>\,M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref> Système indéformable dans la pratique <math>\Rightarrow</math> se comportant, dans ce cas <math>\,\big(</math>le seul que nous envisageons dans la suite<math>\big)</math>, comme un solide au sens de la mécanique <math>\,\big[</math>relire la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-système_en_rotation_autour_d'un_axe-32|³²]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation<math>\big]</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrivant selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> <math>\Rightarrow</math> la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» après factorisation par <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}«<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> étant le moment scalaire résultant dynamique relativement à <math>\,\Delta\,</math> s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, soit <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, d'où finalement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire par rapport à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) =</math> {{Nobr|<math>\left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>»}} dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étan le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, soit finalement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math> <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, soit au final «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M</math> <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}d'où la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation se réécrit selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque <math>\,\big(</math>axe mobile ou immobile dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de <math>\,\mathcal{R}</math>, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures }}le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures le produit }}de sa vitesse angulaire instantanée. ==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ==== {{Al|5}}On admet que le mouvement d’un point quelconque <math>\,M_i\,</math> d'un solide <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque }}peut être considéré comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}d’une rotation instantanée autour d’un axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par <math>\,G\,</math> de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}<math>\big[</math>ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\big]\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable"> Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable" /> <math>\Rightarrow</math> {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, }}<math>\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math><ref> Après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-distributivité_de_la_multiplication_scalaire_relativement_à_l'addition_vectorielle-15|¹⁵]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math><ref> Le 2^ème terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-invariance_du_produit_mixte_par_permutation_circulaire-4|⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> Par commutativité du produit scalaire <math>\;\ldots</math></ref> soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, }}«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> En effet on reconnaît dans <math>\,\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> le vecteur moment résultant dynamique s'exerçait sur le point <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,G\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_vectoriel_d'une_force-6|⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> » ; {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, s'obtient par « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}<math>\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right] + \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>= \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> Par facorisation scalaire de <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)\,</math> dans le 1^er terme et de <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,</math> dans le 2^nd terme <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-factorisation_scalaire-29|²⁹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> En effet <math>\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> exercée sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière <math>\,\big(</math>admis<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-résultante_dynamique_exercée_sur_un_système_continu_de_matière_30|³⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}<math>\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> est le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,G</math>, <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>, exercé sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière <math>\,\big(</math>admis et détaillé dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_résultant_dynamique_vectoriel_exercé_sur_un_système_continu_de_matière_relativement_à_G-43|⁴³]] » plus loin dans ce chapitre<math>\big)</math>.</ref>{{,}} <ref name="moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,;</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> » ou <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\, \vec{u}_{\Delta_G} \right]\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\vec{u}_{\Delta_G}\,</math> vecteur unitaire orientant <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>\,\Delta_G\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) = \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\,</math> où <math>\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée du <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}solide autour de l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide<math>\big]</math>, soit encore <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right]\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\,</math> où <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\,</math> est le <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }} moment résultant dynamique scalaire <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,</math> exercé sur le solide par rapport à <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide <ref name="moment résultant dynamique scalaire "> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.</ref> <math>\Rightarrow</math> {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, se réécrit, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;</math>» <ref> Forme légèrement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;</math>».</ref> s'obtenant en ajoutant <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}<math>\bullet\;</math>la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}<math>\bullet\;</math>la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour de l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math>». === Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces intérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système des forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures }}est la somme des puissances développées, à la date <math>\;t</math>, par chaque force intérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « }}<math>\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\,</math> après factorisation scalaire par <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> dans la somme sur <math>\,_j\;</math><ref> <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math> étant une constante dans la somme discrète sur <math>\,_j</math>.</ref>{{,}} <ref name="factorisation scalaire" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}dans laquelle <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> est le vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> . ==== Autres expressions équivalentes ==== {{Al|5}}<math>\succ\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\left( i\,,\, j \right)\,</math> dans la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans la puissance développée, }}par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans la puissance développée, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels }}avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1 et 2" />, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on utilise la 1^ère relation «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» introduite dans le principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> pour factoriser scalairement <ref name="factorisation scalaire" /> le terme entre crochets par «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>», ce qui donne <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,</math>» ou, en évaluant dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}<math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t)</math> <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;</math>» par utilisation de la [[w:Relation_de_Chasles|relation de Chasles]] <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la [[w:Relation_de_Chasles|relation dite de Chasles]], connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref>, <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\,</math> est donc la dérivée temporelle, dans <math>\,\mathcal{R}</math>, du vecteur position <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}relative <math>\,\overrightarrow{M_jM_i}(t)\,</math> de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}en définissant le « référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,;</math> lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport à <math>\,\mathcal{R}\;</math>», <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\,</math> est encore égale à <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>» c.-à-d. le « vecteur vitesse <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}relative à l'instant <math>\,t\,</math> de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_j\,</math>» <ref name="égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation"> En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] » du chap.<math>25</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Edmond_Bour|Jacques Edmond Émile Bour]] (1832 - 1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de <math>\,33\,</math>ans.</ref> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>». {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Si on remplace la double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>, tous deux variant dans <math>\,\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\,</math> avec la contrainte <math>\,j > i\,</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}par une double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>, tous deux variant dans <math>\,\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\,</math> avec la contrainte <math>\,j \neq i\,</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}on compte deux fois chaque terme de la 1^ère double somme dans la 2^ème double somme <ref> En effet le terme générique de la 1^ère double somme «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\,</math> avec <math>\,j = j_0 > i = i_0\;</math>» <math>\,\big(</math>aussi terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\,j > i\big)\,</math> étant égal au terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\,j < i\,</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\,</math> avec <math>\,j = i_0 < i = j_0\;</math>» car <math>\,\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\,</math> d'une part et <math>\,\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\,</math> d'autre part, chaque terme de la 1^ère double somme se retrouve tel quel dans la 2^ème double somme avec <math>\,j > i\,</math> mais aussi sous une forme résultant de la permutation <math>\,i \leftrightarrow j\,</math> du terme précédent conduisant à <math>\,j < i\,</math> d'où la 2^ème double somme égale à deux fois la 1^ère double somme <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math>}} <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\,</math> des forces que <math>\,M_j\,</math> exerce sur tous les autres points <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}}\,</math> des forces que <math>\,\color{transparent}{M_j}\,</math> exerce sur }}<math>\,M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;</math><ref> Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}</math>, <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\,</math> ou <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\,</math> des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que <math>\,M'\,</math> exerce sur tous les autres points «<math>\;M</math> <math>\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, <math>\,\in\,\left( S \right)\,</math> ou <math>\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math>».</ref>. ==== Conséquences diverses ==== {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}est non nulle dans le cas général soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\,</math> dans le cas général » <ref name="Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures"> Contrairement à la résultante et au moment résultant en n’importe quel point origine, du système des forces intérieures, tous deux toujours nuls, pour tout système fermé de matière discret ou continu, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement à la résultante et au moment résultant en n’importe quel point origine, du système des forces intérieures, tous deux toujours nuls, pour tout système }}indéformable ou déformable ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}celle développée par le moment résultant vectoriel également nulle par nullité du moment vectoriel, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement le fait }}montre que <u>la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures</u>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement le fait montre que }}<u>ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système</u> ; <br>{{Al|3}}on peut généraliser cela au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système fermé de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}<u>la résultante dynamique et le moment résultant dynamique en n’importe quel point origine sont insuffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures</u>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}la 1^ère permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. <math>\,G\,</math> du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}le 2^nd celle du mouvement de rotation autour de <math>\,G\,</math> dans le même référentiel galiléen mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « <u>on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant</u> <math>\,\big(</math>cela ne devenant possible que si le système ne se déforme pas<math>\big)\;</math>».</ref>, la raison étant que les relations <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives }}en général individuellement non nuls, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}« la non nullité de <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» sauf cas particuliers <math>\,\big(</math>restant à préciser<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>En repérant le point «<math>\;M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\,</math> soit <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> pour base sphérique liée à <math>\,M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}la « force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> liée à <math>\,M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="déduction de la 2ème relation du principe des actions réciproques"> Se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-principe_des_actions_réciproques-51|⁵¹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\,</math> <math>\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\,</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,</math>» <br>{{Al|3}}{{Transparent|cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet }}car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}</math>», ceci établit que <br>{{Al|3}}{{Transparent|cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet }}«<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» c.-à-d. une même expression par permutation de <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>.</ref> définissant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}« l'intensité de l’interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\;</math>» simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\,</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}le « vecteur vitesse relative de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\;</math>», «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>», s’écrit, dans la « base sphérique de <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> liée à <math>\,M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» « }}<math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[</math>la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> étant orthonormée<math>\big]\,</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» l'expression, en sphérique, de la puissance développée par }}«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, soit finalament <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> [[Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( S \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( S \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, <math>\Big[</math>pour simplifier on pose <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]\,</math> en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \Gamma \right)</math>, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}exprimée en repérant «<math>\;M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\;</math>», soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}si la distance séparant deux points quelconques de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> reste constante <math>\,\big\{</math>c.-à-d. si <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> « ne se déforme pas » <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref><math>\big\}</math>, on a <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures si }}«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t) = 0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;</math>» <ref name="distance entre deux points d'un système continu fermé indéformable"> Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)</math> <math>\,\in \left( \mathcal{V} \right)^2</math>, <math>\,\in \left( S \right)^2\;</math> ou <math>\,\in \left( \Gamma \right)^2\;</math>».</ref> et on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />{{,}} <ref> Applicable pour un système fermé indéformable, discret de points matériels ou continu de matière.</ref>. == Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === ==== Énoncé ==== {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique à la somme }}de celle développée par les forces intérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. ==== Démonstration ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire </u> : La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : La démonstration }}est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : La démonstration }}pourrait être refaite <math>\,\big(</math>bien qu'un peu plus lourde d'exposition<math>\big)\,</math> pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel <math>\,M_i\;</math><ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on applique }}«<math>\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu"> Pour <math>\,M\;\in\,</math> à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> s'écrit : * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( S \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, }}on ajoute, membre à membre, les <math>\,N\,</math> relations définies ci-dessus <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue"> La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> par une intégrale volumique sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, si ce système est d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> par une intégrale surfacique sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ou ce système est d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> par une intégrale curviligne sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 1^er membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;</math>» se réécrivant «<math>\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;</math>» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition <ref> Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er membre }}est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie cinétique du système s'écrit : * «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}</math>, * «<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref> à l'instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er membre est égale }}à la puissance cinétique du système «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» au même instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 1^er terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;</math>» définit la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er terme du 2^nd membre }}à l'instant <math>\;t</math>, soit «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 2^ème terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;</math>» la puissance développée par les forces intérieures appliquées <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 2^ème terme du 2^nd membre }}au système à l'instant <math>\,t</math>, soit «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-48|⁴⁸]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, {{Al|5}}{{Transparent|Exposé : }}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels <ref> Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_point_matériel_d'un_système_continu-68|⁶⁸]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-somme_continue-71|⁷¹]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-61|⁶¹]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-73|⁷³]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-74|⁷⁴]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-75|⁷⁵]] » présentées plus haut dans ce chapitre.</ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> C.-à-d. un solide au sens de la mécanique.</ref> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème conséquence) » plus haut dans ce chapitre, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété }}« la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété « la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}est nulle c.-à-d. <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété }}utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> étant la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}à l'instant <math>\,t\;</math>» et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique"> Et donc de la puissance cinétique qui est la dérivée temporelle de l'énergie cinétique.</ref>, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2</math> <math>= \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»}} <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\;G\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\;\Delta\;</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|<math>\;\big\{</math>c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ne nécessite pas que <math>\;\Delta\;</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, le moment scalaire étant évalué par rapport à <math>\;\Delta\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique" />, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] }} 4vm48lg0ewlq14no57xqqkbm745gih3 987425 987424 2026-10-15T16:43:26Z Phl7605 31541 /* Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen */ 987425 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) == === Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque"> Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}s'écrit selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste"> Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.</ref> avec <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>. === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie par <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste" /> se réécrit, dans le cas où <math>\,M\,</math> est en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, pour lequel <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> a pour forme <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}intrinsèque «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» <ref name="forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\big]\,</math> soit, en explicitant <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}dans la définition de <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;</math>» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » <math>\,\big(</math>ce qui laisse ce dernier invariant <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref> La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;</math>».</ref> avec «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,</math> vecteur moment de <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> en <math>\,A\,</math> noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment vectoriel d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée"> Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant <math>\,A\,</math> par le centre <math>\,C\,</math> du cercle.</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation du point <math>\,M\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;</math>» avec }}<math>\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,</math> le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe <math>\,\Delta\,</math> noté <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit au final <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme nettement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref>. === Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\,M\,</math> de « mouvement quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\;M\;</math> de « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, avec <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque <math>\,\big(</math>c.-à-d. aussi de mouvement circulaire<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, pour <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> est la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2^nd membre, }}pour <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire de centre <math>\,C</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,</math> en <math>\,C</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}dans le cas où le point <math>\,M\,</math> a un mouvement « circulaire d'axe <math>\,\Delta\;</math>» <ref> Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.</ref>, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;</math>», <br>traduction symbolique de «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, avec <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>».</ref>.</center> == « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C == === Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\;(m)\,</math> décrivant un mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant <math>\,t</math>, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon <ref name="théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : {{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à <math>\,M\;(m)\,</math> calculés, à l'instant <math>\,t</math>, par rapport au centre <math>\,C\,</math> du cercle de rayon <math>\,R\,</math> décrit par <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» est égal au produit du moment d’inertie de <math>\,M \,</math> par rapport à son axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation <ref> C.-à-d. l'axe du cercle décrit par <math>\,M</math>.</ref> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;</math>» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». ” === « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen === {{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> fixes dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}de moment d'inertie par rapport à <math>\,\Delta\,</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;</math>» et de vecteur rotation instantanée à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation <math>\,\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» dans le but de faire apparaître, dans le 1^er membre, après utilisation de la distributivité de <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, la puissance instantanée <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2^nd membre «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» représente la puissance cinétique du point <math>\,M\,</math> à <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date <math>\,t\,</math> lors de son mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\dot{K}_M(t)\;</math>» en effet, «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="moment d'inertie constant"> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» étant une constante caractérisant la trajectoire de <math>\,M</math>.</ref> soit <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;</math>» <ref name="expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire autour d’un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen s'écrivant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;</math>» <math>\,\big(</math>en dynamique newtonienne<math>\big)</math>, nous retrouvons <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans un mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> » «<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à M"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » <math>\,\big(</math>grandeur cinétique énergétique<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » <math>\;\ldots</math> == Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe == === Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous : {{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,</math> et <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>». === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> prend la forme ci-dessous : {{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math><ref> En effet, définissant <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>» d'où «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>».</ref> où <math>\,J_\Delta(M) = m\;R^2\,</math> est le moment d'inertie de <math>\,M\;(m)\,</math> relativement à <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon <math>\,R\;</math><reF> On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,</math> dans laquelle <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,</math> est le moment cinétique scalaire de <math>\,M\,</math> relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <math>\,\big(</math>utilisée moins fréquemment<math>\big)\,</math> ou <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <math>\,\big(</math>pratiquement jamais utilisée<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>on rappelle la relation <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,</math> avec }}<math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. == Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide == === Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces extérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces extérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> que chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)</math>, extérieur à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de forces extérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée par ce système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}se détermine comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par chaque force extérieure <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi"> En notant <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel <math>\,M_i\,</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures «}}<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>». ==== Cas d’un « système de matière en translation » ==== {{Al|5}}Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un « système discret }}en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points matériels <math>\,M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> du système soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », tous les points matériels <math>\,\color{transparent}{M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ont }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}possibilité de factoriser « scalairement » <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> le 2^nd membre de la « relation <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> » par «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », possibilité de factoriser }}l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> d’où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» ou encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}<u>remarque</u> : <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\,t\,</math> et dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <ref> Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.</ref>. ==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » est, en pratique, indéformable, il est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret }}en rotation autour d'un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> avec, à la date <math>\,t</math>, la même vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\,</math> pour tous les points <math>\,M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref> Système indéformable dans la pratique <math>\Rightarrow</math> se comportant, dans ce cas <math>\,\big(</math>le seul que nous envisageons dans la suite<math>\big)</math>, comme un solide au sens de la mécanique <math>\,\big[</math>relire la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-système_en_rotation_autour_d'un_axe-32|³²]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation<math>\big]</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrivant selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> <math>\Rightarrow</math> la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» après factorisation par <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}«<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> étant le moment scalaire résultant dynamique relativement à <math>\,\Delta\,</math> s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, soit <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, d'où finalement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire par rapport à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) =</math> {{Nobr|<math>\left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>»}} dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étan le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, soit finalement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math> <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, soit au final «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M</math> <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}d'où la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation se réécrit selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque <math>\,\big(</math>axe mobile ou immobile dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de <math>\,\mathcal{R}</math>, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures }}le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures le produit }}de sa vitesse angulaire instantanée. ==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ==== {{Al|5}}On admet que le mouvement d’un point quelconque <math>\,M_i\,</math> d'un solide <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque }}peut être considéré comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}d’une rotation instantanée autour d’un axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par <math>\,G\,</math> de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}<math>\big[</math>ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\big]\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable"> Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable" /> <math>\Rightarrow</math> {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, }}<math>\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math><ref> Après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-distributivité_de_la_multiplication_scalaire_relativement_à_l'addition_vectorielle-15|¹⁵]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math><ref> Le 2^ème terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-invariance_du_produit_mixte_par_permutation_circulaire-4|⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> Par commutativité du produit scalaire <math>\;\ldots</math></ref> soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, }}«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> En effet on reconnaît dans <math>\,\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> le vecteur moment résultant dynamique s'exerçait sur le point <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,G\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_vectoriel_d'une_force-6|⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> » ; {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, s'obtient par « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}<math>\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right] + \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>= \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> Par facorisation scalaire de <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)\,</math> dans le 1^er terme et de <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,</math> dans le 2^nd terme <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-factorisation_scalaire-29|²⁹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> En effet <math>\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> exercée sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière <math>\,\big(</math>admis<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-résultante_dynamique_exercée_sur_un_système_continu_de_matière_30|³⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}<math>\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> est le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,G</math>, <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>, exercé sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière <math>\,\big(</math>admis et détaillé dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_résultant_dynamique_vectoriel_exercé_sur_un_système_continu_de_matière_relativement_à_G-43|⁴³]] » plus loin dans ce chapitre<math>\big)</math>.</ref>{{,}} <ref name="moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,;</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> » ou <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\, \vec{u}_{\Delta_G} \right]\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\vec{u}_{\Delta_G}\,</math> vecteur unitaire orientant <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>\,\Delta_G\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) = \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\,</math> où <math>\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée du <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}solide autour de l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide<math>\big]</math>, soit encore <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right]\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\,</math> où <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\,</math> est le <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }} moment résultant dynamique scalaire <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,</math> exercé sur le solide par rapport à <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide <ref name="moment résultant dynamique scalaire "> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.</ref> <math>\Rightarrow</math> {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, se réécrit, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;</math>» <ref> Forme légèrement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;</math>».</ref> s'obtenant en ajoutant <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}<math>\bullet\;</math>la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}<math>\bullet\;</math>la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour de l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math>». === Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces intérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système des forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures }}est la somme des puissances développées, à la date <math>\;t</math>, par chaque force intérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « }}<math>\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\,</math> après factorisation scalaire par <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> dans la somme sur <math>\,_j\;</math><ref> <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math> étant une constante dans la somme discrète sur <math>\,_j</math>.</ref>{{,}} <ref name="factorisation scalaire" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}dans laquelle <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> est le vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> . ==== Autres expressions équivalentes ==== {{Al|5}}<math>\succ\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\left( i\,,\, j \right)\,</math> dans la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans la puissance développée, }}par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans la puissance développée, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels }}avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1 et 2" />, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on utilise la 1^ère relation «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» introduite dans le principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> pour factoriser scalairement <ref name="factorisation scalaire" /> le terme entre crochets par «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>», ce qui donne <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,</math>» ou, en évaluant dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}<math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t)</math> <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;</math>» par utilisation de la [[w:Relation_de_Chasles|relation de Chasles]] <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la [[w:Relation_de_Chasles|relation dite de Chasles]], connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref>, <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\,</math> est donc la dérivée temporelle, dans <math>\,\mathcal{R}</math>, du vecteur position <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}relative <math>\,\overrightarrow{M_jM_i}(t)\,</math> de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}en définissant le « référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,;</math> lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport à <math>\,\mathcal{R}\;</math>», <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\,</math> est encore égale à <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>» c.-à-d. le « vecteur vitesse <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}relative à l'instant <math>\,t\,</math> de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_j\,</math>» <ref name="égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation"> En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] » du chap.<math>25</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Edmond_Bour|Jacques Edmond Émile Bour]] (1832 - 1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de <math>\,33\,</math>ans.</ref> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>». {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Si on remplace la double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>, tous deux variant dans <math>\,\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\,</math> avec la contrainte <math>\,j > i\,</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}par une double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>, tous deux variant dans <math>\,\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\,</math> avec la contrainte <math>\,j \neq i\,</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}on compte deux fois chaque terme de la 1^ère double somme dans la 2^ème double somme <ref> En effet le terme générique de la 1^ère double somme «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\,</math> avec <math>\,j = j_0 > i = i_0\;</math>» <math>\,\big(</math>aussi terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\,j > i\big)\,</math> étant égal au terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\,j < i\,</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\,</math> avec <math>\,j = i_0 < i = j_0\;</math>» car <math>\,\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\,</math> d'une part et <math>\,\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\,</math> d'autre part, chaque terme de la 1^ère double somme se retrouve tel quel dans la 2^ème double somme avec <math>\,j > i\,</math> mais aussi sous une forme résultant de la permutation <math>\,i \leftrightarrow j\,</math> du terme précédent conduisant à <math>\,j < i\,</math> d'où la 2^ème double somme égale à deux fois la 1^ère double somme <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math>}} <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\,</math> des forces que <math>\,M_j\,</math> exerce sur tous les autres points <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}}\,</math> des forces que <math>\,\color{transparent}{M_j}\,</math> exerce sur }}<math>\,M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;</math><ref> Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}</math>, <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\,</math> ou <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\,</math> des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que <math>\,M'\,</math> exerce sur tous les autres points «<math>\;M</math> <math>\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, <math>\,\in\,\left( S \right)\,</math> ou <math>\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math>».</ref>. ==== Conséquences diverses ==== {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}est non nulle dans le cas général soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\,</math> dans le cas général » <ref name="Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures"> Contrairement à la résultante et au moment résultant en n’importe quel point origine, du système des forces intérieures, tous deux toujours nuls, pour tout système fermé de matière discret ou continu, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement à la résultante et au moment résultant en n’importe quel point origine, du système des forces intérieures, tous deux toujours nuls, pour tout système }}indéformable ou déformable ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}celle développée par le moment résultant vectoriel également nulle par nullité du moment vectoriel, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement le fait }}montre que <u>la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures</u>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement le fait montre que }}<u>ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système</u> ; <br>{{Al|3}}on peut généraliser cela au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système fermé de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}<u>la résultante dynamique et le moment résultant dynamique en n’importe quel point origine sont insuffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures</u>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}la 1^ère permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. <math>\,G\,</math> du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}le 2^nd celle du mouvement de rotation autour de <math>\,G\,</math> dans le même référentiel galiléen mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « <u>on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant</u> <math>\,\big(</math>cela ne devenant possible que si le système ne se déforme pas<math>\big)\;</math>».</ref>, la raison étant que les relations <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives }}en général individuellement non nuls, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}« la non nullité de <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» sauf cas particuliers <math>\,\big(</math>restant à préciser<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>En repérant le point «<math>\;M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\,</math> soit <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> pour base sphérique liée à <math>\,M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}la « force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> liée à <math>\,M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="déduction de la 2ème relation du principe des actions réciproques"> Se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-principe_des_actions_réciproques-51|⁵¹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\,</math> <math>\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\,</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,</math>» <br>{{Al|3}}{{Transparent|cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet }}car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}</math>», ceci établit que <br>{{Al|3}}{{Transparent|cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet }}«<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» c.-à-d. une même expression par permutation de <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>.</ref> définissant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}« l'intensité de l’interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\;</math>» simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\,</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}le « vecteur vitesse relative de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\;</math>», «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>», s’écrit, dans la « base sphérique de <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> liée à <math>\,M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» « }}<math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[</math>la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> étant orthonormée<math>\big]\,</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» l'expression, en sphérique, de la puissance développée par }}«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, soit finalament <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> [[Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( S \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( S \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, <math>\Big[</math>pour simplifier on pose <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]\,</math> en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \Gamma \right)</math>, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}exprimée en repérant «<math>\;M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\;</math>», soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}si la distance séparant deux points quelconques de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> reste constante <math>\,\big\{</math>c.-à-d. si <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> « ne se déforme pas » <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref><math>\big\}</math>, on a <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures si }}«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t) = 0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;</math>» <ref name="distance entre deux points d'un système continu fermé indéformable"> Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)</math> <math>\,\in \left( \mathcal{V} \right)^2</math>, <math>\,\in \left( S \right)^2\;</math> ou <math>\,\in \left( \Gamma \right)^2\;</math>».</ref> et on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />{{,}} <ref> Applicable pour un système fermé indéformable, discret de points matériels ou continu de matière.</ref>. == Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === ==== Énoncé ==== {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique à la somme }}de celle développée par les forces intérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. ==== Démonstration ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire </u> : La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : La démonstration }}est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : La démonstration }}pourrait être refaite <math>\,\big(</math>bien qu'un peu plus lourde d'exposition<math>\big)\,</math> pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel <math>\,M_i\;</math><ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on applique }}«<math>\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu"> Pour <math>\,M\;\in\,</math> à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> s'écrit : * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( S \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, }}on ajoute, membre à membre, les <math>\,N\,</math> relations définies ci-dessus <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue"> La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> par une intégrale volumique sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, si ce système est d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> par une intégrale surfacique sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ou ce système est d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> par une intégrale curviligne sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 1^er membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;</math>» se réécrivant «<math>\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;</math>» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition <ref> Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er membre }}est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie cinétique du système s'écrit : * «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}</math>, * «<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref> à l'instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er membre est égale }}à la puissance cinétique du système «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» au même instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 1^er terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;</math>» définit la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er terme du 2^nd membre }}à l'instant <math>\;t</math>, soit «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 2^ème terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;</math>» la puissance développée par les forces intérieures appliquées <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 2^ème terme du 2^nd membre }}au système à l'instant <math>\,t</math>, soit «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-48|⁴⁸]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, {{Al|5}}{{Transparent|Exposé : }}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels <ref> Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_point_matériel_d'un_système_continu-68|⁶⁸]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-somme_continue-71|⁷¹]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-61|⁶¹]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-73|⁷³]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-74|⁷⁴]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-75|⁷⁵]] » présentées plus haut dans ce chapitre.</ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> C.-à-d. un solide au sens de la mécanique.</ref> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème conséquence) » plus haut dans ce chapitre, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété }}« la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété « la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}est nulle c.-à-d. <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété }}utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <ref name="signification de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> étant la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}à l'instant <math>\,t\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> en cinétique newtonienne, à savoir <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="énergie cinétique d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> par dérivation temporelle, l'expression <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}de la puissance cinétique newtonienne, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\dot{K}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 \right\rbrace = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2 \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}de plus un tel « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="système en translation" /> » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », de plus un tel « }}théorème de la puissance cinétique adapté à un solide dans un référentiel galiléen <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\;\Delta\;</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|<math>\;\big\{</math>c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ne nécessite pas que <math>\;\Delta\;</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, le moment scalaire étant évalué par rapport à <math>\;\Delta\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique" />, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] }} ofiztvyqppq0jgk3rkkq2eq6t0cch3g 987433 987425 2026-10-15T18:35:05Z Phl7605 31541 /* Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen */ 987433 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) == === Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque"> Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}s'écrit selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste"> Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.</ref> avec <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>. === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie par <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste" /> se réécrit, dans le cas où <math>\,M\,</math> est en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, pour lequel <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> a pour forme <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}intrinsèque «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» <ref name="forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\big]\,</math> soit, en explicitant <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}dans la définition de <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;</math>» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » <math>\,\big(</math>ce qui laisse ce dernier invariant <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref> La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;</math>».</ref> avec «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,</math> vecteur moment de <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> en <math>\,A\,</math> noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment vectoriel d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée"> Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant <math>\,A\,</math> par le centre <math>\,C\,</math> du cercle.</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation du point <math>\,M\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;</math>» avec }}<math>\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,</math> le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe <math>\,\Delta\,</math> noté <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit au final <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme nettement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref>. === Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\,M\,</math> de « mouvement quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\;M\;</math> de « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, avec <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque <math>\,\big(</math>c.-à-d. aussi de mouvement circulaire<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, pour <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> est la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2^nd membre, }}pour <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire de centre <math>\,C</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,</math> en <math>\,C</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}dans le cas où le point <math>\,M\,</math> a un mouvement « circulaire d'axe <math>\,\Delta\;</math>» <ref> Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.</ref>, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;</math>», <br>traduction symbolique de «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, avec <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>».</ref>.</center> == « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C == === Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\;(m)\,</math> décrivant un mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant <math>\,t</math>, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon <ref name="théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : {{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à <math>\,M\;(m)\,</math> calculés, à l'instant <math>\,t</math>, par rapport au centre <math>\,C\,</math> du cercle de rayon <math>\,R\,</math> décrit par <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» est égal au produit du moment d’inertie de <math>\,M \,</math> par rapport à son axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation <ref> C.-à-d. l'axe du cercle décrit par <math>\,M</math>.</ref> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;</math>» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». ” === « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen === {{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> fixes dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}de moment d'inertie par rapport à <math>\,\Delta\,</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;</math>» et de vecteur rotation instantanée à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation <math>\,\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» dans le but de faire apparaître, dans le 1^er membre, après utilisation de la distributivité de <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, la puissance instantanée <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2^nd membre «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» représente la puissance cinétique du point <math>\,M\,</math> à <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date <math>\,t\,</math> lors de son mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\dot{K}_M(t)\;</math>» en effet, «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="moment d'inertie constant"> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» étant une constante caractérisant la trajectoire de <math>\,M</math>.</ref> soit <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;</math>» <ref name="expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire autour d’un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen s'écrivant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;</math>» <math>\,\big(</math>en dynamique newtonienne<math>\big)</math>, nous retrouvons <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans un mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> » «<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à M"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » <math>\,\big(</math>grandeur cinétique énergétique<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » <math>\;\ldots</math> == Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe == === Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous : {{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,</math> et <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>». === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> prend la forme ci-dessous : {{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math><ref> En effet, définissant <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>» d'où «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>».</ref> où <math>\,J_\Delta(M) = m\;R^2\,</math> est le moment d'inertie de <math>\,M\;(m)\,</math> relativement à <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon <math>\,R\;</math><reF> On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,</math> dans laquelle <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,</math> est le moment cinétique scalaire de <math>\,M\,</math> relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <math>\,\big(</math>utilisée moins fréquemment<math>\big)\,</math> ou <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <math>\,\big(</math>pratiquement jamais utilisée<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>on rappelle la relation <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,</math> avec }}<math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. == Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide == === Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces extérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces extérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> que chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)</math>, extérieur à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de forces extérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée par ce système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}se détermine comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par chaque force extérieure <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi"> En notant <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel <math>\,M_i\,</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures «}}<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>». ==== Cas d’un « système de matière en translation » ==== {{Al|5}}Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un « système discret }}en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points matériels <math>\,M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> du système soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », tous les points matériels <math>\,\color{transparent}{M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ont }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}possibilité de factoriser « scalairement » <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> le 2^nd membre de la « relation <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> » par «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », possibilité de factoriser }}l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> d’où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» ou encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}<u>remarque</u> : <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\,t\,</math> et dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <ref> Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.</ref>. ==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » est, en pratique, indéformable, il est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret }}en rotation autour d'un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> avec, à la date <math>\,t</math>, la même vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\,</math> pour tous les points <math>\,M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref> Système indéformable dans la pratique <math>\Rightarrow</math> se comportant, dans ce cas <math>\,\big(</math>le seul que nous envisageons dans la suite<math>\big)</math>, comme un solide au sens de la mécanique <math>\,\big[</math>relire la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-système_en_rotation_autour_d'un_axe-32|³²]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation<math>\big]</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrivant selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> <math>\Rightarrow</math> la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» après factorisation par <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}«<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> étant le moment scalaire résultant dynamique relativement à <math>\,\Delta\,</math> s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, soit <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, d'où finalement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire par rapport à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) =</math> {{Nobr|<math>\left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>»}} dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étan le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, soit finalement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math> <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, soit au final «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M</math> <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}d'où la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation se réécrit selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque <math>\,\big(</math>axe mobile ou immobile dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de <math>\,\mathcal{R}</math>, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures }}le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures le produit }}de sa vitesse angulaire instantanée. ==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ==== {{Al|5}}On admet que le mouvement d’un point quelconque <math>\,M_i\,</math> d'un solide <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque }}peut être considéré comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}d’une rotation instantanée autour d’un axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par <math>\,G\,</math> de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}<math>\big[</math>ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\big]\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable"> Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable" /> <math>\Rightarrow</math> {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, }}<math>\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math><ref> Après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-distributivité_de_la_multiplication_scalaire_relativement_à_l'addition_vectorielle-15|¹⁵]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math><ref> Le 2^ème terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-invariance_du_produit_mixte_par_permutation_circulaire-4|⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> Par commutativité du produit scalaire <math>\;\ldots</math></ref> soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, }}«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> En effet on reconnaît dans <math>\,\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> le vecteur moment résultant dynamique s'exerçait sur le point <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,G\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_vectoriel_d'une_force-6|⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> » ; {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, s'obtient par « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}<math>\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right] + \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>= \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> Par facorisation scalaire de <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)\,</math> dans le 1^er terme et de <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,</math> dans le 2^nd terme <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-factorisation_scalaire-29|²⁹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> En effet <math>\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> exercée sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière <math>\,\big(</math>admis<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-résultante_dynamique_exercée_sur_un_système_continu_de_matière_30|³⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}<math>\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> est le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,G</math>, <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>, exercé sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière <math>\,\big(</math>admis et détaillé dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_résultant_dynamique_vectoriel_exercé_sur_un_système_continu_de_matière_relativement_à_G-43|⁴³]] » plus loin dans ce chapitre<math>\big)</math>.</ref>{{,}} <ref name="moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,;</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> » ou <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\, \vec{u}_{\Delta_G} \right]\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\vec{u}_{\Delta_G}\,</math> vecteur unitaire orientant <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>\,\Delta_G\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) = \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\,</math> où <math>\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée du <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}solide autour de l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide<math>\big]</math>, soit encore <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right]\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\,</math> où <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\,</math> est le <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }} moment résultant dynamique scalaire <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,</math> exercé sur le solide par rapport à <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide <ref name="moment résultant dynamique scalaire "> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.</ref> <math>\Rightarrow</math> {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, se réécrit, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;</math>» <ref> Forme légèrement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;</math>».</ref> s'obtenant en ajoutant <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}<math>\bullet\;</math>la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}<math>\bullet\;</math>la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour de l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math>». === Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces intérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système des forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures }}est la somme des puissances développées, à la date <math>\;t</math>, par chaque force intérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « }}<math>\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\,</math> après factorisation scalaire par <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> dans la somme sur <math>\,_j\;</math><ref> <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math> étant une constante dans la somme discrète sur <math>\,_j</math>.</ref>{{,}} <ref name="factorisation scalaire" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}dans laquelle <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> est le vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> . ==== Autres expressions équivalentes ==== {{Al|5}}<math>\succ\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\left( i\,,\, j \right)\,</math> dans la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans la puissance développée, }}par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans la puissance développée, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels }}avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1 et 2" />, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on utilise la 1^ère relation «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» introduite dans le principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> pour factoriser scalairement <ref name="factorisation scalaire" /> le terme entre crochets par «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>», ce qui donne <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,</math>» ou, en évaluant dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}<math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t)</math> <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;</math>» par utilisation de la [[w:Relation_de_Chasles|relation de Chasles]] <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la [[w:Relation_de_Chasles|relation dite de Chasles]], connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref>, <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\,</math> est donc la dérivée temporelle, dans <math>\,\mathcal{R}</math>, du vecteur position <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}relative <math>\,\overrightarrow{M_jM_i}(t)\,</math> de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}en définissant le « référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,;</math> lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport à <math>\,\mathcal{R}\;</math>», <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\,</math> est encore égale à <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>» c.-à-d. le « vecteur vitesse <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}relative à l'instant <math>\,t\,</math> de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_j\,</math>» <ref name="égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation"> En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] » du chap.<math>25</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Edmond_Bour|Jacques Edmond Émile Bour]] (1832 - 1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de <math>\,33\,</math>ans.</ref> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>». {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Si on remplace la double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>, tous deux variant dans <math>\,\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\,</math> avec la contrainte <math>\,j > i\,</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}par une double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>, tous deux variant dans <math>\,\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\,</math> avec la contrainte <math>\,j \neq i\,</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}on compte deux fois chaque terme de la 1^ère double somme dans la 2^ème double somme <ref> En effet le terme générique de la 1^ère double somme «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\,</math> avec <math>\,j = j_0 > i = i_0\;</math>» <math>\,\big(</math>aussi terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\,j > i\big)\,</math> étant égal au terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\,j < i\,</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\,</math> avec <math>\,j = i_0 < i = j_0\;</math>» car <math>\,\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\,</math> d'une part et <math>\,\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\,</math> d'autre part, chaque terme de la 1^ère double somme se retrouve tel quel dans la 2^ème double somme avec <math>\,j > i\,</math> mais aussi sous une forme résultant de la permutation <math>\,i \leftrightarrow j\,</math> du terme précédent conduisant à <math>\,j < i\,</math> d'où la 2^ème double somme égale à deux fois la 1^ère double somme <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math>}} <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\,</math> des forces que <math>\,M_j\,</math> exerce sur tous les autres points <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}}\,</math> des forces que <math>\,\color{transparent}{M_j}\,</math> exerce sur }}<math>\,M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;</math><ref> Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}</math>, <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\,</math> ou <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\,</math> des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que <math>\,M'\,</math> exerce sur tous les autres points «<math>\;M</math> <math>\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, <math>\,\in\,\left( S \right)\,</math> ou <math>\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math>».</ref>. ==== Conséquences diverses ==== {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}est non nulle dans le cas général soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\,</math> dans le cas général » <ref name="Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures"> Contrairement à la résultante et au moment résultant en n’importe quel point origine, du système des forces intérieures, tous deux toujours nuls, pour tout système fermé de matière discret ou continu, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement à la résultante et au moment résultant en n’importe quel point origine, du système des forces intérieures, tous deux toujours nuls, pour tout système }}indéformable ou déformable ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}celle développée par le moment résultant vectoriel également nulle par nullité du moment vectoriel, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement le fait }}montre que <u>la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures</u>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement le fait montre que }}<u>ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système</u> ; <br>{{Al|3}}on peut généraliser cela au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système fermé de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}<u>la résultante dynamique et le moment résultant dynamique en n’importe quel point origine sont insuffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures</u>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}la 1^ère permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. <math>\,G\,</math> du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}le 2^nd celle du mouvement de rotation autour de <math>\,G\,</math> dans le même référentiel galiléen mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « <u>on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant</u> <math>\,\big(</math>cela ne devenant possible que si le système ne se déforme pas<math>\big)\;</math>».</ref>, la raison étant que les relations <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives }}en général individuellement non nuls, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}« la non nullité de <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» sauf cas particuliers <math>\,\big(</math>restant à préciser<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>En repérant le point «<math>\;M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\,</math> soit <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> pour base sphérique liée à <math>\,M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}la « force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> liée à <math>\,M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="déduction de la 2ème relation du principe des actions réciproques"> Se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-principe_des_actions_réciproques-51|⁵¹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\,</math> <math>\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\,</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,</math>» <br>{{Al|3}}{{Transparent|cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet }}car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}</math>», ceci établit que <br>{{Al|3}}{{Transparent|cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet }}«<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» c.-à-d. une même expression par permutation de <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>.</ref> définissant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}« l'intensité de l’interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\;</math>» simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\,</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}le « vecteur vitesse relative de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\;</math>», «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>», s’écrit, dans la « base sphérique de <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> liée à <math>\,M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» « }}<math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[</math>la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> étant orthonormée<math>\big]\,</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» l'expression, en sphérique, de la puissance développée par }}«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, soit finalament <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> [[Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( S \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( S \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, <math>\Big[</math>pour simplifier on pose <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]\,</math> en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \Gamma \right)</math>, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}exprimée en repérant «<math>\;M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\;</math>», soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}si la distance séparant deux points quelconques de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> reste constante <math>\,\big\{</math>c.-à-d. si <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> « ne se déforme pas » <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref><math>\big\}</math>, on a <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures si }}«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t) = 0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;</math>» <ref name="distance entre deux points d'un système continu fermé indéformable"> Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)</math> <math>\,\in \left( \mathcal{V} \right)^2</math>, <math>\,\in \left( S \right)^2\;</math> ou <math>\,\in \left( \Gamma \right)^2\;</math>».</ref> et on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />{{,}} <ref> Applicable pour un système fermé indéformable, discret de points matériels ou continu de matière.</ref>. == Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === ==== Énoncé ==== {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique à la somme }}de celle développée par les forces intérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. ==== Démonstration ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire </u> : La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : La démonstration }}est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : La démonstration }}pourrait être refaite <math>\,\big(</math>bien qu'un peu plus lourde d'exposition<math>\big)\,</math> pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel <math>\,M_i\;</math><ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on applique }}«<math>\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu"> Pour <math>\,M\;\in\,</math> à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> s'écrit : * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( S \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, }}on ajoute, membre à membre, les <math>\,N\,</math> relations définies ci-dessus <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue"> La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> par une intégrale volumique sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, si ce système est d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> par une intégrale surfacique sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ou ce système est d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> par une intégrale curviligne sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 1^er membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;</math>» se réécrivant «<math>\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;</math>» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition <ref> Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er membre }}est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie cinétique du système s'écrit : * «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}</math>, * «<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref> à l'instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er membre est égale }}à la puissance cinétique du système «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» au même instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 1^er terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;</math>» définit la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er terme du 2^nd membre }}à l'instant <math>\;t</math>, soit «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 2^ème terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;</math>» la puissance développée par les forces intérieures appliquées <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 2^ème terme du 2^nd membre }}au système à l'instant <math>\,t</math>, soit «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-48|⁴⁸]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, {{Al|5}}{{Transparent|Exposé : }}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels <ref> Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_point_matériel_d'un_système_continu-68|⁶⁸]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-somme_continue-71|⁷¹]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-61|⁶¹]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-73|⁷³]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-74|⁷⁴]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-75|⁷⁵]] » présentées plus haut dans ce chapitre.</ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> C.-à-d. un solide au sens de la mécanique.</ref> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème conséquence) » plus haut dans ce chapitre, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété }}« la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété « la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}est nulle c.-à-d. <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété }}utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <ref name="signification de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> étant la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}à l'instant <math>\,t\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> en cinétique newtonienne, à savoir <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="énergie cinétique d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> par dérivation temporelle, l'expression <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}de la puissance cinétique newtonienne, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\dot{K}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 \right\rbrace = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2 \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}de plus un tel « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="système en translation" /> » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », de plus un tel « }}théorème de la puissance cinétique adapté à un solide dans un référentiel galiléen <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\;\Delta\;</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|<math>\;\big\{</math>c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ne nécessite pas que <math>\;\Delta\;</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, le moment scalaire étant évalué par rapport à <math>\;\Delta\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique" />, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] }} 1cw5cf784s7fykm35p02xmvc1lamsvg 987434 987433 2026-10-15T19:22:27Z Phl7605 31541 /* Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen */ 987434 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) == === Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque"> Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}s'écrit selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste"> Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.</ref> avec <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>. === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie par <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste" /> se réécrit, dans le cas où <math>\,M\,</math> est en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, pour lequel <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> a pour forme <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}intrinsèque «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» <ref name="forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\big]\,</math> soit, en explicitant <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}dans la définition de <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;</math>» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » <math>\,\big(</math>ce qui laisse ce dernier invariant <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref> La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;</math>».</ref> avec «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,</math> vecteur moment de <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> en <math>\,A\,</math> noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment vectoriel d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée"> Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant <math>\,A\,</math> par le centre <math>\,C\,</math> du cercle.</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation du point <math>\,M\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;</math>» avec }}<math>\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,</math> le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe <math>\,\Delta\,</math> noté <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit au final <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme nettement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref>. === Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\,M\,</math> de « mouvement quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\;M\;</math> de « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, avec <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque <math>\,\big(</math>c.-à-d. aussi de mouvement circulaire<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, pour <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> est la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2^nd membre, }}pour <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire de centre <math>\,C</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,</math> en <math>\,C</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}dans le cas où le point <math>\,M\,</math> a un mouvement « circulaire d'axe <math>\,\Delta\;</math>» <ref> Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.</ref>, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;</math>», <br>traduction symbolique de «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, avec <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>».</ref>.</center> == « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C == === Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\;(m)\,</math> décrivant un mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant <math>\,t</math>, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon <ref name="théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : {{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à <math>\,M\;(m)\,</math> calculés, à l'instant <math>\,t</math>, par rapport au centre <math>\,C\,</math> du cercle de rayon <math>\,R\,</math> décrit par <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» est égal au produit du moment d’inertie de <math>\,M \,</math> par rapport à son axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation <ref> C.-à-d. l'axe du cercle décrit par <math>\,M</math>.</ref> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;</math>» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». ” === « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen === {{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> fixes dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}de moment d'inertie par rapport à <math>\,\Delta\,</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;</math>» et de vecteur rotation instantanée à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation <math>\,\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» dans le but de faire apparaître, dans le 1^er membre, après utilisation de la distributivité de <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, la puissance instantanée <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2^nd membre «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» représente la puissance cinétique du point <math>\,M\,</math> à <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date <math>\,t\,</math> lors de son mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\dot{K}_M(t)\;</math>» en effet, «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="moment d'inertie constant"> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» étant une constante caractérisant la trajectoire de <math>\,M</math>.</ref> soit <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;</math>» <ref name="expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire autour d’un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen s'écrivant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;</math>» <math>\,\big(</math>en dynamique newtonienne<math>\big)</math>, nous retrouvons <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans un mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> » «<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à M"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » <math>\,\big(</math>grandeur cinétique énergétique<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » <math>\;\ldots</math> == Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe == === Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous : {{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,</math> et <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>». === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> prend la forme ci-dessous : {{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math><ref> En effet, définissant <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>» d'où «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>».</ref> où <math>\,J_\Delta(M) = m\;R^2\,</math> est le moment d'inertie de <math>\,M\;(m)\,</math> relativement à <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon <math>\,R\;</math><reF> On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,</math> dans laquelle <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,</math> est le moment cinétique scalaire de <math>\,M\,</math> relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <math>\,\big(</math>utilisée moins fréquemment<math>\big)\,</math> ou <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <math>\,\big(</math>pratiquement jamais utilisée<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>on rappelle la relation <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,</math> avec }}<math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. == Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide == === Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces extérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces extérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> que chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)</math>, extérieur à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de forces extérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée par ce système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}se détermine comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par chaque force extérieure <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi"> En notant <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel <math>\,M_i\,</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures «}}<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>». ==== Cas d’un « système de matière en translation » ==== {{Al|5}}Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un « système discret }}en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points matériels <math>\,M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> du système soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », tous les points matériels <math>\,\color{transparent}{M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ont }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}possibilité de factoriser « scalairement » <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> le 2^nd membre de la « relation <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> » par «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », possibilité de factoriser }}l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> d’où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» ou encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}<u>remarque</u> : <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\,t\,</math> et dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <ref> Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.</ref>. ==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » est, en pratique, indéformable, il est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret }}en rotation autour d'un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> avec, à la date <math>\,t</math>, la même vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\,</math> pour tous les points <math>\,M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref> Système indéformable dans la pratique <math>\Rightarrow</math> se comportant, dans ce cas <math>\,\big(</math>le seul que nous envisageons dans la suite<math>\big)</math>, comme un solide au sens de la mécanique <math>\,\big[</math>relire la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-système_en_rotation_autour_d'un_axe-32|³²]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation<math>\big]</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrivant selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> <math>\Rightarrow</math> la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» après factorisation par <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}«<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> étant le moment scalaire résultant dynamique relativement à <math>\,\Delta\,</math> s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, soit <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, d'où finalement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire par rapport à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) =</math> {{Nobr|<math>\left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>»}} dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étan le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, soit finalement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math> <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, soit au final «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M</math> <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}d'où la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation se réécrit selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque <math>\,\big(</math>axe mobile ou immobile dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de <math>\,\mathcal{R}</math>, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures }}le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures le produit }}de sa vitesse angulaire instantanée. ==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ==== {{Al|5}}On admet que le mouvement d’un point quelconque <math>\,M_i\,</math> d'un solide <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque }}peut être considéré comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}d’une rotation instantanée autour d’un axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par <math>\,G\,</math> de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}<math>\big[</math>ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\big]\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable"> Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable" /> <math>\Rightarrow</math> {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, }}<math>\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math><ref> Après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-distributivité_de_la_multiplication_scalaire_relativement_à_l'addition_vectorielle-15|¹⁵]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math><ref> Le 2^ème terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-invariance_du_produit_mixte_par_permutation_circulaire-4|⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> Par commutativité du produit scalaire <math>\;\ldots</math></ref> soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, }}«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> En effet on reconnaît dans <math>\,\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> le vecteur moment résultant dynamique s'exerçait sur le point <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,G\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_vectoriel_d'une_force-6|⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> » ; {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, s'obtient par « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}<math>\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right] + \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>= \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> Par facorisation scalaire de <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)\,</math> dans le 1^er terme et de <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,</math> dans le 2^nd terme <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-factorisation_scalaire-29|²⁹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> En effet <math>\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> exercée sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière <math>\,\big(</math>admis<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-résultante_dynamique_exercée_sur_un_système_continu_de_matière_30|³⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}<math>\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> est le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,G</math>, <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>, exercé sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière <math>\,\big(</math>admis et détaillé dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_résultant_dynamique_vectoriel_exercé_sur_un_système_continu_de_matière_relativement_à_G-43|⁴³]] » plus loin dans ce chapitre<math>\big)</math>.</ref>{{,}} <ref name="moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,;</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> » ou <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\, \vec{u}_{\Delta_G} \right]\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\vec{u}_{\Delta_G}\,</math> vecteur unitaire orientant <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>\,\Delta_G\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) = \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\,</math> où <math>\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée du <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}solide autour de l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide<math>\big]</math>, soit encore <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right]\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\,</math> où <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\,</math> est le <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }} moment résultant dynamique scalaire <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,</math> exercé sur le solide par rapport à <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide <ref name="moment résultant dynamique scalaire "> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.</ref> <math>\Rightarrow</math> {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, se réécrit, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;</math>» <ref> Forme légèrement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;</math>».</ref> s'obtenant en ajoutant <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}<math>\bullet\;</math>la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}<math>\bullet\;</math>la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour de l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math>». === Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces intérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système des forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures }}est la somme des puissances développées, à la date <math>\;t</math>, par chaque force intérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « }}<math>\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\,</math> après factorisation scalaire par <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> dans la somme sur <math>\,_j\;</math><ref> <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math> étant une constante dans la somme discrète sur <math>\,_j</math>.</ref>{{,}} <ref name="factorisation scalaire" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}dans laquelle <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> est le vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> . ==== Autres expressions équivalentes ==== {{Al|5}}<math>\succ\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\left( i\,,\, j \right)\,</math> dans la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans la puissance développée, }}par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans la puissance développée, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels }}avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1 et 2" />, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on utilise la 1^ère relation «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» introduite dans le principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> pour factoriser scalairement <ref name="factorisation scalaire" /> le terme entre crochets par «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>», ce qui donne <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,</math>» ou, en évaluant dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}<math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t)</math> <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;</math>» par utilisation de la [[w:Relation_de_Chasles|relation de Chasles]] <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la [[w:Relation_de_Chasles|relation dite de Chasles]], connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref>, <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\,</math> est donc la dérivée temporelle, dans <math>\,\mathcal{R}</math>, du vecteur position <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}relative <math>\,\overrightarrow{M_jM_i}(t)\,</math> de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}en définissant le « référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,;</math> lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport à <math>\,\mathcal{R}\;</math>», <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\,</math> est encore égale à <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>» c.-à-d. le « vecteur vitesse <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}relative à l'instant <math>\,t\,</math> de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_j\,</math>» <ref name="égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation"> En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] » du chap.<math>25</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Edmond_Bour|Jacques Edmond Émile Bour]] (1832 - 1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de <math>\,33\,</math>ans.</ref> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>». {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Si on remplace la double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>, tous deux variant dans <math>\,\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\,</math> avec la contrainte <math>\,j > i\,</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}par une double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>, tous deux variant dans <math>\,\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\,</math> avec la contrainte <math>\,j \neq i\,</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}on compte deux fois chaque terme de la 1^ère double somme dans la 2^ème double somme <ref> En effet le terme générique de la 1^ère double somme «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\,</math> avec <math>\,j = j_0 > i = i_0\;</math>» <math>\,\big(</math>aussi terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\,j > i\big)\,</math> étant égal au terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\,j < i\,</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\,</math> avec <math>\,j = i_0 < i = j_0\;</math>» car <math>\,\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\,</math> d'une part et <math>\,\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\,</math> d'autre part, chaque terme de la 1^ère double somme se retrouve tel quel dans la 2^ème double somme avec <math>\,j > i\,</math> mais aussi sous une forme résultant de la permutation <math>\,i \leftrightarrow j\,</math> du terme précédent conduisant à <math>\,j < i\,</math> d'où la 2^ème double somme égale à deux fois la 1^ère double somme <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math>}} <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\,</math> des forces que <math>\,M_j\,</math> exerce sur tous les autres points <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}}\,</math> des forces que <math>\,\color{transparent}{M_j}\,</math> exerce sur }}<math>\,M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;</math><ref> Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}</math>, <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\,</math> ou <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\,</math> des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que <math>\,M'\,</math> exerce sur tous les autres points «<math>\;M</math> <math>\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, <math>\,\in\,\left( S \right)\,</math> ou <math>\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math>».</ref>. ==== Conséquences diverses ==== {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}est non nulle dans le cas général soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\,</math> dans le cas général » <ref name="Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures"> Contrairement à la résultante et au moment résultant en n’importe quel point origine, du système des forces intérieures, tous deux toujours nuls, pour tout système fermé de matière discret ou continu, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement à la résultante et au moment résultant en n’importe quel point origine, du système des forces intérieures, tous deux toujours nuls, pour tout système }}indéformable ou déformable ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}celle développée par le moment résultant vectoriel également nulle par nullité du moment vectoriel, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement le fait }}montre que <u>la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures</u>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement le fait montre que }}<u>ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système</u> ; <br>{{Al|3}}on peut généraliser cela au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système fermé de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}<u>la résultante dynamique et le moment résultant dynamique en n’importe quel point origine sont insuffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures</u>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}la 1^ère permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. <math>\,G\,</math> du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}le 2^nd celle du mouvement de rotation autour de <math>\,G\,</math> dans le même référentiel galiléen mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « <u>on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant</u> <math>\,\big(</math>cela ne devenant possible que si le système ne se déforme pas<math>\big)\;</math>».</ref>, la raison étant que les relations <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives }}en général individuellement non nuls, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}« la non nullité de <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» sauf cas particuliers <math>\,\big(</math>restant à préciser<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>En repérant le point «<math>\;M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\,</math> soit <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> pour base sphérique liée à <math>\,M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}la « force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> liée à <math>\,M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="déduction de la 2ème relation du principe des actions réciproques"> Se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-principe_des_actions_réciproques-51|⁵¹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\,</math> <math>\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\,</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,</math>» <br>{{Al|3}}{{Transparent|cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet }}car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}</math>», ceci établit que <br>{{Al|3}}{{Transparent|cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet }}«<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» c.-à-d. une même expression par permutation de <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>.</ref> définissant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}« l'intensité de l’interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\;</math>» simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\,</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}le « vecteur vitesse relative de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\;</math>», «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>», s’écrit, dans la « base sphérique de <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> liée à <math>\,M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» « }}<math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[</math>la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> étant orthonormée<math>\big]\,</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» l'expression, en sphérique, de la puissance développée par }}«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, soit finalament <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> [[Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( S \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( S \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, <math>\Big[</math>pour simplifier on pose <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]\,</math> en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \Gamma \right)</math>, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}exprimée en repérant «<math>\;M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\;</math>», soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}si la distance séparant deux points quelconques de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> reste constante <math>\,\big\{</math>c.-à-d. si <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> « ne se déforme pas » <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref><math>\big\}</math>, on a <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures si }}«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t) = 0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;</math>» <ref name="distance entre deux points d'un système continu fermé indéformable"> Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)</math> <math>\,\in \left( \mathcal{V} \right)^2</math>, <math>\,\in \left( S \right)^2\;</math> ou <math>\,\in \left( \Gamma \right)^2\;</math>».</ref> et on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />{{,}} <ref> Applicable pour un système fermé indéformable, discret de points matériels ou continu de matière.</ref>. == Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === ==== Énoncé ==== {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique à la somme }}de celle développée par les forces intérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. ==== Démonstration ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire </u> : La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : La démonstration }}est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : La démonstration }}pourrait être refaite <math>\,\big(</math>bien qu'un peu plus lourde d'exposition<math>\big)\,</math> pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel <math>\,M_i\;</math><ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on applique }}«<math>\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu"> Pour <math>\,M\;\in\,</math> à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> s'écrit : * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( S \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, }}on ajoute, membre à membre, les <math>\,N\,</math> relations définies ci-dessus <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue"> La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> par une intégrale volumique sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, si ce système est d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> par une intégrale surfacique sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ou ce système est d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> par une intégrale curviligne sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 1^er membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;</math>» se réécrivant «<math>\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;</math>» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition <ref> Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er membre }}est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie cinétique du système s'écrit : * «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}</math>, * «<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref> à l'instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er membre est égale }}à la puissance cinétique du système «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» au même instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 1^er terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;</math>» définit la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er terme du 2^nd membre }}à l'instant <math>\;t</math>, soit «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 2^ème terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;</math>» la puissance développée par les forces intérieures appliquées <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 2^ème terme du 2^nd membre }}au système à l'instant <math>\,t</math>, soit «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-48|⁴⁸]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, {{Al|5}}{{Transparent|Exposé : }}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels <ref> Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_point_matériel_d'un_système_continu-68|⁶⁸]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-somme_continue-71|⁷¹]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-61|⁶¹]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-73|⁷³]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-74|⁷⁴]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-75|⁷⁵]] » présentées plus haut dans ce chapitre.</ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> C.-à-d. un solide au sens de la mécanique.</ref> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème conséquence) » plus haut dans ce chapitre, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété }}« la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété « la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}est nulle c.-à-d. <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété }}utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <ref name="signification de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> étant la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}à l'instant <math>\,t\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> en cinétique newtonienne, à savoir <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="énergie cinétique d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> par dérivation temporelle, l'expression <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}de la puissance cinétique newtonienne, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\dot{K}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 \right\rbrace = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2 \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}de plus un tel « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="système en translation" /> » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », de plus un tel « }}théorème de la puissance cinétique adapté à un solide dans un référentiel galiléen <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système fermé <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, à la date <math>\,t</math>, dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique est égale à }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}en dynamique newtonienne, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, }}<math>\,\big[\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> étant la résultante dynamique appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et <math>\,G\,</math> le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]\,</math> avec «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\;\Delta\;</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|<math>\;\big\{</math>c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ne nécessite pas que <math>\;\Delta\;</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, le moment scalaire étant évalué par rapport à <math>\;\Delta\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique" />, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] }} fls5jma0zbs5roao4889m5zca5mfmkm 987435 987434 2026-10-15T19:26:51Z Phl7605 31541 /* Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen */ 987435 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) == === Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque"> Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}s'écrit selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste"> Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.</ref> avec <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>. === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie par <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste" /> se réécrit, dans le cas où <math>\,M\,</math> est en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, pour lequel <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> a pour forme <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}intrinsèque «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» <ref name="forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\big]\,</math> soit, en explicitant <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}dans la définition de <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;</math>» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » <math>\,\big(</math>ce qui laisse ce dernier invariant <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref> La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;</math>».</ref> avec «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,</math> vecteur moment de <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> en <math>\,A\,</math> noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment vectoriel d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée"> Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant <math>\,A\,</math> par le centre <math>\,C\,</math> du cercle.</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation du point <math>\,M\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;</math>» avec }}<math>\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,</math> le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe <math>\,\Delta\,</math> noté <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit au final <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme nettement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref>. === Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\,M\,</math> de « mouvement quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\;M\;</math> de « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, avec <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque <math>\,\big(</math>c.-à-d. aussi de mouvement circulaire<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, pour <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> est la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2^nd membre, }}pour <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire de centre <math>\,C</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,</math> en <math>\,C</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}dans le cas où le point <math>\,M\,</math> a un mouvement « circulaire d'axe <math>\,\Delta\;</math>» <ref> Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.</ref>, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;</math>», <br>traduction symbolique de «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, avec <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>».</ref>.</center> == « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C == === Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\;(m)\,</math> décrivant un mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant <math>\,t</math>, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon <ref name="théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : {{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à <math>\,M\;(m)\,</math> calculés, à l'instant <math>\,t</math>, par rapport au centre <math>\,C\,</math> du cercle de rayon <math>\,R\,</math> décrit par <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» est égal au produit du moment d’inertie de <math>\,M \,</math> par rapport à son axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation <ref> C.-à-d. l'axe du cercle décrit par <math>\,M</math>.</ref> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;</math>» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». ” === « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen === {{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> fixes dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}de moment d'inertie par rapport à <math>\,\Delta\,</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;</math>» et de vecteur rotation instantanée à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation <math>\,\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» dans le but de faire apparaître, dans le 1^er membre, après utilisation de la distributivité de <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, la puissance instantanée <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2^nd membre «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» représente la puissance cinétique du point <math>\,M\,</math> à <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date <math>\,t\,</math> lors de son mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\dot{K}_M(t)\;</math>» en effet, «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="moment d'inertie constant"> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» étant une constante caractérisant la trajectoire de <math>\,M</math>.</ref> soit <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;</math>» <ref name="expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire autour d’un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen s'écrivant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;</math>» <math>\,\big(</math>en dynamique newtonienne<math>\big)</math>, nous retrouvons <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans un mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> » «<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à M"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » <math>\,\big(</math>grandeur cinétique énergétique<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » <math>\;\ldots</math> == Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe == === Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous : {{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,</math> et <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>». === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> prend la forme ci-dessous : {{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math><ref> En effet, définissant <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>» d'où «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>».</ref> où <math>\,J_\Delta(M) = m\;R^2\,</math> est le moment d'inertie de <math>\,M\;(m)\,</math> relativement à <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon <math>\,R\;</math><reF> On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,</math> dans laquelle <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,</math> est le moment cinétique scalaire de <math>\,M\,</math> relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <math>\,\big(</math>utilisée moins fréquemment<math>\big)\,</math> ou <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <math>\,\big(</math>pratiquement jamais utilisée<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>on rappelle la relation <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,</math> avec }}<math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. == Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide == === Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces extérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces extérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> que chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)</math>, extérieur à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de forces extérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée par ce système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}se détermine comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par chaque force extérieure <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi"> En notant <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel <math>\,M_i\,</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures «}}<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>». ==== Cas d’un « système de matière en translation » ==== {{Al|5}}Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un « système discret }}en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points matériels <math>\,M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> du système soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », tous les points matériels <math>\,\color{transparent}{M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ont }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}possibilité de factoriser « scalairement » <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> le 2^nd membre de la « relation <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> » par «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », possibilité de factoriser }}l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> d’où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» ou encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}<u>remarque</u> : <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\,t\,</math> et dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <ref> Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.</ref>. ==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » est, en pratique, indéformable, il est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret }}en rotation autour d'un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> avec, à la date <math>\,t</math>, la même vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\,</math> pour tous les points <math>\,M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref> Système indéformable dans la pratique <math>\Rightarrow</math> se comportant, dans ce cas <math>\,\big(</math>le seul que nous envisageons dans la suite<math>\big)</math>, comme un solide au sens de la mécanique <math>\,\big[</math>relire la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-système_en_rotation_autour_d'un_axe-32|³²]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation<math>\big]</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrivant selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> <math>\Rightarrow</math> la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» après factorisation par <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}«<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> étant le moment scalaire résultant dynamique relativement à <math>\,\Delta\,</math> s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, soit <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, d'où finalement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire par rapport à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) =</math> {{Nobr|<math>\left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>»}} dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étan le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, soit finalement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math> <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, soit au final «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M</math> <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}d'où la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation se réécrit selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque <math>\,\big(</math>axe mobile ou immobile dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de <math>\,\mathcal{R}</math>, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures }}le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures le produit }}de sa vitesse angulaire instantanée. ==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ==== {{Al|5}}On admet que le mouvement d’un point quelconque <math>\,M_i\,</math> d'un solide <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque }}peut être considéré comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}d’une rotation instantanée autour d’un axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par <math>\,G\,</math> de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}<math>\big[</math>ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\big]\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable"> Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable" /> <math>\Rightarrow</math> {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, }}<math>\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math><ref> Après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-distributivité_de_la_multiplication_scalaire_relativement_à_l'addition_vectorielle-15|¹⁵]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math><ref> Le 2^ème terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-invariance_du_produit_mixte_par_permutation_circulaire-4|⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> Par commutativité du produit scalaire <math>\;\ldots</math></ref> soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, }}«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> En effet on reconnaît dans <math>\,\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> le vecteur moment résultant dynamique s'exerçait sur le point <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,G\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_vectoriel_d'une_force-6|⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> » ; {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, s'obtient par « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}<math>\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right] + \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>= \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> Par facorisation scalaire de <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)\,</math> dans le 1^er terme et de <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,</math> dans le 2^nd terme <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-factorisation_scalaire-29|²⁹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> En effet <math>\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> exercée sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière <math>\,\big(</math>admis<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-résultante_dynamique_exercée_sur_un_système_continu_de_matière_30|³⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}<math>\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> est le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,G</math>, <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>, exercé sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière <math>\,\big(</math>admis et détaillé dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_résultant_dynamique_vectoriel_exercé_sur_un_système_continu_de_matière_relativement_à_G-43|⁴³]] » plus loin dans ce chapitre<math>\big)</math>.</ref>{{,}} <ref name="moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,;</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> » ou <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\, \vec{u}_{\Delta_G} \right]\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\vec{u}_{\Delta_G}\,</math> vecteur unitaire orientant <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>\,\Delta_G\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) = \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\,</math> où <math>\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée du <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}solide autour de l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide<math>\big]</math>, soit encore <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right]\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\,</math> où <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\,</math> est le <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }} moment résultant dynamique scalaire <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,</math> exercé sur le solide par rapport à <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide <ref name="moment résultant dynamique scalaire "> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.</ref> <math>\Rightarrow</math> {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, se réécrit, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;</math>» <ref> Forme légèrement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;</math>».</ref> s'obtenant en ajoutant <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}<math>\bullet\;</math>la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}<math>\bullet\;</math>la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour de l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math>». === Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces intérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système des forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures }}est la somme des puissances développées, à la date <math>\;t</math>, par chaque force intérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « }}<math>\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\,</math> après factorisation scalaire par <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> dans la somme sur <math>\,_j\;</math><ref> <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math> étant une constante dans la somme discrète sur <math>\,_j</math>.</ref>{{,}} <ref name="factorisation scalaire" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}dans laquelle <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> est le vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> . ==== Autres expressions équivalentes ==== {{Al|5}}<math>\succ\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\left( i\,,\, j \right)\,</math> dans la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans la puissance développée, }}par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans la puissance développée, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels }}avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1 et 2" />, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on utilise la 1^ère relation «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» introduite dans le principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> pour factoriser scalairement <ref name="factorisation scalaire" /> le terme entre crochets par «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>», ce qui donne <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,</math>» ou, en évaluant dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}<math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t)</math> <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;</math>» par utilisation de la [[w:Relation_de_Chasles|relation de Chasles]] <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la [[w:Relation_de_Chasles|relation dite de Chasles]], connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref>, <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\,</math> est donc la dérivée temporelle, dans <math>\,\mathcal{R}</math>, du vecteur position <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}relative <math>\,\overrightarrow{M_jM_i}(t)\,</math> de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}en définissant le « référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,;</math> lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport à <math>\,\mathcal{R}\;</math>», <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\,</math> est encore égale à <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>» c.-à-d. le « vecteur vitesse <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}relative à l'instant <math>\,t\,</math> de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_j\,</math>» <ref name="égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation"> En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] » du chap.<math>25</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Edmond_Bour|Jacques Edmond Émile Bour]] (1832 - 1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de <math>\,33\,</math>ans.</ref> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>». {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Si on remplace la double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>, tous deux variant dans <math>\,\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\,</math> avec la contrainte <math>\,j > i\,</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}par une double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>, tous deux variant dans <math>\,\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\,</math> avec la contrainte <math>\,j \neq i\,</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}on compte deux fois chaque terme de la 1^ère double somme dans la 2^ème double somme <ref> En effet le terme générique de la 1^ère double somme «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\,</math> avec <math>\,j = j_0 > i = i_0\;</math>» <math>\,\big(</math>aussi terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\,j > i\big)\,</math> étant égal au terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\,j < i\,</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\,</math> avec <math>\,j = i_0 < i = j_0\;</math>» car <math>\,\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\,</math> d'une part et <math>\,\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\,</math> d'autre part, chaque terme de la 1^ère double somme se retrouve tel quel dans la 2^ème double somme avec <math>\,j > i\,</math> mais aussi sous une forme résultant de la permutation <math>\,i \leftrightarrow j\,</math> du terme précédent conduisant à <math>\,j < i\,</math> d'où la 2^ème double somme égale à deux fois la 1^ère double somme <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math>}} <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\,</math> des forces que <math>\,M_j\,</math> exerce sur tous les autres points <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}}\,</math> des forces que <math>\,\color{transparent}{M_j}\,</math> exerce sur }}<math>\,M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;</math><ref> Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}</math>, <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\,</math> ou <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\,</math> des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que <math>\,M'\,</math> exerce sur tous les autres points «<math>\;M</math> <math>\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, <math>\,\in\,\left( S \right)\,</math> ou <math>\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math>».</ref>. ==== Conséquences diverses ==== {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}est non nulle dans le cas général soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\,</math> dans le cas général » <ref name="Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures"> Contrairement à la résultante et au moment résultant en n’importe quel point origine, du système des forces intérieures, tous deux toujours nuls, pour tout système fermé de matière discret ou continu, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement à la résultante et au moment résultant en n’importe quel point origine, du système des forces intérieures, tous deux toujours nuls, pour tout système }}indéformable ou déformable ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}celle développée par le moment résultant vectoriel également nulle par nullité du moment vectoriel, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement le fait }}montre que <u>la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures</u>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement le fait montre que }}<u>ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système</u> ; <br>{{Al|3}}on peut généraliser cela au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système fermé de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}<u>la résultante dynamique et le moment résultant dynamique en n’importe quel point origine sont insuffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures</u>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}la 1^ère permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. <math>\,G\,</math> du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}le 2^nd celle du mouvement de rotation autour de <math>\,G\,</math> dans le même référentiel galiléen mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « <u>on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant</u> <math>\,\big(</math>cela ne devenant possible que si le système ne se déforme pas<math>\big)\;</math>».</ref>, la raison étant que les relations <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives }}en général individuellement non nuls, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}« la non nullité de <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» sauf cas particuliers <math>\,\big(</math>restant à préciser<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>En repérant le point «<math>\;M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\,</math> soit <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> pour base sphérique liée à <math>\,M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}la « force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> liée à <math>\,M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="déduction de la 2ème relation du principe des actions réciproques"> Se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-principe_des_actions_réciproques-51|⁵¹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\,</math> <math>\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\,</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,</math>» <br>{{Al|3}}{{Transparent|cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet }}car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}</math>», ceci établit que <br>{{Al|3}}{{Transparent|cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet }}«<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» c.-à-d. une même expression par permutation de <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>.</ref> définissant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}« l'intensité de l’interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\;</math>» simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\,</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}le « vecteur vitesse relative de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\;</math>», «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>», s’écrit, dans la « base sphérique de <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> liée à <math>\,M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» « }}<math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[</math>la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> étant orthonormée<math>\big]\,</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» l'expression, en sphérique, de la puissance développée par }}«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, soit finalament <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> [[Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( S \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( S \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, <math>\Big[</math>pour simplifier on pose <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]\,</math> en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \Gamma \right)</math>, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}exprimée en repérant «<math>\;M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\;</math>», soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}si la distance séparant deux points quelconques de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> reste constante <math>\,\big\{</math>c.-à-d. si <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> « ne se déforme pas » <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref><math>\big\}</math>, on a <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures si }}«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t) = 0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;</math>» <ref name="distance entre deux points d'un système continu fermé indéformable"> Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)</math> <math>\,\in \left( \mathcal{V} \right)^2</math>, <math>\,\in \left( S \right)^2\;</math> ou <math>\,\in \left( \Gamma \right)^2\;</math>».</ref> et on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />{{,}} <ref> Applicable pour un système fermé indéformable, discret de points matériels ou continu de matière.</ref>. == Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === ==== Énoncé ==== {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique à la somme }}de celle développée par les forces intérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. ==== Démonstration ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire </u> : La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : La démonstration }}est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : La démonstration }}pourrait être refaite <math>\,\big(</math>bien qu'un peu plus lourde d'exposition<math>\big)\,</math> pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel <math>\,M_i\;</math><ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on applique }}«<math>\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu"> Pour <math>\,M\;\in\,</math> à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> s'écrit : * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( S \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, }}on ajoute, membre à membre, les <math>\,N\,</math> relations définies ci-dessus <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue"> La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> par une intégrale volumique sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, si ce système est d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> par une intégrale surfacique sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ou ce système est d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> par une intégrale curviligne sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 1^er membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;</math>» se réécrivant «<math>\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;</math>» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition <ref> Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er membre }}est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie cinétique du système s'écrit : * «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}</math>, * «<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref> à l'instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er membre est égale }}à la puissance cinétique du système «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» au même instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 1^er terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;</math>» définit la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er terme du 2^nd membre }}à l'instant <math>\;t</math>, soit «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 2^ème terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;</math>» la puissance développée par les forces intérieures appliquées <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 2^ème terme du 2^nd membre }}au système à l'instant <math>\,t</math>, soit «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-48|⁴⁸]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, {{Al|5}}{{Transparent|Exposé : }}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels <ref> Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_point_matériel_d'un_système_continu-68|⁶⁸]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-somme_continue-71|⁷¹]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-61|⁶¹]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-73|⁷³]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-74|⁷⁴]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-75|⁷⁵]] » présentées plus haut dans ce chapitre.</ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> C.-à-d. un solide au sens de la mécanique.</ref> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème conséquence) » plus haut dans ce chapitre, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété }}« la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété « la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}est nulle c.-à-d. <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété }}utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <ref name="signification de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> étant la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}à l'instant <math>\,t\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> en cinétique newtonienne, à savoir <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="énergie cinétique d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> par dérivation temporelle, l'expression <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}de la puissance cinétique newtonienne, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\dot{K}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 \right\rbrace = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2 \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}de plus un tel « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="système en translation" /> » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », de plus un tel « }}théorème de la puissance cinétique adapté à un solide dans un référentiel galiléen <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système fermé <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, à la date <math>\,t</math>, dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique est égale à }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}en dynamique newtonienne, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, }}<math>\,\big[\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> étant la résultante dynamique appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et <math>\,G\,</math> le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]\,</math> avec «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>et <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> le C.D.I. de <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)\big]}\,</math> avec }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\,</math> étant sa dérivée temporelle ».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\;\Delta\;</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|<math>\;\big\{</math>c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ne nécessite pas que <math>\;\Delta\;</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, le moment scalaire étant évalué par rapport à <math>\;\Delta\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique" />, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] }} ot2o22aptau04lzfpdvxs9xetdg9fa0 987437 987435 2026-10-15T21:43:37Z Phl7605 31541 /* Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen */ 987437 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) == === Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque"> Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}s'écrit selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste"> Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.</ref> avec <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>. === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie par <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste" /> se réécrit, dans le cas où <math>\,M\,</math> est en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, pour lequel <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> a pour forme <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}intrinsèque «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» <ref name="forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\big]\,</math> soit, en explicitant <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}dans la définition de <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;</math>» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » <math>\,\big(</math>ce qui laisse ce dernier invariant <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref> La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;</math>».</ref> avec «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,</math> vecteur moment de <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> en <math>\,A\,</math> noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment vectoriel d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée"> Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant <math>\,A\,</math> par le centre <math>\,C\,</math> du cercle.</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation du point <math>\,M\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;</math>» avec }}<math>\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,</math> le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe <math>\,\Delta\,</math> noté <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit au final <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme nettement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref>. === Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\,M\,</math> de « mouvement quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\;M\;</math> de « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, avec <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque <math>\,\big(</math>c.-à-d. aussi de mouvement circulaire<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, pour <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> est la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2^nd membre, }}pour <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire de centre <math>\,C</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,</math> en <math>\,C</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}dans le cas où le point <math>\,M\,</math> a un mouvement « circulaire d'axe <math>\,\Delta\;</math>» <ref> Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.</ref>, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;</math>», <br>traduction symbolique de «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, avec <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>».</ref>.</center> == « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C == === Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\;(m)\,</math> décrivant un mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant <math>\,t</math>, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon <ref name="théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : {{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à <math>\,M\;(m)\,</math> calculés, à l'instant <math>\,t</math>, par rapport au centre <math>\,C\,</math> du cercle de rayon <math>\,R\,</math> décrit par <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» est égal au produit du moment d’inertie de <math>\,M \,</math> par rapport à son axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation <ref> C.-à-d. l'axe du cercle décrit par <math>\,M</math>.</ref> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;</math>» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». ” === « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen === {{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> fixes dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}de moment d'inertie par rapport à <math>\,\Delta\,</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;</math>» et de vecteur rotation instantanée à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation <math>\,\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» dans le but de faire apparaître, dans le 1^er membre, après utilisation de la distributivité de <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, la puissance instantanée <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2^nd membre «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» représente la puissance cinétique du point <math>\,M\,</math> à <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date <math>\,t\,</math> lors de son mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\dot{K}_M(t)\;</math>» en effet, «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="moment d'inertie constant"> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» étant une constante caractérisant la trajectoire de <math>\,M</math>.</ref> soit <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;</math>» <ref name="expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire autour d’un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen s'écrivant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;</math>» <math>\,\big(</math>en dynamique newtonienne<math>\big)</math>, nous retrouvons <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans un mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> » «<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à M"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » <math>\,\big(</math>grandeur cinétique énergétique<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » <math>\;\ldots</math> == Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe == === Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous : {{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,</math> et <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>». === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> prend la forme ci-dessous : {{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math><ref> En effet, définissant <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>» d'où «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>».</ref> où <math>\,J_\Delta(M) = m\;R^2\,</math> est le moment d'inertie de <math>\,M\;(m)\,</math> relativement à <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon <math>\,R\;</math><reF> On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,</math> dans laquelle <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,</math> est le moment cinétique scalaire de <math>\,M\,</math> relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <math>\,\big(</math>utilisée moins fréquemment<math>\big)\,</math> ou <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <math>\,\big(</math>pratiquement jamais utilisée<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>on rappelle la relation <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,</math> avec }}<math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. == Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide == === Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces extérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces extérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> que chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)</math>, extérieur à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de forces extérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée par ce système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}se détermine comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par chaque force extérieure <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi"> En notant <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel <math>\,M_i\,</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures «}}<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>». ==== Cas d’un « système de matière en translation » ==== {{Al|5}}Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un « système discret }}en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points matériels <math>\,M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> du système soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », tous les points matériels <math>\,\color{transparent}{M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ont }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}possibilité de factoriser « scalairement » <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> le 2^nd membre de la « relation <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> » par «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », possibilité de factoriser }}l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> d’où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» ou encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}<u>remarque</u> : <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\,t\,</math> et dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <ref> Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.</ref>. ==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » est, en pratique, indéformable, il est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret }}en rotation autour d'un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> avec, à la date <math>\,t</math>, la même vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\,</math> pour tous les points <math>\,M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref> Système indéformable dans la pratique <math>\Rightarrow</math> se comportant, dans ce cas <math>\,\big(</math>le seul que nous envisageons dans la suite<math>\big)</math>, comme un solide au sens de la mécanique <math>\,\big[</math>relire la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-système_en_rotation_autour_d'un_axe-32|³²]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation<math>\big]</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrivant selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> <math>\Rightarrow</math> la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» après factorisation par <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}«<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> étant le moment scalaire résultant dynamique relativement à <math>\,\Delta\,</math> s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, soit <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, d'où finalement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire par rapport à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) =</math> {{Nobr|<math>\left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>»}} dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étan le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, soit finalement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math> <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, soit au final «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M</math> <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}d'où la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation se réécrit selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque <math>\,\big(</math>axe mobile ou immobile dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de <math>\,\mathcal{R}</math>, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures }}le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures le produit }}de sa vitesse angulaire instantanée. ==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ==== {{Al|5}}On admet que le mouvement d’un point quelconque <math>\,M_i\,</math> d'un solide <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque }}peut être considéré comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}d’une rotation instantanée autour d’un axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par <math>\,G\,</math> de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}<math>\big[</math>ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\big]\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable"> Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable" /> <math>\Rightarrow</math> {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, }}<math>\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math><ref> Après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-distributivité_de_la_multiplication_scalaire_relativement_à_l'addition_vectorielle-15|¹⁵]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math><ref> Le 2^ème terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-invariance_du_produit_mixte_par_permutation_circulaire-4|⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> Par commutativité du produit scalaire <math>\;\ldots</math></ref> soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, }}«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> En effet on reconnaît dans <math>\,\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> le vecteur moment résultant dynamique s'exerçait sur le point <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,G\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_vectoriel_d'une_force-6|⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> » ; {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, s'obtient par « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}<math>\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right] + \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>= \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> Par facorisation scalaire de <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)\,</math> dans le 1^er terme et de <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,</math> dans le 2^nd terme <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-factorisation_scalaire-29|²⁹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> En effet <math>\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> exercée sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière <math>\,\big(</math>admis<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-résultante_dynamique_exercée_sur_un_système_continu_de_matière_30|³⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}<math>\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> est le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,G</math>, <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>, exercé sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière <math>\,\big(</math>admis et détaillé dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_résultant_dynamique_vectoriel_exercé_sur_un_système_continu_de_matière_relativement_à_G-43|⁴³]] » plus loin dans ce chapitre<math>\big)</math>.</ref>{{,}} <ref name="moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,;</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> » ou <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\, \vec{u}_{\Delta_G} \right]\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\vec{u}_{\Delta_G}\,</math> vecteur unitaire orientant <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>\,\Delta_G\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) = \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\,</math> où <math>\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée du <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}solide autour de l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide<math>\big]</math>, soit encore <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right]\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\,</math> où <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\,</math> est le <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }} moment résultant dynamique scalaire <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,</math> exercé sur le solide par rapport à <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide <ref name="moment résultant dynamique scalaire "> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.</ref> <math>\Rightarrow</math> {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, se réécrit, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;</math>» <ref> Forme légèrement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;</math>».</ref> s'obtenant en ajoutant <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}<math>\bullet\;</math>la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}<math>\bullet\;</math>la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour de l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math>». === Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces intérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système des forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures }}est la somme des puissances développées, à la date <math>\;t</math>, par chaque force intérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « }}<math>\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\,</math> après factorisation scalaire par <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> dans la somme sur <math>\,_j\;</math><ref> <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math> étant une constante dans la somme discrète sur <math>\,_j</math>.</ref>{{,}} <ref name="factorisation scalaire" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}dans laquelle <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> est le vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> . ==== Autres expressions équivalentes ==== {{Al|5}}<math>\succ\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\left( i\,,\, j \right)\,</math> dans la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans la puissance développée, }}par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans la puissance développée, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels }}avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1 et 2" />, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on utilise la 1^ère relation «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» introduite dans le principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> pour factoriser scalairement <ref name="factorisation scalaire" /> le terme entre crochets par «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>», ce qui donne <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,</math>» ou, en évaluant dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}<math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t)</math> <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;</math>» par utilisation de la [[w:Relation_de_Chasles|relation de Chasles]] <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la [[w:Relation_de_Chasles|relation dite de Chasles]], connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref>, <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\,</math> est donc la dérivée temporelle, dans <math>\,\mathcal{R}</math>, du vecteur position <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}relative <math>\,\overrightarrow{M_jM_i}(t)\,</math> de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}en définissant le « référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,;</math> lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport à <math>\,\mathcal{R}\;</math>», <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\,</math> est encore égale à <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>» c.-à-d. le « vecteur vitesse <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}relative à l'instant <math>\,t\,</math> de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_j\,</math>» <ref name="égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation"> En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] » du chap.<math>25</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Edmond_Bour|Jacques Edmond Émile Bour]] (1832 - 1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de <math>\,33\,</math>ans.</ref> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>». {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Si on remplace la double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>, tous deux variant dans <math>\,\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\,</math> avec la contrainte <math>\,j > i\,</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}par une double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>, tous deux variant dans <math>\,\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\,</math> avec la contrainte <math>\,j \neq i\,</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}on compte deux fois chaque terme de la 1^ère double somme dans la 2^ème double somme <ref> En effet le terme générique de la 1^ère double somme «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\,</math> avec <math>\,j = j_0 > i = i_0\;</math>» <math>\,\big(</math>aussi terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\,j > i\big)\,</math> étant égal au terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\,j < i\,</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\,</math> avec <math>\,j = i_0 < i = j_0\;</math>» car <math>\,\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\,</math> d'une part et <math>\,\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\,</math> d'autre part, chaque terme de la 1^ère double somme se retrouve tel quel dans la 2^ème double somme avec <math>\,j > i\,</math> mais aussi sous une forme résultant de la permutation <math>\,i \leftrightarrow j\,</math> du terme précédent conduisant à <math>\,j < i\,</math> d'où la 2^ème double somme égale à deux fois la 1^ère double somme <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math>}} <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\,</math> des forces que <math>\,M_j\,</math> exerce sur tous les autres points <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}}\,</math> des forces que <math>\,\color{transparent}{M_j}\,</math> exerce sur }}<math>\,M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;</math><ref> Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}</math>, <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\,</math> ou <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\,</math> des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que <math>\,M'\,</math> exerce sur tous les autres points «<math>\;M</math> <math>\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, <math>\,\in\,\left( S \right)\,</math> ou <math>\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math>».</ref>. ==== Conséquences diverses ==== {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}est non nulle dans le cas général soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\,</math> dans le cas général » <ref name="Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures"> Contrairement à la résultante et au moment résultant en n’importe quel point origine, du système des forces intérieures, tous deux toujours nuls, pour tout système fermé de matière discret ou continu, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement à la résultante et au moment résultant en n’importe quel point origine, du système des forces intérieures, tous deux toujours nuls, pour tout système }}indéformable ou déformable ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}celle développée par le moment résultant vectoriel également nulle par nullité du moment vectoriel, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement le fait }}montre que <u>la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures</u>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement le fait montre que }}<u>ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système</u> ; <br>{{Al|3}}on peut généraliser cela au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système fermé de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}<u>la résultante dynamique et le moment résultant dynamique en n’importe quel point origine sont insuffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures</u>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}la 1^ère permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. <math>\,G\,</math> du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}le 2^nd celle du mouvement de rotation autour de <math>\,G\,</math> dans le même référentiel galiléen mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « <u>on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant</u> <math>\,\big(</math>cela ne devenant possible que si le système ne se déforme pas<math>\big)\;</math>».</ref>, la raison étant que les relations <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives }}en général individuellement non nuls, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}« la non nullité de <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» sauf cas particuliers <math>\,\big(</math>restant à préciser<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>En repérant le point «<math>\;M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\,</math> soit <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> pour base sphérique liée à <math>\,M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}la « force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> liée à <math>\,M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="déduction de la 2ème relation du principe des actions réciproques"> Se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-principe_des_actions_réciproques-51|⁵¹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\,</math> <math>\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\,</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,</math>» <br>{{Al|3}}{{Transparent|cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet }}car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}</math>», ceci établit que <br>{{Al|3}}{{Transparent|cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet }}«<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» c.-à-d. une même expression par permutation de <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>.</ref> définissant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}« l'intensité de l’interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\;</math>» simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\,</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}le « vecteur vitesse relative de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\;</math>», «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>», s’écrit, dans la « base sphérique de <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> liée à <math>\,M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» « }}<math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[</math>la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> étant orthonormée<math>\big]\,</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» l'expression, en sphérique, de la puissance développée par }}«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, soit finalament <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> [[Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( S \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( S \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, <math>\Big[</math>pour simplifier on pose <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]\,</math> en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \Gamma \right)</math>, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}exprimée en repérant «<math>\;M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\;</math>», soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}si la distance séparant deux points quelconques de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> reste constante <math>\,\big\{</math>c.-à-d. si <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> « ne se déforme pas » <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref><math>\big\}</math>, on a <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures si }}«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t) = 0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;</math>» <ref name="distance entre deux points d'un système continu fermé indéformable"> Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)</math> <math>\,\in \left( \mathcal{V} \right)^2</math>, <math>\,\in \left( S \right)^2\;</math> ou <math>\,\in \left( \Gamma \right)^2\;</math>».</ref> et on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />{{,}} <ref> Applicable pour un système fermé indéformable, discret de points matériels ou continu de matière.</ref>. == Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === ==== Énoncé ==== {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique à la somme }}de celle développée par les forces intérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. ==== Démonstration ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire </u> : La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : La démonstration }}est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : La démonstration }}pourrait être refaite <math>\,\big(</math>bien qu'un peu plus lourde d'exposition<math>\big)\,</math> pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel <math>\,M_i\;</math><ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on applique }}«<math>\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu"> Pour <math>\,M\;\in\,</math> à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> s'écrit : * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( S \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, }}on ajoute, membre à membre, les <math>\,N\,</math> relations définies ci-dessus <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue"> La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> par une intégrale volumique sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, si ce système est d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> par une intégrale surfacique sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ou ce système est d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> par une intégrale curviligne sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 1^er membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;</math>» se réécrivant «<math>\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;</math>» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition <ref> Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er membre }}est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie cinétique du système s'écrit : * «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}</math>, * «<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref> à l'instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er membre est égale }}à la puissance cinétique du système «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» au même instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 1^er terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;</math>» définit la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er terme du 2^nd membre }}à l'instant <math>\;t</math>, soit «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 2^ème terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;</math>» la puissance développée par les forces intérieures appliquées <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 2^ème terme du 2^nd membre }}au système à l'instant <math>\,t</math>, soit «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-48|⁴⁸]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, {{Al|5}}{{Transparent|Exposé : }}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels <ref> Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_point_matériel_d'un_système_continu-68|⁶⁸]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-somme_continue-71|⁷¹]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-61|⁶¹]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-73|⁷³]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-74|⁷⁴]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-75|⁷⁵]] » présentées plus haut dans ce chapitre.</ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> C.-à-d. un solide au sens de la mécanique.</ref> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème conséquence) » plus haut dans ce chapitre, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété }}« la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété « la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}est nulle c.-à-d. <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété }}utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <ref name="signification de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> étant la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}à l'instant <math>\,t\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> en cinétique newtonienne, à savoir <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="énergie cinétique d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> par dérivation temporelle, l'expression <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}de la puissance cinétique newtonienne, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\dot{K}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 \right\rbrace = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2 \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}de plus un tel « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="système en translation" /> » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », de plus un tel « }}théorème de la puissance cinétique adapté à un solide dans un référentiel galiléen <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système fermé <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, à la date <math>\,t</math>, dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique est égale à }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}en dynamique newtonienne, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, }}<math>\,\big[\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> étant la résultante dynamique appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et <math>\,G\,</math> le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]\,</math> avec «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>et <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> le C.D.I. de <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)\big]}\,</math> avec }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\,</math> étant sa dérivée temporelle ».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\;\Delta\;</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|<math>\;\big\{</math>c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ne nécessite pas que <math>\;\Delta\;</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, le moment scalaire étant évalué par rapport à <math>\;\Delta\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique" />, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] }} 8kc0uddu9m6utvx52emdfukpcz8d136 987438 987437 2026-10-15T21:55:56Z Phl7605 31541 /* Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » */ 987438 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) == === Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque"> Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}s'écrit selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste"> Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.</ref> avec <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>. === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie par <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste" /> se réécrit, dans le cas où <math>\,M\,</math> est en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, pour lequel <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> a pour forme <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}intrinsèque «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» <ref name="forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\big]\,</math> soit, en explicitant <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}dans la définition de <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;</math>» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » <math>\,\big(</math>ce qui laisse ce dernier invariant <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref> La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;</math>».</ref> avec «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,</math> vecteur moment de <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> en <math>\,A\,</math> noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment vectoriel d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée"> Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant <math>\,A\,</math> par le centre <math>\,C\,</math> du cercle.</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation du point <math>\,M\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;</math>» avec }}<math>\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,</math> le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe <math>\,\Delta\,</math> noté <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit au final <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme nettement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref>. === Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\,M\,</math> de « mouvement quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\;M\;</math> de « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, avec <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque <math>\,\big(</math>c.-à-d. aussi de mouvement circulaire<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, pour <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> est la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2^nd membre, }}pour <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire de centre <math>\,C</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,</math> en <math>\,C</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}dans le cas où le point <math>\,M\,</math> a un mouvement « circulaire d'axe <math>\,\Delta\;</math>» <ref> Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.</ref>, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;</math>», <br>traduction symbolique de «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, avec <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>».</ref>.</center> == « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C == === Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\;(m)\,</math> décrivant un mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant <math>\,t</math>, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon <ref name="théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : {{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à <math>\,M\;(m)\,</math> calculés, à l'instant <math>\,t</math>, par rapport au centre <math>\,C\,</math> du cercle de rayon <math>\,R\,</math> décrit par <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» est égal au produit du moment d’inertie de <math>\,M \,</math> par rapport à son axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation <ref> C.-à-d. l'axe du cercle décrit par <math>\,M</math>.</ref> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;</math>» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». ” === « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen === {{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> fixes dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}de moment d'inertie par rapport à <math>\,\Delta\,</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;</math>» et de vecteur rotation instantanée à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation <math>\,\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» dans le but de faire apparaître, dans le 1^er membre, après utilisation de la distributivité de <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, la puissance instantanée <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2^nd membre «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» représente la puissance cinétique du point <math>\,M\,</math> à <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date <math>\,t\,</math> lors de son mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\dot{K}_M(t)\;</math>» en effet, «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="moment d'inertie constant"> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» étant une constante caractérisant la trajectoire de <math>\,M</math>.</ref> soit <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;</math>» <ref name="expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire autour d’un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen s'écrivant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;</math>» <math>\,\big(</math>en dynamique newtonienne<math>\big)</math>, nous retrouvons <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans un mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> » «<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à M"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » <math>\,\big(</math>grandeur cinétique énergétique<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » <math>\;\ldots</math> == Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe == === Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous : {{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,</math> et <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>». === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> prend la forme ci-dessous : {{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math><ref> En effet, définissant <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>» d'où «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>».</ref> où <math>\,J_\Delta(M) = m\;R^2\,</math> est le moment d'inertie de <math>\,M\;(m)\,</math> relativement à <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon <math>\,R\;</math><reF> On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,</math> dans laquelle <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,</math> est le moment cinétique scalaire de <math>\,M\,</math> relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <math>\,\big(</math>utilisée moins fréquemment<math>\big)\,</math> ou <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <math>\,\big(</math>pratiquement jamais utilisée<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>on rappelle la relation <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,</math> avec }}<math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. == Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide == === Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces extérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces extérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> que chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)</math>, extérieur à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de forces extérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée par ce système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}se détermine comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par chaque force extérieure <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi"> En notant <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel <math>\,M_i\,</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures «}}<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>». ==== Cas d’un « système de matière en translation » ==== {{Al|5}}Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un « système discret }}en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points matériels <math>\,M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> du système soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », tous les points matériels <math>\,\color{transparent}{M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ont }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}possibilité de factoriser « scalairement » <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> le 2^nd membre de la « relation <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> » par «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », possibilité de factoriser }}l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> d’où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» ou encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}<u>remarque</u> : <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\,t\,</math> et dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <ref> Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.</ref>. ==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret }}en rotation autour d'un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> avec, à la date <math>\,t</math>, la même vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\,</math> pour tous les points <math>\,M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref> Système indéformable dans la pratique <math>\Rightarrow</math> se comportant, dans ce cas <math>\,\big(</math>le seul que nous envisageons dans la suite<math>\big)</math>, comme un solide au sens de la mécanique <math>\,\big[</math>relire la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-système_en_rotation_autour_d'un_axe-32|³²]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation<math>\big]</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrivant selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> <math>\Rightarrow</math> la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» après factorisation par <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}«<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> étant le moment scalaire résultant dynamique relativement à <math>\,\Delta\,</math> s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, soit <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, d'où finalement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire par rapport à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) =</math> {{Nobr|<math>\left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>»}} dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étan le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, soit finalement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math> <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, soit au final «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M</math> <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}d'où la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation se réécrit selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque <math>\,\big(</math>axe mobile ou immobile dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de <math>\,\mathcal{R}</math>, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures }}le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures le produit }}de sa vitesse angulaire instantanée. ==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ==== {{Al|5}}On admet que le mouvement d’un point quelconque <math>\,M_i\,</math> d'un solide <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque }}peut être considéré comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}d’une rotation instantanée autour d’un axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par <math>\,G\,</math> de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}<math>\big[</math>ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\big]\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable"> Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable" /> <math>\Rightarrow</math> {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, }}<math>\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math><ref> Après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-distributivité_de_la_multiplication_scalaire_relativement_à_l'addition_vectorielle-15|¹⁵]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math><ref> Le 2^ème terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-invariance_du_produit_mixte_par_permutation_circulaire-4|⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> Par commutativité du produit scalaire <math>\;\ldots</math></ref> soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, }}«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> En effet on reconnaît dans <math>\,\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> le vecteur moment résultant dynamique s'exerçait sur le point <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,G\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_vectoriel_d'une_force-6|⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> » ; {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, s'obtient par « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}<math>\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right] + \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>= \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> Par facorisation scalaire de <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)\,</math> dans le 1^er terme et de <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,</math> dans le 2^nd terme <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-factorisation_scalaire-29|²⁹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> En effet <math>\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> exercée sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière <math>\,\big(</math>admis<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-résultante_dynamique_exercée_sur_un_système_continu_de_matière_30|³⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}<math>\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> est le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,G</math>, <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>, exercé sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière <math>\,\big(</math>admis et détaillé dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_résultant_dynamique_vectoriel_exercé_sur_un_système_continu_de_matière_relativement_à_G-43|⁴³]] » plus loin dans ce chapitre<math>\big)</math>.</ref>{{,}} <ref name="moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,;</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> » ou <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\, \vec{u}_{\Delta_G} \right]\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\vec{u}_{\Delta_G}\,</math> vecteur unitaire orientant <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>\,\Delta_G\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) = \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\,</math> où <math>\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée du <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}solide autour de l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide<math>\big]</math>, soit encore <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right]\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\,</math> où <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\,</math> est le <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }} moment résultant dynamique scalaire <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,</math> exercé sur le solide par rapport à <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide <ref name="moment résultant dynamique scalaire "> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.</ref> <math>\Rightarrow</math> {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, se réécrit, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;</math>» <ref> Forme légèrement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;</math>».</ref> s'obtenant en ajoutant <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}<math>\bullet\;</math>la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}<math>\bullet\;</math>la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour de l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math>». === Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces intérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système des forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures }}est la somme des puissances développées, à la date <math>\;t</math>, par chaque force intérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « }}<math>\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\,</math> après factorisation scalaire par <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> dans la somme sur <math>\,_j\;</math><ref> <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math> étant une constante dans la somme discrète sur <math>\,_j</math>.</ref>{{,}} <ref name="factorisation scalaire" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}dans laquelle <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> est le vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> . ==== Autres expressions équivalentes ==== {{Al|5}}<math>\succ\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\left( i\,,\, j \right)\,</math> dans la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans la puissance développée, }}par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans la puissance développée, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels }}avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1 et 2" />, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on utilise la 1^ère relation «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» introduite dans le principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> pour factoriser scalairement <ref name="factorisation scalaire" /> le terme entre crochets par «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>», ce qui donne <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,</math>» ou, en évaluant dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}<math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t)</math> <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;</math>» par utilisation de la [[w:Relation_de_Chasles|relation de Chasles]] <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la [[w:Relation_de_Chasles|relation dite de Chasles]], connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref>, <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\,</math> est donc la dérivée temporelle, dans <math>\,\mathcal{R}</math>, du vecteur position <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}relative <math>\,\overrightarrow{M_jM_i}(t)\,</math> de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}en définissant le « référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,;</math> lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport à <math>\,\mathcal{R}\;</math>», <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\,</math> est encore égale à <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>» c.-à-d. le « vecteur vitesse <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}relative à l'instant <math>\,t\,</math> de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_j\,</math>» <ref name="égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation"> En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] » du chap.<math>25</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Edmond_Bour|Jacques Edmond Émile Bour]] (1832 - 1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de <math>\,33\,</math>ans.</ref> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>». {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Si on remplace la double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>, tous deux variant dans <math>\,\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\,</math> avec la contrainte <math>\,j > i\,</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}par une double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>, tous deux variant dans <math>\,\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\,</math> avec la contrainte <math>\,j \neq i\,</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}on compte deux fois chaque terme de la 1^ère double somme dans la 2^ème double somme <ref> En effet le terme générique de la 1^ère double somme «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\,</math> avec <math>\,j = j_0 > i = i_0\;</math>» <math>\,\big(</math>aussi terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\,j > i\big)\,</math> étant égal au terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\,j < i\,</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\,</math> avec <math>\,j = i_0 < i = j_0\;</math>» car <math>\,\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\,</math> d'une part et <math>\,\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\,</math> d'autre part, chaque terme de la 1^ère double somme se retrouve tel quel dans la 2^ème double somme avec <math>\,j > i\,</math> mais aussi sous une forme résultant de la permutation <math>\,i \leftrightarrow j\,</math> du terme précédent conduisant à <math>\,j < i\,</math> d'où la 2^ème double somme égale à deux fois la 1^ère double somme <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math>}} <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\,</math> des forces que <math>\,M_j\,</math> exerce sur tous les autres points <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}}\,</math> des forces que <math>\,\color{transparent}{M_j}\,</math> exerce sur }}<math>\,M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;</math><ref> Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}</math>, <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\,</math> ou <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\,</math> des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que <math>\,M'\,</math> exerce sur tous les autres points «<math>\;M</math> <math>\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, <math>\,\in\,\left( S \right)\,</math> ou <math>\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math>».</ref>. ==== Conséquences diverses ==== {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}est non nulle dans le cas général soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\,</math> dans le cas général » <ref name="Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures"> Contrairement à la résultante et au moment résultant en n’importe quel point origine, du système des forces intérieures, tous deux toujours nuls, pour tout système fermé de matière discret ou continu, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement à la résultante et au moment résultant en n’importe quel point origine, du système des forces intérieures, tous deux toujours nuls, pour tout système }}indéformable ou déformable ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}celle développée par le moment résultant vectoriel également nulle par nullité du moment vectoriel, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement le fait }}montre que <u>la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures</u>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement le fait montre que }}<u>ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système</u> ; <br>{{Al|3}}on peut généraliser cela au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système fermé de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}<u>la résultante dynamique et le moment résultant dynamique en n’importe quel point origine sont insuffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures</u>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}la 1^ère permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. <math>\,G\,</math> du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}le 2^nd celle du mouvement de rotation autour de <math>\,G\,</math> dans le même référentiel galiléen mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « <u>on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant</u> <math>\,\big(</math>cela ne devenant possible que si le système ne se déforme pas<math>\big)\;</math>».</ref>, la raison étant que les relations <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives }}en général individuellement non nuls, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}« la non nullité de <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» sauf cas particuliers <math>\,\big(</math>restant à préciser<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>En repérant le point «<math>\;M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\,</math> soit <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> pour base sphérique liée à <math>\,M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}la « force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> liée à <math>\,M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="déduction de la 2ème relation du principe des actions réciproques"> Se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-principe_des_actions_réciproques-51|⁵¹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\,</math> <math>\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\,</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,</math>» <br>{{Al|3}}{{Transparent|cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet }}car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}</math>», ceci établit que <br>{{Al|3}}{{Transparent|cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet }}«<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» c.-à-d. une même expression par permutation de <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>.</ref> définissant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}« l'intensité de l’interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\;</math>» simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\,</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}le « vecteur vitesse relative de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\;</math>», «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>», s’écrit, dans la « base sphérique de <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> liée à <math>\,M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» « }}<math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[</math>la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> étant orthonormée<math>\big]\,</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» l'expression, en sphérique, de la puissance développée par }}«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, soit finalament <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> [[Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( S \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( S \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, <math>\Big[</math>pour simplifier on pose <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]\,</math> en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \Gamma \right)</math>, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}exprimée en repérant «<math>\;M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\;</math>», soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}si la distance séparant deux points quelconques de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> reste constante <math>\,\big\{</math>c.-à-d. si <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> « ne se déforme pas » <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref><math>\big\}</math>, on a <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures si }}«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t) = 0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;</math>» <ref name="distance entre deux points d'un système continu fermé indéformable"> Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)</math> <math>\,\in \left( \mathcal{V} \right)^2</math>, <math>\,\in \left( S \right)^2\;</math> ou <math>\,\in \left( \Gamma \right)^2\;</math>».</ref> et on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />{{,}} <ref> Applicable pour un système fermé indéformable, discret de points matériels ou continu de matière.</ref>. == Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === ==== Énoncé ==== {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique à la somme }}de celle développée par les forces intérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. ==== Démonstration ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire </u> : La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : La démonstration }}est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : La démonstration }}pourrait être refaite <math>\,\big(</math>bien qu'un peu plus lourde d'exposition<math>\big)\,</math> pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel <math>\,M_i\;</math><ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on applique }}«<math>\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu"> Pour <math>\,M\;\in\,</math> à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> s'écrit : * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( S \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, }}on ajoute, membre à membre, les <math>\,N\,</math> relations définies ci-dessus <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue"> La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> par une intégrale volumique sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, si ce système est d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> par une intégrale surfacique sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ou ce système est d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> par une intégrale curviligne sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 1^er membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;</math>» se réécrivant «<math>\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;</math>» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition <ref> Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er membre }}est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie cinétique du système s'écrit : * «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}</math>, * «<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref> à l'instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er membre est égale }}à la puissance cinétique du système «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» au même instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 1^er terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;</math>» définit la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er terme du 2^nd membre }}à l'instant <math>\;t</math>, soit «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 2^ème terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;</math>» la puissance développée par les forces intérieures appliquées <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 2^ème terme du 2^nd membre }}au système à l'instant <math>\,t</math>, soit «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-48|⁴⁸]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, {{Al|5}}{{Transparent|Exposé : }}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels <ref> Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_point_matériel_d'un_système_continu-68|⁶⁸]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-somme_continue-71|⁷¹]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-61|⁶¹]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-73|⁷³]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-74|⁷⁴]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-75|⁷⁵]] » présentées plus haut dans ce chapitre.</ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> C.-à-d. un solide au sens de la mécanique.</ref> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème conséquence) » plus haut dans ce chapitre, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété }}« la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété « la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}est nulle c.-à-d. <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété }}utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <ref name="signification de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> étant la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}à l'instant <math>\,t\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> en cinétique newtonienne, à savoir <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="énergie cinétique d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> par dérivation temporelle, l'expression <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}de la puissance cinétique newtonienne, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\dot{K}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 \right\rbrace = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2 \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}de plus un tel « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="système en translation" /> » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », de plus un tel « }}théorème de la puissance cinétique adapté à un solide dans un référentiel galiléen <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système fermé <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, à la date <math>\,t</math>, dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique est égale à }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}en dynamique newtonienne, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, }}<math>\,\big[\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> étant la résultante dynamique appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et <math>\,G\,</math> le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]\,</math> avec «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>et <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> le C.D.I. de <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)\big]}\,</math> avec }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\,</math> étant sa dérivée temporelle ».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\;\Delta\;</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|<math>\;\big\{</math>c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ne nécessite pas que <math>\;\Delta\;</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, le moment scalaire étant évalué par rapport à <math>\;\Delta\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique" />, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] }} pmsvoh3vi80c76okeezso72nhmdiyac 987439 987438 2026-10-15T22:07:40Z Phl7605 31541 987439 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) == === Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque"> Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}s'écrit selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste"> Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.</ref> avec <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>. === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie par <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste" /> se réécrit, dans le cas où <math>\,M\,</math> est en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, pour lequel <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> a pour forme <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}intrinsèque «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» <ref name="forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\big]\,</math> soit, en explicitant <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}dans la définition de <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;</math>» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » <math>\,\big(</math>ce qui laisse ce dernier invariant <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref> La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;</math>».</ref> avec «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,</math> vecteur moment de <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> en <math>\,A\,</math> noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment vectoriel d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée"> Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant <math>\,A\,</math> par le centre <math>\,C\,</math> du cercle.</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation du point <math>\,M\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;</math>» avec }}<math>\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,</math> le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe <math>\,\Delta\,</math> noté <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit au final <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme nettement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref>. === Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\,M\,</math> de « mouvement quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\;M\;</math> de « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, avec <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque <math>\,\big(</math>c.-à-d. aussi de mouvement circulaire<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, pour <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> est la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2^nd membre, }}pour <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire de centre <math>\,C</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,</math> en <math>\,C</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}dans le cas où le point <math>\,M\,</math> a un mouvement « circulaire d'axe <math>\,\Delta\;</math>» <ref> Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.</ref>, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;</math>», <br>traduction symbolique de «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, avec <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>».</ref>.</center> == « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C == === Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\;(m)\,</math> décrivant un mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant <math>\,t</math>, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon <ref name="théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : {{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à <math>\,M\;(m)\,</math> calculés, à l'instant <math>\,t</math>, par rapport au centre <math>\,C\,</math> du cercle de rayon <math>\,R\,</math> décrit par <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» est égal au produit du moment d’inertie de <math>\,M \,</math> par rapport à son axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation <ref> C.-à-d. l'axe du cercle décrit par <math>\,M</math>.</ref> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;</math>» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». ” === « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen === {{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> fixes dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}de moment d'inertie par rapport à <math>\,\Delta\,</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;</math>» et de vecteur rotation instantanée à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation <math>\,\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» dans le but de faire apparaître, dans le 1^er membre, après utilisation de la distributivité de <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, la puissance instantanée <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2^nd membre «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» représente la puissance cinétique du point <math>\,M\,</math> à <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date <math>\,t\,</math> lors de son mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\dot{K}_M(t)\;</math>» en effet, «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="moment d'inertie constant"> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» étant une constante caractérisant la trajectoire de <math>\,M</math>.</ref> soit <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;</math>» <ref name="expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire autour d’un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen s'écrivant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;</math>» <math>\,\big(</math>en dynamique newtonienne<math>\big)</math>, nous retrouvons <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans un mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> » «<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à M"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » <math>\,\big(</math>grandeur cinétique énergétique<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » <math>\;\ldots</math> == Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe == === Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous : {{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,</math> et <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>». === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> prend la forme ci-dessous : {{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math><ref> En effet, définissant <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>» d'où «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>».</ref> où <math>\,J_\Delta(M) = m\;R^2\,</math> est le moment d'inertie de <math>\,M\;(m)\,</math> relativement à <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon <math>\,R\;</math><reF> On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,</math> dans laquelle <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,</math> est le moment cinétique scalaire de <math>\,M\,</math> relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <math>\,\big(</math>utilisée moins fréquemment<math>\big)\,</math> ou <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <math>\,\big(</math>pratiquement jamais utilisée<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>on rappelle la relation <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,</math> avec }}<math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. == Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide == === Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces extérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces extérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> que chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)</math>, extérieur à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de forces extérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée par ce système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}se détermine comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par chaque force extérieure <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi"> En notant <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel <math>\,M_i\,</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures «}}<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>». ==== Cas d’un « système de matière en translation » ==== {{Al|5}}Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un « système discret }}en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points matériels <math>\,M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> du système soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », tous les points matériels <math>\,\color{transparent}{M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ont }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}possibilité de factoriser « scalairement » <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> le 2^nd membre de la « relation <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> » par «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », possibilité de factoriser }}l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> d’où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» ou encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}<u>remarque</u> : <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\,t\,</math> et dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <ref> Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.</ref>. ==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret }}en rotation autour d'un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> avec, à la date <math>\,t</math>, la même vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\,</math> pour tous les points <math>\,M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref> Système indéformable dans la pratique <math>\Rightarrow</math> se comportant, dans ce cas <math>\,\big(</math>le seul que nous envisageons dans la suite<math>\big)</math>, comme un solide au sens de la mécanique <math>\,\big[</math>relire la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-système_en_rotation_autour_d'un_axe-32|³²]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation<math>\big]</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrivant selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> <math>\Rightarrow</math> la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» après factorisation par <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}«<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> étant le moment scalaire résultant dynamique relativement à <math>\,\Delta\,</math> s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, soit <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, d'où finalement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire par rapport à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) =</math> {{Nobr|<math>\left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>»}} dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étan le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, soit finalement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math> <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, soit au final «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M</math> <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}d'où la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation se réécrit selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque <math>\,\big(</math>axe mobile ou immobile dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de <math>\,\mathcal{R}</math>, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures }}le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures le produit }}de sa vitesse angulaire instantanée. ==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ==== {{Al|5}}On admet que le mouvement d’un point quelconque <math>\,M_i\,</math> d'un solide <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque }}peut être considéré comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}d’une rotation instantanée autour d’un axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par <math>\,G\,</math> de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}<math>\big[</math>ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\big]\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable"> Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable" /> <math>\Rightarrow</math> {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, }}<math>\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math><ref> Après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-distributivité_de_la_multiplication_scalaire_relativement_à_l'addition_vectorielle-15|¹⁵]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math><ref> Le 2^ème terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-invariance_du_produit_mixte_par_permutation_circulaire-4|⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> Par commutativité du produit scalaire <math>\;\ldots</math></ref> soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, }}«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> En effet on reconnaît dans <math>\,\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> le vecteur moment résultant dynamique s'exerçait sur le point <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,G\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_vectoriel_d'une_force-6|⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> » ; {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, s'obtient par « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}<math>\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right] + \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>= \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> Par facorisation scalaire de <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)\,</math> dans le 1^er terme et de <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,</math> dans le 2^nd terme <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-factorisation_scalaire-29|²⁹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> En effet <math>\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> exercée sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière <math>\,\big(</math>admis<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-résultante_dynamique_exercée_sur_un_système_continu_de_matière_30|³⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}<math>\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> est le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,G</math>, <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>, exercé sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière <math>\,\big(</math>admis et détaillé dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_résultant_dynamique_vectoriel_exercé_sur_un_système_continu_de_matière_relativement_à_G-43|⁴³]] » plus loin dans ce chapitre<math>\big)</math>.</ref>{{,}} <ref name="moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,;</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> » ou <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\, \vec{u}_{\Delta_G} \right]\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\vec{u}_{\Delta_G}\,</math> vecteur unitaire orientant <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>\,\Delta_G\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) = \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\,</math> où <math>\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée du <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}solide autour de l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide<math>\big]</math>, soit encore <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right]\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\,</math> où <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\,</math> est le <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }} moment résultant dynamique scalaire <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,</math> exercé sur le solide par rapport à <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide <ref name="moment résultant dynamique scalaire "> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.</ref> <math>\Rightarrow</math> {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, se réécrit, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;</math>» <ref> Forme légèrement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;</math>».</ref> s'obtenant en ajoutant <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}<math>\bullet\;</math>la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}<math>\bullet\;</math>la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour de l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math>». === Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces intérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système des forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures }}est la somme des puissances développées, à la date <math>\;t</math>, par chaque force intérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « }}<math>\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\,</math> après factorisation scalaire par <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> dans la somme sur <math>\,_j\;</math><ref> <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math> étant une constante dans la somme discrète sur <math>\,_j</math>.</ref>{{,}} <ref name="factorisation scalaire" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}dans laquelle <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> est le vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> . ==== Autres expressions équivalentes ==== {{Al|5}}<math>\succ\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\left( i\,,\, j \right)\,</math> dans la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans la puissance développée, }}par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans la puissance développée, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels }}avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1 et 2" />, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on utilise la 1^ère relation «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» introduite dans le principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> pour factoriser scalairement <ref name="factorisation scalaire" /> le terme entre crochets par «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>», ce qui donne <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,</math>» ou, en évaluant dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}<math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t)</math> <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;</math>» par utilisation de la [[w:Relation_de_Chasles|relation de Chasles]] <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la [[w:Relation_de_Chasles|relation dite de Chasles]], connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref>, <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\,</math> est donc la dérivée temporelle, dans <math>\,\mathcal{R}</math>, du vecteur position <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}relative <math>\,\overrightarrow{M_jM_i}(t)\,</math> de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}en définissant le « référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,;</math> lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport à <math>\,\mathcal{R}\;</math>», <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\,</math> est encore égale à <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>» c.-à-d. le « vecteur vitesse <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}relative à l'instant <math>\,t\,</math> de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_j\,</math>» <ref name="égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation"> En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] » du chap.<math>25</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Edmond_Bour|Jacques Edmond Émile Bour]] (1832 - 1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de <math>\,33\,</math>ans.</ref> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>». {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Si on remplace la double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>, tous deux variant dans <math>\,\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\,</math> avec la contrainte <math>\,j > i\,</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}par une double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>, tous deux variant dans <math>\,\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\,</math> avec la contrainte <math>\,j \neq i\,</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}on compte deux fois chaque terme de la 1^ère double somme dans la 2^ème double somme <ref> En effet le terme générique de la 1^ère double somme «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\,</math> avec <math>\,j = j_0 > i = i_0\;</math>» <math>\,\big(</math>aussi terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\,j > i\big)\,</math> étant égal au terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\,j < i\,</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\,</math> avec <math>\,j = i_0 < i = j_0\;</math>» car <math>\,\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\,</math> d'une part et <math>\,\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\,</math> d'autre part, chaque terme de la 1^ère double somme se retrouve tel quel dans la 2^ème double somme avec <math>\,j > i\,</math> mais aussi sous une forme résultant de la permutation <math>\,i \leftrightarrow j\,</math> du terme précédent conduisant à <math>\,j < i\,</math> d'où la 2^ème double somme égale à deux fois la 1^ère double somme <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math>}} <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\,</math> des forces que <math>\,M_j\,</math> exerce sur tous les autres points <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}}\,</math> des forces que <math>\,\color{transparent}{M_j}\,</math> exerce sur }}<math>\,M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;</math><ref> Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}</math>, <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\,</math> ou <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\,</math> des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que <math>\,M'\,</math> exerce sur tous les autres points «<math>\;M</math> <math>\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, <math>\,\in\,\left( S \right)\,</math> ou <math>\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math>».</ref>. ==== Conséquences diverses ==== {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}est non nulle dans le cas général soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\,</math> dans le cas général » <ref name="Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures"> Contrairement à la résultante et au moment résultant en n’importe quel point origine, du système des forces intérieures, tous deux toujours nuls, pour tout système fermé de matière discret ou continu, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement à la résultante et au moment résultant en n’importe quel point origine, du système des forces intérieures, tous deux toujours nuls, pour tout système }}indéformable ou déformable ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}celle développée par le moment résultant vectoriel également nulle par nullité du moment vectoriel, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement le fait }}montre que <u>la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures</u>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement le fait montre que }}<u>ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système</u> ; <br>{{Al|3}}on peut généraliser cela au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système fermé de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}<u>la résultante dynamique et le moment résultant dynamique en n’importe quel point origine sont insuffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures</u>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}la 1^ère permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. <math>\,G\,</math> du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}le 2^nd celle du mouvement de rotation autour de <math>\,G\,</math> dans le même référentiel galiléen mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « <u>on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant</u> <math>\,\big(</math>cela ne devenant possible que si le système ne se déforme pas<math>\big)\;</math>».</ref>, la raison étant que les relations <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives }}en général individuellement non nuls, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}« la non nullité de <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» sauf cas particuliers <math>\,\big(</math>restant à préciser<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>En repérant le point «<math>\;M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\,</math> soit <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> pour base sphérique liée à <math>\,M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}la « force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> liée à <math>\,M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="déduction de la 2ème relation du principe des actions réciproques"> Se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-principe_des_actions_réciproques-51|⁵¹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\,</math> <math>\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\,</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,</math>» <br>{{Al|3}}{{Transparent|cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet }}car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}</math>», ceci établit que <br>{{Al|3}}{{Transparent|cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet }}«<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» c.-à-d. une même expression par permutation de <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>.</ref> définissant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}« l'intensité de l’interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\;</math>» simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\,</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}le « vecteur vitesse relative de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\;</math>», «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>», s’écrit, dans la « base sphérique de <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> liée à <math>\,M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» « }}<math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[</math>la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> étant orthonormée<math>\big]\,</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» l'expression, en sphérique, de la puissance développée par }}«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, soit finalament <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> [[Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( S \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( S \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, <math>\Big[</math>pour simplifier on pose <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]\,</math> en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \Gamma \right)</math>, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}exprimée en repérant «<math>\;M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\;</math>», soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}si la distance séparant deux points quelconques de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> reste constante <math>\,\big\{</math>c.-à-d. si <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> « ne se déforme pas » <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref><math>\big\}</math>, on a <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures si }}«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t) = 0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;</math>» <ref name="distance entre deux points d'un système continu fermé indéformable"> Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)</math> <math>\,\in \left( \mathcal{V} \right)^2</math>, <math>\,\in \left( S \right)^2\;</math> ou <math>\,\in \left( \Gamma \right)^2\;</math>».</ref> et on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />{{,}} <ref> Applicable pour un système fermé indéformable, discret de points matériels ou continu de matière.</ref>. == Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === ==== Énoncé ==== {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique à la somme }}de celle développée par les forces intérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. ==== Démonstration ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire </u> : La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : La démonstration }}est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : La démonstration }}pourrait être refaite <math>\,\big(</math>bien qu'un peu plus lourde d'exposition<math>\big)\,</math> pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel <math>\,M_i\;</math><ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on applique }}«<math>\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu"> Pour <math>\,M\;\in\,</math> à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> s'écrit : * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( S \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, }}on ajoute, membre à membre, les <math>\,N\,</math> relations définies ci-dessus <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue"> La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> par une intégrale volumique sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, si ce système est d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> par une intégrale surfacique sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ou ce système est d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> par une intégrale curviligne sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 1^er membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;</math>» se réécrivant «<math>\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;</math>» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition <ref> Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er membre }}est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie cinétique du système s'écrit : * «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}</math>, * «<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref> à l'instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er membre est égale }}à la puissance cinétique du système «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» au même instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 1^er terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;</math>» définit la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er terme du 2^nd membre }}à l'instant <math>\;t</math>, soit «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 2^ème terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;</math>» la puissance développée par les forces intérieures appliquées <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 2^ème terme du 2^nd membre }}au système à l'instant <math>\,t</math>, soit «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-48|⁴⁸]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, {{Al|5}}{{Transparent|Exposé : }}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels <ref> Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_point_matériel_d'un_système_continu-68|⁶⁸]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-somme_continue-71|⁷¹]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-61|⁶¹]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-73|⁷³]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-74|⁷⁴]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-75|⁷⁵]] » présentées plus haut dans ce chapitre.</ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème conséquence) » plus haut dans ce chapitre, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété }}« la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété « la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}est nulle c.-à-d. <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété }}utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <ref name="signification de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> étant la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}à l'instant <math>\,t\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> en cinétique newtonienne, à savoir <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="énergie cinétique d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> par dérivation temporelle, l'expression <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}de la puissance cinétique newtonienne, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\dot{K}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 \right\rbrace = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2 \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}de plus un tel « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="système en translation" /> » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », de plus un tel « }}théorème de la puissance cinétique adapté à un solide dans un référentiel galiléen <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système fermé <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, à la date <math>\,t</math>, dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique est égale à }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}en dynamique newtonienne, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, }}<math>\,\big[\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> étant la résultante dynamique appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et <math>\,G\,</math> le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]\,</math> avec «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>et <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> le C.D.I. de <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)\big]}\,</math> avec }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\,</math> étant sa dérivée temporelle ».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\;\Delta\;</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|<math>\;\big\{</math>c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ne nécessite pas que <math>\;\Delta\;</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, le moment scalaire étant évalué par rapport à <math>\;\Delta\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique" />, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] }} t7lc4olaaq13l3aoth39afc9sdecn18 987440 987439 2026-10-15T22:29:00Z Phl7605 31541 /* Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen */ 987440 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) == === Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque"> Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}s'écrit selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste"> Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.</ref> avec <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>. === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie par <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste" /> se réécrit, dans le cas où <math>\,M\,</math> est en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, pour lequel <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> a pour forme <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}intrinsèque «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» <ref name="forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\big]\,</math> soit, en explicitant <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}dans la définition de <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;</math>» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » <math>\,\big(</math>ce qui laisse ce dernier invariant <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref> La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;</math>».</ref> avec «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,</math> vecteur moment de <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> en <math>\,A\,</math> noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment vectoriel d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée"> Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant <math>\,A\,</math> par le centre <math>\,C\,</math> du cercle.</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation du point <math>\,M\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;</math>» avec }}<math>\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,</math> le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe <math>\,\Delta\,</math> noté <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit au final <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme nettement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref>. === Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\,M\,</math> de « mouvement quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\;M\;</math> de « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, avec <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque <math>\,\big(</math>c.-à-d. aussi de mouvement circulaire<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, pour <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> est la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2^nd membre, }}pour <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire de centre <math>\,C</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,</math> en <math>\,C</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}dans le cas où le point <math>\,M\,</math> a un mouvement « circulaire d'axe <math>\,\Delta\;</math>» <ref> Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.</ref>, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;</math>», <br>traduction symbolique de «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, avec <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>».</ref>.</center> == « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C == === Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\;(m)\,</math> décrivant un mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant <math>\,t</math>, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon <ref name="théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : {{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à <math>\,M\;(m)\,</math> calculés, à l'instant <math>\,t</math>, par rapport au centre <math>\,C\,</math> du cercle de rayon <math>\,R\,</math> décrit par <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» est égal au produit du moment d’inertie de <math>\,M \,</math> par rapport à son axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation <ref> C.-à-d. l'axe du cercle décrit par <math>\,M</math>.</ref> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;</math>» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». ” === « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen === {{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> fixes dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}de moment d'inertie par rapport à <math>\,\Delta\,</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;</math>» et de vecteur rotation instantanée à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation <math>\,\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» dans le but de faire apparaître, dans le 1^er membre, après utilisation de la distributivité de <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, la puissance instantanée <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2^nd membre «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» représente la puissance cinétique du point <math>\,M\,</math> à <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date <math>\,t\,</math> lors de son mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\dot{K}_M(t)\;</math>» en effet, «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="moment d'inertie constant"> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» étant une constante caractérisant la trajectoire de <math>\,M</math>.</ref> soit <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;</math>» <ref name="expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire autour d’un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen s'écrivant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;</math>» <math>\,\big(</math>en dynamique newtonienne<math>\big)</math>, nous retrouvons <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans un mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> » «<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à M"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » <math>\,\big(</math>grandeur cinétique énergétique<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » <math>\;\ldots</math> == Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe == === Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous : {{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,</math> et <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>». === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> prend la forme ci-dessous : {{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math><ref> En effet, définissant <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>» d'où «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>».</ref> où <math>\,J_\Delta(M) = m\;R^2\,</math> est le moment d'inertie de <math>\,M\;(m)\,</math> relativement à <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon <math>\,R\;</math><reF> On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,</math> dans laquelle <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,</math> est le moment cinétique scalaire de <math>\,M\,</math> relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <math>\,\big(</math>utilisée moins fréquemment<math>\big)\,</math> ou <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <math>\,\big(</math>pratiquement jamais utilisée<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>on rappelle la relation <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,</math> avec }}<math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. == Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide == === Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces extérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces extérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> que chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)</math>, extérieur à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de forces extérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée par ce système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}se détermine comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par chaque force extérieure <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi"> En notant <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel <math>\,M_i\,</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures «}}<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>». ==== Cas d’un « système de matière en translation » ==== {{Al|5}}Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un « système discret }}en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points matériels <math>\,M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> du système soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », tous les points matériels <math>\,\color{transparent}{M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ont }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}possibilité de factoriser « scalairement » <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> le 2^nd membre de la « relation <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> » par «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », possibilité de factoriser }}l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> d’où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» ou encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}<u>remarque</u> : <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\,t\,</math> et dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <ref> Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.</ref>. ==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret }}en rotation autour d'un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> avec, à la date <math>\,t</math>, la même vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\,</math> pour tous les points <math>\,M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref> Système indéformable dans la pratique <math>\Rightarrow</math> se comportant, dans ce cas <math>\,\big(</math>le seul que nous envisageons dans la suite<math>\big)</math>, comme un solide au sens de la mécanique <math>\,\big[</math>relire la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-système_en_rotation_autour_d'un_axe-32|³²]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation<math>\big]</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrivant selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> <math>\Rightarrow</math> la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» après factorisation par <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}«<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> étant le moment scalaire résultant dynamique relativement à <math>\,\Delta\,</math> s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, soit <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, d'où finalement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire par rapport à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) =</math> {{Nobr|<math>\left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>»}} dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étan le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, soit finalement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math> <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, soit au final «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M</math> <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}d'où la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation se réécrit selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque <math>\,\big(</math>axe mobile ou immobile dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de <math>\,\mathcal{R}</math>, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures }}le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures le produit }}de sa vitesse angulaire instantanée. ==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ==== {{Al|5}}On admet que le mouvement d’un point quelconque <math>\,M_i\,</math> d'un solide <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque }}peut être considéré comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}d’une rotation instantanée autour d’un axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par <math>\,G\,</math> de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}<math>\big[</math>ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\big]\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable"> Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable" /> <math>\Rightarrow</math> {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, }}<math>\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math><ref> Après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-distributivité_de_la_multiplication_scalaire_relativement_à_l'addition_vectorielle-15|¹⁵]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math><ref> Le 2^ème terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-invariance_du_produit_mixte_par_permutation_circulaire-4|⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> Par commutativité du produit scalaire <math>\;\ldots</math></ref> soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, }}«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> En effet on reconnaît dans <math>\,\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> le vecteur moment résultant dynamique s'exerçait sur le point <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,G\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_vectoriel_d'une_force-6|⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> » ; {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, s'obtient par « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}<math>\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right] + \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>= \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> Par facorisation scalaire de <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)\,</math> dans le 1^er terme et de <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,</math> dans le 2^nd terme <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-factorisation_scalaire-29|²⁹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> En effet <math>\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> exercée sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière <math>\,\big(</math>admis<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-résultante_dynamique_exercée_sur_un_système_continu_de_matière_30|³⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}<math>\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> est le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,G</math>, <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>, exercé sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière <math>\,\big(</math>admis et détaillé dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_résultant_dynamique_vectoriel_exercé_sur_un_système_continu_de_matière_relativement_à_G-43|⁴³]] » plus loin dans ce chapitre<math>\big)</math>.</ref>{{,}} <ref name="moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,;</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> » ou <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\, \vec{u}_{\Delta_G} \right]\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\vec{u}_{\Delta_G}\,</math> vecteur unitaire orientant <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>\,\Delta_G\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) = \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\,</math> où <math>\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée du <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}solide autour de l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide<math>\big]</math>, soit encore <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right]\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\,</math> où <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\,</math> est le <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }} moment résultant dynamique scalaire <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,</math> exercé sur le solide par rapport à <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide <ref name="moment résultant dynamique scalaire "> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.</ref> <math>\Rightarrow</math> {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, se réécrit, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;</math>» <ref> Forme légèrement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;</math>».</ref> s'obtenant en ajoutant <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}<math>\bullet\;</math>la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}<math>\bullet\;</math>la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour de l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math>». === Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces intérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système des forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures }}est la somme des puissances développées, à la date <math>\;t</math>, par chaque force intérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « }}<math>\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\,</math> après factorisation scalaire par <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> dans la somme sur <math>\,_j\;</math><ref> <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math> étant une constante dans la somme discrète sur <math>\,_j</math>.</ref>{{,}} <ref name="factorisation scalaire" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}dans laquelle <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> est le vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> . ==== Autres expressions équivalentes ==== {{Al|5}}<math>\succ\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\left( i\,,\, j \right)\,</math> dans la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans la puissance développée, }}par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans la puissance développée, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels }}avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1 et 2" />, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on utilise la 1^ère relation «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» introduite dans le principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> pour factoriser scalairement <ref name="factorisation scalaire" /> le terme entre crochets par «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>», ce qui donne <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,</math>» ou, en évaluant dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}<math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t)</math> <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;</math>» par utilisation de la [[w:Relation_de_Chasles|relation de Chasles]] <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la [[w:Relation_de_Chasles|relation dite de Chasles]], connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref>, <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\,</math> est donc la dérivée temporelle, dans <math>\,\mathcal{R}</math>, du vecteur position <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}relative <math>\,\overrightarrow{M_jM_i}(t)\,</math> de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}en définissant le « référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,;</math> lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport à <math>\,\mathcal{R}\;</math>», <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\,</math> est encore égale à <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>» c.-à-d. le « vecteur vitesse <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}relative à l'instant <math>\,t\,</math> de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_j\,</math>» <ref name="égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation"> En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] » du chap.<math>25</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Edmond_Bour|Jacques Edmond Émile Bour]] (1832 - 1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de <math>\,33\,</math>ans.</ref> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>». {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Si on remplace la double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>, tous deux variant dans <math>\,\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\,</math> avec la contrainte <math>\,j > i\,</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}par une double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>, tous deux variant dans <math>\,\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\,</math> avec la contrainte <math>\,j \neq i\,</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}on compte deux fois chaque terme de la 1^ère double somme dans la 2^ème double somme <ref> En effet le terme générique de la 1^ère double somme «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\,</math> avec <math>\,j = j_0 > i = i_0\;</math>» <math>\,\big(</math>aussi terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\,j > i\big)\,</math> étant égal au terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\,j < i\,</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\,</math> avec <math>\,j = i_0 < i = j_0\;</math>» car <math>\,\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\,</math> d'une part et <math>\,\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\,</math> d'autre part, chaque terme de la 1^ère double somme se retrouve tel quel dans la 2^ème double somme avec <math>\,j > i\,</math> mais aussi sous une forme résultant de la permutation <math>\,i \leftrightarrow j\,</math> du terme précédent conduisant à <math>\,j < i\,</math> d'où la 2^ème double somme égale à deux fois la 1^ère double somme <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math>}} <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\,</math> des forces que <math>\,M_j\,</math> exerce sur tous les autres points <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}}\,</math> des forces que <math>\,\color{transparent}{M_j}\,</math> exerce sur }}<math>\,M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;</math><ref> Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}</math>, <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\,</math> ou <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\,</math> des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que <math>\,M'\,</math> exerce sur tous les autres points «<math>\;M</math> <math>\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, <math>\,\in\,\left( S \right)\,</math> ou <math>\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math>».</ref>. ==== Conséquences diverses ==== {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}est non nulle dans le cas général soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\,</math> dans le cas général » <ref name="Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures"> Contrairement à la résultante et au moment résultant en n’importe quel point origine, du système des forces intérieures, tous deux toujours nuls, pour tout système fermé de matière discret ou continu, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement à la résultante et au moment résultant en n’importe quel point origine, du système des forces intérieures, tous deux toujours nuls, pour tout système }}indéformable ou déformable ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}celle développée par le moment résultant vectoriel également nulle par nullité du moment vectoriel, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement le fait }}montre que <u>la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures</u>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement le fait montre que }}<u>ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système</u> ; <br>{{Al|3}}on peut généraliser cela au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système fermé de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}<u>la résultante dynamique et le moment résultant dynamique en n’importe quel point origine sont insuffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures</u>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}la 1^ère permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. <math>\,G\,</math> du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}le 2^nd celle du mouvement de rotation autour de <math>\,G\,</math> dans le même référentiel galiléen mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « <u>on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant</u> <math>\,\big(</math>cela ne devenant possible que si le système ne se déforme pas<math>\big)\;</math>».</ref>, la raison étant que les relations <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives }}en général individuellement non nuls, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}« la non nullité de <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» sauf cas particuliers <math>\,\big(</math>restant à préciser<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>En repérant le point «<math>\;M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\,</math> soit <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> pour base sphérique liée à <math>\,M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}la « force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> liée à <math>\,M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="déduction de la 2ème relation du principe des actions réciproques"> Se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-principe_des_actions_réciproques-51|⁵¹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\,</math> <math>\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\,</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,</math>» <br>{{Al|3}}{{Transparent|cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet }}car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}</math>», ceci établit que <br>{{Al|3}}{{Transparent|cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet }}«<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» c.-à-d. une même expression par permutation de <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>.</ref> définissant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}« l'intensité de l’interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\;</math>» simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\,</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}le « vecteur vitesse relative de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\;</math>», «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>», s’écrit, dans la « base sphérique de <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> liée à <math>\,M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» « }}<math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[</math>la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> étant orthonormée<math>\big]\,</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» l'expression, en sphérique, de la puissance développée par }}«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, soit finalament <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> [[Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( S \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( S \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, <math>\Big[</math>pour simplifier on pose <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]\,</math> en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \Gamma \right)</math>, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}exprimée en repérant «<math>\;M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\;</math>», soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}si la distance séparant deux points quelconques de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> reste constante <math>\,\big\{</math>c.-à-d. si <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> « ne se déforme pas » <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref><math>\big\}</math>, on a <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures si }}«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t) = 0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;</math>» <ref name="distance entre deux points d'un système continu fermé indéformable"> Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)</math> <math>\,\in \left( \mathcal{V} \right)^2</math>, <math>\,\in \left( S \right)^2\;</math> ou <math>\,\in \left( \Gamma \right)^2\;</math>».</ref> et on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />{{,}} <ref> Applicable pour un système fermé indéformable, discret de points matériels ou continu de matière.</ref>. == Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === ==== Énoncé ==== {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique à la somme }}de celle développée par les forces intérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. ==== Démonstration ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire </u> : La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : La démonstration }}est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : La démonstration }}pourrait être refaite <math>\,\big(</math>bien qu'un peu plus lourde d'exposition<math>\big)\,</math> pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel <math>\,M_i\;</math><ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on applique }}«<math>\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu"> Pour <math>\,M\;\in\,</math> à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> s'écrit : * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( S \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, }}on ajoute, membre à membre, les <math>\,N\,</math> relations définies ci-dessus <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue"> La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> par une intégrale volumique sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, si ce système est d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> par une intégrale surfacique sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ou ce système est d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> par une intégrale curviligne sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 1^er membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;</math>» se réécrivant «<math>\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;</math>» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition <ref> Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er membre }}est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie cinétique du système s'écrit : * «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}</math>, * «<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref> à l'instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er membre est égale }}à la puissance cinétique du système «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» au même instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 1^er terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;</math>» définit la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er terme du 2^nd membre }}à l'instant <math>\;t</math>, soit «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 2^ème terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;</math>» la puissance développée par les forces intérieures appliquées <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 2^ème terme du 2^nd membre }}au système à l'instant <math>\,t</math>, soit «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-48|⁴⁸]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, {{Al|5}}{{Transparent|Exposé : }}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels <ref> Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_point_matériel_d'un_système_continu-68|⁶⁸]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-somme_continue-71|⁷¹]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-61|⁶¹]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-73|⁷³]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-74|⁷⁴]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-75|⁷⁵]] » présentées plus haut dans ce chapitre.</ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème conséquence) » plus haut dans ce chapitre, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété }}« la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété « la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}est nulle c.-à-d. <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété }}utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <ref name="signification de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> étant la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}à l'instant <math>\,t\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> en cinétique newtonienne, à savoir <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="énergie cinétique d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> par dérivation temporelle, l'expression <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}de la puissance cinétique newtonienne, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\dot{K}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 \right\rbrace = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2 \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}de plus un tel « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="système en translation" /> » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », de plus un tel « }}théorème de la puissance cinétique adapté à un solide dans un référentiel galiléen <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système fermé <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, à la date <math>\,t</math>, dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique est égale à }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}en dynamique newtonienne, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, }}<math>\,\big[\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> étant la résultante dynamique appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et <math>\,G\,</math> le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]\,</math> avec «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>et <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> le C.D.I. de <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)\big]}\,</math> avec }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\,</math> étant sa dérivée temporelle ».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\;\Delta\;</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|<math>\;\big\{</math>c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ne nécessite pas que <math>\;\Delta\;</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, le moment scalaire étant évalué par rapport à <math>\;\Delta\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique" />, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] }} 0r9j23t9nxy4bbkl8nu7ngrfa96r0ju 987441 987440 2026-10-16T03:06:03Z Phl7605 31541 /* Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen */ 987441 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) == === Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque"> Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}s'écrit selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste"> Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.</ref> avec <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>. === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie par <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste" /> se réécrit, dans le cas où <math>\,M\,</math> est en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, pour lequel <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> a pour forme <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}intrinsèque «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» <ref name="forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\big]\,</math> soit, en explicitant <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}dans la définition de <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;</math>» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » <math>\,\big(</math>ce qui laisse ce dernier invariant <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref> La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;</math>».</ref> avec «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,</math> vecteur moment de <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> en <math>\,A\,</math> noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment vectoriel d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée"> Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant <math>\,A\,</math> par le centre <math>\,C\,</math> du cercle.</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation du point <math>\,M\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;</math>» avec }}<math>\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,</math> le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe <math>\,\Delta\,</math> noté <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit au final <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme nettement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref>. === Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\,M\,</math> de « mouvement quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\;M\;</math> de « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, avec <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque <math>\,\big(</math>c.-à-d. aussi de mouvement circulaire<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, pour <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> est la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2^nd membre, }}pour <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire de centre <math>\,C</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,</math> en <math>\,C</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}dans le cas où le point <math>\,M\,</math> a un mouvement « circulaire d'axe <math>\,\Delta\;</math>» <ref> Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.</ref>, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;</math>», <br>traduction symbolique de «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, avec <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>».</ref>.</center> == « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C == === Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\;(m)\,</math> décrivant un mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant <math>\,t</math>, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon <ref name="théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : {{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à <math>\,M\;(m)\,</math> calculés, à l'instant <math>\,t</math>, par rapport au centre <math>\,C\,</math> du cercle de rayon <math>\,R\,</math> décrit par <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» est égal au produit du moment d’inertie de <math>\,M \,</math> par rapport à son axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation <ref> C.-à-d. l'axe du cercle décrit par <math>\,M</math>.</ref> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;</math>» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». ” === « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen === {{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> fixes dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}de moment d'inertie par rapport à <math>\,\Delta\,</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;</math>» et de vecteur rotation instantanée à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation <math>\,\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» dans le but de faire apparaître, dans le 1^er membre, après utilisation de la distributivité de <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, la puissance instantanée <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2^nd membre «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» représente la puissance cinétique du point <math>\,M\,</math> à <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date <math>\,t\,</math> lors de son mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\dot{K}_M(t)\;</math>» en effet, «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="moment d'inertie constant"> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» étant une constante caractérisant la trajectoire de <math>\,M</math>.</ref> soit <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;</math>» <ref name="expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire autour d’un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen s'écrivant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;</math>» <math>\,\big(</math>en dynamique newtonienne<math>\big)</math>, nous retrouvons <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans un mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> » «<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à M"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » <math>\,\big(</math>grandeur cinétique énergétique<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » <math>\;\ldots</math> == Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe == === Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous : {{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,</math> et <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>». === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> prend la forme ci-dessous : {{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math><ref> En effet, définissant <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>» d'où «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>».</ref> où <math>\,J_\Delta(M) = m\;R^2\,</math> est le moment d'inertie de <math>\,M\;(m)\,</math> relativement à <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon <math>\,R\;</math><reF> On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,</math> dans laquelle <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,</math> est le moment cinétique scalaire de <math>\,M\,</math> relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <math>\,\big(</math>utilisée moins fréquemment<math>\big)\,</math> ou <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <math>\,\big(</math>pratiquement jamais utilisée<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>on rappelle la relation <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,</math> avec }}<math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. == Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide == === Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces extérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces extérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> que chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)</math>, extérieur à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de forces extérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée par ce système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}se détermine comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par chaque force extérieure <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi"> En notant <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel <math>\,M_i\,</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures «}}<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>». ==== Cas d’un « système de matière en translation » ==== {{Al|5}}Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un « système discret }}en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points matériels <math>\,M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> du système soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », tous les points matériels <math>\,\color{transparent}{M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ont }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}possibilité de factoriser « scalairement » <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> le 2^nd membre de la « relation <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> » par «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », possibilité de factoriser }}l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> d’où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» ou encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}<u>remarque</u> : <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\,t\,</math> et dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <ref> Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.</ref>. ==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret }}en rotation autour d'un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> avec, à la date <math>\,t</math>, la même vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\,</math> pour tous les points <math>\,M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref> Système indéformable dans la pratique <math>\Rightarrow</math> se comportant, dans ce cas <math>\,\big(</math>le seul que nous envisageons dans la suite<math>\big)</math>, comme un solide au sens de la mécanique <math>\,\big[</math>relire la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-système_en_rotation_autour_d'un_axe-32|³²]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation<math>\big]</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrivant selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> <math>\Rightarrow</math> la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» après factorisation par <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}«<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> étant le moment scalaire résultant dynamique relativement à <math>\,\Delta\,</math> s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, soit <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, d'où finalement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire par rapport à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) =</math> {{Nobr|<math>\left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>»}} dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étan le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, soit finalement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math> <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, soit au final «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M</math> <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}d'où la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation se réécrit selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque <math>\,\big(</math>axe mobile ou immobile dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de <math>\,\mathcal{R}</math>, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures }}le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures le produit }}de sa vitesse angulaire instantanée. ==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ==== {{Al|5}}On admet que le mouvement d’un point quelconque <math>\,M_i\,</math> d'un solide <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque }}peut être considéré comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}d’une rotation instantanée autour d’un axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par <math>\,G\,</math> de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}<math>\big[</math>ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\big]\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable"> Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable" /> <math>\Rightarrow</math> {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, }}<math>\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math><ref> Après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-distributivité_de_la_multiplication_scalaire_relativement_à_l'addition_vectorielle-15|¹⁵]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math><ref> Le 2^ème terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-invariance_du_produit_mixte_par_permutation_circulaire-4|⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> Par commutativité du produit scalaire <math>\;\ldots</math></ref> soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, }}«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> En effet on reconnaît dans <math>\,\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> le vecteur moment résultant dynamique s'exerçait sur le point <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,G\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_vectoriel_d'une_force-6|⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> » ; {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, s'obtient par « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}<math>\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right] + \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>= \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> Par facorisation scalaire de <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)\,</math> dans le 1^er terme et de <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,</math> dans le 2^nd terme <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-factorisation_scalaire-29|²⁹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> En effet <math>\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> exercée sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière <math>\,\big(</math>admis<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-résultante_dynamique_exercée_sur_un_système_continu_de_matière_30|³⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}<math>\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> est le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,G</math>, <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>, exercé sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière <math>\,\big(</math>admis et détaillé dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_résultant_dynamique_vectoriel_exercé_sur_un_système_continu_de_matière_relativement_à_G-43|⁴³]] » plus loin dans ce chapitre<math>\big)</math>.</ref>{{,}} <ref name="moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,;</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> » ou <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\, \vec{u}_{\Delta_G} \right]\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\vec{u}_{\Delta_G}\,</math> vecteur unitaire orientant <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>\,\Delta_G\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) = \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\,</math> où <math>\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée du <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}solide autour de l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide<math>\big]</math>, soit encore <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right]\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\,</math> où <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\,</math> est le <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }} moment résultant dynamique scalaire <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,</math> exercé sur le solide par rapport à <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide <ref name="moment résultant dynamique scalaire "> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.</ref> <math>\Rightarrow</math> {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, se réécrit, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;</math>» <ref> Forme légèrement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;</math>».</ref> s'obtenant en ajoutant <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}<math>\bullet\;</math>la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}<math>\bullet\;</math>la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour de l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math>». === Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces intérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système des forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures }}est la somme des puissances développées, à la date <math>\;t</math>, par chaque force intérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « }}<math>\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\,</math> après factorisation scalaire par <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> dans la somme sur <math>\,_j\;</math><ref> <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math> étant une constante dans la somme discrète sur <math>\,_j</math>.</ref>{{,}} <ref name="factorisation scalaire" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}dans laquelle <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> est le vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> . ==== Autres expressions équivalentes ==== {{Al|5}}<math>\succ\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\left( i\,,\, j \right)\,</math> dans la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans la puissance développée, }}par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans la puissance développée, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels }}avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1 et 2" />, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on utilise la 1^ère relation «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» introduite dans le principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> pour factoriser scalairement <ref name="factorisation scalaire" /> le terme entre crochets par «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>», ce qui donne <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,</math>» ou, en évaluant dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}<math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t)</math> <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;</math>» par utilisation de la [[w:Relation_de_Chasles|relation de Chasles]] <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la [[w:Relation_de_Chasles|relation dite de Chasles]], connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref>, <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\,</math> est donc la dérivée temporelle, dans <math>\,\mathcal{R}</math>, du vecteur position <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}relative <math>\,\overrightarrow{M_jM_i}(t)\,</math> de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}en définissant le « référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,;</math> lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport à <math>\,\mathcal{R}\;</math>», <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\,</math> est encore égale à <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>» c.-à-d. le « vecteur vitesse <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}relative à l'instant <math>\,t\,</math> de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_j\,</math>» <ref name="égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation"> En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] » du chap.<math>25</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Edmond_Bour|Jacques Edmond Émile Bour]] (1832 - 1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de <math>\,33\,</math>ans.</ref> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>». {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Si on remplace la double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>, tous deux variant dans <math>\,\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\,</math> avec la contrainte <math>\,j > i\,</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}par une double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>, tous deux variant dans <math>\,\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\,</math> avec la contrainte <math>\,j \neq i\,</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}on compte deux fois chaque terme de la 1^ère double somme dans la 2^ème double somme <ref> En effet le terme générique de la 1^ère double somme «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\,</math> avec <math>\,j = j_0 > i = i_0\;</math>» <math>\,\big(</math>aussi terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\,j > i\big)\,</math> étant égal au terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\,j < i\,</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\,</math> avec <math>\,j = i_0 < i = j_0\;</math>» car <math>\,\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\,</math> d'une part et <math>\,\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\,</math> d'autre part, chaque terme de la 1^ère double somme se retrouve tel quel dans la 2^ème double somme avec <math>\,j > i\,</math> mais aussi sous une forme résultant de la permutation <math>\,i \leftrightarrow j\,</math> du terme précédent conduisant à <math>\,j < i\,</math> d'où la 2^ème double somme égale à deux fois la 1^ère double somme <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math>}} <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\,</math> des forces que <math>\,M_j\,</math> exerce sur tous les autres points <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}}\,</math> des forces que <math>\,\color{transparent}{M_j}\,</math> exerce sur }}<math>\,M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;</math><ref> Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}</math>, <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\,</math> ou <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\,</math> des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que <math>\,M'\,</math> exerce sur tous les autres points «<math>\;M</math> <math>\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, <math>\,\in\,\left( S \right)\,</math> ou <math>\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math>».</ref>. ==== Conséquences diverses ==== {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}est non nulle dans le cas général soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\,</math> dans le cas général » <ref name="Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures"> Contrairement à la résultante et au moment résultant en n’importe quel point origine, du système des forces intérieures, tous deux toujours nuls, pour tout système fermé de matière discret ou continu, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement à la résultante et au moment résultant en n’importe quel point origine, du système des forces intérieures, tous deux toujours nuls, pour tout système }}indéformable ou déformable ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}celle développée par le moment résultant vectoriel également nulle par nullité du moment vectoriel, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement le fait }}montre que <u>la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures</u>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement le fait montre que }}<u>ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système</u> ; <br>{{Al|3}}on peut généraliser cela au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système fermé de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}<u>la résultante dynamique et le moment résultant dynamique en n’importe quel point origine sont insuffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures</u>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}la 1^ère permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. <math>\,G\,</math> du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}le 2^nd celle du mouvement de rotation autour de <math>\,G\,</math> dans le même référentiel galiléen mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « <u>on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant</u> <math>\,\big(</math>cela ne devenant possible que si le système ne se déforme pas<math>\big)\;</math>».</ref>, la raison étant que les relations <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives }}en général individuellement non nuls, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}« la non nullité de <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» sauf cas particuliers <math>\,\big(</math>restant à préciser<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>En repérant le point «<math>\;M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\,</math> soit <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> pour base sphérique liée à <math>\,M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}la « force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> liée à <math>\,M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="déduction de la 2ème relation du principe des actions réciproques"> Se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-principe_des_actions_réciproques-51|⁵¹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\,</math> <math>\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\,</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,</math>» <br>{{Al|3}}{{Transparent|cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet }}car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}</math>», ceci établit que <br>{{Al|3}}{{Transparent|cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet }}«<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» c.-à-d. une même expression par permutation de <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>.</ref> définissant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}« l'intensité de l’interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\;</math>» simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\,</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}le « vecteur vitesse relative de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\;</math>», «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>», s’écrit, dans la « base sphérique de <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> liée à <math>\,M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» « }}<math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[</math>la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> étant orthonormée<math>\big]\,</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» l'expression, en sphérique, de la puissance développée par }}«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, soit finalament <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> [[Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( S \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( S \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, <math>\Big[</math>pour simplifier on pose <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]\,</math> en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \Gamma \right)</math>, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}exprimée en repérant «<math>\;M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\;</math>», soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}si la distance séparant deux points quelconques de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> reste constante <math>\,\big\{</math>c.-à-d. si <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> « ne se déforme pas » <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref><math>\big\}</math>, on a <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures si }}«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t) = 0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;</math>» <ref name="distance entre deux points d'un système continu fermé indéformable"> Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)</math> <math>\,\in \left( \mathcal{V} \right)^2</math>, <math>\,\in \left( S \right)^2\;</math> ou <math>\,\in \left( \Gamma \right)^2\;</math>».</ref> et on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />{{,}} <ref> Applicable pour un système fermé indéformable, discret de points matériels ou continu de matière.</ref>. == Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === ==== Énoncé ==== {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique à la somme }}de celle développée par les forces intérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. ==== Démonstration ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire </u> : La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : La démonstration }}est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : La démonstration }}pourrait être refaite <math>\,\big(</math>bien qu'un peu plus lourde d'exposition<math>\big)\,</math> pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel <math>\,M_i\;</math><ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on applique }}«<math>\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu"> Pour <math>\,M\;\in\,</math> à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> s'écrit : * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( S \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, }}on ajoute, membre à membre, les <math>\,N\,</math> relations définies ci-dessus <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue"> La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> par une intégrale volumique sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, si ce système est d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> par une intégrale surfacique sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ou ce système est d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> par une intégrale curviligne sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 1^er membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;</math>» se réécrivant «<math>\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;</math>» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition <ref> Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er membre }}est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie cinétique du système s'écrit : * «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}</math>, * «<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref> à l'instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er membre est égale }}à la puissance cinétique du système «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» au même instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 1^er terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;</math>» définit la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er terme du 2^nd membre }}à l'instant <math>\;t</math>, soit «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 2^ème terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;</math>» la puissance développée par les forces intérieures appliquées <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 2^ème terme du 2^nd membre }}au système à l'instant <math>\,t</math>, soit «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-48|⁴⁸]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, {{Al|5}}{{Transparent|Exposé : }}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels <ref> Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_point_matériel_d'un_système_continu-68|⁶⁸]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-somme_continue-71|⁷¹]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-61|⁶¹]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-73|⁷³]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-74|⁷⁴]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-75|⁷⁵]] » présentées plus haut dans ce chapitre.</ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème conséquence) » plus haut dans ce chapitre, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété }}« la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété « la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}est nulle c.-à-d. <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété }}utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <ref name="signification de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> étant la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}à l'instant <math>\,t\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> en cinétique newtonienne, à savoir <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="énergie cinétique d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> par dérivation temporelle, l'expression <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}de la puissance cinétique newtonienne, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\dot{K}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 \right\rbrace = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2 \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}de plus un tel « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="système en translation" /> » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », de plus un tel « }}théorème de la puissance cinétique adapté à un solide dans un référentiel galiléen <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système fermé <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, à la date <math>\,t</math>, dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique est égale à }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}en dynamique newtonienne, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, }}<math>\,\big[\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> étant la résultante dynamique appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et <math>\,G\,</math> le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]\,</math> avec «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>et <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> le C.D.I. de <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)\big]}\,</math> avec }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\,</math> étant sa dérivée temporelle ».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>{{,}} <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, moment scalaire évalué par rapport à <math>\,\Delta\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> en cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}newtonienne, à savoir «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\Rightarrow</math> par dérivation temporelle de l'expression de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta</math>, l'expression <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}de la puissance cinétique newtonienne, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\dot{K}_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}de plus un tel « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation de plus un tel « }}lui appliquer le théorème de la puissance cinétique adapté à un solide dans un référentiel galiléen <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide" /> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système fermé <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation, à la date <math>\,t</math>, autour de l'axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique est égale à la puissance développée par }}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» appliqué au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique est égale à }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}en dynamique newtonienne, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <math>\,\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> autour de l'axe rotatoire <math>\,\Delta\big]</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, « }}avec «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\,</math> est le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, « avec «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{syst. en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» où «<math>\;\color{transparent}{J_\Delta}\,</math> est le }}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, « avec }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> étant la dérivée temporelle de <math>\,K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>».}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] }} lbzbt4xd1chjqino9fqna7vk4u7shz4 987442 987441 2026-10-16T03:17:57Z Phl7605 31541 /* Définition */ 987442 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) == === Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque"> Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}s'écrit selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste"> Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.</ref> avec <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>. === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie par <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste" /> se réécrit, dans le cas où <math>\,M\,</math> est en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, pour lequel <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> a pour forme <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}intrinsèque «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» <ref name="forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\big]\,</math> soit, en explicitant <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}dans la définition de <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;</math>» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » <math>\,\big(</math>ce qui laisse ce dernier invariant <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref> La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;</math>».</ref> avec «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,</math> vecteur moment de <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> en <math>\,A\,</math> noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment vectoriel d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée"> Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant <math>\,A\,</math> par le centre <math>\,C\,</math> du cercle.</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation du point <math>\,M\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;</math>» avec }}<math>\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,</math> le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe <math>\,\Delta\,</math> noté <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit au final <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme nettement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref>. === Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\,M\,</math> de « mouvement quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\;M\;</math> de « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, avec <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque <math>\,\big(</math>c.-à-d. aussi de mouvement circulaire<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, pour <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> est la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2^nd membre, }}pour <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire de centre <math>\,C</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,</math> en <math>\,C</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}dans le cas où le point <math>\,M\,</math> a un mouvement « circulaire d'axe <math>\,\Delta\;</math>» <ref> Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.</ref>, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;</math>», <br>traduction symbolique de «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, avec <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>».</ref>.</center> == « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C == === Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\;(m)\,</math> décrivant un mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant <math>\,t</math>, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon <ref name="théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : {{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à <math>\,M\;(m)\,</math> calculés, à l'instant <math>\,t</math>, par rapport au centre <math>\,C\,</math> du cercle de rayon <math>\,R\,</math> décrit par <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» est égal au produit du moment d’inertie de <math>\,M \,</math> par rapport à son axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation <ref> C.-à-d. l'axe du cercle décrit par <math>\,M</math>.</ref> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;</math>» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». ” === « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen === {{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> fixes dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}de moment d'inertie par rapport à <math>\,\Delta\,</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;</math>» et de vecteur rotation instantanée à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation <math>\,\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» dans le but de faire apparaître, dans le 1^er membre, après utilisation de la distributivité de <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, la puissance instantanée <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2^nd membre «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» représente la puissance cinétique du point <math>\,M\,</math> à <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date <math>\,t\,</math> lors de son mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\dot{K}_M(t)\;</math>» en effet, «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="moment d'inertie constant"> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» étant une constante caractérisant la trajectoire de <math>\,M</math>.</ref> soit <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;</math>» <ref name="expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire autour d’un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen s'écrivant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;</math>» <math>\,\big(</math>en dynamique newtonienne<math>\big)</math>, nous retrouvons <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans un mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> » «<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à M"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » <math>\,\big(</math>grandeur cinétique énergétique<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » <math>\;\ldots</math> == Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe == === Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous : {{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,</math> et <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>». === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> prend la forme ci-dessous : {{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math><ref> En effet, définissant <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>» d'où «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>».</ref> où <math>\,J_\Delta(M) = m\;R^2\,</math> est le moment d'inertie de <math>\,M\;(m)\,</math> relativement à <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon <math>\,R\;</math><reF> On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,</math> dans laquelle <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,</math> est le moment cinétique scalaire de <math>\,M\,</math> relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <math>\,\big(</math>utilisée moins fréquemment<math>\big)\,</math> ou <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <math>\,\big(</math>pratiquement jamais utilisée<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>on rappelle la relation <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,</math> avec }}<math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. == Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide == === Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces extérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces extérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> que chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)</math>, extérieur à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de forces extérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée par ce système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}se détermine comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par chaque force extérieure <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi"> En notant <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel <math>\,M_i\,</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|31}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|31}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures «}}<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>». ==== Cas d’un « système de matière en translation » ==== {{Al|5}}Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un « système discret }}en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points matériels <math>\,M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> du système soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », tous les points matériels <math>\,\color{transparent}{M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ont }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}possibilité de factoriser « scalairement » <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> le 2^nd membre de la « relation <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> » par «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », possibilité de factoriser }}l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> d’où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» ou encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}<u>remarque</u> : <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\,t\,</math> et dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <ref> Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.</ref>. ==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret }}en rotation autour d'un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> avec, à la date <math>\,t</math>, la même vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\,</math> pour tous les points <math>\,M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref> Système indéformable dans la pratique <math>\Rightarrow</math> se comportant, dans ce cas <math>\,\big(</math>le seul que nous envisageons dans la suite<math>\big)</math>, comme un solide au sens de la mécanique <math>\,\big[</math>relire la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-système_en_rotation_autour_d'un_axe-32|³²]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation<math>\big]</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrivant selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> <math>\Rightarrow</math> la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» après factorisation par <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}«<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> étant le moment scalaire résultant dynamique relativement à <math>\,\Delta\,</math> s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, soit <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, d'où finalement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire par rapport à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) =</math> {{Nobr|<math>\left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>»}} dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étan le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, soit finalement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math> <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, soit au final «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M</math> <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}d'où la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation se réécrit selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque <math>\,\big(</math>axe mobile ou immobile dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de <math>\,\mathcal{R}</math>, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures }}le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures le produit }}de sa vitesse angulaire instantanée. ==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ==== {{Al|5}}On admet que le mouvement d’un point quelconque <math>\,M_i\,</math> d'un solide <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque }}peut être considéré comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}d’une rotation instantanée autour d’un axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par <math>\,G\,</math> de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}<math>\big[</math>ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\big]\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable"> Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable" /> <math>\Rightarrow</math> {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, }}<math>\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math><ref> Après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-distributivité_de_la_multiplication_scalaire_relativement_à_l'addition_vectorielle-15|¹⁵]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math><ref> Le 2^ème terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-invariance_du_produit_mixte_par_permutation_circulaire-4|⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> Par commutativité du produit scalaire <math>\;\ldots</math></ref> soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, }}«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> En effet on reconnaît dans <math>\,\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> le vecteur moment résultant dynamique s'exerçait sur le point <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,G\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_vectoriel_d'une_force-6|⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> » ; {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, s'obtient par « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}<math>\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right] + \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>= \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> Par facorisation scalaire de <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)\,</math> dans le 1^er terme et de <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,</math> dans le 2^nd terme <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-factorisation_scalaire-29|²⁹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> En effet <math>\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> exercée sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière <math>\,\big(</math>admis<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-résultante_dynamique_exercée_sur_un_système_continu_de_matière_30|³⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}<math>\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> est le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,G</math>, <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>, exercé sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière <math>\,\big(</math>admis et détaillé dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_résultant_dynamique_vectoriel_exercé_sur_un_système_continu_de_matière_relativement_à_G-43|⁴³]] » plus loin dans ce chapitre<math>\big)</math>.</ref>{{,}} <ref name="moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,;</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> » ou <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\, \vec{u}_{\Delta_G} \right]\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\vec{u}_{\Delta_G}\,</math> vecteur unitaire orientant <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>\,\Delta_G\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) = \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\,</math> où <math>\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée du <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}solide autour de l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide<math>\big]</math>, soit encore <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right]\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\,</math> où <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\,</math> est le <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }} moment résultant dynamique scalaire <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,</math> exercé sur le solide par rapport à <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide <ref name="moment résultant dynamique scalaire "> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.</ref> <math>\Rightarrow</math> {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, se réécrit, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;</math>» <ref> Forme légèrement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;</math>».</ref> s'obtenant en ajoutant <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}<math>\bullet\;</math>la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}<math>\bullet\;</math>la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour de l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math>». === Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces intérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système des forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures }}est la somme des puissances développées, à la date <math>\;t</math>, par chaque force intérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « }}<math>\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\,</math> après factorisation scalaire par <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> dans la somme sur <math>\,_j\;</math><ref> <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math> étant une constante dans la somme discrète sur <math>\,_j</math>.</ref>{{,}} <ref name="factorisation scalaire" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}dans laquelle <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> est le vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> . ==== Autres expressions équivalentes ==== {{Al|5}}<math>\succ\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\left( i\,,\, j \right)\,</math> dans la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans la puissance développée, }}par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans la puissance développée, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels }}avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1 et 2" />, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on utilise la 1^ère relation «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» introduite dans le principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> pour factoriser scalairement <ref name="factorisation scalaire" /> le terme entre crochets par «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>», ce qui donne <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,</math>» ou, en évaluant dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}<math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t)</math> <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;</math>» par utilisation de la [[w:Relation_de_Chasles|relation de Chasles]] <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la [[w:Relation_de_Chasles|relation dite de Chasles]], connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref>, <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\,</math> est donc la dérivée temporelle, dans <math>\,\mathcal{R}</math>, du vecteur position <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}relative <math>\,\overrightarrow{M_jM_i}(t)\,</math> de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}en définissant le « référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,;</math> lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport à <math>\,\mathcal{R}\;</math>», <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\,</math> est encore égale à <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>» c.-à-d. le « vecteur vitesse <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}relative à l'instant <math>\,t\,</math> de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_j\,</math>» <ref name="égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation"> En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] » du chap.<math>25</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Edmond_Bour|Jacques Edmond Émile Bour]] (1832 - 1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de <math>\,33\,</math>ans.</ref> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>». {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Si on remplace la double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>, tous deux variant dans <math>\,\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\,</math> avec la contrainte <math>\,j > i\,</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}par une double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>, tous deux variant dans <math>\,\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\,</math> avec la contrainte <math>\,j \neq i\,</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}on compte deux fois chaque terme de la 1^ère double somme dans la 2^ème double somme <ref> En effet le terme générique de la 1^ère double somme «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\,</math> avec <math>\,j = j_0 > i = i_0\;</math>» <math>\,\big(</math>aussi terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\,j > i\big)\,</math> étant égal au terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\,j < i\,</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\,</math> avec <math>\,j = i_0 < i = j_0\;</math>» car <math>\,\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\,</math> d'une part et <math>\,\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\,</math> d'autre part, chaque terme de la 1^ère double somme se retrouve tel quel dans la 2^ème double somme avec <math>\,j > i\,</math> mais aussi sous une forme résultant de la permutation <math>\,i \leftrightarrow j\,</math> du terme précédent conduisant à <math>\,j < i\,</math> d'où la 2^ème double somme égale à deux fois la 1^ère double somme <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math>}} <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\,</math> des forces que <math>\,M_j\,</math> exerce sur tous les autres points <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}}\,</math> des forces que <math>\,\color{transparent}{M_j}\,</math> exerce sur }}<math>\,M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;</math><ref> Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}</math>, <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\,</math> ou <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\,</math> des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que <math>\,M'\,</math> exerce sur tous les autres points «<math>\;M</math> <math>\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, <math>\,\in\,\left( S \right)\,</math> ou <math>\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math>».</ref>. ==== Conséquences diverses ==== {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}est non nulle dans le cas général soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\,</math> dans le cas général » <ref name="Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures"> Contrairement à la résultante et au moment résultant en n’importe quel point origine, du système des forces intérieures, tous deux toujours nuls, pour tout système fermé de matière discret ou continu, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement à la résultante et au moment résultant en n’importe quel point origine, du système des forces intérieures, tous deux toujours nuls, pour tout système }}indéformable ou déformable ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}celle développée par le moment résultant vectoriel également nulle par nullité du moment vectoriel, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement le fait }}montre que <u>la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures</u>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement le fait montre que }}<u>ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système</u> ; <br>{{Al|3}}on peut généraliser cela au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système fermé de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}<u>la résultante dynamique et le moment résultant dynamique en n’importe quel point origine sont insuffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures</u>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}la 1^ère permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. <math>\,G\,</math> du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}le 2^nd celle du mouvement de rotation autour de <math>\,G\,</math> dans le même référentiel galiléen mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « <u>on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant</u> <math>\,\big(</math>cela ne devenant possible que si le système ne se déforme pas<math>\big)\;</math>».</ref>, la raison étant que les relations <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives }}en général individuellement non nuls, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}« la non nullité de <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» sauf cas particuliers <math>\,\big(</math>restant à préciser<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>En repérant le point «<math>\;M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\,</math> soit <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> pour base sphérique liée à <math>\,M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}la « force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> liée à <math>\,M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="déduction de la 2ème relation du principe des actions réciproques"> Se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-principe_des_actions_réciproques-51|⁵¹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\,</math> <math>\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\,</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,</math>» <br>{{Al|3}}{{Transparent|cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet }}car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}</math>», ceci établit que <br>{{Al|3}}{{Transparent|cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet }}«<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» c.-à-d. une même expression par permutation de <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>.</ref> définissant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}« l'intensité de l’interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\;</math>» simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\,</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}le « vecteur vitesse relative de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\;</math>», «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>», s’écrit, dans la « base sphérique de <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> liée à <math>\,M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» « }}<math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[</math>la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> étant orthonormée<math>\big]\,</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» l'expression, en sphérique, de la puissance développée par }}«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, soit finalament <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> [[Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( S \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( S \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, <math>\Big[</math>pour simplifier on pose <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]\,</math> en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \Gamma \right)</math>, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}exprimée en repérant «<math>\;M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\;</math>», soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}si la distance séparant deux points quelconques de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> reste constante <math>\,\big\{</math>c.-à-d. si <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> « ne se déforme pas » <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref><math>\big\}</math>, on a <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures si }}«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t) = 0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;</math>» <ref name="distance entre deux points d'un système continu fermé indéformable"> Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)</math> <math>\,\in \left( \mathcal{V} \right)^2</math>, <math>\,\in \left( S \right)^2\;</math> ou <math>\,\in \left( \Gamma \right)^2\;</math>».</ref> et on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />{{,}} <ref> Applicable pour un système fermé indéformable, discret de points matériels ou continu de matière.</ref>. == Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === ==== Énoncé ==== {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique à la somme }}de celle développée par les forces intérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. ==== Démonstration ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire </u> : La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : La démonstration }}est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : La démonstration }}pourrait être refaite <math>\,\big(</math>bien qu'un peu plus lourde d'exposition<math>\big)\,</math> pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel <math>\,M_i\;</math><ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on applique }}«<math>\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu"> Pour <math>\,M\;\in\,</math> à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> s'écrit : * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( S \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, }}on ajoute, membre à membre, les <math>\,N\,</math> relations définies ci-dessus <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue"> La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> par une intégrale volumique sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, si ce système est d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> par une intégrale surfacique sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ou ce système est d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> par une intégrale curviligne sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 1^er membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;</math>» se réécrivant «<math>\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;</math>» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition <ref> Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er membre }}est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie cinétique du système s'écrit : * «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}</math>, * «<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref> à l'instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er membre est égale }}à la puissance cinétique du système «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» au même instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 1^er terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;</math>» définit la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er terme du 2^nd membre }}à l'instant <math>\;t</math>, soit «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 2^ème terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;</math>» la puissance développée par les forces intérieures appliquées <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 2^ème terme du 2^nd membre }}au système à l'instant <math>\,t</math>, soit «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-48|⁴⁸]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, {{Al|5}}{{Transparent|Exposé : }}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels <ref> Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_point_matériel_d'un_système_continu-68|⁶⁸]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-somme_continue-71|⁷¹]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-61|⁶¹]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-73|⁷³]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-74|⁷⁴]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-75|⁷⁵]] » présentées plus haut dans ce chapitre.</ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème conséquence) » plus haut dans ce chapitre, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété }}« la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété « la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}est nulle c.-à-d. <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété }}utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <ref name="signification de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> étant la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}à l'instant <math>\,t\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> en cinétique newtonienne, à savoir <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="énergie cinétique d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> par dérivation temporelle, l'expression <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}de la puissance cinétique newtonienne, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\dot{K}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 \right\rbrace = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2 \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}de plus un tel « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="système en translation" /> » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », de plus un tel « }}théorème de la puissance cinétique adapté à un solide dans un référentiel galiléen <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système fermé <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, à la date <math>\,t</math>, dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique est égale à }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}en dynamique newtonienne, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, }}<math>\,\big[\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> étant la résultante dynamique appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et <math>\,G\,</math> le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]\,</math> avec «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>et <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> le C.D.I. de <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)\big]}\,</math> avec }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\,</math> étant sa dérivée temporelle ».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>{{,}} <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, moment scalaire évalué par rapport à <math>\,\Delta\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> en cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}newtonienne, à savoir «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\Rightarrow</math> par dérivation temporelle de l'expression de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta</math>, l'expression <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}de la puissance cinétique newtonienne, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\dot{K}_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}de plus un tel « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation de plus un tel « }}lui appliquer le théorème de la puissance cinétique adapté à un solide dans un référentiel galiléen <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide" /> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système fermé <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation, à la date <math>\,t</math>, autour de l'axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique est égale à la puissance développée par }}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» appliqué au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique est égale à }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}en dynamique newtonienne, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <math>\,\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> autour de l'axe rotatoire <math>\,\Delta\big]</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, « }}avec «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\,</math> est le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, « avec «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{syst. en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» où «<math>\;\color{transparent}{J_\Delta}\,</math> est le }}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, « avec }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> étant la dérivée temporelle de <math>\,K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>».}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] }} j2abwfq0e9nmtb3utielz3hktsgdjed 987443 987442 2026-10-16T03:21:25Z Phl7605 31541 /* Cas d’un « système de matière en translation » */ 987443 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) == === Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque"> Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}s'écrit selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste"> Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.</ref> avec <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>. === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie par <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste" /> se réécrit, dans le cas où <math>\,M\,</math> est en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, pour lequel <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> a pour forme <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}intrinsèque «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» <ref name="forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\big]\,</math> soit, en explicitant <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}dans la définition de <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;</math>» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » <math>\,\big(</math>ce qui laisse ce dernier invariant <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref> La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;</math>».</ref> avec «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,</math> vecteur moment de <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> en <math>\,A\,</math> noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment vectoriel d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée"> Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant <math>\,A\,</math> par le centre <math>\,C\,</math> du cercle.</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation du point <math>\,M\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;</math>» avec }}<math>\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,</math> le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe <math>\,\Delta\,</math> noté <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit au final <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme nettement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref>. === Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\,M\,</math> de « mouvement quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\;M\;</math> de « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, avec <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque <math>\,\big(</math>c.-à-d. aussi de mouvement circulaire<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, pour <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> est la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2^nd membre, }}pour <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire de centre <math>\,C</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,</math> en <math>\,C</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}dans le cas où le point <math>\,M\,</math> a un mouvement « circulaire d'axe <math>\,\Delta\;</math>» <ref> Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.</ref>, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;</math>», <br>traduction symbolique de «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, avec <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>».</ref>.</center> == « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C == === Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\;(m)\,</math> décrivant un mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant <math>\,t</math>, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon <ref name="théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : {{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à <math>\,M\;(m)\,</math> calculés, à l'instant <math>\,t</math>, par rapport au centre <math>\,C\,</math> du cercle de rayon <math>\,R\,</math> décrit par <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» est égal au produit du moment d’inertie de <math>\,M \,</math> par rapport à son axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation <ref> C.-à-d. l'axe du cercle décrit par <math>\,M</math>.</ref> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;</math>» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». ” === « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen === {{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> fixes dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}de moment d'inertie par rapport à <math>\,\Delta\,</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;</math>» et de vecteur rotation instantanée à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation <math>\,\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» dans le but de faire apparaître, dans le 1^er membre, après utilisation de la distributivité de <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, la puissance instantanée <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2^nd membre «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» représente la puissance cinétique du point <math>\,M\,</math> à <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date <math>\,t\,</math> lors de son mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\dot{K}_M(t)\;</math>» en effet, «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="moment d'inertie constant"> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» étant une constante caractérisant la trajectoire de <math>\,M</math>.</ref> soit <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;</math>» <ref name="expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire autour d’un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen s'écrivant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;</math>» <math>\,\big(</math>en dynamique newtonienne<math>\big)</math>, nous retrouvons <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans un mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> » «<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à M"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » <math>\,\big(</math>grandeur cinétique énergétique<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » <math>\;\ldots</math> == Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe == === Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous : {{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,</math> et <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>». === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> prend la forme ci-dessous : {{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math><ref> En effet, définissant <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>» d'où «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>».</ref> où <math>\,J_\Delta(M) = m\;R^2\,</math> est le moment d'inertie de <math>\,M\;(m)\,</math> relativement à <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon <math>\,R\;</math><reF> On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,</math> dans laquelle <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,</math> est le moment cinétique scalaire de <math>\,M\,</math> relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <math>\,\big(</math>utilisée moins fréquemment<math>\big)\,</math> ou <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <math>\,\big(</math>pratiquement jamais utilisée<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>on rappelle la relation <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,</math> avec }}<math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. == Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide == === Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces extérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces extérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> que chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)</math>, extérieur à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de forces extérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée par ce système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}se détermine comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par chaque force extérieure <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi"> En notant <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel <math>\,M_i\,</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|31}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|31}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures «}}<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>». ==== Cas d’un « système de matière en translation » ==== {{Al|5}}Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un « système discret }}en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points matériels <math>\,M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> du système soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », tous les points matériels <math>\,\color{transparent}{M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ont }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}possibilité de factoriser « scalairement » <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> le 2^nd membre de la « relation <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> » par «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », possibilité de factoriser }}l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> d’où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» ou encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}<u>remarque</u> : <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\,t\,</math> et dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <ref> Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.</ref>. ==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret }}en rotation autour d'un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> avec, à la date <math>\,t</math>, la même vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\,</math> pour tous les points <math>\,M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref> Système indéformable dans la pratique <math>\Rightarrow</math> se comportant, dans ce cas <math>\,\big(</math>le seul que nous envisageons dans la suite<math>\big)</math>, comme un solide au sens de la mécanique <math>\,\big[</math>relire la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-système_en_rotation_autour_d'un_axe-32|³²]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation<math>\big]</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrivant selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> <math>\Rightarrow</math> la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» après factorisation par <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}«<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> étant le moment scalaire résultant dynamique relativement à <math>\,\Delta\,</math> s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, soit <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, d'où finalement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire par rapport à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) =</math> {{Nobr|<math>\left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>»}} dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étan le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, soit finalement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math> <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, soit au final «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M</math> <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}d'où la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation se réécrit selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque <math>\,\big(</math>axe mobile ou immobile dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de <math>\,\mathcal{R}</math>, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures }}le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures le produit }}de sa vitesse angulaire instantanée. ==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ==== {{Al|5}}On admet que le mouvement d’un point quelconque <math>\,M_i\,</math> d'un solide <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque }}peut être considéré comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}d’une rotation instantanée autour d’un axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par <math>\,G\,</math> de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}<math>\big[</math>ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\big]\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable"> Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable" /> <math>\Rightarrow</math> {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, }}<math>\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math><ref> Après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-distributivité_de_la_multiplication_scalaire_relativement_à_l'addition_vectorielle-15|¹⁵]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math><ref> Le 2^ème terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-invariance_du_produit_mixte_par_permutation_circulaire-4|⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> Par commutativité du produit scalaire <math>\;\ldots</math></ref> soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, }}«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> En effet on reconnaît dans <math>\,\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> le vecteur moment résultant dynamique s'exerçait sur le point <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,G\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_vectoriel_d'une_force-6|⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> » ; {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, s'obtient par « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}<math>\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right] + \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>= \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> Par facorisation scalaire de <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)\,</math> dans le 1^er terme et de <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,</math> dans le 2^nd terme <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-factorisation_scalaire-29|²⁹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> En effet <math>\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> exercée sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière <math>\,\big(</math>admis<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-résultante_dynamique_exercée_sur_un_système_continu_de_matière_30|³⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}<math>\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> est le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,G</math>, <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>, exercé sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière <math>\,\big(</math>admis et détaillé dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_résultant_dynamique_vectoriel_exercé_sur_un_système_continu_de_matière_relativement_à_G-43|⁴³]] » plus loin dans ce chapitre<math>\big)</math>.</ref>{{,}} <ref name="moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,;</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> » ou <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\, \vec{u}_{\Delta_G} \right]\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\vec{u}_{\Delta_G}\,</math> vecteur unitaire orientant <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>\,\Delta_G\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) = \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\,</math> où <math>\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée du <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}solide autour de l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide<math>\big]</math>, soit encore <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right]\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\,</math> où <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\,</math> est le <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }} moment résultant dynamique scalaire <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,</math> exercé sur le solide par rapport à <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide <ref name="moment résultant dynamique scalaire "> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.</ref> <math>\Rightarrow</math> {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, se réécrit, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;</math>» <ref> Forme légèrement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;</math>».</ref> s'obtenant en ajoutant <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}<math>\bullet\;</math>la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}<math>\bullet\;</math>la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour de l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math>». === Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces intérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système des forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures }}est la somme des puissances développées, à la date <math>\;t</math>, par chaque force intérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « }}<math>\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\,</math> après factorisation scalaire par <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> dans la somme sur <math>\,_j\;</math><ref> <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math> étant une constante dans la somme discrète sur <math>\,_j</math>.</ref>{{,}} <ref name="factorisation scalaire" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}dans laquelle <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> est le vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> . ==== Autres expressions équivalentes ==== {{Al|5}}<math>\succ\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\left( i\,,\, j \right)\,</math> dans la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans la puissance développée, }}par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans la puissance développée, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels }}avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1 et 2" />, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on utilise la 1^ère relation «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» introduite dans le principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> pour factoriser scalairement <ref name="factorisation scalaire" /> le terme entre crochets par «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>», ce qui donne <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,</math>» ou, en évaluant dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}<math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t)</math> <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;</math>» par utilisation de la [[w:Relation_de_Chasles|relation de Chasles]] <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la [[w:Relation_de_Chasles|relation dite de Chasles]], connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref>, <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\,</math> est donc la dérivée temporelle, dans <math>\,\mathcal{R}</math>, du vecteur position <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}relative <math>\,\overrightarrow{M_jM_i}(t)\,</math> de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}en définissant le « référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,;</math> lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport à <math>\,\mathcal{R}\;</math>», <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\,</math> est encore égale à <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>» c.-à-d. le « vecteur vitesse <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}relative à l'instant <math>\,t\,</math> de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_j\,</math>» <ref name="égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation"> En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] » du chap.<math>25</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Edmond_Bour|Jacques Edmond Émile Bour]] (1832 - 1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de <math>\,33\,</math>ans.</ref> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>». {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Si on remplace la double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>, tous deux variant dans <math>\,\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\,</math> avec la contrainte <math>\,j > i\,</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}par une double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>, tous deux variant dans <math>\,\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\,</math> avec la contrainte <math>\,j \neq i\,</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}on compte deux fois chaque terme de la 1^ère double somme dans la 2^ème double somme <ref> En effet le terme générique de la 1^ère double somme «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\,</math> avec <math>\,j = j_0 > i = i_0\;</math>» <math>\,\big(</math>aussi terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\,j > i\big)\,</math> étant égal au terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\,j < i\,</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\,</math> avec <math>\,j = i_0 < i = j_0\;</math>» car <math>\,\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\,</math> d'une part et <math>\,\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\,</math> d'autre part, chaque terme de la 1^ère double somme se retrouve tel quel dans la 2^ème double somme avec <math>\,j > i\,</math> mais aussi sous une forme résultant de la permutation <math>\,i \leftrightarrow j\,</math> du terme précédent conduisant à <math>\,j < i\,</math> d'où la 2^ème double somme égale à deux fois la 1^ère double somme <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math>}} <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\,</math> des forces que <math>\,M_j\,</math> exerce sur tous les autres points <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}}\,</math> des forces que <math>\,\color{transparent}{M_j}\,</math> exerce sur }}<math>\,M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;</math><ref> Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}</math>, <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\,</math> ou <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\,</math> des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que <math>\,M'\,</math> exerce sur tous les autres points «<math>\;M</math> <math>\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, <math>\,\in\,\left( S \right)\,</math> ou <math>\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math>».</ref>. ==== Conséquences diverses ==== {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}est non nulle dans le cas général soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\,</math> dans le cas général » <ref name="Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures"> Contrairement à la résultante et au moment résultant en n’importe quel point origine, du système des forces intérieures, tous deux toujours nuls, pour tout système fermé de matière discret ou continu, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement à la résultante et au moment résultant en n’importe quel point origine, du système des forces intérieures, tous deux toujours nuls, pour tout système }}indéformable ou déformable ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}celle développée par le moment résultant vectoriel également nulle par nullité du moment vectoriel, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement le fait }}montre que <u>la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures</u>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement le fait montre que }}<u>ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système</u> ; <br>{{Al|3}}on peut généraliser cela au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système fermé de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}<u>la résultante dynamique et le moment résultant dynamique en n’importe quel point origine sont insuffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures</u>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}la 1^ère permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. <math>\,G\,</math> du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}le 2^nd celle du mouvement de rotation autour de <math>\,G\,</math> dans le même référentiel galiléen mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « <u>on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant</u> <math>\,\big(</math>cela ne devenant possible que si le système ne se déforme pas<math>\big)\;</math>».</ref>, la raison étant que les relations <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives }}en général individuellement non nuls, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}« la non nullité de <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» sauf cas particuliers <math>\,\big(</math>restant à préciser<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>En repérant le point «<math>\;M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\,</math> soit <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> pour base sphérique liée à <math>\,M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}la « force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> liée à <math>\,M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="déduction de la 2ème relation du principe des actions réciproques"> Se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-principe_des_actions_réciproques-51|⁵¹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\,</math> <math>\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\,</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,</math>» <br>{{Al|3}}{{Transparent|cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet }}car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}</math>», ceci établit que <br>{{Al|3}}{{Transparent|cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet }}«<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» c.-à-d. une même expression par permutation de <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>.</ref> définissant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}« l'intensité de l’interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\;</math>» simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\,</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}le « vecteur vitesse relative de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\;</math>», «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>», s’écrit, dans la « base sphérique de <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> liée à <math>\,M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» « }}<math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[</math>la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> étant orthonormée<math>\big]\,</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» l'expression, en sphérique, de la puissance développée par }}«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, soit finalament <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> [[Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( S \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( S \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, <math>\Big[</math>pour simplifier on pose <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]\,</math> en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \Gamma \right)</math>, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}exprimée en repérant «<math>\;M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\;</math>», soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}si la distance séparant deux points quelconques de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> reste constante <math>\,\big\{</math>c.-à-d. si <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> « ne se déforme pas » <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref><math>\big\}</math>, on a <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures si }}«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t) = 0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;</math>» <ref name="distance entre deux points d'un système continu fermé indéformable"> Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)</math> <math>\,\in \left( \mathcal{V} \right)^2</math>, <math>\,\in \left( S \right)^2\;</math> ou <math>\,\in \left( \Gamma \right)^2\;</math>».</ref> et on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />{{,}} <ref> Applicable pour un système fermé indéformable, discret de points matériels ou continu de matière.</ref>. == Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === ==== Énoncé ==== {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique à la somme }}de celle développée par les forces intérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. ==== Démonstration ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire </u> : La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : La démonstration }}est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : La démonstration }}pourrait être refaite <math>\,\big(</math>bien qu'un peu plus lourde d'exposition<math>\big)\,</math> pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel <math>\,M_i\;</math><ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on applique }}«<math>\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu"> Pour <math>\,M\;\in\,</math> à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> s'écrit : * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( S \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, }}on ajoute, membre à membre, les <math>\,N\,</math> relations définies ci-dessus <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue"> La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> par une intégrale volumique sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, si ce système est d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> par une intégrale surfacique sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ou ce système est d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> par une intégrale curviligne sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 1^er membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;</math>» se réécrivant «<math>\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;</math>» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition <ref> Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er membre }}est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie cinétique du système s'écrit : * «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}</math>, * «<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref> à l'instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er membre est égale }}à la puissance cinétique du système «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» au même instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 1^er terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;</math>» définit la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er terme du 2^nd membre }}à l'instant <math>\;t</math>, soit «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 2^ème terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;</math>» la puissance développée par les forces intérieures appliquées <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 2^ème terme du 2^nd membre }}au système à l'instant <math>\,t</math>, soit «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-48|⁴⁸]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, {{Al|5}}{{Transparent|Exposé : }}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels <ref> Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_point_matériel_d'un_système_continu-68|⁶⁸]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-somme_continue-71|⁷¹]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-61|⁶¹]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-73|⁷³]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-74|⁷⁴]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-75|⁷⁵]] » présentées plus haut dans ce chapitre.</ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème conséquence) » plus haut dans ce chapitre, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété }}« la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété « la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}est nulle c.-à-d. <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété }}utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <ref name="signification de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> étant la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}à l'instant <math>\,t\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> en cinétique newtonienne, à savoir <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="énergie cinétique d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> par dérivation temporelle, l'expression <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}de la puissance cinétique newtonienne, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\dot{K}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 \right\rbrace = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2 \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}de plus un tel « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="système en translation" /> » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », de plus un tel « }}théorème de la puissance cinétique adapté à un solide dans un référentiel galiléen <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système fermé <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, à la date <math>\,t</math>, dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique est égale à }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}en dynamique newtonienne, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, }}<math>\,\big[\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> étant la résultante dynamique appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et <math>\,G\,</math> le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]\,</math> avec «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>et <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> le C.D.I. de <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)\big]}\,</math> avec }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\,</math> étant sa dérivée temporelle ».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>{{,}} <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, moment scalaire évalué par rapport à <math>\,\Delta\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> en cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}newtonienne, à savoir «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\Rightarrow</math> par dérivation temporelle de l'expression de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta</math>, l'expression <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}de la puissance cinétique newtonienne, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\dot{K}_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}de plus un tel « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation de plus un tel « }}lui appliquer le théorème de la puissance cinétique adapté à un solide dans un référentiel galiléen <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide" /> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système fermé <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation, à la date <math>\,t</math>, autour de l'axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique est égale à la puissance développée par }}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» appliqué au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique est égale à }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}en dynamique newtonienne, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <math>\,\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> autour de l'axe rotatoire <math>\,\Delta\big]</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, « }}avec «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\,</math> est le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, « avec «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{syst. en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» où «<math>\;\color{transparent}{J_\Delta}\,</math> est le }}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, « avec }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> étant la dérivée temporelle de <math>\,K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>».}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] }} dpfzwygdj0o1n1w5btylqrafcmbcpq8 987444 987443 2026-10-16T03:23:32Z Phl7605 31541 /* Cas d’un « système de matière en translation » */ 987444 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) == === Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque"> Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}s'écrit selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste"> Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.</ref> avec <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>. === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie par <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste" /> se réécrit, dans le cas où <math>\,M\,</math> est en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, pour lequel <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> a pour forme <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}intrinsèque «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» <ref name="forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\big]\,</math> soit, en explicitant <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}dans la définition de <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;</math>» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » <math>\,\big(</math>ce qui laisse ce dernier invariant <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref> La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;</math>».</ref> avec «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,</math> vecteur moment de <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> en <math>\,A\,</math> noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment vectoriel d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée"> Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant <math>\,A\,</math> par le centre <math>\,C\,</math> du cercle.</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation du point <math>\,M\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;</math>» avec }}<math>\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,</math> le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe <math>\,\Delta\,</math> noté <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit au final <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme nettement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref>. === Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\,M\,</math> de « mouvement quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\;M\;</math> de « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, avec <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque <math>\,\big(</math>c.-à-d. aussi de mouvement circulaire<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, pour <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> est la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2^nd membre, }}pour <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire de centre <math>\,C</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,</math> en <math>\,C</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}dans le cas où le point <math>\,M\,</math> a un mouvement « circulaire d'axe <math>\,\Delta\;</math>» <ref> Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.</ref>, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;</math>», <br>traduction symbolique de «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, avec <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>».</ref>.</center> == « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C == === Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\;(m)\,</math> décrivant un mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant <math>\,t</math>, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon <ref name="théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : {{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à <math>\,M\;(m)\,</math> calculés, à l'instant <math>\,t</math>, par rapport au centre <math>\,C\,</math> du cercle de rayon <math>\,R\,</math> décrit par <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» est égal au produit du moment d’inertie de <math>\,M \,</math> par rapport à son axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation <ref> C.-à-d. l'axe du cercle décrit par <math>\,M</math>.</ref> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;</math>» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». ” === « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen === {{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> fixes dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}de moment d'inertie par rapport à <math>\,\Delta\,</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;</math>» et de vecteur rotation instantanée à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation <math>\,\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» dans le but de faire apparaître, dans le 1^er membre, après utilisation de la distributivité de <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, la puissance instantanée <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2^nd membre «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» représente la puissance cinétique du point <math>\,M\,</math> à <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date <math>\,t\,</math> lors de son mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\dot{K}_M(t)\;</math>» en effet, «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="moment d'inertie constant"> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» étant une constante caractérisant la trajectoire de <math>\,M</math>.</ref> soit <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;</math>» <ref name="expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire autour d’un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen s'écrivant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;</math>» <math>\,\big(</math>en dynamique newtonienne<math>\big)</math>, nous retrouvons <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans un mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> » «<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à M"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » <math>\,\big(</math>grandeur cinétique énergétique<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » <math>\;\ldots</math> == Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe == === Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous : {{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,</math> et <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>». === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> prend la forme ci-dessous : {{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math><ref> En effet, définissant <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>» d'où «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>».</ref> où <math>\,J_\Delta(M) = m\;R^2\,</math> est le moment d'inertie de <math>\,M\;(m)\,</math> relativement à <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon <math>\,R\;</math><reF> On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,</math> dans laquelle <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,</math> est le moment cinétique scalaire de <math>\,M\,</math> relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <math>\,\big(</math>utilisée moins fréquemment<math>\big)\,</math> ou <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <math>\,\big(</math>pratiquement jamais utilisée<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>on rappelle la relation <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,</math> avec }}<math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. == Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide == === Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces extérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces extérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> que chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)</math>, extérieur à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de forces extérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée par ce système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}se détermine comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par chaque force extérieure <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi"> En notant <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel <math>\,M_i\,</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|31}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|31}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures «}}<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>». ==== Cas d’un « système de matière en translation » ==== {{Al|5}}Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un « système discret }}en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points matériels <math>\,M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> du système soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », tous les points matériels <math>\,\color{transparent}{M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ont }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}possibilité de factoriser « scalairement » <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> le 2^nd membre de la « relation <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> » par «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », possibilité de factoriser }}l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> d’où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» ou encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}<u>remarque</u> : <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\,t\,</math> et dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <ref> Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.</ref>. ==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret }}en rotation autour d'un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> avec, à la date <math>\,t</math>, la même vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\,</math> pour tous les points <math>\,M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref> Système indéformable dans la pratique <math>\Rightarrow</math> se comportant, dans ce cas <math>\,\big(</math>le seul que nous envisageons dans la suite<math>\big)</math>, comme un solide au sens de la mécanique <math>\,\big[</math>relire la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-système_en_rotation_autour_d'un_axe-32|³²]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation<math>\big]</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrivant selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> <math>\Rightarrow</math> la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» après factorisation par <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}«<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> étant le moment scalaire résultant dynamique relativement à <math>\,\Delta\,</math> s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, soit <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, d'où finalement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire par rapport à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) =</math> {{Nobr|<math>\left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>»}} dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étan le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, soit finalement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math> <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, soit au final «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M</math> <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}d'où la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation se réécrit selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque <math>\,\big(</math>axe mobile ou immobile dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de <math>\,\mathcal{R}</math>, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures }}le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures le produit }}de sa vitesse angulaire instantanée. ==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ==== {{Al|5}}On admet que le mouvement d’un point quelconque <math>\,M_i\,</math> d'un solide <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque }}peut être considéré comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}d’une rotation instantanée autour d’un axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par <math>\,G\,</math> de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}<math>\big[</math>ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\big]\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable"> Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable" /> <math>\Rightarrow</math> {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, }}<math>\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math><ref> Après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-distributivité_de_la_multiplication_scalaire_relativement_à_l'addition_vectorielle-15|¹⁵]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math><ref> Le 2^ème terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-invariance_du_produit_mixte_par_permutation_circulaire-4|⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> Par commutativité du produit scalaire <math>\;\ldots</math></ref> soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, }}«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> En effet on reconnaît dans <math>\,\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> le vecteur moment résultant dynamique s'exerçait sur le point <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,G\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_vectoriel_d'une_force-6|⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> » ; {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, s'obtient par « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}<math>\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right] + \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>= \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> Par facorisation scalaire de <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)\,</math> dans le 1^er terme et de <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,</math> dans le 2^nd terme <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-factorisation_scalaire-29|²⁹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> En effet <math>\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> exercée sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière <math>\,\big(</math>admis<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-résultante_dynamique_exercée_sur_un_système_continu_de_matière_30|³⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}<math>\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> est le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,G</math>, <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>, exercé sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière <math>\,\big(</math>admis et détaillé dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_résultant_dynamique_vectoriel_exercé_sur_un_système_continu_de_matière_relativement_à_G-43|⁴³]] » plus loin dans ce chapitre<math>\big)</math>.</ref>{{,}} <ref name="moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,;</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> » ou <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\, \vec{u}_{\Delta_G} \right]\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\vec{u}_{\Delta_G}\,</math> vecteur unitaire orientant <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>\,\Delta_G\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) = \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\,</math> où <math>\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée du <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}solide autour de l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide<math>\big]</math>, soit encore <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right]\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\,</math> où <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\,</math> est le <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }} moment résultant dynamique scalaire <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,</math> exercé sur le solide par rapport à <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide <ref name="moment résultant dynamique scalaire "> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.</ref> <math>\Rightarrow</math> {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, se réécrit, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;</math>» <ref> Forme légèrement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;</math>».</ref> s'obtenant en ajoutant <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}<math>\bullet\;</math>la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}<math>\bullet\;</math>la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour de l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math>». === Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces intérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système des forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures }}est la somme des puissances développées, à la date <math>\;t</math>, par chaque force intérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « }}<math>\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\,</math> après factorisation scalaire par <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> dans la somme sur <math>\,_j\;</math><ref> <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math> étant une constante dans la somme discrète sur <math>\,_j</math>.</ref>{{,}} <ref name="factorisation scalaire" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}dans laquelle <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> est le vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> . ==== Autres expressions équivalentes ==== {{Al|5}}<math>\succ\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\left( i\,,\, j \right)\,</math> dans la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans la puissance développée, }}par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans la puissance développée, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels }}avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1 et 2" />, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on utilise la 1^ère relation «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» introduite dans le principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> pour factoriser scalairement <ref name="factorisation scalaire" /> le terme entre crochets par «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>», ce qui donne <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,</math>» ou, en évaluant dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}<math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t)</math> <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;</math>» par utilisation de la [[w:Relation_de_Chasles|relation de Chasles]] <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la [[w:Relation_de_Chasles|relation dite de Chasles]], connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref>, <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\,</math> est donc la dérivée temporelle, dans <math>\,\mathcal{R}</math>, du vecteur position <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}relative <math>\,\overrightarrow{M_jM_i}(t)\,</math> de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}en définissant le « référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,;</math> lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport à <math>\,\mathcal{R}\;</math>», <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\,</math> est encore égale à <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>» c.-à-d. le « vecteur vitesse <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}relative à l'instant <math>\,t\,</math> de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_j\,</math>» <ref name="égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation"> En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] » du chap.<math>25</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Edmond_Bour|Jacques Edmond Émile Bour]] (1832 - 1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de <math>\,33\,</math>ans.</ref> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>». {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Si on remplace la double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>, tous deux variant dans <math>\,\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\,</math> avec la contrainte <math>\,j > i\,</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}par une double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>, tous deux variant dans <math>\,\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\,</math> avec la contrainte <math>\,j \neq i\,</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}on compte deux fois chaque terme de la 1^ère double somme dans la 2^ème double somme <ref> En effet le terme générique de la 1^ère double somme «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\,</math> avec <math>\,j = j_0 > i = i_0\;</math>» <math>\,\big(</math>aussi terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\,j > i\big)\,</math> étant égal au terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\,j < i\,</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\,</math> avec <math>\,j = i_0 < i = j_0\;</math>» car <math>\,\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\,</math> d'une part et <math>\,\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\,</math> d'autre part, chaque terme de la 1^ère double somme se retrouve tel quel dans la 2^ème double somme avec <math>\,j > i\,</math> mais aussi sous une forme résultant de la permutation <math>\,i \leftrightarrow j\,</math> du terme précédent conduisant à <math>\,j < i\,</math> d'où la 2^ème double somme égale à deux fois la 1^ère double somme <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math>}} <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\,</math> des forces que <math>\,M_j\,</math> exerce sur tous les autres points <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}}\,</math> des forces que <math>\,\color{transparent}{M_j}\,</math> exerce sur }}<math>\,M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;</math><ref> Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}</math>, <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\,</math> ou <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\,</math> des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que <math>\,M'\,</math> exerce sur tous les autres points «<math>\;M</math> <math>\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, <math>\,\in\,\left( S \right)\,</math> ou <math>\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math>».</ref>. ==== Conséquences diverses ==== {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}est non nulle dans le cas général soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\,</math> dans le cas général » <ref name="Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures"> Contrairement à la résultante et au moment résultant en n’importe quel point origine, du système des forces intérieures, tous deux toujours nuls, pour tout système fermé de matière discret ou continu, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement à la résultante et au moment résultant en n’importe quel point origine, du système des forces intérieures, tous deux toujours nuls, pour tout système }}indéformable ou déformable ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}celle développée par le moment résultant vectoriel également nulle par nullité du moment vectoriel, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement le fait }}montre que <u>la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures</u>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement le fait montre que }}<u>ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système</u> ; <br>{{Al|3}}on peut généraliser cela au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système fermé de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}<u>la résultante dynamique et le moment résultant dynamique en n’importe quel point origine sont insuffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures</u>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}la 1^ère permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. <math>\,G\,</math> du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}le 2^nd celle du mouvement de rotation autour de <math>\,G\,</math> dans le même référentiel galiléen mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « <u>on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant</u> <math>\,\big(</math>cela ne devenant possible que si le système ne se déforme pas<math>\big)\;</math>».</ref>, la raison étant que les relations <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives }}en général individuellement non nuls, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}« la non nullité de <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» sauf cas particuliers <math>\,\big(</math>restant à préciser<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>En repérant le point «<math>\;M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\,</math> soit <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> pour base sphérique liée à <math>\,M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}la « force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> liée à <math>\,M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="déduction de la 2ème relation du principe des actions réciproques"> Se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-principe_des_actions_réciproques-51|⁵¹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\,</math> <math>\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\,</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,</math>» <br>{{Al|3}}{{Transparent|cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet }}car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}</math>», ceci établit que <br>{{Al|3}}{{Transparent|cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet }}«<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» c.-à-d. une même expression par permutation de <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>.</ref> définissant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}« l'intensité de l’interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\;</math>» simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\,</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}le « vecteur vitesse relative de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\;</math>», «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>», s’écrit, dans la « base sphérique de <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> liée à <math>\,M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» « }}<math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[</math>la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> étant orthonormée<math>\big]\,</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» l'expression, en sphérique, de la puissance développée par }}«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, soit finalament <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> [[Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( S \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( S \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, <math>\Big[</math>pour simplifier on pose <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]\,</math> en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \Gamma \right)</math>, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}exprimée en repérant «<math>\;M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\;</math>», soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}si la distance séparant deux points quelconques de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> reste constante <math>\,\big\{</math>c.-à-d. si <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> « ne se déforme pas » <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref><math>\big\}</math>, on a <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures si }}«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t) = 0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;</math>» <ref name="distance entre deux points d'un système continu fermé indéformable"> Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)</math> <math>\,\in \left( \mathcal{V} \right)^2</math>, <math>\,\in \left( S \right)^2\;</math> ou <math>\,\in \left( \Gamma \right)^2\;</math>».</ref> et on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />{{,}} <ref> Applicable pour un système fermé indéformable, discret de points matériels ou continu de matière.</ref>. == Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === ==== Énoncé ==== {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique à la somme }}de celle développée par les forces intérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. ==== Démonstration ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire </u> : La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : La démonstration }}est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : La démonstration }}pourrait être refaite <math>\,\big(</math>bien qu'un peu plus lourde d'exposition<math>\big)\,</math> pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel <math>\,M_i\;</math><ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on applique }}«<math>\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu"> Pour <math>\,M\;\in\,</math> à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> s'écrit : * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( S \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, }}on ajoute, membre à membre, les <math>\,N\,</math> relations définies ci-dessus <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue"> La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> par une intégrale volumique sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, si ce système est d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> par une intégrale surfacique sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ou ce système est d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> par une intégrale curviligne sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 1^er membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;</math>» se réécrivant «<math>\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;</math>» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition <ref> Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er membre }}est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie cinétique du système s'écrit : * «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}</math>, * «<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref> à l'instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er membre est égale }}à la puissance cinétique du système «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» au même instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 1^er terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;</math>» définit la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er terme du 2^nd membre }}à l'instant <math>\;t</math>, soit «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 2^ème terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;</math>» la puissance développée par les forces intérieures appliquées <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 2^ème terme du 2^nd membre }}au système à l'instant <math>\,t</math>, soit «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-48|⁴⁸]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, {{Al|5}}{{Transparent|Exposé : }}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels <ref> Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_point_matériel_d'un_système_continu-68|⁶⁸]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-somme_continue-71|⁷¹]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-61|⁶¹]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-73|⁷³]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-74|⁷⁴]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-75|⁷⁵]] » présentées plus haut dans ce chapitre.</ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème conséquence) » plus haut dans ce chapitre, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété }}« la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété « la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}est nulle c.-à-d. <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété }}utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <ref name="signification de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> étant la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}à l'instant <math>\,t\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> en cinétique newtonienne, à savoir <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="énergie cinétique d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> par dérivation temporelle, l'expression <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}de la puissance cinétique newtonienne, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\dot{K}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 \right\rbrace = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2 \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}de plus un tel « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="système en translation" /> » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », de plus un tel « }}théorème de la puissance cinétique adapté à un solide dans un référentiel galiléen <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système fermé <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, à la date <math>\,t</math>, dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique est égale à }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}en dynamique newtonienne, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, }}<math>\,\big[\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> étant la résultante dynamique appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et <math>\,G\,</math> le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]\,</math> avec «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>et <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> le C.D.I. de <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)\big]}\,</math> avec }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\,</math> étant sa dérivée temporelle ».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>{{,}} <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, moment scalaire évalué par rapport à <math>\,\Delta\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> en cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}newtonienne, à savoir «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\Rightarrow</math> par dérivation temporelle de l'expression de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta</math>, l'expression <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}de la puissance cinétique newtonienne, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\dot{K}_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}de plus un tel « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation de plus un tel « }}lui appliquer le théorème de la puissance cinétique adapté à un solide dans un référentiel galiléen <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide" /> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système fermé <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation, à la date <math>\,t</math>, autour de l'axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique est égale à la puissance développée par }}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» appliqué au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique est égale à }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}en dynamique newtonienne, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <math>\,\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> autour de l'axe rotatoire <math>\,\Delta\big]</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, « }}avec «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\,</math> est le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, « avec «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{syst. en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» où «<math>\;\color{transparent}{J_\Delta}\,</math> est le }}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, « avec }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> étant la dérivée temporelle de <math>\,K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>».}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] }} ov039vuyqafiigkjvxqdfvxd4k2nwnh 987445 987444 2026-10-16T03:27:13Z Phl7605 31541 /* Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » */ 987445 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) == === Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque"> Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}s'écrit selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste"> Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.</ref> avec <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>. === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie par <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste" /> se réécrit, dans le cas où <math>\,M\,</math> est en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, pour lequel <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> a pour forme <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}intrinsèque «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» <ref name="forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\big]\,</math> soit, en explicitant <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}dans la définition de <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;</math>» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » <math>\,\big(</math>ce qui laisse ce dernier invariant <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref> La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;</math>».</ref> avec «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,</math> vecteur moment de <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> en <math>\,A\,</math> noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment vectoriel d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée"> Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant <math>\,A\,</math> par le centre <math>\,C\,</math> du cercle.</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation du point <math>\,M\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;</math>» avec }}<math>\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,</math> le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe <math>\,\Delta\,</math> noté <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit au final <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme nettement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref>. === Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\,M\,</math> de « mouvement quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\;M\;</math> de « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, avec <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque <math>\,\big(</math>c.-à-d. aussi de mouvement circulaire<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, pour <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> est la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2^nd membre, }}pour <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire de centre <math>\,C</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,</math> en <math>\,C</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}dans le cas où le point <math>\,M\,</math> a un mouvement « circulaire d'axe <math>\,\Delta\;</math>» <ref> Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.</ref>, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;</math>», <br>traduction symbolique de «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, avec <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>».</ref>.</center> == « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C == === Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\;(m)\,</math> décrivant un mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant <math>\,t</math>, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon <ref name="théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : {{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à <math>\,M\;(m)\,</math> calculés, à l'instant <math>\,t</math>, par rapport au centre <math>\,C\,</math> du cercle de rayon <math>\,R\,</math> décrit par <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» est égal au produit du moment d’inertie de <math>\,M \,</math> par rapport à son axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation <ref> C.-à-d. l'axe du cercle décrit par <math>\,M</math>.</ref> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;</math>» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». ” === « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen === {{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> fixes dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}de moment d'inertie par rapport à <math>\,\Delta\,</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;</math>» et de vecteur rotation instantanée à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation <math>\,\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» dans le but de faire apparaître, dans le 1^er membre, après utilisation de la distributivité de <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, la puissance instantanée <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2^nd membre «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» représente la puissance cinétique du point <math>\,M\,</math> à <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date <math>\,t\,</math> lors de son mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\dot{K}_M(t)\;</math>» en effet, «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="moment d'inertie constant"> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» étant une constante caractérisant la trajectoire de <math>\,M</math>.</ref> soit <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;</math>» <ref name="expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire autour d’un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen s'écrivant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;</math>» <math>\,\big(</math>en dynamique newtonienne<math>\big)</math>, nous retrouvons <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans un mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> » «<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à M"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » <math>\,\big(</math>grandeur cinétique énergétique<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » <math>\;\ldots</math> == Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe == === Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous : {{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,</math> et <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>». === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> prend la forme ci-dessous : {{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math><ref> En effet, définissant <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>» d'où «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>».</ref> où <math>\,J_\Delta(M) = m\;R^2\,</math> est le moment d'inertie de <math>\,M\;(m)\,</math> relativement à <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon <math>\,R\;</math><reF> On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,</math> dans laquelle <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,</math> est le moment cinétique scalaire de <math>\,M\,</math> relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <math>\,\big(</math>utilisée moins fréquemment<math>\big)\,</math> ou <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <math>\,\big(</math>pratiquement jamais utilisée<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>on rappelle la relation <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,</math> avec }}<math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. == Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide == === Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces extérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces extérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> que chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)</math>, extérieur à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de forces extérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée par ce système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}se détermine comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par chaque force extérieure <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi"> En notant <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel <math>\,M_i\,</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|31}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|31}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures «}}<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>». ==== Cas d’un « système de matière en translation » ==== {{Al|5}}Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un « système discret }}en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points matériels <math>\,M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> du système soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », tous les points matériels <math>\,\color{transparent}{M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ont }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}possibilité de factoriser « scalairement » <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> le 2^nd membre de la « relation <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> » par «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », possibilité de factoriser }}l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> d’où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» ou encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}<u>remarque</u> : <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\,t\,</math> et dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <ref> Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.</ref>. ==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret }}en rotation autour d'un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> avec, à la date <math>\,t</math>, la même vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\,</math> pour tous les points <math>\,M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref> Système indéformable dans la pratique <math>\Rightarrow</math> se comportant, dans ce cas <math>\,\big(</math>le seul que nous envisageons dans la suite<math>\big)</math>, comme un solide au sens de la mécanique <math>\,\big[</math>relire la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-système_en_rotation_autour_d'un_axe-32|³²]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation<math>\big]</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrivant selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> <math>\Rightarrow</math> la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» après factorisation par <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}«<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> étant le moment scalaire résultant dynamique relativement à <math>\,\Delta\,</math> s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, soit <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, d'où finalement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire par rapport à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) =</math> {{Nobr|<math>\left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>»}} dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étan le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, soit finalement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, soit au final «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M</math> <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}d'où la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation se réécrit selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque <math>\,\big(</math>axe mobile ou immobile dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de <math>\,\mathcal{R}</math>, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures }}le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures le produit }}de sa vitesse angulaire instantanée. ==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ==== {{Al|5}}On admet que le mouvement d’un point quelconque <math>\,M_i\,</math> d'un solide <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque }}peut être considéré comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}d’une rotation instantanée autour d’un axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par <math>\,G\,</math> de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}<math>\big[</math>ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\big]\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable"> Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable" /> <math>\Rightarrow</math> {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, }}<math>\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math><ref> Après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-distributivité_de_la_multiplication_scalaire_relativement_à_l'addition_vectorielle-15|¹⁵]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math><ref> Le 2^ème terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-invariance_du_produit_mixte_par_permutation_circulaire-4|⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> Par commutativité du produit scalaire <math>\;\ldots</math></ref> soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, }}«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> En effet on reconnaît dans <math>\,\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> le vecteur moment résultant dynamique s'exerçait sur le point <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,G\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_vectoriel_d'une_force-6|⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> » ; {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, s'obtient par « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}<math>\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right] + \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>= \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> Par facorisation scalaire de <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)\,</math> dans le 1^er terme et de <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,</math> dans le 2^nd terme <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-factorisation_scalaire-29|²⁹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> En effet <math>\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> exercée sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière <math>\,\big(</math>admis<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-résultante_dynamique_exercée_sur_un_système_continu_de_matière_30|³⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}<math>\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> est le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,G</math>, <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>, exercé sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière <math>\,\big(</math>admis et détaillé dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_résultant_dynamique_vectoriel_exercé_sur_un_système_continu_de_matière_relativement_à_G-43|⁴³]] » plus loin dans ce chapitre<math>\big)</math>.</ref>{{,}} <ref name="moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,;</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> » ou <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\, \vec{u}_{\Delta_G} \right]\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\vec{u}_{\Delta_G}\,</math> vecteur unitaire orientant <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>\,\Delta_G\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) = \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\,</math> où <math>\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée du <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}solide autour de l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide<math>\big]</math>, soit encore <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right]\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\,</math> où <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\,</math> est le <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }} moment résultant dynamique scalaire <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,</math> exercé sur le solide par rapport à <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide <ref name="moment résultant dynamique scalaire "> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.</ref> <math>\Rightarrow</math> {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, se réécrit, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;</math>» <ref> Forme légèrement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;</math>».</ref> s'obtenant en ajoutant <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}<math>\bullet\;</math>la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}<math>\bullet\;</math>la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour de l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math>». === Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces intérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système des forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures }}est la somme des puissances développées, à la date <math>\;t</math>, par chaque force intérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « }}<math>\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\,</math> après factorisation scalaire par <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> dans la somme sur <math>\,_j\;</math><ref> <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math> étant une constante dans la somme discrète sur <math>\,_j</math>.</ref>{{,}} <ref name="factorisation scalaire" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}dans laquelle <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> est le vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> . ==== Autres expressions équivalentes ==== {{Al|5}}<math>\succ\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\left( i\,,\, j \right)\,</math> dans la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans la puissance développée, }}par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans la puissance développée, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels }}avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1 et 2" />, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on utilise la 1^ère relation «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» introduite dans le principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> pour factoriser scalairement <ref name="factorisation scalaire" /> le terme entre crochets par «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>», ce qui donne <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,</math>» ou, en évaluant dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}<math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t)</math> <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;</math>» par utilisation de la [[w:Relation_de_Chasles|relation de Chasles]] <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la [[w:Relation_de_Chasles|relation dite de Chasles]], connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref>, <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\,</math> est donc la dérivée temporelle, dans <math>\,\mathcal{R}</math>, du vecteur position <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}relative <math>\,\overrightarrow{M_jM_i}(t)\,</math> de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}en définissant le « référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,;</math> lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport à <math>\,\mathcal{R}\;</math>», <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\,</math> est encore égale à <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>» c.-à-d. le « vecteur vitesse <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}relative à l'instant <math>\,t\,</math> de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_j\,</math>» <ref name="égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation"> En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] » du chap.<math>25</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Edmond_Bour|Jacques Edmond Émile Bour]] (1832 - 1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de <math>\,33\,</math>ans.</ref> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>». {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Si on remplace la double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>, tous deux variant dans <math>\,\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\,</math> avec la contrainte <math>\,j > i\,</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}par une double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>, tous deux variant dans <math>\,\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\,</math> avec la contrainte <math>\,j \neq i\,</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}on compte deux fois chaque terme de la 1^ère double somme dans la 2^ème double somme <ref> En effet le terme générique de la 1^ère double somme «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\,</math> avec <math>\,j = j_0 > i = i_0\;</math>» <math>\,\big(</math>aussi terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\,j > i\big)\,</math> étant égal au terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\,j < i\,</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\,</math> avec <math>\,j = i_0 < i = j_0\;</math>» car <math>\,\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\,</math> d'une part et <math>\,\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\,</math> d'autre part, chaque terme de la 1^ère double somme se retrouve tel quel dans la 2^ème double somme avec <math>\,j > i\,</math> mais aussi sous une forme résultant de la permutation <math>\,i \leftrightarrow j\,</math> du terme précédent conduisant à <math>\,j < i\,</math> d'où la 2^ème double somme égale à deux fois la 1^ère double somme <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math>}} <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\,</math> des forces que <math>\,M_j\,</math> exerce sur tous les autres points <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}}\,</math> des forces que <math>\,\color{transparent}{M_j}\,</math> exerce sur }}<math>\,M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;</math><ref> Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}</math>, <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\,</math> ou <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\,</math> des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que <math>\,M'\,</math> exerce sur tous les autres points «<math>\;M</math> <math>\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, <math>\,\in\,\left( S \right)\,</math> ou <math>\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math>».</ref>. ==== Conséquences diverses ==== {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}est non nulle dans le cas général soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\,</math> dans le cas général » <ref name="Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures"> Contrairement à la résultante et au moment résultant en n’importe quel point origine, du système des forces intérieures, tous deux toujours nuls, pour tout système fermé de matière discret ou continu, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement à la résultante et au moment résultant en n’importe quel point origine, du système des forces intérieures, tous deux toujours nuls, pour tout système }}indéformable ou déformable ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}celle développée par le moment résultant vectoriel également nulle par nullité du moment vectoriel, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement le fait }}montre que <u>la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures</u>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement le fait montre que }}<u>ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système</u> ; <br>{{Al|3}}on peut généraliser cela au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système fermé de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}<u>la résultante dynamique et le moment résultant dynamique en n’importe quel point origine sont insuffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures</u>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}la 1^ère permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. <math>\,G\,</math> du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}le 2^nd celle du mouvement de rotation autour de <math>\,G\,</math> dans le même référentiel galiléen mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « <u>on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant</u> <math>\,\big(</math>cela ne devenant possible que si le système ne se déforme pas<math>\big)\;</math>».</ref>, la raison étant que les relations <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives }}en général individuellement non nuls, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}« la non nullité de <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» sauf cas particuliers <math>\,\big(</math>restant à préciser<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>En repérant le point «<math>\;M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\,</math> soit <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> pour base sphérique liée à <math>\,M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}la « force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> liée à <math>\,M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="déduction de la 2ème relation du principe des actions réciproques"> Se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-principe_des_actions_réciproques-51|⁵¹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\,</math> <math>\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\,</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,</math>» <br>{{Al|3}}{{Transparent|cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet }}car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}</math>», ceci établit que <br>{{Al|3}}{{Transparent|cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet }}«<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» c.-à-d. une même expression par permutation de <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>.</ref> définissant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}« l'intensité de l’interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\;</math>» simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\,</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}le « vecteur vitesse relative de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\;</math>», «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>», s’écrit, dans la « base sphérique de <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> liée à <math>\,M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» « }}<math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[</math>la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> étant orthonormée<math>\big]\,</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» l'expression, en sphérique, de la puissance développée par }}«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, soit finalament <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> [[Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( S \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( S \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, <math>\Big[</math>pour simplifier on pose <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]\,</math> en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \Gamma \right)</math>, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}exprimée en repérant «<math>\;M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\;</math>», soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}si la distance séparant deux points quelconques de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> reste constante <math>\,\big\{</math>c.-à-d. si <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> « ne se déforme pas » <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref><math>\big\}</math>, on a <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures si }}«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t) = 0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;</math>» <ref name="distance entre deux points d'un système continu fermé indéformable"> Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)</math> <math>\,\in \left( \mathcal{V} \right)^2</math>, <math>\,\in \left( S \right)^2\;</math> ou <math>\,\in \left( \Gamma \right)^2\;</math>».</ref> et on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />{{,}} <ref> Applicable pour un système fermé indéformable, discret de points matériels ou continu de matière.</ref>. == Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === ==== Énoncé ==== {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique à la somme }}de celle développée par les forces intérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. ==== Démonstration ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire </u> : La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : La démonstration }}est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : La démonstration }}pourrait être refaite <math>\,\big(</math>bien qu'un peu plus lourde d'exposition<math>\big)\,</math> pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel <math>\,M_i\;</math><ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on applique }}«<math>\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu"> Pour <math>\,M\;\in\,</math> à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> s'écrit : * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( S \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, }}on ajoute, membre à membre, les <math>\,N\,</math> relations définies ci-dessus <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue"> La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> par une intégrale volumique sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, si ce système est d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> par une intégrale surfacique sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ou ce système est d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> par une intégrale curviligne sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 1^er membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;</math>» se réécrivant «<math>\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;</math>» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition <ref> Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er membre }}est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie cinétique du système s'écrit : * «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}</math>, * «<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref> à l'instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er membre est égale }}à la puissance cinétique du système «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» au même instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 1^er terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;</math>» définit la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er terme du 2^nd membre }}à l'instant <math>\;t</math>, soit «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 2^ème terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;</math>» la puissance développée par les forces intérieures appliquées <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 2^ème terme du 2^nd membre }}au système à l'instant <math>\,t</math>, soit «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-48|⁴⁸]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, {{Al|5}}{{Transparent|Exposé : }}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels <ref> Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_point_matériel_d'un_système_continu-68|⁶⁸]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-somme_continue-71|⁷¹]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-61|⁶¹]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-73|⁷³]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-74|⁷⁴]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-75|⁷⁵]] » présentées plus haut dans ce chapitre.</ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème conséquence) » plus haut dans ce chapitre, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété }}« la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété « la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}est nulle c.-à-d. <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété }}utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <ref name="signification de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> étant la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}à l'instant <math>\,t\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> en cinétique newtonienne, à savoir <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="énergie cinétique d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> par dérivation temporelle, l'expression <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}de la puissance cinétique newtonienne, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\dot{K}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 \right\rbrace = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2 \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}de plus un tel « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="système en translation" /> » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », de plus un tel « }}théorème de la puissance cinétique adapté à un solide dans un référentiel galiléen <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système fermé <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, à la date <math>\,t</math>, dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique est égale à }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}en dynamique newtonienne, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, }}<math>\,\big[\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> étant la résultante dynamique appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et <math>\,G\,</math> le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]\,</math> avec «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>et <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> le C.D.I. de <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)\big]}\,</math> avec }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\,</math> étant sa dérivée temporelle ».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>{{,}} <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, moment scalaire évalué par rapport à <math>\,\Delta\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> en cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}newtonienne, à savoir «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\Rightarrow</math> par dérivation temporelle de l'expression de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta</math>, l'expression <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}de la puissance cinétique newtonienne, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\dot{K}_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}de plus un tel « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation de plus un tel « }}lui appliquer le théorème de la puissance cinétique adapté à un solide dans un référentiel galiléen <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide" /> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système fermé <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation, à la date <math>\,t</math>, autour de l'axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique est égale à la puissance développée par }}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» appliqué au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique est égale à }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}en dynamique newtonienne, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <math>\,\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> autour de l'axe rotatoire <math>\,\Delta\big]</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, « }}avec «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\,</math> est le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, « avec «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{syst. en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» où «<math>\;\color{transparent}{J_\Delta}\,</math> est le }}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, « avec }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> étant la dérivée temporelle de <math>\,K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>».}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] }} rrj4cp0k1vjzphswj1tqow37ikdfsq0 987446 987445 2026-10-16T03:29:34Z Phl7605 31541 /* Définition */ 987446 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) == === Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque"> Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}s'écrit selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste"> Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.</ref> avec <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>. === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie par <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste" /> se réécrit, dans le cas où <math>\,M\,</math> est en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, pour lequel <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> a pour forme <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}intrinsèque «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» <ref name="forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\big]\,</math> soit, en explicitant <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}dans la définition de <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;</math>» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » <math>\,\big(</math>ce qui laisse ce dernier invariant <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref> La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;</math>».</ref> avec «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,</math> vecteur moment de <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> en <math>\,A\,</math> noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment vectoriel d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée"> Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant <math>\,A\,</math> par le centre <math>\,C\,</math> du cercle.</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation du point <math>\,M\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;</math>» avec }}<math>\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,</math> le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe <math>\,\Delta\,</math> noté <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit au final <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme nettement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref>. === Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\,M\,</math> de « mouvement quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\;M\;</math> de « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, avec <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque <math>\,\big(</math>c.-à-d. aussi de mouvement circulaire<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, pour <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> est la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2^nd membre, }}pour <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire de centre <math>\,C</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,</math> en <math>\,C</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}dans le cas où le point <math>\,M\,</math> a un mouvement « circulaire d'axe <math>\,\Delta\;</math>» <ref> Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.</ref>, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;</math>», <br>traduction symbolique de «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, avec <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>».</ref>.</center> == « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C == === Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\;(m)\,</math> décrivant un mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant <math>\,t</math>, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon <ref name="théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : {{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à <math>\,M\;(m)\,</math> calculés, à l'instant <math>\,t</math>, par rapport au centre <math>\,C\,</math> du cercle de rayon <math>\,R\,</math> décrit par <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» est égal au produit du moment d’inertie de <math>\,M \,</math> par rapport à son axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation <ref> C.-à-d. l'axe du cercle décrit par <math>\,M</math>.</ref> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;</math>» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». ” === « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen === {{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> fixes dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}de moment d'inertie par rapport à <math>\,\Delta\,</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;</math>» et de vecteur rotation instantanée à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation <math>\,\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» dans le but de faire apparaître, dans le 1^er membre, après utilisation de la distributivité de <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, la puissance instantanée <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2^nd membre «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» représente la puissance cinétique du point <math>\,M\,</math> à <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date <math>\,t\,</math> lors de son mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\dot{K}_M(t)\;</math>» en effet, «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="moment d'inertie constant"> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» étant une constante caractérisant la trajectoire de <math>\,M</math>.</ref> soit <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;</math>» <ref name="expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire autour d’un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen s'écrivant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;</math>» <math>\,\big(</math>en dynamique newtonienne<math>\big)</math>, nous retrouvons <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans un mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> » «<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à M"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » <math>\,\big(</math>grandeur cinétique énergétique<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » <math>\;\ldots</math> == Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe == === Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous : {{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,</math> et <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>». === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> prend la forme ci-dessous : {{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math><ref> En effet, définissant <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>» d'où «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>».</ref> où <math>\,J_\Delta(M) = m\;R^2\,</math> est le moment d'inertie de <math>\,M\;(m)\,</math> relativement à <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon <math>\,R\;</math><reF> On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,</math> dans laquelle <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,</math> est le moment cinétique scalaire de <math>\,M\,</math> relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <math>\,\big(</math>utilisée moins fréquemment<math>\big)\,</math> ou <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <math>\,\big(</math>pratiquement jamais utilisée<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>on rappelle la relation <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,</math> avec }}<math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. == Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide == === Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces extérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces extérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> que chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)</math>, extérieur à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de forces extérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée par ce système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}se détermine comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par chaque force extérieure <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi"> En notant <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel <math>\,M_i\,</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|31}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|31}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures «}}<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>». ==== Cas d’un « système de matière en translation » ==== {{Al|5}}Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un « système discret }}en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points matériels <math>\,M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> du système soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », tous les points matériels <math>\,\color{transparent}{M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ont }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}possibilité de factoriser « scalairement » <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> le 2^nd membre de la « relation <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> » par «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », possibilité de factoriser }}l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> d’où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» ou encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}<u>remarque</u> : <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\,t\,</math> et dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <ref> Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.</ref>. ==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret }}en rotation autour d'un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> avec, à la date <math>\,t</math>, la même vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\,</math> pour tous les points <math>\,M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref> Système indéformable dans la pratique <math>\Rightarrow</math> se comportant, dans ce cas <math>\,\big(</math>le seul que nous envisageons dans la suite<math>\big)</math>, comme un solide au sens de la mécanique <math>\,\big[</math>relire la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-système_en_rotation_autour_d'un_axe-32|³²]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation<math>\big]</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrivant selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> <math>\Rightarrow</math> la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» après factorisation par <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}«<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> étant le moment scalaire résultant dynamique relativement à <math>\,\Delta\,</math> s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, soit <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, d'où finalement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire par rapport à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) =</math> {{Nobr|<math>\left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>»}} dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étan le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, soit finalement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, soit au final «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M</math> <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}d'où la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation se réécrit selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque <math>\,\big(</math>axe mobile ou immobile dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de <math>\,\mathcal{R}</math>, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures }}le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures le produit }}de sa vitesse angulaire instantanée. ==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ==== {{Al|5}}On admet que le mouvement d’un point quelconque <math>\,M_i\,</math> d'un solide <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque }}peut être considéré comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}d’une rotation instantanée autour d’un axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par <math>\,G\,</math> de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}<math>\big[</math>ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\big]\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable"> Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable" /> <math>\Rightarrow</math> {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, }}<math>\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math><ref> Après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-distributivité_de_la_multiplication_scalaire_relativement_à_l'addition_vectorielle-15|¹⁵]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math><ref> Le 2^ème terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-invariance_du_produit_mixte_par_permutation_circulaire-4|⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> Par commutativité du produit scalaire <math>\;\ldots</math></ref> soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, }}«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> En effet on reconnaît dans <math>\,\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> le vecteur moment résultant dynamique s'exerçait sur le point <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,G\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_vectoriel_d'une_force-6|⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> » ; {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, s'obtient par « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}<math>\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right] + \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>= \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> Par facorisation scalaire de <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)\,</math> dans le 1^er terme et de <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,</math> dans le 2^nd terme <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-factorisation_scalaire-29|²⁹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> En effet <math>\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> exercée sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière <math>\,\big(</math>admis<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-résultante_dynamique_exercée_sur_un_système_continu_de_matière_30|³⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}<math>\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> est le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,G</math>, <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>, exercé sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière <math>\,\big(</math>admis et détaillé dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_résultant_dynamique_vectoriel_exercé_sur_un_système_continu_de_matière_relativement_à_G-43|⁴³]] » plus loin dans ce chapitre<math>\big)</math>.</ref>{{,}} <ref name="moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,;</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> » ou <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\, \vec{u}_{\Delta_G} \right]\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\vec{u}_{\Delta_G}\,</math> vecteur unitaire orientant <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>\,\Delta_G\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) = \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\,</math> où <math>\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée du <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}solide autour de l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide<math>\big]</math>, soit encore <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right]\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\,</math> où <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\,</math> est le <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }} moment résultant dynamique scalaire <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,</math> exercé sur le solide par rapport à <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide <ref name="moment résultant dynamique scalaire "> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.</ref> <math>\Rightarrow</math> {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, se réécrit, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;</math>» <ref> Forme légèrement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;</math>».</ref> s'obtenant en ajoutant <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}<math>\bullet\;</math>la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}<math>\bullet\;</math>la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour de l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math>». === Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces intérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système des forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures }}est la somme des puissances développées, à la date <math>\;t</math>, par chaque force intérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « }}<math>\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\,</math> après factorisation scalaire par <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> dans la somme sur <math>\,_j\;</math><ref> <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math> étant une constante dans la somme discrète sur <math>\,_j</math>.</ref>{{,}} <ref name="factorisation scalaire" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}dans laquelle <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> est le vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> . ==== Autres expressions équivalentes ==== {{Al|5}}<math>\succ\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\left( i\,,\, j \right)\,</math> dans la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans la puissance développée, }}par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans la puissance développée, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels }}avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1 et 2" />, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on utilise la 1^ère relation «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» introduite dans le principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> pour factoriser scalairement <ref name="factorisation scalaire" /> le terme entre crochets par «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>», ce qui donne <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,</math>» ou, en évaluant dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}<math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t)</math> <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;</math>» par utilisation de la [[w:Relation_de_Chasles|relation de Chasles]] <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la [[w:Relation_de_Chasles|relation dite de Chasles]], connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref>, <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\,</math> est donc la dérivée temporelle, dans <math>\,\mathcal{R}</math>, du vecteur position <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}relative <math>\,\overrightarrow{M_jM_i}(t)\,</math> de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}en définissant le « référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,;</math> lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport à <math>\,\mathcal{R}\;</math>», <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\,</math> est encore égale à <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>» c.-à-d. le « vecteur vitesse <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}relative à l'instant <math>\,t\,</math> de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_j\,</math>» <ref name="égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation"> En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] » du chap.<math>25</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Edmond_Bour|Jacques Edmond Émile Bour]] (1832 - 1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de <math>\,33\,</math>ans.</ref> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>». {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Si on remplace la double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>, tous deux variant dans <math>\,\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\,</math> avec la contrainte <math>\,j > i\,</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}par une double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>, tous deux variant dans <math>\,\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\,</math> avec la contrainte <math>\,j \neq i\,</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}on compte deux fois chaque terme de la 1^ère double somme dans la 2^ème double somme <ref> En effet le terme générique de la 1^ère double somme «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\,</math> avec <math>\,j = j_0 > i = i_0\;</math>» <math>\,\big(</math>aussi terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\,j > i\big)\,</math> étant égal au terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\,j < i\,</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\,</math> avec <math>\,j = i_0 < i = j_0\;</math>» car <math>\,\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\,</math> d'une part et <math>\,\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\,</math> d'autre part, chaque terme de la 1^ère double somme se retrouve tel quel dans la 2^ème double somme avec <math>\,j > i\,</math> mais aussi sous une forme résultant de la permutation <math>\,i \leftrightarrow j\,</math> du terme précédent conduisant à <math>\,j < i\,</math> d'où la 2^ème double somme égale à deux fois la 1^ère double somme <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math>}} <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\,</math> des forces que <math>\,M_j\,</math> exerce sur tous les autres points <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}}\,</math> des forces que <math>\,\color{transparent}{M_j}\,</math> exerce sur }}<math>\,M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;</math><ref> Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}</math>, <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\,</math> ou <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\,</math> des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que <math>\,M'\,</math> exerce sur tous les autres points «<math>\;M</math> <math>\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, <math>\,\in\,\left( S \right)\,</math> ou <math>\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math>».</ref>. ==== Conséquences diverses ==== {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}est non nulle dans le cas général soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\,</math> dans le cas général » <ref name="Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures"> Contrairement à la résultante et au moment résultant en n’importe quel point origine, du système des forces intérieures, tous deux toujours nuls, pour tout système fermé de matière discret ou continu, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement à la résultante et au moment résultant en n’importe quel point origine, du système des forces intérieures, tous deux toujours nuls, pour tout système }}indéformable ou déformable ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}celle développée par le moment résultant vectoriel également nulle par nullité du moment vectoriel, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement le fait }}montre que <u>la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures</u>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement le fait montre que }}<u>ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système</u> ; <br>{{Al|3}}on peut généraliser cela au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système fermé de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}<u>la résultante dynamique et le moment résultant dynamique en n’importe quel point origine sont insuffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures</u>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}la 1^ère permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. <math>\,G\,</math> du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}le 2^nd celle du mouvement de rotation autour de <math>\,G\,</math> dans le même référentiel galiléen mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « <u>on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant</u> <math>\,\big(</math>cela ne devenant possible que si le système ne se déforme pas<math>\big)\;</math>».</ref>, la raison étant que les relations <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives }}en général individuellement non nuls, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}« la non nullité de <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» sauf cas particuliers <math>\,\big(</math>restant à préciser<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>En repérant le point «<math>\;M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\,</math> soit <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> pour base sphérique liée à <math>\,M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}la « force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> liée à <math>\,M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="déduction de la 2ème relation du principe des actions réciproques"> Se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-principe_des_actions_réciproques-51|⁵¹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\,</math> <math>\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\,</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,</math>» <br>{{Al|3}}{{Transparent|cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet }}car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}</math>», ceci établit que <br>{{Al|3}}{{Transparent|cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet }}«<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» c.-à-d. une même expression par permutation de <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>.</ref> définissant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}« l'intensité de l’interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\;</math>» simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\,</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}le « vecteur vitesse relative de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\;</math>», «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>», s’écrit, dans la « base sphérique de <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> liée à <math>\,M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» « }}<math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[</math>la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> étant orthonormée<math>\big]\,</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» l'expression, en sphérique, de la puissance développée par }}«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, soit finalament <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> [[Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( S \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( S \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, <math>\Big[</math>pour simplifier on pose <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]\,</math> en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \Gamma \right)</math>, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}exprimée en repérant «<math>\;M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\;</math>», soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}si la distance séparant deux points quelconques de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> reste constante <math>\,\big\{</math>c.-à-d. si <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> « ne se déforme pas » <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref><math>\big\}</math>, on a <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures si }}«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t) = 0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;</math>» <ref name="distance entre deux points d'un système continu fermé indéformable"> Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)</math> <math>\,\in \left( \mathcal{V} \right)^2</math>, <math>\,\in \left( S \right)^2\;</math> ou <math>\,\in \left( \Gamma \right)^2\;</math>».</ref> et on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />{{,}} <ref> Applicable pour un système fermé indéformable, discret de points matériels ou continu de matière.</ref>. == Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === ==== Énoncé ==== {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique à la somme }}de celle développée par les forces intérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. ==== Démonstration ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire </u> : La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : La démonstration }}est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : La démonstration }}pourrait être refaite <math>\,\big(</math>bien qu'un peu plus lourde d'exposition<math>\big)\,</math> pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel <math>\,M_i\;</math><ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on applique }}«<math>\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu"> Pour <math>\,M\;\in\,</math> à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> s'écrit : * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( S \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, }}on ajoute, membre à membre, les <math>\,N\,</math> relations définies ci-dessus <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue"> La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> par une intégrale volumique sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, si ce système est d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> par une intégrale surfacique sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ou ce système est d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> par une intégrale curviligne sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 1^er membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;</math>» se réécrivant «<math>\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;</math>» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition <ref> Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er membre }}est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie cinétique du système s'écrit : * «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}</math>, * «<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref> à l'instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er membre est égale }}à la puissance cinétique du système «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» au même instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 1^er terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;</math>» définit la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er terme du 2^nd membre }}à l'instant <math>\;t</math>, soit «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 2^ème terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;</math>» la puissance développée par les forces intérieures appliquées <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 2^ème terme du 2^nd membre }}au système à l'instant <math>\,t</math>, soit «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-48|⁴⁸]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, {{Al|5}}{{Transparent|Exposé : }}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels <ref> Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_point_matériel_d'un_système_continu-68|⁶⁸]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-somme_continue-71|⁷¹]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-61|⁶¹]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-73|⁷³]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-74|⁷⁴]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-75|⁷⁵]] » présentées plus haut dans ce chapitre.</ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème conséquence) » plus haut dans ce chapitre, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété }}« la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété « la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}est nulle c.-à-d. <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété }}utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <ref name="signification de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> étant la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}à l'instant <math>\,t\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> en cinétique newtonienne, à savoir <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="énergie cinétique d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> par dérivation temporelle, l'expression <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}de la puissance cinétique newtonienne, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\dot{K}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 \right\rbrace = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2 \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}de plus un tel « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="système en translation" /> » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », de plus un tel « }}théorème de la puissance cinétique adapté à un solide dans un référentiel galiléen <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système fermé <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, à la date <math>\,t</math>, dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique est égale à }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}en dynamique newtonienne, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, }}<math>\,\big[\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> étant la résultante dynamique appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et <math>\,G\,</math> le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]\,</math> avec «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>et <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> le C.D.I. de <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)\big]}\,</math> avec }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\,</math> étant sa dérivée temporelle ».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>{{,}} <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, moment scalaire évalué par rapport à <math>\,\Delta\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> en cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}newtonienne, à savoir «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\Rightarrow</math> par dérivation temporelle de l'expression de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta</math>, l'expression <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}de la puissance cinétique newtonienne, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\dot{K}_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}de plus un tel « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation de plus un tel « }}lui appliquer le théorème de la puissance cinétique adapté à un solide dans un référentiel galiléen <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide" /> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système fermé <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation, à la date <math>\,t</math>, autour de l'axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique est égale à la puissance développée par }}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» appliqué au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique est égale à }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}en dynamique newtonienne, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <math>\,\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> autour de l'axe rotatoire <math>\,\Delta\big]</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, « }}avec «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\,</math> est le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, « avec «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{syst. en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» où «<math>\;\color{transparent}{J_\Delta}\,</math> est le }}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, « avec }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> étant la dérivée temporelle de <math>\,K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>».}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] }} ltz6it88mp2myojvaeo3y1ywhaao8oz 987447 987446 2026-10-16T03:34:43Z Phl7605 31541 /* Définition */ 987447 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) == === Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque"> Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}s'écrit selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste"> Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.</ref> avec <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>. === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie par <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste" /> se réécrit, dans le cas où <math>\,M\,</math> est en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, pour lequel <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> a pour forme <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}intrinsèque «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» <ref name="forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\big]\,</math> soit, en explicitant <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}dans la définition de <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;</math>» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » <math>\,\big(</math>ce qui laisse ce dernier invariant <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref> La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;</math>».</ref> avec «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,</math> vecteur moment de <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> en <math>\,A\,</math> noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment vectoriel d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée"> Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant <math>\,A\,</math> par le centre <math>\,C\,</math> du cercle.</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation du point <math>\,M\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;</math>» avec }}<math>\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,</math> le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe <math>\,\Delta\,</math> noté <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit au final <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme nettement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref>. === Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\,M\,</math> de « mouvement quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\;M\;</math> de « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, avec <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque <math>\,\big(</math>c.-à-d. aussi de mouvement circulaire<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, pour <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> est la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2^nd membre, }}pour <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire de centre <math>\,C</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,</math> en <math>\,C</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}dans le cas où le point <math>\,M\,</math> a un mouvement « circulaire d'axe <math>\,\Delta\;</math>» <ref> Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.</ref>, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;</math>», <br>traduction symbolique de «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, avec <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>».</ref>.</center> == « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C == === Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\;(m)\,</math> décrivant un mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant <math>\,t</math>, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon <ref name="théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : {{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à <math>\,M\;(m)\,</math> calculés, à l'instant <math>\,t</math>, par rapport au centre <math>\,C\,</math> du cercle de rayon <math>\,R\,</math> décrit par <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» est égal au produit du moment d’inertie de <math>\,M \,</math> par rapport à son axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation <ref> C.-à-d. l'axe du cercle décrit par <math>\,M</math>.</ref> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;</math>» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». ” === « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen === {{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> fixes dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}de moment d'inertie par rapport à <math>\,\Delta\,</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;</math>» et de vecteur rotation instantanée à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation <math>\,\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» dans le but de faire apparaître, dans le 1^er membre, après utilisation de la distributivité de <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, la puissance instantanée <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2^nd membre «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» représente la puissance cinétique du point <math>\,M\,</math> à <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date <math>\,t\,</math> lors de son mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\dot{K}_M(t)\;</math>» en effet, «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="moment d'inertie constant"> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» étant une constante caractérisant la trajectoire de <math>\,M</math>.</ref> soit <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;</math>» <ref name="expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire autour d’un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen s'écrivant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;</math>» <math>\,\big(</math>en dynamique newtonienne<math>\big)</math>, nous retrouvons <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans un mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> » «<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à M"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » <math>\,\big(</math>grandeur cinétique énergétique<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » <math>\;\ldots</math> == Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe == === Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous : {{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,</math> et <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>». === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> prend la forme ci-dessous : {{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math><ref> En effet, définissant <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>» d'où «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>».</ref> où <math>\,J_\Delta(M) = m\;R^2\,</math> est le moment d'inertie de <math>\,M\;(m)\,</math> relativement à <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon <math>\,R\;</math><reF> On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,</math> dans laquelle <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,</math> est le moment cinétique scalaire de <math>\,M\,</math> relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <math>\,\big(</math>utilisée moins fréquemment<math>\big)\,</math> ou <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <math>\,\big(</math>pratiquement jamais utilisée<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>on rappelle la relation <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,</math> avec }}<math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. == Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide == === Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces extérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces extérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> que chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)</math>, extérieur à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de forces extérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée par ce système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}se détermine comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par chaque force extérieure <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi"> En notant <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel <math>\,M_i\,</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|31}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|31}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures «}}<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>». ==== Cas d’un « système de matière en translation » ==== {{Al|5}}Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un « système discret }}en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points matériels <math>\,M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> du système soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », tous les points matériels <math>\,\color{transparent}{M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ont }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}possibilité de factoriser « scalairement » <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> le 2^nd membre de la « relation <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> » par «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », possibilité de factoriser }}l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> d’où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» ou encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}<u>remarque</u> : <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\,t\,</math> et dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <ref> Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.</ref>. ==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret }}en rotation autour d'un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> avec, à la date <math>\,t</math>, la même vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\,</math> pour tous les points <math>\,M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref> Système indéformable dans la pratique <math>\Rightarrow</math> se comportant, dans ce cas <math>\,\big(</math>le seul que nous envisageons dans la suite<math>\big)</math>, comme un solide au sens de la mécanique <math>\,\big[</math>relire la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-système_en_rotation_autour_d'un_axe-32|³²]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation<math>\big]</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrivant selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> <math>\Rightarrow</math> la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» après factorisation par <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}«<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> étant le moment scalaire résultant dynamique relativement à <math>\,\Delta\,</math> s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, soit <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, d'où finalement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire par rapport à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) =</math> {{Nobr|<math>\left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>»}} dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étan le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, soit finalement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, soit au final «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M</math> <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}d'où la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation se réécrit selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque <math>\,\big(</math>axe mobile ou immobile dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de <math>\,\mathcal{R}</math>, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures }}le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures le produit }}de sa vitesse angulaire instantanée. ==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ==== {{Al|5}}On admet que le mouvement d’un point quelconque <math>\,M_i\,</math> d'un solide <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque }}peut être considéré comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}d’une rotation instantanée autour d’un axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par <math>\,G\,</math> de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}<math>\big[</math>ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\big]\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable"> Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable" /> <math>\Rightarrow</math> {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, }}<math>\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math><ref> Après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-distributivité_de_la_multiplication_scalaire_relativement_à_l'addition_vectorielle-15|¹⁵]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math><ref> Le 2^ème terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-invariance_du_produit_mixte_par_permutation_circulaire-4|⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> Par commutativité du produit scalaire <math>\;\ldots</math></ref> soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, }}«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> En effet on reconnaît dans <math>\,\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> le vecteur moment résultant dynamique s'exerçait sur le point <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,G\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_vectoriel_d'une_force-6|⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> » ; {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, s'obtient par « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}<math>\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right] + \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>= \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> Par facorisation scalaire de <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)\,</math> dans le 1^er terme et de <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,</math> dans le 2^nd terme <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-factorisation_scalaire-29|²⁹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> En effet <math>\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> exercée sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière <math>\,\big(</math>admis<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-résultante_dynamique_exercée_sur_un_système_continu_de_matière_30|³⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}<math>\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> est le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,G</math>, <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>, exercé sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière <math>\,\big(</math>admis et détaillé dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_résultant_dynamique_vectoriel_exercé_sur_un_système_continu_de_matière_relativement_à_G-43|⁴³]] » plus loin dans ce chapitre<math>\big)</math>.</ref>{{,}} <ref name="moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,;</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> » ou <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\, \vec{u}_{\Delta_G} \right]\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\vec{u}_{\Delta_G}\,</math> vecteur unitaire orientant <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>\,\Delta_G\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) = \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\,</math> où <math>\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée du <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}solide autour de l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide<math>\big]</math>, soit encore <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right]\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\,</math> où <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\,</math> est le <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }} moment résultant dynamique scalaire <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,</math> exercé sur le solide par rapport à <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide <ref name="moment résultant dynamique scalaire "> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.</ref> <math>\Rightarrow</math> {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, se réécrit, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;</math>» <ref> Forme légèrement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;</math>».</ref> s'obtenant en ajoutant <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}<math>\bullet\;</math>la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}<math>\bullet\;</math>la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour de l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math>». === Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces intérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système des forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures }}est la somme des puissances développées, à la date <math>\;t</math>, par chaque force intérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « }}<math>\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\,</math> après factorisation scalaire par <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> dans la somme sur <math>\,_j\;</math><ref> <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math> étant une constante dans la somme discrète sur <math>\,_j</math>.</ref>{{,}} <ref name="factorisation scalaire" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}dans laquelle <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> est le vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm =</math> <math>\sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> . ==== Autres expressions équivalentes ==== {{Al|5}}<math>\succ\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\left( i\,,\, j \right)\,</math> dans la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans la puissance développée, }}par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans la puissance développée, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels }}avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1 et 2" />, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on utilise la 1^ère relation «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» introduite dans le principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> pour factoriser scalairement <ref name="factorisation scalaire" /> le terme entre crochets par «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>», ce qui donne <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,</math>» ou, en évaluant dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}<math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t)</math> <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;</math>» par utilisation de la [[w:Relation_de_Chasles|relation de Chasles]] <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la [[w:Relation_de_Chasles|relation dite de Chasles]], connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref>, <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\,</math> est donc la dérivée temporelle, dans <math>\,\mathcal{R}</math>, du vecteur position <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}relative <math>\,\overrightarrow{M_jM_i}(t)\,</math> de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}en définissant le « référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,;</math> lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport à <math>\,\mathcal{R}\;</math>», <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\,</math> est encore égale à <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>» c.-à-d. le « vecteur vitesse <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}relative à l'instant <math>\,t\,</math> de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_j\,</math>» <ref name="égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation"> En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] » du chap.<math>25</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Edmond_Bour|Jacques Edmond Émile Bour]] (1832 - 1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de <math>\,33\,</math>ans.</ref> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>». {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Si on remplace la double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>, tous deux variant dans <math>\,\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\,</math> avec la contrainte <math>\,j > i\,</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}par une double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>, tous deux variant dans <math>\,\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\,</math> avec la contrainte <math>\,j \neq i\,</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}on compte deux fois chaque terme de la 1^ère double somme dans la 2^ème double somme <ref> En effet le terme générique de la 1^ère double somme «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\,</math> avec <math>\,j = j_0 > i = i_0\;</math>» <math>\,\big(</math>aussi terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\,j > i\big)\,</math> étant égal au terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\,j < i\,</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\,</math> avec <math>\,j = i_0 < i = j_0\;</math>» car <math>\,\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\,</math> d'une part et <math>\,\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\,</math> d'autre part, chaque terme de la 1^ère double somme se retrouve tel quel dans la 2^ème double somme avec <math>\,j > i\,</math> mais aussi sous une forme résultant de la permutation <math>\,i \leftrightarrow j\,</math> du terme précédent conduisant à <math>\,j < i\,</math> d'où la 2^ème double somme égale à deux fois la 1^ère double somme <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math>}} <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\,</math> des forces que <math>\,M_j\,</math> exerce sur tous les autres points <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}}\,</math> des forces que <math>\,\color{transparent}{M_j}\,</math> exerce sur }}<math>\,M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;</math><ref> Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}</math>, <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\,</math> ou <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\,</math> des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que <math>\,M'\,</math> exerce sur tous les autres points «<math>\;M</math> <math>\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, <math>\,\in\,\left( S \right)\,</math> ou <math>\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math>».</ref>. ==== Conséquences diverses ==== {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}est non nulle dans le cas général soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\,</math> dans le cas général » <ref name="Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures"> Contrairement à la résultante et au moment résultant en n’importe quel point origine, du système des forces intérieures, tous deux toujours nuls, pour tout système fermé de matière discret ou continu, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement à la résultante et au moment résultant en n’importe quel point origine, du système des forces intérieures, tous deux toujours nuls, pour tout système }}indéformable ou déformable ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}celle développée par le moment résultant vectoriel également nulle par nullité du moment vectoriel, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement le fait }}montre que <u>la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures</u>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement le fait montre que }}<u>ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système</u> ; <br>{{Al|3}}on peut généraliser cela au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système fermé de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}<u>la résultante dynamique et le moment résultant dynamique en n’importe quel point origine sont insuffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures</u>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}la 1^ère permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. <math>\,G\,</math> du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}le 2^nd celle du mouvement de rotation autour de <math>\,G\,</math> dans le même référentiel galiléen mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « <u>on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant</u> <math>\,\big(</math>cela ne devenant possible que si le système ne se déforme pas<math>\big)\;</math>».</ref>, la raison étant que les relations <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives }}en général individuellement non nuls, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}« la non nullité de <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» sauf cas particuliers <math>\,\big(</math>restant à préciser<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>En repérant le point «<math>\;M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\,</math> soit <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> pour base sphérique liée à <math>\,M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}la « force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> liée à <math>\,M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="déduction de la 2ème relation du principe des actions réciproques"> Se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-principe_des_actions_réciproques-51|⁵¹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\,</math> <math>\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\,</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,</math>» <br>{{Al|3}}{{Transparent|cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet }}car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}</math>», ceci établit que <br>{{Al|3}}{{Transparent|cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet }}«<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» c.-à-d. une même expression par permutation de <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>.</ref> définissant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}« l'intensité de l’interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\;</math>» simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\,</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}le « vecteur vitesse relative de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\;</math>», «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>», s’écrit, dans la « base sphérique de <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> liée à <math>\,M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» « }}<math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[</math>la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> étant orthonormée<math>\big]\,</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» l'expression, en sphérique, de la puissance développée par }}«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, soit finalament <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> [[Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( S \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( S \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, <math>\Big[</math>pour simplifier on pose <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]\,</math> en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \Gamma \right)</math>, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}exprimée en repérant «<math>\;M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\;</math>», soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}si la distance séparant deux points quelconques de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> reste constante <math>\,\big\{</math>c.-à-d. si <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> « ne se déforme pas » <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref><math>\big\}</math>, on a <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures si }}«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t) = 0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;</math>» <ref name="distance entre deux points d'un système continu fermé indéformable"> Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)</math> <math>\,\in \left( \mathcal{V} \right)^2</math>, <math>\,\in \left( S \right)^2\;</math> ou <math>\,\in \left( \Gamma \right)^2\;</math>».</ref> et on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />{{,}} <ref> Applicable pour un système fermé indéformable, discret de points matériels ou continu de matière.</ref>. == Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === ==== Énoncé ==== {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique à la somme }}de celle développée par les forces intérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. ==== Démonstration ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire </u> : La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : La démonstration }}est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : La démonstration }}pourrait être refaite <math>\,\big(</math>bien qu'un peu plus lourde d'exposition<math>\big)\,</math> pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel <math>\,M_i\;</math><ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on applique }}«<math>\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu"> Pour <math>\,M\;\in\,</math> à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> s'écrit : * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( S \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, }}on ajoute, membre à membre, les <math>\,N\,</math> relations définies ci-dessus <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue"> La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> par une intégrale volumique sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, si ce système est d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> par une intégrale surfacique sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ou ce système est d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> par une intégrale curviligne sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 1^er membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;</math>» se réécrivant «<math>\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;</math>» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition <ref> Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er membre }}est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie cinétique du système s'écrit : * «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}</math>, * «<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref> à l'instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er membre est égale }}à la puissance cinétique du système «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» au même instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 1^er terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;</math>» définit la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er terme du 2^nd membre }}à l'instant <math>\;t</math>, soit «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 2^ème terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;</math>» la puissance développée par les forces intérieures appliquées <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 2^ème terme du 2^nd membre }}au système à l'instant <math>\,t</math>, soit «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-48|⁴⁸]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, {{Al|5}}{{Transparent|Exposé : }}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels <ref> Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_point_matériel_d'un_système_continu-68|⁶⁸]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-somme_continue-71|⁷¹]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-61|⁶¹]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-73|⁷³]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-74|⁷⁴]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-75|⁷⁵]] » présentées plus haut dans ce chapitre.</ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème conséquence) » plus haut dans ce chapitre, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété }}« la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété « la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}est nulle c.-à-d. <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété }}utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <ref name="signification de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> étant la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}à l'instant <math>\,t\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> en cinétique newtonienne, à savoir <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="énergie cinétique d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> par dérivation temporelle, l'expression <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}de la puissance cinétique newtonienne, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\dot{K}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 \right\rbrace = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2 \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}de plus un tel « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="système en translation" /> » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », de plus un tel « }}théorème de la puissance cinétique adapté à un solide dans un référentiel galiléen <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système fermé <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, à la date <math>\,t</math>, dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique est égale à }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}en dynamique newtonienne, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, }}<math>\,\big[\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> étant la résultante dynamique appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et <math>\,G\,</math> le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]\,</math> avec «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>et <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> le C.D.I. de <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)\big]}\,</math> avec }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\,</math> étant sa dérivée temporelle ».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>{{,}} <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, moment scalaire évalué par rapport à <math>\,\Delta\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> en cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}newtonienne, à savoir «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\Rightarrow</math> par dérivation temporelle de l'expression de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta</math>, l'expression <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}de la puissance cinétique newtonienne, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\dot{K}_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}de plus un tel « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation de plus un tel « }}lui appliquer le théorème de la puissance cinétique adapté à un solide dans un référentiel galiléen <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide" /> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système fermé <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation, à la date <math>\,t</math>, autour de l'axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique est égale à la puissance développée par }}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» appliqué au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique est égale à }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}en dynamique newtonienne, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <math>\,\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> autour de l'axe rotatoire <math>\,\Delta\big]</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, « }}avec «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\,</math> est le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, « avec «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{syst. en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» où «<math>\;\color{transparent}{J_\Delta}\,</math> est le }}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, « avec }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> étant la dérivée temporelle de <math>\,K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>».}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] }} 1mdjf4oc9zrz577zb0veig3xlpak0ay 987448 987447 2026-10-16T03:38:38Z Phl7605 31541 /* Définition */ 987448 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) == === Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque"> Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}s'écrit selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste"> Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.</ref> avec <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>. === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie par <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste" /> se réécrit, dans le cas où <math>\,M\,</math> est en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, pour lequel <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> a pour forme <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}intrinsèque «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» <ref name="forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\big]\,</math> soit, en explicitant <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}dans la définition de <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;</math>» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » <math>\,\big(</math>ce qui laisse ce dernier invariant <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref> La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;</math>».</ref> avec «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,</math> vecteur moment de <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> en <math>\,A\,</math> noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment vectoriel d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée"> Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant <math>\,A\,</math> par le centre <math>\,C\,</math> du cercle.</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation du point <math>\,M\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;</math>» avec }}<math>\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,</math> le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe <math>\,\Delta\,</math> noté <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit au final <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme nettement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref>. === Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\,M\,</math> de « mouvement quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\;M\;</math> de « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, avec <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque <math>\,\big(</math>c.-à-d. aussi de mouvement circulaire<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, pour <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> est la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2^nd membre, }}pour <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire de centre <math>\,C</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,</math> en <math>\,C</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}dans le cas où le point <math>\,M\,</math> a un mouvement « circulaire d'axe <math>\,\Delta\;</math>» <ref> Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.</ref>, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;</math>», <br>traduction symbolique de «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, avec <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>».</ref>.</center> == « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C == === Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\;(m)\,</math> décrivant un mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant <math>\,t</math>, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon <ref name="théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : {{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à <math>\,M\;(m)\,</math> calculés, à l'instant <math>\,t</math>, par rapport au centre <math>\,C\,</math> du cercle de rayon <math>\,R\,</math> décrit par <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» est égal au produit du moment d’inertie de <math>\,M \,</math> par rapport à son axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation <ref> C.-à-d. l'axe du cercle décrit par <math>\,M</math>.</ref> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;</math>» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». ” === « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen === {{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> fixes dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}de moment d'inertie par rapport à <math>\,\Delta\,</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;</math>» et de vecteur rotation instantanée à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation <math>\,\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» dans le but de faire apparaître, dans le 1^er membre, après utilisation de la distributivité de <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, la puissance instantanée <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2^nd membre «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» représente la puissance cinétique du point <math>\,M\,</math> à <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date <math>\,t\,</math> lors de son mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\dot{K}_M(t)\;</math>» en effet, «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="moment d'inertie constant"> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» étant une constante caractérisant la trajectoire de <math>\,M</math>.</ref> soit <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;</math>» <ref name="expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire autour d’un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen s'écrivant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;</math>» <math>\,\big(</math>en dynamique newtonienne<math>\big)</math>, nous retrouvons <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans un mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> » «<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à M"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » <math>\,\big(</math>grandeur cinétique énergétique<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » <math>\;\ldots</math> == Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe == === Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous : {{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,</math> et <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>». === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> prend la forme ci-dessous : {{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math><ref> En effet, définissant <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>» d'où «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>».</ref> où <math>\,J_\Delta(M) = m\;R^2\,</math> est le moment d'inertie de <math>\,M\;(m)\,</math> relativement à <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon <math>\,R\;</math><reF> On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,</math> dans laquelle <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,</math> est le moment cinétique scalaire de <math>\,M\,</math> relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <math>\,\big(</math>utilisée moins fréquemment<math>\big)\,</math> ou <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <math>\,\big(</math>pratiquement jamais utilisée<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>on rappelle la relation <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,</math> avec }}<math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. == Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide == === Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces extérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces extérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> que chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)</math>, extérieur à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de forces extérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée par ce système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}se détermine comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par chaque force extérieure <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi"> En notant <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel <math>\,M_i\,</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|31}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|31}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures «}}<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>». ==== Cas d’un « système de matière en translation » ==== {{Al|5}}Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un « système discret }}en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points matériels <math>\,M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> du système soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », tous les points matériels <math>\,\color{transparent}{M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ont }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}possibilité de factoriser « scalairement » <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> le 2^nd membre de la « relation <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> » par «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », possibilité de factoriser }}l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> d’où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» ou encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}<u>remarque</u> : <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\,t\,</math> et dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <ref> Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.</ref>. ==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret }}en rotation autour d'un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> avec, à la date <math>\,t</math>, la même vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\,</math> pour tous les points <math>\,M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref> Système indéformable dans la pratique <math>\Rightarrow</math> se comportant, dans ce cas <math>\,\big(</math>le seul que nous envisageons dans la suite<math>\big)</math>, comme un solide au sens de la mécanique <math>\,\big[</math>relire la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-système_en_rotation_autour_d'un_axe-32|³²]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation<math>\big]</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrivant selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> <math>\Rightarrow</math> la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» après factorisation par <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}«<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> étant le moment scalaire résultant dynamique relativement à <math>\,\Delta\,</math> s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, soit <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, d'où finalement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire par rapport à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) =</math> {{Nobr|<math>\left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>»}} dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étan le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, soit finalement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, soit au final «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M</math> <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}d'où la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation se réécrit selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque <math>\,\big(</math>axe mobile ou immobile dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de <math>\,\mathcal{R}</math>, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures }}le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures le produit }}de sa vitesse angulaire instantanée. ==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ==== {{Al|5}}On admet que le mouvement d’un point quelconque <math>\,M_i\,</math> d'un solide <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque }}peut être considéré comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}d’une rotation instantanée autour d’un axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par <math>\,G\,</math> de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}<math>\big[</math>ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\big]\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable"> Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable" /> <math>\Rightarrow</math> {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, }}<math>\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math><ref> Après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-distributivité_de_la_multiplication_scalaire_relativement_à_l'addition_vectorielle-15|¹⁵]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math><ref> Le 2^ème terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-invariance_du_produit_mixte_par_permutation_circulaire-4|⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> Par commutativité du produit scalaire <math>\;\ldots</math></ref> soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, }}«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> En effet on reconnaît dans <math>\,\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> le vecteur moment résultant dynamique s'exerçait sur le point <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,G\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_vectoriel_d'une_force-6|⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> » ; {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, s'obtient par « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}<math>\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right] + \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>= \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> Par facorisation scalaire de <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)\,</math> dans le 1^er terme et de <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,</math> dans le 2^nd terme <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-factorisation_scalaire-29|²⁹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> En effet <math>\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> exercée sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière <math>\,\big(</math>admis<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-résultante_dynamique_exercée_sur_un_système_continu_de_matière_30|³⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}<math>\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> est le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,G</math>, <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>, exercé sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière <math>\,\big(</math>admis et détaillé dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_résultant_dynamique_vectoriel_exercé_sur_un_système_continu_de_matière_relativement_à_G-43|⁴³]] » plus loin dans ce chapitre<math>\big)</math>.</ref>{{,}} <ref name="moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,;</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> » ou <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\, \vec{u}_{\Delta_G} \right]\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\vec{u}_{\Delta_G}\,</math> vecteur unitaire orientant <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>\,\Delta_G\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) = \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\,</math> où <math>\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée du <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}solide autour de l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide<math>\big]</math>, soit encore <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right]\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\,</math> où <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\,</math> est le <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }} moment résultant dynamique scalaire <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,</math> exercé sur le solide par rapport à <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide <ref name="moment résultant dynamique scalaire "> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.</ref> <math>\Rightarrow</math> {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, se réécrit, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;</math>» <ref> Forme légèrement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;</math>».</ref> s'obtenant en ajoutant <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}<math>\bullet\;</math>la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}<math>\bullet\;</math>la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour de l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math>». === Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces intérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système des forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures }}est la somme des puissances développées, à la date <math>\;t</math>, par chaque force intérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « }}<math>\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\,</math> après factorisation scalaire par <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> dans la somme sur <math>\,_j\;</math><ref> <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math> étant une constante dans la somme discrète sur <math>\,_j</math>.</ref>{{,}} <ref name="factorisation scalaire" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}dans laquelle <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> est le vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \right.</math> <math>\left. \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> . ==== Autres expressions équivalentes ==== {{Al|5}}<math>\succ\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\left( i\,,\, j \right)\,</math> dans la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans la puissance développée, }}par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans la puissance développée, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels }}avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1 et 2" />, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on utilise la 1^ère relation «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» introduite dans le principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> pour factoriser scalairement <ref name="factorisation scalaire" /> le terme entre crochets par «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>», ce qui donne <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,</math>» ou, en évaluant dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}<math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t)</math> <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;</math>» par utilisation de la [[w:Relation_de_Chasles|relation de Chasles]] <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la [[w:Relation_de_Chasles|relation dite de Chasles]], connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref>, <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\,</math> est donc la dérivée temporelle, dans <math>\,\mathcal{R}</math>, du vecteur position <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}relative <math>\,\overrightarrow{M_jM_i}(t)\,</math> de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}en définissant le « référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,;</math> lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport à <math>\,\mathcal{R}\;</math>», <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\,</math> est encore égale à <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>» c.-à-d. le « vecteur vitesse <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}relative à l'instant <math>\,t\,</math> de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_j\,</math>» <ref name="égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation"> En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] » du chap.<math>25</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Edmond_Bour|Jacques Edmond Émile Bour]] (1832 - 1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de <math>\,33\,</math>ans.</ref> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>». {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Si on remplace la double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>, tous deux variant dans <math>\,\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\,</math> avec la contrainte <math>\,j > i\,</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}par une double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>, tous deux variant dans <math>\,\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\,</math> avec la contrainte <math>\,j \neq i\,</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}on compte deux fois chaque terme de la 1^ère double somme dans la 2^ème double somme <ref> En effet le terme générique de la 1^ère double somme «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\,</math> avec <math>\,j = j_0 > i = i_0\;</math>» <math>\,\big(</math>aussi terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\,j > i\big)\,</math> étant égal au terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\,j < i\,</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\,</math> avec <math>\,j = i_0 < i = j_0\;</math>» car <math>\,\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\,</math> d'une part et <math>\,\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\,</math> d'autre part, chaque terme de la 1^ère double somme se retrouve tel quel dans la 2^ème double somme avec <math>\,j > i\,</math> mais aussi sous une forme résultant de la permutation <math>\,i \leftrightarrow j\,</math> du terme précédent conduisant à <math>\,j < i\,</math> d'où la 2^ème double somme égale à deux fois la 1^ère double somme <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math>}} <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\,</math> des forces que <math>\,M_j\,</math> exerce sur tous les autres points <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}}\,</math> des forces que <math>\,\color{transparent}{M_j}\,</math> exerce sur }}<math>\,M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;</math><ref> Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}</math>, <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\,</math> ou <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\,</math> des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que <math>\,M'\,</math> exerce sur tous les autres points «<math>\;M</math> <math>\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, <math>\,\in\,\left( S \right)\,</math> ou <math>\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math>».</ref>. ==== Conséquences diverses ==== {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}est non nulle dans le cas général soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\,</math> dans le cas général » <ref name="Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures"> Contrairement à la résultante et au moment résultant en n’importe quel point origine, du système des forces intérieures, tous deux toujours nuls, pour tout système fermé de matière discret ou continu, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement à la résultante et au moment résultant en n’importe quel point origine, du système des forces intérieures, tous deux toujours nuls, pour tout système }}indéformable ou déformable ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}celle développée par le moment résultant vectoriel également nulle par nullité du moment vectoriel, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement le fait }}montre que <u>la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures</u>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement le fait montre que }}<u>ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système</u> ; <br>{{Al|3}}on peut généraliser cela au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système fermé de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}<u>la résultante dynamique et le moment résultant dynamique en n’importe quel point origine sont insuffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures</u>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}la 1^ère permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. <math>\,G\,</math> du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}le 2^nd celle du mouvement de rotation autour de <math>\,G\,</math> dans le même référentiel galiléen mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « <u>on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant</u> <math>\,\big(</math>cela ne devenant possible que si le système ne se déforme pas<math>\big)\;</math>».</ref>, la raison étant que les relations <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives }}en général individuellement non nuls, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}« la non nullité de <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» sauf cas particuliers <math>\,\big(</math>restant à préciser<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>En repérant le point «<math>\;M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\,</math> soit <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> pour base sphérique liée à <math>\,M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}la « force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> liée à <math>\,M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="déduction de la 2ème relation du principe des actions réciproques"> Se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-principe_des_actions_réciproques-51|⁵¹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\,</math> <math>\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\,</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,</math>» <br>{{Al|3}}{{Transparent|cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet }}car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}</math>», ceci établit que <br>{{Al|3}}{{Transparent|cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet }}«<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» c.-à-d. une même expression par permutation de <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>.</ref> définissant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}« l'intensité de l’interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\;</math>» simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\,</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}le « vecteur vitesse relative de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\;</math>», «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>», s’écrit, dans la « base sphérique de <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> liée à <math>\,M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» « }}<math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[</math>la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> étant orthonormée<math>\big]\,</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» l'expression, en sphérique, de la puissance développée par }}«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, soit finalament <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> [[Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( S \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( S \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, <math>\Big[</math>pour simplifier on pose <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]\,</math> en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \Gamma \right)</math>, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}exprimée en repérant «<math>\;M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\;</math>», soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}si la distance séparant deux points quelconques de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> reste constante <math>\,\big\{</math>c.-à-d. si <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> « ne se déforme pas » <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref><math>\big\}</math>, on a <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures si }}«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t) = 0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;</math>» <ref name="distance entre deux points d'un système continu fermé indéformable"> Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)</math> <math>\,\in \left( \mathcal{V} \right)^2</math>, <math>\,\in \left( S \right)^2\;</math> ou <math>\,\in \left( \Gamma \right)^2\;</math>».</ref> et on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />{{,}} <ref> Applicable pour un système fermé indéformable, discret de points matériels ou continu de matière.</ref>. == Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === ==== Énoncé ==== {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique à la somme }}de celle développée par les forces intérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. ==== Démonstration ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire </u> : La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : La démonstration }}est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : La démonstration }}pourrait être refaite <math>\,\big(</math>bien qu'un peu plus lourde d'exposition<math>\big)\,</math> pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel <math>\,M_i\;</math><ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on applique }}«<math>\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu"> Pour <math>\,M\;\in\,</math> à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> s'écrit : * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( S \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, }}on ajoute, membre à membre, les <math>\,N\,</math> relations définies ci-dessus <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue"> La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> par une intégrale volumique sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, si ce système est d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> par une intégrale surfacique sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ou ce système est d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> par une intégrale curviligne sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 1^er membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;</math>» se réécrivant «<math>\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;</math>» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition <ref> Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er membre }}est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie cinétique du système s'écrit : * «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}</math>, * «<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref> à l'instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er membre est égale }}à la puissance cinétique du système «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» au même instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 1^er terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;</math>» définit la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er terme du 2^nd membre }}à l'instant <math>\;t</math>, soit «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 2^ème terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;</math>» la puissance développée par les forces intérieures appliquées <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 2^ème terme du 2^nd membre }}au système à l'instant <math>\,t</math>, soit «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-48|⁴⁸]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, {{Al|5}}{{Transparent|Exposé : }}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels <ref> Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_point_matériel_d'un_système_continu-68|⁶⁸]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-somme_continue-71|⁷¹]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-61|⁶¹]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-73|⁷³]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-74|⁷⁴]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-75|⁷⁵]] » présentées plus haut dans ce chapitre.</ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème conséquence) » plus haut dans ce chapitre, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété }}« la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété « la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}est nulle c.-à-d. <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété }}utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <ref name="signification de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> étant la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}à l'instant <math>\,t\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> en cinétique newtonienne, à savoir <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="énergie cinétique d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> par dérivation temporelle, l'expression <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}de la puissance cinétique newtonienne, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\dot{K}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 \right\rbrace = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2 \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}de plus un tel « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="système en translation" /> » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », de plus un tel « }}théorème de la puissance cinétique adapté à un solide dans un référentiel galiléen <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système fermé <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, à la date <math>\,t</math>, dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique est égale à }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}en dynamique newtonienne, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, }}<math>\,\big[\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> étant la résultante dynamique appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et <math>\,G\,</math> le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]\,</math> avec «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>et <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> le C.D.I. de <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)\big]}\,</math> avec }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\,</math> étant sa dérivée temporelle ».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>{{,}} <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, moment scalaire évalué par rapport à <math>\,\Delta\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> en cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}newtonienne, à savoir «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\Rightarrow</math> par dérivation temporelle de l'expression de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta</math>, l'expression <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}de la puissance cinétique newtonienne, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\dot{K}_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}de plus un tel « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation de plus un tel « }}lui appliquer le théorème de la puissance cinétique adapté à un solide dans un référentiel galiléen <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide" /> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système fermé <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation, à la date <math>\,t</math>, autour de l'axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique est égale à la puissance développée par }}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» appliqué au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique est égale à }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}en dynamique newtonienne, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <math>\,\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> autour de l'axe rotatoire <math>\,\Delta\big]</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, « }}avec «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\,</math> est le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, « avec «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{syst. en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» où «<math>\;\color{transparent}{J_\Delta}\,</math> est le }}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, « avec }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> étant la dérivée temporelle de <math>\,K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>».}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] }} 2lbxbzairu9bdpsw9da7k3z44geymj2 987449 987448 2026-10-16T03:43:28Z Phl7605 31541 /* Autres expressions équivalentes */ 987449 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) == === Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque"> Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}s'écrit selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste"> Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.</ref> avec <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>. === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie par <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste" /> se réécrit, dans le cas où <math>\,M\,</math> est en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, pour lequel <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> a pour forme <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}intrinsèque «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» <ref name="forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\big]\,</math> soit, en explicitant <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}dans la définition de <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;</math>» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » <math>\,\big(</math>ce qui laisse ce dernier invariant <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref> La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;</math>».</ref> avec «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,</math> vecteur moment de <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> en <math>\,A\,</math> noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment vectoriel d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée"> Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant <math>\,A\,</math> par le centre <math>\,C\,</math> du cercle.</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation du point <math>\,M\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;</math>» avec }}<math>\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,</math> le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe <math>\,\Delta\,</math> noté <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit au final <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme nettement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref>. === Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\,M\,</math> de « mouvement quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\;M\;</math> de « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, avec <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque <math>\,\big(</math>c.-à-d. aussi de mouvement circulaire<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, pour <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> est la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2^nd membre, }}pour <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire de centre <math>\,C</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,</math> en <math>\,C</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}dans le cas où le point <math>\,M\,</math> a un mouvement « circulaire d'axe <math>\,\Delta\;</math>» <ref> Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.</ref>, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;</math>», <br>traduction symbolique de «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, avec <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>».</ref>.</center> == « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C == === Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\;(m)\,</math> décrivant un mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant <math>\,t</math>, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon <ref name="théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : {{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à <math>\,M\;(m)\,</math> calculés, à l'instant <math>\,t</math>, par rapport au centre <math>\,C\,</math> du cercle de rayon <math>\,R\,</math> décrit par <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» est égal au produit du moment d’inertie de <math>\,M \,</math> par rapport à son axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation <ref> C.-à-d. l'axe du cercle décrit par <math>\,M</math>.</ref> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;</math>» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». ” === « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen === {{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> fixes dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}de moment d'inertie par rapport à <math>\,\Delta\,</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;</math>» et de vecteur rotation instantanée à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation <math>\,\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» dans le but de faire apparaître, dans le 1^er membre, après utilisation de la distributivité de <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, la puissance instantanée <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2^nd membre «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» représente la puissance cinétique du point <math>\,M\,</math> à <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date <math>\,t\,</math> lors de son mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\dot{K}_M(t)\;</math>» en effet, «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="moment d'inertie constant"> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» étant une constante caractérisant la trajectoire de <math>\,M</math>.</ref> soit <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;</math>» <ref name="expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire autour d’un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen s'écrivant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;</math>» <math>\,\big(</math>en dynamique newtonienne<math>\big)</math>, nous retrouvons <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans un mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> » «<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à M"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » <math>\,\big(</math>grandeur cinétique énergétique<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » <math>\;\ldots</math> == Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe == === Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous : {{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,</math> et <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>». === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> prend la forme ci-dessous : {{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math><ref> En effet, définissant <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>» d'où «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>».</ref> où <math>\,J_\Delta(M) = m\;R^2\,</math> est le moment d'inertie de <math>\,M\;(m)\,</math> relativement à <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon <math>\,R\;</math><reF> On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,</math> dans laquelle <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,</math> est le moment cinétique scalaire de <math>\,M\,</math> relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <math>\,\big(</math>utilisée moins fréquemment<math>\big)\,</math> ou <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <math>\,\big(</math>pratiquement jamais utilisée<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>on rappelle la relation <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,</math> avec }}<math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. == Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide == === Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces extérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces extérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> que chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)</math>, extérieur à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de forces extérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée par ce système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}se détermine comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par chaque force extérieure <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi"> En notant <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel <math>\,M_i\,</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|31}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|31}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures «}}<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>». ==== Cas d’un « système de matière en translation » ==== {{Al|5}}Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un « système discret }}en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points matériels <math>\,M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> du système soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », tous les points matériels <math>\,\color{transparent}{M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ont }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}possibilité de factoriser « scalairement » <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> le 2^nd membre de la « relation <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> » par «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », possibilité de factoriser }}l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> d’où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» ou encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}<u>remarque</u> : <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\,t\,</math> et dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <ref> Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.</ref>. ==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret }}en rotation autour d'un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> avec, à la date <math>\,t</math>, la même vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\,</math> pour tous les points <math>\,M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref> Système indéformable dans la pratique <math>\Rightarrow</math> se comportant, dans ce cas <math>\,\big(</math>le seul que nous envisageons dans la suite<math>\big)</math>, comme un solide au sens de la mécanique <math>\,\big[</math>relire la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-système_en_rotation_autour_d'un_axe-32|³²]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation<math>\big]</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrivant selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> <math>\Rightarrow</math> la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» après factorisation par <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}«<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> étant le moment scalaire résultant dynamique relativement à <math>\,\Delta\,</math> s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, soit <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, d'où finalement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire par rapport à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) =</math> {{Nobr|<math>\left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>»}} dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étan le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, soit finalement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, soit au final «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M</math> <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}d'où la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation se réécrit selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque <math>\,\big(</math>axe mobile ou immobile dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de <math>\,\mathcal{R}</math>, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures }}le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures le produit }}de sa vitesse angulaire instantanée. ==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ==== {{Al|5}}On admet que le mouvement d’un point quelconque <math>\,M_i\,</math> d'un solide <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque }}peut être considéré comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}d’une rotation instantanée autour d’un axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par <math>\,G\,</math> de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}<math>\big[</math>ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\big]\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable"> Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable" /> <math>\Rightarrow</math> {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, }}<math>\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math><ref> Après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-distributivité_de_la_multiplication_scalaire_relativement_à_l'addition_vectorielle-15|¹⁵]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math><ref> Le 2^ème terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-invariance_du_produit_mixte_par_permutation_circulaire-4|⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> Par commutativité du produit scalaire <math>\;\ldots</math></ref> soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, }}«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> En effet on reconnaît dans <math>\,\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> le vecteur moment résultant dynamique s'exerçait sur le point <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,G\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_vectoriel_d'une_force-6|⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> » ; {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, s'obtient par « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}<math>\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right] + \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>= \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> Par facorisation scalaire de <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)\,</math> dans le 1^er terme et de <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,</math> dans le 2^nd terme <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-factorisation_scalaire-29|²⁹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> En effet <math>\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> exercée sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière <math>\,\big(</math>admis<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-résultante_dynamique_exercée_sur_un_système_continu_de_matière_30|³⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}<math>\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> est le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,G</math>, <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>, exercé sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière <math>\,\big(</math>admis et détaillé dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_résultant_dynamique_vectoriel_exercé_sur_un_système_continu_de_matière_relativement_à_G-43|⁴³]] » plus loin dans ce chapitre<math>\big)</math>.</ref>{{,}} <ref name="moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,;</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> » ou <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\, \vec{u}_{\Delta_G} \right]\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\vec{u}_{\Delta_G}\,</math> vecteur unitaire orientant <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>\,\Delta_G\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) = \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\,</math> où <math>\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée du <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}solide autour de l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide<math>\big]</math>, soit encore <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right]\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\,</math> où <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\,</math> est le <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }} moment résultant dynamique scalaire <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,</math> exercé sur le solide par rapport à <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide <ref name="moment résultant dynamique scalaire "> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.</ref> <math>\Rightarrow</math> {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, se réécrit, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;</math>» <ref> Forme légèrement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;</math>».</ref> s'obtenant en ajoutant <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}<math>\bullet\;</math>la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}<math>\bullet\;</math>la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour de l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math>». === Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces intérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système des forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures }}est la somme des puissances développées, à la date <math>\;t</math>, par chaque force intérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « }}<math>\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\,</math> après factorisation scalaire par <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> dans la somme sur <math>\,_j\;</math><ref> <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math> étant une constante dans la somme discrète sur <math>\,_j</math>.</ref>{{,}} <ref name="factorisation scalaire" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}dans laquelle <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> est le vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \right.</math> <math>\left. \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> . ==== Autres expressions équivalentes ==== {{Al|5}}<math>\succ\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\left( i\,,\, j \right)\,</math> dans la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans la puissance développée, }}par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans la puissance développée, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels }}avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1 et 2" />, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on utilise la 1^ère relation «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» introduite dans le principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> pour factoriser scalairement <ref name="factorisation scalaire" /> le terme entre crochets par «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>», ce qui donne <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,</math>» ou, en évaluant dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}<math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t)</math> <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;</math>» par utilisation de la [[w:Relation_de_Chasles|relation de Chasles]] <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la [[w:Relation_de_Chasles|relation dite de Chasles]], connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref>, <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\,</math> est donc la dérivée temporelle, dans <math>\,\mathcal{R}</math>, du vecteur position <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}relative <math>\,\overrightarrow{M_jM_i}(t)\,</math> de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}en définissant le « référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,;</math> lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport à <math>\,\mathcal{R}\;</math>», <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\,</math> est encore égale à <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>» c.-à-d. le « vecteur vitesse <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}relative à l'instant <math>\,t\,</math> de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_j\,</math>» <ref name="égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation"> En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] » du chap.<math>25</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Edmond_Bour|Jacques Edmond Émile Bour]] (1832 - 1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de <math>\,33\,</math>ans.</ref> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>». {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Si on remplace la double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>, tous deux variant dans <math>\,\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\,</math> avec la contrainte <math>\,j > i\,</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}par une double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>, tous deux variant dans <math>\,\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\,</math> avec la contrainte <math>\,j \neq i\,</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}on compte deux fois chaque terme de la 1^ère double somme dans la 2^ème double somme <ref> En effet le terme générique de la 1^ère double somme «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\,</math> avec <math>\,j = j_0 > i = i_0\;</math>» <math>\,\big(</math>aussi terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\,j > i\big)\,</math> étant égal au terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\,j < i\,</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\,</math> avec <math>\,j = i_0 < i = j_0\;</math>» car <math>\,\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\,</math> d'une part et <math>\,\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\,</math> d'autre part, chaque terme de la 1^ère double somme se retrouve tel quel dans la 2^ème double somme avec <math>\,j > i\,</math> mais aussi sous une forme résultant de la permutation <math>\,i \leftrightarrow j\,</math> du terme précédent conduisant à <math>\,j < i\,</math> d'où la 2^ème double somme égale à deux fois la 1^ère double somme <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|23}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|23}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math>}} <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\,</math> des forces que <math>\,M_j\,</math> exerce sur tous les autres points <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}}\,</math> des forces que <math>\,\color{transparent}{M_j}\,</math> exerce sur }}<math>\,M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;</math><ref> Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}</math>, <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\,</math> ou <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\,</math> des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que <math>\,M'\,</math> exerce sur tous les autres points «<math>\;M</math> <math>\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, <math>\,\in\,\left( S \right)\,</math> ou <math>\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math>».</ref>. ==== Conséquences diverses ==== {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}est non nulle dans le cas général soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\,</math> dans le cas général » <ref name="Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures"> Contrairement à la résultante et au moment résultant en n’importe quel point origine, du système des forces intérieures, tous deux toujours nuls, pour tout système fermé de matière discret ou continu, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement à la résultante et au moment résultant en n’importe quel point origine, du système des forces intérieures, tous deux toujours nuls, pour tout système }}indéformable ou déformable ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}celle développée par le moment résultant vectoriel également nulle par nullité du moment vectoriel, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement le fait }}montre que <u>la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures</u>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement le fait montre que }}<u>ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système</u> ; <br>{{Al|3}}on peut généraliser cela au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système fermé de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}<u>la résultante dynamique et le moment résultant dynamique en n’importe quel point origine sont insuffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures</u>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}la 1^ère permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. <math>\,G\,</math> du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}le 2^nd celle du mouvement de rotation autour de <math>\,G\,</math> dans le même référentiel galiléen mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « <u>on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant</u> <math>\,\big(</math>cela ne devenant possible que si le système ne se déforme pas<math>\big)\;</math>».</ref>, la raison étant que les relations <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives }}en général individuellement non nuls, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}« la non nullité de <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» sauf cas particuliers <math>\,\big(</math>restant à préciser<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>En repérant le point «<math>\;M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\,</math> soit <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> pour base sphérique liée à <math>\,M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}la « force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> liée à <math>\,M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="déduction de la 2ème relation du principe des actions réciproques"> Se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-principe_des_actions_réciproques-51|⁵¹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\,</math> <math>\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\,</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,</math>» <br>{{Al|3}}{{Transparent|cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet }}car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}</math>», ceci établit que <br>{{Al|3}}{{Transparent|cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet }}«<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» c.-à-d. une même expression par permutation de <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>.</ref> définissant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}« l'intensité de l’interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\;</math>» simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\,</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}le « vecteur vitesse relative de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\;</math>», «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>», s’écrit, dans la « base sphérique de <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> liée à <math>\,M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» « }}<math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[</math>la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> étant orthonormée<math>\big]\,</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» l'expression, en sphérique, de la puissance développée par }}«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, soit finalament <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> [[Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( S \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( S \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, <math>\Big[</math>pour simplifier on pose <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]\,</math> en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \Gamma \right)</math>, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}exprimée en repérant «<math>\;M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\;</math>», soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}si la distance séparant deux points quelconques de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> reste constante <math>\,\big\{</math>c.-à-d. si <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> « ne se déforme pas » <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref><math>\big\}</math>, on a <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures si }}«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t) = 0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;</math>» <ref name="distance entre deux points d'un système continu fermé indéformable"> Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)</math> <math>\,\in \left( \mathcal{V} \right)^2</math>, <math>\,\in \left( S \right)^2\;</math> ou <math>\,\in \left( \Gamma \right)^2\;</math>».</ref> et on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />{{,}} <ref> Applicable pour un système fermé indéformable, discret de points matériels ou continu de matière.</ref>. == Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === ==== Énoncé ==== {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique à la somme }}de celle développée par les forces intérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. ==== Démonstration ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire </u> : La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : La démonstration }}est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : La démonstration }}pourrait être refaite <math>\,\big(</math>bien qu'un peu plus lourde d'exposition<math>\big)\,</math> pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel <math>\,M_i\;</math><ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on applique }}«<math>\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu"> Pour <math>\,M\;\in\,</math> à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> s'écrit : * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( S \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, }}on ajoute, membre à membre, les <math>\,N\,</math> relations définies ci-dessus <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue"> La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> par une intégrale volumique sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, si ce système est d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> par une intégrale surfacique sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ou ce système est d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> par une intégrale curviligne sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 1^er membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;</math>» se réécrivant «<math>\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;</math>» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition <ref> Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er membre }}est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie cinétique du système s'écrit : * «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}</math>, * «<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref> à l'instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er membre est égale }}à la puissance cinétique du système «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» au même instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 1^er terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;</math>» définit la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er terme du 2^nd membre }}à l'instant <math>\;t</math>, soit «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 2^ème terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;</math>» la puissance développée par les forces intérieures appliquées <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 2^ème terme du 2^nd membre }}au système à l'instant <math>\,t</math>, soit «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-48|⁴⁸]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, {{Al|5}}{{Transparent|Exposé : }}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels <ref> Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_point_matériel_d'un_système_continu-68|⁶⁸]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-somme_continue-71|⁷¹]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-61|⁶¹]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-73|⁷³]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-74|⁷⁴]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-75|⁷⁵]] » présentées plus haut dans ce chapitre.</ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème conséquence) » plus haut dans ce chapitre, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété }}« la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété « la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}est nulle c.-à-d. <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété }}utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <ref name="signification de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> étant la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}à l'instant <math>\,t\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> en cinétique newtonienne, à savoir <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="énergie cinétique d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> par dérivation temporelle, l'expression <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}de la puissance cinétique newtonienne, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\dot{K}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 \right\rbrace = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2 \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}de plus un tel « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="système en translation" /> » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », de plus un tel « }}théorème de la puissance cinétique adapté à un solide dans un référentiel galiléen <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système fermé <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, à la date <math>\,t</math>, dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique est égale à }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}en dynamique newtonienne, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, }}<math>\,\big[\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> étant la résultante dynamique appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et <math>\,G\,</math> le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]\,</math> avec «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>et <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> le C.D.I. de <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)\big]}\,</math> avec }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\,</math> étant sa dérivée temporelle ».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>{{,}} <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, moment scalaire évalué par rapport à <math>\,\Delta\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> en cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}newtonienne, à savoir «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\Rightarrow</math> par dérivation temporelle de l'expression de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta</math>, l'expression <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}de la puissance cinétique newtonienne, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\dot{K}_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}de plus un tel « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation de plus un tel « }}lui appliquer le théorème de la puissance cinétique adapté à un solide dans un référentiel galiléen <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide" /> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système fermé <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation, à la date <math>\,t</math>, autour de l'axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique est égale à la puissance développée par }}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» appliqué au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique est égale à }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}en dynamique newtonienne, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <math>\,\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> autour de l'axe rotatoire <math>\,\Delta\big]</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, « }}avec «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\,</math> est le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, « avec «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{syst. en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» où «<math>\;\color{transparent}{J_\Delta}\,</math> est le }}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, « avec }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> étant la dérivée temporelle de <math>\,K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>».}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] }} evv8yrx6gf3uy0lsddlfw3ay7xlq512 987450 987449 2026-10-16T03:45:58Z Phl7605 31541 /* Autres expressions équivalentes */ 987450 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) == === Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque"> Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}s'écrit selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste"> Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.</ref> avec <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>. === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie par <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste" /> se réécrit, dans le cas où <math>\,M\,</math> est en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, pour lequel <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> a pour forme <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}intrinsèque «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» <ref name="forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\big]\,</math> soit, en explicitant <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}dans la définition de <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;</math>» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » <math>\,\big(</math>ce qui laisse ce dernier invariant <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref> La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;</math>».</ref> avec «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,</math> vecteur moment de <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> en <math>\,A\,</math> noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment vectoriel d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée"> Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant <math>\,A\,</math> par le centre <math>\,C\,</math> du cercle.</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation du point <math>\,M\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;</math>» avec }}<math>\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,</math> le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe <math>\,\Delta\,</math> noté <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit au final <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme nettement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref>. === Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\,M\,</math> de « mouvement quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\;M\;</math> de « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, avec <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque <math>\,\big(</math>c.-à-d. aussi de mouvement circulaire<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, pour <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> est la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2^nd membre, }}pour <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire de centre <math>\,C</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,</math> en <math>\,C</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}dans le cas où le point <math>\,M\,</math> a un mouvement « circulaire d'axe <math>\,\Delta\;</math>» <ref> Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.</ref>, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;</math>», <br>traduction symbolique de «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, avec <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>».</ref>.</center> == « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C == === Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\;(m)\,</math> décrivant un mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant <math>\,t</math>, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon <ref name="théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : {{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à <math>\,M\;(m)\,</math> calculés, à l'instant <math>\,t</math>, par rapport au centre <math>\,C\,</math> du cercle de rayon <math>\,R\,</math> décrit par <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» est égal au produit du moment d’inertie de <math>\,M \,</math> par rapport à son axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation <ref> C.-à-d. l'axe du cercle décrit par <math>\,M</math>.</ref> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;</math>» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». ” === « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen === {{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> fixes dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}de moment d'inertie par rapport à <math>\,\Delta\,</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;</math>» et de vecteur rotation instantanée à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation <math>\,\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» dans le but de faire apparaître, dans le 1^er membre, après utilisation de la distributivité de <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, la puissance instantanée <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2^nd membre «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» représente la puissance cinétique du point <math>\,M\,</math> à <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date <math>\,t\,</math> lors de son mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\dot{K}_M(t)\;</math>» en effet, «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="moment d'inertie constant"> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» étant une constante caractérisant la trajectoire de <math>\,M</math>.</ref> soit <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;</math>» <ref name="expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire autour d’un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen s'écrivant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;</math>» <math>\,\big(</math>en dynamique newtonienne<math>\big)</math>, nous retrouvons <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans un mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> » «<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à M"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » <math>\,\big(</math>grandeur cinétique énergétique<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » <math>\;\ldots</math> == Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe == === Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous : {{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,</math> et <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>». === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> prend la forme ci-dessous : {{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math><ref> En effet, définissant <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>» d'où «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>».</ref> où <math>\,J_\Delta(M) = m\;R^2\,</math> est le moment d'inertie de <math>\,M\;(m)\,</math> relativement à <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon <math>\,R\;</math><reF> On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,</math> dans laquelle <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,</math> est le moment cinétique scalaire de <math>\,M\,</math> relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <math>\,\big(</math>utilisée moins fréquemment<math>\big)\,</math> ou <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <math>\,\big(</math>pratiquement jamais utilisée<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>on rappelle la relation <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,</math> avec }}<math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. == Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide == === Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces extérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces extérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> que chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)</math>, extérieur à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de forces extérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée par ce système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}se détermine comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par chaque force extérieure <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi"> En notant <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel <math>\,M_i\,</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|31}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|31}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures «}}<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>». ==== Cas d’un « système de matière en translation » ==== {{Al|5}}Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans un « système discret }}en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points matériels <math>\,M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> du système soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », tous les points matériels <math>\,\color{transparent}{M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ont }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}possibilité de factoriser « scalairement » <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> le 2^nd membre de la « relation <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> » par «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », possibilité de factoriser }}l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression de la résultante dynamique «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> d’où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» ou encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », }}<u>remarque</u> : <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\,t\,</math> et dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans un « système discret en translation », remarque : <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)}\,</math> est aussi « }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <ref> Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.</ref>. ==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret }}en rotation autour d'un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> avec, à la date <math>\,t</math>, la même vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\,</math> pour tous les points <math>\,M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref> Système indéformable dans la pratique <math>\Rightarrow</math> se comportant, dans ce cas <math>\,\big(</math>le seul que nous envisageons dans la suite<math>\big)</math>, comme un solide au sens de la mécanique <math>\,\big[</math>relire la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-système_en_rotation_autour_d'un_axe-32|³²]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation<math>\big]</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrivant selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> <math>\Rightarrow</math> la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» après factorisation par <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}«<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> étant le moment scalaire résultant dynamique relativement à <math>\,\Delta\,</math> s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, soit <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, d'où finalement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire par rapport à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> par «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) =</math> {{Nobr|<math>\left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>»}} dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étan le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, soit finalement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\,A\,\in\,\Delta</math>, <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> étant le vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, soit au final «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M</math> <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation }}d'où la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation se réécrit selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque <math>\,\big(</math>axe mobile ou immobile dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de <math>\,\mathcal{R}</math>, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures }}le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système discret en rotation d'où la puissance des forces extérieures le produit }}de sa vitesse angulaire instantanée. ==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ==== {{Al|5}}On admet que le mouvement d’un point quelconque <math>\,M_i\,</math> d'un solide <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> en mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque }}peut être considéré comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide<math>\big]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}d’une rotation instantanée autour d’un axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par <math>\,G\,</math> de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme la « composition }}<math>\big[</math>ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\big]\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable"> Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que le mouvement d’un point quelconque peut être considéré comme }}«<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable" /> <math>\Rightarrow</math> {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, }}<math>\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math><ref> Après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-distributivité_de_la_multiplication_scalaire_relativement_à_l'addition_vectorielle-15|¹⁵]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math><ref> Le 2^ème terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-invariance_du_produit_mixte_par_permutation_circulaire-4|⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, <math>\color{transparent}{\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> Par commutativité du produit scalaire <math>\;\ldots</math></ref> soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\,\color{transparent}{M_i}</math>, }}«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> En effet on reconnaît dans <math>\,\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> le vecteur moment résultant dynamique s'exerçait sur le point <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,G\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_vectoriel_d'une_force-6|⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> » ; {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, s'obtient par « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}<math>\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right] + \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>= \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> Par facorisation scalaire de <math>\,\vec{V}_{\!G}(t)\,</math> dans le 1^er terme et de <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,</math> dans le 2^nd terme <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-factorisation_scalaire-29|²⁹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math><ref> En effet <math>\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> exercée sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière <math>\,\big(</math>admis<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-résultante_dynamique_exercée_sur_un_système_continu_de_matière_30|³⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}<math>\,\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\,</math> est le vecteur moment résultant dynamique par rapport à <math>\,G</math>, <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>, exercé sur le solide, que celui soit discret de points matériels ou continu de matière <math>\,\big(</math>admis et détaillé dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-moment_résultant_dynamique_vectoriel_exercé_sur_un_système_continu_de_matière_relativement_à_G-43|⁴³]] » plus loin dans ce chapitre<math>\big)</math>.</ref>{{,}} <ref name="moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\,t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\,\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\,t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,;</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\,G\,</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\,\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\,G\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> » ou <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\, \vec{u}_{\Delta_G} \right]\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\vec{u}_{\Delta_G}\,</math> vecteur unitaire orientant <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>\,\Delta_G\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) = \overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}\,</math> où <math>\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\,</math> est la vitesse angulaire instantanée du <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}solide autour de l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide<math>\big]</math>, soit encore <br>{{Al|2}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>= \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \left[ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right]\,\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\,</math> où <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G}\,</math> est le <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }} moment résultant dynamique scalaire <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,</math> exercé sur le solide par rapport à <br>{{Al|6}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué à <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}</math> }}l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide <ref name="moment résultant dynamique scalaire "> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.</ref> <math>\Rightarrow</math> {{Al|5}}{{Transparent|On admet que }}la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, se réécrit, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures appliqué au solide <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;</math>» <ref> Forme légèrement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)(t)\;</math>».</ref> s'obtenant en ajoutant <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}<math>\bullet\;</math>la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures }}<math>\bullet\;</math>la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour de l'axe <math>\,\Delta_G\,</math> passant par le <br>{{Al|5}}{{Transparent|On admet que la puissance instantanée développée par le système des forces extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du solide «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math>». === Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces intérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système des forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures }}est la somme des puissances développées, à la date <math>\;t</math>, par chaque force intérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « }}<math>\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\,</math> après factorisation scalaire par <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> dans la somme sur <math>\,_j\;</math><ref> <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math> étant une constante dans la somme discrète sur <math>\,_j</math>.</ref>{{,}} <ref name="factorisation scalaire" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par ce système de forces intérieures « <math>\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}dans laquelle <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> est le vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \right.</math> <math>\left. \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> . ==== Autres expressions équivalentes ==== {{Al|5}}<math>\succ\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\left( i\,,\, j \right)\,</math> dans la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans la puissance développée, }}par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans la puissance développée, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels }}avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1 et 2" />, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on utilise la 1^ère relation «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» introduite dans le principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> pour factoriser scalairement <ref name="factorisation scalaire" /> le terme entre crochets par «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>», ce qui donne <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,</math>» ou, en évaluant dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}<math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t)</math> <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;</math>» par utilisation de la [[w:Relation_de_Chasles|relation de Chasles]] <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la [[w:Relation_de_Chasles|relation dite de Chasles]], connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref>, <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\,</math> est donc la dérivée temporelle, dans <math>\,\mathcal{R}</math>, du vecteur position <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}relative <math>\,\overrightarrow{M_jM_i}(t)\,</math> de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}en définissant le « référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,;</math> lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport à <math>\,\mathcal{R}\;</math>», <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\,</math> est encore égale à <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>» c.-à-d. le « vecteur vitesse <br>{{Al|117}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}relative à l'instant <math>\,t\,</math> de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_j\,</math>» <ref name="égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation"> En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] » du chap.<math>25</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Edmond_Bour|Jacques Edmond Émile Bour]] (1832 - 1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de <math>\,33\,</math>ans.</ref> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>On associe les forces par couple <math>\,\color{transparent}{\left( i\,,\, j \right)}\,</math> dans }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>». {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Si on remplace la double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>, tous deux variant dans <math>\,\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\,</math> avec la contrainte <math>\,j > i\,</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}par une double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>, tous deux variant dans <math>\,\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\,</math> avec la contrainte <math>\,j \neq i\,</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}on compte deux fois chaque terme de la 1^ère double somme dans la 2^ème double somme <ref> En effet le terme générique de la 1^ère double somme «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\,</math> avec <math>\,j = j_0 > i = i_0\;</math>» <math>\,\big(</math>aussi terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\,j > i\big)\,</math> étant égal au terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\,j < i\,</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\,</math> avec <math>\,j = i_0 < i = j_0\;</math>» car <math>\,\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\,</math> d'une part et <math>\,\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\,</math> d'autre part, chaque terme de la 1^ère double somme se retrouve tel quel dans la 2^ème double somme avec <math>\,j > i\,</math> mais aussi sous une forme résultant de la permutation <math>\,i \leftrightarrow j\,</math> du terme précédent conduisant à <math>\,j < i\,</math> d'où la 2^ème double somme égale à deux fois la 1^ère double somme <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace }}d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|23}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|23}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math>}} <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de }}la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\,</math> des forces que <math>\,M_j\,</math> exerce sur tous les autres points <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Si on remplace d'où la réécriture de la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}}\,</math> des forces que <math>\,\color{transparent}{M_j}\,</math> exerce sur }}<math>\,M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;</math><ref> Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}</math>, <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\,</math> ou <math>\,\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\,</math> des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que <math>\,M'\,</math> exerce sur tous les autres points «<math>\;M</math> <math>\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, <math>\,\in\,\left( S \right)\,</math> ou <math>\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math>».</ref>. ==== Conséquences diverses ==== {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}est non nulle dans le cas général soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\,</math> dans le cas général » <ref name="Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures"> Contrairement à la résultante et au moment résultant en n’importe quel point origine, du système des forces intérieures, tous deux toujours nuls, pour tout système fermé de matière discret ou continu, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement à la résultante et au moment résultant en n’importe quel point origine, du système des forces intérieures, tous deux toujours nuls, pour tout système }}indéformable ou déformable ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}celle développée par le moment résultant vectoriel également nulle par nullité du moment vectoriel, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement }}le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement le fait }}montre que <u>la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures</u>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Contrairement le fait montre que }}<u>ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système</u> ; <br>{{Al|3}}on peut généraliser cela au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système fermé de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}<u>la résultante dynamique et le moment résultant dynamique en n’importe quel point origine sont insuffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures</u>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}la 1^ère permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. <math>\,G\,</math> du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}le 2^nd celle du mouvement de rotation autour de <math>\,G\,</math> dans le même référentiel galiléen mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|on peut généraliser cela }}ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « <u>on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant</u> <math>\,\big(</math>cela ne devenant possible que si le système ne se déforme pas<math>\big)\;</math>».</ref>, la raison étant que les relations <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives }}en général individuellement non nuls, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures est non nulle }}« la non nullité de <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» sauf cas particuliers <math>\,\big(</math>restant à préciser<math>\big)</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>En repérant le point «<math>\;M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\,</math> soit <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> pour base sphérique liée à <math>\,M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}la « force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> liée à <math>\,M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="déduction de la 2ème relation du principe des actions réciproques"> Se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-principe_des_actions_réciproques-51|⁵¹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\,</math> <math>\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\,</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,</math>» <br>{{Al|3}}{{Transparent|cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet }}car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}</math>», ceci établit que <br>{{Al|3}}{{Transparent|cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet }}«<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» c.-à-d. une même expression par permutation de <math>\,i\,</math> et <math>\,j</math>.</ref> définissant <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}« l'intensité de l’interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\;</math>» simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\,</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}le « vecteur vitesse relative de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\;</math>», «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>», s’écrit, dans la « base sphérique de <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> liée à <math>\,M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» « }}<math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[</math>la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> étant orthonormée<math>\big]\,</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» l'expression, en sphérique, de la puissance développée par }}«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, soit finalament <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>En repérant le point «<math>\;\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\;</math>» }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> [[Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( S \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( S \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, <math>\Big[</math>pour simplifier on pose <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]\,</math> en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \Gamma \right)</math>, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}exprimée en repérant «<math>\;M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\;</math>», soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}si la distance séparant deux points quelconques de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> reste constante <math>\,\big\{</math>c.-à-d. si <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> « ne se déforme pas » <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref><math>\big\}</math>, on a <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures si }}«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t) = 0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;</math>» <ref name="distance entre deux points d'un système continu fermé indéformable"> Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)</math> <math>\,\in \left( \mathcal{V} \right)^2</math>, <math>\,\in \left( S \right)^2\;</math> ou <math>\,\in \left( \Gamma \right)^2\;</math>».</ref> et on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />{{,}} <ref> Applicable pour un système fermé indéformable, discret de points matériels ou continu de matière.</ref>. == Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === ==== Énoncé ==== {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique à la somme }}de celle développée par les forces intérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. ==== Démonstration ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire </u> : La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : La démonstration }}est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : La démonstration }}pourrait être refaite <math>\,\big(</math>bien qu'un peu plus lourde d'exposition<math>\big)\,</math> pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel <math>\,M_i\;</math><ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on applique }}«<math>\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu"> Pour <math>\,M\;\in\,</math> à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> s'écrit : * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( S \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\,M\;\in\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, }}on ajoute, membre à membre, les <math>\,N\,</math> relations définies ci-dessus <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue"> La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> par une intégrale volumique sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, si ce système est d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> par une intégrale surfacique sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ou ce système est d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> par une intégrale curviligne sur l'expansion <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 1^er membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;</math>» se réécrivant «<math>\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;</math>» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition <ref> Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er membre }}est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie cinétique du système s'écrit : * «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}</math>, * «<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> ou * «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} étant un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref> à l'instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er membre est égale }}à la puissance cinétique du système «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» au même instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 1^er terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;</math>» définit la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 1^er terme du 2^nd membre }}à l'instant <math>\;t</math>, soit «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, }}<math>\bullet\;</math>le 2^ème terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;</math>» la puissance développée par les forces intérieures appliquées <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_{\text{gal}}}</math>, on ajoute, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 2^ème terme du 2^nd membre }}au système à l'instant <math>\,t</math>, soit «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-48|⁴⁸]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, {{Al|5}}{{Transparent|Exposé : }}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels <ref> Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_point_matériel_d'un_système_continu-68|⁶⁸]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-somme_continue-71|⁷¹]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-61|⁶¹]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-73|⁷³]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-74|⁷⁴]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-75|⁷⁵]] » présentées plus haut dans ce chapitre.</ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème conséquence) » plus haut dans ce chapitre, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété }}« la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété « la puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}est nulle c.-à-d. <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : Cela découle de la propriété }}utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <ref name="signification de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\,</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> étant la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}à l'instant <math>\,t\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> en cinétique newtonienne, à savoir <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="énergie cinétique d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> par dérivation temporelle, l'expression <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}de la puissance cinétique newtonienne, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\dot{K}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 \right\rbrace = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2 \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}de plus un tel « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="système en translation" /> » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », de plus un tel « }}théorème de la puissance cinétique adapté à un solide dans un référentiel galiléen <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système fermé <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation, à la date <math>\,t</math>, dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique est égale à }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}en dynamique newtonienne, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, }}<math>\,\big[\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> étant la résultante dynamique appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}et <math>\,G\,</math> le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]\,</math> avec «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>et <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> le C.D.I. de <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)\big]}\,</math> avec }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\,</math> étant sa dérivée temporelle ».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>{{,}} <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, moment scalaire évalué par rapport à <math>\,\Delta\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> en cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}newtonienne, à savoir «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\Rightarrow</math> par dérivation temporelle de l'expression de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta</math>, l'expression <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}de la puissance cinétique newtonienne, à l'instant <math>\,t</math>, du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\dot{K}_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}de plus un tel « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation de plus un tel « }}lui appliquer le théorème de la puissance cinétique adapté à un solide dans un référentiel galiléen <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide" /> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système fermé <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation, à la date <math>\,t</math>, autour de l'axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique est égale à la puissance développée par }}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» appliqué au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique est égale à }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}en dynamique newtonienne, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <math>\,\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> autour de l'axe rotatoire <math>\,\Delta\big]</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, « }}avec «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\,</math> est le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, « avec «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{syst. en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» où «<math>\;\color{transparent}{J_\Delta}\,</math> est le }}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique en dynamique newtonienne, « avec }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> étant la dérivée temporelle de <math>\,K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>».}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] }} cky31hrrhva7m0gdvhmd6lm6umnie44 2 81445 987426 982163 2026-10-15T17:20:31Z Crochet.david.bot 1005 Robot : correction de la syntaxe wiki 987426 wikitext text/x-wiki *[[Utilisateur:Ambre_Troizat|Utilisateur:Ambre Troizat]] *[[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages|Les abolitions des traites et des esclavages, page principale, plan & annexes]] ;Mon cabinet d'histoire *[[Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire 1|Mon cabinet d'histoire 1]] *[[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire_2|Mon cabinet d'histoire 2]] *[[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire_2#Organisation par ordre alphabétique|Organisation par ordre alphabétique]] *[[Utilisateur%3AAmbre_Troizat%2FMon_cabinet_d%27histoire&diff=888346&oldid=888321|'''Récupération de : Mon cabinet d'histoire 1''']] d'après "Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire » : différence entre les versions". == Synthèse en images == [[Fichier:Discovery of America- Vespucci Landing in America MET DP801479.jpg|600px|centré|[[w:Amerigo Vespucci|Amerigo Vespucci]] (1454-1512)<ref>Amerigo Vespucci, marchand et navigateur originaire de [[w:Florence|Florence]] en [[w:Italie|Italie]] dont le prénom a donné "Amérique"</ref>arrive au Nouveau monde après les expéditions de découverte de Christophe Colomb|vignette]] <center> <gallery> File:Pieter Bruegel d. Ä. 036.jpg|1568 - [[w:Pieter Brueghel l'Ancien|Pieter Brueghel l'Ancien]] (''c.1526''–1569).- Le Paysan et le dénicheur/voleur de nid, ou la question de la propriété au {{S|XVI}}Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire » : différence entre les versions File:Chafariz d’El-Rey, c. 1570-80 (Colecção Berardo).png|''c.1570'' - ''Anonymous [[w:Netherlands|Netherlands]]''.- La Chafariz d'El-Rey (fontaine du roi) dans le [[w:Alfama|quartier de l'Alfama à Lisbonne]]. Au centre, un Africain. File:Crispijn van de Passe.- Flora's Mallewagen, La première crise du capitalisme, 1637.png|[[w:Crispin de Passe l'Ancien|Crispijn van de Passe]].- Flora's Mallewagen, La première crise du capitalisme, 1637 File:LouisXIV-child.jpg|''c.1640'' -Attributed to [[w:Louis Ferdinand Elle l'Aîné|Louis Ferdinand Elle]] (1612–1689).- Louis XIV (1638-1715), âgé d'une dizaine d'année, portant un costume de ballet à l'antique File:Portret van een lid van de familie Van der Mersch Rijksmuseum SK-A-3948.jpeg|1736 - Cornelis Troost (1696–1750).- Portrait d'un membre de la famille Van der Mersch<ref>Voir [[w:Jean-André van der Mersch|Jean-André van der Mersch]], (Menin, 10 février 1734 - Dadizele, 14 septembre 1792) considéré comme le héros de l'[[w:Histoire_de_la_Belgique#Les_Pays-Bas_autrichiens_(1715-1792)|indépendance]] des [[w:Liste_de_pays_par_date_d'acquisition_de_la_souveraineté|Pays-Bas]].</ref>, amateur d'art et de musique<ref>[https://www.rijksmuseum.nl/nl/collectie/SK-A-3948 Portret van een lid van de familie Van der Mersch, Rijksmuseum SK-A-3948]</ref> </gallery> </center> [[File:RP-P-OB-15.866.jpg|600px|centré|[[w:Crispin de Passe l'Ancien|Crispin de Passe l'Ancien]]. [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k1522448r/f89.item# Allégorie sur Gallica] ; [https://archive.org/details/povidnasonisxvme00pass/page/n93/mode/2up Allégorie sur Internet Archives].|vignette]]. == Sommaire décembre 2022 == *[[utilisateur:Ambre Troizat|Page d'accueil]] *[[Ambre Troizat/Mon carnet de notes 2|Ambre Troizat/Mon carnet de notes 2]] * 1845 - {{bibliographie|Q116999261}} <!-- Exposés des motifs, rapports et débats des chambres législatives concernant les lois des 18 et 19 juillet 1845 --> == La quête de l'énergie == <gallery> File:Calendar aswan.JPG|"Cercle calendaire" du site "Nabta Playa", Musée nubien d'Assouan File:Baydha Jordanie 257.JPG|Le site néolithique de Beidha en Jordanie montre la transition des maisons semi-enterrées de plan circulaire aux habitations de plan rectangulaire construites de plain-pied. File:Fertile Crescent concept 1916.png|Carte du Croissant fertile par James Henry Breasted, 1916. File:Diffusion of agriculture from the Fertile Crescent after 9000 BC.jpg|Diffusion de l'agriculture à partir du Croissant fertile après 9000 BC. </gallery> * La faim, besoin énergétique impérieux * Roy Lewis.- [[w:Pourquoi j'ai mangé mon père|Pourquoi j'ai mangé mon père]] ** Roy Lewis.- [[d:(Q101997399)|The Evolution Man, or, How I Ate My Father]], ** Roy Lewis.- [[d:Q3400606|Pourquoi j'ai mangé mon père (Q3400606)]] * Le Néolitique * [[w:Néolithique en Égypte|Néolithique en Égypte]] : [[w:Musée des palafittes d'Unteruhldingen|Habitations sur pilotis sur les lacs glaciaires alpins au Néolithique et à l'Âge du bronze]] ** Invention de l'agriculture au Néolithique : [[w:Croissant fertile|Croissants fertiles]] ** Origine de l'appropriation de l'espace au Néolithique (Archives et traces : plans, cartographie planisphère, globes céleste et terrestres) ** [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/La_quête_de_l'énergie|L'esclavages ou la quête de l'énergie]] ** [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Migrations_%26_peuplement_de_la_Planète|Migrations & peuplement de la Planète]] Bibliographie * 2016 - {{bibliographie|Q131859917}} <!--La diffusion du Néolithique en Méditerranée --> Bibliographie scientifique (exemples) * Guilaine, J. (2016). « La diffusion du Néolithique en Méditerranée ». Dans M. Ghilardi (dir.), Géoarchéologie des îles de la Méditerranée, CNRS Éditions. Texte intégral en ligne. Article détaillé sur les voies de néolithisation du bassin méditerranéen, illustré de cartes et de schémas. * Zohary, D., Hopf, M., & Weiss, E. (2012). Domestication of Plants in the Old World. Oxford University Press. Référence incontournable pour comprendre la domestication des plantes et la diffusion de l’agriculture au Proche-Orient et en Europe. * Bellwood, P. (2005). First Farmers: The Origins of Agricultural Societies. Wiley-Blackwell. Analyse comparative du passage à l’agriculture et de la diffusion des populations néolithiques en Asie, Afrique, Europe et Océanie. * Harlan, J. R. (1992). Crops and Man. American Society of Agronomy. Étude de la biogéographie des plantes cultivées et des principaux foyers de domestication. === Le don contre don === ;Essai sur le don de Marcel Mauss * {{bibliographie|Q114777381}} <!-- Essai sur le don. Forme et raison de l'échange dans les sociétés archaïques --> * {{bibliographie|Q116853488}} <!-- Essai sur le don forme et raison de l'échange dans les sociétés archaïques. Publication originale dans L'Année sociologique, 1923-1924 --> * {{bibliographie|Q3058690}} <!-- Essai sur le don essai du sociologue Marcel Mauss --> * {{bibliographie|Q114778641}} <!-- Essai sur le don () L'inquiétante oralité dans l'ombre de la structure --> * {{bibliographie|Q114806038}} <!-- Marcel Mauss, Essai sur le don Forme et raison de l'échange dans les sociétés archaïques --> * {{bibliographie|Q50118940}} <!-- When Marcel Mauss's Essai sur le Don becomes The Gift: variations on the theme of solidarity. anglais () article scientifique (publié 2016) --> * [https://www.journaldumauss.net Journaldumauss.net] ** [https://www.journaldumauss.net/spip.php?page=recherche&recherche=esclave Résultats de la recherche : "esclave"] * [https://www.youtube.com/watch?v=lj264hnLwBg Alain Caillé, Cité des sciences et de l'industrie.- Ce que donner veut dire. Anthropologie et philosophie du don], 29 juillet 2020 * Multitudes revue politique, artistique et philosophique trimestrielle conçue et réalisée par l’association Multitudes [https://www.multitudes.net/?s=Logiciels+libres&id=15114 Résultats de recherche pour Logiciels libres] ** [https://www.multitudes.net/?s=esclavage&id=15114 Résultats de recherche pour esclavage] ** [https://www.multitudes.net/author/yann-moulier-boutang/ Tous les articles par Yann Moulier Boutang] === Le don comme flux énergétiques === ;Flux énergétiques contraints ** 1998 - {{bibliographie|Q102254423}}, [https://www.decitre.fr/livres/de-l-esclavage-au-salariat-9782130495956.html#resume Résumé sur Decitre] <!-- De l'esclavage au salariat --> == Frédérick Douglass == Voir Wikidata : [[d:Topic:Xcuuzsny2njz9wxw|Topic:Xcuuzsny2njz9wxw]] & [[d:Topic:Xcxaeydrvdcl3xf4|Topic:Xcxaeydrvdcl3xf4]] Toutes les publications de Frédérick Douglass racontent sa vie successivement esclave et homme libre. L’œuvre littéraire la plus célèbre de Douglass est "''The Narrative of the Life of Frederick Douglass, an American Slave''", publiée en 1845. Traduction de Google Translate : Le récit de la vie de Frederick Douglass, un esclave américain (américain signifie ici "Etatsunien". Nous savons aujourd'hui la grande diversité des systèmes esclavagistes dans l'espace américain, du nord au Sud et de l'Est à l'ouest). * 1855 - Frédérick Douglass.- (en) [[w:en:My Bondage and My Freedom|My Bondage and My Freedom]], Traduction de Google Translate "Ma servitude et ma liberté". ** 1883 - Traduit en français sous le titre de "Mes années d’esclavage et de liberté" (Q116143244) par [[w:Valérie de Gasparin|Valérie de Gasparin]]<ref>Valérie de Gasparin (1813-1894), née en Suisse, auteur d’ouvrages de prosélytisme, de traductions, de souvenirs et de récits de voyages, a parcouru l’Europe et le Proche Orient", Voyageuses, épisode 1 : 1772-1880 sur le [https://gallica.bnf.fr/blog/06032019/voyageuses-episode-1-1772-1880?mode=desktop Blog de Gallica]</ref> pour "Traducteurs de la Grande Armée des Misérables" {{Citation bloc|In 1892, the "traducteurs de la grande armée des misérables", having translated several other Afro-American works, published the French version of Frederick Douglass' enlarged and revised autobiography.|Hans Werner Debrunner<ref>Hans Werner Debrunner.- [https://www.google.fr/books/edition/Presence_and_Prestige_Africans_in_Europe/rCQJAQAAIAAJ Presence and Prestige, Africans in Europe. A History of Africans in Europe Before 1918], 1979</ref>}} * 1892 - Frédérick Douglass.- (en) [[w:en:Life and Times of Frederick Douglass|Life and Times of Frederick Douglass]], 1892, Traduction de Google Translate "La vie et l'époque de Frederick Douglass" === Sommaire à reconstruire === * [[Utilisateur:Ambre Troizat/Le Code noir (France)#Genèse_de_l'édit_de_mars_1685|Genèse de l'édit de mars 1685]] * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/1670-1912 - Les œuvres des mouvements abolitionnistes : des quakers à Gratien Candace|1670-1912 - Les œuvres des mouvements abolitionnistes : des quakers à Gratien Candace]] * [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire/Creation d'une page de recherche, Test]] * [[Utilisateur:Ambre Troizat/Les abolitions des traites et des esclavages-pages perso|Les abolitions des traites et des esclavages-pages perso]] * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/L'esclave_%26_son_reflet|L'esclave & son reflet - Amazing Grace]], Discussion de la chronologie * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire_2#Organisation par ordre alphabétique|Organisation par ordre alphabétique]] * [[Utilisateur:Ambre Troizat/Les Dumas, un univers|Les Dumas, un univers]] * [[Utilisateur:Ambre Troizat/Réflexions à propos des traites & esclavages|Réflexions à propos des traites & esclavages]] * [[w:Wikipédia:Le_Bistro/31_mars_2011#Images domaine public totalement libérée ?|Images domaine public totalement libérée ?]]. En mars 2011, la question n'est pas complètement maîtrisée. * [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Les_systèmes_esclavagistes|Les abolitions des traites et des esclavages : Les systèmes esclavagistes]] * [[Utilisateur:Ambre Troizat/Les récits de voyage comme source|Les récits de voyage comme source]] [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Débats_sur_la_propriété_privée_à_l'époque_de_Louis_XVI|Débats sur la propriété privée à l'époque de Louis XVI]] * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/La_Révolution_française_en_1790#La_nuit_du_4_août_1789|La nuit du 4 août 1789]] ** [[Utilisateur:Ambre_Troizat/La_Révolution_française_en_1790#La_rente_apanagère_n'est_pas_un_salaire|La rente apanagère n'est pas un salaire]] * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/La_Révolution_française_en_1790#1789-1791_-_Florence_Gauthier.-_L'aristocratie_de_l'épiderme,_2007|1789-1791 - Florence Gauthier.- L'aristocratie de l'épiderme, 2007]] ** [[Utilisateur:Ambre Troizat/La Révolution française en 1790|La Révolution française en 1790]] ** [[Utilisateur:Ambre_Troizat/La_Révolution_française_en_1790#Saint-George_est_un_homme_de_couleur_libre|Saint-George est un homme de couleur libre]]. * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/La_Révolution_française_en_1790#Nous_sommes_donc_trois_?_ou_le_Provincial_à_Paris|Nous sommes donc trois ? ou le Provincial à Paris]] * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/La_Révolution_française_en_1790#Saint-George_accepte_le_commandement_de_la_Légion_des_Amériquains|Saint-George accepte le commandement de la Légion des Amériquains]] === Sommaire par régimes politiques === * [[Utilisateur:Ambre Troizat/L'esclavage dans les lois, capitulaires & ordonnances de la monarchie française, 481-1792|L'esclavage dans les lois, capitulaires & ordonnances de la monarchie française, 481-1792]][[Utilisateur:Ambre_Troizat/L'esclavage_dans_les_lois,_capitulaires_%26_ordonnances_de_la_monarchie_française,_481-1792#1536-1617-1646_-_Antoine_Loysel,_Les_Institutes_coustumières_&_les_Œuvres_de_Me_Guy_Coquille,_sieur_de_Romenay|1536-1617-1646 - Antoine Loysel, Les Institutes coustumières]] * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire/Les_enfants_naturels_des_monarques|1638 à 1793 - Les enfants naturels des monarques sous la monarchie française (France et Navarre)]] * [[Utilisateur:Ambre Troizat/Les abolitions des traites et des esclavages-pages perso|Organisation par régimes politique]] ;Bibliographie * Éric SCHNAKENBOURG.- [https://ehne.fr/fr/encyclopedie/th%C3%A9matiques/l%E2%80%99europe-et-le-monde/l%E2%80%99europe-et-la-traite-atlantique/les-scandinaves-et-la-traite-des-noirs Les Scandinaves et la traite des Noirs {{s|XVII}}-début {{s|XIX}}] == Louis X le Hutin == === Les batards === {{Citation bloc|'''Louis X ou HuTlN''' , ou LE HuTlN, comme on dit Louis - le - Débonnaire , PkiTippe • le- Hareh, Charles- le-Sage , et non pas Louis Débonnaire. PhiBppe Hardi, Charles Sage. Loi de ce Prince en faveur des '''étrangers''', Discours préliminaire, p. xxiv; et plus particulièrement en faveur de ceux qui venoient étudier à l'université de Paris, ibid. p. xxvj. Ce qu'il règle au sujet des pré- tentions qu'avoient les seigneurs pour les successions des bâtards, p. xxvij. En rappelant les Juifs, il s'adjuge les deux tiers de ce qui leur étoit du, p. xxxiv. Ce qu'il prescrit sur les bois, dans sa charte aux Normands , ibid. p. xi. Ce qu'il prescrit sur le droit de prononcer des amendes, ibid, p. xlix. A quelle condition il laisse rentrer les Juifs en France, p. lv. Plaintes que lui adressent le» habitans de l'Auvergne sur l'excès de quelques droits qu'on leur faisoit payer, p. lix. Principes qu'il établit sur le servage , page 87, note a. Il confirme le privilèges accordé par Philippe-Auguste auxhabitansde Paris, p. 50 et 51. <br />Page 843 - '''Serfs , Servage , Servitude'''. Ce que Louis X et Philippe V pensoient du servage, p. 87, note a. Les Rois donnèrent l'exemple de le détruire , ibid. Effets de la servitude, rappelés dans des lois émanées de Louis XI, p. 69 et 88 , et note t de la page 88. Comment le servage étoit établi à Per- pignan. Voyez Perpignan. Droit d'acheter des serfs et d'en vendre , donné à la com- mune de Saint-André-lès-Avignon, p. 225, art. 8. Plusieurs lois qui accordent des aflranchissemens plus ou moins étendus, p. 69 , 88 , et note b de la page 88. Obli- gations imposées à des serfs qui deve- noient prêtres , p. 76 , art. 12, et p. 94 , art. 13. |Ordonnances des roys de France de la troisième race<ref>[https://archive.org/details/bub_gb_4-ZZAAAAYAAJ/page/842/mode/2up?q=servitude Servitude] dans ''Ordonnances des roys de France de la troisième race Ordonnances rendues depuis le commencement du règne de Louis XI jusqu'au mois de mars 1473. 1811''<br> [https://archive.org/details/bub_gb_4-ZZAAAAYAAJ/page/842/mode/2up?q=servitude Serfs , Servage , Servitude, p. 843]<br><nowiki>[https://www.google.com/search?q=ordonnance+de+Charles+VI+%2B+b%C3%A2tards+%2B+1336&tbm=bks&ei=mDXMY5zYNZCskdUPzcCl4Aw&start=10&sa=N&ved=2ahUKEwichNDmq9n8AhUQVqQEHU1gCcwQ8tMDegQIDxAE&biw=1254&bih=719&dpr=1 ordonnance de Charles VI + bâtards + 1336]</nowiki></ref>}} === Bélizaire et les Enfants Frey === <center> <gallery> File:Frey Children by Jacques Amans (before cleaning and removal of overpaint) 2-12.jpg File:Bélizaire Frey portrait.jpg File:Frey Children and Belizaire, 1837.jpg </gallery> [[w:Bélizaire and the Frey Children|Bélizaire and the Frey Children]], attributed to [[w:Jacques Guillaume Lucien Amans|Jacques Guillaume Lucien Amans]], c. 1837. </center> ==== Bibliographie ==== * [https://www.instagram.com/p/CWVnPb3rShG/?img_index=2 In 1837, the 15-year-old Bélizaire was painted] alongside the Frey children, Leotine, Elizabeth, and Frederick Jr. Bélizaire and the Frey Children, The Magazine Antiques * [https://www.themagazineantiques.com/article/curious-objects-the-story-of-belizaire-pt-1/ The Story of Bélizaire, Pt. 1: Biography], Curious Object The Magazine Antiques, November 3, 2022. Listen, 49:00 * [https://www.themagazineantiques.com/article/curious-objects-the-story-of-belizaire-pt-2/ The Story of Bélizaire, Pt. 2: : Provenance], Curious Object The Magazine Antiques, November 10, 2022. Listen, 43:20 * [https://www.themagazineantiques.com/article/curious-objects-the-story-of-belizaire-pt-3/ The Story of Bélizaire, Pt. 3: The End; or, A New Beginning], Curious Object - The Magazine Antiques, November 17, 2022. Listen, 23:39 * [https://www.youtube.com/watch?v=uOOCQ9oRWWg- Jeremy Simien and Katy Morlas Shannon share the hidden history of a Louisiana portrait] * Coline Clavaud-Mégevand.- Bélizaire, le jeune esclave noir qui avait été effacé de la toile, Le Monde, Le Mag Etats-Unis, 10 septembre 2023 * France Culture.- Comment les peintres ont-ils représenté l'histoire de l'esclavage ?, Jeudi 18 janvier 2024 == 5 septembre 1638 - 1er septembre 1715 ou le {{S|XVII}} de Louis XIV == ;[[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire/5_septembre_1638_-_1er_septembre_1715_ou_le_XVIIe_siècle_de_Louis_XIV|5 septembre 1638 - 1er septembre 1715 ou le {{S|XVII}} de Louis XIV]] === Les Bourbons, rois de France (Bibliographie) === * 1769 - {{bibliographie|Q19224840}}, [https://archive.org/search.php?query=Précis%20du%20siècle%20de%20Louis%20XV Voltaire sur Internet Archive], [[s:Précis du siècle de Louis XV|Précis du siècle de Louis XV]], [[s:Précis du siècle de Louis XV/Chapitre 2|Régence du duc d’Orléans. Système de Law ou Lass, p. 161]]. === Louis XIV et la question de la légalisation de l'esclavage === == XVIIIe siècle (1715-1792) : Louis XV & Louis XVI == Louis XV et Louis XVI occupent le {{S|XVIII}} '''Monarchie Française (France et Navarre), [[w:Liste_des_monarques_de_France#Bourbons_(1589-1792)|Bourbons (1589-1792)]]''' [[w:Capétiens#Les_Bourbons|Monarchie capétienne des Bourbons]] [[w:Maison capétienne de Bourbon|Maison capétienne de Bourbon]] * Louis XV "le Bien-Aimé", Roi de France et de Navarre * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire/Louis_XV_"le_Bien-Aimé",_15_février_1710_–_10_mai_1774#Théâtre,_Musique_&_peinture_sous_Louis_XV_&_Louis_XVI|Théâtre, Musique & peinture sous Louis XV & Louis XVI]] === Les Compagnies des Indes === ==== Compagnie française des Indes orientales, 1664 – 1795 ==== ;Références bibliographiques Stéphane Castelluccio, Agorha.inha.fr.- Compagnie française des Indes orientales Url : <https://agorha.inha.fr/ark:/54721/7fb8ec99-25e6-4b70-9199-80f9f9412c09> ;Conditions d'utilisation Licence Creative Commons 4.0 L'ensemble des contenus et des métadonnées disponibles sur le site (à l'exception des illustrations) est placé sous licence Creative Commons 4.0, sauf mention contraire. Dans ce cadre, l’utilisateur du site est autorisé : • à reproduire et à rediffuser ces contenus et métadonnées, sous réserve de la mention exacte de la source ; • à retraiter, à inclure ou à exploiter ces contenus et métadonnées, sous réserve de ne pas en dénaturer le sens ni l’exactitude et de ne pas induire en erreur des tiers quant au contenu ou à la source de ces informations ; • pour le monde entier et sans limitation de durée. • Url : <https://agorha.inha.fr/conditions-utilisation> ;Compagnie française des Indes orientales, 1664 – 1795 Type d'adresse : adresse publique Date de l'adresse : 1719 - 1795 Adresse : 8 Rue des Petits Champs Code postal : 75002 Ville : Paris Commentaire Adresse :  Hôtel de la compagnie des Indes orientales, ancien hôtel Tubeuf puis hôtel Mazarin ;Economie marchande Période étudiée : XVIIe siècle - XVIIIe siècle Aire géographique étudiée :  Europe – Asie – Royaume de France Secteur fondamental d'étude :  Economie marchande arts textiles céramique arts du laque arts décoratifs Objets commercialisés : étoffes, porcelaines, laques, papiers peints de Chine, papiers peints du Japon. <nowiki>{| class="wikitable sortable" |+ '''Etude de l’ Histoire économique et géopolitique de la Compagnie des Indes Orientales, 1664 – 1795''' ! ID ! Quand ? ! Où ? ! URI Géo ! Aire de répartition ! Qui ? ! Quoi ? ! Pourquoi ? ! Comment ? ! Avec quels moyens ? ! Conséquences (court terme) ! Conséquences (long terme) ! Mutations ! Tags |- | 1 || **Fondation et Organisation**<br>1664 (création) – début XVIIe || Siège : Paris (8 Rue des Petits Champs); Port d’armement : Lorient || — || Europe, Asie (marché international) || Louis XIV, Colbert, Compagnie française des Indes Orientales || Création d’un monopole commercial pour le commerce vers l’Orient || Concentrer des capitaux et renforcer la puissance économique de la France || Par charte royale, organisation en chambres (directeurs, chambres régionales) || Financement mixte (fonds privés et royaux), infrastructures portuaires, réseaux diplomatiques || Lancement du commerce international de luxe et création d’un réseau commercial || Fondation d’un modèle influent sur l’économie coloniale et dans l’art décoratif || Réformes administratives et adaptations face aux crises (guerres, mutations financières) || Fondation, Monopole, Louis XIV, Colbert, Création |- | 2 || **Expansion Commerciale**<br>XVIIe – XVIIIe s.; intensification dès 1680 || Comptoirs en Inde, Chine (Canton), autres comptoirs asiatiques || — || Europe, Asie, Pacifique || Directeurs, armateurs, marchands || Importations de produits de luxe (porcelaines, laques, étoffes, épices, thé, café) || Enrichir le Royaume de France et renforcer son prestige international || Par expéditions maritimes longues, navigation optimisée (alizés, moussons) || Flottes adaptées, infrastructures maritimes, techniques de navigation avancées || Croissance des volumes commerciaux et développement de réseaux internationaux || Influence sur le goût européen et stimulation des manufactures nationales (porcelaine, vernis) || Diversification des marchandises, ajustements aux conditions climatiques et géopolitiques || Expansion, Importations, Luxe, Navigation |- | 3 || **Crises et Réformes**<br>Conflits (guerres de Hollande, Succession d’Espagne, Guerre de Sept Ans) et réformes (1682, 1685, 1719–1725, 1731) || France (Paris, Lorient); comptoirs en Asie || — || Europe, Asie || Directeurs, réformateurs (John Law, Orry, Calonne) || Restructuration et réorganisation du monopole, cession partielle à la Compagnie de la Mer du Sud || Faire face aux difficultés économiques et moderniser la gestion || Par réformes administratives, réduction du personnel, nomination royale, intégration dans des systèmes financiers || Emprunts, intervention du Trésor royal, réorganisation interne || Baisse temporaire des performances commerciales, transfert partiel du contrôle || Modernisation progressive, transition vers un commerce libéralisé || Passage d’un modèle étatique vers un modèle plus libéralisé, évolution des structures de gouvernance || Crise, Réforme, Guerre, John Law, Orry, Calonne |- | 4 || **Organisation des Ventes et Logistique**<br>De 1669 (annonces et préparation) à l’évolution des lieux de vente (Havre → Rouen → Nantes → Lorient) || Ventes aux enchères : initialement au Havre, puis La Rochelle, Rouen, Nantes, et enfin Lorient || — || France (villes portuaires stratégiques) || Directeurs, commissaires, marchands, agents logistiques || Organisation et diffusion des ventes (listes de cargaisons, affiches, échantillons) || Optimiser la visibilité des cargaisons et attirer un maximum d’acheteurs || Par annonces dans la Gazette, Mercure galant, affiches publiques, mise en place de salles de vente || Communication imprimée, infrastructures de vente (hôtel de la Bourse, pavillons), systèmes de transport (voitures, charrettes) || Augmentation du nombre d’acheteurs et amélioration des prix de vente || Standardisation des ventes et amélioration de la logistique de distribution || Migration des lieux de vente pour limiter les transbordements et sécuriser les échanges || Ventes, Logistique, Enchères, Communication, Transport |- | 5 || **Héritage Culturel et Technique**<br>Impact de l’activité du XVIIe au XIXe s. || Europe (France, Meissen, Sèvres, Limoges); marchés internationaux || — || Mondiale || Artisans, manufacturiers, artistes, historiens || Transmission des techniques de fabrication (porcelaine, laque, papier peint) et influence décorative || Imitation des produits orientaux et adaptation aux goûts européens || Par échanges commerciaux, transfert de savoir-faire, collaborations entre artistes et industriels || Innovations techniques, études des produits importés, transferts de connaissances || Diffusion rapide des décors orientaux et émergence de nouveaux styles || Création de grandes manufactures nationales et transformation du goût décoratif || Passage de l’influence orientale à une production locale compétitive, évolution des techniques || Héritage, Porcelaine, Laque, Technique, Art, Décoratif, Influence culturelle |}</nowiki> == Thème du donjuanisme == ;Conditions sociales comparées : Joseph Bologne de Saint-George est ses contemporains afridescendants des {{S|XVIII}} & {{S|XIX}} [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Conditions sociales comparées : Joseph Bologne de Saint-George est ses contemporains afridescendants des XVIIIe & XIXe siècles|Condition sociale comparée : Joseph Bologne de Saint-George est ses contemporains afridescendants des XVIIIe & XIXe siècles]] <gallery> File:Hendrik Carré (I) - The Story of Constance and Don Juan.jpg|Hendrik Carré (1656–1721).- The Story of Constance and Don Juan, 1710 File:Don Juan y el Comendador por Francisco Goya.jpg|Francisco de Goya (1746–1828).- Don Juan et la statue du commandeur : Le dîner de pierre File:Don Juan and the statue of the Commander mg 0119.jpg|Alexandre-Évariste Fragonard (1780–1850).- Don Juan et la statue du commandeur vers 1830 File:Alexandre-Évariste Fragonard - Don Juan and the Statute of the Commander - WGA8046.jpg|Alexandre-Évariste Fragonard (1780–1850).- Don Juan et la statue du commandeur File:Dugazon.jpg|Dugazon, dans Sganarelle du Festin de pierre (Dom Juan) de Molière, Acte I, Scène I, 1790 File:Carmen by A. Golovin 06.jpg|Carmen by A. Golovin File:Don Juan by A. Golovin 01.jpg|[[w:Alexandre Golovine|Alexander Yakovlevich Golovin]].- A sketch for a Comedy by J. B. Moliere "don Juan". The village by the sea, 1910 File:Don Juan by A. Golovin 02.jpg|[[w:Alexandre Golovine|Alexander Yakovlevich Golovin]].- A sketch for a Comedy by J. B. Moliere "don Juan" </gallery> === Bibliographie === * [https://www.lelivrescolaire.fr/page/6513290 Incarner Dom Juan ** Roland Barthes, « Les maladies du costume de théâtre », revue Théâtre Populaire, 1955 ** Alexander Yakovlevich Golovin, aquarelle et gouache pour le costume de Dom Juan, 1910. ** Affiche du film Don Juan 1973, de Roger Vadim, 1973. ** George Sand, Le Château des désertes, 1851 ** Entretien avec Didier Sandre dans Théâtre Aujourd’hui : Dom Juan de Molière, Métamorphoses d’une pièce, CNDP, 1995 * [[s:Page:Ovide - Métamorphoses, traduction Gros, 1866.djvu/234|Ovide - Métamorphoses, traduction Gros. Marsyas changé en fleuve, 1866]] ; <nowiki>[https://indrasmusings.wordpress.com/2016/02/15/raphael-apollo-flays-marsyas/ Raphael – Apollo flays Marsyas]</nowiki> == Louis XVI : 23 août 1754 – 21 janvier 1793 == ==> <big>'''Voir le plan''', page 1 </big> == 21 janvier 1793 - 10 juin 1799 == == La traversée du long dix-neuvième siècle (1799-1948) == ==> Voir le plan page 1 === Consulat, 1799 - 1804 === [[w:Consulat (histoire de France)|Consulat, 1799 - 1804]] ==== Arrêtés de juillet 1802, apartheid et rétablissement de l'esclavage ==== Arrêtés de juillet 1802, apartheid et rétablissement de l'esclavage 1802 dans les colonies de la France des Amériques * 2 juillet 1802 - {{bibliographie|Q114216151}} Les deux textes ci-dessous ne sont pas absolument identiques. En particulier sur le contenu de la note de bas de page. <!-- Arrêté portant défense aux noirs, mulâtres et autres gens de couleur, d'entrer sans autorisation sur le territoire continental de la République --> <gallery> File:Consulat - Arrêté défense noirs mulâtres gens de couleur entrer territoire continental République, 13 messidor an 10 (2 juillet 1802).pdf|Consulat.- Arrêté portant défense aux noirs, mulâtres et autres gens de couleur, d'entrer sans autorisation sur le territoire continental de la République, 13 messidor an 10 (2 juillet 1802) File:Arret13messidor.jpg|Défense aux noirs, mulâtres et autres gens de couleur, d'entrer sans autorisation sur le territoire continental de la République, Arrêté consulaire (III , Bull . CCXIX , no 2001) du 13 messidor an 10 ou 2 juillet 1802 </gallery> * 16 juillet 1802 - {{bibliographie|Q113868908}} <!-- Arrêté rétablissant l'esclavage à la Guadeloupe, 27 messidor an X (16-07-1802) --> <gallery> File:Consulat - Arrêté rétablissant l'esclavage à la Guadeloupe, 27 messidor an X (16-07-1802), suivi du texte du projet de loi et des considérants.pdf </gallery> === Bibliographie === ** 2009 - {{bibliographie|Q104245180}} <!-- Jean-François Niort et Jérémy Richard.- L’arrêté consulaire du 16 juillet 1802 rétablissant l’esclavage à la Guadeloupe --> ** 2009 - {{bibliographie|Q113976314}} <!-- Jean-François Niort et Jérémy Richard.- A propos de l’arrêté consulaire du 16 juillet 1802 rétablissant l’esclavage à la Guadeloupe -->A propos de la découverte de l’arrêté consulaire du 16 juillet 1802 --> * 2002 - {{bibliographie|Q112706086}} <!-- 1802 : la guerre de la Guadeloupe ou la géographie en marche avec la liberté --> === Premier Empire (18 mai 1804 - 7 juillet 1815) === Le premier empire se décompose en deux périodes : du 18 mai 1804 au 4 avril 1814 soit 9 ans, 10 mois et 27 jours, puis les es [[w:Cent-Jours|Cent-Jours]] du 20 mars 1815 au 7 juillet 1815 soit 3 mois et 17 jours. Entre les deux la France vit une période troublée du 4 avril 1814 au 20 mars 1815. [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Les traités européens de 1802 à 1815|Les traités européens de 1802 à 1815]] ==== Robert du Var, né Joseph Pierre Bazile Robert, (14 juin 1810 - 6 mai 1852) ==== À créer : [[w:Robert du Var|Robert du Var]] Robert du Var, Bibliographie * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/1670-1912_-_Les_œuvres_des_mouvements_abolitionnistes_:_des_quakers_à_Gratien_Candace#Robert_du_Var,_Bibliographie|Robert du Var, Bibliographie, transfert du texte]] === Restauration (1815-1830) === [[w:Restauration (histoire de France)|Restauration (histoire de France)]] ==== Louis XVIII (1755-1824) ==== [[w:Louis XVIII|Louis Stanislas Xavier de France, comte de Provence]], 17 novembre 1755 - 16 septembre 1824, frère de Louis XVI, est roi de France et de Navarre du 6 avril 1814 au 20 mars 1815 puis du 8 juillet 1815 à sa mort, sous le nom de Louis XVIII. ==== Charles X (1757-1836) ==== [[w:Charles X|Charles-Philippe de France, comte d'Artois]], 9 octobre 1757 - 6 novembre 1836, frère de Louis XVI, est roi de France et de Navarre de septembre 1824 à août 1830, soit 5 ans, 10 mois et 17 jours, sous le nom de Charles X. === Monarchie de Juillet (1830-1848) === Louis-Philippe Ier, successivement duc de Valois (1773-1785), duc de Chartres (1785-1790) et duc d’Orléans (1793-1830), fils de [[w:Louis-Philippe d'Orléans (1747-1793)|Louis-Philippe d'Orléans (1747-1793)]], 6 octobre 1773 à Paris (France) - 26 août 1850 à Claremont (Royaume-Uni), est le dernier des rois en France. Il règne du 9 août 1830 au 24 février 1848 avec le titre de « roi des Français », après avoir été lieutenant-général du royaume de France. ;Bibliographie * 1845 - {{bibliographie|Q111264816}} <!-- Discours prononcé sur l'abolition de l'esclavage, par M. le Cte de Montalembert --> * 1939 - {{bibliographie|Q68689528}} <!-- La classe ouvrière en Alsace pendant la monarchie de Juillet --> * 1848 - {{bibliographie|Q111358958}} <!-- De la souveraineté du peuple et des principes du gouvernement républicain moderne --> * 1847 - <nowiki>[https://www.google.fr/books/edition/Annales_des_voyages_de_la_g%C3%A9ographie_de/QyUo9mfQijUC?hl=fr&gbpv=0 Annales des voyages, de la géographie, de l'histoire et de l'archéologie]</nowiki> avec cartes et planches == Second Empire (1851-1870) == * Société d'anthropologie de Paris, <nowiki>[https://www.google.fr/books/edition/Bulletins_de_la_Société_d_anthropologi/xjPCblTCeA0C?hl=fr&gbpv=0 Bulletins de la Société d'anthropologie de Paris]</nowiki>, 1862 * [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k639023 Bulletins de la Société d'anthropologie de Paris] {{Citation bloc|1862 — M. Cordier.- Car le beau n est pas propre à une race privilégiée j ai émis dans le monde artistique l idée de l ubiquité beau Toute race a sa beauté qui diffère de celle des races Le plus beau nègre n est pas celui qui nous ressemble le plus ce n est pas davantage celui qui présente au degré le plus prononcé les caractères qui distinguent sa race de la nôtre C est celui qui réunit en lui des for mes des traits et une physionomie où se reflètent en un équilibre harmonique les caractères essentiels moraux et intellectuels de la race éthiopienne Après avoir ainsi conçu le type idéal d une race je ne m en rapporte pas pour la reproduire à mes seuls souvenirs je cherche parmi les individus que j'ai étudiés et comparés celui qui présente au plus haut degré la réunion des beautés spéciales à sa race et c'est celui là que je choisis pour l'exécuter par une sculpture exacte et caractérisée|M. Cordier offre des bustes sculptés à l'Association<ref>[https://www.google.fr/books/edition/Bulletins_de_la_Soci%C3%A9t%C3%A9_d_anthropologi/xjPCblTCeA0C?hl=fr&gbpv=1&dq=Le+beau+n%27est+pas+propre+%C3%A0+une+race+privil%C3%A9gi%C3%A9e,+j%27ai+%C3%A9mis+dans+le+monde+artistique+l%27id%C3%A9e+de+l%27ubiquit%C3%A9+du+beau&pg=PA66&printsec=frontcover M. Cordier offre des bustes sculptés à l'Association].</ref>}} * [https://www.muma-lehavre.fr/fr/collections/oeuvres-commentees/sculpture/cordier-les-nubiens Cordier, Les Nubiens] == L'ère républicaine == === Troisième République (1870-1940) === === Quatrième République === == Esclavage crime contre l'Humanité dans les traités internationaux depuis 1945 == * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/1670-1912_-_Les_œuvres_des_mouvements_abolitionnistes_:_des_quakers_à_Gratien_Candace#Esclavage_crime_contre_l'Humanité_dans_les_traités_internationaux_depuis_1945|Esclavage crime contre l'Humanité dans les traités internationaux depuis 1945]] * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/1670-1912_-_Les_œuvres_des_mouvements_abolitionnistes_:_des_quakers_à_Gratien_Candace#Déclaration_universelle_des_Droits_de_l’Homme|Déclaration universelle des Droits de l’Homme, transfert du texte]] === Cinquième République === * [[w:Loi tendant à la reconnaissance de la traite et de l'esclavage en tant que crime contre l'humanité|loi n° 2001-434 du 21 mai 2001]] tendant à la reconnaissance de la traite et de l'[[w:esclavage|esclavage]] en tant que [[crime contre l'humanité]], dont Christiane Taubira, alors [[w:Première circonscription de la Guyane|députée]], était rapporteur == Recherche:Département:Histoire - Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages : '''Sommaire par ordre chronologique''' == == Joseph Bologne de Saint-George, un écosystème dans l’industrie des Arts, 1745-1799 == ;Joseph Bologne de Saint-George sous Louis XV, 1745-1774 # '''[[Utilisateur:Ambre_Troizat/Joseph_Bologne_de_Saint-George_sous_Louis_XV,_1745-1774|Joseph Bologne de Saint-George sous Louis XV, 1745-1774]]''' ## [[Utilisateur:Ambre Troizat/BologneGuadeloupe|Bologne, Guadeloupe (Georges de Bologne de Saint-George)]] ; [[w:Georges de Bologne Saint-Georges|Georges de Bologne Saint-Georges]] ## [[d:Q3387459|Pierre de Bologne]], né en 1706 à la Martinique, Poète, membre du parlement de Metz ## [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Joseph_Bologne_de_Saint-George_sous_Louis_XV,_1745-1774#La_religion_dans_la_vie_et_l’oeuvre_de_Joseph_Bologne_de_Saint-George|La religion dans la vie et l’œuvre de Joseph Bologne de Saint-George]] ## [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Joseph_Bologne_de_Saint-George_sous_Louis_XV,_1745-1774#Productions_musicales_de_Saint-George_sous_Louis_XV|Productions musicales de Saint-George sous Louis XV]] == Joseph Bologne de Saint-George sous Louis XVI, 1774-1793 == [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Joseph_Bologne_de_Saint-George_sous_Louis_XVI,_1774-1793| Joseph Bologne de Saint-George sous Louis XVI, 1774-1793]]''' == Pages synthèse == [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Un_environnement_de_recherche_pour_amateurs_et_chercheurs|Les projets Wikimedia : Un environnement de recherche pour amateurs et chercheurs]] * [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]] * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire_2|Vous êtes ici "Page perso : Mon cabinet d'histoire 2]] === L'esclavage avant l'arrivée des Européens au Nouveau Monde === * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Réflexions_à_propos_des_traites_%26_esclavages#(-480)-_(-406)_-_L'esclave_dans_le_théâtre_de_Euripide|(-480)- (-406) - L'esclave dans le théâtre d'Euripide]] * 481-1792 - [[Utilisateur:Ambre Troizat/L'esclavage dans les lois, capitulaires & ordonnances de la monarchie française, 481-1792|L'esclavage dans les lois, capitulaires & ordonnances de la monarchie française, 481-1792]] * 751-884 - [[Utilisateur:Ambre Troizat/Joseph, sujet du roy de France, de la servitude à la chevalerie#L'esclavage dans les capitulaires carolingiens, 751-884|L'esclavage dans les capitulaires carolingiens, 751-884]] * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/L'esclavage_dans_les_lois,_capitulaires_%26_ordonnances_de_la_monarchie_française,_481-1792#1536-1617-1646_-_Les_Institutes_coustumières_&_les_Œuvres_de_Me_Guy_Coquille,_sieur_de_Romenay|1536-1617-1646 - Les Institutes coustumières & les Œuvres de Me Guy Coquille, sieur de Romenay]] * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/L'esclavage_dans_les_lois,_capitulaires_%26_ordonnances_de_la_monarchie_française,_481-1792#Bibliographie_:_l'esclavage_en_Europe_occidentale_&_sa_disparition|Bibliographie : l'esclavage en Europe occidentale & sa disparition]] * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Le_retour_de_l'esclavage_dans_l'espace_politique_français#Féodalité_dans_les_colonies_:_conquête_&_occupation_de_la_Nouvelle-France|Féodalité dans les colonies : conquête & occupation de la Nouvelle-France]] == 1745-1789 - Les abolitionnistes à l'époque de Saint-George == # [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Saint-George_:_trajectoires_en_France_&_en_Europe#1789-1799_-_Saint-George_&_l'abolition_de_la_propriété_privé_sur_l'Humain|1789-1799 - Saint-George & l'abolition de la propriété privé sur l'Humain]] === Du directoire, 26 octobre 1795, à la fin de l'empire, 7 juillet 1815 === # [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Colonies,_Textes_législatifs_du_directoire_à_1815|Colonies : Textes législatifs de 1795 à 1815]] === 1834 - Charles Comte.- Traité de la propriété, oeuvre littéraire en 2 volumes === * 1834 - {{bibliographie|Q106163840}} <!-- Charles Comte.- Traité de la propriété, oeuvre littéraire --> ** 1834 - {{bibliographie|Q106170651}} <!-- Charles Comte.- Traité de la propriété, Volume I --> ** 1834 - {{bibliographie|Q106190142}} <!-- Charles Comte.- Traité de la propriété, Volume II--> == Gratien Candace, 1870-1953 == * [[w:Gratien Candace|Gratien Candace]], (18 décembre 1873 - 11 avril 1953) * [[Utilisateur:Ambre Troizat/Gratien Candace (1870-1953)|Gratien Candace (1870-1953)]] * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon cabinet d'histoire#Pages à propos de Gratien Candace|Pages à propos de Gratien Candace]] == La question des sucres & l'abolition de l’esclavage au XIXème == # [[Utilisateur:Ambre_Troizat/La question des sucres & l'abolition de l’esclavage au XIXème|La question des sucres & l'abolition de l’esclavage au XIXème]] === Œuvres sous l'angle de l'esclavage === * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Réflexions_à_propos_des_traites_%26_esclavages#L’œuvre des physiocrates sous l'angle de l'esclavage|L’œuvre des physiocrates sous l'angle de l'esclavage]] * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Réflexions_à_propos_des_traites_%26_esclavages#1704-1780 - Les œuvres de Louis de Jaucourt sous l'angle de l’esclavage|1704-1780 - Les œuvres de Louis de Jaucourt sous l'angle de l’esclavage]] * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Réflexions_à_propos_des_traites_%26_esclavages#1711-1755_-_Les_œuvres_de_Montesquieu_sous_l'angle_de_l’esclavage|1711-1755 - Les œuvres de de Montesquieu sous l'angle de l’esclavage]] * 1713- 1796 - [[d:Q3137499|Histoire des deux Indes, œuvre littéraire. ([[d:Q3137499|Histoire philosophique et politique des établissements et du commerce des Européens dans les deux Indes (Q3137499)]] ; [[s:Histoire philosophique et politique des établissements et du commerce des Européens dans les deux Indes|Histoire philosophique et politique des établissements et du commerce des Européens dans les deux Indes]], sur Wikisource. * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Réflexions_à_propos_des_traites_%26_esclavages#1723-1789 - De Felice, Fortunato Bartolomeo, le père sous l’angle de l'esclavage|1723-1789 - De Felice, Fortunato Bartolomeo, le père sous l’angle de l'esclavage]] * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Réflexions_à_propos_des_traites_%26_esclavages#1740-1794_-_Les_œuvres_de_Claude-Louis-Michel-Milscent_de_Mussé_sous_l’angle_de_l'esclavage|1740-1794 - Les œuvres de Claude-Louis-Michel-Milscent de Mussé sous l’angle de l'esclavage]] * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Réflexions_à_propos_des_traites_%26_esclavages#1743-1794_-_Les_œuvres_de_Jean-Antoine-Nicolas_de_Caritat_de_Condorcet_sous_l’angle_de_l'esclavage|1743-1794 - Les œuvres de Jean-Antoine-Nicolas de Caritat de Condorcet sous l’angle de l'esclavage]] * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Réflexions_à_propos_des_traites_%26_esclavages#1747(1748)-1832_-_Les_œuvres_de_Jeremy_Bentham_sous_l'angle_de_l'esclavage|1747(1748)-1832 - Les œuvres de Jeremy Bentham sous l'angle de l'esclavage]] * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Réflexions_à_propos_des_traites_%26_esclavages#1768-1838-1861_-_Les_œuvres_de_Chateaubriand_sous_l'angle_de_l'esclavage|1768-1838-1861 - Les œuvres de Chateaubriand sous l'angle de l'esclavage]] * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Réflexions_à_propos_des_traites_%26_esclavages#1795-1858_-_Les_œuvres_de_Cyrille_Bissette_sous_l'angle_de_l'esclavage|1795-1858 - Les œuvres de Cyrille Bissette sous l'angle de l'esclavage]] * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Réflexions_à_propos_des_traites_%26_esclavages#L'action_politique_des_Clubs,_sociétés_populaires,_littéraires_ou_musicales|L'action politique des Clubs, sociétés populaires, littéraires ou musicales]] === {{S|XVIII}} : organisation transatlantiques & trans-étatiques === == Les penseurs du XIXème siècle == [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Réflexions_à_propos_des_traites_&_esclavages#L’abolition_de_l'esclavage_de_l'ancien_régime_à_la_monarchie_de_juillet|L’abolition de l'esclavage de l'ancien régime à la monarchie de juillet]] === L’abolition de l'esclavage : Les penseurs, du {{S|XIX}} === ;Les traités européens 1814-1845 * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Réflexions_à_propos_des_traites_%26_esclavages#1801-1872_-_L'œuvre_de_Jean-Baptiste_Capefigue%2C_historien%2C_sous_l'angle_de_l'esclavage|1801-1872 - L'œuvre de Jean-Baptiste Capefigue, historien, sous l'angle de l'esclavage]] * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Réflexions_à_propos_des_traites_%26_esclavages#1801-1869_-_L'œuvre_de_Antoine_ Charma,_philosophe,_sous_l'angle_de_l'esclavage|1801-1869 - L'œuvre de Antoine Charma, philosophe, sous l'angle de l'esclavage]]<ref>* 1838 - {{bibliographie|Q78599768}} <!-- 1838 - Antoine Charma, Leçons de philosophie sociale, année scholaire1837-1838 --></ref> * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Réflexions_à_propos_des_traites_%26_esclavages#1802-1890_-_L'œuvre_de_George_William_Alexander_sous_l'angle_de_l'esclavage|1802-1890 - L'œuvre de George William Alexander sous l'angle de l'esclavage]] * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Réflexions_à_propos_des_traites_%26_esclavages#1802-1890_-_L'œuvre_de_Édouard_Biot_sous_l'angle_de_l'esclavage|1802-1890 - L'œuvre de Édouard Biot sous l'angle de l'esclavage]] * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Réflexions_à_propos_des_traites_%26_esclavages#1803-1871_-_L'œuvre_de_Guillaume_de_Félice_sous_l'angle_de_l'esclavage|1803-1871 - L'œuvre de Guillaume de Félice sous l'angle de l'esclavage]] * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Réflexions_à_propos_des_traites_%26_esclavages#1804-1876_-_L'œuvre_de_George_Sand_sous_l'angle_de_l'esclavage|1804-1876 - L'œuvre de George Sand sous l'angle de l'esclavage]] * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Réflexions_à_propos_des_traites_%26_esclavages#1804-1893_-_L'œuvre_de_Victor_Schœlcher_sous_l'angle_de_l'esclavage|1804-1893 - L'œuvre de Victor Schœlcher sous l'angle de l'esclavage]] === Penser l’esclavage aux {{S|XX}}-{{S|XXI}} === ==== Alain Testart : 30 décembre 1945 - 2 septembre 2013, anthropologue ==== * 2001 - {{bibliographie|Q59244737}} <!-- Alain Testart, L'esclave, la dette et le pouvoir. --> * * 21 juin 2020 - [https://www.youtube.com/watch?v=ZIS2KMydo5w L'origine du commerce - EspritCritique 10]., [https://www.tzitzimitl.net/liens/ec10 Bibliographie] * 2018 - {{bibliographie|Q59244463}} <!-- Alain Testart et Valérie Lécrivain, L'institution de l'esclavage --> ** 2018 - {{bibliographie|Q96622238}} <!-- Alain Testart, L’institution de l’esclavage, lecture --> ===== La servitude volontaire ===== * ''[https://www.wikidata.org/w/index.php?search=La+servitude+volontaire&search=La+servitude+volontaire&title=Special%3ASearch&go=Continuer&ns0=1&ns120=1 La servitude volontaire]'' * 2014 - {{bibliographie|Q96623688}} <!-- Alain Testart, La servitude volontaire, oeuvre écrite --> ** 2014 - {{bibliographie|Q96623797}} <!-- Alain Testart, La servitude volontaire ː les morts d’accompagnement --> ** 2014 - {{bibliographie|Q96624530}} <!-- La servitude volontaire ː L’origine de l’Etat --> == Institutions & revues == ''1877'' - {{bibliographie|Q84768893}} <!-- Maurice Block, Dictionnaire de l’administration française --> [[s:Page:Block - Dictionnaire de l’administration française, tome 1.djvu/496|COLONIES FRANÇAISES]] === Lois concernant les colonies 1492 -1802 === ==== Situations coloniales au cœur de l'Europe ==== [[File:Colonisation 1492.png|100px|vignette|gauche|Situation coloniale en Europe en 1492]] ===== Les Pay-bas espagnols : annexion & indépendances ===== ===== Naissance du Royaume-Uni ===== * [[w:Actes d'Union (1707)| d'Union (1707)]] — Wikipédia *[https://pagesdhistoire2000.wordpress.com/2021/05/01/union-de-langleterre-et-de-lecosse-le-1er-mai-1707/ Union de l’Angleterre et de l’Écosse le 1er mai 1707.] == {{S|XX}}-{{S|XXI}} : Abolir l'esclavage au niveau international == N.B : Conclusions avec Gratien Candace & Michaël Jackson devient Troisième partie avec Michaël Jackson puis, cette page est scindée comme suit, 8 septembre 2021 / 2022 / 15 février 2023. === 1870-1953 - Gratien_Candace === * [[Utilisateur:Ambre Troizat/Gratien Candace (1870-1953)|Gratien Candace (1870-1953)]] * Déclaration universel des droits de l'homme qui abolit l'esclavage dans les Etats qui ratifient la Déclaration. === 1958-2009 - Michaël Jackson === * [[Utilisateur:Ambre Troizat/1958-2009 - Michaël Jackson, un écosystème dans l’industrie des Arts|1958-2009 - Michaël Jackson, un écosystème dans l’industrie des Arts]] === 1793-2025 - Synthèse & Conclusion === == 1745-1799 - Vie du Chevalier de Saint-George == Voir Plan, page 1 == Pages à propos de Joseph Bologne de Saint-George == [[Utilisateur:Ambre Troizat/BologneGuadeloupe]] : Transformer en "Saint-George, [[w:Ontogenèse|ontogenèse]] & [[w:Orthogenèse|orthogenèse]]<ref>Discuter les deux concepts. Le retour de l'Humain dans l'ordre de la nature</ref>") * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/BologneGuadeloupe#Les_Boullongne_:_une_famille_d'artistes_et_de_financiers_aux_XVIIe_et_XVIIIe_siècles|Les Boullongne : une famille d'artistes et de financiers aux XVIIe et XVIIIe siècles]] === Annexes === # [[Utilisateur:Ambre Troizat/Ouvrages à propos de Saint-George|Textes à propos de Saint-George/Chronologie]] (en cours de modification) # [[Utilisateur:Ambre Troizat/Saint-George (Bibliographie)|Saint-George (Bibliographie)]] # [[Utilisateur:Ambre Troizat/Saint-George (Bibliographie chronologique par catalogue)|Saint-George (Bibliographie chronologique par catalogue)]] # [[Utilisateur:Ambre Troizat/Saint-George (Chronologie)|Saint-George (Chronologie)]] # [[Utilisateur:Ambre Troizat/Saint-George (Contemporains)|Saint-George (Contemporains)]] == Bibliographie == * 1745-2020 Bibliographie - [[Utilisateur:Ambre Troizat/Ouvrages à propos de Saint-George|1745-2020 - Littérature à propos de Joseph Bologne de Saint-George]] * 2022 - {{Lien web |langue=en |auteur= Greg Jenner|titre= You're Dead To Me — Chevalier de Saint-Georges|url= https://www.bbc.co.uk/sounds/play/p09b3p7x|date= 19 mars 2021|site=bbc.co.uk|consulté le= 23 avril 2022}}, Available for over a year == Notes de recherche == # [[Recherche:Département:Histoire|Recherche:Département:Histoire]] # [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]] # [[Discussion Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages/Annexe/Bibliographie|Discussion Annexe Bibliographie & Modèles]] # [[s:Aide:Demander l’importation d’un livre|Voir cette liste et mettre à jour]] # [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Bibliographie du XXIè_siècle|Annexe : Bibliographie {{S|20}}]] # [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Bibliographie du XXè_siècle|Annexe : Bibliographie XXIè siècle]] === Autres recherches ayant un lien thématique ou méthodologique === [[Fichier:MaskAgamemnon.png|100px|vignette|gauche|Masque en or d'[[w:Agamemnon|Agamemnon]], héros de la [[w:Guerre de Troie|guerre de Troie]]. Né de Zeus Agamemnon "''à la grande pensée''". Dans la religion grecque, l'épithète divine devient souvent un héros]] ==== Le principe de consensus ==== [[Fichier:Map of the Legal systems of the world (en).png|vignette|upright=1.6|Les systèmes juridiques dans le monde]] <div style="text-indent:15px;">[[w:Consensus|Consensus]] : la [https://fr.wikipedia.org/w/index.php?search=loi+générale&title=Spécial:Recherche&go=Continuer&searchToken=44gg3570cud670nwqjoao78ik loi générale] étant une loi positive écrite, peut-elle dériver d'un consensus ? Voir les blocages à l'abolition de l’esclavage dans les États-Nations qui ne reconnaissent pas la loi générale.</div> <div style="text-indent:15px;">[[Projet:Wikiversité/Conventions_de_gestion#Convention_sur_le_principe_du_consensus|Convention sur le principe du consensus:Donner le primat au débat sur le développement de la philosophie que laisse espérer l'existence de nos projets Wikimedia]]</div> <div style="text-indent:15px;">J'interviens sur ce point, non pour modifier le contenu à ce niveau de discussion - je suis d'accord avec la suppression du point 4 - mais pour ajouter un élément de réflexion qui devrait, à mon avis être bien discuté entre nous et qui concerne les modalités générales de l'exercice de la démocratie sur nos projets Wikimedia. Ma réflexion est celle-ci : quand les règles de constitution de notre "''démos''" ont été respectées lors de l’admission d'un membre, est-il possible d'exclure ce membre par la suite ? Cette question est en relation avec mon sujet de recherche qui couvre non seulement l'esclavage & ses abolitions mais aussi</div> :* en tant que corollaires, la prison, les exils (à distinguer des "migrations naturelles"), la prostitution, & toutes les formes d'exclusion ou de tentatives d'exclusion des sociétés politiques et de l’Humanité telles que la guerre, la prolétarisation &, :* en tant que source, la peine de mort (''je ne traite pas des prélèvements sur la nature tels que la chasse, la cueillette & autres formes de consommation/destruction de la nature'' qui relèvent du droit de subsistance). <div style="text-indent:15px;">Par "modalités générales", j'entends la "loi générale". La loi, non pas comme expression "[https://fr.wikipedia.org/w/index.php?search=loi+générale&title=Spécial:Recherche&fulltext=Rechercher&searchToken=ayvgvuhum3lgl6kpx378zpcnq de la volonté générale du peuple]" - forme qui était valable lors de la construction des État-Nations des Lumières jusqu'à la [[w:Déclaration universelle des droits de l'homme|Déclaration Universelle des Droits de l'Homme, ONU, 10 décembre 1948]] - mais de la loi générale comme expression de l'intérêt général des [[s:Déclaration universelle des Droits de l’Homme|Humains]] & de l’Humanité à laquelle ils appartiennent. L'intérêt général de notre Humanité exclu la peine de mort, l'esclavage & l'exclusion de la formation de la loi générale et de ses structures politiques d'application.</div> <div style="text-indent:15px;">C'est l’[[s:Déclaration des Droits de l’Homme et du Citoyen|Article premier]] de la [[w:Déclaration des droits de l'homme et du citoyen de 1789|Déclaration des Droits de l’Homme et du Citoyen]] adoptée par l'Assemblée Constituante, première Assemblée nationale de la France, 1789, qui pose ce principe : "'''''Les hommes naissent et demeurent libres et égaux en droits. Les distinctions sociales ne peuvent être fondées que sur l’utilité commune''''', Article premier de la [[s:Déclaration des Droits de l’Homme et du Citoyen|Déclaration des droits de l'homme et du citoyen de 1789]]".</div> <div style="text-indent:15px;">Autrement dit, je pense que nos débats sur la démocratie restent en deçà du droit nécessaire à l'épanouissement de nos projets : nous discutons sur des points techniques et non pas sur le développement de la philosophie ['''''(du droit)''''']<ref>[(du droit)] n'est pas dans le texte de ma contribution sur la page de discussion.</ref> que laisse espérer l'existence des projets Wikimedia. Nous n'avons pas encore atteints les prémisses contenus dans le [[w:droit naturel|Droit naturel]] élaboré par l’Humanité du {{S|XVIII}}.</div> <div style="text-indent:15px;">De mon point de vue, il serait normal que le débat sur la loi générale nécessaire pour le développement des projets Wikimedia se déroule sur Wikiversité, dans la foulée de ce débat-ci, pour donner le primat au débat sur le développement de la philosophie ['''''(du droit)''''']<ref>[(du droit)] n'est pas dans le texte de ma contribution sur la page de discussion.</ref> que laisse espérer l'existence de nos projets Wikimedia.</div> <div style="text-indent:15px;">'''Citation''' : [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]], [[Projet:Wikiversité/Conventions_de_gestion#Convention_sur_le_principe_du_consensus|Convention sur le principe du consensus:Donner le primat au débat sur le développement de la philosophie ['''''(du droit)''''']<ref>[(du droit)] n'est pas dans le texte de ma contribution sur la page de discussion.</ref> que laisse espérer l'existence de nos projets Wikimedia]], ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 2 octobre 2017 à 09:57 (UTC) ; [http://www.mathisbenguigui.eu/wikimedia-timeline/ Wikimédia France, de 2013 à 2017].</div> ::[[w:en:Common law|Common law]] ::[[w:en:Common law (disambiguation)|Common law (disambiguation)]] ::[[w:en:Jus commune|Jus commune]] ::[[w:en:English law|English law]] ::[[w:en:Law of the United States|Law of the United States]] ==== Recherches & leçons tierces ==== #[[La liberté]], leçon de philosophie #[[Colonisation et travail forcé aux XV-XVIème siècles]], [[Colonisation et travail forcé aux XV-XVIème siècles#La question de droit posé par les Espagnols|La question de droit posé par les Espagnols]]<br />1930 - {{bibliographie|Q55789098}} <!-- Sixte de Bourbon-Parme, La dernière Conquête du Roi (Alger 1830), Aux origines de la colonisation du continent africain --> #[[Recherche:Les fonds patrimoniaux des bibliothèques publiques|Recherche:Les fonds patrimoniaux des bibliothèques publiques]]<br />[[Recherche:Les_fonds_patrimoniaux_des_bibliothèques_publiques/Révolution_française,_des_nationalisations_aux_bibliothèques_municipales|Révolution française, des nationalisations aux bibliothèques municipales]] #[[Recherche:Histoire de la civilisation grecque - État et nation|État et nation dans la civilisation grecque]] : Cf. ''L'homme héroïque'' (homme qui sauve des vies comme les médecins...) & ''L'homme colonial'' #[[Recherche:Néo-théismes et Néo-théosophies au regard du passé, du présent et de l'avenir de l'histoire des religions]] #[[Recherche:Déclaration des droits des internautes]] #[[Mondialisation : processus, acteurs et territoires]] #[[Bourgeoisies, commerce, traite et esclavage au XVIIIe siècle|Leçons dans la Catégorie Bourgeoisies, commerce, traite et esclavage au XVIIIe siècle]] sur Bordeaux ville maritime et commerce colonial d'Ancien Régime. == Correction des entrées bibliographiques sur Wikidata (20 mai 2019) == === Sur Wikiversité === # [[Sujet:Uzc3e4ydhr7c56k1|Exemple de bibliographie quand il existe un lien "wikisource" sur l'élément édition…]] === Sur Wikidata === La discussion se trouve ici : ''[https://fr.wikisource.org/wiki/Sujet:Uz73pbwc5pe7p0va Avant de transcrire…]'' # Nature de l'élément = version, édition ou traduction # Genre (catégorie de l'oeuvre) = article, article scientifique # [[d:User_talk:Ambre_Troizat|Voir page de discussion perso sur Wikidata]] ==== Revue des deux Mondes ==== La [[w:Revue des Deux Mondes|Revue des Deux Mondes]] est une revue mensuelle littéraire française, une des plus anciennes publications périodiques encore en activité en France. [[w:Alexandre Dumas|Alexandre Dumas]] évoque dans ses ''Mémoires'' comment, avec son ami [[w:Adolphe de Leuven|Adolphe de Leuven]], ils décidèrent le père de ce dernier, le comte Ribbing de Leuven<ref>[https://books.google.fr/books?id=97ckIdkDCPEC&dq=comte%20Ribbing%20de%20Leuven&hl=fr&pg=PA32#v=onepage&q=comte%20Ribbing%20de%20Leuven&f=false comte Ribbing de Leuven]</ref>, à vendre son ''Journal des Voyages'', qui marchait assez mal, au jeune employé d'imprimerie [[w:François Buloz|François Buloz]], lequel cherchait à lancer une revue. Aidé de proches comme l'acteur [[w:Bocage (acteur)|Bocage]] ou le journaliste [[w:Jacques Alexandre Bixio|Bixio]], Buloz réunit les fonds et devint propriétaire du journal, qu'il renomma<ref>« M. Ribbing de Leuven avait un journal qui marchait assez mal, un journal de luxe, comme les gens riches ou à fantaisies en ont pour se ruiner ; — on l’appelait le ''Journal des Voyages''. Adolphe et moi décidâmes M. de Leuven à vendre ce journal à Buloz. Buloz, Bocage, Bonnaire, et je crois même Bixio, réunirent quelques fonds et devinrent propriétaires du susdit journal, qui prit le titre de ''Revue des Deux Mondes''. » Alexandre Dumas.-''Mes Mémoires'', Chapitre CCXXXI, [http://dumaspere.com/pages/bibliotheque/chapitre.php?lid=m3&cid=231&highlight=&pos=159#res La Revue des Deux Mondes. – M. Bulloz. – Le Journal des Voyages]. –, 1852-1856.</ref>. {{bibliographie|Q1569226}} # Le modèle : 1858 - {{bibliographie|Q19209416}} # 1858 - « Les Colonies françaises depuis l’abolition de l’Esclavage », Revue des deux Mondes, {{Article}} : paramètre « date » manquant (ISSN 0035-1962 et 0750-9278, lire sur Wikisource)Voir et modifier les données sur Wikidata # 1858 - Les Colonies françaises depuis l’abolition de l’Esclavage (ISSN 0035-1962 et 0750-9278, lire sur Wikisource)Voir et modifier les données sur Wikidata === Sur Wikisource === == Mes pages thématiques == === Droit naturel === # [[Utilisateur:Ambre Troizat/Esclavage/Droit naturel|Le droit naturel & l'esclavage]] ## [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Esclavage/Droit_naturel#Le_droit_d'asile|Droit d'asile]] : 1840 - {{bibliographie|Q67393233}} publié dans ''L'Univers, France, dictionnaire encyclopédique par Philippe Le Bas, tome premier, A - AZ.'' # [[Utilisateur:Ambre Troizat/Esclavage#Les affranchissement de Louis XI dit Hutin|Les affranchissement de Louis XI dit Hutin]] # [[Utilisateur:Ambre Troizat/Projet "Edit de 1685"|Projet "Edit de 1685"]] # [[Utilisateur:Ambre Troizat/Droit naturel et propriété intellectuelle|Droit naturel et propriété intellectuelle]] # [[Utilisateur:Ambre Troizat/Esclavage|Réflexions à propos des traites & esclavages]] ## [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Abolition_des_esclavages|Les abolitions des traites et des esclavages : Abolition des esclavages]] === Droit des gens === # [[Utilisateur:Ambre Troizat/Esclavage/droit des gens|Le droit des gens & l'esclavage]] === Projet de paix perpétuelle === [[Utilisateur:Ambre Troizat/Projet de paix perpétuelle|Projet de paix perpétuelle]] * {{bibliographie|Q101607890}}, œuvre littéraire <!-- Le droit naturel --> ** {{bibliographie|Q101824896}}, traduction de André Kaan <!-- Le droit naturel --> == Les physiocrates : La Rochefoucauld, Mirabeau == [[Utilisateur:Ambre Troizat/Les physiocrates : La Rochefoucauld, Mirabeau|Les physiocrates : La Rochefoucauld, Mirabeau]] * {{bibliographie|Q101816585}} <!-- Les physiocrates --> == Les Orléans, prétendants au trône de France == [[Utilisateur:Ambre Troizat/Les Orléans, prétendants au trône de France|Les Orléans, prétendants au trône de France]] == Géopolitique de la Première mondialisation == [[Utilisateur:Ambre Troizat/Géopolitique de la Première mondialisation|Géopolitique de la Première mondialisation]] La [[w:Géopolitique|géopolitique]] (du grec γη « terre » et πολιτική « politique ») est l'étude des effets de la géographie (humaine et matérielle) sur la politique internationale et les relations internationales. C'est une méthode d'étude de la politique étrangère pour comprendre, expliquer et prédire le comportement politique international à travers les variables géographiques. Il s'agit notamment des études régionales, du climat, de la topographie, de la démographie et des ressources naturelles. # [[Utilisateur:Ambre Troizat/Bataille de Fontenoy|Fontenoy, Bataille de 1745]] # [[Utilisateur:Ambre Troizat/Guerre d'indépendance des Etats-Unis d'Amérique|Guerre d'indépendance des Etats-Unis d'Amérique]] ## [[Utilisateur:Ambre Troizat/Guerre d'indépendance des Etats-Unis d'Amérique/François Claude de Bouillé, Gouverneur des colonies françaises des îles du vent]] Caricatures sur le marquis de Bouillé Vid p 226 La qualification de Général de l Armée noire donnée au marquis de Bouillé ne voudrait elle point dire qu il commandait à une armée fantastique dont les soldats ima inaires étaient du domaine des ombres c inoises de ces sombres découpures inventées par M de Silhouette Nous retrouvons à l appui de notre interprétation le mot de fantoccini appliqué au même moment aux émigrés deCoblentz sur une caricature mise au jour comme la récédente après ladfuite de Varennes et ors de la formation e l armée de Condé Lafoire de Coblentg ou les grandsfantoccinifrançais pièce coloriée Une autre charge de la même épo ue reproduit encore ce mot de Noirs s appliquant à l émigration La Contre Révolution ne serait elle qu une caricature dédiée au Cul de sac des Noirs eau fortepar Villenenne Le Sacrogorgon dont je ne connais point le sens ne fut point la seule protestation du crayon contre la défection de Bouillé en voici une autre Bouille Klinglin et Heyman brûlés en efiiäîe à Strasbourg pièce coloriée ued Medjedel H VIENNE === Droit de conquête versus Droit colonial === # [http://portail.atilf.fr/cgi-bin/getobject_?p.4:25./var/artfla/dicos/ACAD_1762/IMAGE/ Droit]. s.m. : Ce qui est juste. En ce sens on dit, qu'Une chose est contre tout droit & raison, pour dire, qu'Elle est injuste & déraisonnable.<br />Il signifie aussi Justice. Faire droit à chacun. Conserver le droit des Parties. # [http://portail.atilf.fr/cgi-bin/dico1look.pl?strippedhw=conqu%EAte&headword=&docyear=ALL&dicoid=ALL&articletype=1 Conquête] dans les dictionnaires des 17ème, 18ème, 19ème et 20ème siècles # [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k940928/f599.item.r=Conquête Droit de conquête], {{bibliographie|Q60159100}}, dans {{bibliographie|Q60154916}} ## Voir Introduction à : {{bibliographie|Q60342836}}, 2019 <!-- Caroline Oudin-Bastide et Philippe Steiner, Calculation and Morality: The Costs of Slavery and the Value of Emancipation in the French Antilles --> ## [[w:Éphémérides du citoyen|Les Éphémérides du citoyen]] est un journal français qui parut de 1765 à 1772, puis de 1775 à 1779 (sous le titre des Nouvelles Éphémérides économiques) et enfin en 17881. Il s'agit du principal périodique du [[w:Physiocratie|mouvement physiocratique]]. Continué par : Nouvelles éphémérides économiques (1774-1776). ## [http://dictionnaire-journaux.gazettes18e.fr/journal/0377-ephemerides-du-citoyen ÉPHÉMÉRIDES DU CITOYEN (1765-1772)]. Titre : Ephémérides du citoyen ou chronique de l'esprit national. Ephémérides du citoyen ou Bibliothèque raisonnée des Sciences morales et politiques (à partir du t. VI, sept.-oct. 1766, qui existe aussi avec l'ancien sous-titre). ## Caroline Oudin-Bastide et Philippe Steiner, Calculation and Morality, pp. 172–175 : Du Pont, Pierre-Samuel, « Observations importantes sur l'esclavage des nègres », Éphémérides du citoyen, 1771, vol. 6, pp. 181–246. Du Pont, Pierre-Samuel, « Lettres africaines », Ephémérides du citoyen, 1771, vol. 8, pp. # [[Utilisateur:Ambre Troizat/Droit colonial|Droit de conquête versus Droit colonial]] # [[Utilisateur:Ambre Troizat/Géopolitique & géographie coloniale|Géopolitique & géographie coloniale]]. '''Page à créer ????''' 2017 - {{bibliographie|Q55753216}} <!-- Pascal Clerc, « La « géographie coloniale » en France » --> == Droit de conquête vers le Pacifisme : paix perpétuelle == # [[Utilisateur:Ambre Troizat/Famille Mirabeau Riqueti|Famille Mirabeau Riqueti]] # [[Utilisateur:Ambre Troizat/Guillaume-Thomas Raynal|Guillaume-Thomas Raynal]] # [[Utilisateur:Ambre Troizat/Saint-Domingue Colonie du Royaume de France|Saint-Domingue Colonie du Royaume de France]] == Les métamorphoses de la propriété == === Les métamorphoses de la propriété sous les rois de la troisième Race === === Les métamorphoses de la propriété au XVIIIe siècle & XXe siècle === [[Utilisateur:Ambre Troizat/Révolution atlantique, 1763-1994|Révolution atlantique, 1763-1994]] [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Les_métamorphoses_de_la_propriété_au_XVIIIe_siècle_%26_XIXe_siècle|Les métamorphoses de la propriété au {{S|XVIII}} & {{S|XIX}}]] * La propriété sur l'Humain * Talleyrand et les biens nationaux * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Les_métamorphoses_de_la_propriété_au_XVIIIe_siècle_%26_XIXe_siècle#Talleyrand_&_l'abolition_de_la_traite_au_congrès_de_Vienne_(1814-1815)|Talleyrand & l'abolition de la traite au congrès de Vienne (1814-1815)]] * Bibliographie Abolitions Traites & Esclavages : des "Amis des noirs à Victor Schœlcher == Du préjugé de couleur & du racisme == * Cf. Première partie avec Saint-George/Joseph Bologne de Saint-George - Transfert * Débat autour de "Je ne suis pas votre nègre" de Raoul Peck, <nowiki><https://www.youtube.com/watch?v=nYW2DeuNqX8></nowiki> === 1684 - Bernier, Nouvelle division de la terre, par les différentes espèces ou races d'homme qui l'habitent === [https://www.google.com/search?q=%22Nouvelle+division+de+la+terre,+par+les+différentes+espèces+ou+races+d%27homme+qui+l%27habitent%22&newwindow=1&tbs=sbd:1,cdr:1,cd_min:2000,cd_max:2099&tbm=bks&source=lnt&sa=X&ved=0ahUKEwjU45TA6M_iAhVFhRoKHRn2DW8QpwUIIQ&biw=1291&bih=668&dpr=1 Nouvelle division de la terre, par les différentes espèces ou races d'homme qui l'habitent], une page de référence 2004-2017 [https://books.google.fr/books?isbn=1526104679 Mechthild Fend.- Fleshing Out Surfaces: Skin in French Art and Medicine, 1650-1850, 2016]. ''Bernier, François, 'Nouvelle division de la terre, par les differentes espèces ou races d'homme qui l'habitent', Journal des sçavans, April 1684, 133–40''. === Journal des sçavans + Léon Poliakov === [https://www.google.com/search?q=Journal+des+s%C3%A7avans+%2B+Léon+Poliakov&newwindow=1&tbs=cdr:1,cd_min:1900,cd_max:1999,sbd:1&tbm=bks&source=lnt&sa=X&ved=0ahUKEwjAnOLO7c_iAhWLDxQKHWmTAgMQpwUIIQ&biw=1219&bih=644&dpr=1 Journal des sçavans + Léon Poliakov] === L. Poliakov.- Le mythe aryen, essai sur les sources du racisme et des nationalismes, 1971 === Au XIXème siècle, aucun livre ne correspond à la recherche "Le Mythe aryen: Essai sur les sources du racisme et des nationalismes". '''1971''' - [https://books.google.fr/books?id=JMwpAQAAIAAJ Maxime Rodinson.- Marxisme et monde musulman, 1972, page 273] : "''Voir encore récemment le vivant tableau qu'en a tracé L. Poliakov.- Le mythe aryen, essai sur les sources du racisme et des nationalismes, Paris, Calmann-Lévy, 1971 (= Liberté de l'esprit) malgré certaines conclusions discutables''". '''1997''' - [Roger-Pol Droit.- https://books.google.fr/books?id=AFzYAAAAMAAJ Le Culte du Néant: les philosophes et le Bouddha, 1997, page 227. ''Sur ce sujet, le travail fondateur demeure l'ouvrage de Léon Poliakov, Le Mythe aryen. Essai sur les sources du racisme et des nationalismes, Paris, Calmann-Lévy, 1971''. # [[w:Wikipédia:Le_Bistro/31_mai_2018#Le_racisme_au_XIXème_siècle_a-t-il_les_honneurs_sur_fr.Wikipédia_?|Le racisme au XIXème siècle a-t-il les honneurs sur fr.Wikipédia ? ''Wikipédia:Le Bistro/31 mai 2018'']]. Analyse : [[Utilisateur:Ambre Troizat/Le racisme au XIXème siècle a-t-il les honneurs sur fr.Wikipédia ?|Le racisme au XIXème siècle a-t-il les honneurs sur fr.Wikipédia ?]] #Mois de la contribution ## [[w:Wikipédia:Mois de la contribution 2017/Saint-Claude|Wikipédia:Mois de la contribution 2017/Saint-Claude]] === Bibliographie (Du préjugé de couleur & du racisme) === * 1684 - {{bibliographie|Q24025026}} publié dans {{bibliographie|Q24025038}} <!-- Nouvelle division de la terre, par les différentes espèces ou races d'homme qui l'habitent --> ** {{bibliographie|Q24025038}} [https://www.google.com/search?newwindow=1&tbm=bks&ei=Qkr2XJCyGb-cjLsPqcaOkAQ&q=Journal+des+s%C3%A7avans+%2B+Léon+Poliakov&oq=Journal+des+s%C3%A7avans+%2B+Léon+Poliakov&gs_l=psy-ab.12...245206.248796.0.251080.3.3.0.0.0.0.84.192.3.3.0....0...1c.1.64.psy-ab..0.0.0....0.WwAm8flRIjQ Recherche d'antériorité : Journal des sçavans + Léon Poliakov] * 2005 - {{bibliographie|Q60562215}} <!-- Émile Hayot, Les gens de couleur libres du Fort-Royal 1679-1823 --> * 2006 - {{bibliographie|Q60613174}} <!-- Érick Noël, Être noir en France au XVIIIe siècle --> ** 2007 - {{bibliographie|Q60613092}} <!-- Érick Noël, Présentation de "Être noir en France au XVIIIe siècle" --> == Bibliographies == ## ''Wikisource : [[s:Utilisatrice:Ambre Troizat/Récension bibliographique|Récension bibliographique]]'' ## [[Utilisateur:Ambre Troizat/Révolution française|Révolution française]], Bibliographie commentée ## [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Esclavage#.C5.92uvres_de_Chateaubriand_sous_l.27angle_de_l.27esclavage|Œuvres de Chateaubriand sous l'angle de l'esclavage]] ## [[Utilisateur:Ambre Troizat/Bibliographie (Pacifisme)|Bibliographie (Pacifisme)]] == Pages à propos de Henri Grégoire == # [[Utilisateur:Ambre Troizat/Henri Grégoire|Henri Grégoire]] # [[Utilisateur:Ambre Troizat/Henri Grégoire#1808 - De la littérature des nègres|Henri Grégoire.- (Tous) les hommes courageux ''in'' De la littérature des nègres, 1808.]] == Pages à propos des Dumas == # [[Utilisateur:Ambre Troizat/Les Dumas, un univers|Les Dumas, un univers]] == Pages à propos de Gratien Candace == * [[Utilisateur:Ambre Troizat/Gratien Candace (1870-1953)]] == Travaux de recherche : Aide technique & méthodologique == <br /> ;<strong>Requêtes</strong> Poster les demande d’adaptation sur la page [[Wikiversité:Requêtes aux administrateurs]] quand il s’agit de requête seulement réalisable par les admin et sur la page [[Wikiversité:Requêtes aux contributeurs]] si tout le monde peut le faire. :Voir comment faire la différence ! === Comment créer un travail de recherche === * [[Aide:Comment créer un travail de recherche]] L'espace de nom « recherche » est définit dans les pages : * [[Projet:Wikiversité/Espace de noms « Recherche »|Projet:Wikiversité/Espace de noms « Recherche »]] * [https://beta.wikiversity.org/wiki/Wikiversity:Research_guidelines/Fr Research_guidelines/Fr] * [https://beta.wikiversity.org/wiki/Wikiversity:Scope_of_research/Policy/ Wikiversity:Scope_of_research/Policy]. === Graphiques === * [[MW:Extension:Graph/Demo|Graphiques]] & [[Utilisateur:Ambre Troizat#Frise chronologique "L’esclavage dans les capitulaires carolingiens"|autres timelines]]. * [http://www.histropedia.com/ Histropedia], Transforming Wikipedia and Wikidata into the world's first timeline of everything. ==== Bibliographie (Cognition et numérique) ==== '''2017 - [[d:Q28951628|Cognition et numérique]]''' 2017 - {{bibliographie|Q28951401}} 2017 - {{bibliographie|Q28951802}} 2017 - {{bibliographie|Q28951850}} 2017 - {{bibliographie|Q28952143}} === Modèles === * <nowiki>{{inscription date | jour= 4| mois= janvier| année= 2016}}</nowiki> : {{inscription date | jour= 4| mois= janvier| année= 2016}} * [[w:Modèle:Citation|Modèle:Citation]] * [[w:Modèle:Référence nécessaire|<nowiki>{{Référence nécessaire|}}</nowiki>]]{{Référence nécessaire|}} ** [http://www.conv2pdf.com/result.php?nb=file2pdf_422586 Transformer un document en pdf] * <nowiki><!-- Texte --></nowiki> ; <!-- Ce texte ne sera pas apparent --> * <nowiki><s>{{U|nom du contributeurs}}</s></nowiki> ==== Fonctions coûteuses de l’analyseur syntaxique ==== Bonjour [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]], personnellement, '''quand une page devient trop lourde a éditer''', j'utilise dispatche son contenu en plusieurs pages pour les rassembler ensuite en les regroupant dans une seul page par inclusion en utilisant la syntaxe {{m|nom de la sous-page}} comme cela se fait sur la page [[Wikiversité:Accueil]]. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Désolé pour ma [[w:dysorthographie|dysorthographie]], [[w:dyslexie|dyslexie]] et [[wikt:distraction|"dys"traction]].} 29 décembre 2017 à 13:50 (UTC) Bonjour [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]]. Merci pour le '''conseil'''. Ce mois de décembre a été très lourd pour moi & mon cerveau regimbe un peu. Je note dans ma page perso et j'y reviendrai ultérieurement. --[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 30 décembre 2017 à 09:33 (UTC) == Une leçon collaborative {{lang|en|from}} Wikisource == === Exposants, chiffres romains, lang === '''*Exposant''' : Mgr, Mlle Monseigneur donne {{Mgr}}<br /> Mademoiselle <nowiki>{{Mlle}}</nowiki> donne Mlle<br /> Compagnie {Cie}} donne Cie<br /> Ce modèle de base '''{{ }}''' permet de mettre presque n’importe quoi en exposant Exemples : 1er, 1re, 2e, Dr, Mlle, Mme, no, nos, 1o, Cie… XVIe, pour {{pour}}, merci {{merci}}, etc… '''*chiffres romains''' {{|}} écrire dans la 1re partie rom-maj et dans la 2e partie écrire en minuscules les chiffres romains. Voici le résultat {{rom-maj|xvi}} * lorsqu’il y a un mot écrit en langue étrangère {{lang|en|boy }} « en » pour la langue anglaise, « it » pour l’italien, « lat » pour latin, etc… Bonne continuation xy. [[Utilisateur:yx|yx]] ([[Discussion utilisateur:yx|d]]) 13 février 2016 à 21:22 (UTC) Organisation par ordre alphabétique {{Ping|yx}} Bonjour yx Je comprends bien ce que vous dites, mais il me semble que pour l’exposant, on a déjà dans la barre des menus un symbole qui nous permet de le réaliser facilement : AVANCÉ. Et pour la langue, puisque cela ne change rien au produit final, '''j’aimerais comprendre le pourquoi... Les italiques ne suffisent pas?''' [[Utilisateur:xy|xy]] ([[Discussion utilisateur:xy|d]])xy :Bonjour {{u|xy}}, :Il y a plusieurs de façons de faire des exposants. Le modèle qui marche toujours est {{m|e}} (par exemple <code><nowiki>M{{e|gr}}</nowiki></code> donne M{{e|gr}}) et mais je conseille d’utiliser le modèle spécifique quand il existe (par exemple <code><nowiki>{{Mgr}}</nowiki></code> donne {{Mgr}}). Le rendu semble similaire mais il y existe de subtiles différences. Par exemple, au survol avec la souris dans le deuxième cas, l’abréviation est explicitée. :Le balisage des langues, c’est optionnel mais là encore je le conseille (et les normes du web aussi {{clin}}). Là encore dans la plupart des cas et pour la plupart des lecteurs, le rendu est similaire mais il y a des subtilité. Chez moi, les balises de langues apparaissent en vert ce qui me permet de les voir immédiatement. Chez des personnes aveugles qui utilisent un lecteur d'écran ou n’importe qui utilisant un système de lecture de texte, la balise langue permet d’amélioration ladite prononciation. :Cdlt, [[Utilisateur:zxN|V<span style="font-size:75%">zx</span>]] * [[Discussion Utilisateur:zx|^discut.]] 14 février 2016 à 11:11 (UTC) <br /> <br /> <br /> == Recherches collaboratives en cours == # [[Projet:Mémoires universitaires sous wikimedia|Projet:Mémoires universitaires sous wikimedia]] # [https://meta.wikimedia.org/wiki/Grants:IdeaLab/Mémoires_%26_thèses_collaboratives Grants:IdeaLab/Meta.wikimedia.org:Mémoires & thèses collaboratives] # [[Wikiversité:La_salle_café/février_2017#Comment_Wikiversité_se_prépare-t-elle_à_participer_à_Wikimania_2017_à_Montréal_.3F|Comment Wikiversité se prépare-t-elle à participer à Wikimania 2017 à Montréal ?]] # Relations internationales Afriques-Amériques-Asies / Caraïbes / Europe sur la prériode 1492-1815. Cette recherche est initiée à l'occasion de WikiConvention 2018. La réunion du même nom, tenue le samedi 6 octobre 2018, donne naissance, d'une part à ce groupe de recherche en definissant des objectifs par pays représentés et, d'autre part, au projet "Wikimedia et histoire" dont la page est créée sur Meta. ## [[Sujet:Um3s327xzx4s7vgs|Sur la recherche scientifique au sein des projets Wikiversité]] ## [https://meta.wikimedia.org/wiki/Wikimédia_et_Histoire/Réunion/2018/10/06 Wikimédia et Histoire/Réunion/2018/10/06] ## [https://meta.wikimedia.org/wiki/Wikimédia_et_Histoire#Contacts Wikimédia et Histoire sur Meta] # Enseignement : [http://www.chartes.psl.eu/en/node/2754 Appel à stages] pour le master "Technologies numériques appliquées à l’histoire" === Bibliographie === # [[Bases de données bibliographiques]] # [[Discussion:Bases de données bibliographiques]] === Histoire === [[Faculté:Histoire/Travaux de recherche]] # [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]] === Socio-anthropologie === [[Faculté:Socio-anthropologie/Travaux de recherche/Anthropologie]] # [[Recherche:À propos de l'universalité des droits de l'homme]] # [[Discussion Recherche:À propos de l'universalité des droits de l'homme]] === Anthropologie sociale et culturelle === # '''Doctorant ''': [[Utilisateur:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] : [[Recherche:Ce_que_nous_enseigne_le_mouvement_Wikimedia|Travail de recherche : Ce que nous enseigne le mouvement Wikimédia]] === Sports === # [[Méthodes_d'éducation_physique_en_Europe_aux_XIX°_et_XX°_siècles/Le_sport|Méthodes d'éducation physique en Europe aux XIX° et XX° siècles : Le sport]] === Autres discussions === # [[Discussion Recherche:Déclaration des droits des internautes#Comment collaborer sur le thème "Déclaration des droits des internautes"|Comment collaborer sur le thème "Déclaration des droits des internautes"]] # [[Projet:Wikiversité/Flow 2#Sous quelles conditions ?|Projet:Wikiversité/Flow 2]] == Mon cabinet d'histoire == * [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire 2|Mon cabinet d'histoire 2]] * [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Méthodologie|Méthodologie]] === Maurice de Saxe === * [[Utilisateur:Ambre Troizat/Maurice de Saxe|Maurice de Saxe]] === Chants de Marins === * [[Utilisateur:Ambre Troizat/Chants de Marins|Chants de Marins]] == De la révolution anti-esclavagiste de Saint-Domingue == [[Fichier:Agostino Brunias - The linen market at Saint-Domingue, 1804.png|100px|vignette|gauche|Agostino Brunias - Gens de couleur autour d'un marché de tissus, Saint-Domingue, 1804<ref>Una pareja de Mulatos en Saint-Domingue. [https://journals.openedition.org/nuevomundo/9973 The linen market at St.Domingo], grabado/pintura de Agostino Brunias. Londres: John P. Thompson, 1804. Col. Barbados Museum & Historical Society. Tomado de: The Atlantic Slave Trade and Slave Life in the Americas: A Visual Record.</ref>]] === Bibliographie (Indépendance / Emancipation des colonies === * 1793 - {{bibliographie|Q19094713}} <!-- 1793 - (en) Jeremy Bentham, Emancipate your colonies! --> == ...A l'émergence de la République de Haïti == * 1805 - {{bibliographie|Q90267914}} <!-- Jean Abeille, Essai sur nos colonies et sur le rétablissement de Saint Domingue --> === Recueil général des lois et actes du gouvernement d'Haïti === * Haiti (Republic); Linstant-Pradine, A., d 1884, from old catalog ed; Linstant, S., from old catalog ed; Édouard, Emmanuel, 1858- from old catalog ed.- "''[https://archive.org/search.php?query=Recueil%20général%20des%20lois%20et%20actes%20du%20gouvernement%20d%27Ha%C3%AFti Recueil général des lois et actes du gouvernement d'Haïti : depuis la proclamation de son indépendence jusqu'à nos jours]''". Volumes. 2-6 par A. Linstant-Pradine ; Volumes. 7-8 have title: Recueil général des lois & actes du gouvernement d'Haïti et documents historiques. Mis en order et publiés par Emmanuel Édouard. Paris, Pedone-Lauriel, 1888. {{BNF|32849728b}}. # [https://archive.org/details/recueilgnral07hait/page/n6 Tome 1], [[w:1804|1808]] — [[w:1808|1808]]. Préface "Donné au quartier general du Fort-Dauphin , le 29 novembre 1803. Signé : [[w:Jean-Jacques Dessalines|Dessalines]], [[w:Henri Christophe|Christophe]], [[w:Augustin Clerveaux|Clervaux]]. B., Aimé, secrétaire. # [https://archive.org/details/recueilgnral06hait/page/n6 Tome 2], [[w:1809|1809]]-[[w:1817|1817]], par A. Linstant-Pradine, # [https://archive.org/details/recueilgnral05hait/page/n8 Tome 3], [[w:1818|1818]]-[[w:1823|1823]], par A. Linstant-Pradine # [https://archive.org/details/recueilgnral04hait/page/n5 Tome 4], [[w:1824|1824]]-[[w:1826|1826]], par A. Linstant-Pradine # [https://archive.org/details/recueilgnral03hait/page/n5 Tome 5], [[w:1827|1827 ]]-[[w:1833|1833]], par A. Linstant-Pradine # [https://archive.org/details/recueilgnral02hait/page/n8 Tome 6], [[w:1834|1834]]-[[w:1839|1839]], par A. Linstant-Pradine # [https://archive.org/details/recueilgnral01hait/page/n6 Tome 7], [[w:1840|1840]]-[[w:1843|1843]], Mis en order et publiés par Emmanuel Édouard # [https://archive.org/details/recueilgnral00hait/page/n3 Tome 8], [[w:1843|1843]]-[[w:1845|1845]], Mis en order et publiés par Emmanuel Édouard == Organisation par ordre alphabétique == == Classement alphabétique == '''<big>Refaire le modèle</big>''' == À == == À == [[Fichier:Fra Luca Pacioli Letter A 1509.jpg|100px|vignette|centre]] === A faire === <nowiki>{{BNF|}}</nowiki> == A traiter, suite à la perte des fichiers == * La page "Mon cabinet d'histoire" étant introuvable, je tiens un journal de bord * 22 décembre 2022, la page a été retrouvée et se nomme [[Ambre Troizat/Mon carnet de notes 2|Ambre Troizat/Mon carnet de notes 2]] Nombre de mots par page '''Article court''' — figures, tableaux et références comprises * Jusqu'à 10 pages, environ 4000 mots. Soit 400 mots par page '''Article long''' — figures, tableaux et références comprises * Jusqu'à 30 pages, environ 12000 mots. Soit 400 mots par page * 3000 signes<ref>Mais dans la réalité, parce qu’il y a des sauts de paragraphes ou des dialogues, votre manuscrit au format A4 contiendra environ 2500 signes par page. Donc un livre de 150 pages peut être estimé à 375 000 signes. [https://sefairepublier.wordpress.com/2015/10/12/comment-calculer-le-nombres-de-signes/ Comment calculer le nombres de signes ?]</ref> * Voir un [https://humanumwebsem.sciencesconf.org/data/Modele_article_hnws.zip format LaTeX ou Word recommandé]. === Mercredi 14 décembre 2022 === ; [https://fr.wikiversity.org/wiki/Sujet:X83dz2ne7qarnx95 J'explique mon travail] ''Hérisson grognon'' : Je ne crois pas que Wikiversité soit ouverte à héberger des pages servant simplement à la coordination de séminaires. Préférez plutôt des pads collaboratifs. Pour ce qui est de l'"histoire économique et sociale", on peut ajouter une section à la page Faculté:Histoire/Travaux de recherche.<br /><br />''Ambre Troizat'' : Je notifie @Psychoslave qui est contributeur à ma recherche.<br />Il ne s'agit pas de coordination de séminaires mais de partage de savoirs. Ces pages sont à destination des Wikimédiens au sens large. Pour l'instant il s'agit de comprendre "ce que l'outil numérique fait à la recherche en sciences humaines et sociales" et comment Wikiversité peut s'inscrire dans le mouvement de dématérialisation de la recherche. En d'autres termes, Comment Wikiversité peut devenir créateur de savoir.<br />Peut-être qu'il s'agit d'une page leçon tout simplement ???<br /><br /> En ce moment, je prends des notes à partir de la Série d'Arte :<br />Le monde et sa [[w:Propriété|propriété]] (2/4) - Mon corps est à moi<br /><<nowiki>https://www.arte.tv/fr/videos/103552-000-A/le-monde-et-sa-propriete-2-4/</nowiki>><br />Cette série fonctionne comme un séminaire et expose la question de la propriété (et donc de l'esclavage) sous l'angle du droit naturel (Le monde et sa [[w:Propriété|propriété]] (1/4)). Je ne peux pas me dispenser du travail long et fastidieux de prendre des notes. Il est dommage de ne pas partager cette connaissance de niveau recherche scientifique et qui ne peut aboutir qu'à de l'inédit. C'est le moment d'apprendre à collaborer dans un laboratoire.<br />Il est certain que je pourrais me contenter de mettre un lien vers la page du séminaire et signaler comme je le fais déjà sur ma page de discussion. Mais, cela ne crée aucun savoir. Pire, ces pages de discussion sont rarement lues. Il faut drôlement secouer le cocotier.<br /><br />Le contenu des pads collaboratifs devront être inclus dans un travail de thèse, de toutes les manières. Il s'agit de dire où et comment on a acquis du savoir. Il vaudrait mieux créer une page de note dès le début et sur Wikiversité. C'est comme ça que je travaille et que je parle de mon travail.<br />Je vais voir s'il est possible de créer ce type de page sur Wikipédia ? Mais, vu les difficultés que j'ai depuis le début de mon travail avec l'inédit, je ne pense pas que ça va le faire.<br /><br />Ajouter une section à la page Faculté:Histoire/Travaux de recherche.<br />Sur ce modèle : Faculté:Histoire/Travaux de recherche/Histoire économique et sociale ?<br /><br />On observe sur la page que ma recherche est dans le Département:Histoire contemporaine. Elle devrait appartenir au [[Département:Histoire moderne]].<br /> Je déborde de par et d'autre de cette période parce que :<br />1) l'esclavage à commencé dès que les humains ont eu besoin de maîtriser l'énergie. Et l'énergie humaine est renouvelable (grâce à la nourriture) et stable si les individus sont en bonne santé.<br />2) La France a aboli l'esclavage en 1848 parce que l'Humanité avait commencé à exploiter des énergies fossiles et donc elle a inventé le salariat. Aujourd'hui, l'esclavage est juridiquement aboli dans la plupart des pays mais : La fondation Walk Free estime à 45 millions le nombre de victimes d'esclavage dans le monde <<nowiki>https://www.geo.fr/geopolitique/esclavage-moderne-ces-pays-qui-pratiquent-toujours-lesclavage-212759</nowiki>>. Donc, la traite et l'esclavage perdurent encore et ma recherche ne peut pas se clore avant "nos jours".<br />Je cite un site externe pour souligner qu'un travail de recherche doit obligatoirement utiliser des ressources humaines externe au système wikimédien. Ce que je fais est suffisamment wikifié puisque je participe par mes recherches à l'amélioration des autres projets tout comme je souhaite participer à l'amélioration de Wikiversité à condition que mon travail soit reconnu et respecté.<br /><br />Il ne faut pas croire que mon niveau de recherche ne soit pas intéressant. J'ai hâte de commencer à rédiger. Mais les conditions de rédaction ne sont pas optimales sur Wikiversité.<br />J'ai en ce moment un fil de discussion sur [[La salle café]] à propos de mes pages perdues et particulièrement des pages perso et des notes. Je ne sais pas comment ma page de notes et ma page de notes concernant Joseph Bologne de Saint-George ont pu disparaître des radars. Mais, il faut les retrouver. Et je ne sais pas faire toute seule. Pour l'instant, je checke à partir des images. Toutes les images !<br />Je devrais peut-être mettre ces réflexions sur [[La salle café]] ?<br />Je copie ceci sur ma page perso pour réduire le stress de la perte.<br /><br />Bel bonjour.|Sujet sur Discussion utilisateur:Ambre Troizat, Création d'une page de recherche sur Wikiversité : [https://fr.wikiversity.org/wiki/Sujet:X83dz2ne7qarnx95 J'explique mon travail].}} === 13 décembre 2022 === <big>'''sauvegarde problématique'''</big> Mon cabinet d'histoire ou page perso est à recréer. Toutes les images ont été vérifiées au 13 décembre 2022. === 10 décembre 2022 === === Ce qui fonctionne === [[Utilisateur:Ambre Troizat|Première page utilisateur]]. '''<big>A reconstruire</big>'''. Confusion avec "page perso" * [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]] * [[Spécial:Journal/Ambre_Troizat|Tous les journaux publics]] === 1637-1799 - Crises, Révolutions et systèmes énergétiques === # [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Crises,_Révolutions_et_systèmes_énergétiques|1637-1799 - Crises, Révolutions et systèmes énergétiques]] ou 1637-1745 - Crispijn van de Passe.- Flora's Mallewagen, la première crise du capitalisme (Persée et Andromède). '''Confusion levée'''<ref>Inclure la création de la banque de France</ref>. Ok, ça fonctionne === La monarchie française === ==== Louis XIV page à retrouver ==== [[Fichier:Netherlandish School - Ships Laid Up in the Medway - BHC0832 - Royal Museums Greenwich.jpg|100 px|vignette|gauche|[[d:Q4233718|Anonyme]].- Un port vers vers 1675, Royal Museums Greenwich]] Louis XIV - [[w:Code noir|Code noir, fr.Wikipedia]]<ref>[[w:Décret d'abolition de l'esclavage du 4 février 1794|Décret d'abolition de l'esclavage du 4 février 1794]]</ref>. A retrouver * [[c:User:Ambre_Troizat/L'esclavage_invention_de_l'Humanité|L'esclavage invention de l'Humanité (commons.wikimedia.org)]] * [https:///wiki/Slavery Slavery] ; [[c:Slavery|Slavery (commons.wikimedia.org)]] * [[Utilisateur:Ambre Troizat/Projet "Edit de 1685"|Projet "Edit de 1685"]] * [[w:Utilisatrice:Ambre Troizat/Todo/Exposition 10 mai 94120 2013|2013 - Exposition 10 mai 94120 (Wikipédia)]] * [[w:Wikipédia:Mois de la contribution/2016/Code Noir, le pouvoir des mots|2016 - Mois de la contribution "Code Noir, le pouvoir des mots" (Wikipédia)]] * [[w:Wikipédia:Mois de la contribution 2017/Saint-Claude|2017 - Mois de la contribution, Saint-Claude (Wikipédia)]]] ==== Louis XV "le Bien-Aimé", 15 février 1710 – 10 mai 1774 ==== [[Fichier:Karel van III Mander (1610-1670), Hoved af en afrikaner, 1624-1670.png|100px|vignette|gauche|Karel van III Mander (1610-1670).- L'Africain.e à la perle, Danmark, entre 1624 et 1670]] [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire/Louis XV "le Bien-Aimé", 15 février 1710 – 10 mai 1774|1710-1774 - Louis XV "le Bien-Aimé", 15 février 1710 – 10 mai 1774]]. Ok, ça fonctionne === Bologne Guadeloupe === * [[Utilisateur:Ambre Troizat/BologneGuadeloupe|Bologne Guadeloupe sous Louis XV]] === Joseph Bologne de Saint-George === ==== Contributions sur des pages de discussion et sur les différents bistrots ==== {{Citation bloc|Saint-George aurait-il deux corps ?<br />Chercher double corps du christ, [[w:Théologie|Théologie]]. Les rois, au Moyen Âge pouvait aussi avoir un double corps. Cf. [[w:Les Deux Corps du roiLes Deux Corps du roi]].<br />Joseph Bologne de Saint-George (Q726953), être humain et Chevalier de Saint-George (Q726953), être humain, désignant la même personne les deux items ne devraient-ils pas être fusionnés ?<br /> * Chevalier de Saint-George est un titre de chevalerie, la porte d'entrée dans la noblesse et le statut qui permet d'accéder à certaines fonctions dans les cours de la famille royale. Il faut donc désigner la personne par un titre unique. Les égos peuvent se satisfaire des broderies à l'infini, cela ne cachera pas le fait qu'il est de toutes les manières difficile de trouver des informations sur le personnage.<br /> * Joseph est son prénom<br /> * Bologne est le nom de son père putatif et maître, c'est-à-dire propriétaire de sa personne, à la Guadeloupe. Les [[w:Rhums Bologne|Rhums Bologne]] existent toujours à la Guadeloupe. L'histoire est très bien résumée sur [[w:Rhum_Bologne#Histoire|Wikipédia]]. S'il porte ce nom, c'est que ce père putatif l'aurait autorisé à le faire. Mais pas de traces de son affranchissement autre que par le droit du sol lors de son arrivée à Bordeaux. Le tout parfaitement documenté sur Joseph Bologne de Saint-George.<br /> * de Saint-George rappelle qu'il a été fait chevalier. Le document qui le prouve a été mis par moi sur Commons et sur Wikipédia. Où est-il aujourd'hui ? Je ne sais. Il est donc redondant d'ajouter "Chevalier Saint-George" comme le fait aujourd'hui [[w:Joseph Bologne de Saint-George|Wikipédia]].<br /> * Il n'y a rien d'inédit dans ce que je viens de dire. Le tout a été documenté il y a des années.<br /> La fusion est-elle possible ?|Sujet sur Wikidata:Bistro "Joseph Bologne de Saint-George, Chevalier de Saint-George"<ref>Saint-George aurait-il deux corps ? <<nowiki>https://www.wikidata.org/wiki/Topic:X8s4o9lyy53ry2lf</nowiki>></ref>}} {{Citation bloc|Oui, [[w:Utilisateur:Apollinaire93|Apollinaire93]], Il y a du travail inédit dans [[w:Joseph Bologne de Saint-George|cette page]] qui devrait être transféré sur Wikiversité.<br />1) je ne sais pas le faire,<br />2) Les problèmes persisteraient.<br />Je suis disponible pour participer à une réécriture du texte en fonction des besoins de fr.Wikipédia. Des éléments de en.Wikipédia peuvent être discutables.<br />Ce que je propose, c'est de transférer sous Wikiversité en premier lieu, puis créer une page "Le Chevalier de Saint-George (musicien), en plus d'une page Joseph Bologne de Saint-George remaniée. Cela éclaircirais les choses.<br />Il existe des sources secondaires, des fichiers sur Commons, des éléments sur Wikidata<ref>[https://www.wikidata.org/w/index.php?fulltext=1&search=Joseph%20Bologne%20de%20Saint-George&title=Special%3ASearch&ns0=1&ns120=1 Wikidata] </ref>et [[d:Q28143744|Liste des œuvres de Joseph Bologne de Saint-George]]. Cette liste se trouve à [http://imslp.org/wiki/List_of_works_by_Joseph_Bologne_Saint-Georges cette adresse].<br />Il faut savoir qu'il y a des conflits à propos du nom de Saint-George : George avec ou sans s ; [[d:Q726953|Joseph Bologne de Saint-George]] est le nom qui me semble le plus convénient]<ref>[https://www.academie-francaise.fr/convenient convénient</ref> et l'un des premiers résultats de ma recherche.<br />Je suis tout juste à commencer le travail d'écriture. Je ne peux pas en être à réécrire pour un grand public, d'une part.<br />D'autre part, mes travaux de recherche ne sont pas encore réutilisables sans mon accord. C'est la raison pour laquelle je n'apporte que des modifications sur cette page.<br />Au plaisir de vous lire.<br />TI ne fonctionne pas avec Wikipédia mais fonctionne très bien avec la recherche sur Wikiversité.<br />Pour ce qui concerne mon travail, tout a été référencé quand j'ai créé mon texte et Wikipédia a évolué depuis.<br />Vous pouvez mettre des "refnec", si vous le souhaitez, "refnec" est compris par Wikiversité.<br />Mais, cela correspondrait à une relecture de votre point de vue.<br />Je dois déjà reprendre toutes les références parce qu'elles ont été modifiés par des modèles que je n'utilise pas, mes références scientifiques devant toutes être sur Wikidata. Cela me complique la tâche. |[[w:Discussion:Joseph_Bologne_de_Saint-George#Travail_inédit_?|Wikipédia, Discussion:Joseph Bologne de Saint-George, Travail inédit ?]]}} ==== Joseph Bologne de Saint-George recherche des pages ==== ;Recherche du 14 décembre 2022 ;[https://fr.wikiversity.org/w/index.php?search=Joseph+Bologne+de+Saint-George&title=Sp%C3%A9cial%3ARecherche&ns0=1&ns104=1&ns106=1&ns108=1 ‎Joseph Bologne de Saint-George, un écosystème dans l’industrie des Arts, 1745-1799] # [[Utilisateur:Ambre Troizat/Ouvrages à propos de Saint-George|1745 à nos jours : Ouvrages à propos de Saint-George]] # [[Utilisateur:Ambre Troizat/Joseph Bologne de Saint-George sous Louis XV, 1745-1774|1745-1774 - Joseph Bologne de Saint-George sous Louis XV, 1745-1774]] ## [[Utilisateur:Ambre Troizat/Saint-George : trajectoires en France & en Europe|Saint-George : trajectoires en France & en Europe]] ## [[Utilisateur:Ambre Troizat/Joseph, sujet du roy de France, de la servitude à la chevalerie|Utilisateur:Ambre Troizat/Joseph, sujet du roy de France, de la servitude à la chevalerie]] # [[Utilisateur:Ambre Troizat/Joseph Bologne de Saint-George sous Louis XVI, 1774-1793|Joseph Bologne de Saint-George sous Louis XVI, 1774-1793]] # Joseph Bologne de Saint-George # [[Utilisateur:Ambre Troizat/La Révolution française en 1790|La Révolution française en 1790 : Nsdt]] # [[s:Utilisatrice:Ambre Troizat/Le Chevalier de Saint-Georges de Beauvoir|Roger de Beauvoir.- Le Chevalier de Saint-Georges (Wikisource)]] ==== Là où git le problème ? ==== * 17 octobre 2022 à 20:55 diff hist −52‎ Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire ‎ →‎Conditions sociales comparées : Joseph Bologne de Saint-George est ses contemporains afridescendants des {{S|XVIII}} & {{S|XIX}}). <big>'''Ne fonctionne pas'''</big> * 11 décembre 2022 à 20:31 diff hist −6 436‎ Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire ‎ Contenu remplacé par « ;Carnet de notes avec classement par ordre alphabétique # Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages. Carnet de notes. Confusion avec "Utilisateur:Ambre Troizat, » Balise : <big>'''Contenu remplacé'''</big> === Joseph Bologne de Saint-George sous Louis XVI === ==== 1737-1813 - Louis XVI, Parmentier et la pomme de Terre ==== * 1754-1793 - Louis XVI * 1737-1813 - [[w:Antoine Parmentier|Antoine Parmentier]], pharmacien, agronome, nutritionniste et hygiéniste français des XVIIIe et XIXe siècles. * 1773 -Sous le règne de Louis XV (1710-1774), [[w:Antoine Parmentier|Antoine Parmentier]] entreprend une action de popularisation de la pomme de terre et cette appellation s’applique désormais à Solanum tuberosum "le nom de pomme de terre s’est définitivement appliqué à Solanum tuberosum notamment sous l’action de popularisation de ce tubercule entreprise. Le terme "Pomme de terre" entre dans le dictionnaire de l’Académie française dans sa sixième édition en 1835<ref>Pomme de terre, Plante du genre des Solanums, dont les racines sont garnies d'une multitude de tubercules bons à manger, auxquels on donne le même nom (...) Pomme de terre rouge, jaune (...) pommes de terre. Pain de Pommes de terre, pommes de terre bouillies, frites. 6e édition du Dictionnaire de l'Académie française, Tome 2 <<nowiki>https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k50408v/f457.item#</nowiki>>,</ref>. * [[La pomme de terre « Belle de Fontenay »]] * [[w:Belle de Fontenay|Belle de Fontenay]] === 1802-2009 - De Alexandre Dumas à Michaël Jackson en passant par Gratien Candace === [[Utilisateur:Ambre Troizat/Deuxième partie avec Michaël Jackson|1802-1895 - Des Alexandre Dumas à Michaël Jackson en passant par Gratien Candace]] [[Utilisateur:Ambre Troizat/Alexandre Dumas, pères & fils|1802-''2009 / 1824''-1895 - Alexandre Dumas, pères & fils]] [[Utilisateur:Ambre Troizat/Gratien Candace (1870-1953)|1870-1953 - Gratien Candace]] [[c:Gratien Candace|1870-2023 - Gratien Candace (Commons)]] [[Utilisateur:Ambre Troizat/1958-2009 - Michaël Jackson, un écosystème dans l’industrie des Arts|1958-2009 - Michaël Jackson, un écosystème dans l’industrie des Arts]] === Recherche scientifique avec les projets Wikimedia === [[Utilisateur:Ambre Troizat/Recherche scientifique avec les projets Wikimedia|Recherche scientifique avec les projets Wikimedia]]. '''<big>A reconstruire à partir de plusieurs pages</big>'''. === Bibliographie === * [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages. Annexe Bibliographie]] * [[Utilisateur:Ambre Troizat/Les récits de voyage comme source|Voyages scientifiques et récits de voyage comme sources primaires]] == Ce qui ne fonctionne pas au 11 décembre 2022, 23:05 == ;Carnet de notes avec classement par ordre alphabétique # [[Utilisateur:Ambre_Troizat#Mon_cabinet_d'histoire|Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages. Carnet de notes]]. Confusion avec "[[Utilisateur:Ambre Troizat]], ;1745-1799 - Joseph Bologne de Saint-George, un écosystème dans l’industrie des Arts. Lien cassé. A retrouver. # [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire|1745-1799 - Joseph Bologne de Saint-George, un écosystème dans l’industrie des Arts]]. Lien cassé. A retrouver. <br /> * '''Dernier usage''' : 4 décembre 2022 à 19:23 diff hist +190‎ Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire ‎ → ‎Joseph Bologne de Saint-George, un écosystème dans l’industrie des Arts, 1745-1799 : Joseph Bologne de Saint-George sous Louis XV, 1745-1774 * '''Dernier usage 2''' : 6 juillet 2022 à 17:38 diff hist +212‎ Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire/Louis XV "le Bien-Aimé", 15 février 1710 – 10 mai 1774 ‎ →‎Le déclin de l'empire colonial sous Louis XV : Joseph Bologne de Saint-George sous Louis XV, 1745-1774 ;10 décembre 2022 : Message aux administrateurs [[Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2022#Restaurer ou retrouver une page]]Lien permanent [[Spécial:Lien_permanent/888820#Restaurer ou retrouver une page]] ;11 décembre 2022 Recherche : [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire|Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire reconstruction de la page perso]]. Ok, ça fonctionne. <big>'''Retrouver la trace de toute urgence'''</big> : [[Utilisateur:Ambre Troizat/1745-1799 - ‎Joseph Bologne de Saint-George, un écosystème dans l’industrie des Arts|1745-1799- ‎Joseph Bologne de Saint-George, un écosystème dans l’industrie des Arts]]. Pointe vers ? -*-*-*-* -*-*-*-* # [[w:Utilisateur:Ambre_Troizat/Adaptation du plan classique des projets Wikimedia|Adaptation du plan classique des projets Wikimedia]] # [http://cths.fr/an/societe.php?id=4009&fbclid=IwAR2Lb5YoZdUTYlVCB-uxJJWEkeCom668Nbl67ZfSyYcDhU7g0ZKwOvRZ1wE Société d'histoire de Saint-Georges et Dalayrac - Fontenay-sous-Bois] # [https://en.wikibooks.org/wiki/How_to_Write_a_Research_Paper_in_History How to Write a Research Paper in History] # [[Aide:Comment créer un travail de recherche|Aide : Comment créer un travail de recherche]] -*-*-*-* # Œuvre : édition # Version... : édition ou traduction de == Base de données == === Wikipedia === * {{fr}} [[w:Guadeloupe|Guadeloupe]], [https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Guadeloupe&oldid=35415 17 mars 2003 à 15:22‎] * {{fr}} [[w:Charles Houël|Charles Houël]], [https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Charles_Hou%C3%ABl&oldid=5665786 19 février 2006 à 08:42]‎ == Le plan, 19 septembre 2022 == [[File:Archives of American Art - Abraham Lishinsky - 2236 CROPPED.jpg|100px|vignette|gauche|Trouvé sur[[d:Wikidata:WikiProject sum of all paintings|Wikidata:WikiProject sum of all paintings]] avec le titre : "We have lots of work to do, please join us!"]] ;Le plan, 28 novembre 2021 * Modification du plan le 28 novembre 2021, 17:05 # [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Introduction|Introduction]] # [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Première partie avec Saint-George|Première partie avec Saint-George]] # [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire#La_traversée_du_long_dix-neuvième_siècle_(1799-1948)|La traversée du long dix-neuvième siècle]] # [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Deuxième_partie_avec_Michaël_Jackson|Deuxième partie avec Michaël Jackson]] # [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Chercheur dans l’univers wikimédien|Chercheur dans l’univers wikimédien]] # [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Conclusion|Conclusion]] == A uploader sur Wikidata, Commons, Wikisource == <nowiki>{{BNF|}}</nowiki> '''<big>Modifier</big>''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Permission_en_1748_pour_Mme._St-Georges_d%E2%80%99ammener_Nanon_et_Joseph_en_France.jpeg Permission donnée à Madame Saint-Georges Bologne d’ammener Nanon et Joseph en France] ([https://www.wikidata.org/wiki/Q19223131 Q19223131]) '''<big>Mettre à Joly de Fleury</big>''' * 1881 - {{bibliographie|Q107110690}} <!-- Inventaire sommaire de la collection Joly de Fleury --> === Samuel Freiherr von Pufendorf, Jean Barbeyrac.- “Le” droit de la nature et des gens === # [http://www.sudoc.abes.fr/cbs/DB=2.1/SET=1/TTL=11/NXT?FRST=1 Samuel Freiherr von Pufendorf, Jean Barbeyrac.- “Le” droit de la nature et des gens, Sudoc] # Samuel Freiherr von Pufendorf, Jean Barbeyrac.- “Le” droit de la nature et des gens, ou, Systeme general des principes les plus importans de la morale, de la jurisprudence, et de la politique, Volume 1, 1734 # Le droit de la nature et des gens, ou Systeme general des principes les plus importants de la moral, de la jurisprudence et de la politique. Par le baron de Pufendorf, traduit du latin par Jean Barbeyrac. ... avec des notes du traducteur; & une preface qui sert d'introduction a tout l'ouvrage, [https://archive.org/details/bub_gb_kJ1bWFaeiYAC/mode/2up tome second, 1740], Internet Archive == François Laurent.- Histoire du droit des gens et des relations internationales == [[File:Kreyatif.jpg|Culture|200px|right]] # François Laurent.- Histoire du droit des gens et des relations internationales, Orient, Grèce, Rome : (FR-BNF 30751308f). 3 volumes : 1- L'Orient, {{Gallica|bpt6k5834159z}} : 2 - La Grèce, {{Gallica|bpt6k58360048}} ; 3 - Rome, {{Gallica|bpt6k5834128d}}. [https://archive.org/search.php?query=Histoire%20du%20droit%20des%20gens%20et%20des%20relations%20internationales François Laurent.- Histoire du droit des gens et des relations internationales, Internet Archives] # [https://archive.org/details/histoiredudroit10laurgoog Tome I, L'Orient, 1850] # [https://archive.org/details/histoiredudroit17laurgoog Tome XI, la politique royale, 1865] # [https://archive.org/details/histoiredudroit15laurgoog Tome XIII, La Révolution française, 1867] # [https://archive.org/details/histoiredudroit00unkngoog Tome XIV, La Révolution française, deuxième Partie, 1868] # [https://archive.org/details/histoiredudroit14laurgoog Tome XVII, La religion de l'avenir, 1870] # François Laurent.- [https://www.google.fr/books/edition/%C3%89tudes_sur_l_histoire_de_l_humanit%C3%A9_La/wVNGAAAAYAAJ?hl=fr&gbpv=1&dq=esclavage+%2B+crime+%2B+humanit%C3%A9&pg=PA50&printsec=frontcover SUR L HISTOIRE DE L HUMANITÉ LA PHILOSOPHIE De l'HISTOIRE PAR F LAURENT PROFESSEUR А L UNIVERSITÉ DE GAND ÉTUDES], Études sur l'histoire de l'humanité: La philosophie de l'histoire. 1870. == Droit naturel + esclavage == * Page Wikipédia à corriger : [[w:Privilège de la terre de France|Privilège de la terre de France]] * Payer pour être citoyen, c'est le principe de l'impôt. C'est ce que faisaient les esclaves au XIXème siècle quand ils en avaient les moyens. Sortir du droit naturel pour entrer dans l'espace du droit civil c'est se couper des droits économiques naturels pour entrer dans l'espace marchand et financiarisé. * 1865 - {{bibliographie|Q106781910}}, <nowiki>{{Gallica|bpt6k96258538|page=137}}</nowiki> <!-- Revue critique de législation et de jurisprudence --> * 1865 - {{bibliographie|Q106781910}}, {{Gallica|bpt6k96258538|page=137}} <!-- Revue critique de législation et de jurisprudence --> * [https://www.google.com/search?tbm=bks&q=%C3%A9galit%C3%A9+%2B+droits+naturels Egalité + droits naturels] == Le droit du seigneur == [[Fichier:Le droit du Seigneur by Vasiliy Polenov.jpg|100px|gauche|vignette|Vasiliy Polenov.- Le droit du Seigneur]] [[w:Vassili Polenov|Vassili Polenov]] * 1779 - {{bibliographie|Q23937513}} <!-- Édit portant suppression du droit de main-morte et de servitude --> ** 1996 - {{bibliographie|Q26158057}} <!--Un épisode important et méconnu du procès du régime seigneurial en France --> ==== Ouvrages à créer sur Wikidata ==== '''Victor Buot (1822-1883)''' * 1879 - Victor Buot (1822-1883), d'après l'opéra-comique de Léon Vasseur (1844-1917), Coquelicot-valse (pour piano) par Olivier Métra.- Le droit du seigneur : grande valse pour piano, Musique imprimée, {{BNF|41333803q}} '''Léon Vasseur (1844-1917)''' * 1881 - Léon Vasseur (1844-1917).- Le Droit du Seigneur, Léon Vasseur, arrangé pour musique militaire par Léon Valentin {{BNF|43316127c]] ; <https://imslp.org/wiki/Le_droit_du_seigneur_(Vasseur,_L%C3%A9on)> * Léon Vasseur (1844-1917).- Fichue Idée ! Opérette en 1 acte. N° 2. Chanson de la négresse (Air populaire). Paroles de Lucien Puech, musique de Léon Vasseur, {{BNF|433161470}} == Edit du roy, concernant les esclaves nègres des Colonies == [[Fichier:Louis XV - Edit du roy, concernant les esclaves nègres des Colonies, octobre 1716.png|100px|vignette|gauche|1716 -Louis XV, Le Régent.- Edit du roy, concernant les esclaves nègres des Colonies, octobre 1716]] [[Fichier:Louis XV - Edit du Roy concernant les esclaves nègres des colonies donné à Paris au mois d'octobre 1716, p1, Manioc, SCD Université Antilles.png|100px|vignette|gauche|1716 - Louis XV, Le Régent.- Edit du Roy concernant les esclaves nègres des colonies donné à Paris au mois d'octobre 1716]] '''Document de référence''' * 1716-1738 - {{bibliographie|Q107214589}}, <!-- Edit du Roy concernant les esclaves nègres des colonies donné à Paris au mois d'octobre 1716 --> * 1738 - {{bibliographie|Q107214589}}, [https://www.wikidata.org/wiki/Q87921376 Edit concernant les Esclaves des Colonies de 1685 & 1716] (Q87921376) {{bibliographie|Q87921376}} <!-- Edit du Roy concernant les esclaves nègres des colonies donné à Paris au mois d'octobre 1716 --> * 1777 - {{bibliographie|Q110636902}} <!-- Arrêt du Conseil d'état du Roi, concernant le retour des noirs, mulâtres ou autres gens de couleur aux colonies --> * '''A créer sur Wikidata''' : Livre:Edit Concernant les Esclaves des Colonies du mois d'octobre 1716 Registré au Greffe du Conseil Supérieur du Cap le 3 février 1717.djvu <https://books.google.fr/books?id=aVWiqfUq32YC&lpg=PA435&ots=bnuL_8g-Rr&dq=Edit%20concernant%20les%20Esclaves%20des%20Colonies%20qui%20seront%20conduits%20ou%20envoy%C3%A9s%20en%20France%20par%20leurs%20Ma%C3%AEtres.&hl=fr&pg=PA434#v=onepage&q&f=false>. * <https://books.google.fr/books?id=aVWiqfUq32YC&lpg=PA435&hl=fr&pg=PA434#v=onepage&q&f=false> * Recueil général des anciennes lois françaises depuis l'an 420 ..., Volume 15 * Paris 25 octobre 1716 Archiv Edit concernant les esclaves nègres des colonies Paris octobre 1716 Reg PP 7 décembre Aix 2 Besançon 24 nov Bordeaux jer décemb Dijon 7 Grenoble 2 Metz 26 novemb Rouen 3 cons souv d Alsace 20 Archivi Mureau de SaintMéry II 525 Louis etc Depuis notre avènement à la couronne nos N 102 i <https://books.google.fr/books?id=z_JQAAAAcAAJ&pg=PA122&#v=onepage&q=Edit%20concernant%20les%20esclaves&f=false>. ------ [[Fichier:Édit portant suppression du droit de mainmorte, et de la servitude personnelle, dans les domaines du Roi, 1779.png|100px|vignette|gauche|1779 - Édit portant suppression du droit de mainmorte, et de la servitude personnelle, dans les domaines du Roi, 1779]] ------ '''A modifier sur Wikisource''' ** '''Document à modifier''' : [https://www.wikidata.org/wiki/Q87921376 Edit concernant les Esclaves des Colonies de 1685 & 1716] (Q87921376) {{bibliographie|Q87921376}} ------ ## Edit du roy, concernant les esclaves nègres des Colonies <https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9618765s/f212.item> {{BNF|451688508}}. # Edit concernant les Esclaves qui seront conduits ou envoyés en France par leurs Maîtres des Colonies, (Q23692477) {{bibliographie|Q23692477}} # '''Recueil des declarations, edits, lettres patentes, et arrets du Conseil d'Etat du Roi''', enregistrés au Parlement de Dijon ## Edit du roy, concernant les esclaves Nègres des colonies<br /><https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9618765s/f212.item.r=%C3%89dit%20royal%20d'octobre%201716%20concernant%20les%20esclaves%20n%C3%A8gres%20des%20colonies>. {{BNF|451688508}} ------ * [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Bibliographie_du_XVIIIè_siècle/1750#Nouveau_commentaire_sur_l'ordonnance_de_la_marine_du_mois_d'août_1681,_1760-1841|Nouveau commentaire sur l'ordonnance de la marine du mois d'août 1681, 1760-1841]] Nouveau commentaire sur l'ordonnance de la marine par M. René-Josué Valin <https://archive.org/details/Edit1685-1716CodeNoir/page/n3/mode/2up?view=theater> == Louis Rondonneau.- Table générale par ordre alphabétique de matières, des lois, 5 mai 1789 - 1er avril 1814, 1816 == # [https://www.google.fr/books/edition/Table_g%C3%A9n%C3%A9rale_par_ordre_alphab%C3%A9tique/IkVHAAAAcAAJ?hl=fr&gbpv=1&dq=Arr%C3%AAt%C3%A9+concernant+le+retour+des+propri%C3%A9taires+blancs+dans+les+colonies+%2B+26+fructidor+an+X&pg=PA552&printsec=frontcover Table générale par ordre alphabétique de matières, des lois, sénatus-consultes, décrets, arrêtes] ... publiés dans le bulletin des lois et les collections officielles, depuis l'ouverture des États généraux, au 5 mai 1789, jusqu'à la restauration de la monarchie Française, Colonies, p. 560. Arrêté concernant le retour des propriétaires blancs dans les colonies + 26 fructidor an X, p. 572. == Recueils de pièces imprimées concernant les colonies, Saint Domingue, Antilles, Noirs, 1788-1789, {{BNF|45702775p}} == [[Fichier:Loi n° 1396 portant que tout homme eſt libre en France, Paris, 16 octobre 1791.png|100px|vignette|gauche|Loi n° 1396 portant que tout homme eſt libre en France, Paris, 16 octobre 1791]] [[Fichier:Décret d'abolition de l’esclavage par la Convention- Archives nationales-BB-34-1-58.jpg|100px|vignette|gauche|Décret d'abolition de l’esclavage par la Convention, Paris, 4 février 1794]] * [https://catalog.hathitrust.org/Record/008607015 Catalogue général des livres composant les bibliothèques du Département de la marine et des colonies], [[d:Q86473521|volumes]] 1, 36 p., https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9796462b/f7.item, Cahier d'un philosophe, commissaire de la noblesse dans deux bailliages ou Doléances d'un Américain persécuté. [Par M de Portelance, propriétaire d'une sucrerie au quartier Morin à St Domingue]... le 20 avril 1789 <https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9796462b/f9.item> 2, 15 p., https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9796462b/f45.item, Lettre des colons résidens à S Domingue, au Roi. le 31 mai 1788. Signé, les propriétaires planteurs de la colonie de Saint Domingue [Mention manuscrite Certifié véritable par L M Gouy, p. 1] 3, 8 p., https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9796462b/f61.item, Lettre des Commissaires de la Colonie de Saint Domingue, au Roi ... [lettre remise le 4 septembre 1788 au Ministre de la Marine, Comte de la Luzerne]. À Paris, chez Clousier, imprimeur du Roi, rue de Sorbonne 4, 16 p., https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9796462b/f69.item, Lettre bien importante de la Chambre d'agriculture de Saint Domingue, adressée au membre du Comité colonial séant à Paris. Du 10 décembre 1788 5, 7 p. , https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9796462b/f85.item, Extrait registre des délibérations du Comité colonial de St Domingue, séant à Paris, du 27 janvier 1789 6, 32 p., https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9796462b/f93.item, Extrait registre des délibérations du Comité colonial de St Domingue, séant à Paris, du 21 mars 1789 7, 24 p., https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9796462b/f125.item, Aux colons de Saint Domingue. De l'imprimerie de L M Cellot, rue des Grands Augustins. 1789 [Lettre des colons lue Assemblée nationale le 4 juillet 1789] 8, p. 251-266 , https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9796462b/f148.item, Assemblée nationale. Du 27 juin. Majorité de la noblesse. 9, 42 p. , https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9796462b/f165.item, Réclamations pour les colonies des Antilles adressées au Roi et à la Nation. [Paris 8 avril 1789] 10, 60 p., https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9796462b/f207.item, Lettre à Messieurs les députés de Saint Domingue. De l'imprimerie de Praut, imprimeur du Roi. 1789 11, 28 p. https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9796462b/f263.item, Réflexions d'un administrateur sur l'admission des députés de St Domingue aux États-Généraux. Et sur le régime nouveau qu'ils veulent établir dans cette colonie 12, 6 p. , https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9796462b/f291.item, Aperçu sur la Constitution de Saint Domingue, par M De Cocherel, l'un de ses députés 13, 8 p., P. 161-168, https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9796462b/f297.item, Gazette de Paris. No XX. 20 octobre 1789. De l'imprimerie de Cailleau, l'un des Imprimeurs-Électeurs de la ville, rue Galande 14, 46 p., https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9796462b/f305.item, Rapport adressé à l'Assemblée coloniale de la Guadeloupe, par ordre du Comité des Messieurs les habitans & propriétaires dans cette colonie, séant à Paris. Par M De Curt, commissaire-rapporteur du Comité, député à l'Assemblée nationale. À Paris, de l'imprimerie de Grangé, rue de la Parcheminerie. 1789 15, 13 p. https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9796462b/f351.item, La Martinique sous le gouvernement de Monsieur le vicomte De Damas 16, 46 p., https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9796462b/f365.item, Réglemens de la Société des Amis des Noirs 17, 9 p., https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9796462b/f410.double, Tableau des membres de la Société des Amis des Noirs. Année 1789. 18 , 1 f. manuscrite, https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9796462b/f421.item , "Table" , liste des documents * [https://www.google.fr/search?hl=fr&tbm=bks&ei=XZO1XemRJcuejLsPufuogAI&q=%C3%89mancipation+des+esclaves.+Aux+protestants+de+France%2C+pasteurs%2C+anciens+et+fid%C3%A8les&oq=%C3%89mancipation+des+esclaves.+Aux+protestants+de+France%2C+pasteurs%2C+anciens+et+fid%C3%A8les&gs_l=psy-ab.12...37813.37813.0.40364.1.1.0.0.0.0.55.55.1.1.0....0...1c.1.64.psy-ab..0.0.0....0.VrKzQmr6kzE Émancipation des esclaves. Aux protestants de France, pasteurs, anciens et fidèles] === Traité de l'amitié === * [https://www.google.fr/books/edition/Traité_de_l_amitié/INAGAAAAcAAJ Louis de Sacy.- Traité de l'amitié, 1704] === Bibliographie à propos de la révolution de l'Amérique === * [https://www.livre-rare-book.com/book/5472866/7037 Livres rares à propos de la révolution de l'Amérique RAYNAL. Guillaume-Thomas.- Révolution de l'Amérique]. ‎ * Pownall, Thomas, 1722-1805; Adams, John, 1735-1826, tr; Jenings, Edmund, 1731-1819; Adams, John, 1735-1826, former owner; Boston Public Library) John Adams Library.- [https://archive.org/details/pensessurlarvolu00pown Pensées sur la révolution de l'Amérique-Unie]] : extraites de l'ouvrage anglois, intitulé mémoire, adressé aux souverains de l'Europe, sur l'état présent des affaires de l'Ancien & du Nouveau-monde, 1780 === Révolution française === * [[w:René Louis de Voyer de Paulmy d'Argenson|René Louis de Voyer de Paulmy d'Argenson]] ; ARGENSON. René-Louis de Voyer de Paulmy, marquis d’, secrétaire d'État des Affaires étrangères de Louis XV de 1744 à 1747.- [https://www.livre-rare-book.com/book/5472866/7037 Considérations sur le gouvernement ancien et présent de la France]. Amsterdam. Marc-Michel Rey. 1764. XVI pp.; 328 pp. Edition originale de cet ouvrage politique de première importance, rédigé par l'ancien === Autres === * Boufflers, Stanislas-Jean de (1738-1815).- Sur l'emploi des biens du clergé. Par le C. D. B***., [S.l., 1789 ou 1790], 15 p. ; in-8. Titre de départ. - Par Boufflers, d'après une note ms.. - Probablement impr. fin 1789 ou début 1790, {{BNF|36302716h}}. * {{bibliographie|Q97011933}} * Chambon - Le commerce de l'Amérique par Marseille, T.1, 1764.djvu * Joseph-Nicolas Guyot - [https://books.google.fr/books?id=uC7AMG8Rd1EC Traité des droits, fonctions, franchises, exemptions, privilèges et ...]. La maison du roi. * Jobez, Alphonse (1813-1893) La France sous Louis XV (1715-1774), {{BNF|306550119}} * Adresse votée par le conseil colonial, séance du 24 octobre 1845 {{BNF|341444736}} * [https://books.google.fr/books?id=HYEOAAAAYAAJ Bulletin des lois de France], page 116 {{Google Livres|HYEOAAAAYAAJ}} * Rapport relatif à l'état des hommes de couleur et au régime législatif des colonies + Jean-Élie Gautier (Recherche) * Édouard Biot.- De l'abolition de l'esclavage ancien en occident: Examen des ..., Parties 1 à 5 * De la liberté commerciale et de la réforme de nos lois de douanes / par A.-J. Lherbette... {{BNF|30813713z}} * Pierre François Charles Foncin.- [https://books.google.fr/books?id=P1hfyAEACAAJ Essai sur le ministère de Turgot], Volume 25, Germer-Baillière, 1877 - 622 pages * [https://www.histoire-image.org/fr/etudes/france-offrant-liberte-amerique La France offrant la Liberté à l’Amérique] * [https://www.google.com/search?newwindow=1&hl=fr&ei=J1dQXty3BpHMaInErtAL&q=Le+Th%C3%A9%C3%A2tre+des+voyages.+Une+sc%C3%A9nographie+de+l%E2%80%99%C3%82ge+classique%2C+Paris%2C+PUPS%2C+coll.+%C2%AB+Imago+Mundi+%C2%BB%2C2005&oq=Le+Th%C3%A9%C3%A2tre+des+voyages.+Une+sc%C3%A9nographie+de+l%E2%80%99%C3%82ge+classique%2C+Paris%2C+PUPS%2C+coll.+%C2%AB+Imago+Mundi+%C2%BB%2C2005&gs_l=psy-ab.12...54386.54863..56984...1.0..0.70.203.3......0....2j1..gws-wiz.VpKaoQ0xmZ0&ved=0ahUKEwic5-Gu1uPnAhURJhoKHQmiC7oQ4dUDCAo Le Théâtre des voyages. Une scénographie de l’Âge classique, Paris, PUPS, coll. « Imago Mundi »,2005] * [[w:Le Modèle noir, de Géricault à Matisse|Le Modèle noir, de Géricault à Matisse]] Beethoven + Chevalier de Saint-George permettent de trouver un grand nombre d'ouvrages du début du XXème siècle citant le Chevalier de Saint-George. Joel Augustus Rogers.- Sex and Race: Why white and black mix in spite of opposition, 1944, <Google Book|P_XUAAAAMAAJ> Negro Year Book: An Annual Encyclopedia of the Negro ... ... - Page 476, 1937, <Google books|FkjjAAAAMAAJ> == 10 mai 2021 - Saint-George Dalayrac a commenté sur facebook == <https://www.facebook.com/saintgeorge.dalayrac/posts/10208499487280776:10> Emeric Gomis Bonjour, aujourd'hui 10 mai, commémoration de l'esclavage et des traites négrières. Du chemin a été parcouru depuis, mais la route est longue. Courage.... 6 commentaires, 2 partages Sokona Niakhate Une pensée mon grand pour toi et ton équipe...du chemin accompli depuis ! Inoubliable notre première réunion chez Marion,j’étais même pas encore élue...sur l’idée du collectif 💪🏾👏🏾🙏🏾🙌🏾! Votre démarche est inoubliable et votre concertation à mon égard avec Marion,qui nous avait fait un formidable accueil sur l’avenir d’un tel projet collectif chez elle ! Bref le chemin est longue mais le travail reste et encrée sur nos villes avec les associations en partenariat avec la ville ! Merci à vous pour la confiance et le boulot depuis tant d’années sur notre ville ! Après la crise sanitaire du moment vivement un monde meilleur ! Johann Menard Sokona Niakhate Marion Triollier une vrai sista avec un sale caractère mais qui sait et n'oublie jamais d'où elle vient ❤️❤️❤️❤️ Saint-George Dalayrac Sauf, Sokona Niakhate, que votre activité n'a pas conduit à une meilleure connaissance collective des questions des traites & des esclavages. Seulement à la réalisation de projets n'ayant leurs racines que dans le présent. J'espère que Héloïse ou la Fille des Trois-Rivières n'a pas été abandonnée. Sokona Niakhate Saint-George Dalayrac si même ce soir je fais pas de la politique c’est notre adn et notre histoire aussi ! Saint-George Dalayrac Je vois que vous êtes toujours égale à vous même. Saint-George Dalayrac <https://www.facebook.com/saintgeorge.dalayrac/videos/10211185721310627>. == Abolitions & abolitionnistes de l'esclavage == === Pages créées === Des abolitions de l’esclavage : Cf. Métamorphose de la propriété === Traites esclavagistes & leurs abolitions === * Commerce des esclaves & Traite des esclaves ** [[w:Commerce des esclaves|Commerce des esclaves]] ** [[w:Commerce des esclaves|Traite des esclaves]] Sur Wikipédia, les deux entrées sont identiques et l'article [[w:Commerce des esclaves|Commerce des esclaves]] est d'une grande pauvreté.<br>Le débat sur la proposition de créer une entrée Wikidata [[d:Topic:Uik5nvr4t1ntj0dx|"Traite des esclaves"]] montre une grande réticence et révèle une des problématques qui consiste à chercher absolument à structurer les datas plutôt que de les rendre discernables, distinguables entre elles, quitte à en perdre le sens. [https://www.wikidata.org/w/index.php?title=Topic:Uik5nvr4t1ntj0dx&topic_showPostId=uikh5ensm8gdlqpu#flow-post-uikh5ensm8gdlqpu Voici une réponse très précise et très intéressante] de [https://artflsrv03.uchicago.edu/images/encyclopedie//V16/ENC_16-532.jpeg l'Encyclopédie] : "TRAITE [page 16:532] [https://artflsrv03.uchicago.edu/philologic4/encyclopedie1117/navigate/16/2657/?byte=5936321 TRAITE TRAITE], s. f. (Marine.) c'est le commerce qui se fait entre des vaisseaux & les habitans de quelque côte. On utiliserait donc le mot "Traite" parce que ce commerce des esclaves relève du monde de la Marine. Ce serait d'une logique implacable ! Et Jaucourt de préciser : "[[s:L’Encyclopédie/1re_édition/TRAITE|Traite des negres, (Commerce d’Afrique.)]] c’est l’achat des negres que font les Européens sur les côtes d’Afrique, pour employer ces malheureux dans leurs colonies en qualité d’esclaves. Cet achat de negres, pour les réduire en esclavage, est un négoce qui viole la religion, la morale, les lois naturelles, & tous les droits de la nature humaine...". Pouvons-nous conclure que la traite est restrictive et le commerce extensif ? "[[d:Q26212503|Dissertation sur la traite et le commerce des nègres]]" cherche à savoir si la Traite des negres, ou Commerce d’Afrique "est un négoce qui viole la religion, la morale, les lois naturelles, & tous les droits de la nature humaine". On voit que le titre de couverture devient vite "Commerce des Nègres". Les auteurs ont-ils idée que la traite bien localisée (les Européens sur les côtes d’Afrique) devient un commerce mondialisé ? Et nous devons aller consulter Raynal ! "Ce qui frappe surtout, c’est ce que l’on pourrait appeler, au risque de l’anachronisme, [https://francearchives.fr/commemo/recueil-2013/39892 l’invention de la mondialisation]. Raynal s’intéresse à ce nouveau phénomène de la « communication » des hommes. Mieux encore, il se fait subtilement le peintre de l’effet de retour de l’expansion européenne sur le vieux continent. Il montre par exemple, anticipant presque les analyses d’Hannah Arendt, comment le poison d’une vision raciste et exploitatrice en outre-mer a miné les valeurs des colons portugais et ruiné, par contagion, l’édifice moral, social et économique du pays". * [[w:Traites négrières|Traites négrières]] * [http://onlinebooks.library.upenn.edu/webbin/book/browse?type=lcsubc&key=Slave%20trade%20--%20Usa&c=x The Online Books Page] * [http://onlinebooks.library.upenn.edu/webbin/book/browse?type=lcsubc&key=Slave%20trade%20%2d%2d%20Cuba&c=x Filed under: Slave trade -- Cuba] == Association pour l'abolition de l'esclavage 1802-1848 == * 14 avril 1775 - La [[w:Pennsylvania Abolition Society|Pennsylvania Society for Promoting the Abolition of Slavery, and for the Relief of Free Negroes Unlawfully Held in Bondage, and for Improving the Condition of the African Race]], connue sous le nom de Pennsylvania Abolition Society, est la première société antiesclavagiste du monde et de l'Amérique du Nord, sous l'impulsion de l'abolitionniste Antoine Benezet, elle fut fondée par des Quakers1 à Philadelphie le 14 avril 1775, soit un an avant la déclaration d'indépendance des États-Unis, elle avait pour objectif d'abolir l'esclavage aux États-Unis2. Elle constitue encore un groupe de défense contre le racisme. * 1793 - [https://en.wikisource.org/wiki/Upper_Canadian_Act_Against_Slavery Upper Canadian Act Against Slavery] * Comité pour l'abolition de la traite des Noirs et de l'esclavage * [https://en.wikisource.org/wiki/Women_of_distinction/Chapter_46 MRS. CHARLOTTE FORTEN GRIMKEE.] * [[w:Société française pour l'abolition de l'esclavage|1834 - 1848 - Société française pour l'abolition de l'esclavage]] == Bibliographie (Abolitions & abolitionnistes de l'esclavage) == * 2000 - {{bibliographie|Q71815053}} <!-- Nelly Schmidt, Les abolitionnistes français de l'esclavage, 1820-1850 --> ==== Bibliographie (Traite des esclaves) ==== * 1764 - {{Bibliographie|Q26212503}} </-- Jean Bellon de Saint-Quentin, Dissertation sur la traite et le commerce des nègres --> * 1788 - {{Bibliographie|Q30000364}} </-- André-Daniel Laffon de Ladebat.- Discours sur la nécessité et les moyens de détruire l'esclavage dans les colonies --> == Académie de Metz == [[w:Académie de Metz|Académie de Metz]] * [[w:Famille_Tschudy#Jean-Baptiste-Louis-Théodore_(1734-1784)|Jean-Baptiste-Louis-Théodore (1734-1784)]], "membre zélé de l’[[w:Académie de Metz|Académie de Metz]] depuis [[w:1761|1761]] dont il fut l’un des principaux fondateurs et qu’il présida à plusieurs reprises, il s’intéressa à la littérature, à l’horticulture et à la botanique.", il planta dans son jardin de [[w:Colombey|Colombey]] de nombreuses plantes exotiques. Également musicien, il est l’auteur d’une [[w:ode|ode]] : ''Vénus dans la vallée de Tempé'' ([[w:1773|1773]]), d’une pastorale : ''[[w:Écho et Narcisse|Écho et Narcisse]]'' ([[w:1779|1779]]) qui fut joué à l’Opéra sur une musique de [[w:Christoph Willibald Gluck|Christoph Willibald Gluck]] qu'il rencontra à [[w:Paris|Paris]]) et aussi d’une tragédie lyrique : ''Les Danaïdes'' ([[w:1784|1784]], également sur une musique de [[w:Christoph Willibald Gluck|Christoph Willibald Gluck]]). Il est également auteur d’une pièce célèbre : ''Hymne à l’amitié''. == L'Ile d'Aix == [[Fichier:La Favolière (ingénieur) - L'isle Madame, l'isle d'Ay et fortifications, 1672.png|100px|vignette|gauche|La Favolière (ingénieur) - L'isle Madame, l'isle d'Ay et fortifications, 1672]] === 22 mai 1798 - Les militaires noirs et de couleur des troupes des colonies seront regroupés à l'Ile d'Aix === [[Fichier:Arrété du directoire exécutif pour la formation d'une compagnie de militaires noirs et de couleur des troupes des colonies, 3 prairial, an 6.png|100px|vignette|gauche|Arrété du directoire exécutif pour la formation d'une compagnie de militaires noirs et de couleur des troupes des colonies, 3 prairial, an 6, (22 mai 1798).]] {{Citation bloc|'''Arrété du directoire exécutif, concernant la formation d'une compagnie de militaires noirs et de couleur des troupes des colonies. — Du 3 prairial, an 6.'''<br /> <i>Le directoire exécutif, après avoir entendu le rapport du ministre de la marine et des colonies sur la nécessité de réunir dans un même lieu tous les militaires noirs et de couleur des troupes des colonies qui se trouvent disséminés tant dans l'intérieur que dans les différens ports de la république; voulant de les utiliser le zèle de ces défenseurs et leur attachement à la république, arrête :<br /> '''ART. Ier.''' Les militaires noirs et de couleur qui se trouvent tant dans l'intérieur que dans les différens ports de la république, se réuniront à l'île d'Aix, pour y former, dans le plus court délai, une compagnie qui sera commandée par un capitaine noir de la seconde classe, et sera composée d'un lieutenant de la seconde classe et un sous-lieutenant, d'un sergent-major, quatre sergens, un caporal-fourrier, huit caporaux, un tambour et cent fusiliers. Elle pourra néanmoins être portée à un nombre plus considérable, sans augmentation d'officiers et de sous-osficiers.<br /> '''II.''' L'uniforme sera, habit, gilet de drap bleu, paremens et revers pareils, culotte longue de tricot bleu ; collet rouge, droit ; boutons blancs, marqués d'une ancre ; chapeau ordimaire, bordé d'un galon de fil noir, à cheval, de la longueur d'un pouce; la doublure de l'habit et du gilet, de serge blanche; et celle de la culotte longue, en bonne toile écrue.<br /> '''III.''' Les appointeniens des officiers, sous-officiers et volontaires, seront conformes à ceux des autres troupes de la république, d'après la loi du 23 floréal an V<ref>Voy. an 5, page 533.</ref>. <br /> '''IV.''' Il sera donné des ordres à Paris et dans tous les ports, à tous les militaires des colonies noirs ou de couleur qui ne justifieront pas qu'ils sont attachés à un corps, de se rendre sur-lechamp à l'ile d'Aix ; il leur sera en conséquence délivré des 1'OuteS. : -<br /> '''V.''' Les officiers noirs et de couleur qui, conformément à l'article VI de l'arrêté du directoire du 9 vendémiaire an VI<ref>Voy. an. cour, page 92</ref>, sont passés à la guerre et y sont employés à la suite des corps de ce département, ne sont point compris cans le présent arrêté ; mais tous les militaires qui n'y sont point employés, ainsi que ceux qui reviendront soit des colonies, soit des prisons d'Angle· terre, seront tenus de se rendre a l'ile d'Aix, pour servir dans ladite compagnie ou à la suite. Les officiers non employés ne jouiront de leur traitement de réforme qu'à compter du jour de † arrivée à la compagnie, et auront les rations de campagne, ou 1o sous par jour pour leur en tenir lieu , conformément à l'arrêté du directoire du I 1 brumaire an V. (1)<br /> '''VI.''' Aussitôt qu'un militaire de conleur, faisant partie des troupes coloniales, débarquera n'importe dans quel port de la république, l'ordonnateur ou commissaire principal de la marine, ou autre chef d'administration, sera tenu de lui faire délivrer de suite une feuille de route par le commissaire des guerres de l'endroit, pour se rendre à l'ile d'Aix. Ils ne pourront venir à Paris que sur des motifs valables, et avec un congé du ministre de la marine et des colonies.<br /> VII. Lorsque ces officiers, sous-officiers et valontaires coloniaux seront ainsi réunis, ils seront assujettis à la discipline établie pour toutes les autres troupes de la république ; ils seront aux ordres du commandant d'armes de Rochefort, et de l'ordonnateur de la marine , qui les utilisera le plus qu'il sera possible. A<br /> VIII. Tous les militaires noirs ou # couleur qui sont à la suite de la demi-brigade de la marine de Rochefort, passeront dans la nouvelle compagnie, laquelle continuera de faire le service à la suite de ladite demi-brigade, et sera sous les ordres du commandant. <br /> '''IX.''' Les officiers de cette compagnie ne pourront remplir les places de capitaine, lieutenant et sous-lieutenant, qu'autant qu'ils auront été promus à ces grades, soit par le directoire, soit par commission de ses agens dans les colonies. Les officiers à la suite ne jouiront pareillement de leurs traitemens de réforme, qu'autant qu'ils justifieront légalement de leurs grades.<br /> X. Cette compagnie sera entièrement à la disposition du ministre de la marine et des colonies, qui pourra, dans tous les cas, employer ces militaires de la manière qu'il jugera convenable au bien du service.<br /> '''XI.''' Cette compagnie sera commandée par le citoyen Marin Pedre , qui proposera au ministre le choix à faire, parmi les militaires noirs ou de couleur, des officiers les plus propres à remplir les places de lieutenant et sous-lieutenant, et suivant les conditions exprimées en l'article IX du présent arrêté. Il en sera de méme pour les sous-officiers, qui, ainsi que les officiers, et conformément à la loi , devront savoir lire et écrire.<br /> '''XII.''' Il sera pourvu à la solde, aux rations, aux effets d'habillement, d'équipement, d'armement et de casernement desdits militaires, conformément aux lois et d'après les revues de l'ordonnateur de la marine à Rochefort; et cette dépense sera prise,pour les années VI et VII, sur les fonds affectés au service des° troupes de la marine. Les ministres de la marine et de la guerre demeurent chargés, chacun pour ce qui le concerne, de l'exécution du présent artété, qui sera imprimé au Bulletin des lois.</i>.|France. Secrétariat d'Etat à la guerre, Gournay, Éditeur scientifique.- Journal militaire. Contenant... les ordonnances... les nominations... l'annonce ou extrait des ouvrages…, {{BNF|328016138}}<ref>France. Secrétariat d'Etat à la guerre, Gournay, Éditeur scientifique.- Journal militaire. Contenant... les ordonnances... les nominations... l'annonce ou extrait des ouvrages…, [https://books.google.fr/books?id=Vm_kWS6PTkEC&dq=fr&pg=PA474#v=onepage&q&f=false 1794, pp. 474-476]</ref>.}} {{Citation bloc|<i>Pour expéditon conforme signé Merlin président par le directoire exécutif le secrétaire général Lagarde</i>|Recueil des proclamations et arrêtés des représentans du peuple français, envoyés près des armées du Nord et de Sambre et Meuse, etc. ainsi que des ordonnances, reglémens et autres actes du Magistrat, et autres Autorités Constituées de la Ville et Quartier de Bruxelles: Emanés à Bruxelles depuis l'entrée victorieuse des troupes de la République Française dans cette ville, le 21 Messidor, l'an 2 de la République. (9 juillet 1794, vieux style)<ref>[https://books.google.fr/books?id=FZRfAAAAcAAJ&pg=PA48=onepage&q=false Volume 19, pp. 48-51]</ref>}} === 22 mai 1798 - Dénonciation de l'illégalité du regroupement des militaires noirs et de couleur à l'Ile d'Aix === [[File:Arrêté relatif à arrété du Directoire exécutif, 3 prairial an 6, portant que les militaires noirs et de couleur se réuniront à l'ile d'Aix.png|100px|vignette|gauche|Arrêté relatif à arrété du Directoire exécutif, 3 prairial an 6, portant que les militaires noirs et de couleur se réuniront à l'ile d'Aix]] {{Citation bloc|Arrêté relatif à un arrété du Directoire exécutif du 3 prairial an 6 (22 mai 1798), portant que les militaires noirs et de couleur, qui se trouvent, tant dans l'intérieur que dans les différens ports de la République, se réuniront à l'ile d'Aix, pour y former une compagnie qui sera commandée par un capitaine noir. — Du 5 Messidor.<br /> <i>Un membre fait une motion dans laquelle il dénonce comme inconstitutionnel et illégal un arrêté du Directoire exécutif pris dans un temps où il étoit dominé par une majorité tyrannique, contre les hommes de couleur des Antilles, déportés par les Anglais à l'époque de la trahison qui leur livra les îles du Vent. Cet arrêté, en date du 3 prairial an 6, porte, article premier : « Les militaires noirs et de couieur qui se trouvent, tant dans l'intérieur que dans les différens ports de la République, se réuniront à l'ile d'Aix pour y former, dans le plus court délai, une compagnie qui sera commandée par un capitaine noir de la seconde classe, etc." L'orateur observe que ceux qu'on a ainsi réunis en une seule compagnie, contre toutes les lois de l'organisation militaire, Sont sequestrés du reste de l'armée sur un banc de sable appelé l'ile d'Aix ; qu'isolés de leurs compagnens d'armes d'Europe, il semble qu'on ait voulu les punir d'avoir soutenu dans le Nouveau Monde les principes de la République. Que l'idée d'une pareille mesure a été prise dans les institutions du régime monarchique, du temps où la législation laissoit un libre cours aux fureurs du despotisme colonial, et où, pendant la dernière guerre, le ministre Sartine avoit imaginé d'emprisonner à l'île d'Aix tous les hommes noirs ou de couleur qu'il faisoit arrêter à la réquisition des colons, et ceux que les hasards de la guerre amenoient d'Amérique ; Que ce traitement, tout barbare qu'il fût, n'étoit pas contraire aux usage reçus, qui autorisoient alors les distinctions humiliantes que la cupidité et l'orgueil avoient <u>gradnées</u> dans les îles d'après les nuances des couleurs : mais aujourd'hui que les bienfaits de la révolution ont élevé tous les hommes au rang qu'ils tenoient de la nature, l'orateur s'étonne qu'on ait osé rétablir des différences insultantes en reléguant les soldats noirs et de couleur loin de leurs frères d'armes dans un coin de terre insalubre, tandis que les hommes blancs qui servoient dans les mêmes corps, sont incorporés dans les cadres d'Europe. Après avoir dépeint l'état misérable où se trouvent ces malheureux, dont plusieurs, couverts de blessures honorabl es, ont péri cet hiver, manquant d'habillement et privés de toute espèce de secours, il demande que l'arrêté du 3 prairial an 6, qui ensevelit 1es militaires noirs et de couleur à l'île-d'Aix, soit dénoncé comme inconstitutionnel au Directoire exécutif, par un message. Cette propositition, mise aux voix, est adoptée. Le Conseil ordonne en outre l'impression du discours de l'orateur</i>.|France. Corps Législatif.- Collection générale des lois et des actes du Corps Législatif et du Directoire Executif, chez Baudouin, Volume 16<ref>France, Corps Législatif.- Collection générale des lois et des actes du Corps Législatif et du Directoire Executif, chez Baudouin, Volume 16, [https://books.google.fr/books?id=DJxaAAAAcAAJ&dq=Il%20d'Aix%20%2B%20soldats%20noirs&hl=fr&pg=PA99#v=onepage&q&f=false pp.99-100].</ref>.}} [[Fichier:Directoire exécutif - Arrété n° 1946 du 4 août 1798, Compagnies d'hommes noirs et de couleur militaires.png|100pvpx|vignette|gauche|Directoire exécutif - Arrété n° 1946 du 4 août 1798, Compagnies d'hommes noirs et de couleur militaires]] === 4 août 1798 - Formation de compagnies de militaires noirs et de couleur venant des prisons d'Angleterre à l'île d'Aix === {{Citation bloc|'''Ordre militaire Organisation<br /> (N° 1946 Arrété du directoire exécutif concernant la formation de plusieurs compagnies d'hommes noirs et de couleur militaires Du 17 Thermidor an 6 (4 août 1798)'''<br /> <i>Le directoire exécutif, sur le rapport du ministre de la marine et des colonies : considérant que le nombre des militaires noirs et de couleur venant des prisons d'Angleterre exigeoit la formation de plusieurs compagnies à l'île d'Aix, et voulant les assimiler aux troupes de la république, en utilisant leurs services , arrête :<br /> '''ART. I.''' Il sera formé autant de compagnies d'hommes noirs et de couleur militaires, que le service l'exigera. Cette formation sera la même, tant pour la solde que pour l'effectif, que celle déjà créée par son arrêté du 5 Prairial dernier<ref>[https://books.google.fr/books?id=FZRfAAAAcAAJ&dq=fr&pg=PA48#v=onepage&q=militaires%20noirs&f=false Page 48, ci-devant]</ref>.<br /> '''ART. II.''' Le ministre de la marine et des colonies est chargé de l'exécution du présent arrêté, qui sera imprimé.<br /> Pour expédition conforme, signé Merlin, pour le président ; par le directoire exécutif, pour le secrétaire général, Treilhard.</i>|{{bibliographie|Q75739245}}, pp. 208-209} === Bibliographie === * 2007 - {{bibliographie|Q23608307}} <!-- Bernard Gainot, Les officiers de couleur dans les armées de la République et de l'empire (1792-1815) --> * 1909 - {{bibliographie|Q111234457}} <!-- Élie Garnier, L'île d'Aix à travers les temps --> == A la teste noire (Enseigne de la Testenoire) : La maison Andry == === Etiquette,source inconnue, Google Images === [https://www.labreuche-fournisseurs-artistes-paris.fr/maison/andry La maison Andry, Guide Labreuche]<br /> "A la Teste Noire<br> François Andry Marchand, épicier droguiste<br> [[w:Rue de la Harpe|Rue de la Harpe]] près celle de Saint-Séverin<br> A Paris, 1758 === Paris pendant la domination anglaise (1420-1436) === Auguste Longnon, ‎France. Grande Chancellerie.- [https://books.google.fr/books?id=I0VMAAAAMAAJ Paris pendant la domination anglaise (1420-1436)], 1878<br />Item, sur l'ostel qui fu Guillaume des Plantes et de present à Vincent Dury, où pend l'enseigne de la Teste Noire, assis en la rue Gieffroy ... Item, sur la maison qui fu Jehan Papillon et depuis à Jehan d'Ableiges, et de present appartient à maistre Andry le Preux, assise en la rue ... Item, sur l'ostel qui fu maistre Denis de Bainnes, et de present à François Pastoureau, assis en ladicte rue, seize solz parisis. === Topographie historique du vieux Paris === Adolphe Berty, ‎Lazare Maurice Tisserand.- [https://books.google.fr/books?id=hD--qBjRt6kC Topographie historique du vieux Paris], Volume 6, 1897, page 212 Maison de l'Escu d'argent (1399), enseigne à laquelle se joignent, en 1418, celle du Frain d'or, et en 1502, celle de l'Ange ... Maison sans désignation, faisant le coin septentrional de la rue de la Parcheminerie. ... de la Teste noire (i&65), ayant sa façade sur la rue Saint-Jacques et un corps d'hôtel sur celle de la Parcheminerie. == Alexis Léger, alias Saint-John Perse == === "J'habiterai mon nom" === [[d:Q25918117|"J'habiterai mon nom"]].- {{Bibliographie|Q25918117}} == Bartolomé de Las Casas == [[Fichier:Fray Bartolomé de las Casas.jpg|Bartolomé de las Casas|100px|vignette|gauche]] [[Fichier:Bartolomé de las Casas (1552) Brevisima relación de la destrucción de las Indias.png|100px|vignette|gauche]] * [[w:Bartolomé de las Casas — Wikipédia|Bartolomé de las Casas — Wikipédia]] * Bartolomé de lasCasas.- [[w:Brevísima relación de la destrucción de las Indias|Brevísima relación de la destrucción de las Indias]]. La Brevísima relación de la destrucción de las Indias (en français : Très bref rapport ou Très brève relation de la destruction des Indes) est un livre écrit à partir de 1539 par le frère dominicain Bartolomé de las Casas et publié en 1552. * Bartolomé de lasCasas, Jacques de Miggrode (Trad.),- [https://archive.org/details/tyranniesetcruau00casa/page/n5/mode/2up Tyrannies et cruautez des Espagnols perpetrees es Indes Occidentales, qu'on dit le nouueau monde, 1484-1566 * Bartolomé de las Casas, Johannes Gysius.- [https://archive.org/details/LeMiroir/page/n7/mode/2up Le miroir de la cruelle et horrible tyrannie espagnole perpétrée au Pays-Bas par le tyran duc d'Albe et autres commandants du roi Philippe II] == Fernand Cortès à Charles-Quint == * [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k821936.image Lettres de Fernand Cortès à Charles-Quint sur la découverte et la conquête du Mexique] trad. par Désiré Charnay ; avec préf. du Dr E.-T. Hamy, {{BNF|6k821936}} == Mézoamérindiens == * [[w:en;Techialoyan Codex of Cuajimalpa|Techialoyan Codex of Cuajimalpa]] * [[w:es:Códice Techialoyan de Cuajimalpa|Códice Techialoyan de Cuajimalpa]] == Obwandiyag dans la « Rébellion de Pontiac » == Obwandiyag dit ''Pontiac'' circa 1714 – 20 avril 1769) était un chef de la tribu des Amérindiens outaouais de Détroit. Il réussit, dans la « Rébellion de Pontiac ». Voir : [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Chronologie#XVIII.7B.7Be.7D.7D_siècle|1714]] ; [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Chronologie#XVIII.7B.7Be.7D.7D_siècle|1763]]. == Affranchissement == Voir article du Wikitionnaire : [https://fr.wiktionary.org/wiki/affranchissement Affranchissement] [[s:Page:Revue des Deux Mondes - 1853 - tome 2.djvu/597|L’affranchissement des colonies anglaises d’Amérique ne fut pas, à vrai dire, une révolution]]. == Amérindiens dans la première guerre mondiale == [[Fichier:Le Miroir Les peaux rouges dans les rangs alliés, 1917.png|100px|vignette|gauche|Amérindiens dans la première guerre mondiale, Le Miroir, 1917, {{BNF|34419118b}}]] == Logiciel libre pour l’analyse textuelle fondé sur R : R.TeMiS== Source : 2013 - {{Bibliographie|Q34297699}} [[w:R (langage)|R est un langage informatique]] dédié aux statistiques et à la science des données. L'implémentation la plus connue du langage R est le logiciel GNU R. {{Citation bloc|— du côté des données, la numérisation a conduit à un véritable «déluge» de textes disponibles à portée du clic de la souris (Hey & Trefethen, 2003), notamment dans le domaine des médias (bases de données structurées comme Lexis-Nexis ou Factiva...)<br />— du côté des méthodes, l’analyse de contenu traditionnelle est de plus en plus remplacée par la statistique lexicale (text mining) mais l’offre logicielle a tout du «maquis» (Demazière & Brossaud, 2006), ce qui rend nécessaire un patient travail de défrichage et de choix préalable à toute analyse (Brugidou, et al., 2000; Jenny, 1996; 1997; Klein, 2001; Weitzman & Miles, 1995).}} === Historique du logiciel libre === * [https://www.franceculture.fr/emissions/du-grain-a-moudre/que-reste-t-il-du-logiciel-libre Que reste-t-il du logiciel libre ? 13/06/2018], == Amériques, Mésoamériques & Caraïbes : Bibliographie == * [https://sites.google.com/site/gwallerick/home Programme scolaire] == Les trois avantages du logiciel libre == {{Citation bloc|'''Les trois avantages du logiciel libre en matière de statistique lexicale''' :<br /> * Gratuité<br> * Robustesse<br> * Fonctionnement en paquets de code réutilisables|Gilles Bastin & Milan Bouchet-Valat, 2013.}} === Gratuité de l'éducation === * Éric Monnet, Laviedesidees.fr.- [https://laviedesidees.fr/Ce-que-rapporte-l-education-gratuite.html?utm_source=dlvr.it&utm_medium=facebook&fbclid=IwAR324mJgo9YEieCgVhRhuxT26BM4tLR-lYE7lak9nEAGBPqdJqJMc475DsM Ce que rapporte l’éducation gratuite, Entretien avec] [[w:Philippe Aghion|Philippe Aghion]], 14 décembre 2018. === Un exposé fait au Congrès de l’AFS – Nantes 2013 === Plan de l'[http://osc.cnrs.fr/RT20/local/documents/S6_Bastin.pdf exposé de Gilles Bastin & Milan Bouchet-Valat] Introduction I. Trois raisons de préférer le logiciel libre en statistique lexicale II. Importer, coder et gérer des corpus de textes dans R.Temis III. Visualiser les relations entre variables du corpus IV. Statistiques élémentaires avec R.TeMiS V. Classification hiérarchique et analyse factorielle avec R.TeMiS Conclusion : une illustration de la richesse de l’environnement R avec la visualisation géographique des données textuelles == Logiciel RQDA == R-QDA est un logiciel libre et gratuit d'[[w:Méthodes qualitatives|analyse qualitative]]. [RQDA en français Liste des tutoriaux] RQDAtuto, 26 vidéo. * [https://www.youtube.com/watch?v=uFNuB7FVAlI Introduction] * [https://www.youtube.com/watch?v=4oGIiy3RSok Codage RQDA -- partie 1] * [https://www.youtube.com/watch?v=gM4THdeL4yo&list=PL52377017A7137925&index=3 03 Installer R-QDA sur Linux] ** Installer R-base ** Installer R-studio, interface graphique ** Installer R-QDA == Méthode Alceste : méthodologie == [http://www.lesphinx-developpement.fr/blog/la-classification-des-donnees-textuelles-selon-la-methode-alceste/ Classification des données textuelles : méthode Alceste] 2011 - {{bibliographie|Q7310435}} <!-- Reinventing Discovery: The New Era of Networked Science --> == Abraham Hyacinthe Anquetil-Duperron == * [[w:Abraham Hyacinthe Anquetil-Duperron|Abraham Hyacinthe Anquetil-Duperron]] * 1805 - Anquetil-Duperron (M., Abraham-Hyacinthe).- [https://www.google.fr/books/edition/Catalogue_des_livres_de_M_A_H_Anquetil_D/7mVWAAAAYAAJ Catalogue des livres de M.A.H. Anquetil-Duperron]... dont la vente se fera ... * [https://blogs.mediapart.fr/roland-laffitte/blog/280317/la-colonisation-crime-de-lese-humanite-pour-anquetil-duperron-1789 La colonisation, « crime de lèse-humanité » pour Anquetil-Duperron (1789)] == Antilles == <br /> [[Fichier:Gilles Robert de Vaugondy, Cartographie des Antilles, 1750.png|250px|vignette|centré|Gilles Robert de Vaugondy, Partie de la Mer du Nord où se trouvent les Grandes et Petites Isles Antilles et les Isles Lucayes, 1750.]] <br /> == Apanages (d'Orléans) == {{Citation bloc|L'[[w:Orléanais|Orléanais]] est apparu au IXe siècle et Hugues Capet a été le dernier comte héréditaire d'Orléans. Par la suite, le titre fut donné en apanage aux fils cadets des rois de France. Érigée en duché en 1344, la province entre dans le domaine royal en 1498. Elle est finalement disloquée en 1790 lors de la création des départements. <br /> L'Orléanais est le dernier apanage à faire retour à la Couronne, avec l'accession au trône de France du dernier [[w:Duc d'Orléans|duc d'Orléans apanagiste]], Louis-Philippe Ier, le 9 août 1830. Il faut remarquer que la Révolution française avait pourtant mis fin aux apanages territoriaux par le décret du 21 décembre 1790 pour leur substituer des indemnités. En montant sur le trône en 1814, Louis XVIII décide de respecter ce décret, sauf en ce qui concerne l'apanage d'Orléans, reconstitué au profit de Louis-Philippe d'Orléans, futur roi des Français.|[[w:Orléanais|Orléanais]], [[w:Duc d'Orléans|duc d'Orléans apanagiste]], Wikipédia}} Faculté de Droit Virtuelle.- les apanages<br>[http://fdv.univ-lyon3.fr/moodle/file.php/1/FPV2/Histoire/Histoire_du_droit/histoiredudroitlesapanages.pdf Apanages territoriaux + décret + "21 décembre 1790" + indemnités, pdf] Février 1566 - Edit de Moulins ou Règlement général sur le domaine du roy [https://books.google.fr/books?id=kF48AAAAcAAJ&pg=PA783 Vingt livres du Code d'Henry III. de ce nom, Roy de France - Page 783]. [[w:Henri III (roi de France)|Henri III, France, dernier roi de la dynastie des Valois]] [https://catalogue.bnf.fr/search.do?mots0=NRI;-1;0;Barnab%C3%A9+Brisson&mots1=TIT;0;0;Le+Code+du+roy+Henry+III%2C+roy+de+France+et+de+Pologne&&pageRech=rav Barnabé Brisson.- Code du roy Henry III, roy de France et de Pologne] ° [http://portail.atilf.fr/cgi-bin/getobject_?a.21:2:25./var/artfla/encyclopedie/textdata/image/ Code Henri III, portail.atilf.fr, Encyclopédie ou dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers, Page 3:576] ° [[s:L%E2%80%99Encyclop%C3%A9die/1re_%C3%A9dition/CODE|Code Henri ou code d’Henri III]] ° [https://www.google.com/search?biw=1282&bih=537&tbm=bks&ei=dG8HXsaCDsujgwfomqyIDg&q=inauthor%3A%22Barnab%C3%A9+Brisson%22+%2B+Code+du+roy+Henry+III%2C+roy+de+France+et+de+Pologne&oq=inauthor%3A%22Barnab%C3%A9+Brisson%22+%2B+Code+du+roy+Henry+III%2C+roy+de+France+et+de+Pologne&gs_l=psy-ab.12...206186.233978.0.235692.6.5.1.0.0.0.378.902.0j4j0j1.5.0....0...1c.1.64.psy-ab..0.0.0....0.S8xmgqvYfsw inauthor "Barnabé Brisson" + Code du roy Henry III, roy de France et de Pologne] - 1593 - Barnabé Brisson.- Code du roy Henry III, roy de France et de Pologne - [https://books.google.fr/books?id=uL9rJZZ5EPIC&pg=PA956 ‎Lire "apanages",- Page 956] - 1594 - Barnabé Brisson.- Code de Henri III Roy de France, LIVRE SEPTIESME DV CODE DV ROY HENRY III. ROY DE France 8C de Pologne. - Page 275 - ‎Lire - 1601 - Barnabé Brisson.- Le Code du roy Henry III. roy de France et de Pologne'' - 1605 - ‎Barnabé Brisson, ‎Louis Charondas Le Caron.- Code du roy Henry III, roy de France et de Pologne - [https://books.google.fr/books?id=YN1DAAAAcAAJ&pg=PA488 ‎Lire "apanages", Page 488] == Archives parlementaires de 1787 à 1860 == [[Utilisateur:Ambre Troizat/Mon cabinet d'histoire/Archives parlementaires, 1787-1860 Internet Archive Index|Archives parlementaires, 1787-1860 Internet Archive Index]] == L'Asiento == {{Citation bloc|En 1517-1518, Charles Quint accorda à l'un de ses courtisans le monopole du droit de vente, pendant huit ans, dans les possessions espagnoles d'Amérique (Hispaniola, Cuba, Jamaïque, Porto Rico, etc.) de 4 000 esclaves chaque année. Les esclaves étaient achetés aux Portugais et revendus aux Espagnols. À partir de ce moment-là, le gouvernement espagnol conclut régulièrement des accords de ce genre. On appelait Asiento les accords qui consacraient le monopole de la vente des esclaves noirs dans les colonies espagnoles des Indes occidentales et d'Amérique.|Svétlana Abramova.- Afrique: Quatre siecles de traite des Noirs<ref>Svétlana Abramova, Jose Antonio Saco - [http://les.traitesnegrieres.free.fr/08_esclavage_le_debut.html Afrique: Quatre siecles de traite des Noirs] : Quelle aurait été la destinée du Nouveau Monde s'il n'y avait pas eu l'Afrique ?</ref>.}} {{Citation bloc|Au début du XVIIIe siècle. — On lira avec intérêt l'article de Mr Léon Vignols (qui n'a pas besoin d'être présenté à nos lecteurs), intitulé : L'Asiento français (1701-1713) et anglais (1713-1750) et le commerce franco- espagnol vers 1700 à 1730. Publié dans la Revue d'Histoire économique et sociale en 1929, il représente la traduction d'un mémoire publié en espagnol dans YAnuario de kistoria del derecho espaňol de Madrid, 1 929. Il ajoute à notre connaissance d'une époque fort curieuse, rectifie chemin faisant bien des erreurs (de Dahlgren notamment) et se termine par la publication de deux Mémoires français de 1728 sur le commerce franco-espagnol. L. F.|Febvre Lucien in Annales Année 1930, 8 p. 609<ref>[https://www.persee.fr/doc/ahess_0003-441x_1930_num_2_8_1288_t1_0609_0000_4 Febvre Lucien in Annales Année 1930, 8 p. 609]</ref>}} Léon VIGNOLS.- [https://www.jstor.org/stable/24065119 L'Asiento français (1701-1713) et anglais (1713-1750) et le commerce franco-espagnol vers 1700 à 1730: Avec deux Mémoires français de 1728 sur ces sujets], Revue d'histoire économique et sociale, Vol. 17, No. 3/4 (1929), pp. 403-436, Armand Colin, 34 page× {{Citation bloc|1713 Contract de l'Affiento en faveur de la Grande-Bretagne signé à Madrid en 1713 tiré de l'Europaeische Ruhe LERO I AUTANT que l'Assiento dont on étoit convenu avec la Compagnie Roiale de Guinée établie en France pour fournir des Esclaves Negres aux Indes Occidentales est expiré & que la Reine de la Grande-Bretagne souhaite d'entrer en ce Commerce & en son nom la Compagnie Angloise comme cela est stipulé dans les Preliminaires de la Paix & CCt IlLO|Les intérêts presens et les pretensions des puissances de l'Europe, fondez sur les traitez depuis ceux d'Utrecht inclusivement, & sur les preuves de leurs droits particuliers. Par Mr. J. Rousset ... Tome premier [ -troisieme, 1736<ref>CoNTRAcT de l Affiento en faveur de la Grande-Bretagne signé à Madrid en 1713,pp.[https://books.google.fr/books?id=fd6SORIVxCAC&dq=Angloise%20Sa%20Majesté%20Catholique%20en%20considération%20des%20pertes%20que%20d'%20autres%20Assientistes&hl=fr&pg=PA498#v=onepage&q=Angloise%20Sa%20Majesté%20Catholique%20en%20considération%20des%20pertes%20que%20d'%20autres%20Assientistes&f=false 498] & ss.</ref>,}} === Bibliographie : Asiento === * 1733 - {{bibliographie|Q64264979}} <!-- Contract de l'Assiento en faveur de la Grande-Bretagne signé à Madrid en 1713 --> ** 1733 - {{bibliographie|Q64265913}}, Comprenant : {{bibliographie|Q64280417}} <!-- Contract de l'Assiento en faveur de la Grande-Bretagne signé à Madrid en 1713 --> ** 1713 - {{bibliographie|Q64280417}} ,Voir au sujet du commerce entre la France & l'Angleterre : {{Bibliographie|Q28918461}}, 1679. <!-- Contract de l'Assiento en faveur de la Grande-Bretagne signé à Madrid en 1713 --> * [[d:Q64212842|1751]] - {{bibliographie|Q64212842}} <!-- Assiente ou Assiento, L'Encyclopédie Diderot D'Alembert --> * [[d:Q64212386|1906]] - {{bibliographie|Q64212386}} <!-- Œuvre : Georges Scelle, Histoire politique de la traite négrière aux Indes de Castille --> ** [[d:Q64212475|1906]] - {{bibliographie|Q64212475}} <!-- Édition : Georges Scelle, Histoire politique de la traite négrière aux Indes de Castille --> ** [[d:Q64347007|1906]] - {{bibliographie|Q64347007}} <!-- Une institution internationale disparue : l'assiento des nègres --> * '''1906 - Scelle, Georges (1878-1961).- La traite négrière aux Indes de Castille''', contrats et traités d'assiento : étude de droit public et d'histoire diplomatique puisée aux sources originales et accompagnée de plusieurs documents inédits / par Georges Scelle,... ; préf. de M.A. Pillet,... Librairie de la société du recueil J.-B.Sirey & du journal du Palais, L. Larose & L. Tenin, {{BNF|37446848h}} * 1912 - {{Bibliographie|Q64351453}} <!-- Georges Scelle, Théories relatives à l'esclavage en Espagne au XVIIe siècle --> * Svétlana Abramova, Jose Antonio Saco - [http://les.traitesnegrieres.free.fr/08_esclavage_le_debut.html Afrique : Quatre siècles de traite des Noirs] : Quelle aurait été la destinée du Nouveau Monde s'il n'y avait pas eu l'Afrique ? == George III (roi du Royaume-Uni) == [[Fichier:George III by A.Ramsay (Williamsburg, Virginia).jpg|100px|vignette|gauche]] [[w:George III (roi du Royaume-Uni)|George III (roi du Royaume-Uni)]], 4 juin [[w:1738|1738]] - 29 janvier [[w:1820|1820]] {{Citation bloc|"Le texte original de la [[w:Déclaration d'indépendance des États-Unis|Déclaration d’indépendance de 1776]], rédigé par [[w:Thomas Jefferson|Thomas Jefferson]], est amputé du paragraphe qui accuse le roi [[w:George III (roi du Royaume-Uni)|George III]] de pratiquer la traite des esclaves. Disparaît ainsi du texte qui proclame l’égalité naturelle des hommes, le droit à la souveraineté et à l’autodétermination, la remise en cause de ceux qui sont "déterminés à garder ouvert un marché où les hommes peuvent être achetés ou vendus".|{{Bibliographie|Q28771646}}<ref>{{Bibliographie|Q28771646}} est une lecture de {{Bibliographie|Q28771770}}, 1974.</ref>, 1976}} === Chronologie === [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Chronologie_1763-1848#1801|1801]] - 1738 === Bibliographie (George III, roi du Royaume-Uni) === * 1976 - {{Bibliographie|Q28771646}} == Jean-Antoine-Nicolas de Caritat de Condorcet == [[Utilisateur:Ambre_Troizat/1670-1912_-_Les_œuvres_des_mouvements_abolitionnistes_:_des_quakers_à_Gratien_Candace#Les_œuvres_de_Jean-Antoine-Nicolas_de_Caritat_de_Condorcet|Les œuvres de Jean-Antoine-Nicolas de Caritat de Condorcet sous l'angle de l'esclavage]] == Henri Grégoire (1750-1831), de la révolution à la monarchie de juillet == [[Utilisateur:Ambre_Troizat/1670-1912_-_Les_œuvres_des_mouvements_abolitionnistes_:_des_quakers_à_Gratien_Candace#Henri_Grégoire_(1750-1831),_de_la_révolution_à_la_monarchie_de_juillet|Henri Grégoire (1750-1831), de la révolution à la monarchie de juillet]] == Abolition de l’esclavage, 1793-1794 (Saint-Domingue / France) == * Discours sur la nécessité d'établir à Paris une société pour concourir à l'abolition de la traite & de l'esclavage des nègres, 1788 ** 1788 - {{bibliographie|Q115472719}} <!-- Discours sur la nécessité d'établir à Paris une société pour concourir à l'abolition de la traite & de l'esclavage des nègres, 1788 --> * [[w:Décret d'abolition de l'esclavage du 29 août 1793|Proclamation d'abolition de l'esclavage à Saint-Domingue par Etienne Polverel et Léger-Félicité Sonthonax, Commissaires civils de la République, Port-au-Prince le 5 mai 1793]] ** 1793 - {{bibliographie|Q114561321}}, Proclamation bilingue français / créole <!-- Proclamation de Léger-Félicité Sonthonax bilingue français / créole --> ** 1793 - {{bibliographie|Q24045738}}, <!-- Proclamation des commissaires civils de la République, délégués aux Îles françaises de l’Amérique sous le vent, 11 juillet 1793 --> * [[w:anti-esclavagiste|anti-slavistes]] : opposants à l'esclavage * 1852 - {{bibliographie|Q56480161}} <!-- Les Noirs libres et les noirs esclaves aux Antilles, aux Etats-Unis et à Liberia (Les anti-slavistes) --> * 1863-1869 - {{bibliographie|Q3212308}} <!-- Revue des cours scientifiques de la France et de l'étranger --> ** 1863 - {{bibliographie|Q77967576}} <!-- Revue des cours scientifiques de la France et de l'étranger --> ** 1864 - {{bibliographie|Q77967205}} <!-- Revue des cours scientifiques de la France et de l'étranger --> ** 1869 - {{bibliographie|Q77967296}} <!-- Revue des cours scientifiques de la France et de l'étranger --> == William Ellery Channing, 1780-1842 == [[w:en:William Ellery Channing|William Ellery Channing]] sur en.wikipedia [[s:en:William Ellery Channing|William Ellery Channing]] sur en.Wikisource [[w:William Ellery Channing|William Ellery Channing]] sur fr.wikipedia [[Commons:William Ellery Channing|William Ellery Channing]] sur Commons [https://openlibrary.org/authors/OL162488A/William_Ellery_Channing William Ellery Channing] sur Open Library. [https://www.worldcat.org/search?qt=worldcat_org_all&q=William+Ellery+Channing William Ellery Channing] sur WorldCat.org [http://cataloguelabs.bnf.fr/changerPageAdv.do?mots0=ALL%3B-1%3B0%3BWilliam+Ellery+Channing&mots1=ALL%3B0%3B0&typoCarto=&typoIcono=&typoAudio=&typoMus=&langue0=LAN%3B-1&langue1=LAN%3B0&nbResultParPage=10&afficheRegroup=false&affinageActif=false&pageEnCours=3&nbPage=5&triResultParPage=0&pageRech=rav William Ellery Channing] sur Bnf. {{Trouver des sources|William Ellery Channing}} === Œuvres sur l’esclavage === [[w:William Ellery Channing|William Ellery Channing]].- [https://openlibrary.org/books/OL6529011M/Slavery Slavery], J. Munroe and company, Boston, 1835, {{BNF|30220046f}} par M. [[w:Édouard Laboulaye|Édouard Laboulaye]], Channing, William Ellery.- Remarks on the slavery question, in a letter to Jonathan Philips, J. Munroe, Boston, 1839, {{BNF|30220056r}}. === Classes laborieuses (ouvrier) === Modern History Sourcebook: William Ellery Channing (1780-1842): [https://legacy.fordham.edu/halsall/mod/1840channing-labor.asp On The Elevation of The Laboring Classes, 1840]. ==== Abolition du 16 pluviôse An II & Invention du crime de lèse-humanité==== * [[Utilisateur:Ambre Troizat#Abolition des droits féodaux|Abolition des droits féodaux]] * [[w:Décret d'abolition de l'esclavage du 4 février 1794#Bibliographie|Décret d'abolition de l'esclavage du 4 février 1794, Bibliographie]] sur Wikipédia ;Pétitions des exclaves ou nouveaux libres * 1794 - {{Bibliographie|Q111154510}} <!-- Pétition adressée à la Convention nationale, le 15 nivôse an II, par André, mulâtre de Cayenne --> === Bibliographie === * 2014 - {{bibliographie|Q29638900}} <!-- A propos du crime de lèse-humanité --> == François-René de Chateaubriand (1768 - 1848) == === Œuvres de Chateaubriand (1768-1848), sous l'angle de l'esclavage === [[Fichier:Anne-Louis Girodet-Trioson 006.jpg|100px|vignette|gauche|[[w:François-René de Chateaubriand|Chateaubriand]] par [[w:Anne-Louis Girodet-Trioson|Anne-Louis Girodet-Trioson]].]] [[w:Lucile de Chateaubriand|Lucile de Chateaubriand]] (1764-1804), femme de lettres, sœur de [[w:François-René de Chateaubriand|François-René de Chateaubriand]] [[w:Armand de Chateaubriand|Armand de Chateaubriand]] (1768-1809), personnalité de la Révolution française '''[[w:François-René de Chateaubriand|François-René de Chateaubriand]]''', (1768 - 1848) écrivain et homme politique français '''''[[w:Céleste de Chateaubriand|Céleste de Chateaubriand]]''''' (1774-1847), épouse du vicomte [[w:François-René de Chateaubriand|François-René de Chateaubriand]]] '''[[w:Alphonse de Châteaubriant|Alphonse de Châteaubriant]]''' (1877-1951), écrivain, {{S|XIX-XX}} '''1838''' - {{bibliographie|Q29189282}} Comprend : Féodalité, chevalerie, éducation, mœurs générales des {{S|XII-XIII-XIV}}s &, considérations sur l’esclavage à ces époques, [https://books.google.fr/books?id=8FpDAQAAMAAJ&dq=Terre%20de%20France%20%2B%20esclave&hl=fr&pg=PA70#v=onepage&q=esclave&f=false 11 résultats] ; [https://books.google.fr/books?id=9FY9AAAAcAAJ&dq=Terre%20de%20France%20%2B%20esclave&hl=fr&pg=PA529#v=onepage&q=esclave&f=false 37 résultats pour "esclavage"] '''1838''' - {{bibliographie|Q29248730}} Comprend : [https://books.google.fr/books?id=9FY9AAAAcAAJ&dq=Terre%20de%20France%20%2B%20esclave&hl=fr&pg=PA529#v=onepage&q=Terre%20de%20France%20+%20esclave&f=false Féodalité, chevalerie, éducation, mœurs générales des {{S|XII-XIII-XIV}}s] & considérations sur l’esclavage à ces époques, [https://books.google.fr/books?id=9FY9AAAAcAAJ&dq=Terre%20de%20France%20%2B%20esclave&hl=fr&pg=PA529#v=onepage&q=esclave&f=false 37 résultats pour "esclavage"] '''1845''' - {{bibliographie|Q29187862}} Comprend : récit du règne de Louis X dit Hutin, avec le texte des lettres du 3 juillet 1315 abolissant l'esclavage, '''1861''' - {{bibliographie|Q29186080}} == François-André Isambert (avocat), 1792-1857 == [[Fichier:M Isambert.jpg|100px|vignette|gauche|François-André Isambert]] [[File:François-André Isambert lithographie.jpg|100px|thumb|gauche|François-André Isambert lithographie]] [[w:François-André Isambert (avocat)|François André Isambert]], né le {{Date de naissance-|30 novembre 1792}} à [[w:Aunay-sous-Auneau|Aunay-sous-Auneau]] et mort le {{Date de décès-|13 avril 1857}} à [[w:Paris|Paris]], est un juriste et homme politique français. Avocat aux conseils du roi, au [[w:Conseil d'État (France)|Conseil d’État]] et à la [[w:Cour de cassation (France)|Cour de cassation]], directeur du ''[[w:Bulletin des lois|Bulletin des lois]]'', conseiller à la Cour de cassation, député d’[[w:Eure-et-Loir|Eure-et-Loir]] (1830-1831) et de la [[w:Vendée (département)|Vendée]] (1832-1848), représentant du peuple à l'[[w:Assemblée constituante de 1848|Assemblée constituante de 1848]], vice-doyen de la Cour de cassation, il est l'auteur d'une œuvre monumentale en vingt-huit volumes intitulée ''[[d:Q22338208|Recueil général des anciennes lois françaises depuis 420 jusqu'à la Révolution de 1789]]<ref>Volume XIX, {{bibliographie|Q22338335}}</ref>''. Fondateur de la [[w:Société française pour l'abolition de l'esclavage|Société française pour l'abolition de l'esclavage]], sa lutte incessante contre l'esclavage, dont il sera le premier, en 1834, à demander le retour à l'abolition à la Chambre des députés, le place au plus haut rang parmi les abolitionnistes français. Cf. [[Utilisateur:Ambre Troizat#Projet Code Noir|Projet Code Noir]] {{Autres projets | idfaculté = | commons = François-André Isambert | wikispecies = | w = François-André Isambert (avocat) | wikt = | b = | s = François-André Isambert | q = | n = | m = | d = François-André Isambert (Q347268) | voy = }} {{Citation bloc|Parmi les innombrables procès politiques de cette période, signalons-en un qui concerne un avocat au conseil du roi à la cour de cassation, Isambert. Ayant publié à la Gazette des tribunaux sous le titre « Arrestations arbitraires », une consultation sur le point de savoir si la police pouvait arrêter et détenir des sujets du roi sans mandat préalable, il est traduit devant le tribunal correctionnel comme inculpé de provocation à la désobéissance aux lois. Assisté de Chauveau-Lagarde, président sortant de l’ordre des avocats à la cour de cassation, et de divers autres confrères, défendu par Dupin, il est condamné à cent francs d’amende, mais sur appel, la cour de Paris, sous la présidence du premier président Séguier, prononce un arrêt de relaxe » (Camille Kehl, p.99-101).|Des arrestations arbitraires, ou Débats du procès intenté à Me Isambert,... et à la "Gazette des tribunaux", au "Journal du commerce" et à "L'Écho du soir", {{BNF|364507821}}<br />Libres propos sur l'histoire du Barreau de Paris depuis deux siècles<ref>[http://bdp.avocatparis.org/actualites-2011/2-non-categorise/656-libres-propos-sur-lhistoire-du-barreau-de-paris-depuis-deux-siecles.html Libres propos sur l'histoire du Barreau de Paris depuis deux siècles], Bicentenaire du rétablissement de l’Ordre des avocats, 14 décembre 2010</ref>, 14 décembre 2010}} === Bibliographie François-André Isambert (avocat) === * 1821 - {{bibliographie|Q22338335}} <!-- Isambert.- Recueil général des anciennes loix --> * 1826 - {{bibliographie|Q22284489}} <!-- Mémoire de Isambert pour Bissette --> == Abolition de l’esclavage, 1848 (France) == [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Alexandre_Dumas,_pères_&_fils#Alexandre_Dumas,_la_traite_&_l'esclavage|Alexandre Dumas, la traite & l'esclavage]] == Abolition de l’esclavage (Brésil) == * 13 mai 1888 - [[w:Loi d'or|Loi d'or]] ; * 1888 : Sébastien Rozeaux.- L’abolition de l’esclavage au Brésil vue par la presse française, [https://www.retronews.fr/node/412747 retronews.fr], 13/02/2020 ** 2020 - {{bibliographie|Q85685323}}, publié le 13 février 2020 <!-- Sébastien Rozeaux.- 1888 - L’abolition de l’esclavage au Brésil vue par la presse française --> === Bibliographie === [[Fichier:Nègres à fond de cale.png|100px|vignette|gauche|Johann Moritz Rugendas.- Nègres à fond de cale dans [[d:Q85221792|Voyage pittoresque dans le Brésil]] ]] * 1835 - {{bibliographie|Q85221792}} <!-- Johann Moritz Rugendas, Voyage pittoresque dans le Brésil ** 2020 - {{bibliographie|Q85685323}}, publié le 13 février 2020 <!-- Sébastien Rozeaux.- 1888 - L’abolition de l’esclavage au Brésil vue par la presse française --> Voir également : [[d:Q1695315|Johann Lorenz Rugendas]], [https://catalogue.bnf.fr/rechercher.do?motRecherche=Lorenz+Rugendas%2C+Johann&critereRecherche=0&depart=0&facetteModifiee=ok Œuvres de Johann Lorenz Rugendas sur BNF] * Pièce Allégorique : [estampe] : Conversation entre les six puissances belligérantes Lorenz Rugendas, Johann. Graveur, {{BNF|41507696p}} * Scène après la bataille de la [[w:Belle-Alliance|Belle Alliance]], {{BNF|41510565n}} * Fuite de Napoléon dans la Bataille de Belle Alliance, le 18 juin 1815, {{BNF|41143578n}} * La Grande Bataille d'Austerlitz, {{BNF|41509832g}} Little Theresa == Abolition de l’esclavage (USA) == * 1853 - {{bibliographie|Q50293535}} <!-- Autographs for freedom --> === Abolition de l’esclavage (Sénégal) === * 2006 - {{bibliographie|Q25931416}}. == Abolition de l’esclavage : loi générale & loix particulières == [https://www.google.fr/search?tbm=bks&q=Loi+générale+%2B+abolition+de+l%27esclavage&gws_rd=cr&dcr=0&ei=EuTHWYvtJ4fNgAbj2Y2QAQ Loi générale + abolition de l'esclavage Recherche Google] [https://fr.wikisource.org/w/index.php?search=La+Révolution+fran%C3%A7aise+et+l%27abolition+de+l%27esclavage&title=Spécial:Recherche&fulltext=1&searchToken=1qmzsgi58oa1lrlizp8n25ghy La Révolution française et l'abolition de l'esclavage] == Abolition (de la traite) == * 19 novembre 1821 : Fondation de la [[w:Société de la morale chrétienne|Société de la morale chrétienne]] == Algorithmes & Données == Cf. Données & Algorithmes * Dominique Cardon.- [http://www.seuil.com/livre-9782021279962.htm A quoi rêvent les algorithmes], La République des idées, Seuil, 2015. == Anthropocène == * [[w:Anthropocène|Anthropocène]] * {{Trouver des sources|Anthropocène}} == La famille Angelo : une dysnatie de maître d’armes == <gallery> Fichier:Domenico Angelo.gif|Domenico Angelo Fichier:Henry Angelo by Mather Brown.jpg|Mather Brown.- Henry Angelo. Fichier:Henry Charles Angelo.jpg|Henry Charles Angelo (fils ?) </gallery> [[Fichier:Angelo Domenico Malevolti Fencing Print, 1763.JPG|100px|vignette|gauche|Angelo the fonder Fencing Print, 1763]] * '''Domenico Angelo Malevolti Tremamondo''', the founder, [[w:1716|1716]]-[[w:1802|1802]].<br />Parmi ses étudiants, il compte le Prince de Galles, future George III d’Angleterre & le Duke d’York. Il publie :<br /> ''[https://www.worldcat.org/title/ecole-des-armes-avec-lexplication-generale-des-principales-attitudes-et-positions-concernant-lescrime-with-47-plates/oclc/558074761?referer=br&ht=edition L’ecole des armes] : avec l’explication générale des principales attitudes et positions concernant l’escrime avec 47 illustrations<ref>Dominico Angelo, Lord Pembroke, and the Chevalier D'lion stood as models for the illustrations to this book, which were designed by Gwynn the painter. They were engraved by Grignion, Ryland, and Raimbach's master, Hall. </ref>'' en 1763 & 1771,<br /> [https://www.worldcat.org/title/escrime-etc-an-article-by-domenico-angelo-previously-published-separately-under-the-title-lecole-des-armes-leaves-extracted-from-vol-3-of-the-recueil-de-planches-of-the-encyclopedie-of-d-diderot-and-j-le-r-dalembert/oclc/560613081&referer=brief_results Escrime, etc]. Un article de Domenico Angelo, d’abord publié sous le titre "L'École des armes, " Feuilles extraites du vol. 3 of de "Recueil de planches" de l'"Encyclopédie" D. Diderot & J. le R. d’Alembert, Geneve, 1765, * '''Henry Charles Angelo the elder''', [[w:1760|1760]]-[[w:1839|1839]]<br /> Reminiscences of Henry Angelo, with memoirs of his late father and friends : including numerous original anecdotes and curious traits of the most celebrated characters that have flourished during the last eighty years, [https://archive.org/details/reminiscencesofh00ange Vol. 1] ; [https://archive.org/search.php?query=subject%3A%22Angelo%2C+Henry%2C+1756-1835%22&sort=date Autres éditions], 1828.<br /> Angelo's pic nic; or, Table talk, including numerous recollections of public characters, who have figured in some part or another of the stage of life for the last fifty years; forming an endless variety of talent, amusement, and interest, calculated to please every person fond of biographical sketches and anecdotes ... In addition to which are several original literary contributions, from the following distinguished authors: Colman, Theodore Hook, Bulwer [and others], [https://www.worldcat.org/title/angelos-pic-nic-or-table-talk-including-numerous-recollections-of-public-characters-who-have-figured-in-some-part-or-another-of-the-stage-of-life-for-the-last-fifty-years-forming-an-endless-variety-of-talent-amusement-and-interest-calculated-to-please-every-person-fond-of-biographical-sketches-and-anecdotes/oclc/1243906/editions?start_edition=1&sd=asc&referer=di&se=yr&qt=sort_yr_asc&editionsView=true&fq= 1834-1840-1905], [https://books.google.fr/books?id=p7JVAAAAcAAJ&lpg=PA38&ots=7NgfZn1FMb&dq=Angelo's%20Pic-nic&hl=fr&pg=PA21#v=onepage&q=George&f=false ''Lire en ligne : Life of the Chevalier de St. George''].<br /> Henry Charles Angelo, [https://archive.org/stream/miscellanies00dobsiala#page/32/mode/2up Angelo's "Reminscences"] in Austin Dobson, 1840-1921.- Miscellanies * '''Henry Charles Angelo the Younger''', [[w:1780|1780]]-[[w:1852|1852]], ''superintendent of sword exercise in the Army and the Royal Navy'' from [[w:1833|1833]] to [[w:1852|1852]].<br />[http://www.fioredeiliberi.org/topics/sources/1845-infantry-sword-exercise.pdf The Infantry Sword Exercise]''. 1845.<br />Angelo's bayonet exercise, Parker, London, [https://www.worldcat.org/title/angelos-bayonet-exercise/oclc/9955570&referer=brief_results 1857], With Victoria. Army. Volunteer Force, Great Britain. Army. Royal Regiment of Horse.- Bayonet exercise, as issued by authority of the Horse Guards : adapted to the use of the Volunteers of Victoria, George Robertson, Melbourne, [https://www.worldcat.org/title/bayonet-exercise-as-issued-by-authority-of-the-horse-guards-adapted-to-the-use-of-the-volunteers-of-victoria/oclc/220572048&referer=brief_results 1862]. '''Bibliographie''' * 1898 - {{bibliographie|Q110966096}} <!-- L'escrime à travers les âges --> == Archives == * [http://frda.stanford.edu/?locale=fr Archives numériques de la Révolution française] * [http://anom.archivesnationales.culture.gouv.fr/getpdf.php?mode=view&id=FRANOM_00092&fmt=.pdf Françoise Reynier, chargée d’études documentaires principale, Archives nationale d'Outre-mer], Ministère des Colonies, Séries documentaires, Série géographique Amérique, FRANOM 2400 COL 1-131, Répertoire. === The New York Public Library Digital Collections === * [https://digitalcollections.nypl.org/search/index?utf8=%E2%9C%93&keywords=Cotton+gin#/?scroll=27 The cotton Gin] * {{cite web | url=http://digitalcollections.nypl.org/items/510d47d9-acbe-a3d9-e040-e00a18064a99 | title= (still image) Ancient cotton gin antedating the Eli Whitney cotton gin., (1860 - 1920) |author=Digital Collections, The New York Public Library |accessdate=August 10, 2020 |publisher=The New York Public Library, Astor, Lenox, and Tilden Foundations}} === Michelet & l'utilisation de l'archive === {{Citation bloc|Paule Petitier : Michelet appartient aux premières générations d’historiens qui utilisent les documents d’archives. Le statut des archives s’est profondément modifié à la suite de la Révolution française. Une masse de documents d’Ancien régime s’est trouvée périmée par le changement d’organisation sociale et de système juridique. Ne relevant plus du secret d’État ou de la preuve judiciaire, ces documents ont pu être considérés comme des témoignages du passé et être étudiés comme tels.|Michelet, figure anticléricale et historien de génie, selon Paule Petitier<ref>[https://mail.google.com/mail/u/0/?hl=fr#inbox/FMfcgxwChSKrvrDRCDMHlDsdsshvfBKr Michelet, figure anticléricale et historien de génie, selon Paule Petitier]</ref>.}} == Armée == * 1851 - Étienne Alexandre baron Bardin, Nicholas Charles Victor Oudinot (duc de Reggio).- Dictionnaire de l’armée de terre: ou, Recherches historiques sur l’art et les usages militaires des anciens et des modernes, Librairie militaire, maritime et polytechnique de J. Corréard, 1851 [https://books.google.fr/books?id=oBhEAAAAYAAJ&hl=fr&pg=PA1329#v=onepage&q&f=false Volume 2], {{IA|bub_gb_36sWAAAAQAAJ}}. * 1862 - Chesnel, Adolphe de (1791-1862).- Dictionnaire des armées de terre et de mer, encyclopédie militaire et maritime... par le comte de Chesnel, ... Illustré dans le texte de plus de 1200 gravures au trait... par M. Jules Duvaux, Paris : A. Le Chevalier, 1862-1864, 2 vol. gr. in-8° , pl. et cartes, {{BNF|302346766}}. [https://archive.org/details/bub_gb_BvNKAAAAYAAJ IA Première partie] <nowiki>{{IA|bub_gb_BvNKAAAAYAAJ}}</nowiki>, [https://archive.org/details/bub_gb_72IVAAAAQAAJ IA Deuxième partie]. == Chirurgien de Marine == * Martin Fournier.- Jean Mauvide : de chirurgien à seigneur de l'île d’Orléans au {{s|XVIII|e}}, Les éditions du Septentrion, 187 pages, 2004, {{ISBN|2894483805}}, {{ISBN|9782894483800}}. * 1998 - André Côté, Thomas Paine, Joseph-Michel Cadet: 1719-1781 : négociant et munitionnaire du roi en Nouvelle-France, Volume 12 de Cahiers du Septentrion, Les éditions du Septentrion, 1998, {{ISBN|2894481012}}, {{ISBN|9782894481011}}. == Armée (Révolution Française) == Voir : * 13e régiment de chasseurs à cheval * Bataillons de volontaires nationaux * Légions de cavalerie * 1997 - Blaufarb Rafer. Démocratie et professionnalisme : l’avancement par l'élection dans l’armée française, 1760-1815. In: Annales historiques de la Révolution française, n°310, 1997. pp. 601-625. http://www.persee.fr/doc/ahrf_0003-4436_1997_num_310_1_2079#. DOI : 10.3406/ahrf.1997.2079 == Assemblées Nationales (Révolution de 1789) == === Convocation des Etats généraux === ==== Préparation de la convocation ==== * 5 juillet 1788 - [[s:Arrêt du conseil concernant la convocation des états généraux du royaume, Versailles, 5 juillet 1788|Arrêt du conseil concernant la convocation des états généraux du royaume, Versailles, 5 juillet 1788]] * 27 décembre 1788 - {{bibliographie|Q97152407}}, Interroger les conséquences de la [[d:Q23937513|suppression du droit de main-morte et de servitude et abolition générale du droit de suite]] de 1779 sur la préparation des Etats Généraux de 1789. Le document ''Résultat du Conseil d'Etat du Roi tenu à Versailles le 27 décembre 1788'' ne fait pas mention des colonies ni des esclaves ou de l'esclavage. Le document de 1788 donne le primat au Tiers-Etat sur l'ordre de la noblesse et le clergé pris séparément. {{Citation bloc|''3. Que le nombre des Députés du Tiers état sera égal à celui des deux autres Ordres réunis & que cette proportion sera établie par les lettres de convocation.''}} *A propos de ː [[w:Convocation des états généraux de 1789|Convocation des états généraux de 1789]] modifiée le 31 mai 2019 par Seudo. Utilisation de [[s:Page:Recueil général des anciennes lois françaises, tome 28.djvu/613|Page:Recueil général des anciennes lois françaises, tome 28.djvu/613]]. * Fiche {{BNF|33704918h}} pour Arrêt du conseil d'Etat du roi, concernant la convocation des états généraux du royaume. Extrait des registres du conseil d'Etat, du cinq juillet mil sept cent quatre vingt huit. On peut citer directement la source secondaire * Armand Brette.- Recueil de documents relatifs à la convocation des États généraux de 1789, 4 volumes, Impr. nationale, Paris, 1894-1915, {{BNF|34018014r}}. Le document se trouve à [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k62169428/f197.item.r=Arrêt%20du%20conseil%20d'Etat%20du%20roi,%20concernant%20la%20convocation%20des%20états%20généraux%20du%20royaume cette page]. On peut consulter ː * 1788 - France. Conseil d'Etat.- [https://archive.org/details/destatsgnrauxetd00fran/page/80Des États généraux, et de leur convocation : avec la chronologie des Etats-généraux, par Savaron, & l'analyse des fameux Etats assemblées à Tours, qui comprend l'ordre & les noms des députés par bailliages, &c. ; un plan nouveau suivi de l'indication des meilleurs ouvrages imprimés ou manuscrits, qui peuvent donner les connoissances relatives aux Assemblées nationales & aux Etats-généraux, & des endroits où ils se trouvent]. == L'ère des constitutions == === République de Saint-Marin, 301-1600 === [[Fichier:San Marino constitution 1600.jpg|100 px|vignette|gauche|Page de titre de la VIème Constitution de [[w:Saint-Marin|sérénissime république de Saint-Marin]]]] Fondation conventionnelle le 3 septembre 301. La 6e constitution date du 8 octobre 1600 === La Corse adopte une constitution démocratique, 1755 === En 1755, la Corse adopte la première constitution démocratique de l'histoire moderne donnant pour la première fois le droit de vote aux femmes. Le projet constitutionnel est un essai du philosophe et écrivain Jean-Jacques Rousseau<ref>[http://classiques.uqac.ca/classiques/Rousseau_jj/projet_corse/projet_corse.html Rousseau.- Projet de constitution pour la Corse, 1763]</ref>. Le 15 mai 1768, elle est cédée par la République de Gênes à la France, bien que Gênes n'ait qu'une emprise limitée sur l'île depuis la déclaration d'indépendance de 1755. Elle est conquise militairement par le Royaume de France lors de la bataille de Ponte-Novo, le 9 mai 1769. '''1861''' - {{Bibliographie|Q19221676}} <!-- Jean-Jacques Rousseau et George Streckeisen-Moultou (dir.), Œuvres et Correspondance inédites de J. J. Rousseau --> [[s:Œuvres et correspondance inédites/II|Projet de Constitution pour la Corse]] [[s:Œuvres et correspondance inédites/IIa|Affaires de la Corse]] [[s:Œuvres et correspondance inédites/IIb|Correspondance de J. J. Rousseau et de M. de Buttafuoco]] [[s:Œuvres et correspondance inédites/IIc|Extrait d’une Préface de M. G. Moultou]] [[s:Œuvres et correspondance inédites/IId|Projet de Constitution]] '''1932''' - Ernestine Dedeck-Héry.- [https://books.google.fr/books?id=cAlzugEACAAJ Jean-Jacques Rousseau et le projet de constitution pour la Corse], Histoire des pourparlers de J.-J. Rousseau avec ses correspondants corses et des répercussions de ces pourparlers dans le monde des lettres, French Printing & Publishing Company, 1932, 112 pages '''1967''' - Ronald Grimsley ; Encyclopedia.com.- [https://www.encyclopedia.com/humanities/encyclopedias-almanacs-transcripts-and-maps/rousseau-jean-jacques-1712-1778 Rousseau, Jean-Jacques (1712–1778)] : Any specific form of government, as Rousseau was to show very clearly in his Projet de constitution pour la Corse (1765) and his Consid é rations sur le gouvernement de la Pologne (probably written about 1770 – 1771), will depend on a variety of historical and geographical factors. '''1978''' - Biou Jean. [https://www.persee.fr/doc/ahrf_0003-4436_1978_num_234_1_1027 La théorie politique de Rousseau. L'homme et le citoyen]. In: Annales historiques de la Révolution française, n°234, 1978. Jean-Jacques Rousseau. Pour le deuxième centenaire de sa naissance. pp. 501-533. DOI : https://doi.org/10.3406/ahrf.1978.1027 '''avril 2012''' - [http://www.ac-grenoble.fr/PhiloSophie/old2/file/rousseau_corse.pdf Jean-Jacques Rousseau.- Projet de constitution pour la Corse], Edition numérique : Pierre Hidalgo Source, Les classiques de sciences sociales, La gaya scienza, avril 2012 '''27 juin 2012''' - Jean Stouff.- [https://biblioweb.hypotheses.org/11595 Un ami de Rousseau… et de Voltaire : Paul-Claude Moultou] Projet de Constitution pour la Corse === Constitution des États-Unis d'Amérique, 1787-1789 === [[s:Constitution des États-Unis d’Amérique|Constitution des États-Unis d’Amérique]] La [[w:Constitution des États-Unis|Constitution des États-Unis d'Amérique]] ou "loi suprême du pays" a été ratifiée le 17 septembre 1787 par la [[w:Convention de Philadelphie|Convention de Philadelphie]] représentant les treize États fédérés. La constitution de 1787 crée un [[w:État fédéral|État fédéral]] républicain et un [[W:régime présidentiel|régime présidentiel]]. Elle s'applique depuis le 4 mars 1789 & sur l'ensemble des Etats de la Fédération. * [[d:Q69548953|1909]] - {{bibliographie|Q69548953}} <!-- (en) États-Unis d'Amérique et Francis Newton Thorpe (dir.), The Federal and state constitutions --> ** 1909 - {{bibliographie|Q69540656}} <!-- (en) États-Unis d'Amérique et Francis Newton Thorpe (dir.), The Federal and state constitutions, Vol. V --> === La Gazette de France === La Gazette de France<ref>Ne pas confondre avec "[[w:Mercure françois|Mercure françois]]". Ni ''[[s:Mercure de France|Mercure de France]]'', ''[[w:Mercure galant|Mercure galant]]'' puis ''Mercure de France''</ref> - Numéros 1 à 104 1765 - La Gazette de France, vendredi 4 janvier 1765 - 30 décembre 1765 1768 - Théophraste Renaudot.- [https://archive.org/details/lagazettedefran00unkngoog/page/n7 La Gazette de France.] TABLE ou ABRÉGÉ DES CENT TRENTE-CINQ VOLUMES DE LÀ GAZETTE DE FRANCE, Depuis fin commencement 4n i ^3 ijufquà la fin de tannée 1765. Tome troisième 1786 - Aubry-Foucault, Louis, Guth.- [https://archive.org/details/avertissementsur00aubr/page/n2 Avertissement sur la Gazette de France] ==== La Gazette de France & l'affaire Réveillon, 27 et 28 avril 1789 ==== Le 28 avril 1789 une fusillade au faubourg Saint-Antoine faisait des centaines de morts. La Gazette de France, qui donne les nouvelles officielles du royaume, ne dit rien de cette actualité révélatrice de la révolution en cours. {{Citation bloc|De Versailles, le 3 mai 1789 […]. Les députés des trois ordres aux états généraux ayant été avertis par une proclamation, faite le 1er de ce mois, dans toutes les places & tous les carrefours de cette Ville par le Roi-d'armes de France, précédé de quatre Hérauts-d'armes, que le Roi les admettrait, le 2, à l'honneur de lui être présentés, se sont rendus, ce jour, en habit de cérémonie, dans le Salon d'Hercule, à l'heure qui leur avait été indiquée.|La Gazette de France, 3 mai 1789<ref> Guillaume Mazeau.- [https://www.retronews.fr/node/380492?utm_source=site_retronews&utm_medium=push-echo&utm_campaign=push27072019%20&utm_content=printemps-1789-:-quand-la-presse-officielle-du-royaume-occulte-le-début-de-la-révolution-# Printemps 1789 : quand la presse officielle du royaume occulte le début de la Révolution], retronews.fr, 03/05/2019 modifié le 27/07/2019.</ref>}} == Révolution française des Etats Généraux à la Convention nationale == [[Utilisateur:Ambre_Troizat/La_Révolution_française_en_1790#Révolution_française_des_Etats_Généraux_à_la_Convention_nationale|Révolution française des Etats Généraux à la Convention nationale]] == Cyrille Bissette + Alexandre Gatine == * https://catalogue.bnf.fr/search.do?mots0=ALL;-1;0;Cyrille+Bissette&mots1=ALL;0;0;Alexandre+Gatine&&pageRech=rav * https://www.google.com/search?tbm=bks&q=Cyrille+Bissette+%2B+Alexandre+Gatine * https://books.google.fr/books?id=Yf1RHkdvf_UC&pg=PA66&dq=Alexandre+Gatine&hl=fr&sa=X&ved=0ahUKEwjZrcjz6ePmAhXFy4UKHWMLB1gQ6AEIUjAF#v=onepage&q=Alexandre%20Gatine&f=false * https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb37223621f * https://books.google.fr/books?id=Yf1RHkdvf_UC&pg=PA66&dq=Alexandre+Gatine&hl=fr&sa=X&ved=0ahUKEwjZrcjz6ePmAhXFy4UKHWMLB1gQ6AEIUjAF#v=onepage&q=Alexandre%20Gatine&f=false === "Côté des noirs" === == Politique financière == * 2014 - {{bibliographie|Q112056717}} <!--La Révolution française dans l'infortune de la finance --> === Assignat === [[Fichier:FRA-A73-République Française-400 livres (1792) 2.jpg|100px|vignette|gauche|Assignat de 400 livres, 1792]] [[Fichier:Change des assignats au Perron du Palais-Royal par Claude-Louis Desrais.jpg|100px|vignette|gauche|Change des assignats au Palais-Royal]] L′assignat est une monnaie fiduciaire, mise en place sous la Révolution française entre 1789 & 1797, qui devait résoudre la question de la [[w:Dette_publique#Fondamentaux_historiques|dette publique]]. Dans le royaume de France, la question de la dette publique est du ressort des États généraux. {{Autres projets |w=Assignat |s=Spécial:Recherche/Assignats |commons=Category:Assignat }} * {{Ouvrage | langue = fr | prénom1 = François-Louis-Joseph | nom1 = Laborde de Méréville (de) | prénom2 = Assemblée Nationale | nom2 = Constituante (Février 1791) | lien auteur1 = w:François Louis Jean-Joseph de Laborde de Méréville | lien auteur2 = w:Assemblée constituante de 1789 | titre = Décret précédé du rapport fait à l’Assemblée nationale sur les assignats | sous-titre = Acte. 3 février 1791 | lien titre = | numéro d'édition = | éditeur = Imprimerie nationale | collection = | lien éditeur = w:Imprimerie nationale | lieu = Paris | année = [[w:1791 en littérature|1791]] | mois = Février | volume = | tome = | pages totales = 7 | passage = | dnb = 30704210d | isbn = | oclc = 25648039 | doi = | url = | lire en ligne = https://archive.org/details/LabordeMrvilleAssignat1791 | consulté le = 12 octobre 2015 | présentation en ligne = https://www.worldcat.org/search?q=Décret+précédé+du+rapport+fait+%C3%A0+l%27Assemblée+nationale+sur+les+assignats&fq=&dblist=638&qt=sort&se=yr&sd=asc&qt=sort_yr_asc | commentaire = | id = }} == B == [[Fichier:Luca Pacioli, De divina proportione, Letter B.jpg|100px|vignette|centré]] == Sarah Saartjie Sawtche-Baartman == [[Fichier:Sawtche (dite Sarah Saartjie Baartman), étudiée comme Femme de race Bôchismann, Histoire Naturelle des Mammifères, tome II, Cuvier, Werner, de Lasteyrie.jpg|100px|vignette|gauche|Sarah Saartjie Sawtche-Baartman [[w:Saartjie Baartman|(''Saartjie Baartman'')]].]] [[w:Saartjie Baartman|Sarah Saartjie Sawtche-Baartman (''Saartjie Baartman'')]]<ref>[https://books.google.com/ngrams/graph?content=Saartjie+Baartman%2CVénus+hottentote%2CVénus+noire&year_start=1500&year_end=2008&corpus=19&smoothing=6&share=&direct_url=t1%3B%2CSaartjie%20Baartman%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2CVénus%20hottentote%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2CVénus%20noire%3B%2Cc0 Saartjie Baartman,Vénus hottentote,Vénus noire], Ngram Viewer 2 février 2017</ref>, de son vrai nom ''"Sawtche"'', surnommée la "''Vénus hottentote''", serait née aux abords de la [[w:Gamtoos|Gamtoos River]] ([[w:Cap-Oriental|Cap-Oriental]]) aux alentours de [[w:1789|1789]] dans l'actuelle [[w:Afrique du Sud|Afrique du Sud]] au sein du peuple [[w:Khoïkhoï|Khoïkhoï]] ([[w:Khoïsan|Khoïsan]]), le plus ancien de la région sud de l'[[w:Afrique|Afrique]]. Elle mourra à [[w:Paris|Paris]] le {{date|29|décembre|1815}} 29 décembre 1815. === Bibliographie "Sarah Saartjie Sawtche-Baartman" === * [[w:Vénus callipyge|Vénus callipyge]], [[c:File:Napoli BW 2013-05-16 16-41-43 DxO.jpg|Musée archéologique national de Naples]] * [[c:File:Baartman 01a.jpg|Saartjie Baartman (1790–1815)]], représentation du {{S|XIX}}, manque de références * 2016 - {{bibliographie|Q28603593}}, publié le 15 septembre 2016 <Center> <gallery> File:Venus de Lespugue (replica).jpg File:Vestonicka venuse edit.jpg </gallery> </Center> == François Barbé-Marbois == Le marquis [[w:François Barbé-Marbois|François Barbé-Marbois]], né le 31 janvier 1745 à [[w:Metz|Metz]] en Lorraine et mort le 12 janvier 1837 à Paris, est un diplomate : En [[w:1803|1803]] il négocie le [[w:traité de cession de la Louisiane|traité de cession de la Louisiane]] aux [[w:États-Unis|États-Unis d'Amérique]]. Homme politique, il fut ministres de [[w:Napoléon Ier|Napoléon Ier]] et premier président de la [[w:Cour des comptes (France)|Cour des comptes]]. == Bataillons de volontaires nationaux (Révolution Française) == À l’aube de la Révolution Française, la destruction des institutions d’Ancien Régime et l'émigration de la noblesse provoque la déliquescence de l’armée tandis le régime politique naissant doit assurer la défense du territoire face à l’Autriche et la Prusse. L’article 14 de la loi du 15 juin 1791 répond à l’urgence de défense en organisant l’inscription de [[w:Volontaires nationaux pendant la Révolution|Bataillons de volontaires nationaux]]<ref>[[w:Volontaires nationaux pendant la Révolution|Volontaires nationaux pendant la Révolution, Liste des bataillons par départements, Historique – Composition]]</ref>. Un registre est ouvert, dans chaque district. * {{Ouvrage | langue = fr | prénom1 = Georges Armand Louis | nom1 = Dumont | prénom2 = | nom2 = | lien auteur1 = w:Georges Armand Louis Dumont | lien auteur2 = | titre = Études sur l’armée pendant la révolution | sous-titre = I{{ère}} série, 1791. Bataillons de volontaires nationaux, Cadres et historiques | lien titre = | numéro d'édition = | éditeur = H. Charles-Lavauzelle | collection = | lien éditeur = | lieu = | année = [[w:1914 en littérature|1914]] | mois = | volume = | tome = | pages totales = | passage = Études sur l’armée pendant la Révolution. 1re série. 1791. Bataillons de volontaires nationaux, etc. ; Bataillons de volontaires nationaux (Cadres et historiques) ; Les levées révolutionaires et les bataillons de volontaires nationaux du departement des Ardennes ; Les volontaires de la Marne ; Les volontaires de la Marne. Ire ptie. Levée et recrutement (1791-1793) ; Le Deuxième bataillon des volontaires nationaux de la Marne (Châlons, Sainte-Menehould), 1791-1794. [https://www.worldcat.org/search?qt=worldcat_org_all&q=Georges+Armand+Louis+Dumont WorldCat.or]. | dnb = | isbn = | oclc = | doi = | url = | lire en ligne = https://archive.org/details/bataillonsdevolo00dumo | consulté le = | présentation en ligne = https://www.worldcat.org/title/bataillons-de-volontaires-nationaux-cadres-et-historiques/oclc/858227106/editions?referer=di&editionsView=true | commentaire = | id = }} == Jean-Baptiste Baillon == [[w:Jean-Baptiste Baillon|Jean-Baptiste Baillon]] == Enfants naturels (Bâtards) == Ce terme de ''[[w:bâtard|bâtard]]'' a des connotations négatives, mais celles-ci disparaissent lorsqu’il désigne les bâtards de familles royales ou princières qui étaient souvent [[w:Bâtard légitimé|légitimés]] et occupaient des rangs sociaux élevés (voir la [[w:liste de bâtards célèbres|liste de bâtards célèbres]]). * 1305 - [[s:Page:Recueil général des anciennes lois françaises, tome 2.djvu/479|N°. 415. — Lettres ''par lesquelles le Roi accorde à un bâtard la faculté de disposer de ses biens''.]], Athiés, juin, 1305. (C L. I, 189, à la note.). Le texte est en latin. {{Citation bloc|Le mariage étant la ſeule voie légitime de la propagation du genre humain, il eſt juſte de diſtinguer la condition des bâtards, de celle des enfans légitimes. Et c'eſt à cauſe de cette diſtinction que les loix rendent les bâtards incapables des ſucceſſions ab inteſtat, & que comme ils ne ſuccèdent à perſonne, n'étant d'aucune famille, perſonne auſſi ne leur ſuccede que leurs enfans légitimes ; ainfi qu’il fera expliqué en ſon lieu. Voyez l'ordonnance de Charles VI. de 1336.|[[s:Page:Jean Domat.- Les loix civiles, 1777.djvu/66|Jean Domat.- Les loix civiles, 1777, p. 12]].}} {{Citation bloc|[[s:Page:Recueil général des anciennes lois françaises, tome 20.djvu/546|N° 2100. — Edit portant création de 20,000 liv. de rente en faveur des étrangers établis dans le royaume et des bâtards]].<br />Versailles, février 1709. (Rec cass.)<br /> PRÉAMBULE.<br /> LOUIS, etc. Par notre déclaration du 22 juillet 1697, nous avons confirmé toutes les lettres de naturalité et de déclarations accordées aux étrangers établis dans notre royaume depuis l’année 1600, et ordonné qu’il en seroit expédié à ceux qui n’en avoient point encore obtenu. Nous avons aussi ordonné que tous les bâtards, soit qu’ils eussent obtenu ou non nos lettres de légitimation, seroient réputés et tenus pour légitimes, et qu’ils jouiroient des mêmes honneurs, franchises, libertés, immunités, facultés, privilèges, et exemptions dont jouissent nos légitimes sujets nés en loyal mariage. Ces avantages sont si considérables, que nous ne doutons point qu’ils ne soient volontiers portés à nous secourir dans la conjoncture présente de nos affaires, en sorte que pour leur en faciliter les moyens d’une manière qui ne leur soit aucunement onéreuse, nous avons résolu de leur attribuer des rentes au denier vingt, au moyen de quoi ils demeureront confirmés dans tous les droits et facultés que nous leur avons ci-devant accordés. À ces causes, etc.|}} * 1788 - {{bibliographie|Q114625738}} <!-- Quels seroient les moyens compatibles avec les bonnes mœurs, d'assurer la conservation des bâtards, & d'en tirer une plus grande utilité pour l'Etat ? --> ** 2017 - {{bibliographie|Q114624410}} <!-- Et les bâtards devinrent citoyens --> === Louis d'Orléans, "Bâtard d'Orléans" === Louis d'Orléans (+1397), dit "Bâtard d'Orléans, évêque de Beauvais de 1395 à 1397 est fils de Philippe Ier, (1336-1373), duc d'Orléans & comte de Valois, lequel est resté sans postérité légitime<ref>Marie Nicolas Bouillet.- Atlas universel d'histoire et de geographie: contenant la chronologie, la genealogie, la geographie,Hachette, 1872, [https://books.google.fr/books?id=ZouviIyqWGsC&dq=Philippe%20Ier%2C%20duc%20d'Orléans%20%2B%20père%20%2B%20Louis%20d'Orléans%20%2B%201397&hl=fr&pg=PA403#v=onepage&q=Philippe%20Ier,%20duc%20d'Orléans%20+%20père%20+%20Louis%20d'Orléans%20+%201397&f=false page 403]</ref>. {{Citation bloc|Louis {{Ier}} d'Orléans, moine ce l'abbaye de Saint-Lucien, puis évêque rie Poitiers, succéda à Thomas, et mourut à Jérusalem le 97 mars 1397.|Charles Louis Richard.- Bibliothèque sacrée, ou Dictionnaire universel historique, dogmatique, canonique, géographique et chronologique des sciences ecclésiastiques<ref>Charles Louis Richard.- Bibliothèque sacrée, ou Dictionnaire universel historique, dogmatique, canonique, géographique et chronologique des sciences ecclésiastiques, Volumes 27 à 28, Boiste fils ainé, 1827, [https://books.google.fr/books?id=X71IAAAAMAAJ&lpg=RA1-PA144&ots=NsErTQgfN5&hl=fr&pg=RA1-PA144#v=onepage&q&f=false page 144]</ref>, Boiste fils ainé, 1827.}} === Jean, bâtard d'Orléans, comte de Dunois === [[w:Jean de Dunois|Jean, bâtard d'Orléans]] (1403-1468), comte de Dunois, fils naturel de Louis Ier d'Orléans (''frère du roi de France [[w:Charles VI (roi de France)|Charles VI]]''), chambellan du roi en 1422, grand chambellan de France à l'avènement de Charles VII. Enfant, il est élevé dans la famille légitime de son père aux côtés de son demi-frère [[w:Charles Ier d'Orléans|Charles d'Orléans]], et notamment, dans les premières années, sous la direction de l'épouse de celui-ci, Valentine Visconti (1366-1408), comtesse de Vertus. ''Cette pratique est d’usage courant à l'époque dans les familles nobles ou de lignage royal''. === Les bâtards de Louis XIV === * Aucun des neuf enfants du [[w:Louis Auguste de Bourbon, duc du Maine|duc du Maine]] n'ayant eu de postérité, [[w:Louis Philippe d'Orléans (1747-1793)|duc de Chartres]], futur Philippe-Égalité, recueillit, par son mariage avec [[w:Louise Marie Adélaïde de Bourbon|Adélaïde de Penthièvre]], fille du [[w:Louis Jean Marie de Bourbon|duc de Penthièvre]], fils unique du [[w:Louis Alexandre de Bourbon|comte de Toulouse]], l'héritage colossal des légitimés de Louis XIV. * Mémoires de famille de l'abbé Lambert, dernier confesseur du duc de Penthièvre, aumônier de la duchesse douairière d'Orléans, sur la Révolution & l'Émigration, 1791-1799 <https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k112151c/texteBrut> === Enfants naturels & enfants de la nature, enfants sauvage === Un questionnement sur le langage humain, la langue et la culture {{Citation bloc|''Le mythe du « bon sauvage » a permis aux écrivains contemporains de développer une forme de critique sociale sur les aberrations et les injustices de la société''.| Le [[w:Bon sauvage|Bon sauvage]]}} * [[w:Marie-Angélique le Blanc|Marie-Angélique le Blanc]] ===Bibliographie (enfants naturels) == * 1757 - [https://www.google.fr/books/edition/Ordonnances_des_roys_de_France_de_la_tro/vfXzAAAAMAAJ?hl=fr&gbpv=1 Batards] dans Ordonnances des roys de France de la troisième race recueillies par ordre chonologique, avec des renvoys des unes aux autres, des sommaires, des observations sur le texte · Volumes 1-9 == Beaumont / Elie de Beaumont (Patronyme, Humain) == === Beaumont (patronyme) === ==== Jeanne-Marie Leprince de Beaumont (1711-1780), pédagogue ==== [[w:Jeanne-Marie Leprince de Beaumont|Jeanne-Marie Leprince de Beaumont]], (26 avril 1711 - 8 septembre 1780), pédagogue, journaliste et écrivain, auteur d'une soixantaine de volumes de contes pour enfants, comme La Belle et la Bête, L'Oiseau bleu, est la fille de [[w:Jean-Baptiste Le Prince|Jean-Baptiste Nicolas Le Prince / Jean-Baptiste Le Prince (1734–1781)]], [[c:Category:Jean-Baptiste Le Prince|peintre & sculpteur]] & la [http://bibliothequenumerique.tv5monde.com/auteur/40/Jeanne-Marie-Leprince-de-Beaumont bisaïeule de Prosper Mérimée]. Mariée en 1743, à Lunéville, 54300, Meurthe-et-Moselle, France, avec X de BEAUMONT, Chevalier de Beaumont. {{Citation bloc|En 1737, Lunéville échut à l'ancien roi de Pologne, Stanislas Leszynski. Restée à la cour, Marie Leprince gagna la faveur du roi grâce à ses performances de chanteuse et d'actrice dans les divertissements de la cour. C'est là qu'elle rencontra un gentilhomme libertin français, Grimard de Beaumont<ref>En 1743, elle épouse Antoine Grimard, marquis de Beaumont, capitaine des gardes</ref>, qu'elle épousa en 1743 et qu'elle quitta deux ans après.|Uta Janssens.- Les Magazins de Mme Leprince de Beaumont et renseignement privé et public du français en Europe (1750-1850)<ref>Uta Janssens, "[http://journals.openedition.org/dhfles/3017 Les Magazins de Mme Leprince de Beaumont et renseignement privé et public du français en Europe (1750-1850)], Documents pour l’histoire du français langue étrangère ou seconde [En ligne], 24 | 1999, mis en ligne le 22 janvier 2015, consulté le 07 juillet 2018.</ref>}} Madame Jeanne-Marie Leprince de Beaumont est classée parmi les précieuses<ref>[https://books.google.fr/books?id=l4FTbmvPW7EC&lpg=PP1&dq=Antoine%20Grimard%20%2B%20marquis%20de%20Beaumont%20%2B%20capitaine%20des%20gardesBeaumont&hl=fr&pg=PA44#v=onepage&q&f=false Qu'est-ce qu'une précieuse] ; [https://books.google.fr/books?id=l4FTbmvPW7EC&lpg=PP1&dq=Antoine%20Grimard%20%2B%20marquis%20de%20Beaumont%20%2B%20capitaine%20des%20gardesBeaumont&hl=fr&pg=PP1#v=onepage&q=Beaumont&f=false La seconde préciosité: floraison des conteuses de 1690 à 1756]</ref> ==== Grimard LEPRINCE DE BEAUMONT (1723 - circa 1758) ==== Chevalier DE BEAUMONT, Capitaine aux gardes. De son mariage avec [https://gw.geneanet.org/arnac?lang=en&n=le+prince&oc=0&p=jeanne+marie+barbe Jeanne-Marie Leprince de Beaumont (1711-1780)] nait Elisabeth Charlotte LEPRINCE DE BEAUMONT (1744-1825). ==== Charles de Beaumont, chevalier d'Éon (1728-1810) ==== [[Fichier:Procuration avec description du chevalier Charles d’Éon Beaumont, dit chevalier d’Éon - Archives Nationales - ET-XXVII-310 res -54 - (1).jpg|100px|vignette|gauche|Manuscrit du chevalier Charles d’Éon Beaumont, 1762]] [[Fichier:Portrait de Ch. G. L. A. A. T. d'Eon de Beaumont, en pied, représenté avec les attributs de Pallas.png|100px|vignette|gauche|de Beaumont représenté en [[w:Athéna|Pallas (Athéna)]]]] [[w:Charles de Beaumont, chevalier d'Éon|Charles de Beaumont, chevalier d'Éon / Éon, Charles de Beaumont d' (1728-1810)]], diplomate, espion et homme de lettres français Titre : Les Loisirs du chevalier d'Eon de Beaumont,... sur divers sujets importants d'administration, etc., pendant son séjour en Angleterre.... Tome 10 Auteur : Éon, Charles de Beaumont d' (1728-1810). Auteur du texte Date d'édition : 1775 {{BNF|30401617p}} Titre : [[d:Q715027|Chevalière d'Eon]] ? : [photographie, tirage de démonstration] / [Atelier Nadar] Auteur : Atelier Nadar. Photographe Date d'édition : 1900 Sujet : [[w:Charles de Beaumont, chevalier d'Éon|Éon, Charles de Beaumont d' (1728-1810)]] -- Portraits, 19e siècle BnF : {{BNF|436266860 }} Titre : XVIIIe Siècle, Galant et Littéraire [https://archive.org/stream/xviiiesiclegal0203brus/xviiiesiclegal0203brus#page/n245/mode/1up/search/Beaumont Affaire Beaumarchais/d'Eon] [[c:File:XVIIIe Siècle, Galant et Littéraire (1888) (14579421538).jpg|Image illustrant un texte du chevalier d'Eon]] [https://archive.org/stream/xviiiesiclegal0203brus/xviiiesiclegal0203brus#page/n166/mode/1up/search/George monté comme un Saint George]] Charles Geneviève Louis Auguste André Timothée chevalier de Eon de Beaumont (chevalier de).- [https://books.google.fr/books?id=nquGzcorXcIC Pieces rélatives aux Démêlés entre mademoiselle d'Eon de Beaumont, chevalier de l'ordre roial & militaire de Saint Louis 6 ministre plénipotentiaire de France, &c. &c. &c. et le sieur Caron dit de Beaumarchais &c. &c. &c. 1778], Charles Geneviève Louis Auguste André Timothée chevalier de Eon de Beaumont (chevalier de), 1778 {{Citation bloc|Il en profita pour vivre, pendant la même époque, en donnant dans les salles de théâtre ou les jardins publics de Londres des assauts d'armes qui attiraient ceux qui l'avaient vu, en habits de femme, boutonner sept fois le fameux Saint-Georges devant une assemblée composée des plus grands personnages de l'Angleterre et présidée par le prince de Galles.|M. de Lescure.- Le chevalier d'Eon, Documents nouveaux, Journal officiel de la République française, Paris, 26 août 1875<ref>Journal officiel de la République française, Paris, 26 août 1875, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k62101343/f15.image.r=boutonner%20sept%20fois%20le%20fameux%20Saint%20George?rk=21459;2 Gallica], {{BNF|328020909}}<br>[https://www.retronews.fr/conflits-et-relations-internationales/long-format/2018/09/24/l-histoire-du-chevalier-deon-espion-de L’histoire du chevalier d’Éon, espion de Louis XV transformiste]</ref>.}} * 14 juillet 1875 - Sciences, Littérature, Beaux-Arts — Etudes historiques. — Le chevalier d'Eon. — Documents nouveaux, Journal officiel de la République française, Paris, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k62111953/f29.image.r=chevalier%20d'Eon?rk=64378;0 1875/07/14 (A7,N191)] * 28 juillet 1875 - Sciences, Littérature, Beaux-Arts — Etudes historiques. — Le chevalier d'Eon. — Documents nouveaux, Journal officiel de la République française, Paris, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6211209p/f29.image.r=chevalier%20d'Eon?rk=107296;4 1875/07/28 (A7,N205)]. === Bibliographie === * 1885 - {{bibliographie|Q75730711}} <!-- 1885 - (en) John Buchan Telfer, The strange career of the Chevalier d'Eon de Beaumont --> ==== Charles Marie de Beaumont d'Autichamp]] (1770-1859) ==== [[w:Charles Marie de Beaumont d'Autichamp|Charles Marie de Beaumont d'Autichamp (1770-1859)]], Lieutenant-général des armées du Roi ==== Gustave de Beaumont (1802-1866)==== [[w:Gustave de Beaumont|Gustave de Beaumont, 6 février 1802 - 30 mars 1866]]. '''Œuvres''' * ''[http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b8618417z Du système pénitentiaire aux États-Unis et de son application en France]'', en collaboration avec [[Alexis de Tocqueville]], 1833. * ''[http://classiques.uqac.ca/classiques/beaumont_gustave_de/marie_ou_esclavage_aux_EU/marie.html Marie ou l'esclavage aux États-Unis]'', 1835 <small>(texte intégral sur classiques.uqac.ca)</small>. * ''L'Irlande sociale, politique et religieuse'', [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6536663p tome 1] et [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6536679j tome 2] de la 7ème édition (1863), 1839-1842. ==== Charles-Édouard de Beaumont (1821-1888), peintre ==== [[w:Charles-Édouard de Beaumont|Charles-Édouard de Beaumont (1821-1888), peintre et lithographe === Elie de Beaumont (patronyme)=== [[w:Elie de Beaumont|Elie de Beaumont]] * M. Moulin-Vicaire.- [https://www.persee.fr/doc/annor_0003-4134_1958_num_8_3_4383 Elie de Beaumont et le château de Canon de 1768 à 1786]. In: Annales de Normandie, 8ᵉ année, n°3, 1958, pp. 335-352, DOI : https://doi.org/10.3406/annor.1958.4383 ==== Jean-Baptiste-Jacques Élie de Beaumont (1732-1786) ==== [[w:Jean-Baptiste-Jacques Élie de Beaumont|Jean-Baptiste-Jacques Élie de Beaumont]], (1732-1786), Jurisconsulte, contribua à établir l'innocence de [[w:Affaire Calas|Calas]], [[w:avocat (métier)|avocat]] au Parlement de Paris, intendant des finances du comte d'Artois. Il épouse [[w:Anne-Louise Élie de Beaumont|Anne-Louise Élie de Beaumont]], (1729-1783), [[w:écrivain|femme de lettres]] ; {{BNF|12240733h}}. ==== Léonce Élie de Beaumont (1798-1874) ==== [[w:Léonce Élie de Beaumont|Léonce Élie de Beaumont / Élie de Beaumont, Léonce (1798-1874), géologue]]. Il épouse [[w:Thérèse Marie Augusta Élie de Beaumont|Thérèse Marie Augusta Élie de Beaumont]], (1806-1866), [[w:poétesse|poétesse]], épouse du précédent ==== Félix Élie de Beaumont ==== [[w:Félix Élie de Beaumont|Félix Élie de Beaumont]], (1836]]-1905), magistrat, neveux de Léonce Élie de Beaumont. == Belgique == * 1352 - Traité en forme de trève conclu par les soins du [https://books.google.fr/books?id=2pUEAAAAQAAJ&pg=PA421&dq=Pierre+Brulard+de+Genlis&hl=fr&sa=X&ved=0ahUKEwiYmqz19uPpAhVXD2MBHegmCocQ6AEIMjAB#v=onepage&q=Bologne&f=true cardinal de Bologne] entre les rois de France et d Angleterre dans lequel Robert de Lorris sire d Ermenonville figure comme député 2 10 mars 1352 11 sceaux A I Sect hist J 637 n 5 * 1789 - [http://www.abebooks.fr/rechercher-livre/titre/la-revolution-de-1789-en-wallonie-maurice-bologne/auteur/bologna-mauritius/ la revolution de 1789 en wallonie maurice bologne de bologna mauritius] == Jean-Baptiste Belley == Cf. [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Réflexions_à_propos_des_traites_%26_esclavages#1746_ou_1747-1805_-_Les_œuvres_de_Jean-Baptiste_Belley_sous_l'angle_de_l'esclavage|1746 ou 1747-1805 - Les œuvres de Jean-Baptiste Belley sous l'angle de l'esclavage]] == Jacques-Henri Bernardin de Saint-Pierre == * 1905 - {{Bibliographie|Q115914656}} <!-- 1905 - Maurice Souriau.- Bernardin de Saint-Pierre d'après ses manuscrits --> == 1313-1373 - Gui de Boulogne ou Guy de Montfort == Gui de Boulogne (1313-1373) ou Guy de Montfort, archevêque de Lyon, cardinal au titre de Sainte-Cécile, puis cardinal-évêque de Porto et Sainte-Ruffine, dit le cardinal de Boulogne (1342-1373)1. == Bibliographie, styles & normes == * 2012 - C. Miconnet, A. Faller.- Bibliographie et références bibliographiques, SCD de l'[https://archive.org/stream/surveygraphic36survrich#page/n9/mode/2up Université de Reims Champagne-Ardenne], Janvier 2012. == Biens communs & communaux versus Biens nationaux == {{Citation bloc|Les [[w:Bien national|biens nationaux]] ou Domaines nationaux, sont des domaines et possessions de l’Église (bâtiments, objets, terres agricoles, mines, bois et forêts) qui furent confisqués durant la [[w:Révolution française|Révolution française]], en vertu du [[w:Décret des biens du clergé mis à la disposition de la Nation|Décret ''des biens du clergé mis à la disposition de la Nation'' du 2 novembre 1789<ref>[[s:Décret des biens du clergé mis à la disposition de la Nation - 2 novembre 1789|Décret des biens du clergé mis à la disposition de la Nation du 2 novembre 1789]]</ref>]]. Ceux-ci sont vendus pour résoudre la crise financière qui a causé la Révolution. Le domaine de la Couronne, ainsi que les propriétés de certains nobles, subissent le même sort par le biais des confiscations révolutionnaires.<br />La notion de bien national est ensuite étendue aux biens des émigrés et des suspects, qui sont confisqués à partir du 30 mars 1792, puis vendus après le décret du 27 juillet. L'un des objectifs est de représenter une caution pour les [[w:assignat|assignats]].|Wikipédia.- [[w:Bien national|Biens nationaux]].}} === Constitution de la propriété privée === {{Citation bloc|Le 7 mars 1774 le nommé Brion, laboureur & manouvrier a Evres en Champagne, fit ta déclaration au Greffe de sélection de Chálons, qu'il entendoit s'approprier, par le moyen du défrichement, divers morceaux de terrein ; il paroit qu'il les a fait défricher. — Le 14 mars 1776, les habitans d'Evres ont affermé à Jean Audin le champ du vieux chemin d'Aurrecourt, avec environ trente-six perches au bout de ce chemin. — Il paroít que ces objets loués faisoient partie de ceux défrichés par Brion. — Les habitans autorisés ont assigné Brion au Bailliage de Chàlons, en désistement du terrein dont il s'agît. — Les habitans ont articulé la possession immémoriale, & notamment d'an & jour. — Brion a nié le fait ; & les parties ont été appointées en faits contraires. — Les habitans ont fait leur requête ; & il est intervenu un jujement définitif le 26 janvier 1781, qui a reçu, es habitans opposans à tous défrichemens faits par Brion fur la piece de terre dont il s'agit ; les a maintenus & gardés en la possession immémoriale, & notamment d'an & jour avant 1775, de la portion de terrein dont il s'agit, fur laquelle il existe un poirier que les habitans louent ordinairement. En conséquence, a fait défenses à Brion de continuer la culture de cette portion de terrein. — Brion a interjette appel de cette sentence. — Arrêt du 16 juillet 1783, qui l'a confirmée avec amende & dépens.|GAZETTE ABRÉGÉE DES TRIBUNAUX, Parlement De Paris.Mercure de France<ref>[https://books.google.fr/books?id=mAA0AAAAMAAJ&dq=France%20%2B%20défrichement&hl=fr&pg=PA144#v=onepage&q=France%20+%20défrichement&f=false Mercure de France ]</ref>}} === Bibliographie (Appropriation) === * 2013 - {{bibliographie|Q31476460}} L'inappropriabilité de la Terre ** 2013 - {{bibliographie|Q25932120}} <!-- De l’appropriation à l’inappropriabilité de la terre --> == Charles-Maurice de Talleyrand-Périgord == === Les biens du clergé à la disposition de la nation === Cf. 1789 - [[Utilisateur:Ambre Troizat/Charles-Maurice de Talleyrand-Périgord|Charles-Maurice de Talleyrand-Périgord]] == Cyrille Charles Auguste Bissette (Cyrille Bissette) == [[Fichier:Cyrille Bissette by François Le Villain.jpg|100px|vignette|gauche|Cyrille Bissette]] {{Autres projets | idfaculté = | commons = Cyrille Bissette | wikispecies = | w = Cyrille Bissette | wikt = | b = | s = Cyrille Bissette | q = | n = | m = | d = Cyrille Bissette (Q3009110) | voy = }} Cf. [[Utilisateur:Ambre Troizat#Projet Code Noir|Projet Code Noir]] * 1823 - {{Bibliographie|Q26423155}} * 1828 - {{Bibliographie|Q30545983}} <!-- Précis historique de la traite des noirs et de l'esclavage colonial --> == Le code noir de Louis XIV à la Seconde République de 1848 == [[c:Le Code noir (France)|Le Code noir (France), récapitulatif publié sur Wikimedia Commons]] Comment transférer les données ici ? === Edit du roi de 1642, article XIII === {{Citation bloc|... Voulons et ordonnons que les descendans des Français habitués esdites îles, et même les sauvages convertis à la foi chrétienne et en feront profession, soient censés et réputés naturels Français, capables de toutes charges, honneurs, successions et donations, ainsi que les originaires et régnicoles, sans être tenus de prendre lettres de déclaration ou naturalisés. [[s:Page:Valere Darmiant, De la situation des gens de couleur libres aux Antilles francaises, 1823.djvu/9|''De la situation des gens de couleur libres aux Antilles francaises'', Edit du roi de 1642, article XIII]]<br /> === Edit sur l'établissement de la compagnie des Indes de l’Amérique, mars 1642 === * N° 554. — [[s:Page:Recueil général des anciennes lois françaises, tome 16.djvu/548|Edit sur l'établissement de la compagnie des Indes de l’Amérique]], pp. [[s:Page:Recueil général des anciennes lois françaises, tome 16.djvu/548|540]] - [[s:Page:Recueil général des anciennes lois françaises, tome 16.djvu/553|545]].<br />Narbonne, mars 1642 ; reg. au grand conseil, le 28 mai. (Code de la Martinique, tom. 1er. — Constitutions coloniales par Moreau de Saint-Méry, 1, 51.)<br /> === Réputés naturels françois, capables de toutes les charges, honneurs, successions et donations === "(13) Et d’autant qu’aucun ; de nos sujets pourroient faire difficulté de transférer leur demeure èsdites isles, craignant que leurs enfans perdissent leur droit de naluralité en ce royaume, nous voulons et ordonnons que les descendans des François habitués èsdites isles, et même les sauvages qui seront convertis à la foi chrétienne et en feront profession, seront censés et réputés naturels françois, capables de toutes les charges, honneurs, successions et donations, ainsi que les originaires et régnicoles, sans être tenus de prendre lettres de déclaration ou naturalité.|[[s:Page:Recueil général des anciennes lois françaises, tome 16.djvu/552|''Recueil général des anciennes lois françaises'', tome 16, page 544.]]}} ==== Définition de : régnicoles ==== {{Citation bloc|[http://www.cnrtl.fr/definition/regnicoles RÉGNICOLE], adj. et subst.<br />DR. [P. oppos. à étranger, à aubain] (Habitant(e) d'un royaume, d'un pays) qui, par naissance ou par naturalisation, a la nationalité de ce royaume, de ce pays et qui, à ce titre, possède les droits qui y sont attachés. Et pourquoi cela? (...) pour fournir à vil prix le bon et grand sel aux étrangers sans aucune nécessité, ce sel qui est cuit avec le bois du pays, dont le régnicole a un besoin extrême (Cahier de doléances Insming, 1789ds Doc. hist. contemp., p. 34).L'Ukase a pour but de favoriser les marchands régnicoles (J. de Maistre, Correspectivement, 1807, p. 413).|cnrtl.fr}} === Déclaration ''concernant les lettres de naturalité et de légitimation''. Versailles, 22 juillet 1697 === * [[s:Recueil général des anciennes lois françaises, tome 20.djvu/304|Recueil général des anciennes lois françaises, tome 20, LOUIS XIV, page 296]]<br />N° - 1641 — Déclaration ''concernant les lettres de naturalité et de légitimation''. Versailles, 22 juillet 1697. (Rec. cass. — Néron, II, 293.) Reg. P. de Rouen, 10 septembre. * 2015 - {{Bibliographie|Q26451462}} * 2016 - Jean-Marc Party.- [http://la1ere.francetvinfo.fr/martinique/avant-schoelcher-l-abolitionniste-etait-le-martiniquais-bissette-378669.html Avant Schoelcher, l’abolitionniste était le martiniquais Bissette] (''Cyrille Charles Auguste Bissette''), la 1ere.francetvinfo.fr/martinique 1ere, 09 juillet 2016. * 1831 - Ministre de la marine et des colonies.- [https://books.google.fr/books?id=zWwYAAAAYAAJ&dq=ordonnances%20%2B%203%20janvier%201720%20%2B%20colonie&hl=fr&pg=PA117#v=onepage&q=ordonnances%20+%203%20janvier%201720%20+%20colonie&f=false Annales maritimes et coloniales : publiées avec l'approbation du ministre de la marine et des colonies], Imprimerie royale, 1831 ; {{bibliographie|Q26488160}} ; [https://archive.org/search.php?query=Annales+maritimes+et+coloniales Annales maritimes et coloniales sur Internet Archive <!-- Annales maritimes et coloniales publiées avec l'approbation du ministre de la marine et des colonies --> === Abrogation de divers ordonnances et réglemens locaux relatifs aux hommes de couleur libres et affranchis, 11 novembre 1830 === {{Citation bloc|N° 24.<br /> Arrêté du Gouvernement de la Guadeloupe, portant abrogation de divers ordonnances et réglemens locaux relatifs aux hommes de couleur libres et affranchis.<br /> Basse-Terre, Guadeloupe , le 11 novembre 1830.<br /> Nous, gouverneur de l'île de la Guadeloupe et de ses dépendances;<br /> Vu la dépêche ministérielle du 21 septembre 1830, n° 328;<br /> "Vu l'article 67 de l'ordonnance royale du 9 février 1827;<br /> Considérant que, dans l'état actuel de la législation coloniale en ce qui concerne les hommes de couleur libres et affranchis, il importe de faire connaître les ordonnances locales et les réglemens que le temps et l'usage ont faff tomber en désuétude, afin d'en prononcer l'abrogation formelle; . Considérant qu'il existe des ordonnances et réglemens émanes des autorités locale^, toujours en vigueur, qui peuvent être également abrogés dans l'intérêt des gens de couleur libres et affranchis;<br /> Sur le rapport du procureur général du Roi, provisoire y<br /> De l'avis du conseil privé > Avons Arrêté et Arrêtons ce qui suit:<br /> Sont et demeurent abroges:<br /> 1° Le règlement du 4 juin 1720 sur le luxe des habillemens;<br /> 2° L'ordonnance du 31 juillet 1765, qui défend de vendre et détaler sur les marchés publics, et tous autres réglemens qui défendraient d'acheter ou de vendre en gros;<br /> 3° L'ordonnance du 25 décembre 1783, portant défense d'acheter des armes, de la poudre et du plomb;<br /> 4° L'ordonnance du 3 janvier 1788, qui défend de tra^ vailler sans permis de l'autorité judiciaire.<br /><br /> 2. Sont et demeurent également abrogés:<br /> 1° Le règlement du 6 novembre 1781, qui défend à tous curés, notaires et autres officiers publics, de qualifier aucun, gens de couleur du titre de sieur et dame;<br /> 2° L'ordonnance du 30 avril 1772 et l'article 58 de Tarrcté local du 29 septembre 1829, qui ne permettent d'enchérir que sur les derniers bancs placés dans les églises depuis la porte jusqu'au tiers delà nef;<br /> 3° Les ordonnances des 9 mai 1785 et 5 septembre 1769, portant défense, la première, d'être écrivain dans les études d'officiers publics, et la seconde d'être garçon chez les apothicaires;<br /> 4° L'ordonnance du 16 octobre 1796, qui assigne une place séparée aux gens de couleur dans les salles de spectacle;<br /> 5° Ljprdonnance du 6 janvier 1773, qui défend de prendre les noms des blancs ; et ce, sans déroger aux principes du droit civil;<br /> 6° Enfin l'ordonnance du 25 décembre 1783, eu ce qu'elle défend de ne se réunir pour fêtes et danses qu'avec la permission de l'autorité; et ce, sans préjudice des réglemens de police générale.<br /> 3. Sont et demeurent abrogés tous autres réglemens et axrêtés locaux dont les dispositions seraient contraires an présent arrêté.<br /> 4. Le commandant militaire, l'ordonnateur, le directeur général de l'intérieur et le procureur général sont chargés, chacun en ce qui le concerne, de l'exécution du présent arrêté.| Donné en l'hôtel du gouvernement, à la Basse-Terre , Guadeloupe, le 11 novembre 1830.<br /> Signé Baron Vatable.<br /> Par le gouverneur en conseil: <br /> Le Procureur général provisoire, <br /> Signé C. De Lachariere.}} === Arrêté du Gouvernement de la Martinique, concernant diverses dispositions relatives aux gens de couleur libres et aux affranchis, 18 novembre 1830 === Citation bloc|[ N° 25. ]<br /> Arrêté du Gouvernement de la Martinique, concernant diverses dispositions relatives aux gens de couleur libres et aux affranchis.<br /> Au Fort-Royal, le 18 novembre 1830.<br /> Nous, gouverneur de la Martinique;<br /> Vu l'article 67 de l'ordonnance du 9 février 1827;<br /> Sur la proposition du procureur général du Roi et de l'avis du conseil privé;<br /> Considérant qu'encore bien que plusieurs réglemcns locaux relatifs aux hommes de couleur libres ne soient plus exécutés et soient depuis long-temps tombés en désuétude, il importe, pour éviter toute équivoque, de les abroger formellement;<br /> Considérant qu'il importe aussi d'abroger d'autres réglemens locaux encore en vigueur, relatifs à l'état des hommes de couleur libres,<br /> Avons Arrêté et Arrêtons ce qui suit:<br /> Art. 1er. Sont et demeurent abrogés:<br /> 1° L'article 3 du règlement local du 4 juin 1720, indiquant quels vctemens doivent porter les affranchis et les libres de naissance;<br /> 2° L'arrêt de règlement du 9 mai 1765 et l'article 3 de l'ordonnance des gouverneur et intendant du 25 décembre 1783 , portant défense aux officiers pubfïcs de recevoir dans leurs bureaux, en qualité d'écrivains, des hommes de couleur libres;<br /> 3° Les ordonnances des gouverneur et intendant des 6 janvier 1773 et 4 mars 1774 , faisant défense aux hommes de couleur libres de porter les noms des blancs;<br /> 4° L'arrêt de règlement du 6 novembre 1781, qui défend aux curés et officiers publics de qualifier aucun gens de couleur libres du titre de sieur et dame; d'où il suit que cette qualification ne pourra leur être refusée par les officiers publics;<br /> 5° L'article premier de l'ordonnance du 25 décembre 1783 et l'article 3 du règlement du 1" novembre 1809, défendant aux hommes de couleur libres de porter des armes et de s'assembler sans un permis du procureur du Roi ou du commandant du quartier;<br /> 6° L'article 2 de l'ordonnance du 25 décembre 1783, défendant aux hommes de couleur libres d'acheter de la poudre sans un permis du procureur du Roi;<br /> 7° L'article 6 de l'ordonnance du 25 décembre 1783 , Jarret de règlement du 8 mai 1799, l'ordonnance du 27 septembre 1802, l'article 7 du règlement du 1er novembre 1809 , l'article 17 du règlement sur la, pharmacie du 25 octobre 1823 , portant défense aux apothicaires d'employer des hommes de couleur libres à la préparation des drogues;<br /> 8° L'article 11 de l'ordonnance du 3 janvier 1788, qui obligeait les hommes de couleur libres à prendre des permis pour travailler ailleurs qu'à la culture;<br /> 9° L'article 3 de l'ordre du gouverneur général du 16 octobre 1796, qui assignait, dans les spectacles, le paradis pour h place des hommes de couleur libres;<br /> 10° L'article 3 de l'ordonnance du 9 décembre 1809, fixant l'ordre à suivre dans les convois funéraires , par suite duquel les hommes de couleur libres ne pouvaient se placer parmi les blancs.<br /> 2. Sont et demeurent également abrogés tous usages qui empêchaient ou pouvaient empêcher anciennement les hommes de couleur libres de vendre en gros, d'exercer des professions mécaniques, et de se placer dans les églises ou dans les processions parmi les blancs.<br /> 3. Le procureur général du Roi est chargé de l'exécution du présent arrêté, qui sera enregistré aux greffes de la cour royale et des tribunaux de première instance, inséré dans les journaux de la colonie et au Bulletin des actes administratifs , lu, publié et affiché par-tout où besoin sera.<br /> Donné au Fort-Royal, Martinique, en l'hôtel du gouvernement, le 12 novembre 1830.<br /> Signe Dupotet.<br /> Par le gouverneur en conseil. <br /> Le Procureur général du Roi, | Signé Arsène ÎS'ocrts.|1831 - Ministre de la marine et des colonies.- Annales maritimes et coloniales: publiées avec l'approbation du ministre de la marine et des colonies, Imprimerie royale, 1831<ref>[https://books.google.fr/books?id=zWwYAAAAYAAJ&dq=ordonnances%20%2B%203%20janvier%201720%20%2B%20colonie&hl=fr&pg=PA117#v=onepage&q=ordonnances%20+%203%20janvier%201720%20+%20colonie&f=false Annales maritimes et coloniales: publiées avec l'approbation du ministre de la marine et des colonies]</ref>}} == A == == Jean-Baptiste Belley == * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/L'esclave_%26_son_reflet#Saint-Domingue,_22_au_23_août_1791|Saint-Domingue, 22 au 23 août 1791]] * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Saint-George,_homme_d'armes,_sujet_%26_citoyen#Jean-Baptiste_Belley|Jean-Baptiste Belley]] == William Blake == [[Fichier:William Blake - Isaac Newton - WGA02217.jpg|100px|vignette|gauche|William Blake.- Isaac Newton]] == Les Trois Blanqui == === Jean Dominique Blanqui (1757- 1832) === * [[w:Jean Dominique Blanqui|Jean Dominique Blanqui]], 23 avril 1757 à Drap - 31 mai 1832 à Paris * 1795 - {{bibliographie|Q27832584}} === Adolphe Blanqui (1798-1854) === * [[w:Adolphe Blanqui|Adolphe Blanqui]] (1798-1854), économiste libéral et député de la Gironde. === Louis Auguste Blanqui dit l'Enfermé (1805-1881) === * [[w:Louis Auguste Blanqui|Louis Auguste Blanqui]] dit l'Enfermé (1805-1881), révolutionnaire républicain socialiste, Cf. L'enfermé : avec le masque d'Auguste Blanqui, {{BNF|30492948w]]. == Bonnet phrygien == Le [[w:Bonnet phrygien|Bonnet phrygien]] tire sa symbolique de liberté de sa ressemblance avec le ''[[w:pileus|pileus]]''<ref>Chapeau en latin</ref> qui coiffait les [[w:Esclavage|esclaves]] affranchis de l'[[w:Empire romain|Empire romain]]<ref>27 av. J.-C. et 476 ap. J.-C.</ref>. Objet mémoriel, il rappelle le statut social antérieur et le privilège actuel<ref>Voir les obligations des affranchis dans le droit français de l'esclavage</ref>. Cf. Captif assis portant le bonnet phrygien. De la Collection du cardinal Alexandre Albani (1692 - 1779), [http://cartelfr.louvre.fr/cartelfr/visite?srv=car_not_frame&idNotice=9473 Musée du Louvre] == Augustin-Jean Brulley == [[d:Q27554561|Augustin-Jean Brulley]] '''Affaire de [[w:Philippe François Rouxel de Blanchelande|Louis-Philibert-François Rouxel-Blanchelande]], Augustin-Jean Brulley dépose ''' {{Citation bloc|'''avril 1793. NMX. S''' -Tribunal Criminel Révolutionnaire, Etabli au Palais, à Paris, par la Loi du îoMarj 1793 pour juger sans appel les Conspirateurs. Suite de l'Affaire de Louis-Philibert-François Rouxel-Blanchelande, ci-devant Maréchal-de Camp, et Lieutenant au Gouvernement des Isles Françaiscs-sous-le-Vent. Le Tribunal continuant de procéder à l'audition des témoins, le citoyen Hugues a déposé, sur les secours envoyés du Port-au-Prince à Bord , lors de sa nomination à la place de Commandant de la Garde nationale, que ce fut lui témoin, qui fut chargé par 1'Assemblée provinciale, de surveiller l'armement de 1'Agathe et du Castor, destinés à aller au-devant de lui. Il requit , au nom de l'Assemblée provinciale . Grimoard de protéger l'arrivée de Borel; il répondit , à lui témoin , qu'il obéiroit à tout ce qui lui seroit ordonné , pourvu qu'il n'y eût pas en tête desréquisitons : au nom de la Nation , de la Loi; et ce même Grimoard , au lieu de protéger Borel , l'arrêta en mer avec ses compagnons de voyage , et les conduisit prisonnier» à Saint-Marc. Blanchelande approuva par une lettre la conduite de Grimoard; Blanchelande sanctionna et approuva l'Arrêté de l'Assemblée coloniale, portant suppression des Clubs et Sociétés populaires<ref>Les Clubs et Sociétés populaires ont pour activité des réunions politiques : "''A la fin du règne de Louis XVI cependant quelques sociétés littéraires et scientifiques s’étaient fondées : le Club des Arcades, le Club des étrangers, le Club des Américains ou de Boston et celui de la Société olympique, mais ils furent supprimés en 1787, deux années après leur fondation''" {{Gallica|id=bpt6k30405168|f=156|pp=136}}</ref>. Celui du Port-au-Prince , affilié aux Jacobins de Paris , fut di&sous à main armée. Le témoin passe ensuite à l'arrivée de Blatithelande avec deux vaisseaux et deux frégates , devant le Port-au-Prince; son entrée triomphante dans cette Ville, au milieu d'un Etatmajor, portant à leurs chapeaux des cocardes jaunes et vertes; son apparition à l'Assemblée coloniale; le discours qu'il y prononça. Le témoin donne également les détails de la mort de Praloto; il ajoute , à ce sujet, que depuis le départ de Bianchclande , les colons et gens de couleur viennent de reconnoître la pu-'reté de ses intentions , en faisant élever à ses mânes un monument qui durera plus que l'existence de ses ennemis. Le témoin termine sa déposition en ces termes: Le 14 juillet approchoit.> on parla de se réconcilier de part et d'autre; ce qui eut lieu au grand regret des ennemis du bien public. L'Accusé interpelé de déclaier ce qu'il a a répondre à la déposition du témoin? . A répondu : Le témoin dit que j'ai donné mon approbation aux Arrêtés de l'Assemblée coloniale; mais comment peut-on me faire un crime d'avoir approuvé les délibérations des Représentans du Peuple de la Colonie. Au sujet des cocardes jaunes et vertes , j'ai toujours porté la cocarde tricolore , et je défie le témoin de prouver que les Officiers qui m'accompagnoient , en portoient d'autres : lorsque je me suis rendu au Port-au-Prince , le témoin ne doit pas ignorer que les habitans du Port-au Prince ont fait une guerre cruelle aux gens de couleur , «t qu'ils se sont réunis lorsque j'ai fait promulguer la Loi du 4 avril. Le Tribunal que l'on dit que j'ai établi, cxistoit avant mon arrivée; il avoit été suspendu de ses fonctions , et les Coin» lîiissaires le rétablirent et le mirent en activité. Augustin-Jean Brulley , habitant-planteur de Saint-Domingue , Commissaire de cette Colonie , dépose sur le premier chef d'accusation , qu'il a connoissance , par pièces officielles déposées aux archives de la Commission de SaintDomingue , des arrestations et déportations illégales que l'on reproche à l'Accusé. Il expose rapidement ces faits différens; il prouve qu'il a connu Praloto au Port-au-Prince , et entre dans les détails relatifs à son assassinat, dont Blanchelande et Roum sont ses vrais auteurs en envoyant ce Patriote infortuné à Saint-Marc, ville qui renfermoit les plus mortels ennemis, les antagonistes les plus décidés de la Révolution; aussi a-t-il ajouté : L'événement a justifié les combinaisons perfides de ce Général et Commissaire civil qui avoit juré la perte de Praloto. Il a été coupé en morceaux avec ses propres armes, et jeté à la mer.<br />Sur le quatrième chef d'accusation,1e déposant assure qu'il a parfaite connoissance que Blanchelande a trempé dans les complots formés pour allumer, dans la Colonie, la gueire intestine. Il annonce qu'il a fait la guerre pendant dix mois, qu'honoré de la confiance de ses Concitoyens, et Maire de la Paroisse de la grande rivière d'Ennery, sa place et la position de la Paroisse l'ont mis dans le cas d'entretenir la correspondance la plus exacte et la plus étendue avec toutes les parties de la Colonie, qu ainsi tous les évènemens lui sont parfaitement connus, qu'il est témoin oculaire et auriculaire de grand nombre de faits dont les détails vont prouver au Tribunal, comme il en est convaincu lui-même, que Blanchelande et tous les agens du Pouvoir exécutif, ainsi que les Commissaires civils, ont trempé dans les machinations qui ont soulevé les noirs, et mis la Colonie dans la situation affreuse où elle se trouve. Le déposant observe qu'avant tout, il est essentiel de rectifier l'opinion publique sur les vrais motifs de la guerre qui se fait dans la Colonie. Que les agitateurs, cause de tous ces maux, ont, par une double calomnie , imputé aux colons eux-mêmes les désordres dont ils sont victimes. Il dit qu'il a des preuves, que cette guerre a été entreprise pour opérer la contre-révolution. 11 affirme que leur cri de guerre étoit vive le roi, que le mot de ralliement étoit gens du roi; que les chefs se nommoient et donnoient des passeports signés avec leurs qualifications de général des armées du roi, brigadier des armées du roi, colonel royal. Il ajoute que les chefs qu'il a vu, étoient revêtus de décorations militaires, telles que la croix de Saint-Louis; que Jean-François, Général, portoit même un cordon bleu, la plaque, un chapeau à panache blanc et une large bande de satin, sur laquelle étoit écrit : vive le roi de Frante ! Le déposant a passe aux détails de la guerre; il a cité un Arrêté de l'Assemblée coloniale du 24 août dernier , qui mettoit sous les ordres de Blanchelandc toutes les forces de la Colonie. Il a assuré que ce chef avoit sous ses ordres huit mille hommes, tant de troupes patriotiques que de ligiïe, qu'il pouvoit facilement employer pour étouffer les premiers germes de la révolte; qu'il ne l'a pas fait; qu'il a au contraire donné le temps à ces hommes de se réunir et de s'armer; et qu'au lieu de les contenir dans la plaine , en occupant les gorges des montagnes , on les y a poussé dans l'intention , sans doute , d'étendre les ravages. Il s'étoit déterminé à écrire au Port-au Prince, te déposant avoit l'estime et la confiance des habitans de cette Ville; ils lui avoient prouvé , en le nommant leur Juge. Cette confiance décida du salut de la Colonie. Aussitôt après la réception delà lettre du déposant, l'Assemblée provinciale de l'Ouest, et la Municipalité requièrent le plus prompt envoi de 35o hommes tant de Gardes nationales que de Troupes de ligne. Ils partirent sans délai, ainsi que la Garde nationale de Saint-Marc. Il y avoit à peine deux heures que le déposant les avoit reçus quand on lui remit une lettre des défenseurs du dernier des postes des montagnes , qui lui annoncent que, manquant de vivres et de munitions , ne recevant aucun secours, et environnés de révoltés, ils étoient prêts à abandonner le poste et à gagner les bords de la mer. Le déposant a affirmé que ceux qui s'étoient ^réunis à la hâte pour défendre les montagnes:, se sont inutilement adressés à Blanchclande, pour obtenir des secours; que lui déposant en a demandé par plusieurs lettres, sans avoir de réponse : que la paroisse du Dondon, lorsqu'elle fut menacée, et avant même l'approche des révoltés contre-révolutionnaires, avoit, par l'organe de sa Municipalité, demandé des munitions de guerre et de bouche : que le Maire s'étoit même adressé au déposant qui lui avoit envoyé ce qu'il avoit pu; mais qu'enfin les braves Citoyens du Dondon , après avoir soutenu le combat le plus opiniâtre, ont été forcés à la Tctraue, laissant sur le champ de bataille près de soixante morts et nombre de blessés qui furent tous massacrés : que bientôt le carnage et les atrocités se répandirent dans les montagnes ; que des familles entières ont été égorgées, sans aucun égard pour le sexe ni l'âge; que les révoltés égorgeoient les hommes, s'emparoient des leinfncsct des filles, et assouvissoient leur brutalité ^r les corps palpitans des époux et des pères ; que les entrailles des enfans étoient ouvertes, pour frotter la physionomie des pères et mères ; enfin qu'on s'est livré à toutes les horreurs dont sont susceptibles des hordes de sauvages, comme' les révoltés de Saint-Domingue : qu'ils avoient dans leurs signaux de ralliement même l'empreinte de leur férocité; qu'une des enseignes étoit un enfant blanc, empalé au bout d'une pique; qu'un autre étoit un drapeau blanc, avec des fleurs-de-lys, peintes avec le sang desblancs qu'ils avoient égorgés : qu'enfin on pouvoir mettre sous les yeux du Tribunal le drapeau de la Garde nationale du Dondon, pris par les révoltés, et repris sur eux par le brave Michel commandant les dragons du Cap. Alors le déposant déploie le drapeau ; il fait remarquer que les révoltés ont effacé : la Nation et la Loi, pour ne laisser subsister que leur seul cri de guerre : vive le roi ! Après l'examen de ce drapeau à cravate blanche, fait par les Jurés , le déposant reprend la narration des évènemens de la guerre. Déjà les révoltés s'étoient répandus dans unis grande partie des montagnes vers lesquelles Blanchelande les avoit poussas, par les manœuvres vicieuses et perfides , qui s'étoient faites dans la plaine du Cap. Déjà le Dondon était envahi; des parties de Plaisance et de la Marmelade étoient dévastées et incendiées. Les défenseurs des montagnes du Nord étoient forcés par leur petit nombre, par leur peu de moyen de défense, à se replier de poste en poste, et de se rapprocher de la partie de l'Ouest. Maisjle déposant, Maire de la grande rivière d'Ermery, avoit calculé les résultats funestes de la révolte. Après s'être inutilement adressé à Blanchelande pour en obtenir des secours , il Ainsi donc, ajoute le déposant, si j'avois délibéré deux heures de plus avant d'écrire au Port-au-Prince, les montagnes étoient abandonnées aux révoltés ; ils se répandoient dans ma Paroisse et dans les plaines. Je ne pourrois vous entretenir actuellement des affaires de la Colonie; elle seroit perdue, etj'aurois péri au poste que m avoit assigué la confiance de mes Concitoyens ; les révoltés ne m'en auroient pas plus épargne que le Maire du Dondon, l'infortuné Latour ; jaurois été égorgé comme lui, comme le respectable Béraid, Officier municipal de la mêm» Paroisse ; et comme le brave Ceussac, Procureur-Syndic de la même Paroisse, que les révoltes ont fait périr dans les flammes après lui avoir coupé les deux poignets ; car ii suffisait d'être employé dans une Municipalité pour être alus particulièrement victime de la barbarie de ces féroces instrumens de contre-révolution. Mais les secours arrivèrent à temps pour repousser'avec avantage les brigands. Ils furent complettement battus ; ils s'éloignèrent et favorisèrent, par Jeur fuite, l'établissement d'une chaîne de poste qui a été nommée le cordon de l'Ouest, parce qu'il préservoit la partie de 1 Ouest de l'invasion des révoltés. Ils tentèrent souvent, mais envahi, de forcer cette barrière. Elle fut toujours victorieusement défendue par ceux qui l'avoient formée ; mais la formation né fut pas ordonnee par Blanchelandc, qui avoit sous ses ordres toute la force armée de Saint-Domingue fiançais ; elle est due à l'activité des Corps populaires du Port-au-Prince, elle est due au bonheur que j ai eu d'avoir leur confiance , et de les avenir à temps ; enfin, c'est au Port-auPrince, cette ViUe tant calomniée, que l'on doit le salut des restes de la Colonie. C est envahi que l'Accusé prétendroit infirmer ma deposition, en alléguant qu'il a donné des ordres pour que nous fussions secourus : il ue nous a fait aucune réponse. j'interpellerois, s'il étoit nécessaire, des témoins ici présens, qui attesteroient que ce ne sont pas les ordres de Blanche lande, mais les réquisitions des Corps populaires séant au Port-au-Prince , qui les eut fait marcher à notre secours. Après la formation du cordon de l'Ouest , ajoute le déposant, Blanchelande nomma mi chef pour le commander. Ce cordon devint considérable; la Muru^ipaliié de la grande rivière d'Ennery écrivit alors à Blanchelande, pour lui prouver que le cordon pouvoit s'avancer et reconquérir tout le pays dont ils étoient en possession. La réponse de Blanchelande fut un ordre au Commandant du cordon, qui défendoit d'attaquer les révoltés. Pendant l'inaction à laquelle réduisoit cet ordre de Blanchelande, il sait qu'il y eut des conférences, des pourparlers avec les révoltés. L'Accusé sait aussi que les Citoyens de ma Paroisse, qui étoient à l'un des postes les plus avancés, ont souvent eu des entretiens et même des entrevues très-longues avec les chefs des révoltés. Je dois, a dit le déposant, instruire le Tribunal du résultat de ces conférences. Les chefs qu'on questionuoit sur le but dela guerre qu'ils nous faisoient, répondoient tous qu'on leur avoit dit qu'il falloit qu'ils se battissent contre nous peur le roi, pour la religion; quils ne demandaient pas mieux que de rentrer dans les habitations, mais qu'an leur avoit dit qu'ils en avoient trop fait, que les blancs ne leur pardonneraient jamais, qu'ils les tueraient tous. Ils ajoutaient qu'ils avoient pour eux le Général, qu'ils avoient pour eux Cambefort, Touzard, les Commissaires civils, les troupes; 'enfin , que tont étoit contre nous, et que nous ferions mieux de rétablir l'ancien régime et de faire ce que le roi et la religion nous demandaient. Ces chefs , qui n'étoient que subalternes, ajoutoieut au surplus^que Jean-François , leur chef, en savoit plus long qu'eux, et qu'ils l'averciroient pour qu'il vînt nous parler; qu'il ne pouvoit pas venir de suite , parce qu'il falloit qu'il le consultât. Après avoir entendu JeanFrançois pendant deux jours, il vint , mais au moins avec 8,ooo brigands qui attaquèrent le poste pendant la nuit. Centquatre-vingt hommes soutinrent le choc , et se maintinrent dans leur poste après un combat de sept heures , pendant lequel nous eumes 26 hommes tant tués que blessés; mais nous fumes obligés d'abandonner le poste , parce que , pendant le combat, les révoltés avoient détruit par les flammes tout ce qui avoisinoit le poste. Cependant le cordon de l'Ouest ne fut pas entamé, mais la partie de l'Ouest ne fut pas entièrement préservée des ravages. Trompés comme dans la partie du Sud , par les mêmes agitateurs, qui dans la partie du Nord avoient soulevé les noirs ; les hommes de couleur, coalisés avec la corporation des ponpons blancs, et réclamant en apparence des droits politiques, se laissoient égarer par des contre-révolutionnaires, détruisoient les Corps populaires et rétablissoient le royalisme par-tout où ils étoient victorieux. Dans ces parties, des combats sanglans ont eu lieu, des meurtres, des assassinats, des atrocités se sont commis. Entr'autres, la mort de Longpré, citoyen estimable, dont tout le crime étoit d être Maire de Léogane. On lui a coupé les chairs de la plante des pieds, on l'a promené sur des charbons ardens, on l'a ensuite coupé par petits morceaux jusqu'à ce que la mort mit fin a ses souffrances. C'est ainsi qu'on traitoit les Fonctionnaire» publics, toujours en disant qu'on réclamou des droits politiques et l'exécution des Décrets. On établissoit aussi, de l'aveu et avec l'autorisation de Blanchelande, des commandans pour le roi ; et quand l'Assemblée coloniale { irritée de tant d'atrocités contre-révolutionnaires , voulut sévir contre les Villars, les Jumécourt, les Coulards, chefs de ces ponpons blancs et hommes de couleur qui lessecondoient, le général Blanchelande n'eut aucun égard aux arrêtés et aux réquisitions des Représentans de la Colonie. De cette manière , la contre-révolution se faisoit dans la partie du Nord et de l'Ouest : celle du Sud , encore épargnée , fut presque entiètement détruite , quand Blanchelande s'y rendit et qu'il y eut fait faire de fausses manœuvres qui tendoient à la destruction générale de la Colonie, l'un des points essentiels du plan de contrerévolution française. Blanchelande a concouru à l'exécution de ce plan; et ce qui le prouve non moins évidemment que tout ce que je viens d'avancer, c'est ce qui s'est passé depuis le départ de Blanchelande. Ces mêmes féroces contre-révolutionnaires. qui nous égorgeoient et incendioient au nom du roi et *de la religion , ont reproché eux colons, contre lesquels ils se battoient , la déportation de Blanchilende. lis disoient en jurant : vous avez fait embarquer notre papa lilanchelande , nos amis Cambcfort il Touzard , vous nous le paiera cher , etc. C'est ce qui m'a été assuré, et ce qui va être attesté par des témoins auriculaires. Ce qui vous sera encore assuré , c'est que 1e vaisseau de l'Etat, YEoU, commandé par Girardin , fournissent aux révoltés des munitions de toute espèce. C'est ce qu'a déposé la mestrance de ce bâtiment à la Société des amis de la Convention, au Cap. Ils ont ajouté que, chaque fois qu'on devoit faire quelqu'envoi de cette nature, on faisoit aux révoltés des signaux qui leur indiquolent de s'approcher du rivage , dan? la nuit, pour recevoir la poudre , les balles , boulets et autres objets qu'on leur portoit. Il y avoit , ajoute le déposant, encore un autre moyen atroce qu'on a mis en usage , pour fournir aux révoltés munitions et canons. Blanchelande rétablit, on ne sait trop pourquoi , un ancien poste près le Cap , nommé le fort Bély, Il y envoie 30 soldats , avec des canons et amples provisions de munitions de guerre; mais il y fait joindre une barrique de vin. Ce qu'on avoit projetté arriva; les soldats s'enivrèrent; les révoltés qui étoient aux aguets , arrivèrent, entrèrent dans le fort sans obstacle , massacrèrent les 30 hommes , s'emparèrent des canons et munitions , et promenèrent les têtes en triomphe. Il me paroît à moi très-évident , ajoute le déposant, que c'étrfft un moyen et un moyen atroce , de fournir des munitions aux révoUés. J'ai d'ailleurs vu et touché des cartouches prises sur les brigands , et en très-grand nombre , qui ont été reconnues pour avoir été fabriquées dans l'arsenal du Cap. Le Président demande à Blanthdande ce qu'il a à répondre sur la deposition' du témoin ? À répondu : Vous pouvez juger de la position où je me trouve , si les Citoyens-Jurés croient la millième partie de ce qui vient d'être dit par le témoin; je serois alors un monstre qu'il faut détruire. Peut-on me rendre responsable des assassinats et abominations que le» nègres ont commis à Saint-Domingue; le témoin part des évènemens malheureux qui s'y sont passés', pour me les attribuer. Je déclare que j'ai fait tout ce qui étoit en mon pouvoir de faire , pour (se tournant vers l'auditoire dans lequel s'élève un léger murmure) Citoyens, je partage votre indignation; si j'étois à votre place et que je vis un homme coupable des crimes que l'on m'impute , je ne balancerois pas à désirer sa mort; mais, Citoyens, ce sont des calomnies atroces. Le témoin vient de vous donner un coup de théâtre , en vous déployant un drapeau qu'il apporte ici, et qui m'est absolument étranger. (Se tournant vers le Tribunal) Pardonner , Citoyens , le désordre qui règne dans ce que je dis r je suis vivement pénétré; est-il possible que l'on puisse m'imputer de pareils crimes! J'avois des témoins à faire entendre pour ma justification . mais ils font dire qu'ils craignoient que leur zèle pour la vérité ne les exposât à la fureur populaire. Le Président dit à l'Accusé : Ne craignez rien, les Citoyens que vous avez à faire entendre , seront ici sous la sauvegarde de la Loi. Sur la demande de l'Accusé, le Tribunal lut accorde deux heures pour se recueillir et se dispose à répondre. L'audience est reprise. Le Président interpelle le citoyen BruUy de déclarer quels sont les noms des Commissaires nationaux, qu'il dit, dans sa déposition , avoir parlementé avec les révoltés ? À répondu : C'étoient Romme , Mirbeck et Saint-Léger.<br /> L'Accusé répond sur chacun des principaux faits contenus en la déposition du citoyen Brulley. Lorsqu'il lui a écrit pour avoir des secours, il lui a sur-le-champ fait réponse et à chaque fois. Je n'avois, ajoute-t-il, qu'environ 2,000 hommes dont je pouvoisjdisposer , et j'en avois le plus grand besoin alors auprès de moi; à chaque instant l'on recevoit des avis alarmans sur des désastres qui se commettoient; je faisois alors partirun détachement de ma petite troupe, pour aller disperser les révoltés, il m'est arrivé de n'avoir autour de moi que 2oa hommes, les autres étant partis de différens côtés.<br /> L'Accusé donne lecture d'une lettre par lui écrite, le 3i août 1791 , au sieur de la-Martelière, dans laquelle il lui rend compte des ordres qu'il a donnés pour le rétablissement de la tranquillité publique.<br /> L'Accusé observe que voyant ses efforts inutiles pour le rétablissement de l'ordre , 11 avoit écrit au Ministre de la Marine, pour lui rendre compte de l'état de la Colonie, lui exposer la conduite qu'il avoit tenue , et le prier de lui nommer un successeur; mais que le Ministre ne lui fit réponse que quatre mois après , en lui disant de rester à son poste.<br /> L'Accusé donne lecture de cette lettre dont l'original, dit-il, est déposé dans les Bureaux de la Marine.<br /> L'Accusateur public requiert que les colons des Isles-du-Vent , qui peuvent être dans l'audience , soient entendus , comme simple déclaration , sur les faits qui peuvent être à leur connoissance , touchant l'Accusé Blanohelartde.<br /> Le témoin interpelé de déclarer s'il est à sa connoissance que Blanchelande ait parlementé avec les révoltés l , A répondu : Non.<br /> Le citoyen Michel , planteur et capitaine de dragons au Cap, dépose des faits relatifs à l'expédition de Gilliffet. Lorsqu on fit part à Blancjielande , qui commandoit la colonne du centre , du malheur arrivé aux deux autres , qu'elles étoient presque toutes dispersées ou massacrées, il dit ce n'est rien , tout cela n'est rien . ça s'arrangera; ayant dit à Blanchelande qu'il falloit pousser plus loin; non , dit-il , nous n'avons pas assez de munitions; quelques jours après , s'étant trouvé près du camp des révoltés , ils se mirent à dire : C'est papa Blanchelande.<br /> Le témoin donne le détail de la manière dont il s'est rendu maître du drapeau.<br /> Saint-Léger , ci-devant Commissaire national à Saint-Domingue , dépose des mêmes faits sur les évènemens arrivés aux Isles-du-Vent.<br /> L'Accusé dit : Citoyen-Président , je vous prie de vouloir bien interpeler le témoin de déclarer succinctement ce qu'il sait des assassinats commis à Saint-Domingue ?<br /> Le témoin : Non , cela étoit avant mon arrivée.<br /> L'Accusé : Je prie le Citoyen-Président de vouloir bien interpole* le témoin de déclarer quel étoit le termomêtre de l'opinion publique sur mon compte , à Saint-Domingue ?<br /> Le témoin : Les uns vous blâmoient , les autres vous plaignoient; et je crois que les derniers avoient raison , car j'ai toujours regardé la place que vous occupiez , non-seulement comme au-dessus de vos forces, mais comme au-dessuj de celles de tout être humain.<br /> Le Président demande à l'Accusé, qui vous a nommé à votre Gouvernement ?<br /> À répondu : C'est le Ministre la Luzerne.<br /> À quelle époque êtes-vous parti ?<br /> À répondu : Le 8 novembre i790.<br /> Où avez-vous débarqué ?<br /> À répondu : Au Port-au-Prince.<br /> Dans quel état avez-vous trouvé la Colonie ?<br /> À répondu : Tout étoit tranquille, à l'exf ception de quelques légères rixe.s qui avoient lieu de temps en temps entre.les Ponpons blancs et les Districts<br /> À quelle époque êtes-vous arriva dans votre Gouvernement <br />? À répondu : En Janvier i7.9i.<br /> En quel temps les troubles ont-ils commencé ?<br /> À répondu : Vers la fin du mois d'août suivant.<br /> Vous aviez donc le temps de vous préparer à vous mettre en état de prévenir les troubles ?<br /> À répondu : Quand l'on voit la tranquillité régner, on croit qu'elle durera toujours.<br /> Puisque vousconvenez que les Ponpons étojent un sujet de troubles, vous deviez les dissoudre ?<br /> À répondu : Je ne sais pas si j'en avois le droit, ces individus ayant été loue's par un Décret de l'Assemblée nationale. . .*<br /> Pourquoi avez-vous souffert que la Municipalité du petit Goave fût transportée prisonnière à 6o lieu de-là? À répondu : C'étoit d'après les ordres du Procureur-Syndic du Port-au-Prince.<br /> Pourquoi, vous qui avez négligé de dissoudre les Poupons blancs, aVez-vous dissout les Sociétés populaires ?<br /> À répondu : L'Assemblée coloniale l'avoît expressément ordonné par un arrêté formel.<br /> Pourquoi êtes-vous allé trouver les soldats de Normandie lors de leur arrivée au Port-au-Prince ?<br /> À répondu :Je voulois voir en quel état étoient ces troupes.<br /> Pourquoi les avez-vous engagés à aller au Mole, en leur disant qu'ils auroient de la viande fraîche, du pain frais, de bon tafia et de jolies femmes ?<br /> À répondu : Mon projet étoit de mettre un bataillon au Mole , et l'autre au Port-au-Prince; la vérité estqu au Mole les eaux. y sont plus saines, et l'air plus pur.<br /> Pourquoi avei-vous fui lors des troubles du Port-au-Prince ?<br /> À répondu : Parce qu'on vouloit me forcer à promulguer la Loi du mois d octobre , et que je craignois que ma résistance ne m'attirât le soit du chevalier Mauduit.<br /> Pourquoi n'avez-vous pas déféré aux requisitions d'un grand nombre de Municipalités qui demandoient la conservation du Fougueux ?<br /> À répondu : Les vaisseaux deviennent infiniment trop coûteux aux Isles du-Vent et Sous-le-Vent.<br /> Quelles étoient vos vue» en demandant des troupes à Bihaguc ?<br /> À répondu : Parce que je eraignois des évè* nemcns au Port-au-Prince.<br /> Po urquoi a vez-vous gardé auprès de vous les Officiers de Normandie pour vous faire un cortège?<br /> À répondu : Je ne les gardois pas pour me faire- un cortège.<br /> Pourquoi avez-vous gardé près dè^bus Grimoart, et lavez-vous autorisé à arrêter Bord ?<br /> À répondu : Je le gardois parce que j'en avois besoin pour se transporter dans les différens endroits où il se manifestoit des' troubles.<br /> L'Accusateur public analyse le résultat dei débats.<br /> Le citoyen Tronçon Ducoudray , Défenseur de l'Accusé, est ensuite entendu. Il développe avec autant de clarté que d'éloquence la défense de son client; il combat successivement chacun des chefs d'accusation. Nous n'entrerons dans aucun développement de cette intéressante plaidoieric, dans la crainte qu'en la morcelant , nous n'en altérions les beautés. Pendant trois heures qu'il a parlé , le Peuple immense qui rcmplissoit l'auditoire (quoiqu'il fût deux heures du matin) , l'a écouté avec admiration dans le plus profond silence.<br /> Le Citoyen-Président a posé chacune des questions sur lesquelles les Jurés avoient à prononcer: ceux-ci, après s'être retirés dans leur chambre et en avoir délibéré , sont rentrés à l'audience, ont fait à haute voix et individuellement la déclaration suivante , portant que :<br /> iv. Il y a eu à Saint-Domingue des déportations arbitraires pendant que Blatiehelande étoit Lieutenant au Gouvernement-général des Isles françaises-sous-le-Vent : 2*. Que ledit Blanchelande est convaincu d'avoir autorisé ces déportations arbitraires : 3°. Qu'il va eu, à SaintDomingue , des détentions arbitraires de plusieurs Citoyens : 4^. Que ledit Blanchelande est convaincu d'avoir autorisé ces détentions : 5°. Qu'il y a eu à Saint-Domingue un parti contre-révolutionnaire , portant, pour signe de ralliement, un ponpon blanc : 6Q. Que ledit Blanchelande est convaincu d'avoir favorisé ce parti : 70. Que , pendant l'existence du parti contre-révolutionnaire , il y a eu des complots tendans à allumer la guerre civile dans la Colonie, à troubler l'Etat dont elle fait partie , et à armer les Citoyens contre l'Autorité légitime : 8°. Que ledit Blanchdande est convaincu d'avoir secondé ces complots : 90. Que, dans tous les faits qui viennent d'être énoncés , ledit Blanchelande a eu des intentions contre-révolutionnaires »».<br /> Le Président ordonne que l'on fasse entrer l'Accusé; cet ordre ayant été exécuté , il lui a fait part de la déclaration du Juré , lui observant que les deux dernières questions avoient eu pour l'affirmative , neuf voix sur onze.<br /> L'Accusateur public, sur la déclaration Juré , conclut à la peine de mort, motivé sur l'existence de la Loi.<br /> Le Président demande à l'Accusé s'il n'a rien à dire contre l'application de la Loi?<br /> L'Accusé répond : Je jure parDieu que je vais voir tout-à-l'heure , que je n'ai trempé pour rien dans les faits que l'on m'impute. ( Une pâleur mortelle se répand sur le visage de l'Accusé. )<br /> I^e premier Juge motive son opinion , et conlut à la peine de mort et à la confiscation des liens au profit de la République. -^<br /> L'Accuse reprend : Elle n'aura rien , car je n'ai :ien. * Le Président, après avoir reçu les opinions motivées de chacun des Juges du Tribunal , y joint la sienne, et prononce leJugementsuivant :<br /> Après soixante-quinze heures de séance,<br /> Le Tribunal , après avoir entendu l'Accusateur public, sur l'application de la Loi, condamne ledit Philibert-François Rouxel-Blanchelande à la, peine de mort, conformément à l'art. 1 , sect. z , tit. Ier de la seconde partie du Code pénal, dont il a été fait lecture , laquelle est ainsi conçue:<br /> « ''Toute conspiration et complots tendans à troubler l'Etat par une guerre civile, en armant les Citoyens les uns contre les autres, ou contre l'exer* cice del'Autorité légitime, serontpunis de mort''».<br />Ordonne que ses biens sont acquis au profit de la République, conformément à l'art. 2 du tit. 3 de la Loi du io Mars dernier ; comme aussi que le présent Jugement sera, à la diligence de l'Accusateur public, exécuté sur la place de là Réunion de cette Ville, et qu'il sera imprimé, publié et affiché dans toute l'étendue de la République.<br /> Fait à Paris, le L5 Avril 1793, l'an a delà République , en l'audience publique du Tribunal , où étoient présens Jacques-Bernard-Marie Montané , Président; Etienne Foucault, Christophe Dufriche-Desmagdeleines , et Antoine Rpussillon , Juges du Tribunal , qui ont signé lai? minute du présent Jugement.|Louis François Jauffret, Augustin Charles Guichard.- Gazette des nouveaux tribunaux, Volume 7<ref>1993 - {{bibliographie|Q27554981}}, [https://archive.org/stream/gazettedesnouve07unkngoog#page/n274/mode/2up Lire sur Internet Archive], [https://books.google.fr/books?id=vGG4Rfub0lMC&dq=Augustin-Jean%20Brulley&hl=fr&pg=PA268#v=onepage&q=Augustin-Jean%20Brulley&f=false Lire sur Google books, p. 266]</ref>.}} == Étienne Eustache Bruix == [[w:Étienne Eustache Bruix|Étienne Eustache Bruix (amiral Bruix)]] '''Étienne Eustache Bruix''', né en [[w:1759|1759]] à [[w:Fort-Dauphin (Haïti)|Fort Dauphin]] sur l'île de [[w:Saint-Domingue (colonie française)|Saint-Domingue]] et mort en [[w:1805|1805]] à [[w:Paris|Paris]], est un [[w:Officier de la marine nationale française|marin]] et [[w:homme politique|homme politique]] [[w:France|français]] du {{S|XVIII}}. Colonel-général-inspecteur des côtes de l'Océan, grand-officier et chef de la {{w:13e|cohorte}} de la [[w:légion d'honneur|légion d'honneur]]. Il occupe le poste de [[w:Liste des ministres français de la Marine et des Colonies|Ministre de la Marine et des Colonies]] du 27 avril 1798 au 4|mars 1799". ;Bibliographie [https://books.google.fr/books/content?id=w4OTyT2g_k0C&hl=fr&pg=PA368&img=1&zoom=3&sig=ACfU3U1CweAp4FMObXUim6KR8brQnhD6PA&ci=137%2C556%2C372%2C89&edge=0 5112 Bruix, Procès verbal de la fête funèbre] célébrée dans la R. L. l'Heureuse Rencontre à l'O. de Brest, le 9 prairial an XIII à l'occasion de la mort de l'amiral Bruix, Brest impr. de l'armée navale impériale an XIII in 4° Pièce [https://books.google.fr/books/content?id=w4OTyT2g_k0C&hl=fr&pg=PA368&img=1&zoom=3&sig=ACfU3U1CweAp4FMObXUim6KR8brQnhD6PA&ci=137%2C651%2C375%2C36&edge=0 5115 Notice historique sur Eustache Bruix] Par M MAZERES, Paris, Henrichs an XIII 1805 in 8° Pièce == Edward Wilmot Blyden 1832- 1912 == Cf. [[Utilisateur:Ambre Troizat#De la Mornarchie de Louis-Philippe aux années 1930|De la Mornarchie de Louis-Philippe aux années 1930]], ci-dessous. === Marc Bloch === [[Fichier:Strasbourg-Plaque Marc Bloch.jpg|100px|vignette|gauche]] * [[w:Marc Bloch|Marc Bloch]] * Sée Henri.- [http://www.persee.fr/doc/abpo_0003-391x_1921_num_35_2_4267_t1_0316_0000_3 Marc Bloch. Rois et serfs, compte rendu], Annales de Bretagne Année 1921 Volume 35 Numéro 2 pp. 316-319 == Les de La Boëssière de Louis XV == [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire/Louis_XV_"le_Bien-Aimé",_15_février_1710_–_10_mai_1774#Les_de_La_Boëssière_sous_Louis_XV|Les de La Boëssière sous Louis XV]] === Les de La Boëssière au {{S|XIX}} === ''' La Boëssière / La Boissière''' 1830 : Citation de {{bibliographie|Q28549182}}, 1830, p. [https://books.google.fr/books?id=G-BIAAAAcAAJ&dq=La%20Bo%C3%ABssière%20%2B%20ma%C3%AEtre%20d'armes&hl=fr&pg=PA340#v=onepage&q=La%20Bo%C3%ABssière%20+%20ma%C3%AEtre%20d'armes&f=false 340] * LABOESSIÈRE, maître d'armes des anciennes académiesdu roi, des Écoles royales polytechnique et d'équitation. ** Traiïé de l'art des armes, à l'usage des professeurs et des amateurs. Paris,V Auteu (* Magimel, Anselin et Pochard) , Isis, in-8 avec 20 planches, 7 fr. * LABOESSIÈRE ( le marquis de ) , chef d'état-major, eteommissaire extraordinaire du Roi, dépoté da Morbibau ; né en BasseBretagne, vers 1760. ** Considérations militaires et politiques sur les*^ierres de l'Ouest, pendant la Révolution française. Paris, de f'imp. de Henry, 1827, in-8. ** Considérations sur la discussion qni a eu lieu dans les deux Chambres, relativement à la loi d'indemnité. Paris, del'imp.de Beaucé-Rusand, i8a5,in-8 de 24 pag. Plusieurs Discours et Opinions, prononcés a\ la Chambre des députés par le tnarq. de Laboéssière * ont été imprimés. * LA BOISSIÈRE , maître d'armes. ** Observations sur le Traité de Y Art des armes, pour servir de défense à la vérité des principes enseignés par les maîtres d'armes de Paris. 1766, in-8. * LA BOISSIÈRE (J.-B.), successivement député du Lot à l'Assemblée législative , à la Convention nationale , et membre du Conseil des anciens. ** Opinion dans l'affaire du procès de Louis XVI. 1792, in-8. * LA BOISSIERE, ex-capitaine. Château (le) du comte de Roderic, trad. de l'angl. (1807). Voy. ce titre à la table des Ouvrages anonymes. * LABOISSIÈRE (J.-L.), avocat-général au parlement de Grenoble, au commencement de la révolution, et à la restauration , conseiller à la Cour royale de Nimes; né à Villeueuve-de-Berg, dans le Vi.var.iis, en .1740. ** Commentaires (les) du soldat Vivarais, où se voit l'origine de la rébellion de la Franc>, et toutes les guerres que, durant icelle, le pays de Vivarais a souffertes, divisés en trois livres, selon le temps que lesdites guerres sont arrivées; suivis du "Voyage du duc de Rohan en Vivarais, l'an 1628 ; de la relation de la révolte de Roure, en 1670; et d'une anecdote extraite du Journal manuscrit de J. de Banne, chanoine de Viviers. Privas, de Vimp. d'A. Agard) I8j I , in-8. Tirés à3oo exemplaires. * LABOISSIÈRE DE CHAMBORS (Guil. de), anc. capitaine de cavalerie, membre de l'Académie des inscriptionsetbelles-lettres; né à Paris, le 26 juillet 1666, mort dans la même ville, le 7 avril 1742. ** Nous ne connaissons de Laboissière de Chambors que les trois Mémoires suivants , impr. dans le recueil de l'académie dont il était membre: ** Analyse des dissertation* de M. de Cbambors sur l'estime et la considération que les anciens Germains avaient pour les femmes de leur nation ( tom. X, 1736).— Explication de quelques passages d'anciens auteurs \id.,id.). — Dissertation sur TitnsLabienus, en deux-mémoires ( tom. X et XH1 , 1736—4° ). Voy. aussi Eohtaihk et Her Vieux De * LA BoiSSiÈRE. * Frédéric Chauviré.- Histoire de la cavalerie, 2013 === 1838 === {{Citation bloc|1838 - TEXIER DE LA BOISSIÈRE, peut-être le même que le Laboissière du tome IV, alors maître d'armes des académies du roi et des pages du duc de Penthièvre.<br />— Mort (la) généreuse du duc Léopold de Brunswick, poësie élégiaque. Paris, l'Auteur; Bailly, 1786, in-4.|Joseph Marie Quérard.- La France littéraire ou dictionnaire bibliographique des savants<ref>[https://books.google.fr/books?id=8QkJAAAAQAAJ&dq=Texier%20de%20la%20Boissiere&hl=fr&pg=PA387#v=onepage&q=Texier%20de%20la%20Boissiere&f=false Volume 9], 1838</ref>.}} * [[w:Nicolas Texier de La Boëssière|Nicolas Texier de La Boëssière]], [[w:Maître d'armes|maître d'armes]] des académies du roi et des pages du duc de Penthièvre est né à [https://www.openstreetmap.org/relation/339198#map=7/47.018/-0.906 Marans]. * Copie, invention et réinvention ? "Quatre bons siècles avant les Jeux olympiques de la Grèce antique, un bas -relief du temple de Médinet-About en Haute – Égypte et construit par Ramsès III en 1190 avant J. -C., évoque une compétition sportive organisée par le pharaon pour célébrer sa victoire sur les Libyens. Voir la suite : [https://www.escrime-aaf.fr/histoire-de-l-escrime Les pharaons inventent le masque et la compétition].<br />— Le tombeau de Ramsès III fut cartographié pour la première fois en 1737-1738 par [[w:Richard Pococke|Richard Pococke]] (voir [[c:Category:Richard_Pococke|Category:Richard_Pococke]], puis par James Bruce en 1769 * 27 mars 2022 - [https://www.escrime-aaf.fr/post/championnat-de-france-des-ma%C3%AEtres-et-des-enseignants-d-escrime Premier championnat de France des Maîtres et des Enseignants d’Escrime] * 1-3 juillet 2022 - [https://www.escrime-aaf.fr/post/championnat-du-monde-des-ma%C3%AEtres-d-armes-direction-la-suisse Championnat du monde des maîtres d'armes] à Lausanne, Canton de Vaud, Suisse. == Pierre-François Boncerf, (1745-1794), économiste == * [[d:Q26156997|Pierre-François Boncerf]], {{BNF|11892716b}} * [[Pierre-François Boncerf]], [http://www.worldcat.org/identities/lccn-no91-23175/ WorldCat Identities] Pierre-François Boncerf est un économiste disciple de [[w:Anne Robert Jacques Turgot|Anne Robert Jacques Turgot ''dit'' Turgot]], (10 mai 1727 - 18 mars 1781), secrétaire d’État de la Marine du 20 juillet 1774 au 24 août 1774 puis, contrôleur général des finances, sous Louis XVI. Membre de la société d'agriculture et secrétaire du duc d'Orléans, il fut nommé officier municipal de la commune de Paris pendant la Révolution. En cette qualité, il fut chargé de l'installation du tribunal judiciaire dans le local même où le parlement avait autrefois condamné son ouvrage sur les inconvénients des Droits féodaux, ouvrage qui servit de base aux décrets du 4 août 1789 et au décret concernant les droits féodaux du 15 mars 1790. Sous la Terreur, Boncerf fut traduit devant le tribunal révolutionnaire ; il fut absous, mais seulement a la majorité d'une voix. IL mourut peu de temps après<ref>[https://books.google.fr/books?pg=PA285&redir_esc=y&id=Th5IAAAAMAAJ&hl=fr#v=onepage&q&f=false Biographie moderne]</ref>. ;[https://books.google.fr/books?id=-y3QNq-r-BIC&dq=Pierre-Franc%CC%A7ois%20Boncerf&hl=fr&pg=PA241#v=onepage&q=Pierre-Franc%CC%A7ois%20Boncerf&f=false Biographie nouvelle des contemporains, Volume 3] BONCERF (pierre-françois), naquit en 1745, à [[w:Chalaux|hassaulx]] en Franche-Comté. Après avoir exercé, à Besançon, la profession d'avocat, il vint à Paris, obtint une place dans les bureaux du ministre Turgot, et fit paraître, avec l'agrément de ce ministre, en 1776, sous le nom de ''Francaleu'', une brochure intitulée ''les Inconvéniens des droits féodaux''. Cet ouvrage fut dénoncé au parlement par le prince de Conti, et condamné à être brûlé par arrêt du 23 février. Boncerf, décrété lui-même, dut son salut à Louis XVI, qui défendit au parlement de poursuivre cette affaire. L'ouvrage proscrit fut loué par Voltaire ; il eut une vogue extraordinaire, et fut traduit dans toutes les langues de l'Europe. Il repose sur les mêmes principes qui servirent de base aux décrets improvisés par l'assemblée constituante dans la nuit du 4 au 5 août 1789. Lorsque M. Turgot quitta le ministère, Boncerf se retira en Normandie, où il s'occupa du dessèchement des marais qui rendaient la vallée d'Auge impraticable pendant une partie de l'année. Cet acte de patriotisme et d'humanité, et un mémoire qu'il publia en 1786 à l'occasion de ce dessèchement, le firent recevoir membre de la société d'agriculture de Paris; mais le projet est encore à exécuter. Un canal de trois lieues et quelques coupures rendraient à l'agriculture un des excellens cantons de la France. Boncerf fut ensuite employé dans l'administration des biens ruraux du due d'Orléans, et il occupait encore cette place quand la révolution éclata. Nommé officier municipal de la commune de Paris, il en remplit les fonctions avec zèle. Une circonstance singulière, c'est qu'en cette qualité il fut chargé d'installer le tribunal civil dans le local même où le parlement avait condamné son livre : le 1 1 octobre 179o, il apposa les scellés sur les greffes où étaient déposées les procédures criminelles dirigées contre sa personne. Mais son caractère ferme, et l'austérité de ses principes, lui attirèrent de nombreux ennemis, qui, dès 1793, rappelant ses anciennes liaisons avec le duc d'Orléans, en firent le prétexte d'accusations et de tradition au tribunal révolutionnaire. Acquitté à la majorité d'une seule voix, il fut si virement frappé de l'idée du danger qu'il avait couru, que sa santé en fut altérée et son moral affecté. 11 mourut au commencement de 1794. Boncerf a publié plusieurs ouvrages, entre autres un qui paraîtrait faire suite à la brochure condamnée. Il est intitulé : ''Moyens pour éteindre, et Méthode pour liquider les droits féodaux, 1790'', in-8°. Les autres sont : # Un Mémoire qui remporta le prix proposé en 1784, par l'académie de Châlons-sur-Marne, sur cette question : Quelles sont les causes les plus ordinaires de l'émigration des gens de la campagne vers les grandes villes, et quels seraient les moyens d'y remédier? # de la nécessité et des moyens d'occuper avantageusement tous les ouvriers. Cet ouvrage fut réimprimé par ordre de l'assemblée nationale, in-8°, Paris, 1789. # Réponse à quelques calomnies, in-8°, 1791 ; # Nécessité et moyens de restaurer l'agriculture et le commerce, in 8°, 1791 ; # de l'Aliénabilité et de l'Aliénation du domaine, in8°, 1791<ref>[https://books.google.fr/books?id=-y3QNq-r-BIC&dq=Pierre-Franc%CC%A7ois%20Boncerf&hl=fr&pg=PA241#v=onepage&q=Pierre-Franc%CC%A7ois%20Boncerf&f=false Biographie nouvelle des contemporains, Volume 3].</ref>. ==== Les inconvéniens des droits féodaux ==== * 1776 - {{Bibliographie|Q26157414}}, [https://books.google.fr/books?id=3zYNAAAAIAAJ&hl=fr&pg=PA1#v=onepage&q&f=false Google Livres]. * 1789 - {{Bibliographie|Q26157738}}, [https://books.google.fr/books?id=xArMmj9RTK8C&printsec=frontcover&hl=fr#v=onepage&q&f=false Google livres]. Par P.-Fr. Boncerf, d'après Barbier. - Écrite à l'occasion de la condamnation au feu par le Parlement de Paris, le 23 février 1776, sur réquisitoire de l'avocat général Séguier, de l'ouvrage de P.-F. Boncerf : "Les Inconvéniens des droits féodaux", publié à Paris au début de 1776. "Cf." la lettre de Voltaire à Boncerf du 8 mars 1776 [Besterman, n° 18839], qui est d'ailleurs reproduite dans le présent ouvrage. Dans la préface de cette édition de 1791, l'auteur précise que la "Lettre du Révérend Père Policarpe", de même que la "Lettre d'un bénédictin de Franche-Comté", qui suivit, furent écrites, non par Voltaire lui-même mais, sous ses yeux, par l'avocat Gabriel-Frédéric Christin, affirmation corroborée par le témoignage de Wagnière dans ses "Additions au Commentaire historique sur les oeuvres de l'auteur de La Henriade" {{BNF|31605423h}}. Cf. Jessica Riskin, J. "The "Spirit of System" and the Fortunes of Physiocracy" in History of Political Economy Annual Supplement to Volume 35 (2003) 42-73. [https://books.google.fr/books?id=3zYNAAAAIAAJ&dq=Pierre-Fran%C3%A7ois+Boncerf+%2B+Les+inconvénients+des+droits+féodaux&hl=fr&source=gbs_navlinks_s =>]. Article : Jessica Riskin.- [http://hope.dukejournals.org/content/35/Suppl_1/42.citation The “Spirit of System” and the Fortunes of Physiocracy], History of Political Economy (2003) 35 (Suppl 1): 42-73; doi:10.1215/00182702-35-Suppl_1-42 == Pierre Bourdieu == * [[w:Pierre Bourdieu|Pierre Bourdieu]] * Pierre Bourdieu, professeur au Collège de France : [http://www.college-de-france.fr/site/pierre-bourdieu/Resumes-annuels.htm Résumés annuels] ** [http://www.college-de-france.fr/media/pierre-bourdieu/UPL474730811278405034_AN_99_bourdieu.pdf L'économie des biens symboliques], 1993-1994 ** Sur l’État, [http://www.college-de-france.fr/site/pierre-bourdieu/Resumes-annuels.htm 1987-1988, 1988-1989, 1989-1990, 1990-1991, 1991-1992]. * [http://www.homme-moderne.org/societe/socio/bourdieu/lexique/ "Lexique" bourdieusien]. [http://www.homme-moderne.org/societe/socio/bourdieu/lexique/a/index.html Parcours erratique de morceaux choisis]. Ont participé à la réalisation de ce lexique : Catherine Bessagnet, Richard Brun, Éric Chabert, Raphaël Desanti, Patrick Ducray, Marco Fedi, Jean-François Festas, Xavier Molénat, Stéphane Molina, Yves Patte, Martine Rainaud, Michaël Voegtli, Sylvia Willynck. Coordination : Raphaël Desanti; mise en page : Éric Chabert. © Le Magazine de l'Homme Moderne et la liste Champs, 2002. === La théorie bourdieusienne selon Robert Boyer === {{Citation bloc|''La théorie bourdieusienne<ref>{{bibliographie|Q61809151}}</ref> peut, selon [[w:Robert Boyer|R. Boyer]]<ref>Robert Boyer, « l’anthropologie économique de Pierre Bourdieu », Actes de la Recherche en sciences sociales, n° 150, décembre 2003, p.65-78.</ref>, permettre de dépasser certaines limites de l’analyse économique, en historicisant des concepts que cette dernière tient pour universels. Si l’économie postule que l’individu « agit selon son intérêt », un concept comme l’habitus invite à se demander comment l’individu a acquis, au cours de sa socialisation, cette capacité à agir selon son intérêt. La théorie des champs, et les fonctionnements spécifiques du champ littéraire, du champ scientifique par exemple, poussent à se demander s’il n’existe qu’une seule sorte d’intérêt : l’intérêt de l’entrepreneur est-il le même que celui de l’écrivain ou du scientifique ?'' Idem pour le concept de marché, dont il faudrait dans chaque cas étudier la genèse, comme l’a fait P. Bourdieu pour la maison individuelle. Cela conduirait, selon R. Boyer, à nuancer l’opposition canonique entre Etat et marché, car le premier peut contribuer le second à prendre forme. Dans le cas de la maison individuelle, l’Etat agit, à travers sa politique de subventions et de crédit, sur les stratégies des acheteurs et des entrepreneurs. Autre postulat économique battu en brèche : celui selon lequel tous les acteurs du marché ont le même pouvoir. La théorie des champs montre que « quel que soit le champ, certains ont plus de pouvoir que d’autres, de sorte que la concurrence ne sert pas l’égalisation des chances mais la reproduction d’une distribution inégalitaire du capital ». D’où un changement permanent, car les acteurs dominants doivent sans cesse innover pour conserver leur position menacée par les nouveaux arrivants sur le marché.'' ''Une perspective globale qui présente des « homologies frappantes » avec la théorie de la régulation que R. Boyer défend, et qui insiste sur '''le poids de l’histoire dans la construction des individus''' et des institutions qui encadrent l’activité économique.''|Xavier Molénat.- Pierre Bourdieu (1930-2002) : une pensée toujours à l'oeuvre<ref>Xavier Molénat.- [https://www.scienceshumaines.com/pierre-bourdieu-1930-2002-une-pensee-toujours-a-l-oeuvre_fr_28372.html Pierre Bourdieu (1930-2002) : une pensée toujours à l'oeuvre], SciencesHumaines.com, Mis à jour le 02/11/2015</ref>}} === Bourgeois === # '''1777''' - Eusèbe Jacques de Laurière, Denis-François Secousse, Louis Guillaume de Vilevault , Louis-Georges-Oudard Feudrix de Bréquigny, Claude Emmanuel Joseph Pierre marquis de Pastoret, Jean-Marie Pardessus.-Ordonnances des roys de France de la troisième race : Ordonnances de Charles VI. données depuis le commencement de l'année 1383. jusqu'à la fin du règne de ce prince, avec supplements & '''''Recherche sur les bourgeoisies'''''<ref>[[s:Cahiers du Cercle Proudhon/5-6/La bourgeoisie capitaliste|Georges Valois.- La bourgeoisie capitaliste]], Cahiers du Cercle Proudhon, 1912 (p. 214-248).</ref>. 1745-77, 1777,'''Volume 12''', <https://books.google.fr/books?id=w-VZAAAAYAAJ> # '''1777''' - Louis Guillaume de Villevault (Q67212005), Louis-Georges de Bréquigny (Q3260557).- Ordonnances des roys de France de la troisième race recueillies par ordre chronologique, contenant un supplément depuis l'an 1187 contenant un supplément depuis l'an 1187, jusqu'à la fin du règne de Charles VI, par M. de Villevault, maître des requêtes, intendant du Commerce maritime ; & M. Bréquigny de l'Académie Françoise & de celle des Inscriptions & Belles-Lettres, De l'Imprimerie Royale, Douzième volume, 1777 <https://books.google.fr/books?id=w-VZAAAAYAAJ&hl>. * Werner Sombart, 1863-1941, S. Jankélévitch, traducteur.- Le Bourgeois, Contribution à l’histoire morale et intellectuelle de l’homme économique moderne 1913. [http://classiques.uqac.ca/classiques/sombart_werner/le_bourgeois/le_bourgeois.html Lire en ligne, Classiques.uqac.ca]. === Botanique === * [[w:Charles Plumier|Charles Plumier]], 1646-1704, description des plantes d'Amérique. ** {{Bibliographie|Q25713947}} ** {{Bibliographie|Q25714582}} == Théodore de Bry == * [[w:Théodore de Bry|Théodore de Bry]] * [http://lj.rossia.org/users/marinni/299512.html?thread=2861304 Théodore de Bry] * [http://histgearacine.blogspot.fr/2011/05/theodore-de-bry-un-graveur-engage.html Théodore de Bry, un graveur engagé]. Description de ''[http://expositions.bnf.fr/marine/grand/por_328.htm La découverte de l'Amérique, 12 mai 1492, 1592].'' <gallery> File:Theodor de Bry.png|Theodor de Bry, 1528-1598<ref>Voir problème de date de naissance au 14 juillet 2016 sur Wikimedia Commons </ref>. |1492-1592 - Théodore de Bry.- ''Arrivée de Christophe Colomb aux Amériques'', ou ''La découverte de l'Amérique'', 12 mai 1492<ref>[http://expositions.bnf.fr/marine/grand/por_328.htm ''Colomb reçoit des présents des indigènes tandis que ses compagnons dressent une croix de bois'', 12 mai 1492].<br />[http://histgearacine.blogspot.fr/2011/05/theodore-de-bry-un-graveur-engage.html Théodore de Bry, un graveur engagé]. Description de ''[http://expositions.bnf.fr/marine/grand/por_328.htm La découverte de l'Amérique, 12 mai 1492.].''</ref> File:Indian Village of Pomeiooc Theodor de Bry 1590.jpg|Theodor de Bry.- Pomeiooc, village amérindien, 1590 File:Narratio Regionum indicarum per Hispanos Quosdam devastatarum verissima Theodore de Bry.jpg|Espagnols Conquistadors faisant travailler et maltraitant les Indiens. Indiens anthropophages<ref>[http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b20000085/f11.item.r=Théodore%20de%20Bry Illustrations de Narratio regionum Indicarum per Hispanos quosdam devastattarum], Planche p.50, {{BNF|38494951c}}, Cote : BNF C43327.</ref>. </gallery> * [https://www.oikoumene.org/fr/press-centre/news/le-coe-desavoue-la-doctrine-utilisee-contre-les-populations-autochtones Le COE désavoue la doctrine utilisée contre les populations autochtones]. Illustration : "La découverte de l'Amérique, 12 mai 1492 : Christophe Colomb érige la croix et baptise l'île de Guanahani en lui donnant le nom chrétien de San Salvador", gravure sur cuivre de Théodore de Bry (1590). == Christophe Colomb == [[Fichier:America or the New World map by Theodor de Bry 1596.jpg|100px|vignette|gauche|1596 - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b8446636q America or the New World map by Theodor de Bry] : Christopher Columbus, Amerigo Vespucci, Francisco Pizzaro and Ferdinand Magellan.]] * [[w:Christophe Colomb|Christopher Columbus]], 1451-1506 * [[w:Amerigo Vespucci|Amerigo Vespucci]], 1454-1512 * [[w:Francisco Pizarro|Francisco Pizzaro]], 1475-1541 * [[w:Fernand de Magellan|Ferdinand Magellan]], 1480-1521 * [[w:Theodor de Bry|Theodor de Bry]], 1528-1598 === Discussion à propos de "Images de la découverte des Amériques" (Théodore de Bry) === "La découverte de l'Amérique, 12 mai 1492 : Christophe Colomb érige la croix et baptise l'île de Guanahani en lui donnant le nom chrétien de San Salvador", gravure sur cuivre de Théodore de Bry (1590). '''Caractéristiques de l’image''' Titre de l’image : ''Théodore de Bry Colomb reçoit des présents des indigènes tandis que ses compagnons dressent une croix de bois'' Texte manuscrit Importé par Ambre : Troizat Date de l'import : 14 juillet 2016 Commentaire : ''Gravure de Théodore de Bry décrivant l'arrivée de Christophe Colomb aux Amériques et la violence de la "rencontre" entre l'Europe et les Amériques''. ;[[w:Michèle Duchet|Michèle Duchet]]<ref>Michèle Bonnissol Duchet, 1925-2001, professeure et historienne, spécialiste de la construction de l'anthropologie durant le siècle des Lumières en France</ref> — L'Amérique de Théodore de Bry. Une collection de voyages protestante du XVIe siècle [compte-rendu] {{Citation bloc|Ce livre<ref>{{BNF|34969416c}}</ref> inaugure une série consacrée aux grandes collections et dans laquelle la collection est prise comme objet de recherche. Un autre volume doit paraître, sous le titre : « Le monde en ordre ; les collections de voyages ». Ici il s'agit seulement d'une collection, celle dite des « Grands voyages » de Théodore de Bry (1590-1634). Le mérite de cette collection a été de rassembler des textes alors inédits, mais aussi de faire une place exceptionnelle à la gravure dans la représentation du monde américain. Ces gravures sont très belles et un des problèmes de la critique est de retrouver les sources d'inspiration du dessinateur — qui d'ailleurs a suivi le texte de très près — , sans comparaison sur ce point avec les graveurs qui l'avaient précédé.<br />L'unité de ce recueil vient de ce que Théodore de Bry était un protestant et qu'il a réuni tout ce qui montrait le rôle bienfaiteur des Réformés, mais surtout les atrocités commises par les conquistadors catholiques et leur rôle néfaste. On trouve, dans sa collection, l'expédition en Virginie de Grenville, celle en Floride de Laudonière, l'Histoire du Brésil de Hans Staden, suivie de la Narration de Jean de Léry, l'Histoire des Indes occidentales de Benzoni, et son Histoire de la conquête du Pérou, les textes de Schmidel, les voyages de Drake, Cavendish, Raleigh, Keymis. On y trouve encore Acosta, Americ Vespuce, Guillaume Schonten, Antonio de Herrera et bien d'autres, qui forment treize volumes entre 1590 et 1634. Le terme de « grand » appliqué à ces voyages désigne seulement le format de ces volumes.<br />L'analyse des commentateurs est fondée sur une riche et profonde culture anthropologique. C'est une magnifique préparation à la lecture des « Voyages » en général et de ceux-ci en particulier.|Frédéric Mauro<ref>{{Lien web |langue= fr|auteur= Frédéric Mauro|titre= DUCHET (Michèle) : L'Amérique de Théodore de Bry. Une collection de voyages protestante du XVIe siècle. — Paris, C.N.R.S., 1987. — 27 cm, 288 p., fig.|url= https://www.persee.fr/doc/outre_0300-9513_1990_num_77_287_2799_t1_0289_0000_2|date= 1990|site= persee.fr|consulté le= 26 mai 2021}}</ref>.}} ;Caractéristiques de l’image Texte imprimé. Source : [https://books.google.fr/books?id=pvMAAAAAYAAJ&pg=PA264&lpg=PA264&dq=Discovery+of+America+12th+of+May+1492+Columbus+erects+the+Cross+and+baptizes+the+Isle+of+Guanahani+by+the+Christian+Name+of+St+Salvador+From+a+Stamp+engraved+on+Copper+by+Th+de+Bry+in+the+Collection+of+Grands+Voyages+in+folio+1590&source=bl&ots=QBeC-yNA2-&sig=7tntJLLbE37SErBU_nOgU04IKlA&hl=en&sa=X&redir_esc=y#v=onepage&q=Discovery%20of%20America%2012th%20of%20May%201492%20Columbus%20erects%20the%20Cross%20and%20baptizes%20the%20Isle%20of%20Guanahani%20by%20the%20Christian%20Name%20of%20St%20Salvador%20From%20a%20Stamp%20engraved%20on%20Copper%20by%20Th%20de%20Bry%20in%20the%20Collection%20of%20Grands%20Voyages%20in%20folio%201590&f=false "Manners, Customs, and Dress During the Middle Ages, and During the Renaissance Period" (pg 264)] [https://en.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Reference_desk/Archives/Miscellaneous/2007_July_20 image citée ici <br /> ;Autres fichiers [[File:Livre des nouvelles terres, Découverte de l'Amérique par Christophe Colomb, 1ère relation, 1506.png|100px|vignette|gauche|La Caravelle de Christophe Colomb arrive en vue des terres, Livre des nouvelles terres]] 1506 - PLZEŇ.- [[c:File:Livre des nouvelles terres.JPG|Livre des nouvelles terres]], imprimé par MIKILÁŠ BAKALÁŘ. L'ouvrage, exposé à la bibliothèque du couvent de Strahov à Prague, constitue la plus ancienne relation de la découverte de l'Amérique. Il nous propose cette représentation de l'arrivée de Christophe dans les Caraïbes en 1492. [[Fichier:La découverte des Amériques.jpg|100px|vignette|gauche]] '''Caractéristiques de l’image''' Titre de l'image : ''La découverte des Amériques'' Image colorisée Sans texte <br /> ;Autres sources BnF Les Essentiels [http://expositions.bnf.fr/marine/grand/por_328.htm Christophe Colomb reçoit des présents des indigènes tandis que ses compagnons dressent une croix de bois], Gravure Grands Voyages, America pars quarta Théodore de Bry (1528-1598), Francfort, 1592. BnF, département des Cartes et Plans, CPL GE FF-8185, pl. IX © Bibliothèque nationale de France Document le plus fiable : [http://www.loc.gov/pictures/resource/cph.3b07443/ Columbus landing on Hispaniola, Dec. 6, 1492; greeted by Arawak Indians] Source [http://www.photo.rmn.fr/archive/78-003294-2C6NU0XQD8OP.html Réunion des Musées Nationaux], Sans texte HISTOIRE - GEOGRAPHIE au Lycée Racine : [http://histgearacine.blogspot.fr/2011/05/theodore-de-bry-un-graveur-engage.html Théodore de Bry, un graveur engagé] * Histoire de la vie et des voyages de Christophe Colomb, par M. Washington Irving, traduite de l'anglais par C.A. Defauconpret Fils. [https://www.google.fr/books/edition/Histoire_de_la_vie_et_des_voyages_de_Chr/jTGbU-Nd1oUC?hl=fr&gbpv=0Google Livre]. La série complète sur [https://archive.org/search.php?query=Histoire+de+la+vie+et+des+voyages+de+Christophe+Colomb%2C+par+M.+Washington+Irving%2C+traduite+de+l%27anglais+par+C.A.+Defauconpret+Fils Internet Archive]. Gabriele Paleotti.- Discourse on Sacred and Profane Images, Getty Publications, 2012 - 353 pages * <https://books.google.fr/books/about/Discourse_on_Sacred_and_Profane_Images.html?id=qXK-avVr9ToC&redir_esc=y>. * <https://data.bnf.fr/12265776/gabriele_paleotti/> * https://letteraturaartistica.blogspot.com/2016/04/gabriele-paleotti.html * https://www.la-croix.com/Archives/2015-04-18/Dieu-ses-images-ses-representations.-Dieu-ses-images-ses-representations-2015-04-18-1303750 * Montesquieu Et L'Esclavage Par Russell Parson Jameson 1911 * https://data.bnf.fr/12265776/gabriele_paleotti/ ;Monsieur de Saint-George - * Picard, Louis-Auguste (1854-1935).- Origines de l'École de cavalerie et de ses traditions équestres [Texte imprimé] : Équitation, dressage, hippiatrique, maréchalerie, haras, remonte, harnachement, uniformes, organisation militaire, règlements de cavalerie / Capitaine L. Picard,..., Saumur : S. Milon fils, [1889], 2 vol. ; in-4 * Monsieur de Boulogne, archevêque-évêque de Troyes, pair de France Par Alphonse Étienne Delacroix · 1886 <https://www.google.fr/books/edition/Monsieur_de_Boulogne/0XcG9jmSDMIC?hl=fr&gbpv=0> * [https://www.google.fr/books/edition/La_Petite_revue/T_xfAAAAcAAJ?hl=fr&gbpv=1&dq=Roger+de+Beauvoir+%2B+Le+Caf%C3%A9+procope+%2B+Saint-Georges&pg=PA183&printsec=frontcover> Roger de Beauvoir + Le Café procope + Saint-Georges] * Recueil général des anciennes lois françaises, depuis l'an 420 ..., Volume 4 De ..... <Decrusy, Athanase-Jean-Léger Jourdan <https://books.google.fr/books?id=vQdfAAAAcAAJ&pg=PA841&dq=Monsieur+de+Saint-George&hl=fr&sa=X&ved=2ahUKEwjjoobR_cb8AhVBWqQEHRD_AtQ4KBDoAXoECAgQAQ#v=onepage&q=Monsieur%20de%20Saint-George&f=false> * Jean Ehrard, Lumières et esclavage. L’esclavage et l’opinion publique en France au XVIIIe siècle, Alessandro Tuccillo, <http://www.societe-montesquieu.org/spip.php?page=article&id_article=943&connect=montesquieu> * Lumières et esclavage, Bernard Gainot, Marcel Dorigny, Jean Ehrard, Alyssa Goldstein Sepinwall, Dans Annales historiques de la Révolution française 2015/2 (n° 380), == C == [[Fichier:Luca Pacioli, De divina proportione, Letter C.jpg|100px|vignette|centré]] === Café Procope === "le brillant chevalier de Saint-Georges donnait des leçons d 'escrime aux gens de lettres, excepté à Sainte-Foix, qui n'aimait ni les lecons, ni les bavaroises"<ref>Louis Lurine.- [https://books.google.fr/books?id=LyAoAAAAYAAJ&dq=Caf%C3%A9%20Procope%20%2B%20Chevalier%20de%20Saint-George&hl=fr&pg=PA71#v=onepage&q&f=false Les rues de Paris : Paris ancien et moderne], volume 2.</ref>. "Il y avait là Voltaire qui épanchait souvent sa bile contre Fréron, Piron, J B Rousseau, La Mothe, Marmontel ,Sainte Foix Dorat, le chevalier de Saint-Georges, Naigeon Grimm d Alembert d Holbach de temps en temps et quelques jeunes nourrissons du Parnasse qui fournissaient sans doute de nouvelles à la main les feuilles de l époque Les conversations on le devine étaient très animées "<ref>Charles Romey.- [https://books.google.fr/books?id=noRYAAAAMAAJ&dq=Caf%C3%A9%20Procope%20%2B%20Chevalier%20de%20Saint-George&hl=fr&pg=PA30#v=onepage&q=Caf%C3%A9%20Procope%20+%20Chevalier%20de%20Saint-George&f=false Etude nouvelle sur Denis Diderot, l'encyclopédiste du XVIIIe siècle].</ref> === Caffé === ;Coffeehouse * [http://publicdomainreview.org/2013/08/07/the-lost-world-of-the-london-coffeehouse/?utm_content=buffer7ac05&utm_medium=social&utm_source=facebook.com&utm_campaign=buffer The Lost World of the London Coffeehouse]. * [https://archive.org/stream/allaboutcoffee00ukeruoft#page/8/mode/2up/search/Guadeloupe Le café à la Guadeloupe] == Caisses d'épargne == * 1818 : [http://www.benjamin-delessert.fnce.fr/1818-fondation-de-la-caisse-depargne Fondation de la Caisse d'Epargne] == L'action politique des Clubs, sociétés populaires, littéraires ou musicales == [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Réflexions_à_propos_des_traites_&_esclavages#L'action_politique_des_Clubs,_sociétés_populaires,_littéraires_ou_musicales|L'action politique des Clubs, sociétés populaires, littéraires ou musicales]] === Société Olympique === === Loge des neuf sœurs === * 1896 - {{bibliographie|Q113005211}} <!-- La vie à Paris pendant une année de la Révolution, 1791-1792 --> * 1897 - {{bibliographie|Q113005694}} <!-- Une loge maçonnique d'avant 1789 --> == De la Motte - de Lamotte - Lamothe == Lamotte, musicien du roi, ami de Saint-George Lamothe, compagnon indéfectible de Saint-George Saint-George & Lamothe à Amiens == Capitalisme == * [http://unt.unice.fr/aunege/M2/environnement_economique_et_social_Nancy2/co/Contenu_211.html Les origines du capitalisme] * Les formes de capitalismes in "[https://www.scienceshumaines.com/les-formes-de-capitalismes_fr_12104.html Les nouveaux visages du capitalisme]", [[d:Q3475792|Sciences Humaines]] * 1792 - {{bibliographie|Q98970613}} <!-- Réflexions offertes aux capitalistes de l'Europe -->. ""[https://www.worldcat.org/title/reflections-offertes-aux-capitalistes-de-leurope-sur-les-benefices-immences-que-presente-lachat-de-terres-incultes-situees-dans-les-etats-unis-de-lamerique/oclc/58673102 This French text is by Benedict Van Pradelles] and is based on a ms provided him by Robert Morris and W.T. Franklin. Advertisement for sale of Genesee lands (in western New York state), which had been sold to the Company by W.T. Franklin."--Echeverria & Wilkie. According to Echeverria & Wilkie, this text was used as a promotional tract by the Holland Land Company. Signatures: A-B⁸ C⁴ chi1. * 1848 - {{Bibliographie|Q29018268}} <!-- --> * 2019 - {{bibliographie|Q109748922}} <!-- Le capitalisme a-t-il une date de naissance ? --> == Carnet de recherches == [[Fichier:Extrait carnet Stradivarius.gif|100px|vignette|gauche|Carnet Stradivarius]] == Casanova == {{Citation bloc|Toujours soucieux de ne jamais sacrifier sa liberté ni à une femme, ni à une cause, ni au goût de la possession, Casanova est un infatigable voyageur. Ouvert à toutes les rencontres, il parcourt les routes de Venise à Madrid en passant par Moscou, et incarne, entre ombres et lumières, des facettes contrastées de son temps.|Casanova à l'occasion de l'exposition Casanova, la passion de la liberté à la BNF, 21 novembre 2011<ref>Guy Chaussinand-Nogaret Directeur d’études honoraires à l’EHESS.- [http://www.clio.fr/CONFERENCE/CONFERENCE/casanova_a_loccasion_de_lexposition_casanova_la_passion_de_la_liberte_a_la_bnf.asp Casanova à l'occasion de l'exposition Casanova, la passion de la liberté à la BNF], 20011</ref>}} * Guy Chaussinand-Nogaret.- Casanova: Les dessus et les dessous de l'Europe des Lumières == Michel Paul Guy de Chabanon == Michel Paul Guy de Chabanon, poète français, 1730-10 juillet 1792, [https://www.google.fr/books/edition/Bibliographie_biographique_ou_Dictionnai/kBpfAAAAcAAJ?hl=fr&gbpv=1&dq=BIBLIOGRAPHIE+BIOGRAPHIQUE+UNIVERSELLE+%2B+Michel+Paul+Guy+de+Chabanon&pg=PA98&printsec=frontcover Lire] Michel Paul Guy de Chabanon.- Tableau de circonstances de ma vie etc. ouvrage posthume publié par NN Saint Ange, Paris, 1795 8 ibid 1802 8 3213 Chabot Louis Michel Paul Guy de CHABANON, Ange François Fariau de Saint-Ange.- [https://www.google.fr/books/edition/Tableau_de_quelques_circonstances_de_ma/JWFiAAAAcAAJ Tableau de quelques circonstances de ma vie]. (Appendice ... Anecdotes sur Voltaire.) Précis de ma liaison avec mon frère Maugris, ouvrages posthumes, publiés par Saint-Ange, Paris, 1795 * 1795 - {{bibliographie|Q110155354}} <!-- Michel Paul Guy de Chabanon et Ange-François Fariau de Saint-Ange (dir.), Tableau de quelques circonstances de ma vie. Précis de ma liaison avec mon frère Maugris --> {{Citation bloc|One of the more articulate critics denouncing the theory of musical imitation was Michel - Paul - Guy de Chabanon . Born on the island of Santo Domingo in 1729 , Chabanon displayed a remarkable intellectual versatility in a… |Robert James MacDonald.- Francois Joseph Gossec and french instrumental music in the second half of the eighteen century (Volumes I-III), 1968<ref>Robert James MacDonald.- Francois Joseph Gossec and french instrumental music in the second half of the eighteen century, [https://www.google.fr/books/edition/FRANCOIS_JOSEPH_GOSSEC_AND_FRENCH_INSTRU/--AYAQAAIAAJ?hl=fr&gbpv=1&bsq=Michel+Paul+Guy+de+CHABANON+%2B+Fran%C3%A7ois-Joseph+Gossec&dq=Michel+Paul+Guy+de+CHABANON+%2B+Fran%C3%A7ois-Joseph+Gossec&printsec=frontcover (Volumes I-III, page 262)], 1968</ref>}} === Michel Paul Guy de CHABANON & François-Joseph Gossec === {{Citation bloc|C'est à Paris aussi que se déroula l'étonnante carrière du fils de paysans de Vergnies , François - Joseph Gossec ... il s'essaye aussi au genre lyrique et écrit , sur un livret de Michel - Paul - Guy de Chabanon , un Sabinus , qui sera …|La Vie culturelle dans nos provinces au XVIIIe siècle. Pays-Bas autrichiens, principauté de Liège et duché de Bouillon, 1983<ref>[https://www.google.fr/books/edition/La_Vie_culturelle_dans_nos_provinces_au/nCUSAQAAMAAJ?hl=fr&gbpv=1&bsq=Michel+Paul+Guy+de+CHABANON+%2B+Fran%C3%A7ois-Joseph+Gossec&dq=Michel+Paul+Guy+de+CHABANON+%2B+Fran%C3%A7ois-Joseph+Gossec&printsec=frontcover La Vie culturelle dans nos provinces au XVIIIe siècle, Page 54]</ref>}} * Symphonies subtitled La chasse were composed by François - Joseph Gossec == Les Chartes == == Franchises == [[File:Selon le droit de Nature chacun doit naître franc.jpg|vignette|100px|gauche|''Selon le [[w:droit naturel|droit de Nature]] chacun doit naître franc'' [[w:Louis X|Louis X]].]] [[File:Louis X dit Hutin, Lettre portant que les serfs du Domaine du Roy seront affranchis moyennant finance, Paris 3 juillet1315.pdf|vignette|100px|gauche|[[w:Édit du 3 juillet 1315|Ordonnance royale du 3 juillet 1315]] par laquelle [[w:Louis X|Louis X]] abolit le servage dans le domaine royale, plus spécifiquement dans [[w:Bailliage et sénéchaussée|bailliage]] le [[w:Senlis_(Oise)#Moyen_.C3.82ge_central|Senlis]]]] Durant le [[w:Moyen Âge|Moyen Âge]], l'état de [[w:Franchise (servage)|franchise]]<ref>Le titre de cet article [[w:Franchise (servage)|Franchise (servage)]] devrait être "Franchise (liberté)" </ref> désignait l'état de liberté opposé à l'état de [[w:Servitude (droit)|servitude]] des [[w:esclavage|esclaves]] et des [[w:servage|serfs]]<ref>[[w:Philippe-Antoine Merlin de Douai|Philippe Antoine Merlin]] et [[w:Louis Rondonneau|Louis Rondonneau]], [https://books.google.fr/books?id=htFDAAAAcAAJ&pg=PA336&dq=serf+%22franchise+était%22&hl=fr&sa=X&ved=0ahUKEwi_qc7SnKLPAhVFVxoKHehuDY8Q6AEIYjAJ#v=onepage&q=serf%20%22franchise%20était%22&f=false ''Table générale alphabétique et raisonnée des matères contenues dans le "Répertoire de jurisprudence" et dans le "''Recueil alphabétique des Questions de droit''"], Paris, 1829</ref>. Le mot "franchise" signifie donc liberté, tout comme "franc" signifie libre et "affranchir" signifie mettre en liberté<ref>[[w:Louis Dussieux|Louis Dussieux]], [https://books.google.fr/books?id=96BOAAAAcAAJ&pg=PA30&dq=3+juillet+1315+Braye+Chaumont&hl=fr&sa=X&ved=0ahUKEwjx4firrp7PAhXMVhoKHaPiC7MQ6AEIMjAE#v=onepage&q&f=false ''L'Histoire de France racontée par les contemporains'', tome 1, 2, 3 & 4], 1861.</ref>. === Charte de franchises === * [[w:Charte de franchises|Charte de franchises]] * [[w:Assemblée provinciale|Assemblée municipales proposées par Turgot]] Le médiéviste [[w:Charles-Edmond Perrin|Charles-Edmond Perrin]], et après lui Ruth Mariotte-Löber, définit ainsi les [[w:Charte de franchises|Chartes de franchises]] : ''"Acte accordé par le pouvoir seigneurial à l'ensemble des sujets d'une seigneurie pour régler les relations du seigneur et de la communauté et garantir à celle-ci et à ses membres des droits biens définis"''. [https://books.google.fr/books?id=PvvhKtVtMsYC&lpg=PA36&dq=Acte%20accordé%20par%20le%20pouvoir%20seigneurial%20%C3%A0%20l'ensemble%20des%20sujets%20d'une%20seigneurie%20pour%20régler%20les%20relations%20du%20seigneur%20et%20de%20la%20communauté&hl=fr&pg=PA36#v=onepage&q=Acte%20accordé%20par%20le%20pouvoir%20seigneurial%20%C3%A0%20l'ensemble%20des%20sujets%20d'une%20seigneurie%20pour%20régler%20les%20relations%20du%20seigneur%20et%20de%20la%20communauté&f=false 1] {{Citation bloc|Parmi les réformes qui signalèrent la fin du dix-huitième siècle, une des plus importantes fut sans contredit celle de l'[[w:Administration publique française|Administration française]]. Les anciennes [[w:Franchise (servage)|franchises]] provinciales et communales amoindries sous les [[w:Maison capétienne de Valois|Valois]]<ref>[[w:Maison capétienne de Valois|La maison de Valois]] est la branche cadette de la dynastie capétienne qui régna sur le royaume de France de 1328 à 1589. Elle succède aux Capétiens directs et précède les Bourbon.</ref> par [[w:François Ier (roi de France)|François I{{er}}]] et par [[w:Henri II (roi de France)|Henri II]] qui créa les [[w:Intendant (Royaume de France)|Intendants]]<ref>Aux {{s2|XVII|e|XVIII|e}}, les [[w:Intendant (Royaume de France)|intendants]] sont issus de la [[noblesse de robe]] ou de la haute-[[bourgeoisie]]. Généralement ils sont [[maîtres des requêtes]] au [[Conseil des parties]].<br>"''Au 18e siècle, toutes ces fonctions dépendaient directement du Roi et de son administration centrale, dirigée par le Conseil du Roi, les contrôleurs généraux et 34 intendants, tous roturiers. Ils détenaient la réalité du pouvoir : ils décidaient du montant des impôts, la répartition, le recrutement dans l’armée, la construction des routes, la surveillance des réunions, la définition des normes, la répartition des œuvres de charité. Rien ne leur échappait : l’administration des villes et de toutes les paroisses.''". Bénédicte Kibler.- [https://benedictekibler.wordpress.com/2012/06/18/les-vraies-causes-de-la-revolution-de-1789/ Les vraies causes de la Révolution de 1789], 18 juin 2012.</ref>, avaient disparu sous le despotisme de [[w:Armand Jean du Plessis de Richelieu|Richelieu]]<ref>[[w:Armand Jean du Plessis de Richelieu|Richelieu]] devient [[w:Principal ministre d'État|principal ministre d'État]] de [[<:Louis XIII|Louis XIII]] en 1624. Il reste en fonction jusqu'à sa mort, en 1642, date à laquelle le cardinal Mazarin lui succède.</ref>, de [[w:Louis XIV|Louis XIV]] et de [[w:Louis XV|Louis XV]]. La France dut à [[w:Louis XVI|Louis XVI]], et à ses ministres [[w:Anne Robert Jacques Turgot|Turgot]] et Necker, l'abolition du régime arbitraire et oppressif qui pesait sur elle depuis deux siècles. Dès 1778, quatre ans après son avènement au trône, Louis XVI, l'un des meilleurs et le plus malheureux des Rois qu'ait eus la France, préludait à ces réformes par l'établissement d'[[w:Assemblée provinciale|Assemblées provinciales]]<ref>Cf. [[w:Assemblée provinciale#Les « municipalités » de Turgot|Les municipalités de Turgot]]</ref> dans le Berry, le Dauphiné, la Haute-Guyenne et le Bourbonnais. Sept ans plus tard, en 1785, des Edits successifs étendirent ces Assemblées à toute la France et réorganisèrent sur des bases nouvelles l'Administration municipale, départementale et provinciale du Royaume. Cette restauration des libertés provinciales a inspiré à M. [[d:Q3271586|Léonce de Lavergne]]<ref>[[w:Léonce Guilhaud de Lavergne|Léonce Guilhaud de Lavergne]]</ref>, membre de l'Institut, [[d:Q17357108|plusieurs articles]] très-remarquables, publiés en 1861 par la [[d:Q29477312|Revue des Deux-Mondes]], sous ce titre: Les Assemblées provinciales avant 1789. Ils avaient pour objet, et eurent pour résultat d'attirer l'attention sur l'État de l'Administration française au moment où éclata la Révolution de 1789. M. de Lavergne s'était borné à esquisser ce qui se rattachait à l'établissement des nouvelles Assemblées provinciales II n'entrait pas dans son plan de traitera fond ce sujet et de lui donner les développements qu'il comportait. Ce sont ces développements que nous donnons aujourd'hui pour la province de Picardie.|Alexandre Hesse, L'Administration provinciale et communale en France et en Europe, 1785-1870, Introduction<ref>{{bibliographie|Q29477542}} 1870</ref>}} [[w:Léonce Guilhaud de Lavergne|Léonce Guilhaud de Lavergne]].- Les Économistes français du dix-huitième siècle (1870). Réédition : Slatkine, Genève, 1995. === Bibliographie "Les Chartes" === ==== Bibliographie "Charte de franchises" ==== * 1973 - {{Bibliographie|Q28604258}} == Chronologie : L'Art de vérifier les dates de la révolution == * 1803 - [http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb36433140r L'Art de vérifier les dates de la révolution], ou Répertoire législatif, administratif, judiciaire et historique, depuis l'ouverture des états généraux, en 1789, jusqu'au 1er vendémiaire an XII... Avec table... , Paris, 1803 , {{BNF|36433140r}}. * Warden, David Baillie (1778-1845) , Courcelles, Jean-Baptiste-Pierre (1759-1834), Fortia d'Urban, Agricol-Joseph-François-Xavier-Pierre-Esprit-Simon-Paul-Antoine (1756-1843). Éditeur scientifique .- L'art de vérifier les dates depuis l'année 1770 jusqu'à nos jours formant la continuation, ou troisième partie de l'ouvrage publié sous ce nom par les religieux bénédictins de la congrégation de Saint-Maur... publiée par M. le chevalier de Courcelles... 20 vol. dont 2 de tables ; in-8, Comprend : Vol. 9-18, [https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb30451199h Chronologie historique de l'Amérique '''Note : Vol. 9-18 : L'art de vérifier les dates. Quatrième partie : Chronologie historique de l'Amérique par D. B. Warden''']. Autre(s) auteur(s) : Fortia d'Urban, Agricol-Joseph-François-Xavier-Pierre-Esprit-Simon-Paul-Antoine (1756-1843). Éditeur scientifique Vol. 9-18, Chronologie historique de l'Amérique, Publication : Paris : l'éditeur, 1821-1844 == Civilisation == Victor Riqueti Mirabeau.- L’Ami des Hommes [[w:Victor Riqueti Mirabeau|Mirabeau, Victor Riqueti (1715-1789 ; marquis de]] {{Citation bloc|Car, dans la langue française, il n’existe pas de terme plus progressiste que civilisation et, dans la pensée politique, il n’y a pas de concept qui émane plus directement que celui de civilisation de la philosophie (ou de l’idéologie ?) des Lumières.<br /> Le mot a d’ailleurs été forgé en 1756 par un homme des Lumières ("''plus Lumières que lui, tu meurs''"), au moment même où les Lumières triomphaient en France et dans toute l’Europe éclairée : c’est Mirabeau, dans un opuscule intitulé "''L’Ami des Hommes''" (évidemment).|Article "Civilisation" in ''Dictionnaire critique de la Nouvelle Langue Française, (en ligne)<ref>[http://nouvellelanguefrancaise.hautetfort.com/dictionnaire_critique_de_la_nlf/ Dictionnaire critique de la NLF : Nouvelle Langue Française].- [http://nouvellelanguefrancaise.hautetfort.com/archives/category/dictionnaire_critique_de_la_nlf/index-1.html ''Civilisation''].<br> [[w:fr:Honoré-Gabriel Riqueti de Mirabeau|Honoré-Gabriel Riqueti de Mirabeau]].- [https://books.google.fr/books?id=vU3WYS08AgQC&dq=Mirabeau%20%2B%20L%E2%80%99Ami%20des%20Hommes%20%2B%201756&hl=fr&pg=PR1#v=onepage&q=civilisation&f=false '''''Civilisation'''''] in ''L’Ami des Hommes'', 1756.<br> Victor Riqueti Mirabeau.- [L'ami des hommes, ou Traité de la population], Internet Archives, différentes éditions] </ref>."}} === Edition originale === Auteur(s) : Mirabeau, Victor Riqueti (1715-1789 ; marquis de) Voir les notices liées en tant qu'auteur , {{BNF|309520411}} Titre(s) : [https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb309520411 L''ami des hommes, ou Traité de la population] Publication : Avignon : [s.n.], 1756-1760 Description matérielle : 7 tomes en 6 parties en 3 vol. (VI-156-218-216-[3] ; [6]-278-81 ; VIII-167-279-[4] p.) ; in-4 Note(s) : Par le Mis de Mirabeau. - La IVe partie a pour titre : "Précis de l'organisation, ou Mémoire sur les États provinciaux" ; elle contient en outre les "Questions intéressantes sur la population, l'agriculture et le commerce, proposées aux Académies et autres sociétés savantes des provinces" ; la Ve partie est intitulée : "Mémoire sur l'agriculture... avec l'Extrait des six premiers livres du Corps complet d'oeconomie rustique de feu M. Thomas Hale" ; la VIe partie contient la "Réponse à l'Essai sur les ponts et chaussées, la voierie et les corvées", et le "Tableau oeconomique avec ses explications" Autre(s) forme(s) du titre : - Transcription moderne du titre : Tableau économique avec ses explications Titre alternatif : Traité de la population Titre alternatif : Mémoire sur les États provinciaux Bertrand BINOCHE.- [https://books.google.fr/books?id=dqijAwAAQBAJ Les équivoques de la civilisation], Champ Vallon, 272 pages, ISBN : 2876736659, 9782876736658 * * Catherine Larrère Mirabeau et les physiocrates.- [https://books.google.fr/books?id=dqijAwAAQBAJ&lpg=PT89&dq=Mirabeau%20%2B%20civilisation&hl=fr&pg=PT87#v=onepage&q=Mirabeau%20+%20civilisation&f=false L'origine agrarienne de la civivisation ] == Jacques Pierre Brissot de Warville sous l'angle de l'esclavage == * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Réflexions_à_propos_des_traites_%26_esclavages#1750-1793_-_Les_œuvres_de_Jacques_Pierre_Brissot_de_Warville_sous_l'angle_de_l'esclavage|1750-1793 - Les œuvres de Jacques Pierre Brissot de Warville sous l'angle de l'esclavage]] == Constitutions de la France en Révolution == === Constitution adoptée le 3 septembre 1791 === [[Fichier:Constitution de 1791. Page 1 - Archives Nationales - AE-I-10-1.jpg|100 px|vignette|gauche|Déclaration des Droits de l’Homme et du Citoyen de 1791<ref>La Révolution française et l'organisation de la justice, [https://www.justice.gc.ca/fra/pr-rp/sjc-csj/pji-ilp/rev5/index.html Déclaration des droits de l'homme et du citoyen 1791]</ref> & Constitution de 1791]] La Constitution de 1791, adoptée le 3 septembre 1791, comprend la Déclaration des droits de l'homme et du citoyen de 1791 et la Constitution de 1791. Le code pénal de 1791, adopté pendant la Révolution par l'Assemblée nationale législative entre le 25 septembre et le 6 octobre 1791. Premier code pénal qui s'applique au territoire de la France métropolitaine. Inspiré des principes de [[w:Cesare Beccaria]], il a été remplacé, sous Napoléon 1{{er}} par le code pénal de 1810. === Constitution du 24 juin 1793 === * 1793 - Déclaration des droits de l'homme et du citoyen ** 1793 - [[w:Projet de constitution girondine#La déclaration des droits|Déclaration des droits naturels, civils et politiques des hommes du plan de constitution présenté les]] [[w:15 février|15]] et {{Date|16|février|1793}} à la [[Convention girondine]] ; ** 1793 - [[w:Déclaration des droits de l'homme et du citoyen de 1793|Déclaration des droits de l'homme et du citoyen du]] du 24 juin 1793, du [[w:Constitution du 6 messidor an I|6 messidor de l'an I du calendrier républicain]]<ref>{{bibliographie|Q598887}}</ref>. * [[d:Q27685555|1793]] - {{bibliographie|Q27685555}}, Placard imprimé, {{BNF|41513569r}}. == Cartes (marines) anciennes == * [http://www.galeriemyriane.com/cartes-marines-anciennes-des-antilles/ Cartes marines anciennes des Antilles] * {{Ouvrage | langue = It | prénom1 = Benedetto | nom1 = Bordone | prénom2 = | nom2 = | lien auteur1 = w:Benedetto Bordone | lien auteur2 = | titre = Libro di Benedetto Bordone. Nel qual si ragiona de tutte l’isole del mondo | sous-titre = con li lor nomi antichi et moderni, historie, fauole, et modi del loro viuere, et in qual parte del mare stanno, & in qual parallelo & clima giaciono | lien titre = | numéro d'édition = | éditeur = Niccolò Zoppino | collection = | lien éditeur = | lieu = | année = [[w:1528 en musique classique|1528]] | mois = | volume = | tome = | pages totales = 178 | passage = Isolario di Benedetto Bordone nel qual si ragiona di tutte l’isole del mondo, con li lor nomi antichi et moderni, historie, fauole, et modi del loro viuere, et in qual parte del mare stanno, & in qual parallelo & clima giaciono. Con la gionta del Monte del Oro nouamente ritrouato. Con il breve del papa et gratia & priuilegio della illustrissima Signoria di Venetia come in quelli appare | dnb = | isbn = | doi = | url = | lire en ligne = https://archive.org/details/hin-wel-all-00001957-001 | consulté le = | présentation en ligne = https://books.google.fr/books?id=XIxOAAAAcAAJ&hl=fr&pg=PP1#v=onepage&q&f=false | commentaire = | id = }} * {{Ouvrage | langue = en | prénom1 = John | nom1 = Hinton | prénom2 = en:John Hinton | nom2 = | lien auteur1 = | lien auteur2 = | titre = Universal magazine | sous-titre = The Universal magazine of knowledge and pleasure, 1747-1800. | lien titre = | numéro d'édition = | éditeur = | collection = | lien éditeur = | lieu = | année = [[w:1747 en musique classique|1747]]-[[w:1800 en musique classique|1800]] | mois = | volume = Vol.1-107 | tome = | pages totales = | passage = [http://www.europeana.eu/resolve/record/9200143/BibliographicResource_2000069442836 Publisher=Europeana] ; [https://www.worldcat.org/title/universal-magazine-of-knowledge-and-pleasure-for/oclc/702592879?referer=di&ht=edition London, John Hinton, 1747-1803] | dnb = | isbn = | doi = | url = | lire en ligne = | consulté le = | présentation en ligne = http://oxford.worldcat.org/search?q=no%3A7676735 | commentaire = | id = }} == Citoyen == Voir [[Utilisateur:Ambre Troizat/Droit naturel et propriété intellectuelle|Droit naturel et propriété intellectuelle]] * 1707 - Samuel von Pufendorf (1632-1694), Jean Barbeyrac (traducteur).- Les devoirs de l'homme et du citoien, tels qu’ils lui sont prescrits par la loi naturelle, traduits du latin de feu Mr. le baron de Pufendorf, H. Schelte, Amsterdam, 1707.<br />{{bibliographie|Q22056538}}, {{BNF|311579168}} == Armand-Joseph de Béthune, duc de Chârost == * [[w:Armand-Joseph de Béthune, duc de Chârost|Armand-Joseph de Béthune, duc de Chârost]] == Chevalerie == [[Fichier:Grand maître de l'ordre de l'Etoile de Notre-Dame en Afrique.png|100px|vignette|gauche|Grand maître de l’[[w:Ordre de l'Étoile (France)|ordre de l’Etoile]] de Notre-Dame en Afrique, 1785/1786]] * Jacky Theurot, Nicole Brocard.- La ville et l’Église du {{s|XIII|e}} à la veille du Concile de Trente : regards croisés entre comté de Bourgogne et autres principautés : actes du colloque des 18 et 19 novembre 2005, Annales littéraires de l’Université de Franche-Comté, Université de Franche-Comté Besançon, Numéro 30 de Annales littéraires de l’Université de Franche-Comté, Numéro 30 de Série historiques, Presses Univ. Franche-Comté, 2008, 394 pages, ISBN : 2848671955, 9782848671956 * Grand-Maître, de l’ordre, de l’Etoile de Notre-Dame en Afrique Gravé par BAR Jacques Charles, École française in Recueil de tous les costumes des ordres religieux et militaires, avec un abrégé historique et chronologique, enrichi de notes et de planches coloriées, par M. Bar. Tome quatrième, A Paris, chez l’auteur, rue du Roi-Doré, au Marais. M. DCC. LXXXV, [http://ag.louvre.fr/detail/oeuvres/0/612803-Grand-Maitre-de-lordre-de-lEtoile-de-Notre-Dame-en-Afrique Fiche - Musée du Louvre, Département des Arts graphiques, 2012]<br />REFERENCE DE L’INVENTAIRE MANUSCRIT : vol. 9, p. 55., L 314 LR, Folio 5, gravé au verso<br />INVENTAIRES : Collection Edmond de Rothschild, L 314 LR/4 Recto<br />LOCALISATION : Réserve Edmond de Rothschild {{Citation bloc|''La création'' des ordres et décorations rythment l’histoire d’Europe, de l’époque des croisades jusqu’à la période contemporaine.|[http://www.legiondhonneur.fr/fr/page/la-france/244 legiondhonneur.fr].}} ;Chronologie * 1348 : Création de l’ordre de la Jarretière par Édouard III * 1351 : Création de l’ordre de l’Étoile par Jean II le Bon * 1896 : L’[[w:Ordre royal du Cambodge|ordre royal du Cambodge]], l’[[w:Ordre de l'Étoile d’Anjouan|ordre de l’Étoile d’Anjouan]], l’[[w:Ordre du Nichan el Anouar|ordre du Nichan El Anouar]], l’[[w:Ordre du Dragon d’Annam|ordre du Dragon d’Annam]]et l’[[w:Ordre de l'Étoile noire|ordre de l’Étoile noire]] deviennent des ordres coloniaux français ;[[w:Geoffroi de Charny|Geoffroi de Charny]], théoricien de l’idéal chevaleresque == Codes & lois militaires de Louis XV à la Révolution == === Applicables à la métropole & aux colonies === * Code militaire du 30 septembre 1791 = 19 octobre suivant ==== Volume 1 ==== * [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6151232s/f6.item.r=colonie Colonies] * p.151 - régi^ mens de chasseurs, et les douze bataillons d'ii§ lanterie légère destinés à former les six légions j' les hommes licenciés des colonies , et tous autres militaires arbitrairen>ent destitués, qui se--, «eut munis de cartouches, ou à défaut de cartouches, de certificats, de leurs municipalités qui attesteront leur civisme et leurs services y seront admis dans lesditês légions * p.153 - es sous-officiers et iSoldats.deS'trQUj» pes des colonies:, qui * p.254 - Décret qui licencie les divers régimens ci-de~ < vant employé* à la garde des colonies, et qui fixe le mode de leur remplacement * p.255 - 2.55 ' employés jusqu'ici à la garde des colonies , et réunis parle décret du ii juillet 1791, audépartement de la guerre , sont licenciés(...)VL Indépendamment des bataillons qui se±- ront fournis pour, la défense des colonies, il continuera d'y être entreteiau deux bataillons de Cipayès dont l'avancement roulera sur eux mêmes. \\ . . * VIL Le corps d'artillerie des colonies conservera sa formation actuelle, 1 et continuera à y être employé jusques aux dispositions ultérieures qui feront prises à * p.256 - dernier, relative au iiCenciemeût des trpupes employées à la garde des colonies /demeurera , provisoirement suspendue. , - '\".,'7\"\" Décret relatif aux ci - devant' Grenadiers'* .royaux , Régimens provinciaux et \\Bataillons de garnisons , supprimés par Jaloi * p.257 - Décret relatif à l'organisation des troupes des colonies qui sont actuellement enFrance(...)22 du même mois: L'assemblée nationale considérant qu'il est instant d'organiser toutes les troupes des colonies qui sont actuellement en France,-, décrète qu'il y a urgence * p.258 - Les troupes des colonies qui sont actuellement en France, seront sans délai formées en régimens de ligne * p.XXXIV - 584. , 14 avril Décret relatif aux pensions des sol- -5 mai.....' dats blessés dans les colonies * p.462 - B'ces des colonies, en comptant chaque année de guerre pour deux, ou qui auroient pris-leur ' retraite-avant le temps prescrit, ,sans avoir ob^ tenu la décoration militaire , pourront en former la demande et sont déclarés susceptibles de l'obtenir , sans néanmoins rien préjuger sur l'existence des milices coloniales * p.493 - Les dispositions précédentes, et- toutes autres du présent décret, ne concernent point les-colonies françaises hors d'Europe, l'assemblée nationale se réservant de prononcer * 584. , 14 avril Décret relatif aux pensions des sol- -5 mai.....' dats blessés dans les colonies * p.584 - et de reprendre leur poste, sera lue à la tête de chaque corps.\" ' Décret relatif aux pensions des soldats blessés ~ ■ . ,x- dans les colonies * p.585 - 5S5 sion de six cents livres qui lui a été accordée par l'assemblée coloniale de Saint-Domingue , pour récompense des services-militaires qu'il a faits dans cette colonie , et sur la proposition d'un membre , décrète que les pensions accordées par les assemblées coloniales aux soldats de la république , blessés dans les combats , seront fixées sur le même pied que les pensions accordées en l'rance , et que lesdites assemblées seront tenues de justifier des titres desdites pensions * p.561 - qui, ayant servi darts-ia marine,et.-less colonies , -.amont .attient feur \"soixante * p.240 - et Miquelon,le bataillon auxiliaire, ainsi que l'artillerie des Colonies .et les six compagnies-deCipayes de Pondicliéry ,' et toutes autres troupes soldées employées à la défense des colonies et possessions nationales hors du royaume, serbht à l'avenir sous la direction du départehtênï tlë la guerre * p.241 - L'Assemblée nationale , ouï le rapport de ses comités, militaire , des Colonies et de marine , décrète ce qui suit': ART * p.299 - Les officiers généraux employés dans les colonies , ne font pas nombre parmi ceux décrétés pour le service de l'armée dans le royaume(...)Les appointemens attribués à ces officiers généraux, continueront à leur être payés sur les fonds des colonies comme ci devant * p.258 - Les troupes des colonies qui sont actuellement en France, seront sans délai formées en régimens de ligne * p.257 - Décret relatif à l'organisation des troupes des colonies qui sont actuellement enFrance(...)22 du même mois: L'assemblée nationale considérant qu'il est instant d'organiser toutes les troupes des colonies qui sont actuellement en France,-, décrète qu'il y a urgence * p.XXXIV - 584. , 14 avril Décret relatif aux pensions des sol- -5 mai.....' dats blessés dans les colonies * p.298 - Bière clé fixer l'état des officiers/généraux, qui sont employés clans les colonies et possessionsFrançaises cle l'Asie , de l'Afrique et de l'Amérique, décrète * p.260 - Les officiers) desdits corps rie pourrontêtre admis qu'autant qu'ils représenteront des certificats de civisme et de résidence , soit en France , soit dans les colonies * p.584 - et de reprendre leur poste, sera lue à la tête de chaque corps.\" ' Décret relatif aux pensions des soldats blessés ~ ■ . ,x- dans les colonies * p.XXI - M iui\"ct\"\"': troupes des colonies qui,sont actuel \\ ■ leûient :en * p.261 - 2S1 Décret relatif aux sous - officiers et soldats des troupes des colonies orientales(...)La convention .nationale , après avoir entendu le rapport de son comité des finances, sur la proposition du ministre de la marine / tendant à obtenir un supplément de fonds pour payer les indemnités dues aux sous-officiers et soldats des troupes des colonies orientales , qui ont fait la guerre dans l'Inde , à compter du jjremier janvier 1778 au dernier décembre 1790 , décrète * p.561 - qui, ayant servi darts-ia marine,et.-less colonies , -.amont .attient feur \"soixante * p.299 - Les officiers généraux employés dans les colonies , ne font pas nombre parmi ceux décrétés pour le service de l'armée dans le royaume(...)Les appointemens attribués à ces officiers généraux, continueront à leur être payés sur les fonds des colonies comme ci devant * p.258- Les troupes des colonies qui sont actuellement en France, seront sans délai formées en régimens de ligne * p.257 - Décret relatif à l'organisation des troupes des colonies qui sont actuellement enFrance(...)22 du même mois: L'assemblée nationale considérant qu'il est instant d'organiser toutes les troupes des colonies qui sont actuellement en France,-, décrète qu'il y a urgence * p.XXXIV - 584. , 14 avril Décret relatif aux pensions des sol- -5 mai.....' dats blessés dans les colonies * p.298 - Bière clé fixer l'état des officiers/généraux, qui sont employés clans les colonies et possessionsFrançaises cle l'Asie , de l'Afrique et de l'Amérique, décrète * p.260 - Les officiers) desdits corps rie pourrontêtre admis qu'autant qu'ils représenteront des certificats de civisme et de résidence , soit en France , soit dans les colonies * p.584 - et de reprendre leur poste, sera lue à la tête de chaque corps.\" ' Décret relatif aux pensions des soldats blessés ~ ■ . ,x- dans les colonies * p.XXI - M iui\"ct\"\"': troupes des colonies qui,sont actuel \\ ■ leûient :en * p.261 - 2S1 Décret relatif aux sous - officiers et soldats des troupes des colonies orientales(...)La convention .nationale , après avoir entendu le rapport de son comité des finances, sur la proposition du ministre de la marine / tendant à obtenir un supplément de fonds pour payer les indemnités dues aux sous-officiers et soldats des troupes des colonies orientales , qui ont fait la guerre dans l'Inde , à compter du jjremier janvier 1778 au dernier décembre 1790 , décrète * p.561 - qui, ayant servi darts-ia marine,et.-less colonies , -.amont .attient feur \"soixante ==== Volume 2 ==== {{Citation bloc|Art. XXVIII - Le roi sera prié de donner tous règlemens nécessaires pour l'exécution du présent décret, qui aura force de loi dans nos cblonies comme en Europe|Code militaire, ou Recueil méthodique des décrets relatifs aux troupes de ligne et à la gendarmerie nationale rendus par les Assemblées constituante et législative et par la Convention nationale, depuis 1789, jusques et compris le 15 juin 1793, Tome 2, page 315<ref>[http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6121769q/f372.item.r=colonies Colonies, p.315.</ref>].}} ==== Volume 4 ==== * [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6274583v/f9.item.r=légion Légion] p.384 0 du même mois, légions , détachemens, compagnies franches, et généralement de tous les corps de troupes à la « solde de la république, de quelque arme et sous quelque dénomination que ce soit, seront tenus,,, sous peine d'être destitués et mis en état d'arrestation :cmme suspects, d'adresser dans trois jours de la publication du présent décret, tant au comité militaire de la convention nationale qu'au ministre de la guerre, l'état actuel et effectif de chaque corps, tant en hommes qu'en chevaux p.521 Ler Les troupes à cheval des légions non enrégimentées et qui n'ont pas pris rang dans les p.522 L'incorporation de la cavalerie des légions se fera par escadron ou par compagnie avec les officiers et sous-officiers , lorsqu'il manquera des escadrons ou compagnies dans les cadres quidoivent -être portés au complet(...)Dans le cas où la cavalerie des légions et p.524 Toutes nominations et élections faites postérieurement au 16 de ce mois dans les légions, escadrons ou compagnies destinés à être incorporés, sont déclarées nulles p.557 régiment de chasseurs , tiré de la légion germanique , formera le 11e(...)Infanterie légère : l'infanterie de la légion du Nord sera organisée en bataillons, 66 p.558 Légion Germanique : le 24e régiment de chasseurs tiré de cette légion qui a été liciencié, formera le 11. * de hussards. 120 p.559 L M 559 Légion du Nord : sa cavalerie sera formée en régiment de chasseurs, et son infanterie en bataillon d'infanterie légère, 66 et 67 p.XII i J0 Décret portant que la cavalerie de la légion du p.120 LA Convention nationale, après avoir entends le rapport de son comité de la guerre, sur la demande du ministre de confirmer la nouvelle formation du 2.4.e régiment de chasseurs à cheval, tiré de la légion germanique, qui avoit été licenciée, et d'autoriser ce corps à former le Il p.67 son comité de salut public , décrète que la cavalerie de la légion du Nord sera formée en un régiment de chasseurs à cheval, et l'infanterie en bataillon d'infanterie légère, conformément à la loi du 24 février sur l'organisation de l'armée p.66 DÉCRET portant que la Cavalerie de la Légion dzL Nord sera formée en régiment de Chasseurs, et l'infanterie en bataillon d'Infanterie légère p.542 celle de la légion du Nord, sera organisée en régiment de chasseurs, 66 p.365 Ces dispositions sont communes aux officiers de la légion Batave nouvellement supprimée p.364 Les soldats Bataves qui faisoient partie de la légion supprimée par la loi du 16 présent \" * [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6274583v/f312.item.r=Colonies Colonies] p.256 ou du moins établi, et avoir la qualité de citoyen actif dans la colonie p.544 Clochzs : le ministre de l'intérieur en fera parvenir dans les fonderies la quantité nécessaire pour faire des canons ,130, Colonies : Organisation et solds du corps des volontaires * [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6274583v/f312.item.r=Bourbon ci-devant (Ile de) de Bourbon] p.XIII I 7' Décret relatif à l'organisation et à la Isolde des 1 i corps des volontaires ci-devant Bourbon p.254 er Le corps des volontaires ci - devant de Bourbon sera remis en activité, et destiné à fciire partie de la gainison dé l'île de la Réumon, -ci-devant Bourbon. , II p.540 Bourbon ( Ile de ): organi-sa- tion du corps des volontaires, 254 et 255 p.544 Clochzs : le ministre de l'intérieur en fera parvenir dans les fonderies la quantité nécessaire pour faire des canons ,130, Colonies : Organisation et solds du corps des volontaires Bourbon, 254 et suiv. Comités == Colonies, Empires coloniaux == [[Fichier:Délégués de la Société des Nations Indiennes, 1700.png|100px|vignette|gauche|Délégués de la Société des Nations Indiennes, 1700, in [[w:Codex canadensis|Codex canadensis]].]] [[Fichier:La Roncière, Quatre siècles de colonisation française.png|100px|vignette|gauche]] [[Fichier:La Roncière, Quatre siècles de colonisation française Titre.png|100px|vignette|gauche]] === Colonie/Décolonisation === Richard, Jean-Baptiste (18..?-18.. ; de Radonvilliers).- [https://catalogue.bnf.fr/rechercher.do?motRecherche=Richard%2C+Jean-Baptiste&critereRecherche=0&depart=0&facetteModifiee=ok Enrichissement de la langue française, dictionnaire de mots nouveaux] : système d'éducation, pensées politiques, philosophiques, morales et sociales / par J.-B. Richard (de Radonvilliers), Paris : Pilout ; Troyes : Laloy, 1842, 1 vol. (II-416 p.) ; in-8 <br /> Décolonisation : [https://books.google.fr/books?id=ZMNUAAAAcAAJ&dq=inauthor%3A%22Richard%20de%20Radonvilliers%22%20%2B%20Dictionnaire%20des%20mots%20nouveaux&hl=fr&pg=RA1-PA28#v=onepage&q=d%C3%A9colonisation&f=false inauthor:"Richard de Radonvilliers".- Dictionnaire des mots nouveaux, Leauty, 1845, page 28] === L'emprise européenne jusqu'aux années 1830 === * [[s:Catégorie:Colonisation|Catégorie:Colonisation]] sur Wikisource * {{Ouvrage | langue = fr | prénom1 = Adam | nom1 = Smith (1723-1790) | prénom2 = Germain | nom2 = Garnier, traducteur | prénom3 = Blanqui | nom3 = Adolphe, traducteur | prénom4 = Jean-Baptiste | nom4 = Say (1767-1832), Annotateur | lien auteur1 = w:Adam Smith | lien auteur2 = w:Germain Garnier | lien auteur3 = w:Adolphe Blanqui | lien auteur4 = w:Jean-Baptiste Say | titre = Des colonies | sous-titre = in Recherches sur la nature et les causes de la richesse des nations, livre IV, chap. VII, (première édition en 1776) | lien titre = s:Recherches sur la nature et les causes de la richesse des nations/Livre 4/7 | numéro d'édition = | éditeur = Guillaumin | collection = | lien éditeur = w:Guillaumin | lieu = Paris | année = [[w:1843|1843]] | mois = | volume = | tome = | pages totales = | passage = | dnb = 31377302p | isbn = | oclc = | doi = | url = | lire en ligne = [[s:Recherches sur la nature et les causes de la richesse des nations/Livre 4/7|Recherches sur la nature et les causes de la richesse des nations/Livre 4/7]] | consulté le = 1{{er}} janvier 2016 | présentation en ligne = | commentaire = | id = frSmithRn1843 }} === De la Mornarchie de Louis-Philippe aux années 1930 === * 1933 - {{bibliographie|Q64798032}} Résumé en français par [https://maurras.net/pdf/kunter_touzalin/kunter_touzalin.pdf Tony Kunter] <!-- Charlotte Touzalin Muret, French royalist doctrines since the revolution --> ==== Edward Wilmot Blyden 1832- 1912 ==== [[Fichier:Blyden E W 3c35638r.jpg|100px|vignette|gauche|1832 - 1912]] [[w:Edward Wilmot Blyden|Edward Wilmot Blyden]], né le 3 août 1832 à Saint-Thomas, colonie danoise des Caraïbes<ref>Aujourd'hui [http://www.openstreetmap.org/#map=12/18.3430/-64.9800 Island Saint Thomas], ''St. Thomas Island'', United States Virgin Islands, United States of America</ref>, mort le 7 février 1912, était un universitaire et diplomate américano-libérien, considéré comme le père du [[w:Pan-Africanisme|Pan-Africanisme]]. * Œuvres de [https://archive.org/search.php?query=Edward%20Wilmot%20Blyden Edward Wilmot Blyden sur Internet Archive] * [https://www.google.fr/#q=Edward+Wilmot+Blyden+%2B+Liberia Edward Wilmot Blyden + Liberia] * 1880 - [[s:Auteur:René Selosse|René Selosse]].- Traité de l’annexion au territoire franc̜ais et de son démembrement, comprenant l'histoire du territoire franc̜ais et de sa formation, les principes du droit naturel, du droit constitutionnel, du droit international, et toutes les applications pratiques qui en doivent être faites à l’occasion d’une annexion ou d’un démembrement, L. Larose, Paris, 1880, [https://archive.org/details/traitdelannexio00selogoog Internet Archive]. * 1887 - G. Valbert.- [[s:Le Jugement d'un nègre sur la race nègre - Edward Wilmot Blyden|Le Jugement d'un nègre sur la race nègre]] - [[d:Q384338|Edward Wilmot Blyden]]], Revue des Deux Mondes, 3e période, tome 84, 1887 (pp. 201-213). ==== Guyane ==== * 14 juin 1839 : [http://anom.archivesnationales.culture.gouv.fr/ark:/61561/ni258bwwy3y.num=20.form=complexe.start=2241 Ordonnance du roi nommant gouverneur de la Guyane française Jean Baptiste Marie Augustin Gourbeyre, capitaine de vaisseau 14 juin 1839]. ==== Madagascar ==== * 1829 - [[w:Expédition Gourbeyre|Expédition Gourbeyre]] Sur Wikipédia * 26 juillet 1839 - [http://anom.archivesnationales.culture.gouv.fr/ark:/61561/ni258lggkem.num=20.form=complexe.start=2241 Rapport au roi rendant compte des négociations avec Ranavalo, reine des Hovas à Madagascar], "à l'effet d'échanger les établissements français de la côte orientale de Madagascar contre un territoire situé au nord de l'île et où se trouve la vaste baie de Diego-Suarez", de l'envoi de la corvette la Dordogne en mission d'observation et d'exploration géographique par le gouverneur de l'île Bourbon, des contacts avec de Lastelle, "français, qui a fondé sous la protection de la reine des Ovas un établissement important à Madagascar" et "l'homme le plus propre à faire réussir le projet du gouvernement" 26 juillet 1839 * 1997 - {{bibliographie|Q60322805}} <!-- Jean-Pierre Razafy-Adriamihaingo, La geste éphémère de Ranavalona Ière --> === Des années 1930 à l'effondrement des empires === * 1931 - {{bibliographie|Q26333810}} * 2005 - {{bibliographie|Q69812421}} <!-- Olivier Le Cour Grandmaison, Coloniser. Exterminer : Sur la guerre et l'État colonial, --> == Confer (Cf.) == * [[w:Confer|Confer]] (méthodologie, mise en forme) == Constructivisme == * [[w:Constructivisme|Constructivisme]], page d’homonymie * [[w:Constructivisme (épistémologie)|Constructivisme (épistémologie)]]<br />Le constructivisme, en épistémologie, est une approche de la connaissance reposant sur l’idée que notre image de la réalité, ou les notions structurant cette image, sont le produit de l’esprit humain en interaction avec cette réalité, et non le reflet exact de la réalité elle-même.<br />[[w:Gaston Bachelard|Gaston Bachelard]] (1884–1962) insiste sur la question, ou le problème, qui précède toute construction théorique : "L’esprit scientifique nous interdit d’avoir une opinion sur des questions que nous ne comprenons pas, sur des questions que nous ne savons pas formuler clairement. Avant tout il faut savoir poser des problèmes. Et quoi qu'on dise, dans la vie scientifique, les problèmes ne se posent pas d’eux-mêmes. C’est précisément ce sens du problème qui donne la marque du véritable esprit scientifique. Pour un esprit scientifique toute connaissance est une réponse a une question. S’il n’y a pas eu de questions il ne peut pas avoir connaissance scientifique. Rien ne va de soi. Rien n’est donné. Tout est construit."<ref>[[w:Gaston Bachelard|Gaston Bachelard]].- La Formation de l’esprit scientifique. ''Contribution à une psychanalyse de la connaissance objective'', 1934, [http://classiques.uqac.ca/classiques/bachelard_gaston/formation_esprit_scientifique/formation_esprit.pdf http://classiques.uqac.ca], J. Vrin, 1993, ©1938, Paris ; {{BNF|347992926}} ; Édition numérisée {{BNF|37236211z}} ; [https://www.worldcat.org/title/formation-de-lesprit-scientifique-contribution-a-une-psychanalyse-de-la-connaissance/oclc/463734867/editions?start_edition=1&sd=asc&referer=br&se=yr&qt=sort_yr_asc&editionsView=true&fq= WorldCat].</ref> * [http://www.wikiberal.org/wiki/Constructivisme Constructivisme] sur Wikiberal == Compagnies, première mondialisation, finitude des mondes == ;Chronologie * 1600 - La [[w:Compagnie anglaise des Indes orientales|Compagnie anglaise des Indes orientales]] est créée le 31 décembre 1600 par une charte royale de la reine Élisabeth Ire d’Angleterre lui conférant pour 20 ans le monopole du commerce dans l’océan Indien. Elle devient [[w:Compagnie britannique des Indes orientales|Compagnie britannique des Indes orientales]] * 1602 - La [[w:Compagnie néerlandaise des Indes orientales|Compagnie néerlandaise des Indes orientales]], connue en néerlandais sous le nom de ''Vereenigde Oostindische Compagnie'', dans sa graphie moderne ''Vereenigde Oost-Indische Compagnie'', ou VOC, littéralement "Compagnie unie des Indes Orientales" est une compagnie de commerce créée par les Provinces-Unies en 1602. * 1616 - [[w:Compagnie danoise des Indes orientales|Compagnie danoise des Indes orientales]] a été fondée le 17 mai 1616, par le roi Christian IV. Cette compagnie se concentrait sur le commerce avec l’Inde et était basée à Tranquebar, dans le fort Dansborg, où le gouverneur des Indes danoises avait son siège. * 1664 - [[w:Compagnie française des Indes orientales|Compagnie française des Indes orientales]] plus précisément Compagnie française pour le commerce des Indes orientales – est une entreprise coloniale française créée par Colbert en 1664 * 1731 - La [[w:Compagnie suédoise des Indes orientales|Compagnie suédoise des Indes orientales]], ''Svenska Ostindiska Companiet'' en suédois, est une entreprise commerciale fondée en 1731 dans le but de commercer avec les territoires situés à l’est du cap de Bonne-Espérance depuis le port de Göteborg en Suède. === 1664 - Compagnie française des Indes orientales === {{Autres projets | s= Compagnie française des Indes orientales }} * La [https://archive.org/search.php?query=Compagnie%20fran%C3%A7aise%20des%20Indes%20orientales Compagnie française des Indes orientales] sur Internet Archive. * La [https://www.worldcat.org/search?q=Compagnie+franc%CC%A7aise+des+Indes+orientales&fq=&se=yr&sd=asc&dblist=638&start=1&qt=page_number_link Compagnie française des Indes orientales] sur WorldCat.org. {{Autres projets | w= Compagnie des Indes Orientales | s= Compagnie des Indes Orientales | commons = Compagnie des Indes Orientales | wikiquote titre = Compagnie des Indes Orientales | wikt = Compagnie des Indes Orientales | wikidata titre = Compagnie des Indes Orientales }} {{Citation bloc|RAMEL - Citoyens représentants les comités des finances de salut public et de sûreté générale viennent vous proposer le mode de liquidation de ce qui est dû à la république par la ci devant Compagnie des indes On sait que cette association fut substituée à l ancienne par un prrêt du conseil du avril 1785 Ses fonds furent faits par des actionnaires le gouverne ànentäui accorda gratuitement pour tout Iedtemps e la urée de son prit lié e Iajouissance ans le port de Lorient et dans Fes divers établissements au dela du cap de Bonne Espérance des bâtiments ateliers magasins loges et comptoirs préalablement|Réimpression de l'ancien Moniteur, seule histoire authentique et ..., page 668<ref>[https://books.google.fr/books?id=ZddTAAAAcAAJ Réimpression de l'ancien Moniteur, seule histoire authentique et …], Recherche "''magasin à poudres + Grenelle + champ de Mars + 1794''"</ref>.}} == Compagnie générale transatlantique == Cf. Gratien Candace == Coton - Cotton == [[Fichier:William L. Sheppard - First use of the Cotton Gin, Harper's weekly, 18 Dec. 1869, p. 813.png|100px|vignette|gauche|[[c:File:Cotton gin harpers.jpg|Première utilisation de la machine à égréner le coton]], USA, fin {{S|XVIII}}.]] [[w:Cotton gin|Cotton gin (fr.Machine à égrener le coton)]] [[w:en:Cotton gin|Cotton gin (en.Machine à égrener le coton)]] * 14-15 février 2017 : [https://www.facebook.com/sully.tacite/posts/1083579895087244?comment_id=1083730898405477&notif_t=like&notif_id=1487157445111916 débat sur Facebook] à propos de "''[[c:File:Cotton gin harpers.jpg|William L. Sheppard]] - [[c:File:William L. Sheppard - First use of the Cotton Gin, Harper's weekly, 18 Dec. 1869, p. 813.png|First use of the Cotton Gin, Harper's weekly, 18 Dec. 1869]]''" <br /> <br /> <br /> <br /> == Le Créole patriote == Cf. Chevalier de Saint-George == Congrès de Vienne == === Rigomer Bazin.- Le lynx : coup-d'œil et réflexions libres === Recherche Quant : [https://www.qwant.com/?q=Le+lynx+%3A+coup-d%27oeil+et+réflexions+libres+sur+les+écrits%2C+les+opinions+et+les+affaires+du+tems+%2B+Rigomer+Bazin&client=opensearch Le lynx : coup-d'œil et réflexions libres sur les écrits, les opinions et les affaires du tems + Rigomer Bazin] WorldCat : [http://www.worldcat.org/title/lynx-coup-doeil-et-reflexions-libres-sur-les-ecrits-les-opinions-et-les-affaires-du-tems/oclc/78719279s%20du%20tems Le lynx; coup-d'œil et réflexions libres sur les écrits, les opinions et les affaires du tems]. Author : Rigomer Bazin Publisher :[Au Mans], [Imp. de Renaudin] 1817. Google Books : [https://books.google.com/books?id=cTFBAAAAYAAJ Le lynx: coup-d'œil et réflexions libres sur les écrits, les opinions et les affaires du tems], ([https://books.google.fr/books?id=cTFBAAAAYAAJ&dq=Périnon%20%2B%20coups%20%2B%20insultes&hl=fr&pg=PA284#v=onepage&q=Périnon%20+%20coups%20+%20insultes&f=false Périnon + coups + insultes : p. 284]) Rigomer Bazin chez les marchands de nouveautés, 1817 - 48 pages === Les Anglais faisans part aux Africains du Traité sur l'abolition de la traite des noirs du 20 octobre 1815 === Mots-clés : traite - Commerce - Code du commerce - Droit des gens Sur Wikipédia : [[w:Traite|traite]] - [[w:Commerce|Commerce]] - [[w:Code de commerce|Code du commerce]] - [[w:Droit des gens|Droit des gens]] Gallica : Ma recherche initiale/Recherche simple : [http://gallica.bnf.fr/services/engine/search/sru?operation=searchRetrieve&version=1.2&query=%28gallica%20all%20%22Les%20Anglais%20faisans%20part%20aux%20Africains%20du%20Traité%20de%20paix%20des%20puissances%20alliées%20du%2020%20octobre%201815%20sur%20l%27abolition%20de%20la%20traite%20des%20noirs%22%29&suggest=0 Les Anglais faisans part aux Africains du Traité de paix des puissances alliées du 20 octobre 1815 sur l'abolition de la traite des noirs] === Emergence du crime contre l'humanité dans le droit international (Congrès de Vienne) === Cf. [[Utilisateur:Ambre Troizat#Crime contre l'humanité|Crime contre l'humanité]] == Crime contre l'humanité == [[w:Crime contre l'humanité|Crime contre l'humanité]] === Emergence du crime contre l'humanité dans le droit international (Congrès de Vienne) === [[File:Treaty of Versailles Signing, Hall of Mirrors.jpg|100px|gauche|vignette|Signature du traité de Versailles]] * Cf. [[Utilisateur:Ambre Troizat#Congrès de Vienne|Congrès de Vienne]] * [http://10mai94120.blogspot.fr/2016/05/emergence-du-crime-contre-lhumanite.html Emergence du crime contre l'humanité dans le droit international], Du Congrès de Vienne en 1815 aux Procès de Nuremberg en 1848, 10 mai Fontenay-sous-Bois, jeudi 5 mai 2016 == Culture == [[w:Culture|Culture]] === Civilisation & mondes coloniaux avant 1492 === === Cultures coloniales modernes et contemporaines === == D == [[Fichier:Luca Pacioli, De divina proportione, Letter D.jpg|100px|vignette|centré]] == Déclarations des droits de l'homme et du citoyen, France == Plusieurs Déclarations des droits de l'homme et du citoyen ont été rédigées sous la [[w:Révolution française|Révolution française de 1789]], === Déclaration des droits de l'homme et du citoyen de 1789 === [[Fichier:Déclaration des droits de l'homme et du citoyen de 1789. Page 1 - Archives Nationales - AE-II-1129.jpg|vignette|100px|left|Manuscrit, {{Date|30|9|1789}}]] * 1789 - [[w:Déclaration des droits de l'homme et du citoyen de 1789|Déclaration des droits de l'homme et du citoyen du]] {{Date|26|août|1789}}, toujours en vigueur === Etta Palm d'Aelders.- Discours en faveur des femmes, lu à l'Assemblée Fédérative des Amis de la Vérité, le 30 décembre 1790 === [[Fichier:Palm d'Aelders - Sur l'injustice des loix en faveur des Hommes, au dépend des Femmes, 30-12-1790.png|100px|vignette|gauche|Palm d'Aelders - Sur l'injustice des loix en faveur des Hommes, au dépend des Femmes, 30-12-1790]] {{Citation bloc|...l’autre dame, une Hollandaise, de bon cœur et de noble esprit, c’est Mme Palm Aelder, l’orateur des femmes qui prêche leur émancipation.| [[s:Les Femmes de la Révolution/07|Jules Michelet.- VII, Le Palais-Royal en 1790. — Émancipation des femmes, la cave des Jacobins]]}} === Déclaration des droits de la femme et de la citoyenne, septembre 1791, Olympe de Gouges === * 1791 - [[w:Déclaration des droits de la femme et de la citoyenne]], rédigé en septembre 1791 par [[w:Olympe de Gouges|Olympe de Gouges]] ==== Bibliographie ==== * [[d:Q62702257|1791]] - {{bibliographie|Q62702257}} <!-- Etta Palm d'Aelders.- Sur l'injustice des loix en faveur des Hommes, au dépend des Femmes, lu à l'Assemblée Fédérative des Amis de la Vérité, le 30 décembre 1790 --> ** [[d:Q62694045|1791]] - {{bibliographie|Q62694045}} <!-- Etta Palm d'Aelders.- Discours de Mme Palme d'Aelders, Hollandaise, lu à la Confédération des amis de la vérité de Caen, par un de MM. les secrétaires --> === Déclaration du 25 septembre 1792 === {{Citation bloc|La Convention nationale déclare que la République française est une et indivisible.|"[[d:Q598887|Acte constitutionnel du peuple français]]", précédé du rapport de la Convention et de la Déclaration des droits de l'homme et du citoyen et, suivi du procès-verbal de l'inauguration de cette Constitution du 10 août 1793<ref>{{Bibliographie|Q598887}}</ref>}} === Déclaration des droits de l'homme et du citoyen de 1793 === * 1793 - [[w:Projet de constitution girondine#La déclaration des droits|Déclaration des droits naturels, civils et politiques des hommes du plan de constitution présenté les]] [[w:15 février|15]] et {{Date|16|février|1793}} à la [[w:Convention girondine|Convention girondine]] ; * 1793 - [[w:Déclaration des droits de l'homme et du citoyen de 1793|Déclaration des droits de l'homme et du citoyen du]] {{Date|24|juin|1793}}, du [[w:Constitution du 6 messidor an I|6 messidor de l'an I du calendrier républicain]]<ref>{{Bibliographie|Q598887}}</ref>. === Déclaration des droits de l'homme et du citoyen de 1795 === * 1795 - [[w:Déclaration des droits et des devoirs de l'homme et du citoyen de 1795|Déclaration des droits et des devoirs de l'homme et du citoyen du]] {{Date républicaine|5|fructidor|an III}}'' ({{Date|22|août|1795}}) ; == Nicolas Decrusy (avocat) == Nicolas Decrusy, maître des requêtes au conseil d'État, puis avocat, directeur de la comptabilité... == Nicolas Demeuse == [[w:Nicolas Demeuse|Nicolas Demeuse]] [[d:Q59580692|Nicolas Demeuse, sur Wikidata]] * 1778 - {{bibliographie|Q68453705}} <!-- Nicolas Demeuse.- Le maître d'escrime, ou L'art des armes --> == Démocratie == === Vote / Votations === * Moïse COURILLEAU et Morgan ZAHND.- J’ai pas voté Documentaire, autopsie la démocratie française afin d’ouvrir une nouvelle ère propice à l’évolution de l’organisation politique, Démocratie & vote dans les cités grecques et romaines, chez [[w:Jean-Jacques Rousseau|Jean-Jacques Rousseau]] & [[w:Emmanuel-Joseph Sieyès|Emmanuel-Joseph Sieyès]], Propostions pour le tirage au sort, [https://www.youtube.com/watch?v=uzcN-0Bq1cw Youtube, ajoutée le 4 septembre 2014]. == René Descartes == * L'homme, et la formation du fœtus by Descartes, René, 1596-1650; Schuyl, Florentius, 1619-1684; La Forge, Louis de, 1632-1665 or 6; Clerselier, Claude, 1614-1684; Hoym, Karl Heinrich, Graf von, 1694-1736., (association); Descartes, René, 1596-1650. Monde, [https://archive.org/details/lhommeetlaformat00desc Internet Archive] ** 1680 - Les traitez de l'homme et de la formation du fœtus, composez par Mr. Descartes, & mis au jour depuis sa mort, par Mr. Clerselier. Avec les remarques de Louys de La Forge, docteur en médecine, sur le Traité de l'homme du même auteur, & sur les figures par lui inventées, [https://archive.org/details/bub_gb_Tiv_Wt6uae0C Internet Archive. * 1765 - Antoine Leonard Thomas.- Eloge de René Descartes: discours qui a remporté le prix de l’Académie françoise en 1765, [https://archive.org/details/elogederendesca00gailgoog Internet Archive] * 2008 - [http://www.solidariteetprogres.org/christine-bierre.html Christine Bierre].- Descartes, la prison analytique de la pensée française, [http://www.solidariteetprogres.org/documents-de-fond-7/science/article/descartes-la-prison-analytique-de-la-pensee.html Nouvelle Solidarité, journal de Solidarité & Progrès], 13 janvier 2008. == François Georges Foucques Desfontaines-Lavallée == * François Georges Foucques , librettiste de Saint George qui lui dédicacera , sous ce nom , six quatuors et un concerto de violon , Œuvre V. In [https://www.google.fr/books/edition/Joseph_sieur_de_Saint_George/3j4jAQAAIAAJ Pierre Bardin.- Joseph, sieur de Saint-George: le chevalier noir, 2006, Page 122], ** ([[d:Q100571988|Joseph sieur de Saint George : le chevalier noir Q100571988]]), oeuvre écrite. ** [[d:Q80354437|Joseph sieur de Saint George : le chevalier noir (Q80354437)]], texte biographique * [https://www.google.fr/books/edition/La_fille_soldat_fait_historique_en_un_ac/M7uIko1W4eoC?hl=fr&gbpv=1&dq=Fouques+Desfontaines+%2B+Saint-Georges&pg=PA6&printsec=frontcover Fouques Desfontaines & Saint-Georges.- La fille soldat fait historique en un acte (avec un air de Gossec]. Représentée pour la première fois sur le Théâtre du Vaudeville le 23 Frimaire l'an 3 de la République Française. === Maison rue de la Calandre selon Pierre Bardin === Dans le même ouvrage nous trouvons un indice sur <nowiki>[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b8445862k/f1.item.zoom une maison dont la propriété serait à attribuer à Saint-George]</nowiki> : {{Citation bloc|... Nous sommes le 10 mai 1763, ce jour-là<br />"Joseph, sieur de Saint-George demeurant à Paris, rue de Calandre, paroisse Saint-Germain le Viel" achète pour 9000 livres à Messire Augustin Malherbe, conseiller du Roi, procureur de Pierre Renaut, Sieur des Roncins, L'Office d'Écuyer , Conseiller du Roy , controlleur ordinaire des guerres » , dont le Sr Renaut était détenteur au moment de ...|Pierre Bardin, ''Joseph, sieur de Saint-George : le chevalier noir''<ref>[https://www.google.fr/books/edition/Joseph_sieur_de_Saint_George/3j4jAQAAIAAJ?hl=fr&gbpv=1&bsq=Pierre+Renaut+%2B+Ecuyer&dq=Pierre+Renaut+%2B+Ecuyer&printsec=frontcover Pierre Bardin, ''Joseph, sieur de Saint-George : le chevalier noir'', 2006, page 58]</ref>}} Vérification de : "Joseph, sieur de Saint-George demeurant à Paris, rue de Calandre, paroisse Saint-Germain le Viel" MAISON sans désignation en 1461 puis DE NOTRE DAME DE BOULOGNE 1522 1687 en laquelle se trouvait un jeu de paume vers 1525 La rue de Calandre est sur la carte <https://fr.wikipedia.org/wiki/Rue_de_la_Calandre>. Histoire topographique et archéologique de l'ancien Paris : plan de restitution, feuille X / par Albert Lenoir et Adolphe Berty ; E. Ollivier sculps Lenoir, Albert (1801-1891). Cartographe<https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b8445862k/f1.item>. La rue de Calandre tombe dans la rue Saint-Michel face à la Chapelle Saint-Michel, de la Sainte-Chapelle, de la Cour du May. A l'angle de la rue du Pont Saint-Michel et de la rue de la Barillerie (moitié ouest de l'actuel boulevard du Palais). A l'angle de la rue de la fr la Barillerie se trouve la MAISON sans désignation en 1461 puis DE NOTRE DAME DE BOULOGNE 1522 1687 en laquelle se trouvait un jeu de paume vers 152. La Maison intitulée de Notre-Dame de Boullongne est donc située face au Palais, mais dans la rue <https://www.google.fr/books/edition/Topographie_historique_du_vieux_Paris/iV_4meJ0iTcC?hl=fr&gbpv=1&dq=Maison+de+l%27image+%2B+Notre-Dame+de+Boullongne+%2B+Paris&pg=PA32&printsec=frontcover>. Une deuxième maison de l'Image de Notre-Dame (de Boulogne), est sur une parcelle plus petite se trouve au début de la rue de Calandre. Ces informations se trouvent dans Adolphe Berty, Lazare Maurice Tisserand, H. Legrand (architect.), Théodore Vacquer, Camille Platon.-Topographie historique du vieux Paris, Volume 3, 1876 <https://www.google.fr/books/edition/Topographie_historique_du_vieux_Paris/iV_4meJ0iTcC?hl=fr&gbpv=0> * Notre-Dame de Boulogne-sur-Mer, son pèlerinage et ses fêtes [Texte imprimé] / par Maxime de Montrond, {{BNF|341123625}} == 1747-1814 - Desmaillot Antoine François Eve == {{Citation bloc|(...) il m'en arrivera ce qu'il pourra ; c'est ce dont je me soucie le moins.|Eve dit Demaillot (Antoine-François<ref>[http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5797780s/f9.item.zoom.texteImage Eve dit Demaillot (Antoine-François]</ref>}} {{Citation bloc|{{sc|Ève}} avait pris le nom de {{sc|Desmail1ot}}, lorsqu’il se fit comédien. Pendant la révolution il ne signa plus que {{sc|Mail1ot}}, par haine pour tout ce qui pouvait rappeler les corps privilégiés''|Michaud;- Biographie universelle ancienne et moderne, 1843, Tome 10<ref>[[s:Page:Michaud - Biographie universelle ancienne et moderne - 1843 - Tome 10.djvu/521|p. 516, note 1.]]</ref>}} * Membre du [[w:Club des Jacobins|Club des Jacobins]] puis commissaires de la Convention === Bibliographie "Desmaillot Antoine François Eve" === * [[s:Page:Michaud - Biographie universelle ancienne et moderne - 1843 - Tome 10.djvu/520|Desmaillot Antoine François Eve]] ; [https://books.google.fr/books?id=y_U8AQAAIAAJ&lpg=PA392&ots=xlTMgpZTDd&dq=Desmaillot%20Antoine%20Francois%20Eve&hl=fr&pg=PA392#v=onepage&q=Desmaillot%20Antoine%20Francois%20Eve&f=false Google] * [[w:Antoine-François Ève|Desmaillot Antoine François Eve]] * [[d:Q2853470|Antoine-François Ève]] {{Citation bloc|Desmaillot, peu de semaines avant sa mort, a publié : Tableau historique des prisons d’État en France, sous le règne de Bonaparte, Paris, 1811, in-8°<ref>Tableau historique des prisons d'État en France sous le règne de Buonaparte, par M. Ève, dit Démaillot</ref>. C’est un pamphlet dont le but est de prouver que le nombre des détenus pour cause politique était beaucoup plus grand qu’on ne le croyait, et qu’ils étaient traités avec la plus grande rigueur.|W-S.- Michaud;- Biographie universelle ancienne et moderne, 1843, Tome 10<ref>[[s:Page:Michaud - Biographie universelle ancienne et moderne - 1843 - Tome 10.djvu/521|516]].</ref>.}} {{Citation bloc|on a de lui : Célesline, opéra-comique en 3 actes, joué au Théâtre-Italien en 1787[2]. — La Fille garçon, 1787. Le Congrès des rois, 1794. — Figaro, directeur de marionnettes[3]. — Madame Angot, ou la Poissarde parvenue, comédie en 2 actes, 1797. — Le Mariage de Nanon, ou la Suite de Madame Angot, comédie en 1 acte, 1797. — La Chaumière, comédie en 1 acte, 1797. — La petite Maison de Proserpine. — Le Repentir de madame Angot, ou le mariage de Nicolas, comédie en 2 actes, 1800. Desmaillot, peu de semaines avant sa mort, a publié : Tableau historique des prisons d’État en France, sous le règne de Bonaparte, Paris, 1811, in-8°. C’est un pamphlet dont le but est de prouver que le nombre des détenus pour cause politique était beaucoup plus grand qu’on ne le croyait, et qu’ils étaient traités avec la plus grande rigueur. On trouve une courte notice sur Desmaillot dans le Petit Album franc-comtois. M. Nodier en parle dans ses Souenirs de la révolution.|W-S.- Michaud;- Biographie universelle ancienne et moderne, 1843, Tome 10<ref>[[s:Page:Michaud - Biographie universelle ancienne et moderne - 1843 - Tome 10.djvu/521|516]].</ref>.}} * 1814 - {{Bibliographie|Q27339467}} ;Page ''iij'' * les gens de bien qui n'aspiraient qu'à l'ordre constitutionnel promis par le Roi * le déshonneur de la voir aujourd'hui privée de conquêtes justement acquises par ses victoires, et auxquelles Buonaparte n'eut pas la moindre part. == Désobéissance civile == <nowiki>[[Henry David Thoreau]]</nowiki> == Dette publique (histoire) == * {{Ouvrage | langue = fr | prénom1 = Jean | nom1 = Andreau, directeur scientifique | prénom2 = Gérard | nom2 = Béaur, directeur scientifique | prénom3 = Jean-Yves | nom3 = Grenier, directeur scientifique | lien auteur1 = w:Jean Andreau | lien auteur2 = w:Gérard Béaur | lien auteur3 = w:Jean-Yves Grenier | titre = La dette publique dans l'histoire | sous-titre = Actes des journées du Centre de recherches historiques des 26, 27 et 28 novembre 2001 | lien titre = | numéro d'édition = | éditeur = Comité pour l'histoire économique et financière de la France, Imprimerie Actis, Open Édition | collection = | lien éditeur = | lieu = Paris | année = [[w:2006 en littérature|2006]] | mois = | volume = | tome = | pages totales = 507 | passage = La dette publique dans l'histoire, Journées du Centre de recherches historiques des 26, 27 et 28 novembre 2001, tenues au Ministère de l'économie, des finances et de l’industrie à Paris, Organisées par : Centre de recherches historiques EHESS-CNRS, Comité pour l'histoire économique et financière de la France : ISBN électronique : 9782821828339, © Institut de la gestion publique et du développement économique, 2006. [http://www.openedition.org/6540 Conditions d’utilisation]. Bibliohraphie complémentaire : [https://www.worldcat.org/title/dette-publique-dans-lhistoire-les-journees-du-centre-de-recherches-historiques-des-26-27-et-28-novembre-2001/oclc/70120610/editions?start_edition=1&sd=asc&referer=di&se=yr&qt=sort_yr_asc&editionsView=true&fq= WorldCat.org] ; [http://www.lemonde.fr/idees/article/2011/08/13/le-long-passe-de-la-dette-publique_1559248_3232.html#yhtR4cxJVTaWjeF2.99 Le long passé de la dette publique] ; [ Analyses [http://www.laviedesidees.fr/Comment-se-debarrasser-de-la-dette-publique.html Comment se débarrasser de la dette publique ?] | dnb = 40173765b | isbn = 2-11-094800-0 | oclc = 470411316 | doi = | url = https://www.worldcat.org/title/dette-publique-dans-lhistoire-actes-des-journees-du-centre-de-recherches-historiques-des-26-27-et-28-novembre-2001-tenues-au-ministere-de-leconomie-des-finances-et-de-lindustrie-a-paris/oclc/470411316?ht=edition&referer=di WorldCat.org | lire en ligne = http://books.openedition.org/igpde/1180 | consulté le = 12 octobre 2015 | présentation en ligne = http://books.openedition.org/igpde/1807 | commentaire = Recherche WorldCat.org par Mot-clé [https://www.worldcat.org/search?qt=worldcat_org_all&q=La+dette+publique+dans+l%27histoire La dette publique dans l'histoire] | id = }} == Despotisme == * [[w:Despotisme|Despotisme]] * === Bibliographie (Despotisme) === * 1751 - [[w:Louis de Jaucourt|Louis de Jaucourt]].- [[s:L’Encyclopédie/1re édition/DESPOTISME|Despotisme]] dans ''[[d:Q447|L’Encyclopédie, 1re édition]]''. Cf. Table analytique Encyclopédie Diderot d'Alembert, [https://books.google.fr/books?id=Ii5oAAAAcAAJ&hl=fr&pg=PA494#v=onepage&q&f=false Tome Premier A - H, 1780, page 494] Original provenant de la Bibliothèque nationale d'Autriche * 1761-1762 - {{bibliographie|Q28086670}}. Cf. Nicolas Antoine Boulanger, ''Recherches sur l'origine du despotisme oriental et des superstitions'', 1761. Réédition : Paris, Hachette, 1972. [[w:Nicolas Antoine Boulanger|Nicolas Antoine Boulanger]], (11 novembre 1722 - 16 septembre 1759), faisait partie de [[w:en:D'Holbach's Coterie|coterie de D'Holbach's]]. * 1775 - {{bibliographie|Q28086513}} * 2016 - {{bibliographie|Q28087831}} == Deterritorialization or respatialization == * 2020 - {{bibliographie|Q75178977}}, Publié dans {{bibliographie|Q75180382}} <!-- Megan Maruschke et Matthias Middell, The French Revolution as a Moment of Respatialization --> ** Matthias Middell, Megan Maruschke.- [https://books.google.fr/books?id=Gtu7DwAAQBAJ The French Revolution as a Moment] of [https://books.google.fr/books?hl=fr&lr=&id=Gtu7DwAAQBAJ&oi=fnd&pg=PT6&ots=JRABdkypAA&sig=R2irXbE4PSVvUci3yV3zojpQV70#v=onepage&q&f=false Respatialization], Walter de Gruyter GmbH & Co KG, 23 septembre 2019, 262 pages<br />''The French Revolution has primarily been understood as a national event that also had a lasting impact in Europe and in the Atlantic world. Recently, historiography has increasingly emphasized how France's overseas colonies also influenced the contours of the French …'', #Barbara MacKinnon, ‎Andrew Fiala.- Ethics: Theory and Contemporary Issues, 2016<br />''The journalist Thomas Friedman described globalization as a process that has made ... [https://books.google.fr/books?id=Feu5DQAAQBAJ&pg=PT588&lpg=PT588&dq=onepage&q=respatialization'%20and%20'deterritorialization=false Deterritorialization or respatialization] refers to the fact that in the globalized ... space is no longer wholly mapped in terms of territorial places...and borders''. '''The question of violence''' 14 juillet 1789, Fall of the Bastille (justice) [https://www.marxist.com/great-french-revolution.htm 1793, Rise and Fall of the Jacobins] 4 février 1794 : Fall of slavery Alan Woods.- ''The French Revolution'', 20 September 2019 == Devise Républicaine == [[Fichier:LibertyEqualityorDeath.jpg|100px|vignette|gauche|Devise républicaine ''[[w:Liberté, Égalité, Fraternité|Liberté, Égalité, Fraternité]]''.]] Les hommes naissent et demeurent libres et égaux en droits. Les distinctions sociales ne peuvent être fondées que sur l’utilité commune, [[s:Déclaration des Droits de l’Homme et du Citoyen|Article premier]] de la [[d:Q169759|Déclaration des Droits de l’Homme et du Citoyen]], Assemblée nationale, 1789. {{bibliographie|Q169759}} 1790 - Robespierre propose la devise "''[[w:Liberté, Égalité, Fraternité|Liberté, Égalité, Fraternité]]''" à la Convention nationale le 5 décembre 1790. Elle sera placée par [[w:Jean-Nicolas Pache|Jean-Nicolas Pache]] sur les murs des édifices publics parisiens {{Citation bloc|PACHE Jean Nicolas né à Paris vers 1740 m 1823 était fils du suisse de l hôtel de Castries le le fit instruire et lui confia ensuite l éducation de enfants Il lui procura plus tard un emploi les bureaux de la marine Après 1789 Pache se fit re marquer par l exaltation de ses opinions démocratiques Surnuméraire au ministère de l intérieur puis chargé d une inission dans le Midi à son retour 18 octobre 1792 Assemblée le nomma ministre de la guerre et il prononça pour les Montagnards Destitué le 2 1793 et bientôt élu maire de Paris il contribua puissam ment à la chute des Girondins devint suspect par suite de ses liaisons avec le parti Hébertiste fut poursuivi après le 9 thermidor et acquitté par le tribunal criminel d Eure et Loir Inquiété encore sous le Directoire lors de la conspiration de Babeuf il publia 3 Mémoires apologétiques puis se retira près de Charleville où il mourut dans l obs curité Ce fut Pache qui imagina cette inscription fameuse que le gouvernement révolutionnaire fit peindre sur les monuments publics et que l on voyait encore sur plusieurs de ceux de Paris au commencement du xixe siècle UNITÉ INDIVISIBILITÉ DE LA RÉPUBLIQUE LIBERTÉ ÉGALITÉ FRATERNITÉ OU LA MORT JT|Charles Dezobry, Théodore Bachelet.- Dictionnaire général de biographie et d'histoire de mythologie, de geographie ancienne et moderne comparée, des antiquites et des institutions grecques, romaines, françaises et étrangères, 1861<ref>[https://books.google.fr/books?id=t1yVjX6ARL8C&pg=PA1996&hl=fr Charles Dezobry, Théodore Bachelet.- Dictionnaire général de biographie et d'histoire de mythologie, de geographie ancienne et moderne comparée]</ref>}} Bibliographie 1848 - {{Bibliographie|Q28824086}} == Dieu : Role du dieu chrétien à la tête de l'organisation politique des États == Sous Constantin 1{{er}}, empereur romain entre 306 et 337 A.C,, l '[[w:Édit de Milan|édit de Milan]] promulgué en 313 établit la liberté individuelle de culte. Cet acte, met fin aux persécutions des chrétiens, deux ans après l'[[w:Édit de Galère|Édit de tolérance de]] [[w:Galère (empereur romain)|Galère]], entre 293 et 311 A.C promulgué le 30 avril 311. Le christianisme devient religion d’État quasi officielle. == Une histoire du don : Bibliographie == === Essai sur le don, essai du sociologue Marcel Mauss === * {{bibliographie|Q3058690}} Oeuvre écrite<!-- Essai sur le don, essai du sociologue Marcel Mauss, 26 juin 2022 à 017:17 --> * {{bibliographie|Q114777381}} Première publication <!--Marcel Mauss Essai sur le don --> -*-*-* * 2001 - {{bibliographie|Q114778641}} <!-- Essai sur le don (Q114778641) --> * 2016 - {{bibliographie|Q50118940}} <!-- When Marcel Mauss's Essai sur le Don becomes The Gift: variations on the theme of solidarity, anglais, article scientifique (publié 2016) --> === Don patriotique === Le don patriotique "''montre le(ur) désir de contribuer à la résorption de la dette publique et marque le(ur) soutien à la cause révolutionnaire''". [https://www.histoire-image.org/etudes/don-patriotique-femmes-revolution Le don patriotique des femmes sous la Révolution]. * 1789 - Offres faites par les colons américains du quart de leur revenu dans France. Etats généraux.- Journal des états généraux, convoqués par Louis XVI, le 27 avril 1789, Volume 5, {{Google|TC4wAAAAYAAJ&dq}} * 1967 : Yvan Debbasch.- [https://books.google.fr/books?id=wbRNAQAAIAAJ Couleur et liberté: Le jeu de critère ethnique dans un ordre ..., 1967. ... mais pour établir l'importance économique des libres, une initiative spectaculaire, d'où doit résulter une démonstration irréfutable : les « colons américains » votent le 22 septembre « un don patriotique du quart de tous leurs biens, revenus, … * 2002 : Nathalie Alzas, "[http://ahrf.revues.org/676 Don, patriotisme et sociétés populaires en l'an II. « Le sans-culotte de l'Hérault]", Annales historiques de la Révolution française [En ligne], 329 | juillet-septembre 2002, mis en ligne le 27 mars 2008, consulté le 21 mai 2016. Voir la symbolique du vaisseau & Guerre de 7 ans. * Nathalie Court.- Origine, critique, fonction, symbolique du don patriotique. août 1793. thermidor an II, 164 pages * 2004 : Raymonde Monnier.- Citoyens et citoyenneté sous la Révolution française: Actes du colloque international de Vizille, 24 et 25 septembre 2004, Société des études robespierristes, 2006, 310 pages. [https://books.google.fr/books?id=6U5pMTjOy0gC&lpg=PA245&ots=EHnP5NkehA&dq=Nathalie%20Court%20%2B%20don%20patriotique&hl=fr&pg=PA245#v=onepage&q=Nathalie%20Court%20+%20don%20patriotique&f=false Les gestes militants des citoyennes, l'offrande patriotique (septembre 1789)] * 2007 : Florence Gauthier.- [https://books.google.fr/books?isbn=2271065763 L'aristocratie de l'épiderme: Le combat de la Société des Citoyens de Couleur], 2007. L'AN<ref>Assemblée Nationale</ref> tient sa première réunion à Paris, salle de l'Archevéchée. Offre d'un don patriotique par la SCC<ref>Société des Citoyens de Couleur</ref> du quart de leurs revenus, soit environ 6 millions de livres. == Nicolas-Alexandre Dezède == * [[w:Nicolas Dezède|(Nicolas-Alexandre) Dezède]] (1738-1792), compositeur. Né à [[w:Lyon|Lyon]] de parents inconnus, on le dit fils naturel<ref>Michelle Garnier-Butel.- Marie-Antoinette, pianiste (''à Versailles''), Centre de Musique Baroque de Versailles, Établissement Public du musée et du domaine national de Versailles, [http://philidor3.cmbv.fr/ita/Bibliographie/Liste-des-notices/GARNIER-BUTEL-Michelle-Marie-Antoinette-pianiste Philidor Cmbv], 2001, p. 7-22</ref> de [[w:Frédéric II de Prusse|Frédéric II de Prusse]] (1712-1786). :"En 1785, le duc [[w:Maximilien Ier de Bavière (roi)|Maximilien de Deux-Ponts]], depuis électeur et roi de Bavière, fit venir Dezède à sa Cour et lui donna un brevet de capitaine, avec cent louis d’appointements, sans lui demander rien de plus que sa présence à Deux-Ponts, pendant un mois de chaque année<ref>Un fils de Frédéric-le-Grand, compositeur de musique français in Joseph Marie Quérard.- Le Quérard, par l’auteur de la France littéraire, [https://books.google.fr/books?id=kycGAAAAQAAJ&dq=duc%20des%20Deux-Ponts%20%2B%20%22Dezède%22&hl=fr&pg=PA387#v=onepage&q=duc%20des%20Deux-Ponts%20+%20%22Dezède%22&f=false p. 387], Paris, 1856</ref>". === Diplomatie durant la Révolution française === Lord George Leveson-Gower, ambassadeur de Londres à Paris Leveson Gower George Granville, premier duc de Sutherland 1758-1833, devient Ambassadeur de Londres à Paris en 1790 jusqu'en août 1792<ref>cf sa correspondance diplomatique publiée en 1885</ref>. George III rappelle son ambassadeur à la suite de la [[w:Journée du 10 août 1792|journée du 10 août 1792]] === Bibliographie (Diplomatie durant la Révolution française) === <poem> 1. Frangulis, Dictionnaire diplomatique, Paris, 1934. 2. Abraham de Wicquefort, L'ambassadeur et ses fonctions, Amsterdam, 1730, p. 9. 3. F. de Callières, De la manière de négocier avec les souverains, Ed. Whyte, p. 27. 4. Pequet, Discours sur l'Art de négocier, Paris, 1737. Ibid., p. 91-92. 5. Lettre de Gower du 27 janvier 1792 : « je joins une lettre de M. de Lessart, comprenant une copie d'une lettre qui lui a été adressée par M. de Richebourg, président du Directoire des Postes, par laquelle Monseigneur... », dans The dispatches of Earl Gower, english ambassador at Paris..., Cambridge, 1885, p. 150. Il n'est pourtant pas fait mention d'informateurs de l'Angleterre au ministère des affaires étrangères. L'ambassadeur d'Espagne en avait, qui surveillaient particulièrement les rapports entre la France et l'Angleterre (Chaumié, « la correspondance des agents diplomatiques de l'Espagne pendant la Révolution », Bulletin hispanique, 1925. 6. Wickham, Correspondence..., Londres, 1870, I, p. 5; et Alger, Englishmen in the french Revolution, Londres, 1889, p. 29. William Huskisson fut secrétaire de Lord Gower de 1790 à 1792. </poem> == Domestiques & commensaux == === Domestique === === Commensalité, Commensaux === [[w:Commensalité|Commensaux]] est attestée dès 1549. Le mot dérive du terme commensal, lui-même issu du latin médiéval commensalis (compagnon de table) composé de cum (avec) et mensa (table, nourriture). [https://www.google.fr/#q=domestiques+commensaux&hl=fr&tbs=sbd:1&tbm=bks&start=520 Domestiques commensaux].<br />Voir : [http://www.cnrtl.fr/definition/Commensaux Commensalisme, Commensalité]. * 1676 - Rolland Abraham Tessereau.- Histoire chronologique de la grande Chancelerie de France: contenant son origine, l'estat de ses officiers, vn recueil exact de leurs noms depuis le commencement de la monarchie jusqu'à present, leurs fonctions, privilèges, prérogatives, droits et règlemens ; ensemble l'établissement et les règlemens des chancelerie, Pierre Le Petit, Paris, 1676. {{Google|CjwYUxIHFawC&dq}}. * 1720 - Code des commensaux, ou Recueil général des édits, déclarations, ordonnances, lettres patentes, arrêts & règlemens portant établissement et confirmation des privilèges... des officiers domestiques et commensaux de la maison du Roy, des maisons royales, et de leurs veuves, A Paris, chez Prault, pere, Quai de Gesvres, au Paradis. M. DCC. XX. Avec approbation & privilége du Roi. Éditeur : Prault, Pierre (1685-1768), 2 vol. ; in-12. Recueil d'Actes royaux, Maison du Roi. Commensaux, privilèges, [https://www.google.com/#q=Code+des+commensaux+ou+recueil+général+des+édits,+déclarations&tbs=sbd:1&tbm=bks&start=80 Google] ; {{BNF|33851581n}}. == Données & Algorithmes == Cf. Algorithmes & Données == Marcel Dorigny == * {{Lien web |langue= fr|auteur= Loïc Céry|titre= Mort de l'historien Marcel Dorigny (1948-2021) |url= https://blogs.mediapart.fr/edition/institut-du-tout-monde/article/230921/mort-de-lhistorien-marcel-dorigny-1948-2021|date= 23 septembre 2021|site= blogs.mediapart.fr|consulté le= 19 février 2022}} * {{Lien web |langue= fr|auteur= Institut du Tout-Monde|titre= Cycle pluridisciplinaire "Mémoires et littératures de l'esclavage : écrire la trace, tramer l'histoire", Séance n°3 : Marcel Dorigny (historien, professeur à l'université Paris VIII).- Littératures et arts face à l'histoire|url= http://tout-monde.com/cyclemle3.html|date= |site= tout-monde.com|consulté le= 19 février 2022}} ** {{YouTube|81dwbdw68RM|Institut du Tout-Monde.- Entretien avec Marcel Dorigny : I - Des Cahiers de doléances à Guillaume Guillon-Lethière, 11 avril2021|consulté le= 19 février 2022}} ** {{YouTube|gFUpQTthopk|Institut du Tout-Monde.- Entretien avec Marcel Dorigny : II - De l'abbé Grégoire aux mouvements mémoriels, 11 avril2021|consulté le= 19 février 2022}} == Dragon == * [[w:Dragon|Dragon]] Cf. [[w:Monstre|Monstre]] == Dragonnades == [[Fichier:Dragonnades430.jpg|100px|vignette|gauche]] * [[w:Dragonnades|Dragonnades]] * [https://archive.org/search.php?query=Dragonnades Dragonnades, histoire & fiction] == André Dubuc-Dufferet == [[w:André Dubuc-Dufferet|André Dubuc-Dufferet]] {{Citation bloc|Le projet élaboré en vue d'une "amélioration coloniale" par André Dubuc-Dufferet, planteur de Martinique, capitaine de frégate, offrait aux yeux des auteurs de la brochure la "justesse de vue" et la "lucidité des idées" que requerrait la…|Nelly Schmidt.- Abolitionnistes de l'esclavage et réformateurs des colonies, 2000<ref>Nelly Schmidt.- [https://books.google.fr/books?id=qt5WM86gNXoC&lpg=PA250&dq=%22Dubuc-Dufferet%22&hl=fr&pg=PA250#v=onepage&q=%22Dubuc-Dufferet%22&f=false Abolitionnistes de l'esclavage et réformateurs des colonies, 1820-1851 : analyse et documents], 2000.</ref>.}} {{Citation bloc|L'assemblée avait pour député en France le représentant de la chambre d'agriculture (91), Dubuc-Dufferet, qui siégeait au bureau du commerce de France à Paris et qui devait correspondre avec elle ou le comité intermédiaire.|}} === Droit d'auteur === Le droit d'auteur : * Une propriété * Une modalité de la rente * Quel rapport avec le salaire ? Voir : [[Discussion Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages/Méthodologie]]. == Duels == {{Citation bloc|Les combattants, ajoute- t-il, doivent être soigneusement visités et tastés pour savoir s’ils n’ont drogueries, sorcelleries ou maléfices. Il est permis de porter reliques de Notre-Dame de Lorette et autres choses saintes. En quoi pourtant il y a dispute si l’un s’en trouvoit chargé et l’autre non ; car en ces choses il faut que l’un n’ait pas plus d’avantage que l’autre. Il ne faut pas parler de courtoisie : celui qui entre en champ clos doit se proposer '''vaincre ou mourir''', et surtout ne se rendre point ; car le vainqueur dispose du vaincu tellement qu’il en veut, comme de le traîner par le camp, de le pendre, de le brusler, de le tenir prisonnier ; bref, d’en disposer comme d’un '''esclave'''|[[s:Page:Dictionnaire de la conversation et de la lecture - Ed 2 - Tome 08.djvu/133|Duel, Dictionnaire de la conversation et de la lecture]]<ref>[[s:Page:Dictionnaire de la conversation et de la lecture - Ed 2 - Tome 08.djvu/133|Voir le reste de l’article]]</ref>.}} * [https://fr.wikisource.org/w/index.php?title=Page:Recueil_g%C3%A9n%C3%A9ral_des_anciennes_lois_fran%C3%A7aises,_tome_2.djvu/489&action=edit&redlink=1 Monsieur de Saint George]. == Alexandre Dumas, pères & fils == [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Alexandre_Dumas,_pères_&_fils|Alexandre Dumas, pères & fils]] [https://books.google.fr/books?id=omdVAAAAcAAJ&pg=RA7-PA11&dq=Un+homme+de+rien+%2B+Galerie+des+contemporains+illustres+%2B+Alexandre+Dumas&hl=fr&sa=X&ved=0ahUKEwj1ioymzqnnAhXKxoUKHagMDYAQ6AEIKTAA#v=onepage&q=Un%20homme%20de%20rien%20%2B%20Galerie%20des%20contemporains%20illustres%20%2B%20Alexandre%20Dumas&f=false Biographie de Alexandre Dumas] == E == [[Fichier:Luca Pacioli, De divina proportione, Letter E.jpg|100px|vignette|centré]] == Echecs (jeu) == * Michel Pastoureau (historien du Moyen Âge).- [http://plus.franceculture.fr/les-chevaliers-de-la-table-ronde-anthropologie-d-une-societe-imaginaire ''Les échecs'' à 17:35] in Les Chevaliers de la Table Ronde : Anthropologie d’une société imaginaire, 5 novembre 2015. * [http://classes.bnf.fr/echecs/repere/ind_biblio.htm Repères autour du jeu d'échecs], Bnf. * Torsten Hiltmann, directeur de publication.- Les 'autres' rois: Études sur la royauté comme notion hiérarchique dans la société au bas Moyen Âge et au début de l'époque moderne, Oldenbourg Verlag, 7 juillet 2010 - 174 pages, {{BNF|42248916q}}. Cf. [http://calenda.org/192862 Les "autres rois"], Journée d'étude, Calenda, mercredi 21 mars 2007. * Luc Bourgeois.- Les échecs médiévaux : jeu des élites, jeux de couleurs, <[https://halshs.archives-ouvertes.fr/file/index/docid/821969/filename/Couleurs_du_jeu_d_A_checs.pdf halshs-00821969v1]>. == Eco, Umberto == === Le nom de la rose par Umberto Eco === [[Fichier:Umberto Eco 04.jpg|100px|vignette|gauche|Umberto Eco]] [[File:La Sacra ammantata dalla neve.jpg|100px|vignette|gauche|[[w:Abbaye Saint-Michel-de-la-Cluse|Abbaye Saint-Michel-de-la-Cluse]] sur le mont Pirchiriano, Piémont, Italie dont s'inspira Umberto Eco.]] [[File:Labyrinthus Aedificium.svg|100px|vignette|gauche|Map of the labyrinth (library) described in Umberto Eco novel's ''[[c:Category:Il nome della rosa|The Name of the Rose'']].]] [[Fichier:Il nome della rosa (dall'omonimo romanzo di Umberto Eco).JPG|100px|vignette|gauche|William Girometti.- "Le Nom de la rose, ''hommage au roman de Umberto Eco'', 1982.]] [[w:1980 en littérature|1980]] - [[w:Umberto Eco|Umberto Eco]].- [[w:it:Il nome della rosa|''Il nome della rosa'']] [[w:1981 en littérature|1981]] - [[w:Prix Strega|Prix Strega]] [[w:1982 en littérature|1982]] - ''[[w:Le Nom de la rose (roman)|Le Nom de la rose]]'', Traduction en français par [[w:Jean-Noël Schifano|Jean-Noël Schifano]], Paris, Grasset, Le roman a été augmenté d'une [[w:Apostille|''Apostille'']] traduite par M. Bouzaher. [[w:1982 en littérature|1982]] - [[w:Prix Médicis étranger|Prix Médicis étranger]] [[w:1983 en littérature|1983]] - ''[[w:en:The Name of the Rose|The Name of the Rose]], Traduction en anglais par [[w:en:William Weaver|William Weaver]] [[w:1986 au cinéma|1986]] - Adapté au cinéma [[w:Le Nom de la rose (film)|sous le même titre]] par [[w:Jean-Jacques Annaud|Jean-Jacques Annaud]], avec [[w:Sean Connery|Sean Connery]] et [[w:Christian Slater|Christian Slater]]. === Economie sous la Révolution française === ==== Le droit de propriété en révolution ==== * 2008 - {{bibliographie|Q27230264}} == Edit-a-thon == === Quai Branly === Edit-a-thon du 11 mars 2017, événement du Mois de la contribution francophone 2017 Prise de contact à propos du projet Raynal.- Histoire des 2 Indes, 1780 Travail avec Varmin sur Wikidata, Découverte de [[w:Sacagawea|Sacagawea]] Varmin a bien reçu le poster de la photo de 2014 == Économie & Economistes == === Economie de l’énergie === ;Les Servitudes de la puissance * 1986 - {{bibliographie|Q63417538}} <!-- Les Servitudes de la puissance : Une histoire de l'énergie. œuvre écrite--> ** 1986 - {{bibliographie|Q65768869}} <!-- Les Servitudes de la puissance : Une histoire de l'énergie. Edition originale. --> ** 1986 - {{bibliographie|Q65773116}} <!-- Les Servitudes de la puissance : Une histoire de l'énergie. Compte-rendu de lecture. --> ** 1989 - {{bibliographie|Q65774156}} <!-- Les Servitudes de la puissance : Une histoire de l'énergie. Traduction en allemand. --> ** 2013 - {{bibliographie|Q77334862}} <!-- Une histoire de l'énergie : Les Servitudes de la puissance. Edition 2013. --> ** 2014 (février) - {{bibliographie|Q77329903}} <!-- Les Servitudes de la puissance : conflits de classe autour de l'énergie, (Écologie & Politique). --> ** 2014 - {{bibliographie|Q77331991}} <!-- Les Servitudes de la puissance : conflits énergétiques, (Écologie & Politique). --> ** 2015 (8 janvier) - {{bibliographie|Q77333111}} <!-- Les Servitudes de la puissance : conflits énergétiquee, (Écologie & Politique). --> ** [https://catalogue.bnf.fr/rechercher.do?motRecherche=Une+histoire+de+l%27%C3%A9nergie+%3A+les+servitudes+de+la+puissance&critereRecherche=0&depart=0&facetteModifiee=ok Recherche BnF] === Économie coloniale === * 1976 - {{Bibliographie|Q28771646}} <!-- --> * 2005 - {{bibliographie|Q66724541}} <!-- Guillaume Daudin, Commerce et prospérité : la France au XVIIIe siècle --> Journal des économistes : revue de la science économique et de la statistique "Journal des économistes revue de la science économique et de la statistique" <https://fr.wikipedia.org/wiki/Journal_des_%C3%A9conomistes> L'A.O.F. économique. Organe de défense des intérêts coloniaux et de liaison avec la métropole, Numérotation : 1937 <https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb32680250f>. Journal des économistes: revue de la science économique et de la statistique, Presses universitaires de France, 1854 <https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb32680250f> === Économie de la Guerre === === Économie de la paix === '''[[w:John Kenneth Galbraith|John Kenneth Galbraith]]''' * 2006 - {{bibliographie|Q66724642}}, <!-- Jacques Fontanel et Fanny Coulomb, J.K. Galbraith, économiste de la paix --> === Economie sociale === * 1857 - {{bibliographie|Q26904537}} ** Les Ouvriers des deux mondes (Paris. 1857), [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/cb32830863r/date Années disponibles]. Monographies contenant # "[http://gallica.bnf.fr/services/engine/search/sru?operation=searchRetrieve&version=1.2&startRecord=0&maximumRecords=15&page=1&collapsing=disabled&query=arkPress%20all%20%22cb32830863r_date%22%20and%20%28gallica%20all%20%22esclaves%22%29 Esclave], # "[http://gallica.bnf.fr/services/engine/search/sru?operation=searchRetrieve&version=1.2&startRecord=0&maximumRecords=15&page=1&collapsing=disabled&query=arkPress%20all%20%22cb32830863r_date%22%20and%20%28gallica%20all%20%22esclavage%22%29 Esclavage]" # [http://gallica.bnf.fr/services/engine/search/sru?operation=searchRetrieve&version=1.2&startRecord=0&maximumRecords=15&page=1&collapsing=disabled&query=arkPress%20all%20%22cb32830863r_date%22%20and%20%28gallica%20all%20%22colonie%22%29 Colonie] # "[http://gallica.bnf.fr/services/engine/search/sru?operation=searchRetrieve&version=1.2&startRecord=0&maximumRecords=15&page=1&collapsing=disabled&query=arkPress%20all%20%22cb32830863r_date%22%20and%20%28gallica%20all%20%22Antilles%22%29 Antilles] # [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k94393f/f13.item.r=Guyane.zoom Guyane] # [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/cb32830863r/date 1862 / p.189] : Dans sa dernière session, le conseil général de la Martinique réclamait en ces termes contre les inconvénients d'un pareil système « [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k94396g/f5.item.r=Martinique.zoom La colonie de la Martinique], terre française, et jalouse d'être reconnue pour telle par la mère patrie, demande à être traitée comme un département de la France pour les tarifs du commerce # [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k94396g/f5.item.r=Réunion 1862 / Réunion]<br />Monographie : [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k94396g/f161.item.r=Réunion N° 31: MULATRE AFFRANCHI DE L'ILE DE LA RÉUNION (Océan indien)], par M. L. Simonin, ingénieur civil des mines == 1834 - Émile-Victor Foucart, Éléments de droit public et administratif == * 1834 - {{bibliographie|Q66382997}}, Émile-Victor Foucart.- Éléments du droit public et administratif: ou exposition méthodique des principes du droit public positif : avec l'indication des lois à l'appui, suivis d'un appendice contenant le texte des principales lois et ordonnances de droit public Recherche avec Gallica ;* 1834 - {{bibliographie|Q66314415}} <!-- Émile-Victor Foucart, Éléments de droit public et administratif --> p.21 : par un effet plus immédiat encore, la femme placée dans un état d'infériorité , et trop souvent traitée comme la première des esclaves, reprit sa place d'épouse et de mère, et la famille fut retrouvée p.48 : Lorsque des milliers d'esclaves passaient toute leur vie à cultiver la terre , à exercer les arts industriels pour le compte de quelques hommes libres, ceux-ci pouvaient consacrer tout leur temps à perfectionner leur intelligence et à s'occuper des affaires publiques(...)toutes les dissensions qni s'élevaient entre eux devaient céder facilement devant l'intérêt toujours pressant de conserver leur pouvoir sur la partie esclave de la société(...) p.121 : Le meurtre d'un esclave est payé 20, 30 ou(...) 40 solides, selon la province et selon les talents de l'esclave p.203 : sur les esclaves, des prescriptions d'une barbarie révoltante(...)et l'un des plus grands philosophes de l'antiquité, Aristote , reconnaissait deux natures dans les hommes, l'une libre et l'autre esclave p.205 : aujourd'hui en vigueur. — Des ordonnances du 12 juillet 1832, 29 avril 1836, déterminent la forme de l'affranchissement des esclaves dans les colonies p.212 : Liberté de la personne. — Affranchissement des esclaves amenés en France. \ 98 p.213 : 1 , n° 6 , et sitôt qu'un esclave a atteint les marches d'icelui, il est affranchi. — Aujourd'hui que l'esclavage est entièrement aboli parmi nous, ajoute(...) Laurière son commentateur, tout esclave est libre dès le moment qu'il a mis le pied dans le royaume (2(...) p.214 : tout esclave qui est amené ou envoyé en France par son maître, sans l'accomplissement de cette formalité, devient libre de plein droit, à compter de son débarquement dans la métropole , et reçoit en conséquence un titre de liberté(...)Cette disposition a été déclarée applicable à tous les anciens esclaves de l'un et de l'autre sexe, non encore légalement affranchis, qui se trouvaient sur le territoire continental de la France(...) p.402 : Si l'Église ne peut sans de graves inconvénients être la dominatrice ou l'esclave de l'Etat, elle peut sans danger pour elle en vivre complètement séparée : c'était la situation du christianisme avant Constantin(...) * 1843 - Émile Victor Foucart.- Éléments de droit public et administratif: ou exposition méthodique des principes du droit public positif avec l'indication des lois a l'appui : suivis d'un appendice contenant le texte des principales lois et ordonnances de droit public, Videcoq, Tome Premier, Tome premier, 1843 - 788 pages * [https://books.google.fr/books?id=1AccR9AYdsMC&pg=PP5&dq=%C3%89mile-Victor+Foucart,+%C3%89léments+de+droit+public+et+administratif&hl=fr&sa=X&ved=0ahUKEwiBmZqX1f3jAhVCPBoKHa8KD0IQ6AEINDAC#v=onepage&q=esclave&f=false5 résultats pour "Esclave"] * 1843 - Émile Victor Foucart.- [https://books.google.fr/books?id=QudIAAAAcAAJ Éléments de droit public et administratif], Troisième édition, volume III 1843. [https://books.google.fr/books?id=QudIAAAAcAAJ&printsec=frontcover&dq=%C3%89mile-Victor+Foucart,+%C3%89léments+de+droit+public+et+administratif&hl=fr&sa=X&ved=0ahUKEwjor5Xs2f3jAhUaAWMBHckyAJ4Q6AEILzAB#v=onepage&q=esclave&f=false 1 résultat pour esclave] : {{Citation bloc|Esclavage Aboli par le christianisme dans l'ancien monde 219 - Esclavage dans les colonies 219 - Affranchissement de plein droit d un esclave amené en France 219.}} * 1850 - Emile Victor Foucart.- [https://books.google.fr/books?id=vz1EAAAAcAAJ Éléments du droit public et administratif]: ou exposition méthodique des principes du droit public positif : avec l'indication des lois à l'appui, suivis d'un appendice contenant le texte des principales lois et ordonnances de droit public, Volume 4, supplément, 1850 * 0 résultats pour "esclave" ou "esclavage" * , Volume 4 * 1855 - Esclave : [https://archive.org/details/lmentsdedroitpu05foucgoog/page/n12 Émile-Victor Foucart, Éléments de droit public et administratif, 1855] * [https://archive.org/details/lmentsdedroitpu05foucgoog/page/n97 page/n97] * [https://archive.org/details/lmentsdedroitpu05foucgoog/page/n205 page/n205] * [https://archive.org/details/lmentsdedroitpu05foucgoog/page/n305 page/n305] == Encyclopédies & Dictionnaires == === Bibliothèque universelle et historique === * [https://archive.org/search.php?query=Bibliothèque%20universelle%20et%20historique Corpus sur Internet Archive] * in A. Sauvy, Motoko Ninomiya.- [https://books.google.fr/books?id=mTdn56sSGr0C&lpg=PA242&ots=s9N-lxpevB&dq=Henri%20Schelte%20%2B%20Bibliothèque%20universelle%20et%20historique&hl=fr&pg=PA242#v=onepage&q=Henri%20Schelte%20+%20Bibliothèque%20universelle%20et%20historique&f=false Livres Saisis a Paris Entre 1678 and 1701], Volume 50 de Archives internationales d'histoire des idées, {{ISSN|0066-6610}}, Volume 50 de International Archives of the History of Ideas, Publication du Centre de recherches d'histoire et de philologie de la 4e section de l'École pratique des hautes études à la Sorbonne, Springer Science & Business Media, Édition illustrée, 430 pages, 1972, {{ISBN|9024713471}}, {{ISBN|9789024713479}}. * La Grande Encyclopédie: inventaire raisonné des sciences, des lettres et des arts / par une société de savants et de gens de lettres; sous la direction de Marcelin Berthelot. — Paris: Société anonyme de la Grande Encyclopédie, 1885-1902. == Olaudah Equiano (1745-1797) == * 1789 - {{bibliographie|Q7742270}} <!-- The Interesting Narrative of the Life of Olaudah Equiano (1745-1797) --> * 2008 - {{bibliographie|Q79125089}} <!-- Olaudah Equiano (trad. Régine Mfounmou-Arthur), Ma véridique histoire --> == Epistémologie == * [[w:Épistémologie|Épistémologie]] == Esclavage == === Traite des esclaves === '''Sujet sur Wikidata:Bistro :'''<br /> "[https://www.wikidata.org/wiki/Topic:Uik5nvr4t1ntj0dx Traite des esclaves]"<br /> 31 commentaires • Lundi 26 novembre 2018 à 15:44:44 '''Résumé par Ambre Troizat'''<br /> Créer des "termes" dans la partie des Lexèmes après avoir construit un lexique ou catalogue des termes utilisées pour disigner la transformation des Humains libres en esclaves dans le temps et dans l'espace. == État (Institution) == * 1919 - Vladimir Ilʹich Lenin.- [https://www.worldcat.org/title/de-letat-conference-faite-a-luniversite-sverdlov-le-11-juillet-1919/oclc/398074199/editions?editionsView=true&referer=br De l’État conference faite a l’Universite Sverdlov le 11 juillet 1919], {{BNF|34573209m}}, [https://www.marxists.org/francais/lenin/works/1919/07/19190711.htm marxists.org/francais]. * 2004 - Zarka Yves Charles.- [https://www.cairn.info/revue-cites-2004-2-page-3.htm Éditorial. L’ombre du Léviathan] Cités 2/2004 (n° 18) , p. 3-6. DOI : 10.3917/cite.018.0003. * 2015 - Archives Autonomies.- [http://archivesautonomies.org/spip.php?article1719 Thèses sur la nature de l’État et la révolution prolétarienne], dimanche 17 mai 2015. == États Généraux (France) == :[[w:Etats Généraux|États Généraux]] :[https://frda.stanford.edu/fr/catalog/jr712gv3760_00_0006 Archives numériques de la Révolution française], sous copyright : :1302 - Création des États généraux (France) :1614 - [[w:États généraux de 1614|États généraux de 1614]] :1788 - 8 août : [[w:Convocation des états généraux de 1789|Convocation des Etats Généraux (France)]]. Les préparatives dureront de la mi-juin 1788 avec les premières initiatives royales à l'ouverture solennelle le 5 mai 1789. Cette année de préparation fut consacrée au recueil d'informations sur les [[w:États généraux de 1614|États généraux de 1614]], à la publication des directives à partir de janvier 1789, puis à leur mise en pratique sur tout le territoire, afin de permettre à l'habitant le plus éloigné de toutes les provinces la possibilité de faire entendre sa voix. États généraux ([[d:Q207304|Q207304]]) État généraux ([[d:Q16685850|Q16685850]]) États généraux ([[d:Q16685858|Q16685858]]) États généraux ([[d:Q16033973|Q16033973]]) : page d'homonymie de Wikimedia États généraux ([[d:Q393676|Q393676]]) : page d'homonymie d'un projet Wikimédia Catégorie:États généraux de 1789 ([[d:Q13356540|Q13356540]]) : page de catégorie d'un projet Wikimédia Catégorie:États généraux ([[d:Q13356538|Q13356538]]) : page de catégorie d'un projet Wikimédia Catégorie:Président de la première Chambre des États généraux ([[d:Q8791717|Q8791717]]) : page de catégorie d'un projet Wikimedia Catégorie:Membre de la première Chambre des États généraux ([[d:Q9011999|Q9011999]]) : page de catégorie d'un projet Wikimedia Catégorie:Membre de la seconde Chambre des États généraux ([[d:Q9024325|Q9024325]]) : page de catégorie d'un projet Wikimedia Les États-généraux avant 1789 ([[d:Q19210776|Q19210776]]) 1302 - États généraux de 1302 ([[d:Q3591904|Q3591904]]) 1308 - États généraux de 1308 ([[d:Q3591905|Q3591905]]) 1313 - États généraux de 1313 ([[d:Q3591903|Q3591903]]) 1317 - États généraux de 1317 ([[d:Q952790|Q952790]]) 1357 - États généraux de 1357 ([[d:Q3591909|Q3591909]]) 1355 - États généraux de 1355 ([[d:Q3591906|Q3591906]]) 1356 - États généraux de 1356 ([[d:Q3591907|Q3591907]]) 1420 - États généraux de 1420 ([[d:Q3591908|Q3591908]]) 1439 - États généraux de 1439 ([[d:Q3591910|Q3591910]]) 1468 - États généraux de 1468 ([[d:Q3591911|Q3591911]]) 1484 - États généraux de 1484 ([[d:Q3591912|Q3591912]]) 1506 - États généraux de Tours de 1506 ([[d:Q3591919|Q3591919]]) 1560 - États généraux de 1560 ([[d:Q3591913|Q3591913]]) 1576-1577 - États généraux de 1576-1577 ([[d:Q3591914|Q3591914]]) 1588-1589 - États généraux de 1588-1589 ([[d:Q3591915|Q3591915]]) 1593 - États généraux de 1593 ([[d:Q3591916|Q3591916]]) 1614 - États généraux de 1614 ([[d:Q3591917|Q3591917]]) 1788-1789 1788 - Convocation des états généraux de 1789, 8 août 1788 ([[d:Q2996432|Q2996432]]) 1789 - Convocation des états généraux de 1789 en Bourgogne ([[d:Q2996435|Q2996435]]) 1789 - Règlement des États généraux de 1789 ([[d:Q3454274|Q3454274]]) 1789 - Règlement du 7 février 1789 ([[d:Q19227213|Q19227213]]) Cahiers des États généraux ([[d:Q2933140|Q2933140]]) 1789 - États généraux de 1789 ([[d:Q1463941|Q1463941]]) 1789 - liste des députés aux États généraux de 1789, par ordre, bailliage et sénéchaussée ([[d:Q3249206|Q3249206]]) : page de liste de Wikipédia 1789 - liste des présidents des États généraux et de l'Assemblée constituante ([[d:Q3253686|Q3253686]]) : page de liste de Wikipédia (''Dissociés les deux, une révolution est passée par là.'') maison des États généraux ([[d:Q22941554|Q22941554]]) : maison à Chinon (Indre-et-Loire) Cahiers de doléances Cahier de doléances ([[d:Q1025768|Q1025768]]) : registres dans lesquels les assemblées chargées d'élire les députés aux États généraux notaient vœux et doléances Cahier du tiers-état de la ville de Paris ([[d:Q24205303|Q24205303]]) : Cahiers de doléances pour la réunion des États généraux de 1789 Députés aux États généraux de 1789 Député français en 1789-1791 ([[d:Q28218485|Q28218485]]) : Député français aux États-Généraux ou à l'assemblée nationale qui en a découlée député de la noblesse ([[d:Q26833954|Q26833954]]) : député de la noblesse aux États généraux de 1789 Eustache Jean-Marie D'Aoust ([[d:Q3061051|Q3061051]]) : député de la noblesse de Douai aux États Généraux Raymond Ducastaing ([[d:Q21545640|Q21545640]]) : député du clergé aux États généraux de 1789 Louis-François Martinet ([[d:Q21171838|Q21171838]]) : chanoine régulier de la Congrégation de France, député du clergé lors des Etats Généraux de 1789 Louis Verdet ([[d:Q3263267|Q3263267]]) : curé à Vintranges, Moselle, député du Clergé aux États généraux Jean-Louis Fisson-Jaubert ([[d:Q21545587|Q21545587]]) : député du tiers aux États généraux de 1789 Antide Rubat ([[d:Q21405714|Q21405714]]) : homme de loi, député aux États généraux de 1789 Jean-Louis Laclaverie ([[d:Q21545593|Q21545593]]) : député du tiers aux États généraux de 1789 Jacques Delavigne ([[d:Q3158677|Q3158677]]) : avocat et homme politique, fut député de Paris aux Etats généraux René Lecesve ([[d:Q3426505|Q3426505]]) : député aux États généraux, évêque constitutionnel Jean-Jacques de la Terrade ([[d:Q21545581|Q21545581]]) : député du tiers aux États généraux de 1789 '''Bibliographie (États généraux de 1789)''' Les premiers états généraux (1302-1314) ([[d:Q28610078|Q28610078]]) : Article scientifique 1789 - Les inconvéniens des droits seigneuriaux ([[d:Q26157738|Q26157738]]) : Ou vœu essentiel à former par le Tiers-Etat du royaume aux États-Généraux, 1789 Les élections et les cahiers du clergé lorrain aux États généraux de 1789 ([[d:Q23959490|Q23959490]]) : Etudes de cahiers de doléances Assemblée générale, procès-verbaux, et cahier de doléances des trois ordres du bailliage de Bourg-en-Bresse ([[d:Q27506815|Q27506815]]) : Relativement à la convocation des États-Généraux du 27 avril 1789 1789 - Saint-Domingue à la veille de la révolution et la question de la représentation coloniale aux états généraux (janvier 1788-7 juillet 1789) ([[d:Q24113070|Q24113070]]) : Une colonie de la France à la veille de la révolution atlantique Réponse à l'écrit de M. Malouet, sur l'esclavage des nègres, dans lequel est exprimé le vœu formé par les colons d'avoir des représentants aux États-Généraux ([[d:Q27614078|Q27614078]]) : Par un membre de la Société des amis des noirs États généraux du Canada français ([[d:Q3591923|Q3591923]]) Modèle:Palette États généraux du Canada français ([[d:Q22781982|Q22781982]]) Assises nationales des États généraux du Canada français de 1967 ([[d:Q2867197|Q2867197]]) Réunion des états généraux du Dauphiné ([[d:Q1108912|Q1108912]]) États de Languedoc ([[d:Q3591894|Q3591894]]) États généraux de Lorraine ([[d:Q3591918|Q3591918]]) États généraux de Navarre ([[d:Q27962792|Q27962792]]) États généraux des Pays-Bas ([[d:Q21009117|Q21009117]]) États généraux des Pays-Bas ([[d:Q1371388|Q1371388]]) Modèle:Palette Membres des États généraux du royaume des Pays-Bas ([[d:Q22794666|Q22794666]]) Catégorie:États généraux des Pays-Bas ([[d:Q8814522|Q8814522]]) : page de catégorie d'un projet Wikimedia États généraux des Pays-Bas du Sud ([[d:Q16685863|Q16685863]]) États généraux des Pays-Bas autrichiens ([[d:Q16685861|Q16685861]]) États généraux des Provinces-Unies ([[d:Q13417577|Q13417577]]) Intérieur du Grande Salle sur le Binnenhof à La Haye, pendant la Grande Assemblée des États généraux en 1651 ([[d:Q17275735|Q17275735]]) : peinture de Dirk van Delen Traité de paix entre le Roi, le Roi de la Grande-Bretagne, et les Etats genéraux des Provinces-unies des Pays-Bas ([[d:Q28092865|Q28092865]]) : qui met fin à la guerre de la succession d'Autriche (1740-1748|) États généraux de l'Europe ([[d:Q3591920|Q3591920]]) Association des états généraux des étudiants de l'Europe ([[d:Q431534|Q431534]]) États Généraux de Wallonie ([[d:Q3591885|Q3591885]]) États généraux de la naissance ([[d:Q3591922|Q3591922]]) États généraux de l'enseignement supérieur de 1987 ([[d:Q3591921|Q3591921]]) États généraux sur la situation et l'avenir de la langue française au Québec ([[d:Q3591924|Q3591924]]) États généraux de la presse écrite ([[d:Q16685859|Q16685859]]) États généraux du film documentaire ([[d:Q19955590|Q19955590]]) Un franc États généraux ([[d:Q3548627|Q3548627]]) === Bibliographie (Etats généraux de 1789) === '''BnF - [http://catalogue.bnf.fr/rechercher.do?motRecherche=Histoire+des+Etats+généraux+de+France&critereRecherche=0&depart=0&facetteModifiee=ok Histoire des Etats généraux de France], 372 pages, 3 711 Notices bibliographiques''' 1845 - {{bibliographie|Q29050991}} <!-- Histoire des Etats généraux de France --> 1872-1979 - {{bibliographie|Q29050644}} <!-- Histoire des états-généraux --> 1873 - {{bibliographie|Q19210776}} <!-- Les États-généraux avant 1789 --> [https://books.google.fr/books?id=Y5paqh-IVFQC&hl=fr&pg=PA1010#v=onepage&q=Hist.%20Etats%20généraux&f=false Histoire des Etats généraux, p. 1110], Pierre Larousse.- Grand dictionnaire universel du XIXe siècle, 1866 == États-Unis == Formation politique === États-Unis d'Amérique (United States of America) === [[w:Dénomination des États-Unis et de leurs habitants|Américains : Dénomination des États-Unis et de leurs habitants]] * 1778 - {{Bibliographie|Q28482281}} {{Citation bloc|17 novembre 1793 - Et vous, braves Américains, dont la liberté, cimentée par notre sang, fut encore garantie par notre alliance, quelle seroit votre destinée si nous n’existions plus ? Vous retomberiez sous le joug honteux de vos anciens maîtres : la gloire de nos communs exploits seroit flétrie ; les titres de liberté, la déclaration des droits de l’humanité seroit anéantie dans les deux mondes.|[[d:Q44197|Maximilien de Robespierre]].- [[d:Q27271875|Rapport fait à la Convention nationale sur la situation politique de la République, 17 novembre 1793]]<ref>{{Bibliographie|Q27271875}}, [[s:Page:Œuvres complètes de Maximilien de Robespierre, tome 10.djvu/183|page 179]]</ref>}} {{Citation bloc|1799 - '''États-Unis d'Amérique''' : États-Unis, nom que se sont données les provinces de l'Amérique anglaise, lorsqu'elles se sont soustraites à l'empire Britannique, par la déclaration de leur indépendance, faite dans le congrès-général le 4 juillet 1776. La France est la première puissance qui ait reconnu leur indépendance par le traité conclu avec eux le 6 février 1778, et elle fut pleinement reconnue par l'Angleterre et les autres puissances européennes à la paix de 1783. (…) Les États-Unis sont au nombre de treize, savoir : nouvelle Hampshire, Massachusset, Rhode-Island, Connecticut, Nouvelle-Yorck, Nouvelle-Jersey, Pensilvanie, Delaware, Maryland, Virginie, Caroline septentrionale, Caroline méridionale et la Géorgie, auxquelles celui de Vermont s'est uni en 1782. - D'après le dénombrement des habitants Blancs, fait en 1783, le nombre s'en élève à 2 millions 389 mille 300 âmes. Chaque état s'est fait une constitution particulière.|Vosgien, Dictionnaire géographique portatif, 1799<ref>Vosgien, [http://www.1789-1815.com/etats_unis.htm États-Unis (d'Amérique), dans le Dictionnaire géographique portatif, troisième édition, an VII-mai 1799</ref>}} ==== Guerre civile / Civil War, 1861-1865 ==== [[w:Guerre de Sécession|Guerre de Sécession]] La [[w:Guerre civile|Guerre civile]] des USA ou [[w:Guerre de Sécession|Guerre de Sécession]] comme processus d'abolition de l'esclavage américain. ==== Bibliographie ==== * 2018 - {{bibliographie|Q61656361}} <!-- Diane Miller Sommerville, Aberration of Mind : Suicide and Suffering in the Civil War–Era South --> === États-Unis d'Europe === ==== 1849 - Victor Hugo et les États-Unis d’Europe ==== ;[https://search.lilo.org/?q=%20congr%C3%A8s%20des%20sciences%20politiques%20%2B%201900%20%2B%20Les%20Etats-Unis%20d%27Europe%20%2B%20Gaston%20Isambert Les États-Unis d’Europe depuis le {{S|XIX}}] * 1901 - {{bibliographie|Q113001379}} <!-- les États-Unis d’Europe --> * 1849 - [https://gallica.bnf.fr/blog/08042019/victor-hugo-et-les-etats-unis-deurope-i?mode=desktop Victor Hugo et les États-Unis d’Europe I] - Congrès de la Paix de 1849 - I . Discours d’ouverture du Congrès de la paix prononcé par Victor Hugo en 1849. * 1878-2009 - RADEMACHER Ingrid.- [https://www.cairn.info/revue-etudes-germaniques-2009-2-page-309.htm « Johann Caspar Bluntschli (1808-1881) – Conception du droit international et projet de Confédération européenne (1878) », Études Germaniques, 2009/2 (n° 254), p. 309-328. DOI : 10.3917/eger.254.0309. * 1900 - Data.bnf.fr.- [https://data.bnf.fr/en/12425954/congres_des_sciences_politiques/en.pdf Congrès des sciences politiques (1900 ; Paris), .pdf] with Congrès des sciences politiques (1900 ; Paris) as Editor Les États-Unis d'Europe (1901) Les États-Unis d'Europe (1901) Authors related to "Congrès des sciences politiques (1900 ; Paris)" (7 resources in data.bnf.fr) Authors linked as collaborateur (3) Léon Abrami (1879-1939) René Dollot (1875-1962) Gaston Isambert (1867-1941) Congrès ... * 1900 - [https://archive.org/details/sc_0000432785_00000000378256/page/n5/mode/2up Leroy-Beaulieu, Anatole (1842-1912).- Les États-Unis d'Europe] * 1901 - Congrès des sciences politiques (1900 ; Paris), Société des anciens élèves et élèves de l'École libre des sciences politiques.- [https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb33376005x Les États-Unis d'Europe (Texte imprimé, Bnf)] : des tendances nouvelles de la législation fiscale en Europe depuis cinquante ans, du mode d'administration des possessions coloniales... / Congrès des sciences politiques de 1900 ; [publié sous la direction de René Dollot ; avec la collaboration de Adrien Jacques, Henry de Montardy, Léon Abrami et Jules Grenard], Paris : Société française d'imprimerie et de librairie, 1901, 1 vol. (XXV-723 p.), {{BNF|30968260h}}. * 1901 - [https://archive.org/details/sc_0000524962_00000000554343 "Les États-Unis d'Europe" à l'École libre des Sciences politiques ] * Janvier 1901.- Congrés des sciences politiques de 1900 : [https://play.google.com/store/books/details/Congr%C3%A9s_des_sciences_politiques_de_1900_Les_%C3%A9tats_?id=iDjiAAAAMAAJ&gl=US Les États-Unis d'Europe, Janvier, 1901, play.google.com] · Soc. fran. d'imprimerie, * vendredi 6 avril 2007 - [https://www.senat.fr/colloques/europe_parlement_vh/europe_parlement_vh3.html L'Europe au parlement de Victor Hugo à nos jours, 1849-2007] - Palais du Luxembourg Journée d'études organisée au Sénat en partenariat avec le Comité d'Histoire Parlementaire et Politique et la participation des Europartenaires * [http://jmguieu.free.fr/Enseignements/L2_Europe_occidentale/seance06.htm?fbclid=IwAR3l6CitaJ_L6Zi65BjwFJNwh6hAQgYm9xpNhjk2NOND8aaYBJ1eFk_e8J8 Nationalismes, internationalisme et idée européenne (1871-1914)] == États généraux (France) == [[Fichier:Couder Stati generali.jpg|100px|vignette|gauche]] *[[w:États généraux|États généraux]] *[[w:États généraux (France)|États généraux (France)]] [[Fichier:AmisMonarchique.jpg|100px|vignette|gauche|Amis de la Constitution Monarchique, fondée par [[w:Stanislas de Clermont-Tonnerre|Stanislas de Clermont-Tonnerre]] & [[w:Pierre-Victor Malouët|Pierre-Victor Malouët]].]] Les [[w:États généraux (France)|États généraux]], apparus dans le [[w:Royaume de France|Royaume de France]] en [[w:1302|1302]] sous le Roi [[w:Philippe IV le Bel|Philippe IV le Bel]] sont des assemblées de représentants des peuples de France, sans rôle législatif ou juridictionnel, fondées sur le principe fondamental selon lequel ils ne sont pas des peuples tributaires mais libres, et qu'aucune contribution ne peut être exigée d’eux sans leur consentement. Ils réunissent au début le clergé, la noblesse et la bourgeoisie des bonnes villes, qui prendra par la suite le titre de Troisième état puis de [[w:Tiers état|Tiers état]]. Les États généraux de [[w:1789|1789]] sont convoqués pour pour résoudre la question lancinante du [[w:Dette publique|déficit du budget]] du royaume. [https://www.academia.edu/22633858/_Les_Etats_généraux_de_Lyon_en_1312_Philippe_le_Bel_convoque_les_consuls_de_Périgueux_dans_Lyon_entre_Empire_et_royaume_843-1601_._Textes_et_documents_dir._A._Charansonnet_J.-L._Gaulin_P._Mounier_S._Rau_Classiques_Garnier_2015_p._375-379 Julien Théry-Astruc, « Les « États généraux » de Lyon en 1312 : Philippe le Bel convoque les consuls de Périgueux », dans ''Lyon, entre Empire et royaume (843-1601). Textes et documents'', dir. A. Charansonnet, J.-L. Gaulin, P. Mounier, S. Rau, Classiques Garnier, 2015, p. 375-379, disponible en ligne]. * 1789 - {{bibliographie|Q115596587}} <!--Ouverture des États généraux, faite à Versailles le 5 mai 1789 --> * 1789 - [[d:Q24205303|Cahier du tiers-état de la ville de Paris]], {{bibliographie|Q24205303}} ** [[d:Q24205303|Extrait du cahier du tiers-état de la ville de Paris]], signé : [[w:Guy-Jean-Baptiste Target|TARGET]], président librement élu ; [[w:Armand-Gaston Camus|CAMUS]], second président, élu librement ; [[w:Jean Sylvain Bailly|BAILLY]], secrétaire, élu librement ; [[w:Joseph Ignace Guillotin|GUILLOTIN]], second secrétaire, élu librement., page 552.<br />''Nos Représentants appuieront la demande de la Colonie de Saint Domingue d être admise aux Etats Généraux ils demanderont que les Députés des autres colonies soient également admis, comme étant composées de nos frères, et comme étant composées de nos frères, et comme devant participer à tous les avantages de la constitution française.''. ** ''Déclaration des droits''.<br />Dans toute société politique tous les hommes sont égaux en droits.<br />Tout pouvoir émane de la nation, et ne peut être exercé que pour son bonheur.<br />La volonté générale fait la loi; la force publique en assure l'exécution.<br />La nation peut seule concéder le subside; elle a le droit d'en déterminer la quotité, d'en limiter la durée, d'en faire la répartition, d'en assigner l'emploi, d'en demander le compte, d'en exiger la publication.<br />Les lois n'existent que pour garantir à chaque citoyen la propriété de ses biens et la sûreté de sa personne. Toute propriété est inviolable. ** 1868 - Cahiers des états généraux: clergé, noblesse, tiers état : classés ..., Volume 1, Dupont, 1868. [https://books.google.fr/books?id=FNRCAAAAcAAJ&dq=Nos%20Représentants%20appuieront%20la%20demande%20de%20la%20Colonie%20de%20Saint%20Domingue%20d%20être%20admise%20aux%20Etats%20Généraux%20ils%20demanderont%20que%20les%20Députés%20colonies&hl=fr&pg=PA554#v=onepage&q=Nos%20Représentants%20appuieront%20la%20demande%20de%20la%20Colonie%20de%20Saint%20Domingue%20d%20être%20admise%20aux%20Etats%20Généraux%20ils%20demanderont%20que%20les%20Députés%20colonies&f=false page 554]. ** 1984 - [https://books.google.fr/books?id=1SsSaxSr1zkC&lpg=PA173&dq=cahier%20du%20tiers-état%20de%20la%20ville%20de%20Paris&hl=fr&pg=PA173#v=onepage&q=cahier%20du%20tiers-état%20de%20la%20ville%20de%20Paris&f=false cahiers du tiers-état de la ville de Paris], [[d:Q24205492|Le Siècle des lumières : bibliographie chronologique]]. * 1860 - {{Bibliographie|Q28610078}} * {{ouvrage|langue=fr|prénom1=|nom1=Anonyme|lien auteur1=|titre=Instruction sur les Assemblées nationales, tant générales que particulières, depuis le commencement de la monarchie jusqu'à nos jours |sous-titre=avec le détail du cérémonial, observé dans celle d'aujourd'hui|collection=Les archives de la Révolution française|numéro d'édition=|éditeur=Chez Royer|lien éditeur=|lieu=Paris|jour=|mois=|année=1787|volume=|tome=|pages totales=192|passage=|isbn=|lire en ligne=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k46954n|consulté le=}}. * {{Bouillet note|article=États généraux}}. * {{ouvrage|id=Boullée|langue=fr|prénom1=Auguste-Aimé|nom1=Boullée|lien auteur1=|titre=Histoire complète des États-généraux et autres assemblées représentatives de la France, depuis 1302 jusqu'en 1626 |sous-titre=|numéro d'édition=|éditeur=Langlois et Leclercq|lien éditeur=|lieu=Paris|jour=|mois=|année=1845|volume=|tome=|pages totales=717|passage=|isbn=|consulté le=}} : [http://books.google.fr/books?id=BWFCAAAAIAAJ volume 1], [http://books.google.fr/books?id=T98UAAAAQAAJ volume 2]. * {{ouvrage|langue=fr|prénom1=Edme-Jacques-Benoît|nom1=Rathery|lien auteur1=|titre=Histoire des États généraux de France, suivie d'un examen comparatif de ces assemblées et des Parlements d'Angleterre, ainsi que des causes qui les ont empêchées de devenir, comme ceux-ci, une institution régulière |sous-titre=|numéro d'édition=|éditeur=Cosse et N. Delamotte|lien éditeur=|lieu=Paris|jour=|mois=|année=1845|volume=|tome=|pages totales=470|passage=|isbn=|lire en ligne=http://books.google.fr/books?id=e-QrAQAAIAAJ|consulté le=}}. * {{ouvrage|id=Picot|langue=fr|prénom1=Georges|nom1=Picot|titre=Histoire des États généraux |sous-titre=considérés au point de vue de leur influence sur le gouvernement de la France de 1355 à 1614|numéro d'édition=|éditeur=Mégariotis reprints|lieu=Genève|année=1872|tome=|pages totales=2 140|isbn=|consulté le=}} : [http://gallica.bnf.fr/document?O=N007081 tome 1], [http://gallica.bnf.fr/document?O=N007154 tome 2], [http://gallica.bnf.fr/document?O=N007155 tome 3], [http://gallica.bnf.fr/document?O=N007156 tome 4]. * {{ouvrage|langue=fr|prénom1=Antoine-Claire|nom1=Thibaudeau|lien auteur1=|titre=Histoire des États généraux et des institutions représentatives en France, depuis l'origine de la monarchie jusqu'à 1789 |sous-titre=|numéro d'édition=|éditeur=Paulin|lien éditeur=|lieu=Paris|jour=|mois=|année=1843|volume=|tome=|pages totales=1 042|passage=|isbn=|consulté le=}} : [http://books.google.fr/books?id=QLsWAAAAQAAJ volume 1], [http://books.google.fr/books?id=T98UAAAAQAAJ volume 2]. * Soule Claude, ''Les États généraux de France (1302-1789)''. Étude historique, comparative et doctrinale. Préface de P.-C. Timbal. Études présentées à la Commission internationale pour l'histoire des assemblées d’États. == Ethnie == [[Fichier:Ethnic Composition of the Americas.PNG|100px|vignette|gauche|Ethnie, Amérique]] {{Autres projets | w= Ethnie | s= Ethnie | commons = Category:Ethnic groups | wikiquote titre = Ethnie | wikt = Ethnie }} [[w:Ethnie|Ethnie]], signifie, par euphémisme<ref>[http://www.cnrtl.fr/definition/euphémisme Euphémisme] : Figure de pensée par laquelle on adoucit ou atténue une idée dont l’expression directe aurait quelque chose de brutal, de déplaisant.</ref>, [[w:Race|''race'']]. Bien que la notion d’ethnie n’est pas supperposable à celle de race, qui concerne les traits biologiques, génétiques & physiques et non la culture, la langue ou l’organisation socio-politique & économique. Le terme [[w:Ethnie|Ethnie]] est apparu en [[w:1896|1896]] dans la langue française. Il dérive de quatre termes qui, en grec ancien, servaient à désigner les groupes humains et signifiant "''peuple assemblé, foule, peuple du lieu, citoyens, gens de même origine''". == Eugénisme == {{Autres projets | w= Eugénisme | s= Eugénisme | commons = Eugénisme | wikiquote titre = Eugénisme | wikt = Eugénisme }} === Bibliographie (Eugénisme) === * 1983 - {{bibliographie|Q28874612}}<!-- Le premier Congrès international d'eugénique, Londres, 1912 --> * 1985 - {{bibliographie|Q28940076}} * 1993 - {{bibliographie|Q28874485}}<ref>Article scientifique publié dans {{bibliographie|Q28874552}}, 1994<!-- Histoire de la médecine --></ref><!-- Les médecins français et l'eugénisme --> === Expansion européenne (1492-1915) === * {{article | langue = fr | prénom1 = Paul-Henri | nom1 = Michel | lien auteur1 = w:Paul-Henri Michel | prénom2 = Alexandre | nom2 = Koyré | lien auteur2 = w:Alexandre Koyré | prénom3 = | nom3 = | lien auteur3 = | traduction = | titre = Du monde clos à l’univers infini | sous-titre = Compte rendu de lecture de ''Alexandre Koyré.- Du monde clos à l’univers infini'' | périodique = Revue d'histoire des sciences et de leurs applications | lien périodique = | éditeur = | lieu = | série = | volume = 17 | titre volume = | numéro = 1 | titre numéro = | jour = | mois = | année = [[w:1964 en littérature|1964]] | pages = 57-60 | dnb = | issn = | issn2 = | issn3 = | isbn = | oclc = | résumé = | format = | Lire en ligne = www.persee.fr/doc/rhs_0048-7996_1964_num_17_1_2289 | url texte = | doi = | consulté le = | commentaire = | extrait = | id = }} * 1966 - {{article | langue = fr | prénom1 = Pierre | nom1 = Chaunu | lien auteur1 = w:Pierre Chaunu | prénom2 = | nom2 = | lien auteur2 = | prénom3 = | nom3 = | lien auteur3 = | traduction = | titre = Le rythme trentenaire de l’expansion européenne | sous-titre = Compte-rendu de lecture de ''Frédéric Mauro.- L’Expansion européenne, 1600-1870'' | périodique = Annales. Économies, Sociétés, Civilisations, 21ᵉ année | lien périodique = | éditeur = | lieu = | série = | volume = | titre volume = | numéro = 4 | titre numéro = | jour = | mois = | année = [[w:1966 en littérature|1966]] | pages = 886-893 | dnb = | issn = | issn2 = | issn3 = | isbn = | oclc = | résumé = | format = | url texte = | lire en ligne = www.persee.fr/doc/ahess_0395-2649_1966_num_21_4_421431 | doi = 10.3406/ahess.1966.421431 | consulté le = | commentaire = | extrait = | id = }} == F == [[Fichier:Luca Pacioli, De divina proportione, Letter F.jpg|100px|vignette|centré]] == 1757-1834 - Gilbert du Motier de La Fayette == * 2007 - {{Bibliographie|Q86700493}} En 1775, âgé de 18 ans, [[w:Gilbert du Motier de La Fayette|Gilbert du Motier, marquis de La Fayette, dit « La Fayette »]] est reçu dans l'Ordre maçonnique. A la même époque, en Amérique, une insurrection éclate contre les colonisateurs. Se prenant d'amitié pour les rebelles, La Fayette et ses frères s'engagent aux côtés de G. Washington pour faire triompher la cause de l'indépendance américaine et incitent le roi Georges III à signer le traité de février 1778.|[https://www.bibliotheques-clermontmetropole.eu/s/search.php?action=Record&id=clercopat_R971647 Les porteurs de lumière : La Fayette, Art Royal et Indépendance américaine<ref>Les porteurs de lumière : La Fayette, Art Royal et Indépendance américaine]</ref> * 2009 - {{bibliographie|Q86697276}} <!-- La Fayette, entre deux mondes : actes de la journée d'étude du 7 septembre 2007 au Puy-en-Velay --> == Féodalité dans les colonies == [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Le_retour_de_l'esclavage_dans_l'espace_politique_français#Féodalité_dans_les_colonies_:_conquête_&_occupation_de_la_Nouvelle-France|Féodalité dans les colonies : conquête & occupation de la Nouvelle-France]]. == François-Xavier Fabre == [[w:François-Xavier Fabre|François-Xavier Fabre]], peintre, prix de Rome en 1787, comptemporain de Joseph Bologne de Saint-George. Il épousa la contesse d'Albany, épouse en première noces de Stuart Charles Edouard Louis Philippe Casimir fils ainé de [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Joseph,_sujet_du_roy_de_France,_de_la_servitude_à_la_chevalerie#L'exil/asile_de_Jacques_François_Stuart,_prétendant_aux_trônes_d'Angleterre,_d’Écosse_et_d'Irlande|Jacques François Stuart]]. == Guerre de Succession d'Autriche == == Fair-play == * [[w:Fair-play|Fair-play]] Première utilisation : William Shakespeare.- The Life and Death of King John ([[w:Le Roi Jean|''Jean d’Angleterre]], 1199-1216'') [[Fichier:Nast drawing of King John.jpg|100px|vignette|gauche]] [[s:https://en.wikisource.org/wiki/The_Life_and_Death_of_King_John#ACT_V.|Bastard to King John]]. O inglorious league! Shall we, upon the footing of our land, Send '''''fair-play''''' orders, and make compromise, Insinuation, parley, and base truce, To arms invasive? shall a beardless boy, A cocker'd silken wanton, brave our fields, And flesh his spirit in a warlike soil, Mocking the air with colours idly spread, And find no check? Let us, my liege, to arms; Perchance the cardinal cannot make your peace; Or, if he do, let it at least be said They saw we had a purpose of defence. [[s:Page:Shakespeare - Œuvres complètes, traduction Hugo, Pagnerre, 1866, tome 3.djvu/266|Le Bastard au Roi Jean]] Ô inglorieuse ligue ! — Quoi ! quand notre sol est foulé, — nous enverrons de pacifiques mots d’ordre, nous proposerons un compromis, — une explication, des pourparlers, une infâme trêve, — à l’invasion armée ! Un garçon imberbe, — un fat dorloté dans la soie, bravera nos plaines, — il essaiera sa valeur sur un sol belliqueux — en narguant l’air de ses couleurs nonchalamment déployées, — et il ne trouvera pas de résistance ! Ah ! mon prince, aux armes ! — Peut-être le cardinal ne pourra-t-il pas obtenir votre paix ; — même s’il l’obtient, qu’il soit au moins dit — qu’on nous a vus préparés à la défense. == La Ferme générale == * 1680 - {{bibliographie|Q71813408}} <!-- contrôlle des exploits et actes d'affirmations de voyages --> * 1758 - {{bibliographie|Q71803037}} <!--Tarif des droits d'entrée et de sortie, des cinq grosses fermes --> ** 1758 - {{bibliographie|Q71810686}} <!--Tarif des droits d'entrée et de sortie, des cinq grosses fermes --> ** 1758 - {{bibliographie|Q71812194}} <!--Tarif des droits d'entrée et de sortie, des cinq grosses fermes --> * 2013 - Séminaire L'Esprit des Lumières et de la Révolution 2012-2013, {{YouTube|YDXS7uHaXc0|Yannick Bosc.- Florence Gauthier, Les enjeux de la dette de l'Ancien Régime, jeudi 21 mars 2013}}, 9 novembre 2013 == Feux d'artifices sous Louis XVI == * [https://www.retronews.fr/catastrophes/echo-de-presse/2018/11/09/feu-dartifice-au-mariage-de-louis-xvi-132-morts Feu d’artifice au mariage de Louis XVI : 132 morts] == Louis Joseph Francœur == [[w:Louis Joseph Francœur|Louis Joseph Francœur]], (Paris, 8 octobre 1738 - Paris, 10 mars 1804), violoniste, compositeur, administrateur de l’Opéra de Paris est le père de [[w:Louis-Benjamin Francœur|Louis-Benjamin Francœur]] (1773-1849), mathématicien. {{Citation bloc|Afin que l’oreille fût charmée comme l’odorat, la petite tribune de la salle à manger se remplit bientôt de musiciens prêtés au financier par les directeurs de l’Opéra Rebel et Francœur.|Roger de Beauvoir.- Le chevalier de Saint-Georges (roman), page [[s:Page:RogerDeBeauvoir-LeChevalierDeSaint-georgesEdition2V31840.djvu/158|150]]<ref>{{bibliographie|Q23541390}}</ref>×}} === francs-maçonnerie === * [[wikidata:Q22084378|L’espace des francs-maçons : Une sociabilité européenne au {{s|XVIII|e}} (Q22084378)]], [http://www.worldcat.org/title/espace-des-francs-macons-une-sociabilite-europeenne-au-xviiie-siecle/oclc/470237663/editions?referer=di&editionsView=true WorldCat (ouvrage)] ; [https://www.worldcat.org/search?q=L%27espace+des+francs-ma%C3%A7ons+%3A+Une+sociabilité+européenne+au+XVIIIe+siècle&qt=results_page Comptes-rendus de lecture] : [http://books.openedition.org/pur/23622 Lire en ligne]. === Frantz Fanon === [[Fichier:Frantz Fanon hospital in 1933.jpg|100px|vignette|gauche|Frantz Fanon hospital, 1933]] * [[w:Frantz Fanon|Frantz Fanon]], 1925-1961. "''Il existe à l’ONU une commission chargée de lutter contre le racisme. Des films sur le racisme, des poètes sur le racisme, des messages sur le racisme...<br />Les condamnations spectaculaires et inutiles du racisme. La réalité est qu’un pays colonial est un pays raciste. Si en Angleterre, en Belgique ou en France, en dépit des principes démocratiques affirmés par ces nations respectives, il se trouve encore des racistes, ce sont ces racistes qui, contre l’ensemble du pays, ont raison. Il n’est pas possible d’asservir des hommes sans logiquement les inférioriser de part en part. Et le racisme n’est que l’explication émotionnelle, affective, quelquefois intellectuelle de cette infériorisation''". Fondation Frantz Fanon, Sortir du colonialisme.- Frantz Fanon par les textes de l'époque, Introduction par Mireille Fanon-Mendès-France, Préface d’Achille Mbembe, Publication : les Petits matins, Imprimerie : Paris, 2012, 87 pages, {{BNF|42677276q}}, ISBN : 2363830245, 9782363830241. "''La violence se présentera dès lors comme une réaction purement corporelle, physiologique et s’exprimera comme la décharge d’une tension musculaire devenue incontrôlable. Ceci évoque les théorisations de la pulsion de mort en psychanalyse : celle-ci se transforme, à travers la mise en tension de la musculature, en pulsions de destruction ou d’emprise, se détournant de sa dangereuse "loi"» selon laquelle la mort serait le but de la vie. Il en va néanmoins tout autrement ici où la charge d’agressivité ne dérive pas d’une quelconque pulsion autonome mais est le fruit même de la violence coloniale. "''Le corps du colonisé est également rigide. Les muscles sont contracturés. Il n’y a pas de détente. C’est l’homme total, c’est le colonisé qui affronte à la fois un technicien et un colonisateur''". ; "''Dans le monde colonial, l’affectivité du colonisé est maintenue à fleur de peau comme une plaie vive qui fuit l’agent caustique''". Ceci témoigne de la résistance animale du colonisé : celui-ci dit Fanon "''est dominé mais non domestiqué. Il est infériorisé, mais pas convaincu de son infériorité''"; Renault Matthieu.- [https://www.cairn.info/revue-cahiers-sens-public-2009-2-page-133.htm Vie et mort dans la pensée de Frantz Fanon], Cahiers Sens public 2/2009 (n° 10), p. 133-145. * Albert Mangonès, [http://www.esclavage-memoire.com/lieux-de-memoire/statue-du-marron-inconnu-27.html Statue du Marron Inconnu, 1968]. Place du Marron Inconnu, Champ de Mars , HT- 6110 Port-au-Prince. * Frantz Fanon.- [http://www.editionsladecouverte.fr/catalogue/index-__crits_sur_l_ali__nation_et_la_libert__-9782707186386.html Écrits sur l’aliénation et la liberté, Inédits], La Decouverte, Paris, 2015. * Jean Khalfa, franceculture.fr.- [http://www.franceculture.fr/emission-les-nouveaux-chemins-de-la-connaissance-frantz-fanon-contre-l-alienation-psychiatrique-2015 Frantz Fanon contre l’aliénation psychiatrique], 6 novembre 2015 - 10:00. == G == [[Fichier:Luca Pacioli, De divina proportione, Letter G.jpg|100px|vignette|centré]] === Galion de Manille === [[Fichier:Drawing of a ship, c.1447-1449 - BL Cotton MS Titus A XXVI.jpg|100px|vignette|gauche|Drawing of a ship, c.1447-1449]] [[Fichier:Spanish Galleon.jpg|100px|vignette|gauche|Gravure d'un galion espagnol, par [[w:Albrecht Dürer|Albrecht Dürer]], 1471-1528.]] [[Fichier:The Graunde Masterys - Roll of the Galleys of Henry VIII (1546) - BL Add MS 22047.jpg|100px|vignette|gauche|The Graunde Masterys, Galleys of Henry VIII, 1546]] [[Fichier:16th century Portuguese Spanish trade routes.png|100px|vignette|gauche|Routes commerciales, portugaises & espagnoles, XVI{{e}} siècle.]] Le [[w:Galion de Manille|galion de Manille]]. {{Citation bloc|Le galion de Manille est un système économique mis en place dès 1565. Chaque année, un navire part des Philippines chargé de produits asiatiques, en particulier de la soie chinoise brute ou élaborée. Les marchandises sont vendues à Acapulco et le galion revient aux Philippines avec, d'une part, les bénéfices de la vente qui permettent à la communauté espagnole de Manille de survivre et, d'autre part, avec une aide en argent mexicain, le situado, qui finance l'administration civile, religieuse et militaire de la colonie. Ce système connaît une crise profonde à la fin du XVIIIe siècle. Il est finalement supprimé en 1815<ref>Le galion de Manille disparut en 1815, lorsque la guerre d'indépendance du Mexique mit un point final au commerce transitant par le Mexique. [[w:Galion de Manille|fr.Wikipédia]].</ref> et les Philippines sont graduellement ouvertes au commerce international à partir de 1789. Cette libéralisation entraîne une très forte expansion de l'agriculture commerciale de l'archipel.|Huetz De Lemps Xavier.- Les projets de transformation des Philippines en une colonie de peuplement espagnol (1881-1898)<ref>Huetz De Lemps Xavier.- [http://www.persee.fr/doc/remi_0765-0752_1997_num_13_2_1549 Les projets de transformation des Philippines en une colonie de peuplement espagnol (1881-1898)], Revue européenne des migrations internationales, vol. 13, n°2,1997. pp. 47-62, DOI : 10.3406/.<br />''La emigraciôn espanola a Filipinas, Boletin de la Sociedad Geogrâfica, t. XXVII, 1889, p. 200-207, p. 205.<br />Canga-Argùelles, (Felipe).- ''Inmigracion espanola al sur de Filipinas'', Boletin de la Sociedad Geogrâfica, t. XXIV, 1888, p. 201-233, p. 212.<br />Filipinas : problema fundamental por un espanol de larga residencia en aquellas islas. Madrid : imp. de D. Luis Aguado, 1891,60 p., p. 15.</ref>.}} == Gardes nationales == Assemblée nationale, Séance du 20 avril 1791 * [https://archive.org/details/archivesparlemen25pariuoft/page/225/mode/1up?q=L%C3%A9gion Projet de décret sur l'organisation des gardes nationales, présenté au nom du comité de Constitution et du comité militaire, par M. Rabaud Saint-Etienne] == Le gazetier universel == [http://gazetier-universel.gazettes18e.fr/ Ressources numériques sur la presse ancienne] [[w:Mercure historique et politique|Mercure historique et politique]] == Stéphanie-Félicité Du Crest, comtesse de Genlis (1746-1830) == [[Fichier:Madame de Genlis by Lemoine.jpg|100px|vignette|gauche|Madame de Genlis by Lemoine]] * [[w:Félicité de Genlis|Félicité de Genlis]], 1746-1830 * Stéphanie-Félicité Du Crest, comtesse de Genlis (1746-1830) [http://www.bnf.fr/fr/collections_et_services/anx_fds_col/a.fonds_genlis.html BnF, Collections par thèmes, Fonds Madame Genlis] * [[s:Discussion:L’Amant anonyme|Discussion:L’Amant anonyme]], Œuvres de Madame de Genlis, œuvre du Chevalier de Saint-George. ;Bibliographie * 1985-2001 - {{bibliographie|Q28464637}} * [[d:Q110724656|1825]] - ''[[d:Q110724656|{{bibliographie|Q110724656}} sur le dix-huitième siècle et la révolution française, depuis 1756 jusqu'à nos jours]]''. Voir toutes les éditions et tous les volumes par édition <!-- Mémoires inédits de madame la comtesse de Genlis --> * 2019 - {{bibliographie|Q110716251}} <!-- Princes et élèves : les études des princes d’Orléans sous l’autorité de Madame de Genlis (1782-1792) --> == Genève == === Le Monarchomaque === [[w:Monarchomaque|Monarchomaque]] [https://monarchomaque.org/2019/09/02/theologie-politique/ Genève – Prototype de la Réformation planétaire] [https://monarchomaque.org/2019/09/02/theologie-politique/ Bibliographie sélective commentée sur l’histoire de la théologie politique chrétienne], 2 septembre 2019 par Tribonien Bracton == Gens == * Google Books Ngram Viewer : [https://books.google.com/ngrams/graph?content=crime%2Chumanité%2Cgens&year_start=1500&year_end=2008&corpus=19&smoothing=3&share=&direct_url=t1%3B%2Ccrime%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2Chumanité%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2Cgens%3B%2Cc0 crime,humanité,gens] === Gens de couleur libres === [[Fichier:Cyrille Bissette, Revue des colonies, Une juillet 1836.png|100px|vignette|gauche]] * [[d:Q26423155|1823]] - {{Bibliographie|Q26423155}} * [[d:Q26430467|1834-1842]] - {{Bibliographie|Q26430467}} == Edward Gibbon.- Histoire de la décadence et de la chute de l'Empire romain == [[w:Edward Gibbon|Edward Gibbon]].- [[w:Histoire de la décadence et de la chute de l'Empire romain|Histoire de la décadence et de la chute de l'Empire romain]] * Edward Gibbon.- Progrès de la religion chrétienne et décadence de l'Empire romain, [http://agora.qc.ca/Documents/Rome_antique--Progres_de_la_religion_chretienne_et_decadence_de_lempire_romain_par_Edward_Gibbon Dossier: Rome antique, 2012-04-01] * Edward Gibbon, Original, {{S|XVIII}} ** Histoire de la décadence et de la chute de l'Empire romain - Volume IV par Edward Gibbon * Edward Gibbon, Cantwel de Mokarky, {{S|XVIII}} ** {{BNF|33987802k}} ** Edward Gibbon, Cantwel de Mokarky (trad.).- Histoire de la décadence et de la chute de l'Empire romain, 1789, [https://books.google.com/books?id=GJbM4pft5cUC Volume quatrième] ** Edward Gibbon, Cantwel de Mokarky (trad.).- Histoire de la décadence et de la chute de l'Empire romain, 1790, [https://books.google.com/books?id=xeZLBG4Efl0C Volume dixième] * Traduction Guizot, 1812 ** [[s:Histoire de la décadence et de la chute de l’Empire romain|Histoire de la décadence et de la chute de l’Empire romain]] ** Edward Gibbon, François-Pierre-Guillaume Guizot, François Guizot, Claude-François Maradan. Histoire de la décadence et de la chute de l'Empire romain, [https://archive.org/details/histoiredeladca02maragoog chez Maradan], * Edward Gibbon, New-York, 1826 ** Edward Gibbon.- The history of the decline and fall of the Roman empire, J. & J. Harper for Collins & Hanney, [https://books.google.be/books?id=FvQLAAAAYAAJ&hl=fr&pg=PR3#v=onepage&q&f=false New-York, Volume 2, 1826] * Edward Gibbon, Jean Alexandre C. Buchon, 1837- ** 1837 - Edward Gibbon, Jean Alexandre C. Buchon.- Histoire de la décadence et la chute de l'Empire romain, A. Desrez, 1837, [https://archive.org/details/histoiredeladca01buchgoog Tome premier] ** 1838 - Edward Gibbon, Jean Alexandre C. Buchon.- Histoire de la décadence et la chute de l'Empire romain, A. Desrez, 1838, [https://archive.org/details/histoiredeladca00buchgoog Tome deuxième] == Paul et Pierrette Girault de Coursac == [[w:Paul et Pierrette Girault de Coursac|Paul et Pierrette Girault de Coursac]] sont connus pour avoir exploré des documents qui n'ont pas été exploités depuis leur archivage après avoir procédé à l'ouverture de fonds sur la fin de l'Ancien Régime et la Révolution française aux [[w:Archives d'État autrichiennes|archives d'État d'Autriche]] à [[w:Vienne (Autriche)|Vienne]] puis dans celles de Londres et à Paris aux [[w:Archives nationales (France)|archives nationales]]<ref>[https://catalogue.bnf.fr/rechercher.do?motRecherche=Girault+de+Coursac&critereRecherche=0&depart=0&facetteModifiee=ok Cf. bibliographie BnF]</ref> et aux archives du ministère des affaires étrangères. ;Pierrette Girault de Coursac * 1977 - {{Bibliographie|Q79003529}} <!-- 1977 - Pierrette Girault de Coursac, Guerre d'Amérique, guerre de Louis XVI --> == Edouard Glissant, 1928-2011 == * [[w:Edouard Glissant|Matthieu Édouard Glissant]] * 1969 - {{bibliographie|Q109794463}} <!-- Édouard Glissant, L'intention poétique --> * 1981 - {{bibliographie|Q109782619}} <!-- Édouard Glissant, Le discours antillais --> * 2018 - {{bibliographie|Q109788531}} <!-- François Noudelmann, Édouard Glissant : L'identité généreuse --> ** 2018 - {{Lien web |langue= fr|auteur= Frédéric Worms, François Noudelmann|titre= Matières à penser : "''Bonne chance en Relation, Monsieur''", Quest-ce qu'une vie d'écrivain ?|url= https://www.franceculture.fr/emissions/matieres-a-penser-avec-frederic-worms/quest-ce-quune-vie-decrivain|date= 2018|site= franceculture.fr|consulté le= 28 novembre 2021}} * - Édouard Glissant.- Poétique, {{BNF|369631767}} ** I - Soleil de la conscience, (Seuil, 1956 — nouvelle édition, Paris, Gallimard, 1997). ** II - L'intention poétique, (Seuil, 1969), Paris — Gallimard, 1997. ** III - Poétique de la relation (Paris, Gallimard, 1990) == François I{{er}} de Lorraine, duc de Guise (1519-1563) == [[Fichier:Château de Beauregard - Francis, Duke of Guise.jpg|100px|vignette|gauche|Francis, Duke of Guise]] [[w:François de Guise|François de Guise / François I{{er}} de Lorraine]], 2{{e}} '''[[w:Liste des seigneurs de la terre de Guise#Ducs de Guise (1528-1789)|duc de Guise]]''' (<nowiki>{{Date|17|février|1519}}</nowiki>, [[w:Bar-le-Duc|Bar-le-Duc]] - <nowiki>{{Date|24|février|1563}}</nowiki>, [[w:Saint-Hilaire-Saint-Mesmin|Saint-Hilaire-Saint-Mesmin]]), qui, selon certains auteurs, fut surnommé « ''le Balafré'' », est un militaire et homme d’État français du {{S|XVI}}. Il fut l'un des meilleurs chefs d'armée du roi [[w:Henri II de France|Henri II]] et le principal [[w:Ligue catholique (France)|chef catholique]] pendant la première [[w:Guerres de Religion (France)|guerre de Religion]]. Il est comte, puis [[w:Liste des comtes et ducs d'Aumale#Ducs d'Aumale|duc d'Aumale]] et [[w:Pairie de France (Ancien Régime)|pair de France]], [[w:Liste des seigneurs de Mayenne|marquis de Mayenne]], baron, puis [[w:Liste des seigneurs puis princes de Joinville|prince de Joinville]], [[w:grand chambellan de France|grand chambellan]], [[w:Grand veneur de France|grand veneur]], et [[w:Grand maître de France|grand maître]] ([[w:1559|1559]]). Compagnon d'enfance d'Henri d'Orléans (futur Henri II), François de Guise est un chef militaire de renom, à la tête d’un puissant [[w:Parenté|lignage]]. Il gouverne la France sous le règne de [[w:François II de France|François II]] de France (1559-[[w:1560|1560]]) avec son frère [[w:Charles de Lorraine (1524-1574)|Charles de Lorraine]], et s'illustre comme le chef des catholiques durant la première guerre de Religion. Il meurt assassiné pendant le [[w:Siège d'Orléans (1563)|siège d'Orléans]], le {{Date|24|février|1563}}. === L'assassinat du duc de Guise, 23 décembre 1588, Une leçon d'histoire === [[Fichier:Assassinatducdeguise.jpeg|100px|vignette|gauche|[[c:File:Assassinatducdeguise.jpeg|Gravure réalisée par Tortorel et Perrissin, vers 1570. B = Duc de Guise. E = Jean de Poltrot de Méré]]]] [[Fichier:Paul Delaroche - L’assassinat du duc de Guise au château de Blois en 1588 - Google Art Project.jpg|100 px|vignette|gauche|Paul Delaroche.- L’assassinat du duc de Guise au château de Blois en 1588]] [[w:Henri III (roi de France)|Henri III, roi de France]] L'Assassinat du duc de Guise est commandé par Henri III, né le 19 septembre 1551 à Fontainebleau, mort assassiné le 2 août 1589 à Saint-Cloud, roi de Pologne de 1573 à 1575 et roi de France de 1574 à 1589, dernier roi de la dynastie des Valois de France. "Le 22 décembre 1588, sur l'ordre du roi Henri III jaloux de son prestige, le très populaire duc de Guise, chef de la Ligue catholique, généralissime des armées du royaume et Grand maître de la maison du roi est assassiné pendant les Etats généraux à Blois. L'assassinat du Duc de Guise a lieu le 18 février 1563. Il meurt le 24 février suivant. Voir plus, L'assassinat du Duc de Guise - Archive INA === L’Invincible Armada : réorganisation des puissances en Europe === [[Fichier:De Spaanse Armada voor de Engelse kust Rijksmuseum SK-A-1629.jpeg|100px|vignette|gauche|L’Invincible Armada]] L’[[w:Invincible Armada|Invincible Armada]] (en [[espagnol]] ''{{Lang|es|Grande y Felicísima Armada}}'', (''"la grande et très heureuse flotte"'') est, en 1588, le nom de la flotte d'invasion armée espagnole à destination de l'[[w:Angleterre|Angleterre]]. Elle est affrétée par le [[w:Rois catholiques|très-catholique]] [[w:Philippe II d'Espagne|Philippe II d'Espagne]] <nowiki>{{Nobr|Philippe {{Rom-maj|II}}}}</nowiki> d’Espagne]], et est destinée à emporter soldats (dont les fameux ''[[w:Tercio|Tercio]]s'' stationnés en [[w:Comté de Flandre|Flandre]]), munitions et vivres à travers la [[w:Manche (mer)|Manche]]. Sa mission est la conquête de l'Angleterre [[w:protestante|protestante]] d’[[w:Élisabeth Ire (reine d'Angleterre)|Élisabeth I{{ère}}]], menace permanente pour la souveraineté espagnole sur ses territoires des [[w:Pays-Bas espagnols|Pays-Bas]]. Initialement, la mission visait à établir [[w:Marie Ire d'Écosse|Marie Stuart]] sur le trône d'Angleterre et la rétablir sur celui d'[[w:Écosse|Écosse]], mais son exécution le 8 février 1587 modifia les objectifs de la flotte d'invasion. La flotte espagnole est composée de 130 navires, en majorité des galions, transportant {{unité|30000|hommes}}, dont environ {{unité|20000|soldats}}. Dans un premier temps, face à une marine anglaise ingénieuse et déterminée, elle ne parvient pas à engager le combat lors de la [[w:Bataille de Gravelines (1588)|bataille de Gravelines]]. Puis, soumise à des conditions météorologiques très difficiles, l'amiral décide d'abandonner le projet d'invasion. Lors du voyage du retour, en contournant l'Angleterre par le nord, une tempête conduit au naufrage sur les côtes irlandaises ([[w:comté de Sligo|comté de Sligo]] notamment<ref name="History">Christopher Klein, « Spanish Armada Cannons Recovered Off Irish Coast ». 4 août 2015. [http://www.history.com/news/spanish-armada-cannons-recovered-off-irish-coast Consulter en ligne].</ref>) de deux douzaines de bateaux. Les équipages parvenus sur les côtes sont poursuivis et probablement pour beaucoup massacrés. Cette épisode de la [[Guerre anglo-espagnole (1585-1604)|guerre anglo-espagnole de 1585–1604]] entraîne un affaiblissement de l'Angleterre et débouche sur le [[w:Traité de Londres (1604)|traité de Londres de 1604]], favorable aux intérêts de la monarchie espagnole. La campagne navale de l'Invincible Armada est de manière erronée considérée comme une défaite espagnole. De fait, de récentes investigations historiques ont prouvé le contraire : en effet, seuls deux bateaux espagnols furent détruits par les Anglais. L’Invincible Armada fut en réalité découragée et affaiblie (à 17 % détruite) par la force des éléments naturels. La propagande anglaise a longtemps interprété comme une défaite militaire accomplie l'échec du projet d'invasion, de même que la [[w:légende noire espagnole|légende noire espagnole]] instillée dès le début de la [[w:guerre de Quatre-Vingts Ans|guerre de Quatre-Vingts Ans]] par les nombreux adversaires des [[w:Maison de Habsbourg en Espagne|Habsbourgs]]. === Œuvres tirées de l'épisode historique === Muziek instituut MultiMedia.- L'Assassinat du Duc de Guise, youtube.com Georges Hatot (directeur).- Assassinat du duc de Guise (1897), Youtube.com : <nowiki>https://youtu.be/Ww25BVJuYvo</nowiki>. L'assassinat du duc de Guise, la fin du film de 1908<br>Extrait pour montrer la fin qui ne figure dans aucune vidéo du film sur le net.Donc cette version est plus…, youtube.com, <<nowiki>https://youtu.be/j77hAdKoqJo</nowiki>>. Saint-Saëns.- L'Assassinat du Duc de Guise,Orquesta de Camara de Valdivia / Dir. Assaf Leibowitz, youtube.com <<nowiki>https://youtu.be/y14DorPgRzM</nowiki>>. Alexandre Dumas.- Henri III et sa cour. Œuvres d’Alexandre Dumas, Meline, Cans et cie, 1838, vol. 2 (pp. 23-62). <https://fr.wikisource.org/wiki/Henri_III_et_sa_cour>. ''Oui ! cette conjuration me parait plus puissante et plus sûre. — (Regardant un sablier.) Neuf heures bientôt… Qu’il me tarde d’être à minuit pour en faire l’épreuve ! Réussirai-je enfin ? parviendrai-je à évoquer un de ces esprits que l’homme, dit-on, peut contraindre à lui obéir, quoiqu’ils soient…'' == Jean d'Orléans (1874-1940), duc de Guise == === Manifeste du duc de Guise, 1933 === BnF Catalogue général : <http://catalogue.bnf.fr/search.do...>. [http://www.sylmpedia.fr/index.php/Manifeste_du_Duc_de_Guise Manifeste du Duc de Guise, 30 févier 1933] Michel Franceschetti (Lecteur).- Le manifeste du duc de Guise (1933), alors en exil, <<nowiki>https://youtu.be/Vv2BFb8EAro</nowiki>>. Le '4 février 1933', le Manifeste du Duc de Guise pose le dilemme suivant : — ou l'autorité et les libertés de la monarchie ; — ou l'oppression de l'anarchie socialiste. Actes du quatrième Colloque Maurras: Aix-en-Provence, 1974, <https://books.google.com/books?id=T84wAQAAIAAJ>. Le '30 févier 1933', alors que Hitler arrive au pouvoir en Allemagne, le duc de Guise, prétendant au trône, adresse aux Français un texte expliquant ce qu'est la monarchie. Le manifeste du duc de Guise (1933) - vidéo Dailymotion, <http://www.dailymotion.com/video/xx54oa>. [http://www.la-couronne.org/histoire/30-janvier-1933-duc-de-guise-sadresse-aux-francais/ Le manifeste du duc de Guise (1933)] == Ivan Mane Jarnowick == [[w:Ivan Mane Jarnowick|Ivan Mane Jarnović, Giovanni Mane Giornovichi, Jarnowick ou Jarnowitz]], (26 octobre 1747 – 23 novembre 1804). Dit Giovanni Mane Jarnoweck (Giornovichi) dans ''[[d:Q23015805|The Chevalier de Saint-Georges: Virtuoso of the Sword and the Bow]]'' de Gabriel Banat. == François-Joseph Gossec == * [[w:François-Joseph Gossec|François-Joseph Gossec]] * [[w:Concert des amateurs|Le Concert des Amateurs]] ; [http://sites.univ-lyon2.fr/musiquefr-18/salles/paris/salleconcert/concert/amateur.html Le Concert des amateurs] == Guadeloupe == 27 juin ???? - "[http://buag.univ-ag.fr/actualite/pensee-economique-et-sociale-chez-leaders-politiques-negres-guadeloupe-du-debut-du-xxe Pensée économique et sociale chez les leaders politiques Nègres de la Guadeloupe du début du XXe siècle]" Mais, de quel 27 juin s'agit-il ? * Recherche dans le document<br /> Résultats de recherche<br /> [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k49555m/f684.item.r=Assemblée%20coloniale%20de%20la%20Guadeloupe.zoom Assemblée coloniale de la Guadeloupe : 90 premières pages trouvées] == François Pierre Guillaume Guizot == {{Autres projets | w = François Guizot | s = François Guizot | commons = Category:François Guizot | q = François Guizot }} * [[q:Louis-Bernard Robitaille|Louis-Bernard Robitaille]] sur [[q:Louis-Bernard Robitaille#Sur_François_Guizot|François Guizot]] {{Ouvrage | langue = fr | prénom1 = François Pierre Guillaume Guizot | nom1 = Guizot (1787-1874) | prénom2 = | nom2 = | lien auteur1 = w:François Guizot | lien auteur2 = | titre = Histoire générale de la civilisation en Europe | sous-titre = depuis la chute de l’Empire romain jusqu’à la Révolution française | lien titre = w:Histoire générale de la civilisation en Europe/09 | numéro d'édition = | éditeur = Langlet et Cie | collection = | lien éditeur = | lieu = | année = [[w:1838|1838]] | mois = | volume = | tome = | pages totales = 386 | passage = | dnb = 30561736n | isbn = | oclc = | doi = | url = | lire en ligne = s:Histoire générale de la civilisation en Europe/09 | consulté le = | présentation en ligne = https://www.worldcat.org/search?q=Guizot+%2B+%22Histoire+ge%CC%81ne%CC%81rale+de+la+civilisation+en+Europe%22&fq=&dblist=638&qt=sort&se=yr&sd=asc&qt=sort_yr_ascWorldCat.org | commentaire = <poem> François Guizot (1787-1874), ''[[w:Orléanisme|Orléaniste]], professeur à la Sorbonne, député et ministre sous [[w:Louis-Philippe Ier|Louis-Philippe Ier]]''.- Histoire générale de la civilisation en Europe depuis la chute de l’Empire romain jusqu’à la Révolution française précédée d’un discours sur l’histoire de Belgique par le Baron de Reiffenberg lu à l’Académie de Bruxelles le 4 février 1836 : Pichon et Didier, Paris, 1828, [https://archive.org/details/coursdhistoiremo00guizuoft IA], Lacrosse, Libraire-Éditeur, Bruxelles, 1838, 387 pages, [http://classiques.uqac.ca/classiques/guizot_francois/Histoire_civilisation_europe/civilisation.html classiques.uqac.ca], Didier, Paris, 1840, Troisième édition, {{BNF|30561736n}} Didier, Paris, [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k432075c.r=guizot+histoire.langFR 1870], {{Gallica|ark:/12148/bpt6k432075c|t}} </poem> | id = }} {{Citation bloc|Vers la même époque, à peu près au moment où éclataient les croisades, commença à grandir l’institution qui a peut-être le plus contribué à la formation de la société moderne, à cette fusion de tous les éléments sociaux en deux forces, le gouvernement et le peuple ; c’est la royauté<ref>Depuis le 21 septembre 1792, date de la proclamation de l’abolition de la royauté, la [[w:France|France]] a connu cinq [[w:République|républiques]].</ref>.|François Pierre Guillaume Guizot.- Histoire générale de la civilisation en Europe, 1838, Neuvième leçon, page [[s:Page:Guizot - Histoire générale de la civilisation en Europe, 1838.djvu/267|231]]}} == Guerres & Batailles == * [[w:Guerre|Guerre]] <br />Conflit armé entre plusieurs groupes politiques constitués. Cf. guerresinternationales, guerres étrangères<br />Conflit armé entre deux factions de populations opposées à l’intérieur d’un même État. Cf. guerre civile, guerre révolutionnaire, guerre de sécession, par opposition aux .<br />Les guerres et leurs moyens sont soumises à des règles d'honneur anciennes et tacitement admises, les [[w:Droit de la guerre|lois de la guerre (''Droit de la guerre'')]], devenues le fondement du [[w:Droit international public|droit international public]]. * [[w:Bataille|Bataille]] <br />Dans le cadre d’une guerre, on considère généralement que l’un des camps en présence est victorieux lorsque son adversaire s’est rendu, s’est dispersé, a fait retraite ou a été rendu incapable de poursuivre des opérations militaires. Le stratège allemand [[w:Carl von Clausewitz|Carl von Clausewitz]], 1780-1831, a affirmé que "l’utilisation des batailles pour gagner la fin de la guerre" était l’essence de la [[w:stratégie|stratégie]]. {{Citation bloc|Chez les anciens, une guerre heureuse ajoutoit, en esclaves, en tributs, en terres partagées, à la richesse publique et particulière. Chez les modernes, une guerre heureuse coûte infailliblement plus qu’elle ne rapporte.|Benjamin Constant.- [[d:Q19152129|De l’esprit de conquête et de l’usurpation dans leur rapports avec la civilisation européenne]], [[s:De l’esprit de conquête et de l’usurpation dans leur rapports avec la civilisation européenne/2|2, Wikisource]]<ref>{{bibliographie|Q19152129}}</ref>.}} * {{article | langue = fr | prénom1 = Marylène | nom1 = Patou-Mathis | lien auteur1 = w:Marylène Patou-Mathis | prénom2 = | nom2 = | lien auteur2 = | prénom3 = | nom3 = | lien auteur3 = | traduction = | titre = Déconstruire le mythe d’une préhistoire sauvage et belliqueuse | sous-titre = Non, les hommes n’ont pas toujours fait la guerre | périodique = monde-diplomatique.fr | lien périodique = | éditeur = | lieu = | série = | volume = | titre volume = | numéro = | titre numéro = | jour = | mois = Juillet | année = [[w:2015|2015]] | pages = 20 et 21 | dnb = | issn = | issn2 = | issn3 = | isbn = | oclc = | résumé = La violence humaine est-elle innée ou induite par le contexte ? | format = | url texte = http://www.monde-diplomatique.fr/2015/07/PATOU_MATHIS/53204 | doi = | consulté le = 18 novembre 2015 | commentaire = | extrait = ''L’image de l’homme préhistorique violent et guerrier résulte d’une construction savante élaborée par les anthropologues évolutionnistes et les préhistoriens du {{s|XIX|e}} et du début du {{s|XX|e}}. (...) Puis la théorie dite "des migrations", apparue dans les années 1880, a soutenu que la succession des cultures préhistoriques résultait du remplacement de populations installées sur un territoire par d’autres ; elle a enraciné la conviction que la guerre de conquête avait toujours existé. (...) L’Homo sapiens, animal brutal car prédateur, se serait répandu hors d’Afrique à travers l’Eurasie en éliminant les autres grands singes bipèdes. Cette hypothèse, avancée en 1925 par le préhistorien Raymond Dart, fut popularisée en 1961 par Robert Ardrey dans Les Enfants de Caïn (Stock). (...) Cette "sauvagerie intérieure" ne serait-elle pas en réalité, comme le suggère l’épistémologue et anthropologue Raymond Corbey, une "construction mentale imaginaire influencée par les idéologies du {{s|XIX|e}} comme le racisme ou l’eugénisme" ?''. | id = }} * Geoffrey Parker.- The Military Revolution: Military Innovation and the Rise of the West, 1500-1800. Cf Annexe bibliographie == Guyane == === Voyage dans la Guyane française === [[Fichier:Le tour du monde ː nouveau journal des voyages, Volume XIII, page de titre.png|100px|vignette|gauche]] {{Citation bloc|Et d’abord, cette évidence : le voyage, alors, s’achevait dans le journal. La presse du {{S|XIX}} était en cela l’héritière de celle du {{S|XVIII}} qui définissait le journal, avec L’Encyclopédie, comme un « ouvrage périodique, qui contient les extraits des livres nouvellement imprimés, avec un détail des découvertes que l’on fait tous les jours dans les Arts & dans les Sciences<ref>L’Encyclopédie signalait par ailleurs qu’« on donne aujourd’hui le nom de journal à des ouvrages qui contiennent le détail de ce qui se passe journellement en Europe », tout en renvoyant, pour cette définition particulière de l’imprimé périodique, à l’article « gazette » également dû à Voltaire. Bellin, Briasson, David l’aîné, Le Breton, Durand.-[[s:L’Encyclopédie/1re édition/JOURNAL|article "''Journal''"]] de [http://artflsrv02.uchicago.edu/cgi-bin/philologic/getobject.pl?c.7:2779.encyclopedie0416.8884410 L’Encyclopédie], 1re édition, 1766 (Tome 8, pp. 896-897).</ref>,|Venayre Sylvain.- "''Le voyage, le journal et les journalistes au {{S|XIX}}''"<ref>Venayre Sylvain.- "[http://www.cairn.info/revue-le-temps-des-medias-2007-1-page-46.htm Le voyage, le journal et les journalistes au {{S|XIX}}]", Le Temps des médias, 1/2007 (n° 8), p. 46-56, DOI : 10.3917/tdm.008.0046.</ref>.}} 1866 - {{Bibliographie|Q29045086}} <!-- Le Tour Du Monde : Nouveau Journal Des Voyages, Volume XIII, 1866 --> 1866 - {{Bibliographie|Q29045060}} <!-- Le Tour Du Monde : Nouveau Journal Des Voyages, Volume XIII, 1866 --> 1860 - {{Bibliographie|Q3227726}} <!-- Le Tour Du Monde : Nouveau Journal Des Voyages --> == Saint-George, épisodes militaires == === Formation militaire === * [[École de Mars]] * {{Ouvrage | langue = fr | prénom1 = Arthur | nom1 = Chuquet | prénom2 = Arthur Maxime | nom2 = Chuquet | lien auteur1 = w:Arthur Chuquet | lien auteur2 = w:Arthur Maxime Chuquet | titre = L'École de Mars | sous-titre = | lien titre = w:L'École de Mars | numéro d'édition = | éditeur = E. Plon, Nourrit | collection = | lien éditeur = w:Plon | lieu = Paris | année = [[w:1899 en littérature|1899]] | mois = | volume = | tome = | pages totales = | passage = | dnb = | isbn = | oclc = | doi = | url = | lire en ligne = https://archive.org/details/lcoledemars00chuqgoog | consulté le = | présentation en ligne = | commentaire = | id = }} == Avril 1790, Saint-George à Lille == Avril 1790, Saint-George à Lille == Avril 1790, Saint-George à Lille == Avril 1790, Saint-George à Lille La garnison de Lille est composée de quatre régiments * la Couronne * Royal-des-Vaisseaux * Colonel-Général * les chasseurs de Normandie === Régiment La Couronne === {{Citation bloc|Est-il vrai que sous la Monarchie les nobles seuls pussent parvenir aux grades ? Le plus modeste érudit n'entend pas cette interrogation sans éprouver pour l'interrogateur un sentiment d'indulgente commisération. Et quand il en eût été ainsi les rangs de la noblesse n'étaient-ils pas ouverts au mérite ? Elle ne constituait pas une caste, la caste étant exclusive fermée, mais une classe de familles illustres dans laquelle chacun pouvait aspirer à se faire admettre ou à faire admettre ses enfants d'où l'adage ancien "''Le Tiers Estat est séminaire de Noblesse''"|Oscar de Poli.- Le régiment de la couronne 1643-1791, 1891<ref>[https://www.google.fr/books/edition/Le_r%C3%A9giment_de_la_couronne/O4OkV736A9sC?hl=fr&gbpv=1 page XVIII & ss.]</ref>,}} {{Citation bloc| On a vu à la notice de Royal Vaisseaux les querelles qui divisèrent la garnison de Lille pendant la Ière quinzaine d'avril 1790. La Couronne dut quitter Lille et se rendit à Béthune où il se trouvait encore quand la guerre éclata en 1792 Le régiment fut alors envoyé au camp de Maubeuge quand les Prussiens envahirent la Champagne le jer bataillon fut dirigé sur l armée des Ardennes et le 2e fut jeté dans Lille Après Valmy le 1er bataillon vint à l armée du Nord il fit le siège de Namur Il passa en 1793 à l armée du Rhin et il servit sur cette frontière jusqu'à son incorporation dans la 89e demi-brigade qui eut lieu le 3 décembre 1794<ref>Général SUSANE.- Hist de l'Infanterie française 1ère édition, 1851, t. V, p. 184-212 2e édition, 1876, t. IV p. 85-101</ref>|Oscar de Poli.- Le régiment de la couronne 1643-1791, 1891<ref>[https://www.google.fr/books/edition/Le_r%C3%A9giment_de_la_couronne/O4OkV736A9sC?hl=fr&gbpv=1 page 268 & ss]</ref>,.<br />Saint Georges (de) en 1789, p. 300}} === Régiment Royal-des-Vaisseaux === {{Citation bloc|Au mois de décembre 1789 le régiment est envoyé à Lille ou bientôt les ferments de désordre se propagent dans la garnison Au mois d'avril 1790 ils se traduisent par de véritables combats entre l'infanterie et la cavalerie la voix des chefs est impuissante à rétablir le calme et la discipline. Le ministre de la guerre sépare les combattants en envoyant Royal Vaisseaux à Mézières et deux mois après à Strasbourg|<ref>Philippe François Joseph Poli.- Un régiment d'autrefois: Royal-Vaisseaux (1638-1792), 1885, [https://www.google.fr/books/edition/Un_r%C3%A9giment_d_autrefois_Royal_Vaisseaux/WkwsAAAAYAAJ?hl=fr&gbpv=1&dq=R%C3%A9giment+Royal-des-Vaisseaux&printsec=frontcover pages 145 & ss.]</ref>}} == Bataille de Valmy, 20 septembre 1792 == La [[w:Bataille de Valmy|bataille de Valmy]] ou [[w:Bataille_de_Valmy#Camp_de_la_Lune|affaire du camp de la Lune]] est la première victoire de l’armée française pendant les [[w:Guerres de la Révolution française|guerres de la Révolution française]]. === Siège de Lille (1792) === * [[w:Siège de Lille (1792)|Siège de Lille]], 29 septembre au 8 octobre 1792. === Bataille de Jemappes, 6 novembre 1792 === * [[w:Bataille de Jemappes|Bataille de Jemappes]] * {{Ouvrage | langue = fr | prénom1 = Henri | nom1 = Pirenne, 1862-1935 | prénom2 = | nom2 = | lien auteur1 = w:Henri Pirenne | lien auteur2 = | titre = Histoire de Belgique | sous-titre = Chapitre premier - Jemappes | lien titre = s:Histoire de Belgique/Tome 6/Livre 1/Chapitre 1 | numéro d'édition = | éditeur = Maurice Lamertin | collection = | lien éditeur = | lieu = | année = [[w:1926 en littérature|1926]] | mois = | volume = | tome = | pages totales = 477 | passage = [https://www.worldcat.org/title/histoire-de-belgique/oclc/8721155/editions?start_edition=1&sd=asc&referer=di&se=yr&qt=sort_yr_asc&editionsView=true&fq= Publication de 1900 à 1990]. Tome 6 : La conquête française - Le Consulat et l’Empire - Le Royaume des Pays-Bas - La Révolution belge | dnb = 41674148b | isbn = | oclc = 8721155 | doi = | url = https://archive.org/details/histoiredebelgiq06pireuoft | lire en ligne = | consulté le = 15 novembre 2015 | présentation en ligne = | commentaire = | id = }} == H == [[Fichier:Luca Pacioli, De divina proportione, Letter H.jpg|100px|vignette|centré]] == Saint-Domingue / Haïti == {{Citation bloc|Séance de décadi 30 Fructidor a Une députation des Colons de Saint Domingue vient de nouveau demander à la Convention d être entendue contradictoirement avec Santonax et Polverel les pétitionnaires s engagent à prouver que ce sont eux qui ont livré aux Anglais SaintDomingue et les autres colonies Ils demandent l établissement d une commission de douze membres la liberté des Colons détenus et la levée des scellés mis sur leurs papiers Dufai député de Saint Domingue s oppose avec chaleur à Ia mise en liberté Pelet croit au contraire qu iI est de la justice d entendre tous les partis et d accorder aux Colons la même faveur dont jouissent Polverel et Santonax Breard annonce qu une commission prise dans les trois comités est déjà chargée de l examen de cette affaire que les comités se sont occupés de la mise en liberté d une partie des Colons et que le rapport doit en être fait incessamment Ces expli cations déterminent I ordre du jour|Mercure de France, 1794, 9, [2], 1794, ''députation des Colons de Saint Domingue''<ref>[https://books.google.fr/books/content?id=A3tBAAAAcAAJ&hl=fr&pg=PA150&img=1&zoom=3&sig=ACfU3U2Meq6p2_nEyyTbru7ZMjCqfphNTA&ci=127%2C879%2C816%2C488&edge=0 députation des Colons de Saint Domingue]</ref>}} === Jean-Pierre Boyer (Haïti) === [[Fichier:President Jean-Pierre Boyer of Haiti (Hispaniola Unification Regime) Portrait.jpg|100 px|vignette|gauche|President Jean-Pierre Boyer of Haiti]] [[w:Jean-Pierre Boyer (homme politique)|Jean-Pierre Boyer]] == Hand on Breast == <gallery> File:El Greco - The Knight with His Hand on His Breast.jpg|El Greco.- The Knight with His Hand on His Breast, c.1578-80. File:Monsieur de St-George.jpg|Ward & Brown (After).- Joseph Bologne de Saint-George (1745-1799), London, 1788. File:Amedeo Modigliani 047.jpg|[[w:Amedeo Modigliani|Amedeo Modigliani]], (1884 - 1920).- Paul Alexandre devant un vitrage (1913), [http://mbarouen.fr/fr/oeuvres/paul-alexandre-devant-un-vitrage Musée des Beaux-Arts]. </gallery> == Historiens & Histoire coloniale de la France == Classement par siècles, espaces géographiques des domaines coloniaux français, écoles historiques === La colonisation française à travers les siècles, depuis l'an mil === === Les domaines coloniaux français === ==== Bibliographie ==== '''1990''' - Ageron Charles-Robert. [https://www.persee.fr/doc/outre_0300-9513_1990_num_77_286_2759 Les colonies devant l'opinion publique française (1919-1939)]. In: Revue française d'histoire d'outre-mer, tome 77, n°286, 1er trimestre 1990. pp. 31-73., DOI : https://doi.org/10.3406/outre.1990.2759 '''2017''' - Pascal Clerc, [https://journals.openedition.org/terrabrasilis/2043 "La « géographie coloniale » en France »]", Terra Brasilis (Nova Série), 8 | 2017, mis en ligne le 27 juin 2017, consulté le 14 juillet 2018 ; DOI : 10.4000/terrabrasilis.2043. === Écoles historiques === ==== Histoire parfaite ==== * {{S|XVII}} : [http://www.college-de-france.fr/site/sanjay-subrahmanyam/course-2013-12-02-10h00.htm Cf. Sanjay Subrahmanyam].- Penser le monde au XVIIᵉ siècle : une histoire imparfaite, 02 décembre 2013 10:00 Cours Amphithéâtre Guillaume Budé - Marcelin Berthelot.<br />[[w:Ibn al-Athîr|Abu al-Hasan Ali (izz al-Din ibn al-Athir)]] historien arabe1 sunnite (né en 1160 à Cizre, mort en 1233 à Mossoul). Son œuvre principale est Al-Kamil fi al-Tarikh (La Perfection des histoires, ca. 1231), considérée comme l’un des plus importants livres d'histoire du monde musulman.<br />[[w:Roland Mousnier|Roland Émile Mousnier]] (7 septembre 1907 à Paris - 9 février 1993 à Draveil, Essonne) est un historien français, spécialiste du {{s|XVII|e}} en France et des études comparatives entre les civilisations (''Cf. Crises & Révolutions au {{S|XVII}}''). == Paul Henri Thiry d'Holbach == * [[w:Paul Henri Thiry d'Holbach|Paul Henri Thiry d'Holbach]] == Humain == === Unité de l'espèce humaine (Bibliographie) === * Recherche sur [https://www.wikidata.org/w/index.php?search=Unit%C3%A9%20de%20l%27esp%C3%A8ce%20humaine%20&title=Special%3ASearch&fulltext=1&ns0=1&ns120=1 Wikidata]. ;Dominique Alexandre Godron * 1859 - {{bibliographie|Q51462394}}, Paris :J.B. Baillière et Fils, 1859. <-- Dominique Alexandre Godron, De l'espèce et des races dans les êtres organisés et spécialement de l'unité de l'espèce humaine --> ;Jean Louis Armand de Quatrefages de Bréau * Œuvres sur Wikisource : [[s:Jean Louis Armand de Quatrefages de Bréau|Jean Louis Armand de Quatrefages de Bréau]] * 1861 - {{bibliographie|Q77421315}} <!-- 1861 - Jean Louis Armand de Quatrefages de Bréau, Unité de l'espèce humaine --> * 1861 - {{bibliographie|Q77419837}} <!-- 1861 - Jean Louis Armand de Quatrefages de Bréau, Unité de l'espèce humaine, publié dans la Revue des deux Mondes --> ;Revue des Deux Mondes * 1860 - {{bibliographie|Q17358608}} I - [[d:Q17358608|Empires et règnes de la nature.— Règne humain]], article de la Revue des Deux mondes * 1860 - {{bibliographie|Q64624704}}[[d:Q64624704|Histoire naturelle de l’Homme]]. Unité de l’espèce humaine, série d'articles de la Revue des Deux mondes * 1861 - {{bibliographie|Q29390563}} II. [[d:Q29390563|L’Espèce, la Variété, la Race]] : Histoire naturelle de L’Homme. — Unité de l’espèce humaine. II, article de la Revue des Deux Mondes * 1861 - {{bibliographie|Q77419837}} <!-- 1861 - Jean Louis Armand de Quatrefages de Bréau, Unité de l'espèce humaine, publié dans la Revue des deux Mondes --> * 1868 - {{bibliographie|Q57342380}} L’Unité morale de l’espèce humaine (), article publié dans la Revue des deux Mondes === Homme & Femme === === L'Homme versus l'Humain universel === Titre(s) : Observations critiques, sur le VIIIe article du "Journal des savants". L'homme universel. etc. [Texte imprimé] Publication : Paris : G. Cavelier fils ; Vve Mongé, 1724 Description matérielle : In-12. Pièce Notice n° : FRBNF33514075 {{BNF|33514075q}} == Humanités numériques == Consulter : ''[[Utilisateur:Ambre_Troizat#S|Sciences Humaines & Sociales]]'' ''[[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Méthodologie#Les_Humanités_numériques|Les Humanités numériques]]" == I == [[Fichier:Luca Pacioli, De divina proportione, Letter I.jpg|100px|vignette|centré]] == Identité / identité nationale == * 2007 - {{Bibliographie|Q84761474}} <!-- Gérard Noiriel et Gérard Mauger, « L'identité nationale » en France --> === Indifférence à la couleur === {{Citation bloc|...En tout cas, cette "indifférence à la couleur" est une des spécificités de cet Édit de 1685, liée à l’absence des termes "racistes" blanc versus noir. [...]. La question est alors celle de l’apparition du "racisme" et de sa spécificité historique sur le continent Amérique ... premier terrain de conquête coloniale des puissances européennes depuis 1492.|Florence Gauthier|[http://www.lecanardrépublicain.net/spip.php?article717#nb2-6 Compte-rendu de lecture] : Jean-François Niort, Le Code noir. Idées reçues sur un texte symbolique, Paris, Le Cavalier Bleu, 2015.}} === L’image du Noir dans l’art occidental === * [https://tshaonline.org/handbook/online/articles/vrm04 The Menil Foundation, Incorporated] * Harvard University Press.- [http://www.hup.harvard.edu/catalog.php?isbn=9780674052710 The Image of the Black in Western Art] Les archive de la [[w:en:Warburg Institute#Building|Warburg Institute]] conserve la collection des photographies du projet de recherche "L’image du Noir dans l’art occidental<ref>Image of the Black in Western Art</ref>. == Impôt == [[Fichier:Les Visite du Jour de l'Ans au Roi Avec le Quart de Leur Revenue, 1790.png|100px|vignette|gauche|Les Visite du Jour de l'Ans au Roi Avec le Quart de Leur Revenue, 1790]] * {{article | langue = fr | prénom1 = Jean-Édouard | nom1 = Colliard | lien auteur1 = w:Jean-Édouard Colliard | prénom2 = Claire | nom2 = Montialoux | lien auteur2 = w:Claire Montialoux | prénom3 = | nom3 = | lien auteur3 = | traduction = | titre = Une brève histoire de l’impôt | sous-titre = | périodique = Regards croisés sur l'économie | lien périodique = | éditeur = | lieu = | série = | volume = 1/ (n° 1) | titre volume = | numéro = | titre numéro = | jour = | mois = | année = [[w:2007|2007]] | pages = 56-65 | dnb = | issn = | issn2 = | issn3 = | isbn = | oclc = | résumé = | format = | url texte = http://www.cairn.info/revue-regards-croises-sur-l-economie-2007-1-page-56.htm | doi = 10.3917/rce.001.0056. | consulté le = | commentaire = | extrait = | id = }} === Ingénu === {{Citation bloc|Le terme ingénu vient du droit romain qui sépare les personnes nées libres de celles qui, nées libres, sont devenues esclaves, comme capture de guerre pour prendre l’exemple le plus courant. Ainsi, les personnes nées libres sont dites ingénues à la différence des descendants d’esclaves qui ont perdu leur ingénuité et sont dits nés esclaves.|Florence Gauthier|[http://www.lecanardrépublicain.net/spip.php?article717#nb2-6 Compte-rendu de lecture] : Jean-François Niort, Le Code noir. Idées reçues sur un texte symbolique, Paris, Le Cavalier Bleu, 2015.}} === Iran === ==== Esclavage en Iran ==== * The face of African slavery in Qajar Iran – in pictures, [http://www.theguardian.com/world/iran-blog/2016/jan/14/african-slavery-in-qajar-iran-in-photos#img-3 theguardian.com], Thursday 14 January 2016. === Ile de la Réunion, lettre de Monge === [[Fichier:Gaspard Monge & Génissieu - Décret de la Convention changeant le nom de l'Ile Bourbon en celui de l'Ile de la Réunion, 19 mars 1793.png|100 px|vignette|gauche|{{bibliographie|Q72077939}}.]] Les conventionnels décrétent que le nom de ''Bourbon'' serait remplacé par ''Réunion''. Le décret ne sera appliqué qu'à partir de 1794, à la suite du coup de main des patriotes de l'Île-de-France (Ile Maurice. <poem> {{Citation bloc|31° Lettre de Monge, ministre de la marine, qui propose de changer le nom de l'île de Bourbon en celui de l'île de la Réunion ; cette lettre est ainsi conçue (1) : « Paris, 18 mars 1793, l'an II de la République française. « Citoyen Président, « La Convention nationale, après avoir brisé le sceptre, a fait disparaître tous les emblèmes de la royauté; rien n'annonce plus notre antique esclavage et les images de la liberté remplacent les monuments de la tyrannie. Une section de la République, l'île Bourbon, por-tera-t-elle encore le nom d'une famille de despotes? Peut-on faire une telle injure aux républicains qui l'habitent? La Convention nationale jugera sans doute qu'il faut les associer à nos succès en donnant à la terre qu'ils cultivent un nom propre à rappeler nos victoires et notre Révolution, en substituant la dénomination de l'Ile de la Réunion à celle de l'île de Bourbon. « Je vous prie, citoyen président, de mettre cette lettre sous les yeux de la Convention et de me faire connaître ses ordres. « Le ministre de la marine et des colonies, « Signé: Monge. » Génissieu convertit en motion la proposition du ministre. (La Convention adopte la motion de Génissieu.)|Archives parlementaires, Tome 60 : Du 9 au 30 mars 1793 » Séance du mardi 19 mars 1793 » page 309<ref>[https://frda.stanford.edu/fr/catalog/sh669sk9602_00_0313 Archives parlementaires, Tome 60 : Du 9 au 30 mars 1793 » Séance du mardi 19 mars 1793 » page 309]</ref>}} </poem> == J == [[Fichier:Aufseeser lettrine J.png|100px|vignette|centré]] == Michel Jean-Louis, escrimeur, maitre d'armes == * 1866 - {{bibliographie|Q110967498}} <!-- Notice biographique sur Jean-Louis et son école --> Michel Jean-Louis, né en 1785, a-t-il rencontré Saint-George ? == 1958-2009 - Michaël Jackson == * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Conclusion avec Michaël Jackson|Conclusion avec Michaël Jackson]] * [[Utilisateur:Ambre Troizat/1958-2009 - Michaël Jackson, un écosystème dans l’industrie des Arts|1958-2009 - Michaël Jackson, un écosystème dans l’industrie des Arts]] == Jean Jaurès == * [[s:Histoire socialiste/La Législative/Le mouvement économique et social en 1792|Histoire socialiste/La Législative/Le mouvement économique et social en 1792]]. Economie coloniale, Révolution de Saint-Domingue. == Étienne de Joly, ministre de Louis XVI, & les gens de couleur == [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Réflexions_à_propos_des_traites_&_esclavages#1738-1754-1756_†_1794-1793-1837_-_Jacques_François_Dugommier,_Louis_XVI,_Étienne_de_Joly|Étienne de Joly, ministre de Louis XVI, & les gens de couleur]] [https://archive.org/search.php?query=La%20France%20sous%20Louis%20XV%3A%20%281715-1774%29 La France sous Louis XV: (1715-1774 La France sous Louis XV : (1715-1774) (Q76367489) Louis de Bouillé.- [https://books.google.fr/books?id=W2lfAAAAcAAJ Mémoires sur l'affaire de Varennes] comprenant le mémoire inédit de M. le Marquis de Bouillé (Comte Louis) ; deux relations également inédites de MM. les comtes de Raigecourt et de Damas, celle de M. le capitaine Deslon, et le précis historique de M. le comte de Valory, Baudouin frères, 1823 - 324 pages == Journal officiel == * 2016 - Catherine Blum.- [http://gallica.bnf.fr/blog/19012016/le-journal-officiel-dans-gallica-1869-1946 Le Journal officiel dans Gallica (1869-1946)] : L'édition "Lois et décrets" (1869-1946) du Journal officiel est disponible dans Gallica. Héritière du Moniteur Universel (1789-1868) et du Bulletin des lois (1789-1931), elle contient les lois, décrets, arrêtés et informations parlementaires, 19 janvier 2016 dans Collections, Gallica. == Jullien (violoniste) == {{Citation bloc|1781 - C'est le titre d'une contredanse publiée par Julien vers 1781 et dont la figure complète est ainsi composée : 1. ... 271) dit de lui : « ...le mulâtre Julien, chef d'orchestre des bals,... jouait la contredanse si merveilleusement qu'on lui demandait|Daniel Vidal.- Changements industriels et productivité: Crise et décentralisation à Reims, 1967, [https://books.google.fr/books?id=WC1bmwKf5uoC Page 163]}} {{Citation bloc|1837 - Jullien, qui fut le Musard de la fin du {{S|XVIII}}, conduisait un orchestre de bal d'une manière fort distinguée ; il partageait la vogue avec un mulâtre nommé Hullin.|Georges Touchard-Lafosse - 1837<ref>{{bibliographie|Q28239200}}, [https://books.google.fr/books?id=5i1IAQAAMAAJ&hl=fr&pg=PA309#v=onepage&q=Hullin&f=false page 309]</ref>}} {{Citation bloc|1895 - Le mulâtre Julien, chef d'orchestre de bals et conduisant la musique aux réunions de Berthier|Mémoires du général bon Thiébault, 1895<ref>[https://books.google.fr/books?id=PfdKAQAAMAA Mémoires du général bon Thiébault]</ref>.}} === Mémoires du général bon Thiébault sur Internet Archive === ==== L'auteur ==== {{Citation bloc|C'est au sein de cette famille patriarcale que je suis né à. Berlin, le 14 décembre 1769, et que j'ai passé mon enfance et ma jeunesse (...) Dieudonné, Adrien, Paul, François, Charles et Henry (1) Celui de tous ces prénoms que garda le jeune Thiébault est Paul, qu'il devait à Paul-Jérémie Bilaubé, son troisième parrain. C'est sous ce prénom que nous aurons par la suite l'occasion de le distinguer de son père, Dieudonné Thiébault. (En.)|Mémoires du général bon Thiébault, vol. 1, 1769-1795, 1893<ref>[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56236994/f17.item Mémoires du général bon Thiébault, vol. 1, 1769-1795, 1893, sur Gallica]</ref>}} {{Citation bloc|Inculpé de complicité de trahison après celle de [[w:Charles François Dumouriez|Dumouriez]], il est arrêté le 9 avril 1793, emprisonné le 20 avril. Il réussit à se faire innocenter. Remis en liberté le 27 mai, il s’engage à nouveau, d’abord dans l’armée du Rhin, puis dans l’armée du Nord jusqu’en 1794.|[[w:Paul_Thiébault#Carrière_militaire|Fr.Wikipedia]].}} === Mémoires du général bon Thiébault, vol. 1, 1769-1795 === 1. 1893 - {{bibliographie|Q113509770}}.- [https://archive.org/details/mmoires01thieuoft Mémoires du général bon Thiébault, vol. 1, 1769-1795] ; [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56236994/f2.item.r=%22Saint%20georges%22 Saint-george''s''], sur Gallica. * Version de référence, pour le volume I, sur Internet Archive : [https://archive.org/details/mmoires01thieuoft 1894 - Mémoires by Thiebault, Paul Charles François Adrien Dieudonne, Baron, 1769-1846 ; Calmettes, Fernand 1894] === Annotations === * Cette première partie des Mémoires fut écrite en 1822. * A retrouver à propos de Fontenoy. Fontenoi Versus Fontenoy - La bataille de Fontenoy (près de Tournai) est un affrontement de la guerre de Succession d'Autriche qui se déroula le 11 mai 1745 près de Fontenoy dans les Pays-Bas autrichiens (Belgique actuelle) et se solda par une victoire française5. Elle est une conséquence du siège de la ville de Tournai (avril-juin 1745) et opposa les troupes du roi Louis XV (1710-1774) à une armée coalisée, formée des Provinces-Unies, de la Grande-Bretagne, du Hanovre6 et de l'Autriche7, commandée par William Augustus, duc de Cumberland (1721-1765). <https://fr.wikipedia.org/wiki/Bataille_de_Fontenoy> Voir File:Plan de la bataille de Fontenoy remportée le 11 mai 1745. ==== Chez La Boëssière, page 191 ==== * 1786 - {{bibliographie|Q113516587}}<!-- La Boëssière - La mort généreuse du prince Léopold de Brunsvick, 1786 --> === Volumes suivants === 2. [https://archive.org/details/mmoires02thieuoft Mémoires du général bon Thiébault, vol. 2, 1795-1799] 3. [https://archive.org/details/mmoires03thieuoft Mémoires du général bon Thiébault, vol. 3, 1799-1806] 4. [https://archive.org/details/mmoires04thieuoft Mémoires du général bon Thiébault, vol. 4, 1806-1813] 5. [https://archive.org/details/mmoires05thieuoft Mémoires du général bon Thiébault, vol. 5, 1813-1820] == Jacques Ier Stuart (James I) == [[Fichier:Coats of arms James I of England.JPG|100px|vignette|gauche|Coats of arms James I of England]] * [[w:Jacques Ier d'Écosse|Jacques Ier Stuart]] (James I en anglais, Seumas Ier en gaélique écossais) (1394-1437), roi des Écossais de 1406 à 1437. Ci-contre : Arms of James I, {{Référence nécessaire|King of Britain, France and Ireland}} in the royal apartments at Edinburgh Castle == K == [[Fichier:Luca Pacioli, De divina proportione, Letter K.jpg|100px|vignette|centré]] === Louise de Kérouaille, Duchess of Portsmouth === Louise de Kérouaille, Duchess of Portsmout, 6 September 1649 – 14 November 1734 [[Fichier:Louise de Kéroualle by Pierre Mignard.png|100px|vignette|gauche]] * [http://www.npg.org.uk/collections/search/portraitLarge/mw05102/Louise-de-Kroualle-Duchess-of-Portsmouth Louise de Kéroualle Duchess of Portsmouth, National Portrait Gallery, London] * [[w:Louise Renée de Penancoët de Keroual|Louise Renée de Penancoët de Keroual]] * [[w:en:Louise de Kérouaille, Duchess of Portsmouth|Louise de Kérouaille, Duchess of Portsmouth]] * [http://ploeuc-genealogie.over-blog.com/article-20124312.html Louise-Renée de Penancoët, dite Louise de Keroualle, 1/2] * [http://ploeuc-genealogie.over-blog.com/article-20152960.html Louise-Renée de Penancoët, dite Louise de Keroualle, 2/2] * [https://archive.org/search.php?query=Louise%20de%20Kéroualle Louise de Kéroualle, Internet Archive biliographie] == L == [[Fichier:Luca Pacioli, De divina proportione, Letter L.jpg|100px|vignette|centré]] === Julien Labuissonnière === "Julien Labuissonnière", défenseur des esclaves américains qui demandent leur liberté dans {{Bibliographie|Q26209709}}, 1990. == Auguste Lacaussade == * 1896 - {{bibliographie|Q52338884}} <!-- Auguste Lacaussade, Le Siège de Paris --> == Choderlos de Laclos == * {{article | langue = fr | prénom1 = René | nom1 = Pomeau | lien auteur1 = w:René Pomeau | prénom2 = Société d'histoire | nom2 = littéraire de la France | lien auteur2 = w:Société d'histoire littéraire de la France | prénom3 = | nom3 = | lien auteur3 = | traduction = | titre = Le mariage de Laclos | sous-titre = | périodique = Revue d'histoire littéraire de la France (1894) | lien périodique = | éditeur = Presses universitaires de France | lieu = Paris | série = | volume = | titre volume = | numéro = 64e année - N° 1 | titre numéro = | jour = | mois = Janvier-Mars | année = [[w:1964 en musique classique|1964]] | pages = | dnb = 343491539 | issn = 00352411 | issn2 = | issn3 = | isbn = | oclc = | résumé = | format = | url texte = http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5566943k/f62.image.r=Laclos | doi = | consulté le = 4 septembre 2015 | commentaire = | extrait = | id = }} * [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56525005/f101.image.r=Laclos Laclos jugé par le "Journal Helvétique"] * Jacques de Boisjoslin and George Mossé.- [http://www.gutenberg.org/files/42192/42192-h/42192-h.htm Notes sur Laclos et Les Liaisons Dangereuses], 1904, ACHEVÉ D’IMPRIMER le vingt février mil neuf cent quatre PAR BLAIS & ROY A POITIERS pour P. SEVIN ET E. REY LIBRAIRES A PARIS, 1904. * 1809 - {{bibliographie|Q108690510}} <!-- Le chevalier de Saint-Georges ou le débauché corrigé par l'amour, volume 1 --> * 1782 - Choderlos de Laclos, Pierre-Ambroise-François (1741-1803) .- Les Liaisons dangereuses, ou Lettres recueillies dans une société, & publiées pour l'instruction de quelques autres [Texte imprimé]. Par M. C..... de L... Première [-quatrième] partie. Publication : A Amsterdam ; et se trouve à Paris, chez Durand neveu, libraire, à la Sagesse, rue Galande. M.DCC.LXXXII [1782]. {{BNF|30238973z}} * Pierre-Ambroise-François Choderlos de Laclos.- [https://www.google.fr/books/edition/No_1_JOURNAL_DES_AMIS_DE_LA_CONSTITUTION/HiH2ZEmfjWsC?hl=fr&gbpv=0 No. 1. JOURNAL DES AMIS DE LA CONSTITUTION, Volume 1] * 1790 - Louis de La Vicomterie de Saint-Samson.- [https://www.google.fr/books/edition/Du_peuple_et_des_rois/ZS1-WaaHSg8C?hl=fr&gbpv=0 Du peuple et des rois] == Autres documents à saisir === * EDC: [https://lewebpedagogique.com/histgeomermoz/files/2017/12/EDCle-chevalier-saint-georges.pdf Le chevalier Saint Georges, créole dans le siècle des lumières (intro au thème 3 classe de 4ème)] * Jean Paul Morel.- [http://www.pierre-poivre.fr/Bernardin-a-Isle-de-France.pdf Bernardin de Saint-Pierre à l’Isle de France], Copie sur pierre-poivre.fr en décembre 2010 Page 1 * société de la caserne + Feuillancour : [https://www.google.com/search?q=soci%C3%A9t%C3%A9+de+la+caserne+%2B+Feuillancour&tbm=bks&ei=KUeeY_udF8KqkdUPuPGZiA8&start=20&sa=N&ved=2ahUKEwi71tyK3oH8AhVCVaQEHbh4BvE4ChDy0wN6BAgPEAc&biw=1316&bih=578&dpr=1 recherche à poursuivre] * Jacquemart, Albert, 1808-1875 .- Les merveilles de la ceramique; ou, L'art de faconner et decorer les vases en terre cuite, faience, gres et porcelaine depuis les temps antiques jusqu'à nos jours [https://archive.org/details/lesmerveillesdel18703jacq/page/n7/mode/2up Internet Archive] * L'Encyclopédie coloniale et maritime: [https://www.google.fr/books/edition/L_Encyclop%C3%A9die_coloniale_et_maritime_Ma/ZgA3AAAAIAAJ?hl=fr&gbpv=0&bsq=Saint-George%20%2B%20Feuillancour L'Encyclopédie coloniale et maritime: Madagascar. 2 v], 1943 == Gravelot (1699-1773).- Virginie tuée par son père pour la sauver de l'esclavage, 1789 == [[Fichier:Gravelot, Chenu - Virginie tuée par son père pour la sauver de l'esclavage, 1789.png|100px|vignette|gauche|Gravelot, Chenu - Virginie tuée par son père pour la sauver de l'esclavage, 1789.]] * [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k10567907/f98.item.r=Virginie%20tuee%20par%20son%20pere%20pour%20la%20sauver%20de%20l Virginie tuée par son pere, pour la sauver de l'esclavage, p.34], [https://data.bnf.fr/16891986/gravelot_virginie_tuee_par_son_pere_pour_la_sauver_de_l_esclavage/ Data BnF] ; {{BNF|16891986h}} ; [https://archive.org/details/bnf-bpt6k10567907/page/n99/mode/2up Internet archive] ; [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k10567907/f99.item.r=Virginie%20tuee%20par%20son%20pere Gallica]. {{Citation bloc|DÉCEMVIRS - '''III. Les Décemvirs. An de Rome 302. Loix des XII tables'''.<br />La législation étant le principal objet du nouveau gouvernement, les décemvirs travaillerent à leur code avec ardeur.<br />Un Grec, exilé d'Ephese, leur interpréta les loix qu'on avoit apportées d'Athenes. Ils y ajouterent une partie des anciennes ordonnances royales. Cet ouvrage fini, ils l'exposerent en public sur dix tables de chêne, invitant les citoyens à l'examiner, à choisir, en un mot à être leurs propres législateurs. Le sénat avoit approuvé les loix par un décret. Le peuple satisfait, les confirma. Deux autres tables, proposées l'année suivante, furent acceptées de même, malgré un article odieux, qui défendoit aux patriciens de s'allier avec les familles plébéiennes.<br />Ces loix des douze tables, dont il ne reste qu'un petit nombre de fragmens, étoient claires & précises, supérieures en ce point aux loix de Solon, quoique beaucoup moins conformes à l'humanité. Les peres conservoient sur leurs enfans un pouvoir absolu, & les maîtres sur leurs esclaves. Les débiteurs étoient livrés aux violences des créanciers. Des peines capitales contre les auteurs de libelles & les poëtes ; plusieurs autres dispositions cruelles, qu'il fallut bientôt adoucir, font connoître l'esprit des législateurs. Rome gagnoit cependant beaucoup à recevoir des loix, qui fussent une règle fixe pour les citoyens, & vraisemblablement le peuple considéra plus cet avantage, que les inconvéniens de quelques dispositions tyranniques.<br />'''Abus du gouvernement des décemvirs'''.<br />Si le décemvirat n'avoit produit que les douze tables, il eut été une époque glorieuse pour la république. Mais il dégénéra en tyrannie, & en ne respectant rien, les tyrans se perdirent eux-mêmes.<br />'''Attentat d'Applus.'''<br />Appius étoit resté à Rome, tandis que ses collegues faisoient la guerre. Il devint amoureux de la jeune Virginie, fille de Virginius, vaillant plébéien, & promise en mariage à Icilius, ancien tribun du peuple. Après de vaines tentatives pour satisfaire sa passion, il voulut la faire enlever par force, en qualité de juge, la supposant née d'une esclave d'un de ses cliens qui la reclamoit. Icilius défend Virginie avec l'ardeur d'un amant ; le peuple s'émeut, Appius est chassé de son tribunal. Virginius, averti du danger de sa fille, s'étoit hâté de partir, du camp où il étoit, pour voler à son secours. Il arrive, il plaide sa cause ; il voit le redoutable décemvir prêt à se rendre maître par une sentence de la personne de Virginie. Pour sauver l'honneur de sa fille, il lui enfonce un couteau dans le sein ; & montrant le couteau ensanglanté à Appius : C'est par ce sang, lui dit-il, que je dévoue ta tête aux dieux infernaux. Appius ordonne en vain de l'arrêter. Il se fait jour à travers le peuple, dont il excite la haine contre les tyrans, & il va répandre parmi les soldats, le desir de la liberté & de la vengeance.<br />'''Le décemvirat est aboli.'''<br />Des scenes si tragiques ne manquent pas leur effet, quand les hommes souffrent impatiemment le joug. Excepté un petit nombre d'âmes serviles, tous abandonnerent les décemvirs, & se livrerent aux sentimens républicains. Les deux armées se réunirent sur le mont Sacré, où le peuple les suivit en foule. Le sénat ne savoit quel parti prendre. Enfin la clameur générale ayant forcé les décemvirs à se démettre, on députa au peuple Horatius & Valérius, leurs ennemis, avec plein pouvoir de conclure la pacification. On rétablit le tribunat & le droit d'appel au peuplé ; on abolit le décemvirat. Valérius & Horatius furent faits consuls. Des loix populaires qu'ils établirent, augmenterent l'attachement pour eux. Ils ordonnerent que les plébiscites, émanés des comices par tribus, obligeroient tous les citoyens, comme les loix émanées des comices par centuries. Cette loi, extrêmement favorable aux tribuns, ne pouvoit que chagriner le sénat ; les circonstances l'engagerent à y consentir. |Gravelot, Chenu - Virginie tuée par son père pour la sauver de l'esclavage, 1789, publié dans [[d:Q115972464|Abrégé de l'histoire romaine, Plan. XXIV]]<ref>[[c:File:Gravelot, Chenu - Virginie tuée par son père pour la sauver de l'esclavage, 1789.png|Virginie tuée par son pere, pour la sauver de l'esclavage]].</ref>.}} == Auguste Lacour == * Lacour, Auguste (1805?-1869).- [https://archive.org/search.php?query=creator%3A%22Lacour%2C+Auguste%2C+1805%3F-1869%22 Histoire de la Guadeloupe], 1855. * {{Bibliographie|Q26237272}}, [[d:Q26237272|Wikidata]] ** 1855 - {{bibliographie|Q26237285}} ** 1857 - {{bibliographie|Q26237437}} ** 1858 - {{bibliographie|Q26245371}} ** 1858 - {{bibliographie|Q26245907}} == André-Daniel Laffon de Ladebat == [[w:André-Daniel Laffon de Ladebat|André-Daniel Laffon de Ladebat]], homme politique, député à l'Assemblée législative et au Conseil des Cinq-cents, auteur du ''Discours sur la nécessité et les moyens de détruire l'esclavage dans les colonies<ref>{{bibliographie|Q30000364}}</ref>''. Classique de la [[w:Liste d'opposants à l'esclavage|cause abolitionniste]], ce discours lu en séance publique de l'Académie de Bordeaux le 26 août 1788 a été présenté et débattu à l'assemblée générale de la [[w:Société des Amis des Noirs|Société des Amis des Noirs]] la même année. En 1821 on le retrouve au nombre des fondateurs, avec Auguste de Staël et Charles de Remusat du [[w:Comité pour l'abolition de la traite des Noirs|Comité pour l'abolition de la traite des Noirs]]. == Alphonse de Lamartine == === Membre de la Société pour l’émancipation des noirs === {{Citation bloc|Depuis 1834 les hommes politiques qui croient que les gouvernements doivent avoir une âme, et qu’ils ne se légitiment aux yeux de Dieu que par des actes de justice et de bienfaisance envers les peuples, s’étaient formés à Paris en société pour l’émancipation des noirs<ref>Cf. [[w:Société française pour l'abolition de l'esclavage|Société française pour l'abolition de l'esclavage]].</ref> ; j’y fus admis à mon retour d’Orient<ref>Lamartine [[w:Voyage en Orient (Lamartine)|voyage en Orient]], accompagné de sa femme et de sa fille Julia, entre juillet 1832 et septembre 1833.</ref>|Alphonse de Lamartine.- [[s:Page:Lamartine - Œuvres complètes de Lamartine, tome 32.djvu/4|Tousaint Louverture, préface, page 4]]<ref>1850 - {{bibliographie|Q27698593}}</ref>}} * 2002 - {{bibliographie|Q23955015}} <!--Jean-Daniel Piquet.- L’émancipation des Noirs dans la Révolution française (1789‑1795) --> === On ne prescrit pas contre le droit de possession de soi-même === {{Citation bloc|Les colons, dis-je, sont autant nos frères que les noirs, et de plus ils sont nos compatriotes. Ces Français de nos Antilles ne sont pas plus coupables de posséder des esclaves que la loi française n’est coupable d’avoir reconnu la triste légitimité de cette possession. C’est un malheur pour nos colons que ce patrimoine, ce n’est pas un crime : le crime est à la loi qui leur a transmis et qui leur garantit cette propriété humaine qui n’appartient qu’a Dieu. La liberté de la créature de Dieu est sans doute inaliénable ; on ne prescrit pas contre le droit de possession de soi-même. En droit naturel, le noir enchaîné a toujours le droit de s’affranchir ; endroit social, la société qui l'affranchit doit indemniser le colon. Elle le doit pour deux motifs, d’abord parce que la société est juste, et secondement parce que la société est prudente.|Alphonse de Lamartine.- [[s:Page:Lamartine - Œuvres complètes de Lamartine, tome 32.djvu/5|Tousaint Louverture, préface, page 4]]<ref>1850 - {{bibliographie|Q27698593}}</ref>}} === Abolition de l’esclavage des noirs combinés avec la reconnaissance d’une indemnité aux colons === {{Citation bloc|Il n’y a point de justice à déposséder sans compensation des familles à qui vous avez conféré vous-même cette odieuse féodalité d’hommes. Il n’y point de prudence à lancer les esclaves dans la liberté sans avoir pourvu à leur sort ; or, de quoi vivront-ils dans le travail libre, si les colons qui possèdent les terres n’ont aucun salaire à donner a leurs anciens travailleurs affranchis ? Et s’il n’y a dans les colonies ni capital ni salaire, vous condamnez donc les blancs et les noirs à s’entre-dévorer. Il faut absolument, ajoutai-je, que vos appels à l’abolition de l’esclavage des noirs soient combinés avec la reconnaissance d’une indemnité due aux colons ; il faut que les deux mesures soient simultanées pour être vraiment humaines ; il faut vous présenter aux colonies la liberté dans une main, l’indemnité dans l’autre ; et que vous ménagiez la transition de l’esclavage au travail libre, de manière à ce que ce bienfait pour les uns ne soit pas une ruine et une catastrophe pour les autres ; il ne faut pas qu’une goutte de sang tache par votre faute cette grande réhabilitation de l’humanité.»<br /> Ces idées et ces mesures furent adoptées par l’immense majorité des partisans de l’abolition de l’esclavage.|Alphonse de Lamartine.- [[s:Page:Lamartine - Œuvres complètes de Lamartine, tome 32.djvu/5|Tousaint Louverture, préface, pp 4-5]]<ref>1850 - {{bibliographie|Q27698593}}</ref>}} === Bibliographie (Alphonse de Lamartine) === [[Fichier:Lamartine - Toussaint Louverture, poème dramatique, 1850.png|100px|vignette|gauche]] Alphonse de Lamartine (1790-1869) * [[d:Q27699445|1848]] - {{bibliographie|Q27699445}}, [http://www2.assemblee-nationale.fr/decouvrir-l-assemblee/histoire/grands-moments-d-eloquence/alphonse-de-lamartine-le-droit-au-travail-7-septembre-1848 Lire en ligne].<br />Assemblée nationale.- Grands moments d'éloquence parlementaire, [http://www.assemblee-nationale.fr/histoire/Lamartine.asp Lamartine et l'élection du Président de la République au suffrage universel] * 1848 - France : Assemblée nationale constituante.- [https://books.google.fr/books/content?id=BtPDPvyRIB4C&hl=fr&pg=PA667&img=1&zoom=3&sig=ACfU3U2rFT85NwXI_--Ve9u1QOwp_3UysQ&ci=66%2C87%2C401%2C194&edge=0 Séance du Vendredi 6 octobre 1848] Présidence du citoyen Armand Marrast, Suite de la délibération sur le projet de constitution : les citoyens Fresneau Grévy Jules de Lasteyrie, Leblond, [https://books.google.fr/books/content?id=BtPDPvyRIB4C&hl=fr&pg=PA679&img=1&zoom=3&sig=ACfU3U3bLXEShI1U8eFyN4YctIGjXMz5_Q&ci=94%2C1023%2C382%2C121&edge=0 de Lamartine], dans Compte rendu des séances de l'Assemblée nationale exposés des motifs et projets de lois présentés par le gouvernement : [https://books.google.fr/books/content?id=BtPDPvyRIB4C&hl=fr&pg=PP7&img=1&zoom=3&sig=ACfU3U2NSeTZoXiDx4m_tT5D27gN2P3J9g&ci=62%2C266%2C816%2C477&edge=0 du 14 septembre au 20 octobre 1848, Volume 4], Assemblée nationale Éditeur, 1850. * 1850 - {{bibliographie|Q27698593}}<br /> [http://catalogue.bnf.fr/search.do?mots1=NRI;0;0;Alphonse+de+Lamartine&mots0=TIT;-1;0;Toussaint+Louverture&&pageRech=rav Recherche ''"Tousaint Louverture, Poème dramatique"'' sur catalogue BNF] * [[s:Page:Agoult - Histoire de la révolution de 1848, tome 1.djvu/497| L’idée première des ateliers nationaux]], ''Daniel Stern'',{{bibliographie|Q58237101}}. == Marie Jean-François Layrle & Adolphe Ambroise Alexandre Gatine, abolitionnistes en 1848 à la Guadeloupe == [[w:Marie Jean-François Layrle|Marie Jean-François Layrle]],1791-1881, est officier de marine et administrateur colonial français, À l'issue de sa carrière à la mer, il succède au capitaine de vaisseau Charmasson comme gouverneur de la Guyane française de 1843 à 1845, puis est appelé à remplacer le contre-amiral Gourbeyre, décédé, en qualité de [[w:Liste des gouverneurs de Guadeloupe|gouverneur de la Guadeloupe]] de 1845 à 1848. Le 27 mai 1848, le gouverneur Marie Jean-François Layrle proclamait l'abolition de l'esclavage en Guadeloupe. Adolphe Ambroise Alexandre Gatine, arrivé le 5 juin suivant, porteur du décret d'abolition, lui succède. Marie Jean-François Layrle occupe, de janvier 1849 à sa mise en retraite en 1863, le poste stratégique de directeur du personnel du Ministère de la Marine<ref>Voir des archives du Ministère de la Marine : [https://www.siv.archives-nationales.culture.gouv.fr/siv/rechercheconsultation/consultation/ir/consultationIR.action?irId=FRAN_IR_050747 Campagnes de traite négrière au XVIIIe siècle, Cotes : MAR/4JJ/15-MAR/4JJ/144/G]</ref> et des colonies, où il sert huit ministres successifs. [[w:Adolphe Ambroise Alexandre Gatine|Adolphe Ambroise Alexandre Gatine]], 1801-1864, avocat au Conseil d’État et à la Cour de cassation, abolitionniste français, participe à la [[w:Commission pour l'abolition de l'esclavage|commission instituée par le décret du Gouvernement provisoire de la République du 4 mars 1848 (Gouvernement provisoire de 1848)]]. Gouverneur de la Guadeloupe du 5 juin 1848 Supervisée par des officiers d'état civil, l'attribution des noms de famille commence en août 1848 aux Abymes et se termine en décembre 1862 à Sainte-Rose. Adolphe Ambroise Alexandre Gatine laisse une importante littérature sur le processus d'abolition de l'esclavage de 1848. == Légions == La [[w:Légion|Légion]] est un corps d’armée. En France, [[w:Louis XII|Louis XII]] en 1509 puis François Ier par l’ordonnance du 24 juillet 1534, organisent l’armée "''à l’exemple des Rommains''", en "''une légion de six mille hommes de pied''". La Révolution française reprend la formule des [[w:Légions nationales|Légions nationales]] par la [[w:Légion#Un_corps_d.27armée|loi du 29 avril 1792]], dont la légion de cavalerie, dite du Midi ou des Américains, commandée par Joseph Bologne de Saint-George qui deviendra par la suite le [[w:13e régiment de chasseurs à cheval|13e régiment de chasseurs à cheval]]. === 13{{e}} régiment de chasseurs à cheval === [[Fichier:Organisation de la légion franche des Américains, 6 décembre 1792.jpg|100px|vignette|gauche|Décret d’organisation]] [[Fichier:13e chasseurs à cheval 1793.png|100px|vignette|gauche]] * 1893 - {{bibliographie|Q109647703}} <!-- Dictionnaire de la Révolution française, institutions, hommes et faits --> ** 1893 - {{bibliographie|Q109796458}} <!-- Légions. Légion des Américains --> * [[d:Q23608307|Les officiers de couleur dans les armées de la République et de l'Empire, 1792-1815]] {{bibliographie|Q23608307}}. Le [[w:13e régiment de chasseurs à cheval|13e régiment de chasseurs à cheval]] ou ''Légion franche des Américains'' est organisé par décret, le 6 décembre 1792. ==== Evolution de la dénomination ==== * 1793 - 13e régiment de chasseurs * 13e régiment (''bis'') de chasseurs (1794). — 13e régiment de chasseurs (1795). — Chasseurs de la Meuse (1816). — 13e régiment de chasseurs (1825-1831). — 13e régiment de chasseurs (1831-1837). — 13e régiment de chasseurs (1840-1852). ** II. Guides de l’armée d’Italie (1796). — Guides de Vannée d’Orient (1798). — Chasseurs à cheval de la Garde consulaire (1800). — Chasseurs à cheval de la Garde Impériale (1804). — Corps royal des chasseurs de France (1814). — Chasseurs de la Garde Impériale (1815). — Chasseurs de la Garde Royale (1815-1830). — Chasseurs à cheval de la Garde Impériale (1856). — 13e régiment de chasseurs (1871). ==== Masse de fourrage ==== Loi Relative à la fixation des Masses destinées à l'entretien des diffèrentes parties de l'armée. Donnée à Paris le 1{{er}} Février 1791. Décret de l'Assemblée nationale du 1{{er}} Février 1791<ref>[https://books.google.fr/books?id=h71PAAAAcAAJ&dq=Fixation%20du%20nombre%20de%20chevaux%20que%20les%20officiers%20auront%20suivant%20leur%20grade&hl=fr&pg=PA369#v=onepage&q=Fixation%20du%20nombre%20de%20chevaux%20que%20les%20officiers%20auront%20suivant%20leur%20grade&f=false Lois et actes du Gouvernement, Volume 2, page 369]</ref> {{Citation bloc|X. La masse de fourrage pour les troupes à cheval sera fixée de même, à compter du 1er janvier 1791, sur le pied de 270 livres par chacun des sous-officiers, cavaliers , dragons , chasseurs à cheval, hussards, trompettes, ou maîtres ouvriers montés : elle servira à fournir, à chacun de leurs chevaux effectifs et présents , une ration de fourrage dans les quantités et proportions qui seront déterminées par les règlements, tant pour la cavalerie que pour les dragons, chasseurs et hussards.<br /> XI. Au moyen de ces fonds fournis an département de la guerre, toutes les dépenses de fourrages, ci-devant au compte de quelques provinces, cesseront d'avoir lieu à leur charge, et les fourrages seront en conséquence fournis aux troupes sur les fonds de cette masse, dans tous les départements indistinctement.<br /> XII. Les sommes assignées aux officiers généraux et supérieurs de l'infanterie, de l'artillerie, du génie, de l'état-major de l'armée, aux aides-de-camp et aux commissaires des guerres, pour les rations de fourrages qui leur reviennent, conformément aux décrets qui fixent leur traitement, ne feront point partie de la présente masse, et leur seront payées cumulativement a leurs appointements; en conséquence ils seront chargés eux-mêmes de la nourriture de leurs chevaux. Quant aux sommes assignées par les décrets aux officiers des troupes à cheval, en raison de leurs grades, elles seront retenues et cumulées avec la masse générale de fourrage de leurs régiments; et cette masse sera chargée de fournir la subsistance aux chevaux effectifs présents qu'ils auront au corps, en observant la fixation de leur grade, et de leur faire le décompte des rations de fourrage non consommées par eux pendant les absences auxquelles ils pourraient être autorisés par semestre ou congés, en raison du nombre de chevaux fixé pour leurs grades, sur le pied du prix qui sera déterminé pour chacune dans chaque département.| M. Bouthillier présente au nom du comité militaire un projet de décret sur les masses destinées à 1'entretien des différentes parties de l'armée. Il adopté. Bulletin de l’Assemblée Nationale, Présidence de [[w:Gabriel Riquetti de Mirabeau|M. Riquetti l'ainé dit ''Mirabeau'']]<ref>Mirabeau est le nom sous lequel l'Histoire a retenu la mémoire de [[w:Gabriel Riquetti de Mirabeau|Honoré-Gabriel Riquetti de Mirabeau (1749-1791)]], écrivain, tribun de la Révolution française. Son frère, [[w:André Boniface Louis Riquetti de Mirabeau|André Boniface Louis Riquetti de Mirabeau (1754-1792),dit ''Mirabeau-Tonneau'']], a également joué un rôle lors de la Révolution. Leur père, [[w:Victor Riquetti de Mirabeau|Victor Riqueti, marquis de Mirabeau, est ''l'ami des hommes'']], avait lié le nom de son terroir à son patronyme.<br />[[w:Jean-Antoine Riqueti de Mirabeau|Jean-Antoine Joseph Charles Elzéar, dit le Balli de RIQUETI (1717-1794)]], frère cadet de Victor Riqueti, marquis de Mirabeau, oncle du tribun révolutionnaire Gabriel-Honoré, comte de Mirabeau, et de André Boniface Riqueti, vicomte de Mirabeau fut chevalier de l’Ordre de Saint-Jean de Jérusalem, gouverneur de la Guadeloupe où il acquiert le titre de bailli. </ref> Séance du mardi 1{{er}} février 1791 au soir, dans A. Ray.- Réimpression de l'ancien Moniteur : Constituante<ref>A. Ray.- Réimpression de l'ancien Moniteur : Constituante,[https://books.google.fr/books?pg=PA286&dq=Fixation+du+nombre+de+chevaux+que+les+officiers+auront+suivant+leur+grade&redir_esc=y&id=M5gMAQAAMAAJ&hl=fr#v=onepage&q=Fixation%20du%20nombre%20de%20chevaux%20que%20les%20officiers%20auront%20suivant%20leur%20grade&f=false page 286]</ref>.}} == Léonard == == Daniel Thaly == [[w:Daniel Thaly|Daniel Thaly]] va bientôt être élevé dans le domaine public. Voir un autre poème ici : <https://sacalava.skyrock.com/2232873935-DANIEL-THALY-LE...> Une lecture : <https://books.google.fr/books?id=v3RzdqumQFwC&pg=PA58...> Quelques poèmes dans <https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k130173r/f30.item> ; DANIEL THALY Chanson de l'impossible. - Le Rucher en ville (Chants de l'Atlantique, Garnier, édit.). - A Héliotrope. - Aux lueurs de Vénus (Héliotrope ou les Amants inconnus, Editions du Divan), {{BNF|33541023c}}. == Léopold II == [[w:Léopold II (roi des Belges)|Léopold II, roi des Belges]] est le petit-fils de Louis-Philippe, lui-même fils de Louis-Philippe d'Orléans. == Lexique & sémantique depuis 1492 == {{Citation bloc|Rien n'est plus bête que de juger une époque avec l'esprit de la notre...|Vanoot59 (discuter) 30 juin 2016 à 14:57 (CEST)}} Les ayant-droits de Agatha Christie ont demandé des changements importants à propos son roman connu "Dix petits nègres". Agatha Christie, née Agatha Mary Clarissa Miller le 15 septembre 1890 à Torquay est morte le 12 janvier 1976 à Wallingford (Oxfordshire). Son oeuvre n'est pas encore dans le domaine public et par conséquent, les décisions de ses ayant-droits sont souveraines.Les raisons à propos des "Dix petits nègres" sont bien expliquées dans cet article du Monde avec AFP Publié le 26 août 2020 à 12h36 - Mis à jour le 26 août 2020 à 14h11.La décision est importante. Elle contribue à l'abolition effective de l'esclavage, des colonisations et du racisme. Elle va dans le même sens que les modifications des titres des tableaux sur les mêmes sujets.En 1965 sort le film Les Dix Petits Indiens (Ten Little Indians), réalisé par George Pollock, d'après Dix Petits Nègres. [[w:Dix Petits Nègres|Ils étaient dix]], rebaptisé en 2020 Ils étaient dix dans la version française1 (titre original au Royaume-Uni en 1939 : Ten Little Niggers, devenu And Then There Were None aux États-Unis à partir de 1940, puis au Royaume-Uni en 1985), est un roman policier d'Agatha Christie publié en novembre 1939 au Royaume-Uni et en 1940 en France. === Débats sur le bistrot de Wikipédia === === Agatha Christie : ''Dix Petits Nègres'', renommé en 2020 ''Ils étaient dix'' === * Film en anglais : [https://www.youtube.com/watch?v=ejdzzqPF4-w Agatha Christie Crime Drama Mystery Movie - Et Nullus] * Film en français : [https://www.youtube.com/watch?v=Rlvky_-71yc DIX PETITS NÈGRES - film complet en français (adaptation roman policier)] * [https://fr.wikipedia.org/wiki/Wikip%C3%A9dia:Le_Bistro/26_octobre_2018#Titre_de_tableau_et_politiquement_correct Titre de tableau et politiquement correct] {{Citation bloc|Si la majorité des sources, notamment académiques, utilisent Portrait d'une négresse, alors wikipédia doit privilégier ce titre. Méfie-toi Agatha, bientôt wikipédia renommera les Dix petits nègres en Dix petits noirs parce qu'une source officielle en a décidé ainsi. Salsero35 ☎ 26 octobre 2018 à 19:25 (CEST)<br /> On parle du titre de la traduction en français. Dans Dix petits nègres : « Toutes les éditions françaises portent le titre Dix petits nègres » Références nécessaires ? Et l'histoire se fonde sur la comptine et chanson Ten Little Indians<ref>Dans cette [https://www.youtube.com/watch?v=7LvhiPdCpuc version], il s'agit d'apprendre à compter. Voir [https://www.paroles-musique.com/paroles-The_Bastard_Fairies-Ten_Little_Indians-lyrics,p08590961 The Bastard Fairies - Ten Little Indians lyrics] ; [https://www.youtube.com/watch?v=dvimVpbsN8o The Bastard Fairies - Ten Little Indians]</ref>/[https://en.wikisource.org/wiki/The_Pearl/Volume_9/Ten_Little_Niggers. Ten Little Niggers] --Warp3 (discuter) 27 octobre 2018 à 20:58 (CEST)<ref>[https://fr.wikipedia.org/wiki/Wikip%C3%A9dia:Le_Bistro/26_octobre_2018#Titre_de_tableau_et_politiquement_correct Titre de tableau et politiquement correct] </ref>.}} == Libéralisme == [[w:Libéralisme|Libéralisme]] === Libéralisme : on distingue === [[w:Libéralisme politique|Libéralisme politique]] [[w:Libéralisme économique|Libéralisme économique]] [[w:Libéralisme sociétal|Libéralisme sociétal]] === Bibliographie === [[w:Discours sur l'économie politique|Discours sur l'économie politique]] * 1758 - {{bibliographie|Q29543985}} <!-- Rousseau, Le citoyen, ou Discours sur l'économie politique cité par Miranda --> * 1758 - {{bibliographie|Q3709947}} <!-- Rousseau, Discours sur l'économie politique --> == Les libres de couleur (Gens de couleur libres) == Cf. [[w:mulâtre|mulâtre]] === Arrêté portant défense aux Noirs, Mulâtres et autres gens de couleur, d'entrer sans autorisation sur le territoire de la République === Le 2 juillet 1802, sous le consulat, Napoléon Bonaparte étant premier consul, prend l'arrêté portant défense aux noirs, mulâtres et autres gens de couleur d'entrer sans autorisation sur le territoire continental de la France<ref>Paru dans le [https://books.google.fr/books?id=W3JDAAAAcAAJ&pg=PA50&dq=Arr%C3%AAt%C3%A9+portant+d%C3%A9fense+aux+Noirs,+Mul%C3%A2tres+et+autres+gens+de+couleur,+d%27entrer+sans+autorisation+sur+le+territoire+de+la+R%C3%A9publique.&hl=fr&sa=X&ei=4hmnT6K0Keam0QWztsz-Aw&ved=0CDgQ6AEwAQ#v=onepage&q&f=false Bulletin des lois de la République, numéro 219, page 50]</ref>, Cet arrêté est suivi d'une ordonnance de police concernant les noirs et mulâtres émise par la préfecture de Paris le 3 brumaire an XI (25 octobre 1802)<ref>{{bibliographie|Q102364200}} [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6472320h/f190.image.r=Noirs%20et%20mulatres# page 160] <!-- Collection officielle des ordonnances de police depuis 1800 jusqu'à 1844. Tome 1 </ref>. <gallery> Fichier:Arrêté portant défense aux Noirs, Mulâtres et autres gens de couleur, d'entrer sans autorisation sur le territoire de la République p815.jpg File:Arrêté portant défense aux Noirs, Mulâtres et autres gens de couleur, d'entrer sans autorisation sur le territoire de la République p816.jpg File:Arrêté portant défense aux Noirs, Mulâtres et autres gens de couleur, d'entrer sans autorisation sur le territoire de la République p817.jpg File:Ordonnance concernant les noirs et mulâtres, Paris, 3 brumaire an XI (25 octobre 1802).png </gallery> === Les libres de couleur des Antilles et la Révolution française === Les libres de couleur des Antilles et la Révolution française, 25 mai 2018, journée d'étude dans le cadre de l'hommage à l'historien Léo ELISABETH. Revoir les conférences.<br /> :Cette journée d'études contient toutes les ressources permettant d'accéder à des sources de qualité sur la question. :🤔Présentation : Erick Noël - Permalien : <http://www.manioc.org/fichiers/V18173> :🤔Vincent Cousseau : Les Libres de couleur de la Martinique sous la Révolution, entre suivisme et activisme - Permalien : <http://www.manioc.org/fichiers/V18174> :🤔Frédéric Régent : Libres de la Guadeloupe en Révolution - Permalien : <http://www.manioc.org/fichiers/V18175> :🤔Bernard Gainot : Les Libres de couleur et le fil rouge des révolutions de Saint-Domingue - Permalien : <http://www.manioc.org/fichiers/V18176> :🤔Débats :Vincent Cousseau, Frédéric Régent, Bernard Gainot :Permalien : <http://www.manioc.org/fichiers/V18178>. <!--[[Utilisatrice:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisatrice:Ambre Troizat|discuter]]) 3 juillet 2018 à 19:23 (CEST)--> ==== Bibliographie ==== * 1789 - {{bibliographie|Q122387579}} <!-- Réclamations adressées à l'Assemblée nationale, par les personnes de couleur, propriétaires & cultivateurs de la colonie françoise de Saint-Domingue --> * 2011 - Œuvre littéraire : {{bibliographie|Q118384511}} <!-- Dictionnaire des gens de couleur dans la France moderne --> ** 2011 - Œuvre littéraire, Volume I : {{bibliographie|Q118384539}} <!-- Dictionnaire des gens de couleur dans la France moderne : Paris et son bassin --> ** 2014 - Œuvre littéraire, Volume II : {{bibliographie|Q118384678}} <!-- Dictionnaire des gens de couleur dans la France moderne. , La Bretagne () édition, 2013 --> ** 2017 - Œuvre littéraire, Volume III : {{bibliographie|Q118384783}} <!-- Dictionnaire des gens de couleur dans la France moderne, Le Midi --> ** 2014 - {{bibliographie|Q118384887}}, article scientifique <!-- Dictionnaire des gens de couleur dans la France moderne --> == Jean-Baptiste Symphor Linstant de Pradine == Il semble que le même personnage porte [http://catalogue.bnf.fr/rechercher.do?motRecherche=S.+Linstant&critereRecherche=0&depart=0&facetteModifiee=ok plusieurs formes d'un même nom] : # '''S. Linstant ou Linstant, S.''' : {{BNF|30822355r}} ; {{BNF|308223563}} ; [http://www.idref.fr/05855579X IdRef] qui pourrait renvoyer à : ## [http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb13379012q Jean Baptiste Symphor Linstant] ## [http://cths.fr/ed/edition.php?id=74 Simon Linstant] # '''Linstant de Pradine''' : {{BNF|cb333047811}} ; [https://archive.org/stream/SLinstant1876Bnf30822357f#page/n7/mode/2up înternet Archive] ## [[w:Liste des ministres haïtiens de la Justice|Linstant de Pradines]] (7 mars 1867 - 13 mars 1867). ## Le même [[w:Liste des ministres haïtiens des Cultes|ici]] ## Ou [[w:Liste des ministres haïtiens des Affaires étrangères|là]]. # On peut établir l'[[s:Discussion Auteur:S. Linstant#Critiques littéraires|identité]] entre S. Linstant et Linstant de Pradine # '''Linstant de Pradine, A''' : {{BNF|13204814s}} ; {{BNF|32849728b}} ; Cf. [[d:Q23978025|Anne Girollet]], {{BNF|377186548}} # Pradine, Linstant (baron) : [http://www.idref.fr/115479392 IdRef] # '''Jean-Baptiste Symphor Linstant''' : {{BNF|368462054}} # Jean-Baptiste Symphor Linstant de Pradine : [https://archive.org/details/SLinstant1876Bnf30822357f Internet Archive] ; [http://www.abebooks.com/book-search/author/jeanbaptiste-symphor-linstant-de-pradine/ abebooks.com] # '''Linstant de Pradine, A. (Bon)''' : {{BNF|10652772h}} ; {{BNF|30822357f}} ; # '''Jean-Baptiste Symphor de Pradines ou '''Avocat, Baron de l'Empire, Batonnier de l'Ordre des avocats de Port-au-Prince : [http://www.rootsweb.ancestry.com/~htiwgw/familles/fiches/002187.htm rootsweb.ancestry.com] # '''Jean-Baptiste Symphor Linstant de Pradines ou Linstant de Pradines, Jean-Baptiste Symphor''', juriste (1824-1884?) : [http://haiti-reference.com/pages/plan/geographie-et-tourisme/divisions-territoriales/arrondissements-et-communes/jeremie/ haiti-reference.com] ; [http://www.archontology.org/nations/haiti/00_1858_1876_s.php Conseil des Secrétaires d'État, chargé du Pouvoir exécutif], 13 mars 1867 - 20 mars 1867 ; {{Citation bloc|1904 - J'ai été, dit-il, de midi à une heure à la bibliothèque Sainte-Geneviève, avec le '''sieur Linstant'''. Nous en sommes sortis après une demi-heure, et nous revenions rue de l'École-de-Médecine, à mon domicile, lorsque, traversant la rue ...|France. Assemblée nationale.- Archives parlementaires de 1787 à 1860: recueil complet des débats législatifs et politiques des chambres françaises, 1904<ref>France. Assemblée nationale.- Archives parlementaires de 1787 à 1860: recueil complet des débats législatifs et politiques des chambres françaises, 1904, [https://books.google.com/books?id=MQ1LqgjxbXQC ‎Extraits]. Voir l'extrait complet à [https://fr.groups.yahoo.com/neo/groups/arlescamargue/conversations/messages/209 Un jour à Paris avec '''Jean-Baptiste Symphor Linstant'''].</ref>.}} {{Citation bloc|In 1876, '''Jean-Baptiste Symphor Linstant de Pradines''' made the observation that in Haiti 'everybody is a trader',24 and it is mainly in the trading sector that we ...|Mats Lundahl.- The Political Economy of Disaster: Destitution, Plunder and Earthquake in Haiti, 2013<ref>Mats Lundahl.- The Political Economy of Disaster: Destitution, Plunder and Earthquake in Haiti, 2013, [https://books.google.fr/books?id=T0YvKobsfYAC&lpg=PA127&ots=l8MMZrlk2G&dq=Jean-Baptiste%20Symphor%20Linstant%20de%20Pradine&hl=fr&pg=PA127#v=onepage&q=Jean-Baptiste%20Symphor%20Linstant%20de%20Pradine&f=false page 127].</ref>.}} === Loi === {{Autres projets | idfaculté = | commons = loi | w = loi | wikt = loi | b = loi | s = loi | q = loi | n = loi | m = loi | d = loi }} * [[s:Les Lois (trad. Cousin)|Les Lois]], Argument philosophique, Notes in Œuvres de Platon, traduites par Victor Cousin, Tome septième & huitième * Encyclopédie de Diderot et d’Alembert ([http://encyclopédie.eu/index.php/morale/2067953993-droit-naturel-moral-divin-humain/6679098-LOI loi]) * 1826 - Charles Vanufel, Aimé-Clément-Félix Champion de Villeneuve.- [https://archive.org/details/codedescolonsdes00vanu Code des colons de Saint-Domingue] : présentant l'histoire et la législation de l’ex-colonie ; la loi de l’indemnité avec les motifs et la discussion; les ordonnances royales relatives à son exécution; l’analyse du rapport fait au roi par la commission préparatoire; avec des notes explicatives, par Ch. Vanufel, jurisconsulte, et A. Champion de Villeneuve, avocat. {{Google|TS1EAQAAMAAJ&pg}}. * 1886 - Rodolphe Dareste de la Chavanne, (1824-1911).- La loi de Gortyne<ref>[[w:Gortyne|Gortyne]] est une cité grecque de Crète, située sur les bords du fleuve Léthée et au pied du mont Ida</ref>, Texte, traduction et commentaires, L. Larose et Forcel, Paris, 1886, {{BNF|334636483}}. Voir conditions des esclaves. [http://www.worldcat.org/search?q=La+loi+de+Gortyne&qt=owc_search WorldCat.org], [http://remacle.org/bloodwolf/lois/gortyne.htm Lire en ligne] == Le Régent : Philippe d'Orléans == * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire/Louis_XV_"le_Bien-Aimé",_15_février_1710_–_10_mai_1774#XVIIIe_siècle_(1715-1792)_%3A_Louis_XV_%26_Louis_XVI|Le septennat de Philippe d'Orléans, Régent de France]] == Antoine Loisel (Toutes personnes sont franches en ce royaume) == * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/L'esclavage_dans_les_lois,_capitulaires_&_ordonnances_de_la_monarchie_française,_481-1792#1536-1617-1646_-_Les_Institutes_coustumières_&_les_Œuvres_de_Me_Guy_Coquille,_sieur_de_Romenay|1536-1617-1646 - Les Institutes coustumières & les Œuvres de Me Guy Coquille, sieur de Romenay]] == M == [[Fichier:Luca Pacioli, De divina proportione, Letter M.jpg|100px|vignette|centré]] == Pierre-Victor Malouët == [[w:Pierre-Victor Malouët|Pierre-Victor Malouët]] est membres du courant [[w:Monarchiens|monarchien]] avec : * [[w:Jean-Joseph Mounier|Jean-Joseph Mounier]] * [[w:Nicolas Bergasse|Nicolas Bergasse]] * [[w:Stanislas de Clermont-Tonnerre|Stanislas de Clermont-Tonnerre]] * [[w:Gérard de Lally-Tollendal|Gérard de Lally-Tollendal]] * [[w:François-Henri de Virieu (1754-1793)|François-Henri de Virieu]] * [[w:César-Guillaume de La Luzerne|César-Guillaume de La Luzerne]] * [[w:François Dominique de Reynaud de Montlosier|François Dominique de Reynaud de Montlosier]] === Monarchie constitutionnelle (1789 - 1792 / 1815-1848) === ==== Société des Amis de la constitution ==== Il ressort des textes qui précèdent que la Société des amis de la constitution fut établie à Paris aux Jacobins Saint Honoré à la fin de l année 1789 mais sans qu on puisse dire au juste à quelle date |[https://books.google.fr/books?id=_M8eEh7XxoYC&pg=PR21&#v=onepage&f=false La Société des Jacobins: recueil de documents pour l'histoire du club des Jacobins de Paris], Jouaust, 1889, Volume 1 François-Alphonse Aulard * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Les_métamorphoses_de_la_propriété_au_XVIIIe_siècle_&_XIXe_siècle#Pierre-Victor_Malouët_aux_affaires_coloniales|Pierre-Victor Malouët aux affaires coloniales]] * 1842 - {{bibliographie|Q17360720}} <!-- Léonce Guilhaud de Lavergne, « Le Parti de la Monarchie Constitutionnelle en 1789 » --> * Ernest Daudet.- [https://books.google.fr/books?id=nipTAAAAYAAJ Les grands épisodes de la monarchie constitutionnelle] : Le procès des ministres (1830) d'après les pièces officielles et des documens inédits, A. Quantin, 1877 - 316 pages * [https://www.google.fr/search?tbm=bks&hl=fr&q=Revue+des+deux+mondes+%2B+Monarchie+Constitutionnelle Revue des deux mondes + Monarchie Constitutionnelle] * 1988 - {{bibliographie|Q105826652}} <!-- Robert Howell Griffiths et Maurice Genty, Le Centre perdu. Malouet et les «monarchiens» --> * 2009 - {{bibliographie|Q105817009}} <!-- Sergienko Vladislava, Les monarchiens au cours de la décennie révolutionnaire --> == Le club des impartiaux, ou les amis de la paix == [[w:Club des Impartiaux|Le club des impartiaux, ou les amis de la paix]] <poem> * 1790 - {{bibliographie|Q63438507}} [https://archive.org/details/lesclubscontrer00chaluoft/mode/2up?q=%22Club+des+impartiaux%22 Internet Archive] <!-- Adresse à Messieurs les impartiaux, ou les amis de la paix --> Page 23 (3) Voir Club des Impartiaux, Page 78 (2) Voir Club des Impartiaux et Club monarchique. Page 91 CLUB DES IMPARTIAUX Page 93 CLUB DES IMPARTIAUX «j;^ Page 93 Bienl«M décriés, des Grands-Augustins les modérés s'en allèrent former, à la Chaussée-d'Antin, le Club des Im'pariiaux. Leurs assem- blées continuèrent, mais rue de la Michodière, n" 8 (1). Elles protes- taient contre les tendances des Jacobins, elles donnaient au peuple l'enseignement du côté droit (2). Elles eurent un journal, dit Journal des Impartiatu., rédigé par M. Salles de la Salle (3), et portant pour épigraphe : Justice, Vérité, Constance. Le premier numéro est pré- cédé de deux écrits intitulés, — le premier, Club des Impartiaux; exposé des motifs qui ont porté les impartiaux à se réunir, et récit des circonstances qui ont précédé cette réunion ; — le deuxième. Principes des Impartiaux. Page 94 « Monsieui'. <( Le Club des Impartiaux, en insérant la délibération de la com- mune d'Uzerche dans son journal, a remarqué les justes plaintes que vous faites de l'infidélité, de la partialité et de l'exagération de la Page 95 << Impartial de principes, mais étranger au Club des Impartiaux. j'ai cru devoir adresser à leur journaliste les réflexions pénibles qu'a fait naître en moi une adresse que je ne croyais destinée à en pro- duire que de douces. Il (ui fera l'usage (pie son impartialité lui pres- crira. . » Page 96 « A l'exception de ces quatre membres, tout le parti aristocratique l'orme le Club des Impartiaux. Les (quatre commissaires que le district patriote de Saint-Germain des Prés se proposoit d'envoyer à leurs assemblées, les a effrayés ; ils se sont réfugiés rue de la Michodière, n°H, et ils ont envoyé deux députés au district des Filles-Saint-Thomas, pour le prévenir de l'existence et du but de leur association; ils étoient sCirs d'être accueillis par un comité financier. ' Page 97 CLUB DES IMPARTIAUX UT Page 99 CLUB DES IMPARTIAUX 09 Page 101 CLUB DES IMPARTIAUX 10 1 Page 103 CLUB DES IMPARTIAUX 103 Page 105 CLUB DES IMPARTIAUX 105 Page 107 CLUB DES IMPARTIAUX 107 Page 109 CLUB DES IMPARTIAUX 101) Page 111 CLUB DES IMPARTIAUX III Page 113 CLUB DES IMPARTIAUX 113 Page 115 CLUB DES IMPARTIAUX H 5 Page 115 H était évident ({ue le Club des Impartiaux se recrutait parmi les membres du centre de l'Assemblée natioiiclle, et le prenait de haut vis-à-vis de la majorité ; qu'il aspirait à faire nommer deux chambres^, une haute, l'autre basse, selon le système anglais. Page 116 La presse patriote publia des articles sur le club des Impartiaux^ à propos duquel Prudhomme imprima une sorte de réquisitoire qui lut lu avidement par les masses parisiennes : Page 119 CLUB DES IMPARTIAUX H9 Page 121 Le Club des Impartiaux sembla réactionnaire au suprême degré, non plus seulement modéré comme il prétendait l'être. Les avancés de toute nuance se plurent à dénoncer, chaque jour, avec plus d'in- sistance, son attitude aristocratique et monarchique ; il se trouva pris entre deux feux, moqué par les royalistes purs, accablé par les (-or- deliers et les Jacobins. Page 121 appelée le club des impartiaux; elle est composée des honorables Page 123 CLUB DES IMPARTIAUX m Page 125 CLUB DES IMPARTIAUX 125 Page 125 Le Club des Impartiaux disparut bientôt, victime de sa propre im- puissance. Quelques-uns de ses membres, nettement royalistes, n'at- tendirent pas que l'autorité le fermât; ils s'en allèrent dans d'autres réunions, par exemple au Club monarchique (3). Le reste cessa de se rassembler rue de la Michodière^ en gardant ses "principes^ à peu de chose près pareils à ceux des Feuillants ou des membres du Salon français et de la Société de 1789 (4). Page 133 Des conférences, tenues chez La Rochefoucauld, avaient préparé, on l'a vu, l'existence du Club des Impartiaux. Clermont-Tonnerre fut, de même, l'initiateur du Club monarchique. Page 149 Ainsi, comme l'observe Louis Blanc : vers la fin d'octobre 1790, le Club des Impartiaux (4), qu'on avait cru mort, « ressuscita tout à coup, et avec une organisation plus complète, avec des moyens plus puissants. » Page 149 (4) Voir Club des Impartiaux. Page 176 Pendant que Malouet, après avoir présidé le club des Impartiaux^ défunt aussi, se déclarait champion de Clermont-Tonnerre, une lettre du 24 janvier 1791, signée par de Broglie, -président, Villers, G. Bonnecarrère, Alex. Beauharnais, Voydel, secrétaires, adressée aux Amis de la Constitution, accusait le Cluh monarchique de chercher à exciter des troubles. Page 176 (1) Annales patriotiques, ii" 480, siippl. du 23 janvier 1791. — Voir Comité autric/iien. — Voir Club des Impartiaux. Page 372 Cette attaque était rude, car elle accusait le club en question d'avoir une attitude à la fois politique et religieuse, alors que l'Assemblée constituante rendait ses décrets abolissant les vœux monastiques, supprimant les droits féodaux; alors que le Club des Impartiaux^ lé Club monarchique, le Club des Feuillants, et la presse royaliste bat- taient en brèche les hommes avancés dont le but était de rompre entièrement avec l'ancien régime. Page 527 gicienne. >> Virieu, on le sait, était un des fondateurs du Club des Impartiaux (J). Page 527 (1) Voir, plus haut. Club des Impartiaux. Page 609 Le Club des Impartiaux, fondé à la fin de 1789 91 Page 613 Boufflers (chevalier de), membre de l'Académie française et député de Nancy, membre du. club monarchique, p. 152; du club des Impartiaux,, p. 92, 99, 106. Page 615 Clermont-Tonnerre (comte de), député, membre du club de Valois, p. 42: pro- nonce un discours au club des Impar- tiaux, p, 93; au club de Viroflay, p. 129; l'un des auteurs de la brochure Aux Nobles de Paris, p. 129 ; fondateur du club monarchique, p. 133, 160; figure au club des Impartiaux, p. 148 ; réunit des amis de la monarchie, p. 148; pa- tron actif du club monarchique, p. 164; membre du comité du club monarchique, p. 181, 202, 212, 225, 237, 232, 260 et suiv. ; réunions dans son hôtel, p. 202 et suiv., 228,233; son arrestation, p. 238; ses protestations après la journée du 28 mars 1791, p. 244 et suiv.; désigné comme membre du coinité Autrichien, p. 534. Page 616 Club de la rue de la Michodière. (Voir Club des Impartiaux, p. 93 en note.) Page 616 Club des Impartiaux, p. 26; réunion des. modérés, p. 91; ses principaux mem- bres, p. 92; son but, p. 92; fondation du club, p. 93; son organisation, p. 93; le Journal des Impartiaux, p. 93; les brochures, p. 97 ; exposé des motifs qui ont porté les Impartiaux à se réunir, p. 98 ; règlement, p. 100 ; principes des Impartiaux, p. 102; lettre des Impartiaux aux Amis de la Paix, p. 108; réponse à cette lettre, p. 114; polémiques, p. 116 et suiv.; sa disparition, p. 125. Page 621 aux réunions du club des Impartiaux, Page 623 La Chèze, l'un des fondateurs du club des Impartiaux, p. 99, 106. Page 623 La Coste (de), l'un des fondateurs du club des Impartiaux, p. 99, 106. Page 623 La Fare, évêque et député de Nancy» membre du club des Impartiaux, p. 92. Page 624 [[w:Louis Alexandre de La Rochefoucauld|Louis Alexandre de La Rochefoucauld, (6e duc de)]], député, membre du club de Valois, p. 52; conférence chez lui, p. 99 ; sa lettre au Mercure de France, relative à la fondation du club des Impartiaux, p. 105; l'un des signataires de la pièce Aux nobles de Paris, p. 129 ; membre du club des Feuillants, p. 290, 310, de la société de 1789, p. 409, 416, 421. Page 624 La Tour-Maubourg (chevalier de), mem- bre du club de Valois, p. 63; l'un des fondateurs du club des Impartiaux, p 99, 106. Page 625 Liancourt (duc de), député, membre du club de Valois, p. 34; l'un des fondateurs du club des Impartiaux, p. 99, 106; membre de la société de 1789? p. 409, 416. Page 625 Mallet du Pan, journaliste, membre du club des Impartiaux, p. 92, 496, 532. Page 629 Règlement du club des Impartiaux, p. 100. </poem> == Marron - Marronnage == [[w:Marronnage|Marron - Marronnage]] Cf. : Musiques des Caraïbes === Bibliographie (Marron - Marronnage) === * 2015 - {{bibliographie|Q62091856}} <!-- Polly Pattullo, Your time is done now : slavery, resistance and defeat --> == Karl Marx.- Le Capital == Karl Marx (Marx, Karl), 1818-1883 Karl Marx.- [[s:Le Capital|Le Capital]] T. 1, Lachâtre, 1872 Traducteur : Joseph Roy Paris, Maurice Lachâtre, 1872 Google Bibliothèque Bodléienne (Oxford) [https://fr.wikisource.org/wiki/Le_Capital/Texte_entier#cite_esclave Recherche "esclave"] '''Le capital T. 1, 1875''' Traduction de J. Roy, entièrement revisée par l'auteur Más detalles Paris : Maurice Lachantre et Cie., 1875 Internet Archive : Tome : [https://archive.org/details/BRes101968E I] Volume 1, Livre 1er : ''[https://archive.org/stream/BRes101968E#page/n11/mode/2up Développement de la production capitaliste]'' [https://archive.org/stream/BRes101968E#page/n33/mode/2up/search/esclave Recherche "esclave"] == Michel Miaille (Juriste) == * [[w:Michel Miaille|Michel Miaille]] * 1976 - {{Bibliographie|Q27863632}} == Magloire Pelage == * [[w:Magloire Pelage|Magloire Pelage]] * Vincent Huygues-Belrose.- "[http://etudescaribeennes.revues.org/623 Magloire Pélage à la Lunette Bouillé (Martinique, 1794)]", Études caribéennes, décembre 2005, consulté le 10 septembre 2015, DOI : 10.4000/etudescaribeennes.623. === Martinique (Rocher du Diamant) === Cf. [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages/Annexe/Lieux#Rocher du Diamant (Martinique)|Rocher du Diamant (Martinique)]] === Frédéric Mauro === * [[w:Frédéric Mauro|Frédéric Mauro]] == Frédéric Mazères == Mazères, F., secrétaire de l'[[w:Étienne Eustache Bruix|amiral Bruix]]<ref>Cf. Étienne Eustache Bruix (amiral Bruix)</ref> {{Citation bloc|MAZERES, colon de St.-Domingue, a beaucoup écrit sur les colonies, sur celle de Saint-Domingue, particulièrement en 1814, dans un moment où la paix momentanée dont jouissait la France permettait de songer aux moyens de les recouvrer. On a de lui : I. ''De l'Utilité des colonies, des causes intérieures de la perte de Saint-Domingue, et des moyens d'en recouvrer la possession'', 181 4, in-8°. II. ''Lettres à M. Simonde de Sismondi, sur les nègres, la civilisation de l'Afrique, Christophe et le comte de Limonade'', 1815, in-8°. Au mois de septembre 1814, le Journal des débats ayant publié une lettre du comte de Limonade, principal ministre de Christophe ( Voy. ces noms), M. Mazères y répondit par une autre lettre insérée dans la Gazette de France. Il y réfutait solidement les bruits accrédités sur la prétendue prospérité du royaume d'Haïti, en empruntant du ministre de Christophe lui-même, des armes pour le combattre. M. Mazères a encore publié : ''De Machiavel et de l'influence de sa doctrine sur les opinions, les mœurs et la politique de la France, pendant la révolution'', 1816, in-8°. L'auteur a peut-être été trop loin dans ses préventions contre Machiavel, en le rendant responsable des révolutions qui lui sont postérieures, et particulièrement de celle de France<ref>Cf. analyse contemporaine : [https://books.google.fr/books?isbn=2847887504 Jean-Louis Fournel].- [https://books.google.fr/books?id=rlwcCwAAQBAJ&lpg=PA508&dq=F.%20Mazères%20%2B%20amiral%20Bruix&hl=fr&pg=PA508#v=onepage&q=F.%20Mazères%20+%20amiral%20Bruix&f=false Langages, politique, histoire. Avec Jean-Claude Zancarini - Page 508, 2015]</ref>. On a encore de lui : ''Note d'un italien aux hautes puissances alliées, sur la nécéssité d'une confédération Italienne pour la paix de l'Europe, traduite de l'italien'', 1814, in-8°.|Biographie des hommes vivants, ou histoire par ordre alphabétique de la vie publique de tous les hommes qui se sont fait remarquer par leurs actions ou leurs écrits. Ouvrage entièrement neuf, rédigé par une société de gens de lettres et de savants. Tome premier (-cinquieme), 1818, 580 pages<ref>[https://books.google.fr/books?id=Whj-cMEs3jMC&dq=société%20savantes%20%2B%20Chevalier%20de%20Saint-George&hl=fr&pg=PA391#v=onepage&q=société%20savantes%20+%20Chevalier%20de%20Saint-George&f=false Biographie des hommes vivants, ou histoire par ordre alphabétique de la vie publique de tous les hommes qui se sont fait remarquer par leurs actions ou leurs écrits.]</ref>}} === Bibliographie === 1814 - {{Bibliographie|Q55500722}} 1814 - Benedetto Boselli (1768-1826), Frédéric Mazères (trad.).- ‎Note d'un italien (Benedetto Boselli) aux hautes puissances alliées sur la nécessité d'une confédération italienne pour la paix de l'Europe, traduite de l'italien par M. [F.] Mazères [secrétaire de l'amiral Bruix]<ref>[https://books.google.fr/books?isbn=8882294919 Giovanni Dotoli.- Les traductions de l'italien en français au XIXe siècle, 2004, p.257]</ref>. 1814 - [https://books.google.fr/books/content?id=w4OTyT2g_k0C&hl=fr&pg=PA368&img=1&zoom=3&sig=ACfU3U1CweAp4FMObXUim6KR8brQnhD6PA&ci=137%2C651%2C375%2C36&edge=0 5115 Notice historique sur Eustache Bruix] Par M MAZERES, Paris, Henrichs an XIII 1805 in 8° Pièce Bibliographie in [https://books.google.fr/books?id=SAkJAAAAQAAJ&dq=F.%20Mazères%20%2B%20amiral%20Bruix&hl=fr&pg=PA664#v=onepage&q=F.%20Mazères%20+%20amiral%20Bruix&f=false La France littéraire, ou Dictionnaire bibliographique des savants, Volume 5]. [https://www.google.com/search?biw=1458&bih=667&tbm=bks&ei=Hi1LW_zKEMv7UOO7i4AK&q=inauthor%3A%22Johann+Samuel+Ersch%22+%2B+Mazères&oq=inauthor%3A%22Johann+Samuel+Ersch%22+%2B+Mazères&gs_l=psy-ab.3...7858.13502.0.14514.10.10.0.0.0.0.564.1168.9j5-1.10.0....0...1c.1.64.psy-ab..0.0.0....0.itl52BJ1gEg Recherche google Livres] : inauthor:"Johann Samuel Ersch" + Mazères. La France litéraire: contenant les auteurs français de 1771 á 1796 == Meillassoux == * Anthropologie de l'esclavage: Le ventre de fer et d'argent * ''K. Marx distingue le salariat des formes « précapitalistes» d'exploitation du travail, tels l'esclavage et le servage.'' === Méthodologie === * [[w:Méthode expérimentale|Méthode expérimentale]]. Cf. [[d:Help:About_data/fr#Définition d'une donnée|d:Définition d'une donnée (Méthode expérimentale)]] == 1750-1819 - Médéric Louis Élie Moreau de Saint-Méry == [[w:Médéric Louis Élie Moreau de Saint-Méry|Médéric Louis Élie Moreau de Saint-Méry]] * [[d:Q64449379|1788]] - {{bibliographie|Q64450025}} <!-- Cercle des Philadelphes, Recueils de pièces imprimées, datées 1788--> ** 1788 - {{bibliographie|Q64449511}} <!-- Pierre-Victor Malouet, Mémoire sur l'esclavage des Nègres --> * 1789-1790 - {{bibliographie|Q72192411}} Voir la liste des auteurs, OCLC 1005403905 <!-- Louis-Élie Moreau de Saint-Méry (dir.) et archives nationales d'outre-mer (dir.), Recueils de pièces imprimées concernant la colonie de Saint Domingue, Île d'Haïti, 1789-1790 *** Loix et constitutions des colonies franc̜oises de l’Amérique sous le vent (Q22809616) Recueil de textes juridiques, Droit colonial. [https://fr.wikisource.org/wiki/Sujet:Vc2omiz1ef5cpqra Voir forum des nouveaux sur Wikisource], 30 novembre 2019 * 1791 - {{bibliographie|Q78992264}} <!-- 1791 - Louis-Élie Moreau de Saint-Méry (ill. Nicolas Ponce), Recueil de vues des lieux principaux de la colonie françoise de Saint-Domingue --> === Moreau de Saint-Méry, Description topographique et politique de la partie espagnole de l'isle Saint-Domingue === * 1796 - {{bibliographie|Q76862952}}, ouvrage en 2 volumes. <!-- 1796 - Louis-Élie Moreau de Saint-Méry, Description topographique et politique de la partie espagnole de l'isle Saint-Domingue --> ** 1796 - {{bibliographie|Q76863627}}, volumes premier. <!-- 1796 - Louis-Élie Moreau de Saint-Méry, Description topographique et politique de la partie espagnole de l'isle Saint-Domingue --> ** 1796 - {{bibliographie|Q76864767}}, volumes second. <!-- 1796 - Louis-Élie Moreau de Saint-Méry, Description topographique et politique de la partie espagnole de l'isle Saint-Domingue --> *** Description topographique, physique, civile, politique et historique de la partie espagnole/française de l'isle Saint-Domingue (Q22916106), Géohistoire de Saint-Domingue [https://fr.wikisource.org/wiki/Sujet:Vc2o4bduhliz7cws Voir forum des nouveaux sur Wikisource], 30 novembre 2019 * '''Recherche''' : Description topographique, physique, civile, politique et historique de la partie française de l'isle Saint-Domingue sur BnF 36401079d - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k111179t Gallica] * 2006 - {{bibliographie|Q76860881}} <!-- 2006 - Moreau de Saint-Méry ou les ambiguïtés d'un créole des Lumières --> * 2004 - {{bibliographie|Q78995631}} <!-- 2004 - Exposition Louis-Élie Moreau de Saint-Méry --> == Adah Isaacs Menken == Voir Alexandre Dumas == Jules Michelet, (1798-1874) == [[w:Jules Michelet|Jules Michelet]] * Histoire de la Révolution française, 1853, {{BNF|30943230z}} == Claude-Louis-Michel-Milscent de Mussé == [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Réflexions_à_propos_des_traites_&_esclavages#1740-1794_-_Les_œuvres_de_Claude-Louis-Michel-Milscent_de_Mussé_sous_l’angle_de_l'esclavage|1740-1794 - Les œuvres de Claude-Louis-Michel-Milscent de Mussé sous l’angle de l'esclavage]] === Modèles Wikiversité === * [[Wikiversité:Modèles|Wikiversité:Modèles]] * [[Wikiversité:Modèles/Ébauche|Wikiversité:Modèles/Ébauche]] ** [[Aide:Ébauche|Aide "Ébauche"]] == Mondialisation == * [[w:Mondialisation|Mondialisation]] {{Citation bloc|Les territoires valent par leur richesse. Or, deux sortes de richesses sont à considérer : les unes naturelles, les autres nées d'efforts humains.<br />a) Les [[w:Ressource naturelle|richesses naturelles]] sont inégalement réparties de par la terre. [..] Il s'agit, si l'on peut employer cette expression, de socialiser le droit international, comme on a socialisé le droit privé et de prendre à l'égard des richesses naturelles des mesures de "'''''mondialisation'''''"<ref> , [[w:Mondialisation#Étymologie|Mondialisation]] : "''première utilisation''" dans [[w: Paul Otlet|Paul Otlet]]. Les Problèmes internationaux et la guerre, tableau des conditions et solutions nouvelles de l'économie, du droit et de la politique, [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6571226k/f361.item.r=mondialisation page 337].]</ref>.<br /> b) Par l'accumulation des efforts de toute nature (techniques, industriels, commerciaux, financiers, politiques) de grandes sources de richesse ont pu aussi être créées artificiellement. [...]<br />Peu à peu s'est donc formée cette idée, doublée d'un sentiment juridique, que l'humanité est en droit d'attendre de tout peuple qu'il tire de son sol tout le profit normal possible selon les méthodes scientifiques et techniques ; que s'il ne le fait pas par ignorance ou inertie, il prive d'autres peuples qui en ont besoin et pourraient le faire ; partant, il crée pour ces peuples des droits virtuels sur ces territoires en friche. Cette théorie a servi de justification d'abord à la colonisation ; aujourd'hui on l'étend à tous les pays. Les peuples n'auraient donc plus de droits de propriété absolue sur leurs territoires ; ils en seraient seulement des sortes d'usufruitiers, responsables de la fructification devant l'humanité.|[[d:Q1868|Paul Otlet]] (1868-1944).- Les Problèmes internationaux et la guerre, tableau des conditions et solutions nouvelles de l'économie, du droit et de la politique, pp. 285 & ss, {{bibliographie|Q24348623}}<ref>[[w: Paul Otlet|Paul Otlet]]. Les Problèmes internationaux et la guerre, tableau des conditions et solutions nouvelles de l'économie, du droit et de la politique, [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6571226k/f361.item.r=mondialisation pp. 285-337].</ref>.}} === Mondialisation dans le "Vieux Monde" === ==== Mondes clos / Mondes ouverts ==== ==== Les mouvements religieux ==== ==== Les épices ==== ==== La porcelaine ==== === Première mondialisation, finitude des mondes === {{Citation bloc|De façon plus générale, l’étude historique du champ lexical de la mondialisation, en français et dans d’autres langues européennes, mise au regard du processus même de mondialisation depuis la fin du XVe siècle, permet de suivre les différentes étapes de l’élaboration d’un discours occidental sur la mise en place d’un Monde unifié à partir de l’époque moderne jusqu’à aujourd’hui.|Vincent Capdepuy.- Au prisme des mots: La mondialisation et l’argument philologique, Cybergeo : European Journal of Geography, 20 décembre 2011<ref>{{bibliographie|Q2434923}}</ref>.}} * Cf. "Compagnies, première mondialisation, finitude des mondes" sur cette page === Deuxième mondialisation : salariat & industrialisation === == Bibliographie == * [[d:Q61466517|2008]] - {{bibliographie|Q61466517}} <!-- Philippe Chalmin, Des épices à l'or noir : l'extraordinaire épopée des matières premières --> * 1997 - {{bibliographie|Q61473782}} <!-- Carlo Maria Cipolla (trad. Françoise Liffran), Le poivre, moteur de l'histoire : du rôle des épices, et du poivre en particulier, dans le développement économique du Moyen Âge --> == Monstre == [[Fichier:L'Hydre aristocratique, 1789.jpeg|100px|vignette|gauche|L'Hydre aristocratique, 1789]] * Michel Pastoureau (historien du Moyen Âge).- [http://plus.franceculture.fr/les-chevaliers-de-la-table-ronde-anthropologie-d-une-societe-imaginaire ''Les monstres'' à 11:25] in Les Chevaliers de la Table Ronde : Anthropologie d’une société imaginaire == Charles Louis de Secondat, baron de La Brède et de Montesquieu, 18 janvier 1689 -10 février 1755 == [[w:Montesquieu|Charles Louis de Secondat, baron de La Brède et de Montesquieu]] [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Réflexions_à_propos_des_traites_%26_esclavages#1711-1755_-_Les_œuvres_de_Montesquieu_sous_l'angle_de_l’esclavage|1711-1755 - Les œuvres de de Montesquieu sous l'angle de l’esclavage]] == Mirabeau (Famille) == * Cf. [[Utilisateur:Ambre Troizat/Famille Mirabeau Riqueti|Famille Mirabeau Riqueti]] == Morale == * [[w:Morale|Morale]] * Jean Pélissier et Maxime-Émile Arnaud.- La morale internationale : ses origines, ses progrès, Institut international de la paix, Monaco, 1912, {{BNF|310745260}}. == Moreau le Jeune == <gallery> File:Voltaire Oeuvres Kehl Widmung.jpg File:François-Alexandre-Frédéric de La Rochefoucauld-Liancourt (1747-1827).jpg File:Dejabin Collection - Charles-François de La Rochefoucauld-Bayers (1753-1819).jpg File:LJFrancoeur.jpg File:Lancez, professeur de violon.png File:Jean-François-Marmontel-Les-Incas MG 9021.tif </gallery> == Musées == === Musée du Nouveau Monde === * [[d:Q3330357|Musée du Nouveau Monde]], [[d:Q22955108|hôtel de Fleuriau]] * [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Acteurs_&_Lieux#M|Musée du Nouveau Monde]] ==== Apprentissage de Wikidata ==== Ambre Troizat (discussioncontributions) Bel bonjour, J'arrive sur Wikidata Flow. Je n'ai pas réussi, en suivant les instructions, à fusionner musée du Nouveau Monde (Q3330357) : musée français 6 Kio (21 mots) - 30 décembre 2016 à 11:54 musée du Nouveau Monde (Q22955108) : musée à La Rochelle (Charente-Maritime) 7 Kio (12 mots) - 30 décembre 2016 à 13:28 Un problème à partir de la langue, semble-t-il... Merci de procéder à cette fusion. VIGNERON (discussioncontributions) La prochaine fois, merci d'ouvrir une nouvelle discussion<ref>Méthodes & techniques</ref> plutôt que de parasiter<ref>Lexique</ref> une discussion existante. Pour ces deux éléments, je ne vois rien qui techniquement empêchait cette fusion, par contre '''conceptuellement''' ce sont deux choses différentes qu'il ne faut pas fusionner (l'institution et le bâtiment qu'il occupe), j'ai modifié les éléments pour que les choses soient plus claires (et désormais la fusion est techniquement impossible, '''les éléments étant reliés entre eux'''<ref>Méthodes & techniques</ref>). == Musique == === Musiques des Caraïbes === [[Fichier:FolleJournée2009 RenegadesSteelBand.jpg|100 px|vignette|gauche|Folle Journée 2009 Renegades SteelBand]] L'article "Musiques des Caraïbes" n'existe pas sur wikipédia ! === État actuel de la musique du roi et des trois spectacles de Paris === [https://catalogue.bnf.fr/changerPage.do?motRecherche=%C3%89tat+actuel+de+la+musique+du+roi+et+des+trois+spectacles+de+Paris&index=&numNotice=&listeAffinages=&nbResultParPage=10&afficheRegroup=false&pageEnCours=1&trouveDansFiltre=NoticePUB&trouverDansActif=false&triResultParPage=5&critereRecherche=0&typeNotice=&pageRech=rsi Liste BnF] 1767 - [https://archive.org/details/etatactueldelamu00pari/page/ Etat actuel de la musique du roi et des trois spectacles de Paris] 1768 - [https://books.google.fr/books?id=nFEGAAAAQAAJ Etat actuel de la musique du roi et des trois spectacles de Paris]. Google livre 1771 - [https://ia-petabox.archive.org/details/etatactueldelamu1771unse État actuel de la musique du roi et des trois spectacles de Paris]. Corriger erreur sur la date : 1771 au lieu de ''<small>1759</small>''. Voir également les [https://ia-petabox.archive.org/details/etatactueldelamu1771unse/page/n7/mode/2up notes ici] 1772 - [https://www.loc.gov/item/2014572211/ État actuel de la musique du roi et des trois spectacles de Paris] 1773 - [https://archive.org/details/etatactueldelamu00unse/ État actuel de la musique du roi et des trois spectacles de Paris] 1774 - [https://archive.org/details/tatactueldelamus00pari/ État actuel de la musique du roi et des trois spectacles de Paris] == Aire géographique & Histoire == Nous disons [[w:Mer des Caraïbes|Mer des Caraïbes]] pour faire court. Nous considérerons l'ensemble composé de la mer des Caraïbes et du golfe du Mexique, autrement dit, la "Méditerranée américaine" ou mieux encore "La Méditerranée des Caraïbes" pour rendre aux Caraïbes ce qui leur appartient. On dit aussi "espace caraïbe". {{Citation bloc|Les mêmes phénomènes se retrouvent pour la Méditerranée américaine, mer des Caraïbes et golfe du Mexique, à Vera-Cruz où elles ont au maximum 60 centimètres et pour la Méditerranée d’Australasie, mers de Chine, de Soulou, de Célèbes, de Banda, de Java, où elles ne dépassent guère 2 mètres|(Julien Thoulet, L’océan : ses lois et ses problèmes, 1904)<ref>Julien Thoulet, [https://archive.org/details/locansesloiset00thou/page/n12 L’océan : ses lois et ses problèmes], 1904</ref>.}} {{Citation bloc|'''Crokaert (Jacques), La Méditerranée américaine, L'Expansion des États-Unis dans la mer des Antilles'''<br /> M. Crokaert, chargé de missions par le gouvernement belge, a visité les Antilles et le littoral de ce qu'il nomme si heureusement "la Méditerranée américaine", et ce sont les résultats de son voyage qu'il nous expose en un ouvrage aussi intéressant qu'instructif. Il a étudié avec soin ces îles si diverses, où tant de civilisations ont laissé leur empreinte et les décrit à la fois en économiste, en homme politique et en voyageur épris de leur pittoresque si prenant. En une synthèse rapide, M. C. nous expose les débuts de la colonisation de toutes ces terres, où chaque nation a expérimenté son génie propre. De la Barbade à Trinidad, en passant par les Antilles Françaises, Cuba, les Bahamas et les Bermudes, M. C. nous entraîne au Mexique, en Amérique centrale et enfin à Panama, dont la République, inventée de toutes pièces, a valu à la zone du canal son prodigieux développement.<br /> De cette longue randonnée, M. C. rapporte de multiples observations, d'où il semble résulter que l'on assiste, sous ce ciel radieux, à une âpre lutte, tantôt ouverte, le plus souvent dissimulée, entre l'Empire Britannique et la grande République nord-américaine, pour la création de bases navales — en cas de conflits possibles. Les États-Unis ont, jusqu'à présent, le beau rôle, tantôt annexant, parfois protégeant, selon leur intérêt strict, les Républiques insulaires ou les États de la Côte Ferme, mais créant ainsi, sans peut-être s'en rendre compte bien exactement, un inquiétant état d'esprit dans les grandes Républiques latines du Sud, qu'ils affectent — un peu trop peut-être — de sous-estimer.<br /> Comme toujours, dans la collection Payot, une bibliographie succincte, mais sérieusement établie, termine l'ouvrage. Par contre, nous pensons qu'il vaut mieux ne rien dire de la carte "enfantine", illustrant le volume. Deux petites erreurs à signaler : Toussaint l'Ouverture (p. 54) et p. 249, le prince «Bolo » pour le prince Bobo.|Albert Depréaux In Revue d'histoire moderne, tome 4 N°21, 1929. p. 236<ref>Albert Depréaux In [https://www.persee.fr/doc/rhmc_0996-2727_1929_num_4_21_3552_t1_0236_0000_2 Revue d'histoire moderne, tome 4 N°21, 1929. p. 236]. {{bibliographie|Q62103444}}, préface de M. Henri Jaspar, 1927, VIII-278 p. in-8°.</ref>.}} === Un espace de plus en plus ouvert === * Le canal de Panama * Le canal du Nicaragua [[Fichier:Nicaragua canal proposals - es.svg|vignette|Propositions pour le canal du Nicaragua, 2014.]] La tracé en vert, au sud de Bluefields, est celui qui est retenu1. En bleu le canal de Panama. === Comment les flots & les flux de musique animent & unifient l'espace caraïbe === === Les portes du Nouveau Monde === * [[w:Histoire de la musique|Histoire de la musique]] '''Genre musical''' * [[w:Musique du continent américain|Musique du continent américain]] * [[w:Musique amérindienne|Musique amérindienne]] * [[w:Garifunas|Musique des Garifunas]] * [[w:Musiques métisses|Musiques métisses]] '''Par ordre alphabétique''' * [[w:Musique colombienne|Musique colombienne]] * [[w:Musique cubaine|Musique cubaine]] * [[w:Musique des États-Unis|Musique des États-Unis]] * [[w:Musique guyanaise|Musique guyanaise]] * [[w:Musique latine|Musique latine ou ''latino'']] * [[w:Musique des Antilles françaises |Musique des Antilles françaises]] ** [[w:Musique martiniquaise|Musique de la Martinique]] * [[w:Musique portoricaine|Musique de Portorico]]La Méditerranée '''Par genre d'influence''' * [[w:Tango (musique)|Tango (musique)]] '''Musiques religieuses''' Les Musiques religieuses des Amériques, [[w:Musique afro-caribbéenne|Musiques caribbéennes]], sont nées d'influences diverses : ** [[w:Musique afro-brésilienne|Musique brésilienne]] : ''cultes d'influences africaines'' dans les Caraïbes ** [[w:santeria|Musique santeria]], [[w:vaudou|Musique vaudou]], ** [[w:espiritismo|espiritismo]], ** [[w:Musiques chamaniques|Musiques chamaniques]] des continents américains ** [[w:nyabinghi|nyabinghi]] : le nyabinghi est la musique rituelle jouée lors des grounations rastas. Elle a donné naissance à une musique spirituelle et politique : le reggae. ==== Bibliographie (Méditerranée des Caraïbes) ==== * [[d:Q51422846|1904]] - {{Bibliographie|Q51422846}} <!-- Julien Thoulet, L'océan : ses lois et ses problèmes --> * 1927 - Jacques Crokaert.- [https://books.google.fr/books?id=pvpkAAAAMAAJ La Méditerranée américaine]: l'expansion des États-Unis dans la mer, 1927 * 1930 - Léon Rollin.- [https://books.google.fr/books?id=I6FTR1za450C Sous le signe de Monroe autour de la Méditerranée américaine], 1930 * [https://docplayer.fr/9852998-Mediterranee-caribeenne-mediterranee-americaine.html Méditerranée caribéenne, Méditerranée américaine], diapositives ==== Bibliographie (Musique) ==== * 1759 - [[w:Jean le Rond D'Alembert|Jean Le Rond d'Alembert]].- [https://books.google.com/books?id=yz0HAAAAQAAJ Élémens de musique, théorique et pratique, suivant les principes de m. Rameau], Chez C.-A. Jombert, 1759. {{bibliographie|Q24714998}} * 1989 - [[d:Q24712228|Michelle Biget-Mainfroy]].- [[d:Q24712396|Musique et Révolution française : la longue durée]]. {{bibliographie|Q24712228}} ==== Sites Internet ==== * [https://www.universalis.fr/encyclopedie/caraibes-mer-des-caraibes-et-golfe-du-mexique/ Caraïbes, Mer des Caraïbes et golfe du Mexique], [https://www.universalis.fr/carte-mentale/caraibes-mer-des-caraibes-et-golfe-du-mexique/ carte mentale] * [http://www.cosmovisions.com/MerCaraibes.htm La mer de Caraïbes, Mer des Antilles] == N == [[Fichier:Luca Pacioli, De divina proportione, Letter N.jpg|100px|vignette|centré]] == Nanon, mère de Saint-George == === Dors mon enfant sage : The Status of Women in Atlantic World History === Dors mon enfant sage · Coro dei preti "I figli di Maria" · Traditional <nowiki><https://www.youtube.com/watch?v=R-jsTNlpHZA>.</nowiki> <https://open.spotify.com> track › 4YKZnXipLfqsJ3bXZOmaTV Dors mon enfant sage - song and lyrics by Coro dei preti "I figli di ... Dors mon enfant sage - song and lyrics by Coro dei preti "I figli di Maria" | Spotify Home Search Your Library Create Playlist Privacy Center Cookies Preview of Spotify Sign up to get unlimited songs and podcasts with occasional ads. No credit card needed. Sign up free 0:00 0:00 Company About Jobs J'ai associé cette chanson à Saint-George dès que j'ai connu la musique. Et de fait, c'est de l'époque de Saint-George Avec des paroles qui peuvent différer Dors, mon enfant, clos ta paupière Language: French (Françai ​<https://www.lieder.net/lieder/get_text.html?TextId=128941>​ '''A noter :''' Lorsque par de douces tendresses, Ton père fut gagner ma foi, '''Lire :''' Lorsque par de douces tendresses, Ton père sut gagner ma foi, '''Il s'agit d'un s long''' qui caractérise les écrits et imprimés jusqu'à la fin du XVIIIème siècle.. Voir l'original et une analyse de l'ouvrage : <https://www.google.fr/books/edition/Chansons_choisies_avec_les_airs_not%C3%A9s/iMQ7AAAAcAAJ?hl=fr&gbpv=1&pg=PA52&printsec=frontcover> ​<https://www.google.fr/books/edition/Biblioth%C3%A8que_des_sciences_et_des_beaux/0AGfsh4bmXwC?hl=fr&gbpv=1&pg=PA202&printsec=frontcover>​ === Solitude & Marthe Rose, dite Toto, concubine de Delgrès === Sur Wikipédia {{fr}} [[w:La Mulâtresse Solitude|La Mulâtresse Solitude]] {{en}} [[w:en:La Mulâtresse Solitude|La Mulâtresse Solitude]] [[w:Solitude (vers 1772-1802)|Solitude (vers 1772-1802)]] La première trace de [[w:Solitude (esclave guadeloupéenne)|Solitude]] est dans l'histoire de la Guadeloupe . Très longtemps cette histoire de la Guadeloupe a été une référence pour les chercheurs. Je lui dois beaucoup dans la rédaction de mon Deug. [https://archive.org/details/histoiredelaguad03laco/page/310/mode/2up?q=Solitude Voici ce qu'elle dit, cette histoire]. [https://www.facebook.com/saintgeorge.dalayrac/posts/10216755259785608:77 Votre document est différent du mien] et parle de [https://books.google.fr/books?id=e817AAAAMAAJ&pg=PA398&dq=inauthor:%22Auguste+Lacour%22+%2B+la+mul%C3%A2tresse+Marthe-Rose,+dite+Toto,+concubine+de+Delgr%C3%A8s&hl=fr&sa=X&ved=2ahUKEwiakLupuonsAhUr4YUKHZ_uAWwQuwUwAHoECAEQBw#v=onepage&q=inauthor%3A%22Auguste%20Lacour%22%20%2B%20la%20mul%C3%A2tresse%20Marthe-Rose%2C%20dite%20Toto%2C%20concubine%20de%20Delgr%C3%A8s&f=false "la mulâtresse Marthe-Rose, dite Toto, concubine de Delgrès]. Des écrivains et artistes semblent avoir fait une légende de l'histoire de deux femmes. Voir aussi : [https://www.facebook.com/106879605998916/photos/a.674508805902657/3506281212725388?comment_id=3509401292413380 fil de discussion 1] ; [https://www.facebook.com/groups/abolirlesclavageaujourdhui/permalink/2088042484659174 fil de discussion 2]. ==== La Mulâtresse Solitude, œuvre littéraire ==== * 1972 - {{bibliographie|Q108907606}} <!-- La Mulâtresse Solitude --> * 1985 - {{bibliographie|Q112581335}} Ed. remaniée de la thèse soutenue sous le titre : "Les femmes esclaves aux Antilles françaises (XVIIe-XIXe siècle)", Paris E.H.E.S.S, 1982 <!-- Les sœurs de Solitude --> * 2014 - {{bibliographie|Q26243513}} <!-- Ronald Dufour, From Partner to Peripheral. The Status of Women in Atlantic World History --> * Plaintes d'une femme abandonnée par son amant, Air N° I. [https://www.google.fr/books/edition/Chansons_choisies_avec_les_airs_not%C3%A9s/iMQ7AAAAcAAJ?hl=fr&gbpv=1&pg=PA52&printsec=frontcover DORS mon enfant clos ta paupiere] <poem> DORS mon enfant clos ta paupiere Tes cris me déchirent le cæur Dors mon enfant ta pauvre mere À bien assez de fa douleur </poem> Cette oeuvre est édité dans de [https://www.google.com/search?hl=fr&tbo=p&tbm=bks&q=DORS+mon+enfant+clos+ta+paupiere nombreux ouvrages] dont, "[https://www.google.fr/books/edition/Les_bijoux_des_neuf_soeurs/aZJcAAAAcAAJ?hl=fr&gbpv=1&dq=DORS+mon+enfant+clos+ta+paupiere&pg=PA254&printsec=frontcover Les bijoux des neuf-soeurs]. Avec gravures - Volume 1 - Page 254, 1790. * [https://www.google.fr/books/edition/Biblioth%C3%A8que_des_sciences_et_des_beaux/0AGfsh4bmXwC?hl=fr&gbpv=1&pg=PA206&printsec=frontcover Analyse du texte]. == Nation - Etat-nation == * Voir la page thématique "[[Utilisateur:Ambre Troizat/Géopolitique de la Première mondialisation|Géopolitique de la Première mondialisation]]". * https://books.google.com/ngrams/graph?content=Nation&year_start=1400&year_end=2020&corpus=15&smoothing=1&share=&direct_url=t1%3B%2CNation%3B%2Cc0 Nation (en)] * [https://books.google.com/ngrams/graph?content=Nation&year_start=1500&year_end=2020&corpus=19&smoothing=1&share=&direct_url=t1%3B%2CNation%3B%2Cc0 Nation (fr] === Qu'est-ce qu'une nation ? === * 1792 - {{bibliographie|Q102181586}} <!-- Jean François Lambert, Qu'est-ce qu'une nation --> * 1848 - {{bibliographie|Q52391279}} <!-- Ce que c’est qu’une nation éclairée --> * 1887 - {{bibliographie|Q3412537}}, œuvre écrite <!-- Renan, Qu'est-ce qu'une nation ? --> ** 1887 - {{bibliographie|Q19225944}}, Conférence <!-- Renan, Qu'est-ce qu'une nation --> * 2020 - {{bibliographie|Q102183894}} <!-- Pascal Ory, Qu'est-ce qu'une nation ? --> === Emmanuel-Joseph Sieyès.- Qu’est-ce que le tiers état ? Référence sur la question de la nation === {{Citation bloc|− HIST. '''Pendant la Révolution française'''. Ensemble des personnes formant le Tiers État. Le Tiers embrasse donc tout ce qui appartient à la nation; et tout ce qui n'est pas le Tiers ne peut pas se regarder comme étant de la nation (Sieyès,Tiers état, 1789, p.32<ref>Cf. Emmanuel-Joseph Sieyès.- [[s:Livre:Sieyès-Qu'est_ce_que_le_tiers_état-1888.djvu|Qu’est-ce que le tiers état ?]] Société de l'Histoire de la Révolution Française, 1888 (p. 51-117).<br>[https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb31365933x Voir une édition de 1789]</ref>).Au fur et à mesure que s'approfondissent les luttes révolutionnaires, la nation tend, dans le langage du temps, à s'identifier au peuple révolutionnaire qui a abattu la monarchie (R. Martelli,La Nation, Paris, Éd. soc., 1979, p.22).| cnrtl.fr/definition/nation}} == Necker == == Jean-François Niort == * [[Wikidata:Q21997211|Jean-François Niort (Q21997211)]] * [http://www.librairie-sciencespo.fr/recherche/resultat.html Bibliographie de la librairie-sciencespo.fr] == O == == Omar Ibn Saïd == Camille Cado.- Omar Ibn Saïd, [https://www.actualitte.com/article/monde-edition/la-rare-autobiographie-d-un-esclave-du-xixe-siecle-disponible-en-ligne/92961?fbclid=IwAR2DsH7LjmphOQS5USo-vOof_L8PgX315Tg0THoW9NbEuZciwBJeKX3WRuE La rare autobiographie d'un esclave du XIXe siècle disponible en ligne], Edition - Bibliothèques - Obar Ibn Said esclave - autobiographie esclave - Bibliothèque du Congrès, 24.01.2019 == OpenEdition == * 39 ouvrages de la collection "[http://www.iheal.univ-paris3.fr/fr/editions/collection-travaux-et-mémoires Travaux & mémoires]" sont désormais disponibles en [http://books.openedition.org/iheal/93 accès libre] (au format html) sur [http://www.openedition.org/ OpenEdition]. Parmi ces ouvrages, on signalera particulièrement les suivants, dans le cadre de l’histoire ultramarine * Autour de l’« Atlantique noir ». Une polyphonie de perspectives, Carlos Agudelo, Capucine Boidin et Livio Sansone eds * De Nova Lisboa à Brasília. L’invention d’une capitale (XIXe-XXe siècles), Laurent Vidal * Le Portugal à la rencontre de trois mondes. Afrique, Asie, Amérique aux XV-{{S|17}}s, Guy Martinière * Transport et commerce en Amérique latine. 1800-1970, Frédéric Mauro et Soline Alemany, eds * Le Guide des sources de l’histoire du Brésil aux Archives du ministère français des Affaires étrangères, Pascal Even, Société française d’histoire des outre-mers.- [http://www.sfhom.com/spip.php?article1308 La collection « Travaux et mémoires » des Éditions de l’IHEAL est accès libre sur OpenEdition], 7 novembre 2015 à 15h24. * Voir : [[w:Accès libre|Accès libre]] ; [[w:OpenEdition|OpenEdition]] ; [[w:Outre-mers|Outre-mers]] === A saisir sur Wikidata === * 1740 - [[d:Q87479411|Déclaration du roy concernant les nesgres esclaves des colonies (Q87479411)]], donnée à Versailles, le 15 décembre 1740 ** {{bibliographie|Q87479411}} * 1765 - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6528265g/f5.item École d'équitation a l'usage du régiment de cavalerie de Penthièvre en garnison à Colmar], signé Rauch, officier d'hussard] * [https://www.google.com/search?q=%C3%89COLE+D%27%C3%89QUITATION+A+L%27USAGE+DU+R%C3%89GIMENT+DE+CAVALERIE+DE+PENTHI%C3%88VRE&tbm=bks&sxsrf=AJOqlzXkehu6Ye337mP3uoI-RMyjZVYiMA:1673205376804&ei=gBa7Y63OMJaYkdUPk6WEwAo&start=10&sa=N&ved=2ahUKEwitjvvg17j8AhUWTKQEHZMSAagQ8tMDegQIDxAE&biw=1373&bih=566&dpr=1 École d'équitation a l'usage du régiment de cavalerie de Penthièvre] * 1889 - [https://www.google.fr/books/edition/Origines_de_l_Ecole_de_cavalerie_et_de_s/GxcwAAAAYAAJ?hl=fr&gbpv=0&bsq=Ordonnances%20Penthievre%20%2B%201765 Louis-Auguste Picard.- Origines de l'École de cavalerie et de ses traditions équestres : Équitation, dressage, hippiatrique, maréchalerie, haras, remonte, harnachement, uniformes, organisation militaire, règlements de cavalerie] · Volume 1 * 2022 - [https://www.google.fr/books/edition/Les_minorit%C3%A9s_noires_en_France/dAtvEAAAQBAJ?hl=fr&gbpv=1&dq=Les+minorit%C3%A9s+noires+en+france&pg=PA13&printsec=frontcover Les minorités noires en France] '''Jeanne Oddo''' * Bernard Gainot.- [https://www.google.fr/books/edition/Les_officiers_de_couleur_dans_les_arm%C3%A9e/C3ZfZ8Dn9QoC?hl=fr&gbpv=1&dq=Jeanne+Odo+bataillon+des+colonies+1793&pg=PA56&printsec=frontcover Les officiers de couleur dans les armées de la République et de l'Empire (1792-1815), 2007 Colonies (FRANCE).- [https://www.google.fr/books/edition/De_la_repr%C3%A9sentation_des_Colonies_dans/pkcxrD5Pk8YC?hl=fr&gbpv=0 De la représentation des Colonies dans le parlement], 1847 * 1789 - Georges-Denis Weil.- Les élections législatives depuis 1789, histoire de la législation et des moeurs, 1895 * 2019 - Les colonies, la Révolution française, la lo 2019i === Esclavage dans la Revue historique de Droit français et étranger === [[Fichier:Angelo Soliman.jpg|100px|vignette|gauche|[[w:Angelo Soliman|Angelo Soliman, 1721- 21 novembre 1796]].]] * {{bibliographie|Q116035680}} La valeur juridique des préambules des ordonnances royales (Q116035680) * Revue historique de Droit français et étranger + François Seignalet-Mauhourat + préambules + ordonnances royales * [https://www.google.fr/books/edition/L%C3%A9gif%C3%A9rer_gouverner_et_juger/Q8qtDQAAQBAJ?hl=fr&gbpv=1&dq=Revue+historique+de+droit+fran%C3%A7ais+et+%C3%A9tranger+%2B+La+valeur+juridique+des+pr%C3%A9ambules+des+ordonnances+royales&pg=PA355&printsec=frontcover Les préambules des ordonnances françaises aux XVIIème & XVIIIème siècles] * Penthièvre + L'étranger , réduit à la servitude , y trouva même un asile , et il a toujours sufti , depuis , qu'il soit entré dans ce royaume pour y recouvrer un bien qui est commun à tous les hommes * Penthièvre + Contrairement aux principes, coloniaux et capitaines de navires vendaient des esclaves à des métropolitains et ceux-ci profitaient du travail servile d'individus qu'ils n'avaient pas le droit d'acquérir == Ouvrier == * [[wikt:ouvrier|Ouvrier]].- Du latin [[wikt:operarius|operarius]] (« ouvrier »), l’évolution phonétique est la même que celle qui de opera mène à œuvre, et operari à ouvrer, œuvrer. * {{R:Gaffiot|operarius}} * {{R:Gaffiot|page=21}} * [[w:Ouvrier|Ouvrier]] * [http://www.cnrtl.fr/definition/ouvrier Ouvrier (cnrtl.fr)] * J.-J. Baude.- [[s:Les Ouvriers (Revue des Deux Mondes 1848)|Les ouvriers]], Revue des Deux Mondes T. 22, 1848 * [[s:Page:Zola - Germinal.djvu/186|Est-ce que tous les citoyens n’étaient pas égaux depuis la Révolution ?]] [[s:Page:Zola - Germinal.djvu/187|Puisqu’on votait ensemble, est-ce que l’ouvrier devait rester l’esclave du patron qui le payait ?]]. Émile Zola.- [[s:Germinal|Germinal]], G. Charpentier, Paris, 1885. == P == [[Fichier:Luca Pacioli, De divina proportione, Letter P.jpg|100px|vignette|centré]] == Sébastien Le Prestre, marquis de Vauban (1633-1707) : Un économiste et statisticien sous Louis XIV == Vauban économiste === Mémoire pour le rappel des Huguenots === * 1689 - {{Bibliographie|Q111433878}} <!-- Mémoire pour le rappel des huguenots --> [[w:Sébastien_Le_Prestre_de_Vauban|Sébastien Le Prestre, marquis de Vauban]] est un ingénieur, architecte militaire, urbaniste, ingénieur hydraulicien et essayiste français. Il est nommé maréchal de France par Louis XIV. {{Citation bloc| Mémoire pour le rappel des huguenots : ''Un éloquent plaidoyer historique, en faveur des protestants, de la part du grand stratège militaire du roi Louis XIV, Vauban''. <br />''Ce grand soldat désintéressé, aussi richement pourvu d'idées que de bon sens est plus propre que nul autre à porter sur l'action la lumière de la pensée''.", Charles de Gaulle, La France et son Armée<br />"En prenant la défense des protestants français, Vauban se place à la fois sur le plan politique et sur le plan éthique ..." Pasteur Philippe Vassaux|}} == Le Pacifisme sous l'Ancien Régime == [[w:Pacifisme|Pacifisme]] à ne pas confondre avec [[w:Antimilitarisme|Antimilitarisme]] * Cf. Charles-Irénée Castel de Saint-Pierre (1658-1743) : Un pacifiste sous Louis XV === Charles-Irénée Castel de Saint-Pierre (1658-1743) : Un pacifiste sous Louis XIV & XV === [[w:Charles-Irénée Castel de Saint-Pierre|Charles-Irénée Castel de Saint-Pierre]] {{Citation bloc|Vauban<ref>[[w:Sébastien_Le_Prestre_de_Vauban#Activités_civiles_:_Vauban_critique_et_réformateur|Vauban critique et réformateur]]</ref>, Fénelon, Catinat, les ducs de Saint-Simon, de Chevreuse, de Beauvilliers, ce groupe secret de réformateurs qui se réunissait autour du duc de Bourgogne<br />[[w:Charles-Irénée Castel de Saint-Pierre|Charles-Irénée Castel de Saint-Pierre]] était aumônier de la [[w:Élisabeth-Charlotte de Bavière|princesse Palatine, Élisabeth-Charlotte de Bavière, (1652-1722)]], protestante d’origine, qui avait dû se convertir en quelques jours pour épouser le duc d’Orléans|2016 - {{Bibliographie|Q111432326}} <!-- Un pacifiste libéral du XVIIIe siècle -->}} === La société des nations de l'abbé de Saint-Pierre === * 1932 - {{Bibliographie|Q111435436}} Projet de paix perpétuelle, publié pour la première fois en 1713, du vivant de Louis XIV, et l’année même de la paix d’Utrecht <!-- La société des nations de l'Abbé de Saint-Pierre --> === Bibliographie (Pacifisme) === * 1917 - {{Bibliographie|Q111432024}} <!-- Un pacifiste sous Louis XV : la société des nations de l'abbé de Saint-Pierre --> * 2015 - {{Bibliographie|Q111435251}} <!-- Bruno Arcidiacono, Cinq types de paix --> * 2016 - {{Bibliographie|Q111432326}} <!-- Un pacifiste libéral du XVIIIe siècle --> == Thomas Paine == [[w:Thomas Paine|Thomas Paine]] [[s:Auteur:Thomas_Paine|Auteur : Thomas Paine]] * 1894 - {{Bibliographie|Q28939099}} <!-- --> * 1999 - {{bibliographie|Q28938818}} <!-- --> == Luca Pacioli == [[Fichier:Pacioli.jpg|100px|vignette|gauche]] [[Fichier:De divina proportione title page.png|100px|vignette|gauche]] {{Autres projets | idfaculté = histoire | commons = Category:Font design by Luca Pacioli | commons titre = Font design by Luca Pacioli | wikispecies = | wikispecies titre = | w = Luca Pacioli | wikipedia titre = Luca Pacioli | wikt = | wiktionary titre = | b = | wikibooks titre = | s = | wikisource titre = | q = | wikiquote titre = | n = | wikinews titre = | m = | meta titre = | d = | wikidata titre = | voy = | wikivoyage titre = }} * {{Ouvrage | langue = la | prénom1 = Luca | nom1 = Pacioli, c.1445-1517 | prénom2 = Leonardo | nom2 = da Vinci, 1452-1519 | prénom3 = Antonio | nom3 = Capella, Éditeur scientifique | lien auteur1 = w:Luca Pacioli | lien auteur2 = w:Léonard de Vinci | lien auteur3 = w:Antonio Capella | titre = Divina proportione : opera a tutti glingegni perspicaci e curiosi necessaria oue ciascun studioso di philosophia: prospettiua pictura sculptura : | sous-titre = architectura: musica: e altre mathematice: suavissima: sotile: e admirabile doctrina consequira: e delecterassi: co[n] varie questione de secretissima scientia | lien titre = w:De divina proportione | numéro 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[https://www.google.fr/search?hl=fr&tbm=bks&sxsrf=ACYBGNT2Rwemczwi__tGfYN6OjJGe-tpzA%3A1577903173731&ei=ReQMXqSgLOaclwS275XwBw&q=inauthor%3A%22Gabriel+Peignot%22+%2B+esclave&oq=inauthor%3A%22Gabriel+Peignot%22+%2B+esclave&gs_l=psy-ab.12...763.15112.0.18452.10.8.0.0.0.0.1400.3574.0j4j1j0j1j0j1j1.8.0....0...1c.1.64.psy-ab..2.0.0....0.ikdh18ifFRA inauthor:"Gabriel Peignot" + esclave] [[w:Gabriel Peignot|Gabriel Peignot]].- [https://books.google.fr/books?id=3DhWAAAAYAAJ&pg=RA1-PA89&dq=inauthor:%22Gabriel+Peignot%22+%2B+esclave&hl=fr&sa=X&ved=0ahUKEwjFp-q7g-PmAhWjyIUKHemUDngQ6AEIKTAA#v=onepage&q=inauthor%3A%22Gabriel%20Peignot%22%20%2B%20esclave&f=false Mélanges littéraires, philologiques et bibliographiques], contenant des recherches sur l'étymologie des noms propres dans les premiers temps de la monarchie, etc: sur l'origine connue de quelques mots de langue française avant la révolution; sur les langues et particulièrement sur les ouvrages polyglottes, avec l'Oraison dominicale et quelques mots rendus en un grand nombre de langues; sur la disposition de l'écriture chez les différens peuples; sur la langue celtique et gauloise; sur les différentes éditions de l'Art de vérifier des dates, etc. etc. etc {{Citation bloc|On aperçoit pour la première fois depuis Hugues Capet une main de justice sur le sceau de Louis X.<br />Ce roi rendit en 1515 un édit qui affranchit tous esclaves, gens de corps, gens de main morte et gens de poueste, selon l'ancienne manière de parler moyennant une certaine somme. Il y déclare qu'étant roi des Francs il désiroit qu il n y eût plus d'esclaves dans son royaume. Voilà de beaux sentimens d'humanité et bien dignes d'un roi de France. Ils auroient encore plus de prix si un entier désintéressement les eût accompagnés. Sans doute les besoins de l.état exigeoient que l'on payât une redevance pour obtenir sa liberté|Gabriel Peignot<ref>A propose de l’[https://books.google.fr/books?id=JTMvAAAAMAAJ&dq=inauthor%3A%22Gabriel%20Peignot%22%20%2B%20esclave&hl=fr&pg=PA79#v=onepage&q=inauthor:%22Gabriel%20Peignot%22%20+%20esclave&f=false édit d'abolition de l’esclavage de Louis X dit le Hutin].</ref>}} {{Citation bloc|Jeanne fille de Louis et de Marguerite est éliminée du de France Nous avons vu qu elle fut mariée par du 5 mai 1318 à Philippe le Sage de Louis comte d Evreux Elle lui été accordée par acte du 27 mars 1317 c est à dire 1318 parce que l commençoit alors à Pâques La qu accorda le pape Jean XXII nécessaire puisque Jeanne n avoit que six ans Par le même acte d accord du 27 mars 1317 dont nous venons de parler Eudes duc de Bourgogne oncle maternel et tuteur de Jeanne renonce au nom de sa pupille à tous droits sur couronnes de France de Navarre et sur les comtés de Champagne et de Brie moyennant indemnité et retour des comtés à défaut d'hoirs mâles du roi Philippe le Sage comte d Evreux né en 13o5 meurt le 16 septembre an 1343 à Xérès en Andalousie Jeanne sa femme meurt le 6 octobre 1649 Leurs enfans furent 1 Charles le Mauvais roi de Navarre 2 Philippe comte de Longueville 3 Louis comte de Beaumont le Roger 4 Jeanne religieuse à Lonchamps 5 Blanche mariée au roi Philippe de Valois 6 Marie femme de Pierre IV roi d Arragon 7 Agnès alliée à Gaston Phœbus III comte de Foix et 8 Jeanne femme de Jean vi comte de Rohan|Gabriel Peignot<ref>A propose de la [https://books.google.fr/books?id=JTMvAAAAMAAJ&dq=inauthor%3A%22Gabriel%20Peignot%22%20%2B%20esclave&hl=fr&pg=PA80#v=onepage&q=inauthor:%22Gabriel%20Peignot%22%20+%20esclave&f=false Première application de la loi salique.]</ref> [[w:Loi salique|loi salique]].}} === Pardessus, Jean Marie, 1772-1853 - Loi salique; ou, Recueil contenant les anciennes rédactions de cette loi === * Esclavage <https://archive.org/details/loisaliqueourecu00parduoft/page/460/mode/2up?q=esclavage> dans Loi salique; ou, Recueil contenant les anciennes rédactions de cette loi et le texte connu sous le nom de Lex emendata, avec des notes et des dissertations par J.M. Pardessus == Peine de mort == 1908 - Jean Jaurès, Discours de Jean Jaurès pour l'abolition de la peine de mort (lire sur Wikisource)Voir et modifier les données sur Wikidata, « En 1908, la Chambre des députés a été saisie d'un projet de loi relatif à l'abolition de la peine de mort et de deux propositions de loi tendant au même objet, l'une de Joseph Reinach.. » — La Revue socialiste - numéros 129 à 138, p. 80, 1960 == Philalèthes ou philalètes == [[w:Philalèthes|Philalèthes ou philalètes]] * 2016 - {{bibliographie|Q27824519}} {{Citation bloc|[[w:Illuminés de Bavière|Illuminés de Bavière]] : [[w:société secrète|société secrète]] [[w:Allemagne|allemande]] du {{s|XVIII}} qui se réclamait de l{{'}}''{{lang|de|[[w:Aufklärung|Aufklärung]]}}'' et plus généralement de la [[w:Lumières (philosophie)|philosophie des Lumières]].<br />En [[w:1787|1787]], le journaliste [[w:Johann Joachim Christoph Bode|Johann Bode]], devenu de fait le chef de l'Ordre se rend en France, à [[w:Strasbourg|Strasbourg]], puis à [[w:Paris|Paris]]<ref>"Arrivé le 24 juin 1787 à Paris, soit un mois après la clôture du Convent des Philalèthes", {{ouvrage|autS₣1.22 (S₣1.22 (eur1))= Arnaud de la Croix|titre=Les Illuminati|sous-titre=La réalité derrière le mythe|lieu=Bruxelles|année=2014|passage=84}}</ref>, où il rencontre des membres des « [[w:Philalèthes|Philalèthes]] ». {{pertinence détail|Selon son « ''Journal de voyage'' », certains d'entre eux constitueront alors un noyau secret de « [[w:Philadelphes|Philadelphes]] », ressemblant aux ''Illuminaten'' allemands}}<ref>{{harv|Beaurepaire|2008|p=89}}</ref>.|[[w:Illuminés de Bavière|Wikipédia]].}} [[w:Philadelphes|Philalèthes ou philalètes]] qui se traduit par : ami ou chercheur de la vérité, du grec Philos, ami et aléthia, vérité est en franc-maçonnerie, le nom donné au Rite des philalèthes et à ses pratiquants. Ce régime de maçonnerie philosophique ou mystique est fondé en 1773 par le marquis [[w:Charles-Pierre-Paul Savalette de Langes|Charles-Pierre-Paul Savalette de Langes]] au sein de la loge "[[w:Les Amis réunis|Les Amis réunis]]" dont il est vénérable et membre fondateur. Ce rite perdure jusqu'à la mort de son fondateur en 1797. == Philippines, l'autre modèle colonial == [[Fichier:Ati woman.jpg|100px|vignette|gauche|Jeune femme Négritos de l'île de Panay, Philippines]] [[w:Philippines|Philippines]] * 1827 - ''Les Philippines et la Compagnie des Philippines'' dans William Coxe.- [L'Espagne sous les rois de la maison de Bourbon: ou mémoirs relatifs à l'histoire de cette nation depuis l'avénement de Philippe V en 1700, jusqu'à la mort de Charles III en 1788, Volume 6], De Bures Frères, 1827, Google|W6ILAAAAYAAJ&pg. * 1997 - Huetz De Lemps Xavier. ''[http://www.persee.fr/doc/remi_0765-0752_1997_num_13_2_1549 Les projets de transformation des Philippines en une colonie de peuplement espagnol (1881-1898)]''. In: Revue européenne des migrations internationales, vol. 13, n°2,1997. pp. 47-62, DOI : 10.3406/remi.1997.1549 * 2011 - Preckler Ferdinando Guillen, ''[https://www.cairn.info/revue-histoire-monde-et-cultures-religieuses1-2011-3-page-125.htm Les Philippines au tournant (1898-1908)]'', Histoire et missions chrétiennes 3/2011 (n°19) , p. 125-136, DOI : 10.3917/hmc.019.0125. == Physiocratie == === 1694-1774 - Quesnay, François === * 1765-1768 - Physiocratie, ou Constitution naturelle du gouvernement le plus avantageux au genre humain [Texte imprimé]. Recueil publié par Du Pont, des Sociétés royales d'agriculture de Soissons & d'Orléans, & correspondant de la Société d'émulation de Londres M. DCC. LXVIII (-M. DCC. LXVII.) {{BNF|31162785j}} ; [https://archive.org/details/bub_gb_UMyixGDgsv4CInternet Archive] == Jean Piel, mon directeur de recherche == [[d:Jean Piel|Jean Piel (historien)]], 1936-2017, {{BNF|11919714v}} Bibliographie : [https://www.idref.fr/027072487 IdRef] 1980 - Jean Piel, « Le caoutchouc, la Winchester et l'Empire » == Jean PIEL In memoriam == # [https://www.institutdesameriques.fr/fr/article/jean-piel-memoriam Institut des Amériques] # Voir Jean Piel dans [[w:Union des étudiants communistes|Union des étudiants communistes]] # [https://www.youtube.com/results?search_query=Jean+Piel+%2B+Une+certaine+idée+de+l%27Histoire+avec+Jean+Piel+ Cristal.- Une certaine idée de l'Histoire avec Jean Piel] == Pietro Tacca == === Category:Pietro Tacca - Wikimedia Commons === * <https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Pietro_Tacca>. * <https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Pietro_Tacca#/media/File:Pietro_Tacca_-_Turkish_Corsair_-_Walters_54671.jpg> * <https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Pietro_Tacca#/media/File:Pietro_Tacca_-_Turkish_Corsair_-_Walters_54672.jpg> == Guillaume Poncet de La Grave == * Guillaume Poncet de La Grave, Data BnF * {{bibliographie|Q28375590}} Volume 40, [[s:Page:Hoefer_-_Biographie,_Tome_40.djvu/380|Wikisource]], [https://books.google.fr/books?id=wnI9AAAAYAAJ&pg=PA739#v=onepage&f=falseBiographie Google livres] * Au roi, Paris, mois d'août 1787, [https://books.google.fr/books?id=vGSaA3gGnrgC Google books] * Mémoire pour le nommé Roc, nègre, contre le sieur Poupet, négociant, 1771, [http://www.manioc.org/patrimon/BBX19013 Manioc] * Mémoire pour un nègre et une négresse qui réclament leur liberté contre un juif. Mémoire pour Gabriel Pampy, nègre originaire du Petit Goave, isle et côte de Saint-Domingue, et Amynte Julienne, négresse originaire de Congo, côte de Guinée, procédans en l'Amirauté de France, sous l'autorité de Me Dejunquières, procureur en la Cour, leur curateur, contre le sieur Mendès, juif. Signé : Poncet de La Grave, avocat et procureur du Roi. Me Des Essarts, avocat. Dejunquières, procureur. Publication : Paris : P. G. Simon, 1776, {{BNF|331404942}} == Préjugé de couleur == [[Fichier:Traité de la couleur de la peau humaine.png|100px|vignette|gauche|Claude-Nicolas Le Cat, Frontispice]] * 1765 - Claude-Nicolas Le Cat (1700-1768).- Traité de la couleur de la peau humaine en général, de celle des nègres en particulier, et de la métamorphose d’une des couleurs en l’autre, soit de naissance, soit accidentellement, Amsterdam, 1765, {{BNF|33996141h}}, [https://www.worldcat.org/title/traite-de-la-couleur-de-la-peau-humaine-en-general-de-celle-des-negres-en-particulier-et-de-la-metamorphose-dune-de-ces-couleurs-en-lautre-soit-de-naissance-soit-accidentellement-ouvrage-divise-en-trois-parties/oclc/579791307?referer=di&ht=edition worldcat.org], [https://archive.org/search.php?query=Traité%20de%20la%20couleur%20de%20la%20peau%20humaine%20en%20général%2C%20de%20celle%20des%20nègres%20en%20particulier IA]. * 1967 - Yvan DEBBASCH, Couleur et liberté. Le jeu du critère ethnique dans un ordre juridique esclavagiste, 1635-1833, Dalloz, 1967 * 2007 - Florence GAUTHIER, L’aristocratie de l’épiderme. Le combat de la Société des Citoyens de couleur, 1789-1791, Paris, CNRS, 2007. ** 2008 - {{bibliographie|Q24049977}} * 2015 - {{bibliographie|Q26451462}} === Description topographique, physique, civile, politique et historique de la partie française de l'isle Saint-Domingue === * Description topographique, physique, civile, politique et historique de la partie française de l'isle Saint-Domingue (Q22916106) éd. 1875 * La description topographique, physique, civile, politique et historique de la partie française de l'isle Saint-Domingue (Q114346953) 3e édition, Nouvelle édition 2004 == Présidial de Nymes (ou Nisme) == * [https://www.google.com/search?tbm=bks&q=Ordonnances+du+pr%C3%A9sidial+de+Nymes Recherches sur les [Ordonnances du présidial de Nymes] * Les procureurs en la Sénéchaussée et siége du Présidial de Nisme - 1778 (à rechercher) * [http://www.nemausensis.com/Nimes/PalaisDeJustice.htm De la Maison du Roi au Palais de Justice (Présidial)] {{Citation bloc|1712 Édits déclarations du roi Louis XIV et arrêts du Conseil d État imprimés pour la province du Languedoc réglant l indemnité qui est due aux seigni ul s pour les fonds tenus par les gens de mainmorte déterminant le temps pendant lequel les seigneurs peuvent exercer le droit de prélation sur les biens abandonnés réglant la quantilé de cochenille qui doit être employée dans la teinture des draps concernant la nobilité des biens etc<ref>[https://books.google.fr/books?id=LZkNAAAAQAAJ&pg=RA1-PA150&dq=Les+procureurs+en+la+S%C3%A9n%C3%A9chauss%C3%A9e+et+si%C3%A9ge+du+Pr%C3%A9sidial+de+Nisme&hl=fr&sa=X&ved=2ahUKEwialr_EscjqAhWBA2MBHQiUCfsQuwUwA3oECAUQBw#v=onepage&q=mainmorte&f=false gens de mainmorte]</ref>.}} * Droit de [https://www.cnrtl.fr/definition/pr%C3%A9lation prélation] * MORTAİLLABLE On qualifiait ainsi es personnes de condition servile dont le seigneur héritait Voy MAINMORTE * [https://books.google.fr/books?id=iBdaAAAAcAAJ&pg=PA371&#v=onepage&q=mainmorte&f=false août 1767 Edit concernant les gens de mainmorte] * "''l origine de la noblesse remontait à l étaNadab blissement de la monarchie elle s était constituée dans le commencement par les fiefs les surnoms les armoiries etc et elle se prouvait par l ancienneté du nom des armes des titres etc par la qualité de chevalier de banneret de bachelier d écuyer et par tous les monuients anle ciens tels que les fondations d églises les sceaux les chartes les cartulaires les registres des trésoriers des guerres etc''. [https://books.google.fr/books?id=iBdaAAAAcAAJ&pg=PA305&#v=onepage&q=mainmorte&f=false Noblesse, Edit de Blois] == Musiciens et créations musicales à l’époque de Saint-George == === Alexandre Jean Joseph Le Riche de La Popelinière, (1693-1762) === [[Fichier:La Pouplinière,tenant une flûte d'après Carle Van Loo.png|100px|vignette|gauche|La Poupelinière tenant une flûte d'après Carle Van Loo]] [[w:Alexandre Jean Joseph Le Riche de La Popelinière|Alexandre Jean Joseph Le Riche de La Popelinière]] * 1761-1764 - {{bibliographie|Q28530619}} <!-- --> * 1913-1971 - {{bibliographie|Q28530638}} <!-- --> === Madame de Montesson, épouse du Duc d'Orléan 1738-1806 === * [[w:Madame de Montesson|Madame de Montesson]], Charlotte-Jeanne Béraud de La Haye de Riou, marquise de Montesson (4 octobre 1738 - 5 février 1806) * [[w:Louis-Philippe d'Orléans (1725-1785)|Louis-Philippe Duc d'Orléans (1725-1785)]] {{Citation bloc|MONTESSON ( Madame de ), épouse du Duc d'Orléans . Recueil pour harpe ( 1778 ) de L. R. ; s'agit - il de l'abbé Le Roy ? ... alors que La Laurencie signale qu'il fut attaché à la maison de Mme de Montesson vers 1777-177|Recherches sur la musique française classique<ref>[https://www.google.fr/books/edition/Recherches_sur_la_musique_fran%C3%A7aise_cla/Zi5LAAAAYAAJ?hl=fr&gbpv=1&bsq=La+Laurencie+signale+qu%27il+fut+attach%C3%A9+%C3%A0+la+maison+de+Mme+de+Montesson+vers+...&dq=La+Laurencie+signale+qu%27il+fut+attach%C3%A9+%C3%A0+la+maison+de+Mme+de+Montesson+vers+...&printsec=frontcoverRecherches sur la musique française classique, 1960, Page 139]</ref>}} === Bibliographie === * {{Ouvrage | langue = fr | prénom1 = Romain | nom1 = Rolland (1866-1944) | prénom2 = | nom2 = | lien auteur1 = w:Romain Rolland | lien auteur2 = | titre = Musiciens d’autrefois. | sous-titre = L’opéra avant l’opéra ; l'"Orfeo" de Luigi Rossi ; Lully ; Gluck ; Grétry ; Mozart | lien titre = | numéro d'édition = | éditeur = Hachette | collection = | lien éditeur = | lieu = Paris | année = [[w:1908 en musique classique|1908]] | mois = | volume = | tome = | pages totales = 306 | passage = | dnb = 312386482 | isbn = 978-2-330-03729-1 | doi = | url = | lire en ligne = http://www.gutenberg.org/files/39687/39687-h/39687-h.htm | consulté le = 22 août 2015 | présentation en ligne = http://www.gutenberg.org/ebooks/39687 | commentaire = [http://www.actes-sud.fr/catalogue/musique/musiciens-dautrefois Romain Rolland.- Musiciens d’autrefois], Préface de Gilles Cantagrel. Éditions Actes Sud. 288 pages. Novembre 2014. [http://www.resmusica.com/2015/05/07/musiciens-dautrefois-de-romain-rolland/ Réédition] qui réunit des articles publiés entre 1903 et 1908, dans diverses revues dont "Supplément musical: L’Orfeo de Luigi Rossi (1647)" p.[297]-303. Joseph Bologne de Saint-George n’est pas cité. | id = }} * 1908 - {{bibliographie|Q113340288}}. Joseph Bologne de Saint-George n’est pas cité. <!--Musiciens d'autrefois, 2e édition --> == Beaux-Arts à l'époque de Saint-George == === Écoles des beaux-arts === * [[w:Beaux-Arts de Paris|Beaux-Arts de Paris]] * [[w:Beaux-Arts_de_Paris#Histoire_de_l'école|Histoire de l’école des Beaux-Arts de Paris]] depuis les académies jusqu'à l'École nationale supérieure des beaux-arts (ENSBA) * [[d:Q20774688|L'École royale gratuite de dessin de Paris, 1767-1815]]. De Louis XV au premier empire.<ref>2004 - {{bibliographie|Q113332771}} <!-- École royale gratuite de dessin, (1767-1815) --></ref> ==== Guillaume Guillon Lethière ==== * [[w:Guillaume Guillon Lethière|Guillaume Lethière ou Guillaume Guillon Lethière]], né le 10 janvier 1760 à Sainte-Anne (Guadeloupe) et mort le 22 avril 1832 à Paris, est un peintre français. ==== Liste des écoles gratuite de dessin ==== '''[https://www.wikidata.org/w/index.php?search=École+gratuite+de+dessin&title=Special:Search&fulltext=1&ns0=1&ns120=1 École gratuite de dessin]''' * [[d:Q113334433| École gratuite de dessin de Rouen (Q113334433)]] * 1755 - [[d:Q60847289|École des beaux-arts de Lille (Q60847289)]] * 1767-1877 - [[d:Q20774688|École royale gratuite de dessin, (1767-1877) (Q20774688)]] * 1803 - [[d:Q111547716|École nationale gratuite de dessin pour les jeunes filles (Q111547716)]] ==== Bibliographie ==== * 2004 - {{Bibliographie|Q113332771}}, (ouvrage) <!-- École royale gratuite de dessin (1767-1815) (Q113332771) * 1767-1769 - {{Bibliographie|Q113334138}} <!-- Sur l'utilité des établissemens des écoles gratuites de dessin en faveur des métiers --> == Méthodologie : Construire une frise chronologique == L’intérêt de la frise chronologique: [[w:Capitulaire#L’esclavage dans les capitulaires carolingiens|L’esclavage dans les capitulaires carolingiens]], outre les informations contenues, est la <nowiki><timeline></nowiki> qui permet d’obtenir une frise chronologique assez élégante. {|class="wiktable" |- ! Code source !! Rendu |- | <syntaxhighlight lang="text"><timeline> ImageSize = width:900 height:700 PlotArea = left:50 right:20 bottom:20 top:20 DateFormat = yyyy Period = from:751 till:884 TimeAxis = orientation:vertical order:reverse ScaleMajor = unit:year increment:5 start:884 ScaleMinor = unit:year increment:1 start:751 PlotData= color:purple mark:(line, black) align:left fontsize:12 shift:(25,-5) # shift text to right side of bar # there is no automatic collision detection, # so shift texts up or down manually to avoid overlap shift:(25,10) at:751 fontsize:m text:Début du règne de Pépin le Bref (751-768) at:754 fontsize:m text:Début de la série des capitulaires at:768 fontsize:m text:Début du règne de Charlemagne (768 - 814) at:785 fontsize:m text:Capitulaire ''De partibus Saxoniae'', 785 at:789 fontsize:m text:Capitulaire ''Admonitio generalis'', 789 at:794 fontsize:m text:Capitulaire portant qu'on ne peut conférer l’ordination à un esclave sans la permission de son maître, 794 (I, 43. - Isambert, 1833) at:800 fontsize:m text:Capitulaire ''De Villis'', vers 800 at:803 fontsize:m text:Capitulaire sur l’esclavage et la responsabilité des délits commis par les esclaves, 803 (I, 50. - Isambert, 1833) at:808 fontsize:m text:Capitulaire instaurant la défense de receler les esclaves fugitifs, 808 (id. 54, V. - Isambert, 1833) at:814 fontsize:m text:Début du règne de Louis le Pieux (814-840) at:817 fontsize:m text:Capitulaire ''Ordinatio Imperii'', 817 at:843 fontsize:m text:Début du règne de Charles le Chauve (843-877) et Capitulaire de Coulaines, 843 at:847 fontsize:m text:Capitulaire de Meerssen, 847 at:877 fontsize:m text:Capitulaire de Quierzy, 877 at:884 fontsize:m text:Décès de Carloman II et fin de la série des capitulaires </timeline></syntaxhighlight> | <timeline> ImageSize = width:900 height:700 PlotArea = left:50 right:20 bottom:20 top:20 DateFormat = yyyy Period = from:751 till:884 TimeAxis = orientation:vertical order:reverse ScaleMajor = unit:year increment:5 start:884 ScaleMinor = unit:year increment:1 start:751 PlotData= color:purple mark:(line, black) align:left fontsize:12 shift:(25,-5) # shift text to right side of bar # there is no automatic collision detection, # so shift texts up or down manually to avoid overlap shift:(25,10) at:751 fontsize:m text:Début du règne de Pépin le Bref (751-768) at:754 fontsize:m text:Début de la série des capitulaires at:768 fontsize:m text:Début du règne de Charlemagne (768 - 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Assemblée de notables tenue à Versailles le 22 février 1787 * 1789 - [https://archive.org/details/proclamationduro00fran_7 Proclamation de Louis XVI : États-généraux, séance du 20 juin 1789] * 1789 - [https://archive.org/details/proclamationduro00fran_6 Proclamation de Louis XVI : États-généraux, séance du 20 juin 1789] * 1790 - [https://archive.org/details/proclamationduro00fran_2 Proclamation de Louis XVI du 28 mai 1790] * 1791 - [https://archive.org/details/secondeprocl00unse Seconde proclamation de Louis XVI, concernant les fonctionnaires publics ecclésiastiques, & la fermeture des églises : du 12 octobre 1791] * 1791 - [https://archive.org/details/proclamationduro00fran_19 Proclamation de Louis XVI, du 12 novembre 1791] === Louis XVIII === * 1820 - [https://www.google.fr/books/edition/Proclamation_du_roi/AsEsgkEgx_QC Proclamation de Louis XVIII, 25 octobre 1820] == Prolétaires, prolétariat == * Armand Barbès, Quelques mots à ceux qui possèdent, en faveur des prolétaires sans travail, 1848, {{bibliographie|Q23010268}} == Protection des pages "Recherches" == :Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages/Annexe ... :https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Les_abolitions_des...et.../Bibliographie :23 Abolitions des traites & des esclavages et droits fondamentaux; 24 Du .... 1830 : Actes royaux concernant l'adminstration du Canada de :la Guyane, des ...... Extrait des registres du Conseil supérieur du Port-au-Prince by Port-au-Prince (Haiti). ... Victor-Thérèse :Charpentier d', 1732-1776; Vaivre, Jean-Baptiste Guillemin … [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discussion]]) 27 août 2016 à 08:17 (UTC) == Protestantisme == * [[wikidata:Q22669326|Le rôle politique des protestants français (1685-1715)]], <nowiki>{{Q22669326}}</nowiki> == Samuel von Pufendorf == Voir [[Utilisateur:Ambre Troizat/Droit naturel et propriété intellectuelle|Droit naturel et propriété intellectuelle]] == Q == [[Fichier:Luca Pacioli, De divina proportione, Letter Q.jpg|100px|vignette|centré]] [[Fichier:USSConstellationVsInsurgente.jpg|100px|left|vignette|Combat de l'USS Constellation et de l'Insurgente, le 9 février 1799.]] [[Fichier:Elizabeth-Patterson-Bonaparte Gilbert-Stuart 1804.jpg|100px|vignette|gauche|Gilbert-Stuart.- Elizabeth-Patterson-Bonaparte, 1804]] [[File:Cruikshank - Little Boney gone to Pot.png|100px|vignette|gauche|Napoléon sur l'île d'Elbe]] == La Quasi-guerre ou "''guerre non déclarée avec la France''" == La [[w:Quasi-guerre|Quasi-guerre (Quasi-War en anglais)]] désigne la succession de conflits maritimes entre la République française et les États-Unis entre 1798 et 1800. Aux États-Unis, le conflit est quelquefois nommé "''guerre non déclarée avec la France''". Elle implique aussi bien la Méditerranée américaine que la Méditerranée occidentale. Dans ce contexte, Jérôme-Napoléon-Bonaparte se rend aux USA et rencontre Elisabeth Patterson. Il l'épouse le . De cette union naît [[w:Jérôme-Napoléon Bonaparte (1805-1870)|Jérôme-Napoléon Bonaparte (1805-1870)]]. Sous la contrainte de Napoléon Bonaparte devenu l'empereur [[w:Napoléon Ier|Napoléon Ier]], le couple se sépare. Le jeune [[w:Jérôme-Napoléon Bonaparte (1805-1870)|Jérôme-Napoléon Bonaparte (1805-1870)]] est éduqué entre Europe et Amériques. Mais, à la mort de son père [[w:Jérôme Bonaparte|Jérôme Bonaparte]], un problème de succession survient qui provoque un procès. === Jérôme-Napoléon Bonaparte (1805-1870) === <https://fr.wikipedia.org/wiki/J%C3%A9r%C3%B4me-Napol%C3%A9on_Bonaparte_(1805-1870)> Date du mariage : mariage solennellement célébré à Baltimore le 24 décembre 1803 Date des actes du mariage : « Baltimore, ce vingt-quatre décembre, mil huit cent trois. Quatorze mois étaient écoulés, le 22 février 1805, depuis la célé bration du mariage de M. Jérôme Bonaparte. L’acte du 22 février 1805 était donc tardif et légalement nul. Date d'édition : 1861 Jérôme-Napoléon Bonaparte, né le 7 juillet 1805 et mort le 17 juin 1870, est le fils de Jérôme Bonaparte, frère de Napoléon Ier, et d'Elizabeth Patterson. Il était surnommé "Bo". === Pierre-Antoine Berryer .- Exposé des faits, 1861 === 1861 - {{bibliographie|Q115484513}} <!-- Demande à fin de compte, liquidation et partage de la succession de S. A. I. le prince Jérome --><ref>Demande à fin de compte, liquidation et partage de la succession de S. A. I. le prince Jérome par son fils M. Jérôme-Napoléon-Bonaparte et madame Elisabeth Patterson, épouse divorcée et veuve de son Altesse impériale [Texte imprimé] : exposé des faits / [signé : Berryer : avocat] <https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb367776695></ref> <https://www.google.fr/books/edition/Tribunal_de_premi%C3%A8re_instance_de_la_Sei/6nZDAAAAcAAJ?hl=fr&gbpv=0> Demande en liquidation de la succession de S.A.I. le prince Jérome Jérome Napoléon Bonaparte et Élisabeth Patterson contre S.A.I. le prince Napoléon; consclusions de M. le procureur général Chaix d'Est-Ange et arrêt de la cour Par Jérôme Napoléon Bonaparte, Prince Napoléon-Joseph-Charles-Paul Bonaparte, Elizabeth Patterson Bonaparte, Gustave Chaix d'Est-Ange · 1861 <https://www.google.fr/books/edition/Demande_en_liquidation_de_la_succession/LpcuAAAAYAAJ?hl=fr&gbpv=0>. <https://fr.wikipedia.org/wiki/J%C3%A9r%C3%B4me-Napol%C3%A9on_Bonaparte_(1805-1870)>. Le partage de la succession. <https://www.village-justice.com/articles/partage-succession,33004.html> Sur Gallica https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3044041v.texteImage Château de Saint-Leu Le château de Saint-Leu était situé à Saint-Leu-la-Forêt (Val-d'Oise). Avant la Révolution française, le village de Saint-Leu-la-Forêt comptait deux châteaux :... En 1777, Laborde céda le domaine au financier Nicolas Beaujon. Celui-ci le revendit en 1780 au duc de Chartres, futur Philippe Égalité que la comtesse de Genlis, « gouverneur » de l'éducation de ses enfants, avait convaincu d'acquérir un domaine près de Paris où elle puisse séjourner avec les jeunes princes durant la période estivale pour s'occuper de leur formation. En 1804, Louis Bonaparte et sa femme, Hortense de Beauharnais, firent l'acquisition du château d'en haut et du château d'en bas... Après sa séparation d'avec son mari Louis Bonaparte (qui prit le titre de « comte de Saint-Leu »), en 1810, la reine Hortense conserva Saint-Leu, où elle donna des fêtes brillantes. <https://fr.wikipedia.org/wiki/Ch%C3%A2teau_de_Saint-Leu> Joseph Bonaparte, comte de Survilliers. Il négocie le traité de Mortefontaine avec les États-Unis Exilé en Suisse, au château de Prangins, il est rétabli dans toutes ses fonctions pendant la période des Cent-Jours, mais finalement contraint à un nouvel exil après l'abdication de son frère, cette fois aux États-Unis. <https://fr.wikipedia.org/wiki/Joseph_Bonaparte> * Jérôme Napoléon Bonaparte, dit “Bo” * Jacques Bodelle.- [https://frenchmorning.com/les-bonaparte-aux-etats-unis-un-criminel-et-des-batisseurs/ Les Bonaparte aux États-Unis: un criminel et des bâtisseurs], 27 mars 2015 * ''En 1854, le fils né de cette union en 1805, Jérôme Napoléon Bonaparte, est réintégré par Napoléon III en qualité de Français et le droit lui est reconnu de porter le patronyme "Bonaparte", tout en étant confirmé illégitime par un Conseil de famille en 1856''. [[w:Maison_Bonaparte#Survivance_du_patronyme_dans_les_branches_extérieures|Survivance du patronyme dans les branches extérieures]]. === Napoléon par Dumas === * <https://fr.wikipedia.org/wiki/Napol%C3%A9on-J%C3%A9r%C3%B4me_Bonaparte> * Cf. Yaqoub (de Charles VII), personnage de Dumas, bâtard magnifique portant haut l'étendard de la mélancolie ; En juillet 1842, [[w:Napoléon-Jérôme Bonaparte|Napoléon-Jérôme Bonaparte]], né le 9 septembre 1822 à Trieste et mort le 17 mars 1891 à Rome voyage en compagnie d'Alexandre Dumas, après la parution de son ouvrage [https://archive.org/details/DumasNapoleonIllus1840 Napoleon 1840]<ref>[https://dumaspere.com/pages/dictionnaire/napoleon.html Napoléon Bonaparte ou Trente ans de l'Histoire de France] dans Dumaspère. La première édition avait eu lieu en [https://play.google.com/store/books/details/Napol%C3%A9on_Bonaparte_ou_Trente_ans_de_l_histoire_de_?id=bO4-AAAAYAAJ&pli=1 1831].</ref>, à Livourne et dans l'archipel toscan, où les deux hommes visitent l'île de Montecristo, que Dumas mettra au cœur de son célèbre roman. * [http://www.histoireeurope.fr/RechercheLocution.php?Locutions=Napol%E9on+J%E9r%F4me+Joseph+Charles+Paul+Bonaparte Napoléon Jérôme Joseph Charles Paul Bonaparte] * [[w:Napoléon Bonaparte (Dumas)|Napoléon Bonaparte ou Trente Ans de l’histoire de France]] est une pièce d'[[w:Alexandre Dumas|Alexandre Dumas publiée en 1831]]. * [https://23aout.blogspot.com/2015/07/napoleon-par-dumas-un-ouvrage-au-destin.html Napoléon par Dumas : un ouvrage au destin singulier] ; [https://livre.fnac.com/a8853025/Alexandre-Dumas-pere-Napoleon Napoléon], [https://www.sept.info/dumas-napoleon-jeunesse Texte], Alexandre Dumas Père (Auteur) Alain Chardonnens (Auteur) Paru le 30 juin 2015 * Yaqoub (de Charles VII), personnage de Dumas, bâtard magnifique portant haut l'étendard de la mélancolie ; [https://dumaspere.com/pages/dictionnaire/napoleon.html Napoléon Bonaparte ou Trente ans de l'Histoire de France] dans Dumaspère. * [http://prof77680.over-blog.com/2020/03/texte-4-alexandre-dumas-mes-memoires-tome-ii-chapitre-9-1852-1856.html Texte 4 - Alexandre Dumas, Mes Mémoires, tome II, chapitre 9, 1852-1856.] [https://www.napoleon.org/histoire-des-2-empires/articles/george-sand-et-les-bonaparte/ LUBIN Georges.- George Sand et les Bonaparte] === Bibliographie === * Jean-Claude-Barthélémy Gallix, ‎Guy (de l'Hérault.).- Histoire complète et authentique de Louis-Napoléon, 1852 * Gaston Flammarion.-Un neveu de Napoléon Ier, le prince Napoléon (Jérôme) 1822-1891, 1939 · ‎Affichage d'extraits * George Sand & le prince Napoléon: histoire d'une amitié, ... * George Sand, ‎Napoléon-Joseph-Charles-Paul Bonaparte, ‎Bernard Hamon · 2008 · ‎Affichage d'extraits == R == [[Fichier:Fra Luca Pacioli Letter R 1509.png|100px|vignette|centré]] === Race (& Racisme) === Cf. "Indifférence à la couleur" ; "Préjugé de couleur" ; [[w:Racisme|Racisme]] (& [[w:Race humaine|race]]) * 1911 - [http://www.schopenhauer.fr/fragments/esclavage.html Schopenhauer contre l’esclavage et la classification des races]. {{Bibliographie|Q25997677}}. * 2015 - {{Ouvrage | langue = fr | prénom1 = Jean-François | nom1 = Niort (1965-....) | prénom2 = | nom2 = | lien auteur1 = w:Jean-François Niort | lien auteur2 = | titre = Le Code Noir | sous-titre = idées reçues sur un texte symbolique | lien titre = w:Code noir | numéro d'édition = | éditeur = Le Cavalier Bleu | collection = | lien éditeur = http://www.lecavalierbleu.com/f/index.php?sp=liv&livre_id=417 | lieu = Parus | année = [[w:2015|2015]] | mois = février | volume = | tome = | pages totales = 117 | passage = | dnb = | isbn = 978-2-84670-642-1 | issn = 1625-9157 | oclc = | doi = | url = | lire en ligne = | consulté le = | présentation en ligne = http://www.lecanardrépublicain.net/spip.php?article717 | commentaire = pp.7-8, ''Avant-propos de [[w:Myriam Cottias|Myriam Cottias]]'' - (Le Code Noir) ''donne une nouvelle sémantique à la notion de [[w:Race humaine|race]]'' — ''Les catégories de "Blancs"/"Noirs" n’apparaissent pas dans la [[s:Code noir/1685|première version de 1685]]'' ... ''base des [[s:index.php?search="préjugé+de+couleur"&title=Spécial%3ARecherche&go=Lire|préjugés de couleur]]'' — ''Le Code Noir ... devenu un [[w:lieu de mémoire|lieu de mémoire]]'' | id = }} * 2015 - Charlotte Recoquillon, [http://geoconfluences.ens-lyon.fr/informations-scientifiques/dossiers-regionaux/États-Unis-espaces-de-la-puissance-espaces-en-crises/articles-scientifiques/Ferguson Ce que « Ferguson » révèle du racisme systémique aux États-Unis], Géoconfluences, 2015, mis en ligne le 7 juillet 2015 ==== Subalterniser les non-européens ==== {{Citation bloc| et l’idée du « racisme » s’est imposée dans le but de [[wiktionary:fr:subalterne|subalterniser]] les esclaves, qui allaient être affranchis, afin qu’ils ne puissent recevoir les moyens de développer leurs facultés, par manque d’instruction et de formation professionnelle autres que celles que leurs anciens maîtres se préparaient à leur donner pour en faire une main-d’œuvre [[w:Salariat|salariée]].|Florence Gauthier|[http://www.lecanardrépublicain.net/spip.php?article717#nb2-6 Compte-rendu de lecture] : Jean-François Niort, Le Code noir. Idées reçues sur un texte symbolique, Paris, Le Cavalier Bleu, 2015.}} === Racisme (& Race) === Cf. Race (& Racisme), Primitivisme * Dominique Chathuant.- [http://www.persee.fr/doc/outre_1631-0438_2010_num_97_366_4464# Français de couleur contre « métèques » : les députés coloniaux contre le préjugé racial (1919-1939)], Outre-mers, Images et pouvoirs dans le Pacifique, Volume 97 Numéro 366 pp. 239-253, 2010, Persée © 2005-2015. === Guillaume-Thomas Raynal === ==== Histoire philosophique et politique des établissements et du commerce des Européens dans les deux Indes ==== * [[w:Guillaume-Thomas Raynal|Guillaume-Thomas Raynal]] * [[w:Histoire des deux Indes|Histoire philosophique et politique des établissements et du commerce des Européens dans les deux Indes]] === Pierre-Joseph-André Roubaud, dit l'abbé Roubaud, physiocrate, critique de l'esclavage === Comparer avec : Roubaud, Pierre-Joseph-André.- Histoire générale de l'Asie, de l'Afrique et de l'Amérique : contenant des discours sur l'histoire ancienne des peuples de ces contrées, leur histoire moderne & la description des lieux, avec des remarques sur leur histoire naturelle, & des observations sur les religions, les gouvernemens, les sciences, les arts, le commerce, les coutumes, les mœurs, les caractères, &c. des nations, 1730-1791. [[w:Pierre-Joseph-André Roubaud|Pierre-Joseph-André Roubaud]], dit l'abbé Roubaud, né en 1731 et mort à Paris le 21 septembre 1791, est un physiocrate français. Il fut un ardent partisan de Turgot et l'un de ses conseillers. Journaliste et grammairien, on lui doit une défense de la liberté du commerce, une critique virulente de l'esclavage, et des travaux de linguistique. ==== Pierre-Joseph-André Roubaud.- Histoire générale de l'Asie, de l'Afrique et de l'Amérique sur Internet Archive ==== * 1770 - Pierre-Joseph-André Roubaud.- Histoire générale de l'Asie, de l'Afrique et de l'Amérique, [https://archive.org/details/histoiregnralede01roub/page/n7/mode/2up Volume 1] * 1770 - Pierre-Joseph-André Roubaud.- Histoire générale de l'Asie, de l'Afrique et de l'Amérique, [https://archive.org/details/histoiregnralede02roub/page/n7/mode/2up Volume 2] * 1771 - Pierre-Joseph-André Roubaud.- Histoire générale de l'Asie, de l'Afrique et de l'Amérique, [https://archive.org/details/histoiregnralede03roub/page/n7/mode/2up Volume 3] * 1772 - Pierre-Joseph-André Roubaud.- Histoire générale de l'Asie, de l'Afrique et de l'Amérique, [https://archive.org/details/histoiregnralede04roub/page/n5/mode/2up Volume 4] * 1775 - Pierre-Joseph-André Roubaud.- Histoire générale de l'Asie, de l'Afrique et de l'Amérique, [https://archive.org/details/histoiregnralede05roub/page/n7/mode/2up Volume 5] Sur Google Livre : [https://www.google.fr/search?q=inauthor%3A%22Pierre+Joseph+Andr%C3%A9+Roubaud%22+%2B+Histoire+g%C3%A9n%C3%A9rale+de+l%27Asie%2C+de+l%27Afrique+et+de+l%27Am%C3%A9rique&hl=fr&tbm=bks&ei=RrLFYp7PLNX2lwTB-YmQCQ&ved=0ahUKEwieip_c0eT4AhVV-4UKHcF8ApIQ4dUDCAg&oq=inauthor%3A%22Pierre+Joseph+Andr%C3%A9+Roubaud%22+%2B+Histoire+g%C3%A9n%C3%A9rale+de+l%27Asie%2C+de+l%27Afrique+et+de+l%27Am%C3%A9rique&gs_lcp=Cg1nd3Mtd2l6LWJvb2tzEAxQhAdY4NYBYJXkAWgAcAB4AIABSogBhAKSAQE1mAEAoAEBoAECwAEB&sclient=gws-wiz-books inauthor:"Pierre Joseph André Roubaud" + Histoire générale de l'Asie, de l'Afrique et de l'Amérique] Sur Wikidata : * 17 juin 1770 - Prospectus de l'Histoire générale de l'Asie, de l'Afrique et de l'Amérique, Géopolitique de la première mondialisation, [[d:Q60526285|Prospectus]] * 1770-1775 - Histoire générale de l'Asie, de l'Afrique et de l'Amérique, par M. L. A. R, 1770-1775, Géopolitique de la première mondialisation, [[d:Q60520273|œuvre écrite]] * 1771 - Histoire générale de l'Asie, de l'Afrique et de l'Amérique, Vol. 3, 1770-1771, Géopolitique de la première mondialisation, par M. L. A. R [[d:Q60540113|Volume 3]] == Récits de voyage == *[[s:Auteur:Henri_Ternaux-Compans|Henri Ternaux-Compans]] * [https://www.google.fr/search?q=inauthor:%22Henri+TERNAUX-COMPANS%22&hl=fr&tbm=bks&ei=L2GKXrDYO-aclwTw-LKgCw&start=10&sa=N&ved=0ahUKEwjwq9mLsNLoAhVmzoUKHXC8DLQQ8tMDCHg&biw=1246&bih=695&dpr=1 Inauthor:"Henri TERNAUX-COMPANS"] * [[w:Henri Ternaux-Compans|Henri Ternaux-Compans]] == Recueils de textes législatifs == === Recueil général des anciennes lois françaises === * [[d:Q22338208|Fiche de la série]] : {{bibliographie|Q22338208}} * [[d:Q22338335|Tome XIX, ]] : {{bibliographie|Q22338335}} Recueil général des anciennes lois françaises ..., Volume 12,Parties 1 à 2 Par France,Jourdan,Decrusy,M. Isambert (François André) == 1712-1740 - Actes royaux de Louis XIV, Louis XV enregistrés au Parlement (Normandie) == * 1738 - {{bibliographie|Q77723711}} <!-- 1738 - royaume de France, Louis XIV, Louis XV, Nouveau recueil des édits, déclarations, lettres patentes, arrêts et réglemens --> == Juin 1789 - août 1830 : Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances == * [[d:Q27888761|1830-1840]] - {{bibliographie|Q27888761}}, [http://gallica.bnf.fr/services/engine/search/sru?operation=searchRetrieve&version=1.2&collapsing=disabled&query=dc.relation%20all%20%22cb307941569%22 Lire sur Gallica, 23 volumes] ; [https://archive.org/search.php?query=Bulletin%20annoté%20des%20lois%2C%20décrets%20et%20ordonnances%2C%20depuis%20le%20mois%20de%20juin%201789%20jusqu%27au%20mois%20d%27ao%C3%BBt%201830 Lire sur Internet Archive, 20 volumes]. === 1789-1830 - Bulletin annoté des lois : Internet Archive, du volume I au volume XX === * [https://fr.wikisource.org/wiki/Sujet:Vbrvfm1episbghc9 Cf. échanges avec Hsarrazin] * 1830-1840 - {{bibliographie|Q27888761}} 20 volumes, Les notices sont placées en tête de certains volumes : A pour supplément : Bulletin des lois et ordonnances publiées depuis la Révolution de juillet 1830 = ISSN 2497-2169 <!-- Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830 --> {| class="wikitable" |- ! Période !! Sur Internet Archive !! Sur Gallica |- | 17 juin 1789 - 31 décembre 1790 || [https://archive.org/details/bulletinannotd01fran Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830], Volume I, bulletinannotd01fran.djvu || Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830. T. 1, doublon / avec des notices par MM. Odilon Barrot, Vatimesnil, Ymbert ; mis en ordre et annoté par M. Lepec, avocat à la cour royale de Paris - 1834-1840, Odilon-Barrot.- "Notice sur l'Assemblée constituante" (t. 1), [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6517205m Gallica]'' |- | 7 janvier - 30 septembre 1791 || [https://archive.org/details/bulletinannotd01fran Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830], Volume II, ||Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830. T. 2 / avec des notices par MM. Odilon Barrot, Vatimesnil, Ymbert ; mis en ordre et annoté par M. Lepec, avocat à la cour royale de Paris - 1834-1840 [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k65172061 Gallica] |- | 1er octobre 1791 - 20 septembre 1792 || [https://archive.org/details/bulletinannotd03fran/page/n6 Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830], Volume III || 3 - Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830. Tome 3 / avec des notices par MM. Odilon Barrot, Vatimesnil, Ymbert ; mis en ordre et annoté par M. Lepec, avocat à la cour royale de Paris - 1834-1840, Odilon-Barrot.- "Notice sur l'Assemblée législative" (t. 3), [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6447704h Gallica] |- | 20 septembre 1792 - 20 novembre 1793 || [https://archive.org/details/bulletinannotd04fran/page/n6 Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830], Volume IV || Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830. T. 4 / avec des notices par MM. Odilon Barrot, Vatimesnil, Ymbert ; mis en ordre et annoté par M. Lepec, avocat à la cour royale de Paris - 1834-1840, J.-G. Ymbert.- "Notice sur la Convention nationale" (t. 4), [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6447705x Gallica] |- | 21 novembre 1793 - 18 mai 1895 || [https://archive.org/details/bulletinannotd05fran/page/n6 Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830], Volume V || Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830. Tome 5 / avec des notices par MM. Odilon Barrot, Vatimesnil, Ymbert ; mis en ordre et annoté par M. Lepec, avocat à la cour royale de Paris - 1834-1840, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k64387338 Gallica] |- | 20 mai 1795 - 21 septembre 1796 || - [https://archive.org/details/bulletinannotd06fran/page/n6 Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830], Volume VI || Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830. T. 6 / avec des notices par MM. Odilon Barrot, Vatimesnil, Ymbert ; mis en ordre et annoté par M. Lepec, avocat à la cour royale de Paris - 1834-1840 [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6438734p Gallica] |- | 22 septembre 1796 - 17 novembre 1798 || [https://archive.org/details/bulletinannotd07fran/page/n6 Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830], Volume VII || Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830. T. 7 / avec des notices par MM. Odilon Barrot, Vatimesnil, Ymbert ; mis en ordre et annoté par M. Lepec, avocat à la cour royale de Paris - 1834-1840 [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k64519266 Gallica], Vatimesnil.- "Notice sur le Consulat" (t. 8) |- | 23 novembre 1798 - 15 septembre 1800 || [https://archive.org/details/bulletinannotd08fran/page/n6 Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830], Volume VIII ||Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830. Tome 8 / avec des notices par MM. Odilon Barrot, Vatimesnil, Ymbert ; mis en ordre et annoté par M. Lepec, avocat à la cour royale de Paris - 1834-1840 [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6451927m Gallica] |- | 25 septembre 1800 - 20 avril 1803 || [https://archive.org/details/bulletinannotd09fran/page/n6 Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830], Volume IX || Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830. Tome 9 / avec des notices par MM. Odilon Barrot, Vatimesnil, Ymbert ; mis en ordre et annoté par M. Lepec, avocat à la cour royale de Paris - 1834-1840 [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6439799b Gallica] |- | 21 avril 1803 - 31 mai 1806 || [https://archive.org/details/bulletinannotd10fran/page/n6 Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830], Volume X || Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830. Tome 10 / avec des notices par MM. Odilon Barrot, Vatimesnil, Ymbert ; mis en ordre et annoté par M. Lepec, avocat à la cour royale de Paris - 1834-1840, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6439800j Gallica], Vatimesnil.- "Notice sur les lois de l'Empire" (t. 10) |- | 4 juin 1806 - 25 mars 1810 || [https://archive.org/details/bulletinannotd11fran/page/n6 Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830], Volume XI || Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830. T.11 / avec des notices par MM. Odilon Barrot, Vatimesnil, Ymbert ; mis en ordre et annoté par M. Lepec, avocat à la cour royale de Paris - 1834-1840, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6441469z Gallica] |- | 11 avril 1810 - 26 mars 1814 || [https://archive.org/details/bulletinannotd12fran/page/n6 Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830], Volume XII || Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830. T.12 / avec des notices par MM. Odilon Barrot, Vatimesnil, Ymbert ; mis en ordre et annoté par M. Lepec, avocat à la cour royale de Paris - 1834-1840, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6441470m Gallica] |- | 1er avril 1814 - 30 avril 1816 ||[https://archive.org/details/bulletinannotd13fran/page/n6 Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830], Volume XIII || Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830. Tome 13 / avec des notices par MM. Odilon Barrot, Vatimesnil, Ymbert ; mis en ordre et annoté par M. Lepec, avocat à la cour royale de Paris - 1834-1840, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k64476527 Gallica] |- | 1er mai 1816 - 30 juin 1819 || [https://archive.org/details/bulletinannotd14fran/page/n6 Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830], Volume XIV || Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830. Tome 14 / avec des notices par MM. Odilon Barrot, Vatimesnil, Ymbert ; mis en ordre et annoté par M. Lepec, avocat à la cour royale de Paris - 1834-1840, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6447653n Gallica] |- | 15 - 7 juillet 1819 - 28 août 1822 || [https://archive.org/details/bulletinannotd15fran/page/n6 Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830], Volume XV || Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830. Tome 15 / avec des notices par MM. Odilon Barrot, Vatimesnil, Ymbert ; mis en ordre et annoté par M. Lepec, avocat à la cour royale de Paris - 1834-1840, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6454798x Gallica] |- | 2 septembre 1822 - 22 février 1826 || [https://archive.org/details/bulletinannotd16fran/page/n6 Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830], Volume XVI || Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830. Tome 16 / avec des notices par MM. Odilon Barrot, Vatimesnil, Ymbert ; mis en ordre et annoté par M. Lepec, avocat à la cour royale de Paris - 1834-1840, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6454799b Gallica] |- | 9 mars 1826 - 28 septembre 1828 ||[https://archive.org/details/bulletinannotd17fran/page/n6 Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830], Volume XVII || Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830. Tome 17 / avec des notices par MM. Odilon Barrot, Vatimesnil, Ymbert ; mis en ordre et annoté par M. Lepec, avocat à la cour royale de Paris - 1834-1840, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6461065g Gallica] |- | 1er octobre 1828 - 29 juillet 1830 ||[https://archive.org/details/bulletinannotd18fran/page/n6 Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830], Volume XVIII || 18 - Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830. Tome 18 / avec des notices par MM. Odilon Barrot, Vatimesnil, Ymbert ; mis en ordre et annoté par M. Lepec, avocat à la cour royale de Paris - 1834-1840, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6461066w Gallica] |- | 19 - Table générale analytique || [https://archive.org/details/bulletinannotd18fran/page/n6 Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830], Volume XIX || 19 - Table générale analytique |- | 20 - Table générale analytique || [https://archive.org/details/bulletinannotd20fran/page/n3 Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830], Volume XX || 20 - Table générale analytique / par M. J.-H. Bénard |} === 9 août 1830 - 24 février 1848 : Monarchie de juillet === * 1838 - {{bibliographie|Q78159119}} <!-- Théodore Lechevalier et Antoine François Passy, Abolition de l'esclavage dans les colonies françaises --> == Religion == * 1840 - {{bibliographie|Q19153269}} == Les réparations au titre de l’esclavage colonial == * 2019 - {{bibliographie|Q67199168}} <!--Magali Bessone, Les réparations au titre de l’esclavage colonial --> == Révoltes & révolutions == La situation insurrectionnelle en France au tournant des années 2018-2019 pose la question du rapport entre "révolte" & "révolution". === Révoltes à Saint-Domingue === * 1758 - {{bibliographie|Q19227259}} <!-- anonyme, Relation d’une conspiration tramée par les Nègres, dans l’Ile de Saint-Domingue --> === Livre:Victoires, conquêtes, déssastres, revers et guerres civiles des Français depuis 1792 === ==== Sur BnF-Gallica ==== * [https://catalogue.bnf.fr/changerPageAdv.do?mots0=TIT;-1;0;Victoires%20conquêtes%20revers%20et%20guerres%20civiles%20des%20fran%C3%A7ais&mots1=NRI;0;0;Beauvais%20de%20Préau&mots2=&mots3=&mots4=&facPays=&suppPhys=&faclocs=&facDocs=&facNots=&facSpec=&typoCarto=&typoIcono=&typoAudio=&typoMus=&typoNumis=&typoPerio=&langue0=&langue1=&langue2=&langue3=&langue4=&datepub=&dateCreaSpec=&dateEnregistrement=&typeDatePer=&corpus=&index=&numNotice=&listeAffinages=&nbResultParPage=10&afficheRegroup=false&pageEnCours=1&trouveDansFiltre=&trouverDansActif=false&triResultParPage=5&critereRecherche=&issn=&pageRech=rav Toutes les références] * [https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb36378831k Série] ; {{BNF|36378831k}} * 1817 [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k36712z tome Premier] * 1817 [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k367139 tome Second] * 1817 [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k36714n tome Troisième] * 1817 - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k367150 Tome Quatrième] * 1817 - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k36716b Tome Cinquième] * 1818 - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k36717p Tome Sixième] * 1818 - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k367181 Tome Septième] * 1818 - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k36719c Tome Huitième] * 1818 - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k36720k Tome Neuvième] * 1818 - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k36721x Tome Dixième] * 1818 - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k367228 Tome Onzième] * 1818 - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6358472n Portraits des généraux français] * 1818 - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k367390 Portraits des généraux français 2] * 1819 - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k36723m Tome Douzième] * 1819 - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k36724z Tome Treizième] * 1819 - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k367259 Tome Quatorzième] * 1819 - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k36726n Tome Quinzième] * 1819 - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k367270 Tome Seizième] * 1820- [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k36728b Tome Dix-septième] * 1820 - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k36729p Tome Dix-huitième] * 1820 - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k36730w Tome Dix-neuvième] * 1820 - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k367317 Tome Vingtième] * 1820 - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k36732k Tome Vingt-unième] * 1820 - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k36733x Tome Vingt-deuxième] * 1821 - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k367348 Tome Vingt-troisième] * 1821 - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k36735m Tome Vingt-quatrième] * 1821 - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k36736z Tome Vingt-cinquième] * 1821 - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k36738n Tome Dernier] * 1822 - [ https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k367379Tome Vingt-sixième] * 1822 - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k36738n Tome Vingt-septième] * 1822 - [ Tome Vingtième] * 1822 - [ Tome Vingtième] * 1820 - [ Tome Vingtième] * 1820 - [ Tome Vingtième] * 1820 - [ Tome Vingtième] * 1820 - [ Tome Vingtième] * 1820 - [ Tome Vingtième] * 1820 - [ Tome Vingtième] ==== Nouvelles édition ==== * 1855 - [ ome Premier] * 1855 - [ Tome 2] * 1855 - [ Tome 3] * 1855 - [https://archive.org/details/bub_gb_21k2AAAAMAAJ/page/n7 Tome 4] * 1855 - [https://archive.org/details/bub_gb_Q-VBAAAAcAAJ/page/n5 Tome 4] * 1855 - [ Tome 5] * 1855 - [ Tome 6] * 1855 - [ Tome 7] * 1855 - [https://archive.org/details/bub_gb_Al02AAAAMAAJ/page/n7 Tome 8] * 1855 - [ Tome 10] ;Bibliographie 2005 - {{bibliographie|Q27981502}} <!-- Numéro thématique des Cahiers d'histoire, revue d'histoire critique, ''Des révoltes de l'Europe à l'Amérique au temps de la Révolution française (1773-1802)'' --> * 2005 - {{bibliographie|Q27981724}} <!-- Numéro thématique des Cahiers d'histoire, revue d'histoire critique, Des révoltes de l'Europe à l'Amérique au temps de la Révolution française (1773-1802), ''Aperçu des tendances et des enjeux historiographiques : le nécessaire débat'' --> * 2005 - {{bibliographie|Q47004485}} <!-- Numéro thématique des Cahiers d'histoire, revue d'histoire critique, Des révoltes de l'Europe à l'Amérique au temps de la Révolution française (1773-1802), ''Des révoltes au temps de la Révolution française'' --> * 2005 - {{bibliographie|Q23937022}} <!-- Numéro thématique des Cahiers d'histoire, revue d'histoire critique, Des révoltes de l'Europe à l'Amérique au temps de la Révolution française (1773-1802), ''L’abolition des droits féodaux en France'' --> * 2005 - {{bibliographie|Q27981404}} <!-- Numéro thématique des Cahiers d'histoire, revue d'histoire critique, Des révoltes de l'Europe à l'Amérique au temps de la Révolution française (1773-1802), ''L’accès à la propriété : une manière d’éviter les révoltes ?'' --> === 1{{ère}} République (septembre 1792 - mai 1804) === [[Fichier:Henri Rousseau (French) - A Centennial of Independence - Google Art Project.jpg|100px|vignette|gauche|Henri Rousseau.- [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages/Annexe/Chronologie 1848-2017#1892|A Centennial of Independence]], [[w:1792|1792]]-[[w:1892|1892]].]] [[w:Henri Rousseau|Henri Rousseau]], (1844-1910) [[w:Première République (France)|Première République française de 1792]] "Centenaire de la fondation de la première République en France" ("A Centennial of Independence"<ref>[http://www.getty.edu/art/collection/objects/816/henri-rousseau-a-centennial-of-independence-french-1892/ Henri Rousseau.- A Centennial of Independence] at The J. Paul Getty Museum</ref>). Avec [[c:Fichier:Henri Rousseau (French) - A Centennial of Independence - Google Art Project.jpg|ce tableau]] peint en [[w:1892|1892]], [[w:Henri Rousseau|Henri Rousseau]] commémore le centenaire de la [[w:Première République (France)|Première République française]] de [[w:1792|1792]]-[[w:1892|1892]]. Maurice Tourneux.- Bibliographie de l'histoire de Paris pendant la Révolution française, {{BNF|370649183}}. * Lacombe, Claire (1765-18..).- Rapport fait par la citoyenne Lacombe à la Société des Républicaines révolutionnaires, de ce qui s'est passé le 16 septembre à la Société des Jacobins, concernant celle des Républicaines révolutionnaires... et les dénonciations faites contre la citoyenne Lacombe personnellement {{BNF|37237666k}} == Louis XVI : Révolutions dans l’espace atlantique == === Espace Atlantique : émergence === * [[w:Guerre de Sept Ans|Guerre de Sept Ans]], [[w:1756|1756]]-[[w:1763|1763]] Le début de la guerre est généralement daté du {{Date|29|août|1756}}, jour de l’attaque de la [[w:Électorat de Saxe|Saxe]] par [[w:Frédéric II de Prusse|Frédéric II]], qui fait ainsi le choix de devancer l’agression programmée par l’Autriche pour reprendre possession de la [[w:Silésie|Silésie]]. Cependant, l’affrontement avait débuté plus tôt dans les colonies d’[[w:Amérique du Nord|Amérique du Nord]] et dans l’[[w:North America and West Indies Station|Espace Atlantique d’Amérique du Nord]]. === Révolution américaine === * [[Révolution américaine]] sur Wikiversité * [[w:Révolution américaine|Révolution américaine]] * 2013 - {{bibliographie|Q79338800}} <!-- François Charbonneau, Une part égale de liberté : le patriotisme anglais et la révolution américaine --> * Revue contemporaine ** Revue contemporaine, Volume 55, Volume 79 : [https://books.google.fr/books?id=ADJGAQAAMAAJ&pg=PA624&#v=onepage&q&f=false L'état actuel du conflit dans l’Amérique du Nord] * La Révolution américaine ses causes et ses conséquences livraisons du 15 et du 31 décembre 1862 **[https://books.google.fr/books?id=ZmcxAQAAMAAJ&pg=PA586&#v=onepage&q&f=false La Révolution américaine ses causes et ses conséquences] [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=iau.31858045958752&view=1up&seq=592&q1=La%20R%C3%A9volution%20am%C3%A9ricaine Première partie] ** Revue contemporaine, Volume 65, Bureaux de la Revue contemporaine., 1869 : [https://books.google.fr/books?id=ZmcxAQAAMAAJ&pg=PA726&#v=onepage&f=false La Révolution américaine ses causes et ses conséquences] [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=iau.31858045958752&view=1up&seq=732&q1=La%20R%C3%A9volution%20am%C3%A9ricaine Deuxième partie] ** [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=iau.31858045958737&view=1up&seq=432&q1=La%20R%C3%A9volution%20am%C3%A9ricaine La révolution américaine. Stratégie politique du gouvernement] == Révolution française == * [[s:Catégorie:Révolution française|Catégorie:Révolution française]] sur Wikisource. * [[w:Chronologie de la Révolution française|Chronologie de la Révolution française]] == France, II{{e}} République (24 février 1848 - 20 décembre 1852) == [[Fichier:16 Représentants à leurs bancs de l'Assemblée constituante, 1848.jpeg|100px|vignette|gauche|La Montagne en 1848]] === Révolution de 1848 === * 1850 - {{bibliographie|Q28790530}} === Deuxième République === * [[w:Deuxième République (France)|Deuxième République (France)]]. * [[w:Gouvernement provisoire de 1848|Gouvernement provisoire de 1848]] * [[w:Décret d’abolition de l’esclavage du 27 avril 1848|Décret du 27 avril 1848 relatif à l'abolition de l'esclavage dans les colonies et possessions françaises]] ou Décret d’abolition de l’esclavage du 27 avril 1848 * [https://www.unioncommunistelibertaire.org/Juin-1848-L-autonomie-de-la-classe-ouvriere-s-impose-sur-les-barricades-2077 Juin 1848 : L’autonomie de la classe ouvrière s’impose sur les barricades, 10 juillet 2008 par Commission Journal] === Abolition de l'esclavage, 1848 === [[Fichier:Mondor de l'Aigle, C. - Abolition de l'esclavage, République de 1848.png|100px|vignette|gauche|Mondor de l'Aigle, C. - Mise en scène de l'avènement de la République de 1848 sous la forme d'une abolition de l'esclavage]] ** [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6461893j/f552.item.r=esclave esclave] ** [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6461893j/f552.item.r=esclavage esclavage] === Documents & bibliographies === <i> Recueil général des anciennes lois françaises 1712-1740 - Actes royaux de Louis XIV, Louis XV enregistrés au Parlement (Normandie) Juin 1789 - août 1830 : Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances 24 février 1848 - 2 décembre 1852 : [[w:Deuxième République (France)|France, Deuxième République]] </i> * 1852 - {{bibliographie|Q77593795}} <!-- France et Deuxième République, Bulletin annoté des lois, ordonnances, décrets, arrêtés, etc. Tome VI, Années 1848, 1849 et 1850 --> ** [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6461893j/f552.item.r=colonie Colonie] '''* [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire#R|Recueils de textes législatifs]]''' * [[Utilisateur:Ambre Troizat/Réflexions à propos des traites & esclavages#Le Conseil colonial de la Guadeloupe|Le Conseil colonial de la Guadeloupe]] * [[Utilisateur:Ambre Troizat/Réflexions à propos des traites & esclavages#Revue de l'Orient, de l'Algérie et des colonies|Revue de l'Orient, de l'Algérie et des colonies]] Exégèse du droit Paul Viollet, (1840-1914).- [http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb374209823 Histoire du droit civil français] : accompagnée de notions de droit canonique et d'indications bibliographiques (Seconde édition du Précis de l'histoire du droit français corrigée et augmentée) === Décret du 27 avril 1848 relatif à l'abolition de l'esclavage dans les colonies et possessions françaises === ==== {{S|XIX}} ==== ;1848 Voir les documents parus en [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Bibliographie_du_XIX%C3%A8_si%C3%A8cle#1848 1848] ;1849 {{Citation bloc|Indemnité coloniale de 1849 (1846-1861)Sous-série K. FR ANOM COL K 1 à 17. Ministère du commerce. Indemnité coloniale de 1849, 1846/1865. Archives nationales d'outre-mer (ANOM)|Indemnité coloniale de 1849, 1846/1865<ref>Indemnité coloniale de 1849, K. FR ANOM COL K 1 à 17, <https://recherche-anom.culture.gouv.fr/archive/fonds/FRANOM_00148/view:49805> ; <https://francearchives.fr/findingaid/cf6a9d60b0a48591bb897863a738fc0930a2ad38></ref>}} ;1850 {{Citation bloc|ARRÊTÉ du Gouverneur Général du 23 janvier 1850 portant promulgation du Décret du 24 novembre 1849 pour la répartition de l Indemnité, suivi de ANNEXE DÉCRET pour la Répartition de l'Indemnité coloniale Du 24 novembre 1849.|Martinique.- Bulletin officiel de la Martinique, 1850<ref>Martinique.- Bulletin officiel de la Martinique, 1850, [https://www.google.fr/books/edition/Bulletin_officiel_de_la_Martinique/YspAAQAAMAAJ?hl=fr&gbpv=1&dq=D%C3%A9cret+pour+la+r%C3%A9partition+de+l%27indemnit%C3%A9+coloniale&pg=PA58&printsec=frontcover page 58]</ref>.}} ;1868 {{Citation bloc|'''L'abolition de l'esclavage sur toute terre française et la défense de posséder des esclaves en pays étranger sous peine de perdre la qualité de Français.'''<br />''Le principe que le sol de la France affranchit l'esclave qui le touche est appliqué aux colonies et possessions de la République. Décret loi du 27 avril 1848 relatif à l'abolition de l'esclavage dans les colonies françaises art 7. A l'avenir même en pays étranger il est interdit à tout Français de posséder d'acheter ou de vendre des esclaves et de participer soit directement soit indirectement à tout trafic ou exploitation de ce genre toute infraction à ces dispositions emportera la perte de la qualité de citoyen français.<br />Néanmoins les Français qui se trouveront atteints par ces prohibitions au moment de la promulgation du présent décret auront un délai de trois ans pour s'y conformer Ceux qui deviendront possesseurs d'esclaves en pays étranger par héritage don ou mariage devront sous la même peine les affranchir ou les aliéner dans le même délai à partir du jour où leur possession aura commencé, Même décret art 8. Le délai que l'article 8 du décret du 27 avril 1848 accorde aux Français établis à l'étranger pour affranchir ou aliéner les esclaves dont ils sont possesseurs est fixé à dix ans. Loi du 11 février 1851 art unique. L'article 8 du décret du 27 avril 1848 n'est pas applicable aux propriétaires d'esclaves dont la possession est antérieure à ce décret ou résulteràit soit de succession soit de donation entre vifs ou testamentaire soit de conventions matrimoniales. Loi du 28 mai 1858 article unique 2.''|Théophile Ducrocq.- Cours de droit administratif, 1868<ref>Théophile Ducrocq.- Cours de droit administratif contenant l'exposé des principes, résumé de la législation administrative dans son dernier état, l'analyse ou la reproduction des principaux textes dans un ordre méthodique, 1868, [https://www.google.fr/books/edition/Cours_de_droit_administratif/galCAAAAcAAJ?hl=fr&gbpv=1&dq=D%C3%A9cret+du+27+avril+1848+relatif+%C3%A0+l%27abolition+de+l%27esclavage+dans+les+colonies+et+possessions+fran%C3%A7aises&pg=PA320&printsec=frontcover page 320]</ref>}} ;1895 {{Citation bloc|''''''Esclavage Code civil'''<br />Louage des domestiques et ouvriers art 1780 p 3<br />Déclaralion des droits de l'homme. Constitution du 24 juin 1793 art 18 p 3<br />Déclaration des droits de l'homme. Constitution du 5 fructidor an II art 15 p 3<br />Décret relatif à l'abolition de l'esclavage dans les colonies et possessions françaises 27 avril 1848 p 3<br />Loi qui modifie le paragraphe 2 de l article 8 du décret du 27 avril 1 48 relatif aux propriétaires d'esclaves 28 mai 1858 p 4<br />Décret du 27 avril 1848 relatif aux propriétaires d'esclaves p 4.|Joseph Chailley-Bert, Arthur Fontaine.- Lois sociales, 1895<ref>Joseph Chailley-Bert, Arthur Fontaine.- Lois sociales ; recueil des textes de la législation sociale de la France, 1895, [https://www.google.fr/books/edition/Lois_sociales_recueil_des_textes_de_la_l/aZ-sAAAAMAAJ?hl=fr&gbpv=1&dq=D%C3%A9cret+du+27+avril+1848+relatif+%C3%A0+l%27abolition+de+l%27esclavage+dans+les+colonies+et+possessions+fran%C3%A7aises&pg=PA401&printsec=frontcover Table analytique, page 401]</ref>}} ==== XXIème siècle ==== * [[s:fr:Décret du 27 avril 1848 abolissant l’esclavage|Décret du 27 avril 1848 décide de l’abolition de l’esclavage en France et dans ses colonies rédigé par Victor Schœlcher]] * [https://www.legifrance.gouv.fr/jorf/id/JORFTEXT000000295898 Décret du 27 avril 1848 relatif à l'abolition de l'esclavage dans les colonies et possessions françaises, Recueil Duvergier, page 194] ;2016 {{Citation bloc|'''Décret relatif à l'abolition de l'esclavage dans les colonies et possessions françaises, Paris, 27 avril 1848'''.<br /> Le 4 mars 1848, le ministre de la Marine et des Colonies, François Arago, décide de créer une commission dont la responsabilité est confiée à Victor Schœlcher... ''".| Michelle Zancarini-Fournel.- Les luttes et les rêves: Une histoire populaire de la France ..., 2016<ref>Michelle Zancarini-Fournel.- Les luttes et les rêves: Une histoire populaire de la France ..., 2016, [https://www.google.fr/books/edition/Les_luttes_et_les_r%C3%AAves/UW2hDQAAQBAJ?hl=fr&gbpv=1&dq=D%C3%A9cret+du+27+avril+1848+relatif+%C3%A0+l%27abolition+de+l%27esclavage+dans+les+colonies+et+possessions+fran%C3%A7aises&pg=PT291&printsec=frontcover Décret relatif à l'abolition de l'esclavage dans les colonies et possessions françaises, Paris, 27 avril 1848]</ref>.}} === 3{{e}} République (1870-1940) === [[Fichier:La Guadeloupe. Un Morne. Plantation de canne à sucre.png|100px|vignette|gauche|Plantation de canne à sucre, 1892]] * {{Ouvrage | langue = en | prénom1 = Elizabeth | nom1 = Heath | prénom2 = | nom2 = | lien auteur1 = w:en:Elizabeth Heath | lien auteur2 = | titre = Wine, Sugar, and the Making of Modern France | sous-titre = Global Economic Crisis and the Racialization of French Citizenship | lien titre = | numéro d'édition = | éditeur = | collection = [http://www.cambridge.org/us/search?iFeelLucky=false&currentTheme=Academic_v1&query=New+Studies+in+European+History New Studies in European History 1870–1910] | lien éditeur = | lieu = | année = [[w:2014 en musique classique|2014]] | mois = September | volume = | tome = | pages totales = 326 | passage = | dnb = | isbn = 9781107070585 | doi = http://dx.doi.org/10.1017/CBO9781107707498 | asin = B00N4PM3K8 | url = | lire en ligne = | consulté le = | présentation en ligne = http://corail.sudoc.abes.fr/DB=2.1/CMD?ACT=SRCHA&IKT=7&SRT=RLV&TRM=9781107070585 | commentaire = | id = }} == 4{{e}} République == == Louis XVI == * [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Mon_cabinet_d'histoire#Louis_XVI|'''Louis XVI, 23 août 1754 – 21 janvier 1793''']] La Corvée des grands chemins et sa suppression en France et spécialement en Poitou [Texte imprimé], par Th. Ducrocq,…, {{BNF|340661346}} Procès-verbal de la séance, tenue à la chambre des Comptes de Paris, le 19 mars 1776, par Monsieur, frère du roi, pour l'enregistrement des édits, déclarations es lettres patentes enregistrées au lit de justice, tenu à Versailles le 12 mars…, {{BNF|33746287q}} Pierre Clement.- [https://books.google.fr/books?id=Bihig4GOLioC Les Fri-Macons] ... Clement (Pierre), de Genève.- Les Fri-Maçons, hyperdrame * Jean-Dominique Bourzat.- [https://www.google.fr/books/edition/Les_après_midi_de_Louis_XVI/JBnPL7PyktkC Les après-midi de Louis XVI], 2008. A vérifier sous Wikidata === Histoire de Louis XVI sous la période révolutionnaire === Louis Auguste de France, petit-fils de Louis XV, cinquième enfant du dauphin appelé à succéder à Louis XV, titré duc de Berry à sa naissance le 23 août 1754, devient dauphin à la mort de son père, du 20 décembre 1765 au 10 mai 1774, puis Louis XVI, roi de France du 10 mai 1774 au 6 novembre 1789. A la Révolution Louis XVI devient roi des Français jusqu'à la chute de la monarchie constitutionnelle, l'abolition de la monarchie & l'institution d'une Convention nationale le 10 août 1792. Il sera guillotiné le 21 janvier 1793 ;[https://catalogue.bnf.fr/changerPage.do?motRecherche=Proces+de+Louis+XVI%2C+de+Marie-Antoinette%2C+de+Marie-%C3%89lisabeth+et+de+Philippe+d%27Orléans&index=&numNotice=&listeAffinages=&nbResultParPage=10&afficheRegroup=false&pageEnCours=1&trouveDansFiltre=NoticePUB&trouverDansActif=false&triResultParPage=5&critereRecherche=0&typeNotice=&pageRech=rsi Histoire du dernier règne de la monarchie française] 1 - sans date Turbat, Pierre Histoire du dernier règne de la monarchie française, la chute des Bourbons et leur procès, contenant des détails historiques sur la journée du 10 août 1792, les événemens qui ont précédé, accompagné et suivi le jugement de Louis XVI, les procès de Marie-Antoinette, de Louis-Philippe d'Orléans, d'Élisabeth, et de plusieurs particularités sur la maladie et la mort de Louis-Charles, fils de Louis XVI, l'échange de Marie-Charlotte et le départ des derniers membres de la famille pour l'Espagne, auxquels on a joint un grand nombre de pièces importantes et secrettes... [par P. Turbat], chez Im-Friscoenik * 1793 - {{bibliographie|Q110640486}} <!-- Déclaration de M. Louis de Narbonne, ancien ministre de la Guerre en France, dans le procès du roi --> 2 - 1796 Turbat, Pierre Procès des Bourbons, Louis XVI, Marie-Antoinette, Philippe d'Orléans et Élisabeth Capet, contenant tout ce qui a précédé et suivi la déchéance de Louis XVI, avec la relation curieuse des deux entrevues de Louis avec sa famille après la signification de son jugement à mort, et suivi de dix-sept pièces secrettes... [Par P. Turbat.], Lerouge 3 - 1798 Turbat, Pierre Procès de Louis XVI,... avec la liste comparative des appels nominaux et des opinions motivées de chaque membre de la Convention. Suivi des procès de Marie-Antoinette,... de Madame Élisabeth,... et de Louis-Philippe, duc d'Orléans, auxquels se trouvent jointes des pièces secrètes et inconnues sur ce qui s'est passé dans la tour du Temple pendant leur captivité... [par P. Turbat], Lerouge 4 - 1798 Turbat, Pierre Procès des Bourbons, contenant des détails historiques sur la journée du 10 août 1792, les événemens qui ont précédé, accompagné et suivi le jugement de Louis XVI, les procès de Marie-Antoinette, de Louis-Philippe d'Orléans, d'Élisabeth, et de plusieurs particularités sur la maladie et la mort de Louis-Charles, fils de Louis XVI, l'échange de Marie-Charlotte, et le départ des derniers membres de la famille pour l'Espagne ; auxquels on a joint un grand nombre de pièces importantes et inconnues qui ont été extraites des registres du Temple, de la Commune et du Tribunal révolutionnaire... [Par P. Turbat.] et tous les libraires de l'Europe 5 - 1798 Turbat, Pierre Procès des Bourbons contenant des détails historiques sur la journée du 10 août 1792, les événemens qui ont précédé, accompagné et suivi le jugement de Louis XVI, les procès de Marie-Antoinette, de Louis-Philippe d'Orléans, d'Élisabeth, et de plusieurs particularités sur la maladie et la mort de Louis-Charles, fils de Louis XVI, l'échange de Marie-Charlotte, et le départ des derniers membres de la famille pour l'Espagne ; Nouvelle édition... auxquels on a joint un grand nombre de pièces importantes et inconnues qui ont été extraites des registres du Temple, de la Commune et du Tribunal révolutionnaire... [par P. Turbat] 6 - 1799 Procès des Bourbons : Louis XVI, Marie-Antoinette, Elisabeth et Philippe d'Orléans..., Lerouge 7 - 1799 Turbat Procès des Bourbons : Louis XVI, Marie-Antoinette, Elisabeth et Philippe d'Orléans..., Lerouge 8 - 1814 Ami du trône, Un Procès de Louis XVI... avec la liste comparative des appels nominaux et des opinions motivées de chaque membre de la convention nationale ; suivi des procès de Marie-Antoinette,... de Madame Élisabeth,... et de Louis-Philippe duc d'Orléans ; auxquels se trouvent jointes des pièces secrètes et inconnues sur ce qui s'est passé dans la tour du Temple et à la Conciergerie du Palais pendant leur captivité par un ami du trône, Troisième édition, revue et corrigée ; ornée de six portraits et trois vignettes, Lerouge 9 - 1821 Procès de Louis XVI, de Marie-Antoinette, de Marie-Élisabeth et de Philippe d'Orléans. Discussions législatives sur la famille des Bourbons. Recueil de pièces authentiques. Années 1792, 1793 et 1794, A. Eymery [https://books.google.fr/books?id=VGE_AQAAMAAJ Proces de Louis XVI, de Marie-Antoinette, de Marie-Élisabeth et de Philippe d'Orléans]. Discussions législatives sur la famille des Bourbons. Recueil de pièces authentiques. Années 1792, 1793 et 1794, A. Eymery, 1821 - === Histoire de Louis XVI durant la période révolutionnaire, suite === Louis Auguste de France, petit-fils de Louis XV, cinquième enfant du dauphin appelé à succéder à Louis XV, titré duc de Berry à sa naissance le 23 août 1754, devient dauphin à la mort de son père, du 20 décembre 1765 au 10 mai 1774, puis Louis XVI, roi de France du 10 mai 1774 au 6 novembre 1789. A la Révolution Louis XVI devient roi des Français jusqu'à la chute de la monarchie constitutionnelle, l'abolition de la monarchie & l'institution d'une Convention nationale le 10 août 1792. Il sera guillotiné le 21 janvier 1793 ;[https://catalogue.bnf.fr/changerPage.do?motRecherche=Proces+de+Louis+XVI%2C+de+Marie-Antoinette%2C+de+Marie-%C3%89lisabeth+et+de+Philippe+d%27Orléans&index=&numNotice=&listeAffinages=&nbResultParPage=10&afficheRegroup=false&pageEnCours=1&trouveDansFiltre=NoticePUB&trouverDansActif=false&triResultParPage=5&critereRecherche=0&typeNotice=&pageRech=rsi Histoire du dernier règne de la monarchie française] 1 - sans date Turbat, Pierre Histoire du dernier règne de la monarchie française, la chute des Bourbons et leur procès, contenant des détails historiques sur la journée du 10 août 1792, les événemens qui ont précédé, accompagné et suivi le jugement de Louis XVI, les procès de Marie-Antoinette, de Louis-Philippe d'Orléans, d'Élisabeth, et de plusieurs particularités sur la maladie et la mort de Louis-Charles, fils de Louis XVI, l'échange de Marie-Charlotte et le départ des derniers membres de la famille pour l'Espagne, auxquels on a joint un grand nombre de pièces importantes et secrettes... [par P. Turbat], chez Im-Friscoenik * 1793 - {{bibliographie|Q110640486}} <!-- Déclaration de M. Louis de Narbonne, ancien ministre de la Guerre en France, dans le procès du roi --> 2 - 1796 Turbat, Pierre Procès des Bourbons, Louis XVI, Marie-Antoinette, Philippe d'Orléans et Élisabeth Capet, contenant tout ce qui a précédé et suivi la déchéance de Louis XVI, avec la relation curieuse des deux entrevues de Louis avec sa famille après la signification de son jugement à mort, et suivi de dix-sept pièces secrettes... [Par P. Turbat.], Lerouge 3 - 1798 Turbat, Pierre Procès de Louis XVI,... avec la liste comparative des appels nominaux et des opinions motivées de chaque membre de la Convention. Suivi des procès de Marie-Antoinette,... de Madame Élisabeth,... et de Louis-Philippe, duc d'Orléans, auxquels se trouvent jointes des pièces secrètes et inconnues sur ce qui s'est passé dans la tour du Temple pendant leur captivité... [par P. Turbat], Lerouge 4 - 1798 Turbat, Pierre Procès des Bourbons, contenant des détails historiques sur la journée du 10 août 1792, les événemens qui ont précédé, accompagné et suivi le jugement de Louis XVI, les procès de Marie-Antoinette, de Louis-Philippe d'Orléans, d'Élisabeth, et de plusieurs particularités sur la maladie et la mort de Louis-Charles, fils de Louis XVI, l'échange de Marie-Charlotte, et le départ des derniers membres de la famille pour l'Espagne ; auxquels on a joint un grand nombre de pièces importantes et inconnues qui ont été extraites des registres du Temple, de la Commune et du Tribunal révolutionnaire... [Par P. Turbat.] et tous les libraires de l'Europe 5 - 1798 Turbat, Pierre Procès des Bourbons contenant des détails historiques sur la journée du 10 août 1792, les événemens qui ont précédé, accompagné et suivi le jugement de Louis XVI, les procès de Marie-Antoinette, de Louis-Philippe d'Orléans, d'Élisabeth, et de plusieurs particularités sur la maladie et la mort de Louis-Charles, fils de Louis XVI, l'échange de Marie-Charlotte, et le départ des derniers membres de la famille pour l'Espagne ; Nouvelle édition... auxquels on a joint un grand nombre de pièces importantes et inconnues qui ont été extraites des registres du Temple, de la Commune et du Tribunal révolutionnaire... [par P. Turbat] 6 - 1799 Procès des Bourbons : Louis XVI, Marie-Antoinette, Elisabeth et Philippe d'Orléans..., Lerouge 7 - 1799 Turbat Procès des Bourbons : Louis XVI, Marie-Antoinette, Elisabeth et Philippe d'Orléans..., Lerouge 8 - 1814 Ami du trône, Un Procès de Louis XVI... avec la liste comparative des appels nominaux et des opinions motivées de chaque membre de la convention nationale ; suivi des procès de Marie-Antoinette,... de Madame Élisabeth,... et de Louis-Philippe duc d'Orléans ; auxquels se trouvent jointes des pièces secrètes et inconnues sur ce qui s'est passé dans la tour du Temple et à la Conciergerie du Palais pendant leur captivité par un ami du trône, Troisième édition, revue et corrigée ; ornée de six portraits et trois vignettes, Lerouge 9 - 1821 Procès de Louis XVI, de Marie-Antoinette, de Marie-Élisabeth et de Philippe d'Orléans. Discussions législatives sur la famille des Bourbons. Recueil de pièces authentiques. Années 1792, 1793 et 1794, A. Eymery [https://books.google.fr/books?id=VGE_AQAAMAAJ Proces de Louis XVI, de Marie-Antoinette, de Marie-Élisabeth et de Philippe d'Orléans]. Discussions législatives sur la famille des Bourbons. Recueil de pièces authentiques. Années 1792, 1793 et 1794, A. Eymery, 1821 - === Histoire de Louis XVI sous la période révolutionnaire, suite === * 1839 - {{bibliographie|Q26132783}}<br />Histoire du règne de Louis XVI, pendant les années où l'on pouvait prévenir ou diriger la révolution ; par Joseph Droz, de l'Académie française et de l'Académie des Sciences morales et politiques. Paris, J. Renouard et L. Hachette, 1859, 2 vol in-8°<ref>[https://books.google.fr/books?id=wDzq1mglZYoC&lpg=PA29&ots=6knrqeoT0d&hl=fr&pg=PA29#v=onepage&q&f=false Bulletin de la Société de l'histoire de France], 1838</ref> ** 1840 - {{bibliographie|Q17358564}} ** 1859 - [[w:Abel-François Villemain|Abel-François Villemain]] (ministre de l’Instruction publique de 1839 à 1845).- Histoire du règne de Louis XVI, pendant les années où l'on pouvait prévenir ou diriger la révolution française, par Joseph Droz, membre de l'Académie française et de l'Académie des sciences morales et politiques. 2 vol. in-8°, Paris, 1839. [https://books.google.fr/books?id=eMZeAAAAcAAJ&lpg=PA193&ots=QAi6I343T7&hl=fr&pg=PA193#v=onepage&q&f=false Journal des savants, avril 1859]. {{Citation bloc|On ne cessera pas d'écrire cette histoire de la révolution française, qui a déjà inspiré tant d'ouvrages, et, dans le nombre, quelques productions supérieures. Chaque époque la recommencera; et le tableau même de ce passé mémorable sera modifié par l'impression du présent, instable et renouvelé. Il n'est raison si ferme qui échappe à cette loi des temps. A égale indépendance d'esprit, l'histoire de la révolution française apparaît diversement, selon qu'elle est considérée du point de vue de l'empire, de la restauration, ou de l'ère aujourd'hui commencée; et ces trois époques cependant font partie de la révolution, et sont comme des actes et des suites de ce grand drame, qui servent à l'expliquer. Il n'en est pas moins vrai que chacune d'elles apporte quelque chose de particulier dans l'étude de cet ensemble d'événements, et que la vérité complète sortira seulement de cette longue série de perspectives diverses. Le caractère même de la révolution grandira d'autant plus que, par des transformations successives, elle aura constitué pour longtemps un gouvernement prospère et libre : et, dans ce sens, on peut dire que, réserve faite des principes de morale et d'humanité, qui ne changent pas, quoique méconnus, le jugement politique de l'histoire sur 1789 recevra de l'avenir une nouvelle sanction et de nouvelles lumières. On n'en doit pas lire, avec moins d'intérêt, ce que des esprits intègres et judicieux publient de réflexions et de souvenirs sur quelques parties de cette œuvre qui se fait toujours.<br /> Aujourd'hui M. Droz, venant après tant d'autres, porte dans la tâche qu'il a entreprise, non-seulement la disposition impartiale de notre époque, mais un caractère particulier de candeur et de modération. C'est un moraliste qui écrit l'histoire, c'est un esprit calme et juste, habitué à l'analyse du cœur humain, qui étudie les grands mouvements d'un peuple et les crises d'une société, comme il a étudié toute sa vie la nature morale de l'homme. Cette manière n'est pas sans doute à l'abri de l'erreur; et je ne m'étonnerais pas que le titre même de l'ouvrage de M. Droz ne fût très-contesté : ''Histoire du règne de Louis XVI pendant les années où l'on pouvait prévenir ou diriger la révolution française''. Les phases historiques se tranchent-elles avec cette précision ? et, dans cette foule de causes secondes qui, sous l'œil de la Providence, concourent à la préparation d'un événement, peut-on marquer un point unique, à partir duquel l'événement devient inévitable ? Est-il plus facile de fixer une époque où une révolution aurait pu être dirigée, c'est-à-dire n'aurait pas été elle-même, ne se serait pas accomplie tout entière ? nous en doutons fort pour la nôtre. Il était dans la nature de cette révolution d'amener une perturbation profonde, illimitée ; car elle n'était pas seulement suscitée contre le pouvoir, mais contre l'état de la société, dont elle changeait les bases. Ce changement, une fois entrepris, comment se serait-il arrêté ? comment, par exemple, après la déclaration des droits de l'homme, et les décrets de la nuit du 7 août, l'ancienne hiérarchie, ébranlée depuis tant d'années, aurait-elle pu se relever, conserver quelque force ? On a dit plusieurs fois qu'une des causes qui avaient précipité la révolution française avec une irrésistible violence, c'était l'unité de la législature, l'absence d'une seconde chambre, d'un sénat, d'une pairie. Mais, un siècle auparavant, une chambre semblable, enracinée dans la monarchie anglaise, avait-elle empêché la ruine de cette monarchie, et n'était-elle pas tombée comme elle, et avant elle ? Dans le cadre que s'est proposé M. Droz, nous croyons donc reconnaître moins une distinction réellement historique que le système d'un esprit bienveillant, qui, reculant à l'aspect de toutes les choses violentes et terribles entassées par la révolution, a voulu faire un choix, et ne raconter que l'époque où les illusions généreuses prévalaient encore. Ce n'est pas qu'il n'apporte lui-même beaucoup de sagacité dans le jugement de ses illusions, et qu'il ne les démêle avec une raison sévère et parfois piquante ; mais son âme paisible et douce n'a pas voulu aller au delà, et prendre sur soi d'expliquer et de peindre les épouvantables réalités qui suivirent. Il nous reste donc de prendre ce nouvel ouvrage comme l'auteur l'a conçu, et d'y chercher ce qu'il renferme de vues nouvelles ou de vérités méconnues.<br /> M. de Montlosier a souvent écrit que la révolution française remontait à Louis XIV, ou même plus haut, et que c'était dans la persécution de la noblesse sous Richelieu, dans son asservissement de cour sous Louis XIV, et dans la promotion du tiers-état, qu'il fallait chercher l'origine et les causes invincibles de la révolution française. Et en cela, il a dit vrai; car, dans la chaîne historique, tous les faits principaux se tiennent, bien que souvent le rapport qu'on établit entre eux à longue distance semble paradoxal. M. Droz, qui ne cherche point à saisir l'esprit par des contrastes, s'est reporté moins haut, pour expliquer ce qui avait près de nous une cause plus immédiate et plus visible. Il s'est arrêté au règne de Louis XV ; et, dans une introduction courte et pleine de faits bien choisis, modérée par les termes et justement sévère au fond, il a caractérisé tous les maux partiels, toutes les contradictions sociales, toutes les fautes et toutes les hontes qu'avait accumulés le règne de Louis XV. Dans cette revue rapide et fine, il faut remarquer surtout ce qui est dit des lettres et du clergé. L'état de ces deux forces, alliées sous Louis XIV, et devenues plus tard aussi opposées qu'inégales en puissance, est parfaitement résumé par l'auteur. Puis il passe à l'avénement de Louis XVI, à ses premières tentatives de réforme, à cette longue lutte entre sa probité naturelle, son bon sens timide et tous les vices de sa cour, toutes les passions de son temps. Le tableau est curieux à retracer; et on doit reconnaître, avec l'historien, que ces moments encore indécis, ces moments d'épreuve et d'alternative sont plus instructifs que les époques où tout semble entraîné par une force unique. Seulement on sait trop ce qui manquait à Louis XVI pour cette lutte ; et M. Droz cependant ne l'a pas complètement indiqué. Il n'y a que M. Turgot et moi qui aimions le peuple, disait Louis XVI ; et, peu de jours après, il renvoyait M. Turgot, devant une intrigue de quelques courtisans et de quelques financiers. Dans cette première condescendance du faible et vertueux roi, on pouvait prévoir bien d'autres événements de son règne; et l'historien pouvait peut-être juger dès lors que la révolution dont il décrit l'avant-scène, ne serait ni prévenue, ni corrigée.<br /> Le précieux travail de M. Droz offre deux parties distinctes, qui sont entremêlées avec art : la peinture morale de la société, l'analyse des faits politiques et législatifs. Cette réunion d'objets fort divers exigeait une grande précision de connaissances et une rare justesse de coup d'œil. Sur les préliminaires et les commencements de la révolution, beaucoup de choses qui n'ont été vues et contées que par les passions contemporaines sont encore aujourd'hui confuses et mal connues. C'est un débat que le grand nombre de témoins n'a pas éclairci. Et cependant quoi de plus décisif pour l'intelligence des grands événements, que la diversité et l'impuissance des efforts qui les précédaient ? Le premier ministère de Necker, le ministère de Calonne, l'assemblée des notables<ref>1787 - {{bibliographie|Q110646856}} <!-- Discours prononcés à la dernière séance de l'Assemblée des notables tenue à Versailles le 25 mai 1787 --></ref>, les résistances du parlement, tous ces préludes de 1789 ont été comme engloutis dans la commotion qui suivit. Mais, à les reprendre isolément, à les examiner en détail, ce sont autant de symptômes que rien ne pourrait remplacer ; et commencer l'histoire de la révolution par l'assemblée nationale, c'est supprimer les intermédiaires. M. Droz, jugeant que cette portion importante avait été négligée, l'a traitée avec un soin particulier. Plus instructif et d'une raison plus ferme que Marmontel dans le IV° volume de ses Mémoires, plus impartial et plus exact que madame de Staël, il fait comprendre à merveille les efforts inutiles, les tentatives manquées et le désordre croissant de cette époque.<br /> Les hommes ne sont pas moins bien caractérisés que les événements ; et, hormis M. Necker, pour lequel le jugement droit de l'historien est quelque peu sévère, il n'est pas un des ministres obscurs ou célèbres de Louis XVI qui ne revive dans cette peinture. M. Droz a excellé dans le portrait du sage et vertueux Turgot qu'il a tracé de prédilection : mais il n'est homme d'état si médiocre et caractère si effacé auquel, par la fidélité piquante du portrait, il n'ait donné une valeur historique ; car la médiocrité des hommes dans la grandeur des crises est elle-même un événement considérable. En voyant le rôle qu'ont joué, l'influence qu'ont exercée des hommes que rien n'appelait à commander, on sent mieux la force irrésistible et collective qui poussait toutes choses. Le plan et l'idée systématique de l'historien en seront peut-être dérangés ; mais la vérité des faits y gagne. C'est ainsi que la réunion des états généraux, la séance du 20 juin, et toutes les circonstances qui la précèdent et qui la suivent, sont retracées par M. Droz avec une curieuse précision de détails, qu'on ne trouve dans aucun autre récit de cette époque.<br /> L'historien appelle usurpation l'inévitable réunion des trois ordres en un seul corps pour former l'assemblée nationale ; et, dans le résumé éloquent qui termine son second volume, cet acte est nommé parmi les fautes et les malheurs du temps. Il faut le dire cependant, c'était ici la faute nécessaire, et sans laquelle le bien, comme le mal, n'eût pas existé. Aussi toutes choses et tous y poussèrent. M. Droz pense que les changements maladroits introduits dans la déclaration royale, préparée par Necker, décidèrent ce grand mouvement ; mais, avant ces changements et cette déclaration, le sage Mounier, en proposant et en faisant jurer aux députés du Tiers de ne point se séparer que la constitution ne fût faite, avait assuré cette prise de possession du pouvoir dont se plaint l'historien. La disposition par laquelle M. Necker maintenait la délibération par ordre, lorsqu'il s'agirait d'intérêts séparés, ou pour mieux dire de priviléges, n'était une barrière à rien, et n'eût fait que montrer l'obstacle qu'on se fût hâté de détruire. Quant aux délibérations déjà prises par l'assemblée du Tiers et que la déclaration royale annulait comme illégales, M. Necker, en y appliquant la formule plus adoucie sans s'arrêter à, n'eût rien changé à la réalité. Toutefois, il eût évité ce que M. Droz appelle avec raison un lit de justice au milieu des états généraux, et il eût pallié quelque peu la crise, sans la prévenir. Ce qui donnait, dans ce premier moment, une force irrésistible à l'assemblée, ce n'était pas seulement les vœux et les passions du dehors, c'était sa propre unanimité, que fit éclater la parole de Mirabeau, et que consacrèrent ces mots de Sièyes : « Vous êtes aujourd'hui ce que vous étiez hier.» Ce qui suivit cet incident, les troubles de la cour, la confusion des conseils et bientôt la victoire de l'assemblée, tout cela est parfaitement décrit par l'historien, qui, avec son esprit impartial et l'ingénieuse modération de son langage, devine et fait comprendre toutes les passions des partis.<br /> Souvent même l'amour de la justice et de l'humanité, cette passion de l'homme de bien, la seule qui soit permise avec la postérité, élève le style de M. Droz, et fait succéder à la peinture exacte des faits quelques nobles pensées morales qui sont la sanction plutôt que l'ornement du récit. C'est ainsi qu'après avoir retracé les efforts de Lalli Tollendal dans la séance du 20 juillet, l'historien ajoute, pour expliquer l'indécision de cette assemblée si puissante, "beaucoup d'hommes sont braves à demi ; braves, les uns contre le despotisme, les autres contre l'anarchie, très-peu sont capables d'attaquer ces deux fléaux avec un égal dévouement. Tel qui n'avait point pâli à l'aspect des troupes dont l'assemblée nationale s'était vue environnée, trembla de défendre l'opinion qu'un ramas d'agitateurs disait n'être pas assez populaire." Cependant, ces deux courages, lorsqu'ils sont vrais, ont la même source; l'un d'eux seulement est plus animé par les regards publics : mais ils tiennent également à une certaine droiture et fierté d'âme qui ne sait pas plier sous la force du préjugé ou de la violence. Aussi les hommes qui, comme Barnave, étaient sincères dans leur résistance au pouvoir absolu, et s'étaient avancés fort loin dans cette résistance, se retournèrent vivement contre l'anarchie, lorsqu'elle devint un despotisme ; et l'histoire de la révolution offre bien d'autres exemples de ces conversions, qui ne sont qu'une honorable unité de caractère.<br /> On peut regretter que M. Droz, en fixant le terme de son récit à une certaine époque, se soit privé lui-même et ait privé son lecteur de ce spectacle instructif où se montre le mieux l'action des événements sur les hommes, et la force des hommes dignes de résister aux événements. Il n'en est pas de plus moral par la noblesse des efforts et de plus politique par l'exemple de l'inutilité de ces efforts, lorsqu'ils sont trop tardifs. Ces phases diverses d'une même vie sont une partie de l'histoire générale ; mais M. Droz, fidèle à son plan, s'arrête à la séance du 14 septembre 1790, où fut enfreinte la faible sauve-garde du Véto suspensif laissée seule au monarque. Et dès lors il renonce à décrire ce qui lui semble irréparablement prévu. A beaucoup d'observations semées dans son récit, on peut juger que l'ensemble de la révolution est présent à sa pensée. Il peut donc utilement porter plus loin ce premier travail, sans aller jusqu'au temps dont nous avons l'ineffaçable peinture. Aux lumières d'une haute raison, M. Droz réunit en effet la plus sévère étude des faits ; son esprit est scrupuleux comme sa conscience. A la foule innombrable des monuments publiés sur cette époque, il a joint la connaissamce de documents inédits, et surtout ce coup d'œil qui sait en tirer parti. Tous ceux qui liront cet ouvrage souhaiteront que l'auteur l'achève.|Villemain.- Histoire du règne de Louis XVI, pendant les années où l'on pouvait prévenir ou diriger la révolution française, par Joseph Droz, Journal des savants, avril 1859<ref>[https://books.google.fr/books?id=eMZeAAAAcAAJ&lpg=PA193&ots=QAi6I343T7&hl=fr&pg=PA193#v=onepage&q&f=false Journal des savants, avril 1859]</ref>}} ===== Esclavage & servitude dans ''Droz.- Histoire du règne de Louis XVI'' ===== ;Volume 1, 1839. {{Citation bloc|'''P. 75''' - Les changemens opérés sur la terre par le christianisme par l'abolition de l''''''esclavage''''' par les découvertes du génie ou du hasard par le développement de l'industrie ces changemens immenses qui rendent la vie des nations modernes si différente de celle des peuples anciens furent inaperçus ou dédaignés par des philosophes. Il parut beaucoup de livres...|Joseph Droz.- Histoire du règne de Louis XVI<ref>Joseph Droz.- Histoire du règne de Louis XVI, [https://books.google.fr/books?id=_1sPAAAAQAAJ&dq=Joseph%20Droz%2C%20Histoire%20du%20règne%20de%20Louis%20XVI%2C%20pendant%20les%20années%20o%C3%B9%20l'on%20pouvait%20prévenir%20ou%20diriger%20la%20Révolution%20fran%C3%A7aise%20%2B%20esclavage&hl=fr&pg=PA75#v=onepage&q&f=false Volume 1, 1839, p. 75]</ref>.}} ;Volume 2, 1839 {{Citation bloc|'''P. 410''' - Le duc de la Rochefoucauld<ref>[[w:François XII de La Rochefoucauld|François XII Alexandre Frédéric de La Rochefoucauld, duc de Liancourt]], puis 7e duc de La Rochefoucauld, défenseur dans l'Assemblée de la monarchie constitutionnelle,cousin de [[w:Louis Alexandre de La Rochefoucauld|Louis Alexandre de La Rochefoucauld]], migre en Angleterre : {{bibliographie|Q73511791}}, 1929.</ref> conjure l'assemblée de ne pas terminer sa session sans avoir adouci l''''''esclavage''''' des Noirs.|Joseph Droz.- Histoire du règne de Louis XVI<ref>Joseph Droz.- Histoire du règne de Louis XVI, [https://books.google.fr/books?id=mn-CwNU0i-AC&dq=Joseph%20Droz%2C%20Histoire%20du%20règne%20de%20Louis%20XVI%2C%20pendant%20les%20années%20o%C3%B9%20l'on%20pouvait%20prévenir%20ou%20diriger%20la%20Révolution%20fran%C3%A7aise%20%2B%20esclavage&hl=fr&pg=PA410#v=onepage&q&f=false Volume 2, 1839, p. 410</ref>.}} {{Citation bloc|'''P. 413''' - Il n'est pas exact de dire que les propriétés furent violées dans la nuit du 4 août La servitude personnelle y fut seule abolie. Les considérations de politique et d'humanité qui dans d'autres pays exigent qu'on ne laisse qu'à certaines conditions passer de l'esclavage à la liberté une multitude d'hommes dégradés n'existaient pas pour la France. L'assemblée ne dépassa point les principes des publicistes éclairés tels que Turgot et certes ni devant Dieu ni devant les hommes, les '''''serfs''''' du Jura n'étaient obligés de racheter à prix d'argent leurs personnes. Mais il est très vrai que l'effervescence portée à son comble par les commotions du 4 août amena des violations de la propriété. Il eût fallu distinguer toujours ce qui pouvait être aboli de ce qui devait être racheté et les législateurs en rédigeant leurs arrêtés sous l'influence d'une agitation extrême jetèrent des droits réels des propriétés véritables parmi '''les droits supprimés sans rachat'''. On avait voulu calmer le peuple on ne fit que l'exalter encore...|Joseph Droz.- Histoire du règne de Louis XVI<ref>Joseph Droz.- Histoire du règne de Louis XVI, [https://books.google.fr/books?id=mn-CwNU0i-AC&dq=Joseph%20Droz%2C%20Histoire%20du%20règne%20de%20Louis%20XVI%2C%20pendant%20les%20années%20o%C3%B9%20l'on%20pouvait%20prévenir%20ou%20diriger%20la%20Révolution%20fran%C3%A7aise%20%2B%20esclavage&hl=fr&pg=PA413#v=onepage&q=Joseph%20Droz,%20Histoire%20du%20règne%20de%20Louis%20XVI,%20pendant%20les%20années%20o%C3%B9%20l'on%20pouvait%20prévenir%20ou%20diriger%20la%20Révolution%20fran%C3%A7aise%20+%20esclavage&f=false Volume 2, , 1839 pp. 413-414]</ref>.}} == Histoire de la Révolution française == 1885 - {{Bibliographie|Q66004512}} <!-- Bertrand du Pouget de Nadaillac, Catalogue d'une collection de livres --> * [https://archive.org/details/catalogueduneco00nadagoog/page/n7 Amérique (1 occurrence)] * [https://archive.org/details/catalogueduneco00nadagoog/page/n7 Colonies (11 occurrences)] ; [https://archive.org/details/catalogueduneco00nadagoog/page/n7 colonie (1 occurrence)] * [https://archive.org/details/catalogueduneco00nadagoog/page/n7 Saint-Domingue (3 occurrences)] ; [https://archive.org/details/catalogueduneco00nadagoog/page/n7 St-Domingue (1 occurrence)] * [https://archive.org/details/catalogueduneco00nadagoog/page/n147 Jugement qui condamne à la peine mort Camille Capisceschi-Bologne, exnoble], né à Langres, né à Langres, Nic.-Vincent Bologne, né à Hameau-Duplan (Basses-Alpes],, et J.-B. Bologne, né à Hameau-de-la-Laze (Basses -Alpes], accusé de trahison envers la République. Parïs, 17 nivôse an II, 12 pp. In-4°. [https://archive.org/details/catalogueduneco00nadagoog/page/n147 page 102] {{Citation bloc|'''BOLOGNE (Jean-Bapt.)''', âgé de 41 ans, natif du hameau de la Lauze, cant. de Barcelonette, dép. des Basses-Alpes, ex-chevalier, offic. au régim. des gardes françaises, dom. à Paris, dép. de la Seine, cond. à mort comme conspir., en entretenant des correspondances avec les ennemis de l'extérieur, le 17 niv., an 2, par le trib. révol. de Paris.<br /> '''BOLOGNE (Camille-Capisceschi)''', âgé de 78 ans, natif de Langres, ex-noble, ci-dev. chevalier de S. Louis, capitaine des carabiniers, dom. à Beauvoisins, cant. de Langres, dép. de la H. Marne, cond. à mort, le 17 niv. an 2, par le trib. révol. de Paris, à cause de la copie d'une lettre trouvée chez lui, qu'il avait adressée à un ami, contenant des détails sur les opérations de l'assemblée ccnstituante, et où il dit : ''Je prends bien part à tous nos désastres : mais comment parer à la fureur de l'auguste sénat, après l'atrocité que l'on fait à la noblesse ? etc.<br /> '''BOLOGNE (Nicolas-Vinc)''', dit Duplan, âgé de 33 ans, né au hameau de Duplan, cant. de Barcelonette, dép. des Basses-Alpes, ex-vicaire à Bicêtre, dom. à Paris, dép. de la Seine, cond. à mort , le 17 niv., an 2, par le trib. révol. de Paris, pour le soin qu'il a eu de garder des copies de lettres, où les qualifications de chevalier et de marquis étaient conservées, quoique proscrites de puis trois ans, et pour n'être entré à Bicêtre qu'à dessein de profiter d'une occasion favorable d'y exciter un soulèvement.|{{bibliographie|Q26857752}}, page 110<ref>Voir également[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3043050h/f214.image.r=Bologne?rk=21459;2 ictionnaire des individus envoyés a la mort judiciairement, révolutionnairement et contre-révolutionnairement pendant la Révolution, particulièrement sous le règne de la Convention nationale. Tome 1, page 110].</ref>.}} * 1905 - François-Auguste-Marie-Alexis Mignet (796-1884), A. Dupuis, Henry Frowde.- Histoire de la révolution française, Oxford : Clarendon Press, [https://archive.org/details/histoiredelarevo00mign volume 1, Internet Archive], {{BNF|30945697t}}. {{Bibliographie|Q26202528}} * 1824 - [https://books.google.fr/books?id=6fxaAAAAQAAJ&hl=fr&pg=PA381#v=onepage&q&f=false Histoire de la révolution française: depuis 1789 jusqu'en 1814, Volume 2], F. Didot, 1824, 735 pages === Histoire de Louis XVI sous la période révolutionnaire, suite === * 1839 - {{bibliographie|Q26132783}}<br />Histoire du règne de Louis XVI, pendant les années où l'on pouvait prévenir ou diriger la révolution ; par Joseph Droz, de l'Académie française et de l'Académie des Sciences morales et politiques. Paris, J. Renouard et L. Hachette, 1859, 2 vol in-8°<ref>[https://books.google.fr/books?id=wDzq1mglZYoC&lpg=PA29&ots=6knrqeoT0d&hl=fr&pg=PA29#v=onepage&q&f=false Bulletin de la Société de l'histoire de France], 1838</ref> ** 1840 - {{bibliographie|Q17358564}} ** 1859 - [[w:Abel-François Villemain|Abel-François Villemain]] (ministre de l’Instruction publique de 1839 à 1845).- Histoire du règne de Louis XVI, pendant les années où l'on pouvait prévenir ou diriger la révolution française, par Joseph Droz, membre de l'Académie française et de l'Académie des sciences morales et politiques. 2 vol. in-8°, Paris, 1839. [https://books.google.fr/books?id=eMZeAAAAcAAJ&lpg=PA193&ots=QAi6I343T7&hl=fr&pg=PA193#v=onepage&q&f=false Journal des savants, avril 1859]. {{Citation bloc|On ne cessera pas d'écrire cette histoire de la révolution française, qui a déjà inspiré tant d'ouvrages, et, dans le nombre, quelques productions supérieures. Chaque époque la recommencera; et le tableau même de ce passé mémorable sera modifié par l'impression du présent, instable et renouvelé. Il n'est raison si ferme qui échappe à cette loi des temps. A égale indépendance d'esprit, l'histoire de la révolution française apparaît diversement, selon qu'elle est considérée du point de vue de l'empire, de la restauration, ou de l'ère aujourd'hui commencée; et ces trois époques cependant font partie de la révolution, et sont comme des actes et des suites de ce grand drame, qui servent à l'expliquer. Il n'en est pas moins vrai que chacune d'elles apporte quelque chose de particulier dans l'étude de cet ensemble d'événements, et que la vérité complète sortira seulement de cette longue série de perspectives diverses. Le caractère même de la révolution grandira d'autant plus que, par des transformations successives, elle aura constitué pour longtemps un gouvernement prospère et libre : et, dans ce sens, on peut dire que, réserve faite des principes de morale et d'humanité, qui ne changent pas, quoique méconnus, le jugement politique de l'histoire sur 1789 recevra de l'avenir une nouvelle sanction et de nouvelles lumières. On n'en doit pas lire, avec moins d'intérêt, ce que des esprits intègres et judicieux publient de réflexions et de souvenirs sur quelques parties de cette œuvre qui se fait toujours.<br /> Aujourd'hui M. Droz, venant après tant d'autres, porte dans la tâche qu'il a entreprise, non-seulement la disposition impartiale de notre époque, mais un caractère particulier de candeur et de modération. C'est un moraliste qui écrit l'histoire, c'est un esprit calme et juste, habitué à l'analyse du cœur humain, qui étudie les grands mouvements d'un peuple et les crises d'une société, comme il a étudié toute sa vie la nature morale de l'homme. Cette manière n'est pas sans doute à l'abri de l'erreur; et je ne m'étonnerais pas que le titre même de l'ouvrage de M. Droz ne fût très-contesté : ''Histoire du règne de Louis XVI pendant les années où l'on pouvait prévenir ou diriger la révolution française''. Les phases historiques se tranchent-elles avec cette précision ? et, dans cette foule de causes secondes qui, sous l'œil de la Providence, concourent à la préparation d'un événement, peut-on marquer un point unique, à partir duquel l'événement devient inévitable ? Est-il plus facile de fixer une époque où une révolution aurait pu être dirigée, c'est-à-dire n'aurait pas été elle-même, ne se serait pas accomplie tout entière ? nous en doutons fort pour la nôtre. Il était dans la nature de cette révolution d'amener une perturbation profonde, illimitée ; car elle n'était pas seulement suscitée contre le pouvoir, mais contre l'état de la société, dont elle changeait les bases. Ce changement, une fois entrepris, comment se serait-il arrêté ? comment, par exemple, après la déclaration des droits de l'homme, et les décrets de la nuit du 7 août, l'ancienne hiérarchie, ébranlée depuis tant d'années, aurait-elle pu se relever, conserver quelque force ? On a dit plusieurs fois qu'une des causes qui avaient précipité la révolution française avec une irrésistible violence, c'était l'unité de la législature, l'absence d'une seconde chambre, d'un sénat, d'une pairie. Mais, un siècle auparavant, une chambre semblable, enracinée dans la monarchie anglaise, avait-elle empêché la ruine de cette monarchie, et n'était-elle pas tombée comme elle, et avant elle ? Dans le cadre que s'est proposé M. Droz, nous croyons donc reconnaître moins une distinction réellement historique que le système d'un esprit bienveillant, qui, reculant à l'aspect de toutes les choses violentes et terribles entassées par la révolution, a voulu faire un choix, et ne raconter que l'époque où les illusions généreuses prévalaient encore. Ce n'est pas qu'il n'apporte lui-même beaucoup de sagacité dans le jugement de ses illusions, et qu'il ne les démêle avec une raison sévère et parfois piquante ; mais son âme paisible et douce n'a pas voulu aller au delà, et prendre sur soi d'expliquer et de peindre les épouvantables réalités qui suivirent. Il nous reste donc de prendre ce nouvel ouvrage comme l'auteur l'a conçu, et d'y chercher ce qu'il renferme de vues nouvelles ou de vérités méconnues.<br /> M. de Montlosier a souvent écrit que la révolution française remontait à Louis XIV, ou même plus haut, et que c'était dans la persécution de la noblesse sous Richelieu, dans son asservissement de cour sous Louis XIV, et dans la promotion du tiers-état, qu'il fallait chercher l'origine et les causes invincibles de la révolution française. Et en cela, il a dit vrai; car, dans la chaîne historique, tous les faits principaux se tiennent, bien que souvent le rapport qu'on établit entre eux à longue distance semble paradoxal. M. Droz, qui ne cherche point à saisir l'esprit par des contrastes, s'est reporté moins haut, pour expliquer ce qui avait près de nous une cause plus immédiate et plus visible. Il s'est arrêté au règne de Louis XV ; et, dans une introduction courte et pleine de faits bien choisis, modérée par les termes et justement sévère au fond, il a caractérisé tous les maux partiels, toutes les contradictions sociales, toutes les fautes et toutes les hontes qu'avait accumulés le règne de Louis XV. Dans cette revue rapide et fine, il faut remarquer surtout ce qui est dit des lettres et du clergé. L'état de ces deux forces, alliées sous Louis XIV, et devenues plus tard aussi opposées qu'inégales en puissance, est parfaitement résumé par l'auteur. Puis il passe à l'avénement de Louis XVI, à ses premières tentatives de réforme, à cette longue lutte entre sa probité naturelle, son bon sens timide et tous les vices de sa cour, toutes les passions de son temps. Le tableau est curieux à retracer; et on doit reconnaître, avec l'historien, que ces moments encore indécis, ces moments d'épreuve et d'alternative sont plus instructifs que les époques où tout semble entraîné par une force unique. Seulement on sait trop ce qui manquait à Louis XVI pour cette lutte ; et M. Droz cependant ne l'a pas complètement indiqué. Il n'y a que M. Turgot et moi qui aimions le peuple, disait Louis XVI ; et, peu de jours après, il renvoyait M. Turgot, devant une intrigue de quelques courtisans et de quelques financiers. Dans cette première condescendance du faible et vertueux roi, on pouvait prévoir bien d'autres événements de son règne; et l'historien pouvait peut-être juger dès lors que la révolution dont il décrit l'avant-scène, ne serait ni prévenue, ni corrigée.<br /> Le précieux travail de M. Droz offre deux parties distinctes, qui sont entremêlées avec art : la peinture morale de la société, l'analyse des faits politiques et législatifs. Cette réunion d'objets fort divers exigeait une grande précision de connaissances et une rare justesse de coup d'œil. Sur les préliminaires et les commencements de la révolution, beaucoup de choses qui n'ont été vues et contées que par les passions contemporaines sont encore aujourd'hui confuses et mal connues. C'est un débat que le grand nombre de témoins n'a pas éclairci. Et cependant quoi de plus décisif pour l'intelligence des grands événements, que la diversité et l'impuissance des efforts qui les précédaient ? Le premier ministère de Necker, le ministère de Calonne, l'assemblée des notables, les résistances du parlement, tous ces préludes de 1789 ont été comme engloutis dans la commotion qui suivit. Mais, à les reprendre isolément, à les examiner en détail, ce sont autant de symptômes que rien ne pourrait remplacer ; et commencer l'histoire de la révolution par l'assemblée nationale, c'est supprimer les intermédiaires. M. Droz, jugeant que cette portion importante avait été négligée, l'a traitée avec un soin particulier. Plus instructif et d'une raison plus ferme que Marmontel dans le IV° volume de ses Mémoires, plus impartial et plus exact que madame de Staël, il fait comprendre à merveille les efforts inutiles, les tentatives manquées et le désordre croissant de cette époque.<br /> Les hommes ne sont pas moins bien caractérisés que les événements ; et, hormis M. Necker, pour lequel le jugement droit de l'historien est quelque peu sévère, il n'est pas un des ministres obscurs ou célèbres de Louis XVI qui ne revive dans cette peinture. M. Droz a excellé dans le portrait du sage et vertueux Turgot qu'il a tracé de prédilection : mais il n'est homme d'état si médiocre et caractère si effacé auquel, par la fidélité piquante du portrait, il n'ait donné une valeur historique ; car la médiocrité des hommes dans la grandeur des crises est elle-même un événement considérable. En voyant le rôle qu'ont joué, l'influence qu'ont exercée des hommes que rien n'appelait à commander, on sent mieux la force irrésistible et collective qui poussait toutes choses. Le plan et l'idée systématique de l'historien en seront peut-être dérangés ; mais la vérité des faits y gagne. C'est ainsi que la réunion des états généraux, la séance du 20 juin, et toutes les circonstances qui la précèdent et qui la suivent, sont retracées par M. Droz avec une curieuse précision de détails, qu'on ne trouve dans aucun autre récit de cette époque.<br /> L'historien appelle usurpation l'inévitable réunion des trois ordres en un seul corps pour former l'assemblée nationale ; et, dans le résumé éloquent qui termine son second volume, cet acte est nommé parmi les fautes et les malheurs du temps. Il faut le dire cependant, c'était ici la faute nécessaire, et sans laquelle le bien, comme le mal, n'eût pas existé. Aussi toutes choses et tous y poussèrent. M. Droz pense que les changements maladroits introduits dans la déclaration royale, préparée par Necker, décidèrent ce grand mouvement ; mais, avant ces changements et cette déclaration, le sage Mounier, en proposant et en faisant jurer aux députés du Tiers de ne point se séparer que la constitution ne fût faite, avait assuré cette prise de possession du pouvoir dont se plaint l'historien. La disposition par laquelle M. Necker maintenait la délibération par ordre, lorsqu'il s'agirait d'intérêts séparés, ou pour mieux dire de priviléges, n'était une barrière à rien, et n'eût fait que montrer l'obstacle qu'on se fût hâté de détruire. Quant aux délibérations déjà prises par l'assemblée du Tiers et que la déclaration royale annulait comme illégales, M. Necker, en y appliquant la formule plus adoucie sans s'arrêter à, n'eût rien changé à la réalité. Toutefois, il eût évité ce que M. Droz appelle avec raison un lit de justice au milieu des états généraux, et il eût pallié quelque peu la crise, sans la prévenir. Ce qui donnait, dans ce premier moment, une force irrésistible à l'assemblée, ce n'était pas seulement les vœux et les passions du dehors, c'était sa propre unanimité, que fit éclater la parole de Mirabeau, et que consacrèrent ces mots de Sièyes : « Vous êtes aujourd'hui ce que vous étiez hier.» Ce qui suivit cet incident, les troubles de la cour, la confusion des conseils et bientôt la victoire de l'assemblée, tout cela est parfaitement décrit par l'historien, qui, avec son esprit impartial et l'ingénieuse modération de son langage, devine et fait comprendre toutes les passions des partis.<br /> Souvent même l'amour de la justice et de l'humanité, cette passion de l'homme de bien, la seule qui soit permise avec la postérité, élève le style de M. Droz, et fait succéder à la peinture exacte des faits quelques nobles pensées morales qui sont la sanction plutôt que l'ornement du récit. C'est ainsi qu'après avoir retracé les efforts de Lalli Tollendal dans la séance du 20 juillet, l'historien ajoute, pour expliquer l'indécision de cette assemblée si puissante, "beaucoup d'hommes sont braves à demi ; braves, les uns contre le despotisme, les autres contre l'anarchie, très-peu sont capables d'attaquer ces deux fléaux avec un égal dévouement. Tel qui n'avait point pâli à l'aspect des troupes dont l'assemblée nationale s'était vue environnée, trembla de défendre l'opinion qu'un ramas d'agitateurs disait n'être pas assez populaire." Cependant, ces deux courages, lorsqu'ils sont vrais, ont la même source; l'un d'eux seulement est plus animé par les regards publics : mais ils tiennent également à une certaine droiture et fierté d'âme qui ne sait pas plier sous la force du préjugé ou de la violence. Aussi les hommes qui, comme Barnave, étaient sincères dans leur résistance au pouvoir absolu, et s'étaient avancés fort loin dans cette résistance, se retournèrent vivement contre l'anarchie, lorsqu'elle devint un despotisme ; et l'histoire de la révolution offre bien d'autres exemples de ces conversions, qui ne sont qu'une honorable unité de caractère.<br /> On peut regretter que M. Droz, en fixant le terme de son récit à une certaine époque, se soit privé lui-même et ait privé son lecteur de ce spectacle instructif où se montre le mieux l'action des événements sur les hommes, et la force des hommes dignes de résister aux événements. Il n'en est pas de plus moral par la noblesse des efforts et de plus politique par l'exemple de l'inutilité de ces efforts, lorsqu'ils sont trop tardifs. Ces phases diverses d'une même vie sont une partie de l'histoire générale ; mais M. Droz, fidèle à son plan, s'arrête à la séance du 14 septembre 1790, où fut enfreinte la faible sauve-garde du Véto suspensif laissée seule au monarque. Et dès lors il renonce à décrire ce qui lui semble irréparablement prévu. A beaucoup d'observations semées dans son récit, on peut juger que l'ensemble de la révolution est présent à sa pensée. Il peut donc utilement porter plus loin ce premier travail, sans aller jusqu'au temps dont nous avons l'ineffaçable peinture. Aux lumières d'une haute raison, M. Droz réunit en effet la plus sévère étude des faits ; son esprit est scrupuleux comme sa conscience. A la foule innombrable des monuments publiés sur cette époque, il a joint la connaissamce de documents inédits, et surtout ce coup d'œil qui sait en tirer parti. Tous ceux qui liront cet ouvrage souhaiteront que l'auteur l'achève.|Villemain.- Histoire du règne de Louis XVI, pendant les années où l'on pouvait prévenir ou diriger la révolution française, par Joseph Droz, Journal des savants, avril 1859<ref>[https://books.google.fr/books?id=eMZeAAAAcAAJ&lpg=PA193&ots=QAi6I343T7&hl=fr&pg=PA193#v=onepage&q&f=false Journal des savants, avril 1859]</ref>}} ===== Esclavage & servitude dans ''Droz.- Histoire du règne de Louis XVI'' ===== ;Volume 1, 1839. {{Citation bloc|'''P. 75''' - Les changemens opérés sur la terre par le christianisme par l'abolition de l''''''esclavage''''' par les découvertes du génie ou du hasard par le développement de l'industrie ces changemens immenses qui rendent la vie des nations modernes si différente de celle des peuples anciens furent inaperçus ou dédaignés par des philosophes. Il parut beaucoup de livres...|Joseph Droz.- Histoire du règne de Louis XVI<ref>Joseph Droz.- Histoire du règne de Louis XVI, [https://books.google.fr/books?id=_1sPAAAAQAAJ&dq=Joseph%20Droz%2C%20Histoire%20du%20règne%20de%20Louis%20XVI%2C%20pendant%20les%20années%20o%C3%B9%20l'on%20pouvait%20prévenir%20ou%20diriger%20la%20Révolution%20fran%C3%A7aise%20%2B%20esclavage&hl=fr&pg=PA75#v=onepage&q&f=false Volume 1, 1839, p. 75]</ref>.}} ;Volume 2, 1839 {{Citation bloc|'''P. 410''' - Le duc de la Rochefoucauld conjure l'assemblée de ne pas terminer sa session sans avoir adouci l''''''esclavage''''' des Noirs.|Joseph Droz.- Histoire du règne de Louis XVI<ref>Joseph Droz.- Histoire du règne de Louis XVI, [https://books.google.fr/books?id=mn-CwNU0i-AC&dq=Joseph%20Droz%2C%20Histoire%20du%20règne%20de%20Louis%20XVI%2C%20pendant%20les%20années%20o%C3%B9%20l'on%20pouvait%20prévenir%20ou%20diriger%20la%20Révolution%20fran%C3%A7aise%20%2B%20esclavage&hl=fr&pg=PA410#v=onepage&q&f=false Volume 2, 1839, p. 410</ref>.}} {{Citation bloc|'''P. 413''' - Il n'est pas exact de dire que les propriétés furent violées dans la nuit du 4 août La servitude personnelle y fut seule abolie. Les considérations de politique et d'humanité qui dans d'autres pays exigent qu'on ne laisse qu'à certaines conditions passer de l'esclavage à la liberté une multitude d'hommes dégradés n'existaient pas pour la France. L'assemblée ne dépassa point les principes des publicistes éclairés tels que Turgot et certes ni devant Dieu ni devant les hommes, les '''''serfs''''' du Jura n'étaient obligés de racheter à prix d'argent leurs personnes. Mais il est très vrai que l'effervescence portée à son comble par les commotions du 4 août amena des violations de la propriété. Il eût fallu distinguer toujours ce qui pouvait être aboli de ce qui devait être racheté et les législateurs en rédigeant leurs arrêtés sous l'influence d'une agitation extrême jetèrent des droits réels des propriétés véritables parmi '''les droits supprimés sans rachat'''. On avait voulu calmer le peuple on ne fit que l'exalter encore...|Joseph Droz.- Histoire du règne de Louis XVI<ref>Joseph Droz.- Histoire du règne de Louis XVI, [https://books.google.fr/books?id=mn-CwNU0i-AC&dq=Joseph%20Droz%2C%20Histoire%20du%20règne%20de%20Louis%20XVI%2C%20pendant%20les%20années%20o%C3%B9%20l'on%20pouvait%20prévenir%20ou%20diriger%20la%20Révolution%20fran%C3%A7aise%20%2B%20esclavage&hl=fr&pg=PA413#v=onepage&q=Joseph%20Droz,%20Histoire%20du%20règne%20de%20Louis%20XVI,%20pendant%20les%20années%20o%C3%B9%20l'on%20pouvait%20prévenir%20ou%20diriger%20la%20Révolution%20fran%C3%A7aise%20+%20esclavage&f=false Volume 2, , 1839 pp. 413-414]</ref>.}} ===== Histoire de la Révolution française ===== * 1905 - François-Auguste-Marie-Alexis Mignet (796-1884), A. Dupuis, Henry Frowde.- Histoire de la révolution française, Oxford : Clarendon Press, [https://archive.org/details/histoiredelarevo00mign volume 1, Internet Archive], {{BNF|30945697t}}. {{Bibliographie|Q26202528}} * 1824 - [https://books.google.fr/books?id=6fxaAAAAQAAJ&hl=fr&pg=PA381#v=onepage&q&f=false Histoire de la révolution française: depuis 1789 jusqu'en 1814, Volume 2], F. Didot, 1824, 735 pages === Abolition des droits féodaux, Nuit du 4 août 1789 === [[Fichier:Les Visite du Jour de l'Ans au Roi Avec le Quart de Leur Revenue, 1790.png|100 px|vignette|gauche|Les Visite du Jour de l'Ans au Roi Avec le Quart de Leur Revenue, 1790]] Déclaration des droits de l’Homme et du citoyen, article 17 : ''La propriété étant un droit inviolable et sacré, nul ne peut en être privé, si ce n'est lorsque la nécessité publique, légalement constatée, l'exige évidemment, et sous la condition d'une juste et préalable indemnité''. ;"" {{Citation bloc|les droits féodaux seraient rachetables, et que les servitudes personnelles seraient détruites sans rachat| M. de Noailles soutenu par M. d'aiguillon|J.-P. Rabaut de Saint-Étienne<ref>[https://books.google.fr/books?id=TiYICrVzHzkC&dq=Noailles%20%2B%20droits%20rachetables%20%2B%20droits%20supprimés%20sans%20rachat&hl=fr&pg=PA81#v=onepage&q=Noailles%20+%20droits%20rachetables%20+%20droits%20supprimés%20sans%20rachat&f=false Précis de l'histoire de la Révolution française]</ref>.}} === Droits féodaux === [[Fichier:Louis X dit Hutin - Lettres portant que les ſerfs du Domaine du Roy ſeront affranchis, moyennant finance, Paris, 3 juillet 1315.png|100px|vignette|gauche|Louis X dit Hutin - Lettres portant que les ſerfs du Domaine du Roy ſeront affranchis, moyennant finance, Paris, 3 juillet 1315]] Cf. [[Utilisateur:Ambre Troizat/Joseph, sujet du roy de France, de la servitude à la chevalerie#Les affranchissement de Louis XI dit Hutin|Les affranchissement de Louis XI dit Hutin]] * 1877 - Paul Janet.- [[s:La Propriété pendant la révolution française|La Propriété pendant la révolution française]], Revue des Deux Mondes, 3e période, tome 23, 1877 (pp. 320-354). * 2005 - Jean-Jacques Clere, « L’abolition des droits féodaux en France », Cahiers d’histoire. Revue d’histoire critique [En ligne], 94-95 | 2005, mis en ligne le 01 janvier 2008, consulté le 31 juillet 2016. URL : http://chrhc.revues.org/1227 * [[d:Q26161516|1790]] - {{Bibliographie|Q26161516}} France. Assemblée nationale constituante (1789-1791).- {{BNF|40141805n}}, [https://books.google.fr/books?id=TU1eDpQAHSwC&hl=fr&pg=PA1#v=onepage&q&f=false Lire en ligne sur Google Livres], [[d:Q26161516|Wikidata]]. * 1907 - {{Bibliographie|Q26159920}} * 1993 - {{Bibliographie|Q26161823}} * 1996 - {{Bibliographie|Q26158057}} * 1997 - {{Bibliographie|Q26158407}} [http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb37245348j Assemblée nationale.- Décret concernant les droits féodaux du 15 mars 1790] Sous-notices. Reproduction de l'édition de 1776-1790, 784 pages. * [http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb37245348j 33 pamphlets sur les droits féodaux et l'abolition de la féodalité], publiés avant la Révolution, [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56647r Consultable sur Gallica] # 1771 - Victor-Amédée III (roi de Sardaigne ; 1726-1796).- Lettres-patentes du roi de Sardaigne du 10 décembre 1773, par lesquelles Sa Majesté prescrit des règlemens relatifs à l'édit du 19 décembre 1771, pour l'affranchissement des fiefs, et emphitéoses du duché de Savoie, et aux dispositions émanées en conséquence # 1776 - Pierre-François Boncerf.- Les inconvénients des droits féodaux, s. d. & Fragmens sur l'origine des droits féodaux, s. d.,<br />[Google livres : Pierre-François Boncerf.- Les inconvéniens des droits féodaux, Paris, 1776 - 72 pages]<br />1789 - Pierre-François Boncerf, Les inconvéniens des droits seigneuriaux, ou vœu essentiel à former par le Tiers-Etat du royaume aux États-Généraux<br />Pierre-François Boncerf est économiste, disciple de Turgot, secrétaire du duc d'Orléans, officier municipal de la commune de Paris pendant la Révolution # 1777 - France. Chambre des comptes.- Manifeste de la chambre des comptes, du 26 octobre 1777, pour la vente des fiefs, juridictions, biens et revenus du royal domaine # 1778 - Victor-Amédée III (roi de Sardaigne ; 1726-1796).- Lettres-patentes du roi de Sardaigne du 2 janvier 1778, portant de nouvelles dispositions relatives à l'édit du 19 décembre 1771, pour l'affranchissement des fiefs et emphitéoses du duché de Savoie # Charles-Michel de Villette.- Protestation d'un serf du Mont-Jura [Charles-Michel de Villette] contre l'Assemblée des notables, le mémoire des princes du sang, le clergé, la noblesse et le tiers état, au Roi # 1789 - Armand de Vignerot du Plessis de Richelieu duc d’Aiguillon, (1761-1800), France. Assemblée nationale constituante (1789-1791). Comité de féodalité. Éditeur scientifique.- Motion de M. le duc d'Aiguillon à la séance du 4 août 1789 # 1762 - Charles Emmanuel I (duc de Savoie ; 1562-1630), Edit du roi de Sardaigne du 20 janvier 1762, pour l''''affranchissement de la taillabilité personnelle en Savoie''', la rémission du tot-quot, et délégation des intendans respectifs # 1771 - '''Sous-notice [10]'''. Charles Emmanuel I (duc de Savoie ; 1562-1630).- Edit du roi de Sardaigne du 19 décembre 1771, pour l'affranchissement des fonds sujets à devoirs féodaux ou emphitéotiques en Savoie, et autres dispositions relatives à cet objet, aux fiefs et emphitéoses, aux dettes des communautés, et à la réduction des intérêts # 1789 - Arnoult, André-Rémi (1754?-1796?).- Opinion de M. Arnoult, député de Dijon, sur l'article 7 du projet d'arrêté du 4 août 1789 # Foucauld-Lardimalie, Louis de Opinion du marquis de Foucauld l'Ardimalie, député de la noblesse du Périgord, sur la motion de M. le vicomte de Noailles, concernant l''''abolition de la féodalité''', et le '''rachat des cens et rentes seigneuriales''', etc. # 1789 - Thiboutot, Jean-Baptiste-Léon de, France. Assemblée nationale constituante (1789-1791). Éditeur scientifique .- Observations que M. le marquis de Thiboutot devoit soumettre à l'Assemblée nationale le 5 de ce mois, sur les droits seigneuriaux, dont on avoit proposé la suppression le 4 à la séance du soir, à l'occasion d'un arrêté qu'elle devoit prendre, pour faire cesser les entreprises de quelques habitans des campagnes sur les châteaux, et sur-tout sur les chartriers des seigneurs de terres # 1789 - France. Assemblée nationale constituante (1789-1791).- Extrait du procès-verbal de l'Assemblée nationale du mercredi 5 août 1789 # 1789 - Mirabeau, Honoré-Gabriel Riqueti (1749-1791 ; comte de).- La nouvelle distinction des ordres # 1789 - Le Chapelier, Isaac-René-Guy.- Discours de M. Le Chapelier, président de l'Assemblée nationale au roi, titre conventionnel : Discours. Le Chapelier. 1789?. Paris, Assemblée nationale constituante # 1789 - Louis XVI (roi de France ; 1754-1793).- Réponse du Roi [au discours de M. Le Chapelier<ref>Isaac-René-Guy Le Chapelier.- Discours de M. Le Chapelier, président de l'Assemblée Nationale au Roi, Chez Baudouin, imprimeur de l'Assemblée nationale, 1789, {{BNF|307644048}}</ref> # 1789 - Louis XVI (roi de France ; 1754-1793).- Réponse du Roi à l'Assemblée nationale, du 20 septembre au soir # 1789 - Citoyen, Un (17..-18..? ; auteur de "Observations d'un citoyen sur l'arrêté du 4 août"), Observations d'un citoyen sur l'arrêté du 4 août # 1789 - Citoyen, Un (17..-18..? ; auteur de "Nouvelles réflexions d'un citoyen, sur les États généraux"). Nouvelles réflexions d'un citoyen sur les états généraux # 1789 - Laurent, François (17..-....).- Lettre d'un Franc-Comtois aux députés de sa province # 1789 - Lebois, René-François (1769?-18..).- L'heureuse nouvelle qu'on attendoit pas, ou L'abandon proposé # 1789 - Louis XVI (roi de France ; 1754-1793).- Réponse du Roi à l'Assemblée nationale, Versailles le 20 septembre 1789 # 1789 - Deschamps, Charles-Martin (17..-18..?) # 1789 - Opinion de M. Deschamps, député de Lyon, sur la réponse du Roi adressée à l'Assemblée nationale le 18 septembre, relativement aux arrêtés du 4 août et jours suivans # 1789 - France. Assemblée nationale constituante (1789-1791).- Extrait des procès verbaux de l'Assemblée nationale, du 28 septembre et 5 octobre, concernant l'abolition des droits de [[w:Franc-fief|franc-fiefs]] # 1789 - Viellart, René-Louis-Marie.- Idée d'une motion importante, pour compléter l'arrêté du 5 août # 1789 - Villemonney (17..-18..? ; avocat).- Considérations sur la destruction du régime féodal & Projet de nouvelle législation censière # 1789 - Lindet, Thomas (1743-1823).- A nos seigneurs de l'Assemblée nationale # 1790 - Merlin, Philippe-Antoine.- Rapport fait à l'Assemblée nationale, au nom du Comité de féodalité, le 8 février 1790 # 1790 - France. Assemblée nationale constituante (1789-1791). Comité de féodalité. # 1790 - France. Assemblée nationale constituante (1789-1791).- Projet de décret sur la destruction du régime féodal # 1790 - Merlin, Philippe-Antoine. Éditeur scientifique.- Suite du rapport fait à l'Assemblée nationale, au nom du Comité de féodalité, le 8 février 1790 # 1790 - Gillet-Lajaqueminière, Louis-Charles, Assemblée nationale constituante (1789-1791). Comité des domaines # 1790 - France. Assemblée nationale constituante (1789-1791). Comité d'agriculture et de commerce, Comité de féodalité.- Rapport fait à l'Assemblée nationale, au nom des Comités de féodalité, domaines, agriculture et commerce, sur les droits de péage, minage, hallage, étalonnage & autres semblables : le 4 mars 1790 # 1790 - France. Assemblée nationale constituante (1789-1791).- Projet de décret sur les droits de péage, minage, hallage, étalonage, & autres semblables # 1790 - France. Assemblée nationale constituante (1789-1791).- '''Décret de l'Assemblée nationale concernant les droits féodaux, du 15 mars 1790''' # 1790 - Merlin, Philippe-Antoine, France. Assemblée nationale constituante (1789-1791). Comité de féodalité. Éditeur scientifique.- Projet d'instruction sur les droits de champart, terrage, agrier, arrage, tierce, soété, complant, cens, rentes seigneuriales, lods-&-ventes, reliefs, & autres droits ci-devant seigneuriaux, déclarés rachetables par le décret du 15 mars 1790, sanctionné par le roi le 28 du même mois # 1790 - Tronchet, François-Denis, France. Assemblée nationale constituante (1789-1791). Comité de féodalité. Éditeur scientifique.- Second rapport du Comité féodal # 1790 - Antoine-Jean-François Lautour-Duchâtel, France. Assemblée nationale constituante (1789-1791). Comité de féodalité. Éditeur scientifique.- Rapport et projet de décret concernant la suppression, sans indemnité, de divers droits féodaux déclarés rachetables par le décret du 15 mars 1790 # 1790 - Gaspard-Claude-François Chabrol, France. Sénéchaussée d'Auvergne. Éditeur scientifique.-Opinion de M. Chabrol, député de la Sénéchaussée d'Auvergne, à la séance du 27 avril, sur le rachat des droits casuels censiers # 1790 - Lettres patentes du Roi sur le décret de l'Assemblée Nationale du 15 du présent mois de Mars, concernant les droits féodaux impr. de Baudouin '''<strong>Occurrences dans</strong>''' <br /> 1907 - {{Bibliographie|Q26159920}} ;Serf Pages : 17 - 118 - 150 - 387 - 499 - 507. ;Servage Pages : 504 - 529. ;Esclave Pages : 58 - 110 - 148 - 196 - 196 - 314 - 321 - 329 - 344 - 350 - 360 - 361 - 362 - 418 - 493 - 521 - 524 - 661 ;Esclavage Pages : 57 - 59 - 133 - 144 - 148 - 151 - 195 - 200 - 243 - 299 - 311 - 321 - 328 - 337 - 362 - 488 - 523 - 679 - 696 - 742 ;Colon ==== Bibliographie (Abolition des droits féodaux) ==== * 2005 - {{bibliographie|Q27981404}}, Les biens communaux, La nuit du 4 août * 2005 - {{bibliographie|Q23937022}} <!-- L’abolition des droits féodaux en France --> == Révolution haïtienne == * Ronan Y. Chalmin.- Éthique et rhétorique de la Révolution chez Gracchus Babeuf et Toussaint Louverture, 2015, {{bibliographie|Q23011766}} * 2012 - {{bibliographie|Q64523155}} <!-- Jacques de Cauna et Hubert Bonin (dir.), Dessalines esclave de Toussaint ? --> == Révolution de juillet 1830 == La Révolution de Juillet, aussi appelé "Les 3 Glorieuses", dura 3 jours, les 27, 28 et 29 juillet 1830, et entraîna la chute de la maison Bourbon. === Charles de Rohan-Soubise === [[w:Charles de Rohan-Soubise|Charles de Rohan, duc de Rohan-Rohan, prince de Soubise]], comte de Saint-Pol, maréchal de France, dit le maréchal de Soubise, né en 1715 et mort en 1787 participe à la bataille de Fontenoy en 1745 et il fait lieutenant général en 1748. Il est nommé par Louis XV gouverneur général de la Flandre et du Hainaut, gouverneur, chef et grand bailli de Lille (1751). {{Citation bloc|Depuis huit jours, m'a-t-on dit, il règne une rumeur moitié gaie, moitié critique, à l'Œil de bœuf, à propos des permis de chasse dans les forêts royales, délivrés par mademoiselle Guimard, danseuse de l'Opéra. Cette circonstance paraît en effet fort drôle , même quand on en connaît le motif. Mademoiselle Gnimard, maîtresse du prince de Soubise, capitaine des chasses, ne se borne pas à dire : Nous donnons des permis de.chasse, comme la servante du curé disait : Nous chantons des messes; son amant lui a délégué le pouvoir d’en accorder, et elle use de ce privilége. Aussi .voit-on, dans les bois de Saint-Germain, de Versailles ou de Marly, des amours et des zéphyrs, la carnassière au dos, les guêtres aux jambes, le fusil sur l'épaule, tuant les faisans de sa majesté pour les nymphes du magasin. Les gentilshommes de la cour, jaloux de ces faveurs accordées à des gens qu’ils appellent des baladins, en murmurent hautement; tout en se moquant de leurs rivaux chantants, concertants ou dansants, ils jurent que, si cela dure, ils roueront de coups Cupidon; Borée, Castor et Pollux , et toute cette clique usurpatrice des plaisirs réservés ordinairement à la noblesse.|G. Barba.- Chroniques pittoresques et critiques de l'Œil de bœuf, Volume 4, 1845<ref>G. Barba.- Chroniques pittoresques et critiques de l'Œil de bœuf: des petits appartements de la cour et des salons de Paris, sous Louis XIV, La Régence, Louis XV et Louis XVI, Volume 4, 1845, [https://books.google.fr/books?id=6TNySnWtZPQC&lpg=PA274&ots=uzkWrPQws4&dq=capitaine%20des%20chasses%20du%20roi%20%2B%20prince%20de%20Soubise%20%2B%20louis%20XVI&hl=fr&pg=PA274#v=onepage&q=capitaine%20des%20chasses%20du%20roi%20+%20prince%20de%20Soubise%20+%20louis%20XVI&f=false page 274]</ref>.}} == Joshua Reynolds == [[w:Joshua Reynolds|Joshua Reynolds]] <gallery> File:Omai, Sir Joshua Reynolds.JPG|[[w:Omai|Omai]], [[w:Raiatea|Raiatea]], Polynésie, vers 1751 - [[w:Huahine|Huahine]], 1779. Ces îles sont aujourd'hui territoires français. </gallery> <gallery> File:Louis Philippe d'Orléans Reynolds Chantilly.jpg|Louis Philippe d'Orléans, duc de Chartres (ultérieurement duc d'Orléans, puis Philippe-Egalité), en uniforme de hussards, copie d'après un original disparu File:Château de Chantilly, painting by Joshua Reynolds.JPG|Le duc d'Orléans en Angleterre avec un serviteur afridescendant File:The Duke of Orléans in 1785 by Joshua Reynolds (British Royal Collection).jpg|Le duc d'Orléans en Angleterre avec analyses et commentaires File:Louis Philippe d'Orléans Reynolds Chantilly détail.jpg|Louis Philippe d'Orléans Reynolds, Musée de Chantilly </gallery> == Louis Philippe, Duke of Orleans, After Joshua Reynolds == [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=Commons:Bistro&oldid=prev&diff=690138534&markasread=54498434&markasreadwiki=commonswiki En archives sur Commons : Louis Philippe, Duke of Orleans, After Joshua Reynolds] {{Citation bloc|Est-il possible d'uploader cette version du portrait en pied de Louis-Philippe duc d'Orléans par Joshua Reynolds eu égard aux droits d'auteur : [https://www.cowanauctions.com/lot/mezzotint-of-louis-philippe-duke-of-orleans-after-joshua-reynolds-3955865 Joshua Reynolds.- Louis-Philippe duc d'Orléans] ?<br /> Merci de votre attention. [[User:Ambre Troizat|Bel Bonjour, Ambre Troizat]] ([[User talk:Ambre Troizat|<span class="signature-talk">{{int:Talkpagelinktext}}</span>]]) 17:44, 5 September 2022 (UTC)<br /> :Oui, certainement dans le domaine public. Cordialement, [[User:Yann|Yann]] ([[User talk:Yann|<span class="signature-talk">{{int:Talkpagelinktext}}</span>]]) 18:02, 5 September 2022 (UTC)<br /> :: Merci Yann. Au plaisir. [[User:Ambre Troizat|Bel Bonjour, Ambre Troizat]] ([[User talk:Ambre Troizat|<span class="signature-talk">{{int:Talkpagelinktext}}</span>]]) 18:52, 5 September 2022 (UTC)|Wikimedia Common, Commons:Bistro/archives/2022/09).}} Commentaires : [https://www.cowanauctions.com/lot/mezzotint-of-louis-philippe-duke-of-orleans-after-joshua-reynolds-3955865 Ce Mezzotint of Louis Philippe, Duke of Orleans, After Joshua Reynolds est sous copyright] == Alexandre-Auguste Robineau == [[w:Alexandre-Auguste Robineau|Alexandre-Auguste Robineau]] [[c:Category:Alexandre-Auguste Robineau|Category:Alexandre-Auguste Robineau]] * 1816 - {{bibliographie|Q112207787}} <!-- Alexandre-Auguste Robineau.- Les Caprices de la fortune --> == Le Royaume de France : territoires & capitales == * [[Utilisateur:Ambre Troizat/Le Royaume de France & ses capitales à l'époque de Saint-George, 1745-1799|Le Royaume de France : territoires & capitales]] * [[Utilisateur:Ambre Troizat/Le Royaume de France & ses capitales à l'époque de Saint-George, 1745-1799|Paris à l'époque de Saint-George]] == Robert du Var == [[s:Page:Histoire de la classe ouvrière depuis l'esclave jusqu'au prolétaire de nos jours V1.djvu/3|Robert du Var]] Rédacteur en chef de la Démocratie, auteur de l’École du Peuple et de l’Éducation nationale, ex-professeur de philosophie à l'Institut historique. {{Citation bloc|Journaliste républicain et socialiste. Disciple de l'abbé Châtel fondateur de l'Église Catholique Française, en 1835-1836, franc-maçon déclaré en 1838-1839, admirateur de Pierre Leroux. Publie les "Éléments de Philosophie sociale rédigés d'après les écrits de Pierre Leroux, 1843", et est l'un (ou le) fondateur, la même année de la revue mensuelle "La Démocratie". Il est, dit Michel Cordillot (Dictionnaire Maitron) "insaisissable pour le biographe". Membre fondateur du Club des travailleurs libres (mars 1848), cf. A. Lucas. Le site internet Philo 19<ref>[http://www.textesrares.com/philo19/noticeAuteur.php?nom_aut=Robert+du+Var&prenom_aut= Philo 19]</ref> lui donne (juillet 2016) pour dates: 1818-1894|Note sur la biographie et les activités, [http://www.idref.fr/autorites/autorites.html idref.fr 114280223]}} ==== Livres de Robert du Var ==== * Discours de réforme, 1835 * Discours sur la vérité, 1835 * Cri du cœur, 1836 * Discours prononcés par le F. Robert du Var, 1838 * L’École du peuple, 1839 * Suite des Discours prononcés par le F. Robert du Var, 1839 * Eléments de philosophie sociale, 1843 * Histoire de la classe ouvrière, 1845 * Éducation nationale de l’homme et du citoyen, 1850 ==== A propos de Robert du Var ==== * 1836 - [https://books.google.fr/books?id=TRY-rkcC2FUC&lpg=PA597&ots=UQdt928gAB&dq=%22Robert%20du%20Var%22%20%2B%20%22Robert%20(du%20Var)%22&hl=fr&pg=PA597#v=onepage&q=%22Robert%20du%20Var%22%20+%20%22Robert%20(du%20Var)%22&f=false Robert du Var] in [https://books.google.fr/books?id=TRY-rkcC2FUC L’Ami de la religion et du roi: journal ecclésiastique, politique et littéraire], 1836. * {{Citation bloc|Cours de M. Robert (du Var). — Se proposant de parcourir l'histoire de la philosophie depuis Descartes jusqu'à nos jours, M. Robert (du Var) établira d’abord ces deux questions préjudicielles, f° l’identité de la philosophie et de la religion, 2° l’unité de l’esprit humain.<br />Armé de ces données initiales, le professeur divisera l'histoire de la philosophie en trois grands systèmes, suivis de nombreuses subdivisions, savoir : le mysticisme, le matérialisme et le scepticisme. Après avoir démontré à priori que ces trois grands systèmes sont adéquats à l’esprit humain, et dont la réunion simultanée constitue, à certaines époques, ce qu'on est convenu d’appeler la religion , M. Robert (du Var) en cherchera la preuve, à posteriori , dans l'histoire de la philosophie, qui n’est et ne peut être que la manifestation de l’esprit humain. Explorant successivement les quatre principaux théâtres de la philosophie moderne, la France, l’Angleterre, l’Écosse, l’Allemagne, le professeur déterminera la véritable physionomie de chaque philosophe, constatera les points d’affinité ou de divergence entre telle ou telle école, qu’il rattachera toujours à l’un dos trois systèmes précités, de manière qu'ainsi conçue l'histoire de la philosophie, au lieu d’apparaître comme une bataille perpétuelle d’idées, acquerra au contraire un caractère vraiment providentiel, en produisant dans les esprits cette haute conviction, à savoir que 1° les trois grands systèmes dont on a déjà parlé, le mysticisme, le matérialisme et le scepticisme, sont adéquats à l’esprit humain; 2° selon les époques, l’un de ces trois systèmes exerce une certaine prédominance sur les deux autres ; Descartes, Locke, David Hume ont été, dans le monde moderne, les représentants successifs de ces trois tendances, toujours accompagnées néanmoins de nombreuses subdivisions.<br />3° La lutte que ces trois grands systèmes se sont livrée dans l'histoire de la philosophie moderne a été la condition sine qud non du développement du progrès social; le jour où ces trois systèmes se rejoindront synthétiquement, la philosophie moderne aura atteint son apogée; une nouvelle religion aura lui sur le monde. Les travaux des penseurs du {{s|XIX|e}} convergent incontestablement vers ce but, tendance qui se révèle surtout en France dans M. Pierre Leroux.|Société des études historiques<ref>[https://books.google.fr/books?id=ZWYFAAAAQAAJ Société des études historiques].- [https://books.google.fr/books?id=ZWYFAAAAQAAJ&lpg=PA302&dq=%22Robert%20du%20Var%22%20%2B%20%22Robert%20(du%20Var)%22&hl=fr&pg=PA302#v=onepage&q=%22Robert%20du%20Var%22%20+%20%22Robert%20(du%20Var)%22&f=false Cours de M. Robert (du Var)] in Journal. [Continued as] L’Investigateur, 1840.<br />[https://books.google.fr/books?id=lv8vAAAAMAAJ Revue des études historiques], Journal de l’institut historique, [https://books.google.fr/books?id=lv8vAAAAMAAJ&lpg=PA302&dq=%22Robert%20du%20Var%22%20%2B%20%22Robert%20(du%20Var)%22&hl=fr&pg=PA302#v=onepage&q=%22Robert%20du%20Var%22%20+%20%22Robert%20(du%20Var)%22&f=false Volumes 6 à 7, ‎History], 1840</ref> }} * 1845-1847 - [[w:Robert du Var|Robert du Var]].- Histoire de la classe ouvrière depuis l’esclave jusqu'au prolétaire de nos jours, 4 volumes, Imprimerie de A. Blondeau, E. Vernet, Michel, Chez le directeur de la publication, Paris, 1845-1847, {{BNF|31226423g}}, {{IA|HistClasOuvEesclaveaProletaire}}, [https://archive.org/details/HistClasOuvEesclaveaProletaire Internet Archive]. * [https://books.google.fr/books?id=b-4sTddkam0C&lpg=PA226&ots=wKFYCoV7Xs&dq=%22Robert%20du%20Var%22%20%2B%20franc-ma%C3%A7onnerie&hl=fr&pg=PA226#v=onepage&q=%22Robert%20du%20Var%22%20+%20franc-ma%C3%A7onnerie&f=false Robert du Var] in [[w:Maurice Agulhon|Maurice Agulhon]].- [Une ville ouvrière au temps du socialisme utopique: Toulon, de 1815 à 1851] <poem> '''Titre''' Identifiant Bnf {{BNF|34348270x}} "Bibliographie de la France : ou Journal général de l’imprimerie et de la librairie", [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/cb34348270x/date.r=bibliographie+france+1814.langFR Gallica, 85 années disponibles (1811-1971) / 784 numéros] "Bibliographie de l’Empire français, ou Journal général de l’Imprimerie et de la librairie", Du 25 mars au 15 juillet 1815 '''auteurs :''' Adrien-Jean-Quentin Beuchot (1777-1851), Directeur de publication, 1814-1847 Cercle de la librairie (France ), 1857-1971 '''Publication''' Paris : Pillet, 1814-1971 '''Volumes''' 158 vol. ; in-8 puis in-4 </poem> {{Citation bloc|lîse e 104 lnnuons Je ne ni si c est avec on un lupplement 657i DIBCOUns ne RÉFORME Pre e minence de la loi Hall relie sur la reflénnon P M Robert du Var ministre de l église française In 8 d une une Imp de M1 Pinard à Paris A Paris chez Prevot rue Bouronhvmeneuve 11 figrchez Mansut fils et aux églises françaises me lu FaubOüTg Sl Marlin n 59 et rue St Maur n 47 6575 la|Bibliographie de la France<ref>Bibliographie de la France, [https://books.google.fr/books?id=Tq10ZUg3S0gC&hl=fr&hl=fr&pg=PA711&img=1&zoom=3&sig=ACfU3U07uGwgRw_hAQXQWo1sB4sec1jmXw&ci=3%2C1145%2C842%2C152&edge=0 Page 711]</ref>.}} ** Suite des discours prononcés par le F.'. Robert (du Var), 357. ** [Page 29] - 357. Suite des discours prononcés par le F.\ Robert (duVar) dans la respectable loge des Sept-Ecossais réunis, à l'0.\ de Paris, sous la présidence du F.-. Bessin, ofl'.\ du G.-. 0.\ de France. In-8° de 4 1um 1/2. Imp. dePollet, à Paris. —A Paris, chez Renard, rue Sainte-Anne, n. 71. * Robert (du Var), Histoire de la classe ouvrière (I-IV), 230 € sur [http://www.ebay.fr/itm/ROBERT-du-Var-HISTOIRE-de-la-CLASSE-OUVRIERE-I-IV-/180544689947 Ebay] ; [http://livre.fnac.com/mp18351642/Histoire-de-la-classe-ouvriere 213€ à la Fnac] ; [http://www.abebooks.fr/rechercher-livre/auteur/robert-du-var-ex-r%E9dacteur-en-chef-de-la-d%E9mocratie/ 120 € chez Abebooks]. #* ''Quoi qu’il en soit, et en attendant la '''synthétisation''' des systèmes philosophiques qui discordent à notre époque, il résulte de ce qui précède : (…)’' {{source|Robert (du Var), ''Éléments de philosophie sociale rédigés d’après les écrits de Pierre Leroux'', 1843}}, [[Wikt:synthétisation|synthétisation]] === Maximilien de Robespierre === [[Fichier:Robespierre.jpg|100px|vignette|gauche|Maximilien de Robespierre, 1758-1794]] * [[w:Maximilien de Robespierre|Maximilien de Robespierre]] (Synthèse) * [[w:Augustin Robespierre|Augustin Robespierre]], frère cadet de [[w:Maximilien de Robespierre|Maximilien de Robespierre]] ==== Discours de Robespierre sur la propriété. Suivi du projet complet de déclaration des droits de l’homme ==== ;1790 '''1790''' - Robespierre propose la devise "Liberté, Égalité, Fraternité" à la Convention nationale le 5 décembre 1790. Elle sera placée par Jean-Nicolas Pache sur les murs des édifices publics parisiens ;1791 Cf. : Sujets présents sur l'image "Discussion sur les hommes de couleur, Paris, ca 1791" ;1793 '''1793''' - {{bibliographie|Q111482750}} Publié dans {{bibliographie|Q19221639}} <!-- Œuvres de Robespierre : Discours de Robespierre sur la propriété. Suivi du projet complet de déclaration des droits de l’homme --> '''24 avril 1793''' - CONVENTION NATIONALE Séance du 24 avril 1793 [https://books.google.fr/books/content?id=f4YfAAAAYAAJ&hl=fr&pg=PA351&img=1&zoom=3&bul=1&sig=ACfU3U1coQUy8BJjUgTiiv1f8qkaecsOBw&ci=97%2C440%2C797%2C353&edge=0 DISCOURS DE ROBESPIERRE SUR LA PROPRIÉTÉ] [https://www.google.fr/books/edition/%C5%92uvres_de_Maximilien_Robespierre/f4YfAAAAYAAJ?hl=fr&gbpv=1&dq=Projet+de+D%C3%A9claration+de+droits+%2B+Robespierre+%2B+1793&pg=PA351&printsec=frontcover SUIVI DU PROJET COMPLET DE DÉCLARATION DES DROITS DE L HOMME ET DU CITOYEN] '''17 novembre 1793''' - États-Unis d'Amérique (United States of America) - Maximilien de Robespierre.- Rapport fait à la Convention nationale sur la situation politique de la République, 17 novembre 1793 ;1794 '''27 juillet 1794''' : Le 9 Thermidor an II (27 juillet 1794), Robespierre fut empêché de s’exprimer à la Convention et invectivé de toutes parts quand un des représentants « à mauvaise conscience », Louis Louchet, qui était proche de Fouché, demanda le décret d’accusation contre lui. La proposition fut votée à main levée et Robespierre arrêté en compagnie de Louis Antoine de Saint-Just et de Georges Couthon. Augustin Robespierre et Philippe-François-Joseph Le Bas se joignirent volontairement à eux et le groupe fut emmené par les gendarmes. Saint-George fut, comme tant d’autres, rendu à la liberté par la chute de Robespierre (voy. 27 Ju1llet 1794) '''28 juillet 1794''' : Robespierre est guillotiné le 28 juillet 1794 (10 thermidor an II) à Paris, place de la Révolution (actuelle place de la Concorde), emporté dans le même convoi que son frère cadet. === Bibliographie (Robespierre) === * 1866 - {{bibliographie|Q19221639}} <!-- Œuvres de Robespierre --> * Wikidata : [https://www.wikidata.org/w/index.php?search=Maximilien%20de%20Robespierre&title=Special%3ASearch&fulltext=1&ns0=1&ns120=1 Résultats de la recherche "Maximilien de Robespierre"] == S == [[Fichier:Luca Pacioli, De divina proportione, Letter S.jpg|100px|vignette|centré]] == Maximilien Saba, 1875-1957 == * 1991 - Liliane Mencé, ‎Thérèse Bellony.- Maximilien Saba, 1875-1957, [https://catalogue.bnf.fr/changerPage.do?motRecherche=Maximilien+Saba&nbResultParPage=10&afficheRegroup=false&affinageActif=false&pageEnCours=1&nbPage=2&trouveDansFiltre=NoticePUB&triResultParPage=0&critereRecherche=0 Fiches bibliographiques sur BnF] * [https://data.bnf.fr/fr/12261287/maximilien_saba/ Maximilien Saba (1875-1957) - accueil (data.bnf.fr)] == Sacagawea == [[w:Sacagawea|Sacagawea]] <nowiki>{{Média externe | image1 = [http://www.brooklynmuseum.org/eascfa/dinner_party/place_settings/sacajawea.php Site du Brooklyn Museum] | topic = Sacagawea dans The Dinner Party }}</nowiki> == Saint-Domingue (Colonie de la France) == [[Fichier:Boispineau, Carte du débouquement entre l'Isle de Kroo-ked et Samana, 1737.png|100px|vignette|gauche|Boispineau, Carte du [[wikt:débouquement|débouquement]] entre l'Isle de Kroo-ked et Samana, 1737]] [[Fichier:Gravure iledelatortue-388-259.jpg|100px|vignette|gauche|Tout commence avec l'Isle de la Tortue]] '''N.B.''' : Distinguer Hispaniola (Colonie espagnole), Saint-Domingue (Colonie française), Haïti, Etat-Nation et les périodes. 1642-1697 : Hispaniola (Colonie espagnole), 6 décembre 1492 - 21 septembre 1697 1630 : Anglais et Français se partagent le territoire septentrional de la partie occidentale de Hispaniola<ref>[http://museeogierfombrun.org/2013/10/28/essais-de-colonisation-anglaise-a-st-domingue/ Essais de colonisation Anglaise à Saint-Domingue]</ref> Saint-Domingue (Colonie de l’Angleterre) jusqu'au [[w:Traité de Ryswick|traité de Ryswick]] (1697)<ref>Les traités de Ryswick signés les 20-21 septembre 1697 à Ryswick mettent fin à la guerre de la Ligue d'Augsbourg entre Louis XIV et la ligue d'Augsbourg.</ref> 1697-1804 - [[d:Q861551|Saint-Domingue]] est [[w:Saint-Domingue (colonie française)|colonie de la France]] de 1697 au 1{{er}} janvier [[w:1804|1804]]. En [[w:1665|1665]], la colonisation française sur Hispaniola fut officiellement reconnue par [[w:Louis XIV de France|Louis XIV]]. [[w:Bertrand d'Ogeron|Bertrand d'Ogeron]] fut nommé gouverneur de [[w:Île de la Tortue (colonie française)|l'isle de la Tortue]] et Coste Saint Domingue. 1749 - Ordonnance de Messieurs de Conflans et Maillard en date du 13 juin 1749 {{Citation bloc|L île de Saint-Domingue appartint d'abord aux Anglais mais les Français s'y étant établis une partie leur fut cédée par le [[w:Traité de Ryswick|traité de Ryswick]]<ref>Les traités de Ryswick signés les 20-21 septembre 1697 à Ryswick.</ref> et entre leurs mains une des plus florissantes colonies européennes 1789 elle comptoit 562 000 habitans dont 450 000 Noirs esclaves et de Mulâtres. Les principes nouveaux établis lors de la révolution française et des changemens précipités dans le régime de cette île allumèrent le feu de la guerre civile des massacres affreux y eurent la plupart des Blancs en furent victimes et ceux qui y échappèrent la fuite Par des arrangemens particuliers les Espagnols cédèrent la France la portion qui leur appartenoit Aujourd’hui l île est en la des Noirs qui lui ont fait reprendre son ancien nom d Haïti<ref>Cf. Journée d'études du 10 mai 2017, CNMHE : Comment le nom "Haïti" vint à Saint-Domingue.</ref> poste de Santo Domingo est la seule place dont ils ne soient pas maîtres reste du pays est couvert de ruines|Eustache Hérisson & Cie.- [https://books.google.fr/books?id=N1FeAAAAcAAJ&dq=Saint-Barth%20%2B%20coton&hl=fr&pg=PA154#v=onepage&q=Saint-Barth%20+%20coton&f=false Nouvel Atlas Portatif, Contenant La Géographie Universelle, Ancienne Et Moderne, Desray, 1811}} === La colonisation européenne de Hispaniola === Les guerres de conquête territoriales de Louis XIV s'étendent aux Amériques * 1688-1697 - [[w:Guerre de la Ligue d'Augsbourg|guerre de la Ligue d'Augsbourg]] ou guerre de neuf ans : la France occupe la partie occidentale de Saint-Domingue * 1749 - {{bibliographie|Q29018360}} <!-- Ordonnance de Messieurs de Conflans et Maillard en date du 13 juin 1749 --> === Le développement productif de Saint-Domingue (1760-1790) === Entre 1760 et 1790, [[w:Histoire des bourses de valeurs#Les grandes spéculations de la fin du règne de Louis XVI|Saint-Domingue]] double sa production de sucre et décuple celle de café. Les profits sont recyclés vers l'immobilier puis vers les emprunts royaux émis pour financer la participation de la France à la guerre d’indépendance américaine, via l'expédition Lafayette. {{Citation bloc|L’affranchissement des Noirs, et les scènes d’ivresse et d’enthousiasme qui en résultèrent, attendrissaient encore les cœurs.| Jules Michelet, Histoire de la Révolution française, Volume VII, 1853<ref>{{Bibliographie|Q28733321}} 1853, page [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k10558886/f177.image​ 177] & [https://books.google.fr/books?id=oQlCAAAAcAAJ&hl=fr&pg=PA171#v=onepage&q&f=false Google Books]</ref>.}} === Réfugiés français de Saint-Domingue aux Amériques === * [[w:Réfugiés français de Saint-Domingue en Amérique|Réfugiés français de Saint-Domingue aux Amériques]] === Constitution de Saint-Domingue & Haïti === * 28 mai 1790 - promulguée par une assemblée excluant les Gens de couleur libres. "bases constitutionnelles» de Saint-Domingue du 28 mai 1790, annulées par l'Assemblée nationale. Cf. "Léopardins" * 3 juillet 1801 (14 Messidor an IX) - [[w:Constitution de Saint-Domingue de 1801|Constitution]] promulguée au Cap-Français par le général Toussaint Louverture, gouverneur de Saint-Domingue. Surnommée "Constitution autonomiste", considérée comme la première Constitution de la future République d'Haïti. === Bibliographie (Saint-Domingue (Colonie de la France) === * 1797 - {{bibliographie|Q29017809}} ** 1812 - {{bibliographie|Q29017789}} * Titre : Histoire de Mesdemoiselles de Saint-Janvier, les deux seules blanches sauvées du massacre de Saint-Domingue ; par Mademoiselle de P..., leur amie... 3e édition... Auteur : Palaiseau, Mlle de Éditeur : J.-J. Blaise (Paris) Date d'édition : 1812 * 1962 - {{bibliographie|Q29017748}} <!-- L'intervention britannique à Saint-Domingue en 1793 --> * [https://www.napoleon.org/histoire-des-2-empires/articles/le-reve-americain-et-caraibe-de-bonaparte-le-destin-de-la-louisiane-francaise-lexpedition-de-saint-domingue/ Le rêve américain et caraïbe de Bonaparte : Le destin de la Louisiane française. L’expédition de Saint-Domingue] Auteur : LAHLOU Raphaël Titre de revue : Revue du Souvenir Napoléonien Numéro de la revue : 440 Numéro de page : 3-21 Mois de publication : avril-mai Année de publication : 2002 * François Blancpain, La colonie française de Saint-Domingue, Paris, Karthala, 2004 ** Serge Bianchi.- [https://ahrf.revues.org/7283 La colonie française de Saint-Domingue] ; Les Vengeurs du Nouveau Monde. Histoire de la révolution haïtienne (article), 2006, Compte-rendu de lecture "François Blancpain, La colonie française de Saint-Domingue, Paris, Karthala, 2004" == [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Saint-George_:_trajectoires_en_France_&_en_Europe#Notes|Saint-George : trajectoires en France & en Europe, Notes]] == == Familles nobles de Saint-George == [[w:Famille de Saint-Georges|Famille de Saint-Georges]] * {{Citation bloc|SAINT-GEORGE, nom d'une ancienne et puissante famille du Poitou, qui, en partie, embrassa la Réforme|Eugène Haag, ‎Émile Haag.- La France protestante<ref>Eugène Haag, ‎Émile Haag.-[https://books.google.fr/books?id=vJwoAQAAIAAJ La France protestante] : ou, Vies des protestants français qui se sont fait un nom dans l'histoire depuis les premiers temps de la réformation jusqu'à la reconnaissance du principe de la liberté des cultes par l'Assemblée nationale; ouvrage précéde d'une notice historique sur le protestantisme en France, suivi de pièces justificatives, et rédigé sur des documents en grand partie inédits, Volume 9, 1859</ref>}} * {{Citation bloc|'''1575''' - NATTA ( Hyacinthe), fils de Gabriel-Hector Natta, comte d’Alfiano, et de Polyxène de Biandrate, [[w:comtesse|comtesse]] de Saint-George, naquit à Casai , capitale du Montferrat, en 1575. 11 passa de l’université de Pavie, où il commença ses éludes, dans celle de Salamanque et ensuite dans celle de Bologne , où il prit le degré de docteur en droit.|Biographie universelle, ou Dictionnaire historique des hommes<ref>[http://archive.org/stream/biographieuniv05fell/biographieuniv05fell_djvu.txt Biographie universelle, ou Dictionnaire historique des hommes] qui se sont fait un nom par leur génie, leurs talents, leurs vertus, leurs erreurs ou leurs crimes</ref>.}} * {{Citation bloc|'''1643''' - NOBLE (Euslache Le), [[w:baron|baron]] de Saint-Georges et de Tenelière, né à Troyes en 1643, d’une famille distinguée, s'éleva par son esprit à la charge de procureur-général du parlement de [[w:Metz|Metz]]|Biographie universelle, ou Dictionnaire historique des hommes<ref>[http://archive.org/stream/biographieuniv05fell/biographieuniv05fell_djvu.txt Biographie universelle, ou Dictionnaire historique des hommes] qui se sont fait un nom par leur génie, leurs talents, leurs vertus, leurs erreurs ou leurs crimes</ref>.}} * Abbé Joseph Nadaud.- De Saint-George dans le [https://books.google.fr/books?id=1sZeCQAAQBAJ&lpg=PA320&dq=septembre%201792%20%2B%20Chevalier%20de%20Saint-George&hl=fr&pg=PA301#v=onepage&q=septembre%201792%20+%20Chevalier%20de%20Saint-George&f=false Nobiliaire du diocèse et généralité de Limoges, Tome 2, page 320]. * Philippe-Xavier Marquis de Moustier, en 1743 {{citation bloc|Philippe-Xavier Marquis de Moustier<ref>Moustier en Franche Comté, devenue [[w:Mouthier-Haute-Pierre|Mouthier-Haute-Pierre]]</ref> né en 1707, Chev de Saint Georges & de Saint Louis en 1743. Colonel d'un Régiment de Caval. de son nom en 1748 marié en 1732 à Louise de Bournel fille de Charles Lieut. Gén. des Armées du Roi, Command de l'Ordre de St Louis & de Catherine de Forcadel ci-devant Dame d'atours de feu Madame la Duchesse de Berry dont # Charles né en Oct. 1739 Cap. dans le Rég. de son père en 1750 # Eléonor né en mai 1751 Chev. de Malte # Adelaide Charlotte née en 1736 Chanoinesse de Neuville # Antoinette Philippe née 4 août 1744 aussi Chanoinesse de Neuville |{{Bibliographie|Q27919259}}<ref>{{Bibliographie|Q27919259}}, [https://books.google.fr/books?id=i5ZAAAAAcAAJ&hl=fr&pg=PA276#v=onepage&q=Saint-Georges&f=false page 276]</ref>}} * [[w:Champagné-le-Sec|Champagné-le-Sec]], département de la Charente-Maritime, région Nouvelle-Aquitaine<ref>[[Marans (Charente-Maritime)|Marans]] se trouve dans le département de la Vienne, toujours en région Nouvelle-Aquitaine</ref> : DE SAINT-GEORGES Léonard sr de Perissay ,François de Saint-Georges sr de la Fraise la dame de Verruées du nom de Saint-Georges. Philippe de Saint Georges écuyer sr de Sceaux de Saint Georges sr de Verrac Louis de Saint Georges s de Marçay Mme Marguerite de St Georges dame vve du sr Forin et autres du nom maintenus nobles par sentence du 1er septembre 1667 portent d'argent à une croix de gueules ou écartelé d'argent à la croix alisée de gueules au premier et quart aux deux et trois d argent à trois fasces ondées de gueules<ref>[https://books.google.fr/books?id=5QABAAAAMAAJ&hl=fr&pg=PA374#v=snippet&q=Marans&f=false P. Robuchon.- État du Poitou sous Louis XIV. Rapport au roi et mémoire sur le clergé, la noblesse, la justice et les finances, 1865, page 374]</ref> === Saint-George sur la base Leonore (1783-1862) === [http://www.culture.gouv.fr/public/mistral/leonore_fr?ACTION=CHERCHER&FIELD_1=REF&VALUE_1=%20L2436032 SAINT GEORGE DE Oger Louis Charles Marie 1783/08/28] [http://www.culture.gouv.fr/public/mistral/leonore_fr?ACTION=CHERCHER&FIELD_1=REF&VALUE_1=%20L2426075 RUYNEAU DE SAINT GEORGE Ernest Michel 1834/01/31] [http://www.culture.gouv.fr/public/mistral/leonore_fr?ACTION=CHERCHER&FIELD_1=REF&VALUE_1=%20L2426076 RUYNEAU DE SAINT GEORGE François Denis Gustave 1827/08/30] [http://www.culture.gouv.fr/public/mistral/leonore_fr?ACTION=CHERCHER&FIELD_1=REF&VALUE_1=%20c-308365 HARSCOUËT DE SAINT GEORGE Louis Jean Joseph 1863/08/25] [http://www.culture.gouv.fr/public/mistral/leonore_fr?ACTION=CHERCHER&FIELD_1=REF&VALUE_1=%20L1269033 HARSCOUET VICOMTE DE SAINT GEORGE Frédéric Prosper 1782/09/14] [[w:Jean René Harscouët de Saint-George|Jean René Harscouët de Saint-George]], Tréveneuc,3 octobre 1781 - 20 janvier 1867 [http://www.culture.gouv.fr/public/mistral/leonore_fr?ACTION=CHERCHER&FIELD_1=REF&VALUE_1=%20L2436031 SAINT GEORGE MARQUIS DE VERAC DE Armand Maximilien François 1768/08/01] [http://www.culture.gouv.fr/public/mistral/leonore_fr?ACTION=CHERCHER&FIELD_1=REF&VALUE_1=%20L0923055 FADATE DE SAINT GEORGE DE Edmond Jacques Louis 1802/07/01] [http://www.culture.gouv.fr/public/mistral/leonore_fr?ACTION=CHERCHER&FIELD_1=REF&VALUE_1=%20L0923056 FADATE DE SAINT GEORGE DE Henri Jacques Louis Antoine 12/05/1862], Capitaine commandant au 13e régiment de Dragons, [http://www.culture.gouv.fr/LH/LH071/PG/FRDAFAN83_OL0923056v001.htm chevalier de la légion d'honneur au 28 décembre 1904]. ==== Oger Louis Charles Marie Amédée de Saint-George ==== [http://www.culture.gouv.fr/public/mistral/leonore_fr?ACTION=CHERCHER&FIELD_1=REF&VALUE_1=%20L2436032 Oger Louis Charles Marie Amédée de Saint-George], né le 28 août 1783. [http://www.culture.gouv.fr/public/mistral/leonore_fr?ACTION=CHERCHER&FIELD_1=REF&VALUE_1=%20L2436032 Trois documents (cinq pièces) dans les Archives Nationales, Base Léonore] : [http://www.culture.gouv.fr/LH/LH258/PG/FRDAFAN83_OL2436032V002.htm 28 août 1783 - Acte de naissance pour Oger Louis Charles Marie Amédée de Saint-George, pièce I] ; [http://www.culture.gouv.fr/LH/LH258/PG/FRDAFAN83_OL2436032V003.htm pièce II], [http://www.culture.gouv.fr/LH/LH258/PG/FRDAFAN83_OL2436032V004.htm pièce II] [http://www.culture.gouv.fr/LH/LH258/PG/FRDAFAN83_OL2436032V001.htm 14 avril 1807 - Chevalier de l’ordre royal de la légion d'honneur] [http://www.culture.gouv.fr/LH/LH258/PG/FRDAFAN83_OL2436032V005.htm 21 décembre 1821 - Brevet d'individualité pour Oger Louis Charles Marie Amédée de Saint-George] === Jean Pierre de Cormis de Saint-George, (comte de saint-george) === Source : Procuration Cotes : MC/ET/LXXIII/766 - [http://www.siv.archives-nationales.culture.gouv.fr/siv/IR/FRAN_IR_042630 Minutes et répertoires du notaire Henri BOULARD, MC/ET/LXXIII/766], 11 août 1745 - 1er janvier 1782 / (Mme ou Mlle) Deschiens, Marie Anne veuve de Jean Pierre de Cormis de Saint-George, cornette première des mousquetaires / (M.) Hilaire Manil, notaire, domicilié Cour-Cheverny [[w:Louis de Cormis|Louis de Cormis]], marquis de Brégançon, seigneur de Beaurecueil et de Roqueshautes, mort en 1669 à Aix-en-Provence, est un parlementaire d'Aix-en-Provence, président à mortier du Parlement de Provence de 1650 à 1659. === Charles olivier de Saint-George marquis de Vérac === Charles olivier de Saint-George marquis de Vérac, épouse Marie Charlotte Josephine Sabine de croy, Abbé Joseph Nadaud.- Nobiliaire du diocèse et généralité de Limoges, [https://books.google.fr/books?id=1sZeCQAAQBAJ&lpg=PA311&dq=Marie%20Charlotte%20Josephine%20Sabine%20de%20croy%20%2B%20Saint-George&hl=fr&pg=PA311#v=onepage&q=Marie%20Charlotte%20Josephine%20Sabine%20de%20croy%20+%20Saint-George&f=false Tome 2, page 311] === De Saint-Georges de la Saigne (Louis) === [https://books.google.fr/books?id=6JRPAAAAYAAJ&dq=Gaudin%20de%20Beaumont%2C%20Fran%C3%A7ois%20%2B%20Gros-Morne%20%2B%20Martinique&hl=fr&pg=PA325#v=onepage&q=Gaudin%20de%20Beaumont,%20Fran%C3%A7ois%20+%20Gros-Morne%20+%20Martinique&f=false De Saint-Georges de la Saigne (Louis)] (1), de Brunville (Michel-Jacques-François), et de Mackarty (François-CharlesThadée), gardes du corps du roi, compagnie de Luxembourg. === Marquis de Saint-Georges (Pinon), comte de Chabo-Laserre === * 1773, marquis de Saint-Georges (Pinon), comte de Chabo-Laserre == Les ordres de Saint-George(s) == [[Fichier:Cappadocia SPQR.png|100px|vignette|gauche|Cappadoce, [[w:Asie (province romaine)|Asie mineure sous Dioclétien]].]] [[Fichier:ג'ורג' הקדוש מכניע את הדרקון - ציור.JPG|100px|vignette|gauche|Saint-George, église Saint George, Lod (lydda), Israël]] [[Fichier:ISRAEL - Lidda (Lod) - GREEK ORTHODOX MONASTERY OF ST. GEORGE, LOD; (ID is 9-7000-004).JPG|100px|vignette|gauche|Tombe du Saint George, église Saint George, Lod (lydda), Israël]] La légende relative au chevalier saint Georges nous vient donc d’Orient, d’où les ‘croisés l’introduisirent dans les pays occidentaux et le transformèrent en saint-chrétien. Peut-être en relation avec la légende grecque de [[w:Persée|Persée]]<ref>La légende de [[w:Persée|Persée]], en particulier les épisodes de Méduse et d’Andromède, a connu une grande fortune après l’Antiquité. Il est probable qu'elle ait influencé les légendes chrétiennes des saints pourfendeurs de dragon, comme celle de [[Georges de Lydda|saint Georges]]. {{harvsp|id=OGD|Ogden|2008|p=1, 10, 136-138}}.</ref>. [https://books.google.fr/books?id=-jdUAAAAcAAJ&pg=PA340&dq=Bavière+%2B+Ordre+de+Saint-Georges&hl=fr&sa=X&redir_esc=y#v=onepage&q=Bavière%20%2B%20Ordre%20de%20Saint-Georges&f=false George ou George*(saint)] était, selon la légende, un jeune et beau prince de Cappadoce<ref>Ne pas confondre avec [[w:Georges de Cappadoce|Georges de Cappadoce]]. Aux environs 275/280 - 23 avril 303 : [[w:Georges de Lydda|Georges de Lydda]], [[Lod (Israël)|Lydda (aujourd'hui Lod en Israël)]], ou saint Georges pour les chrétiens, est un martyr chrétien du {{s|IV|e}}, selon [[w:La Légende dorée|La Légende dorée]].]]</ref>. Il vivait vers le milieu du 111e siècle de l’ère chrétienne et subit le martyre du temps de la persécution contre les chrétiens, sous [[Dioclétien]]<ref>Dioclétien est un empereur romain qui régna du 20 novembre 284 au 1er mai 305.</ref>. Son plus célèbre trait d’héroîsme fut d’avoir attaqué un redoutable dragon (crocodile?) et d’avoir par ce fait sauvé la fille d’un roi, nommée Aja, que le monstre menaçait de dévorer. Le tombeau de Georges de Lydda se trouve à [[w:Lod|Lod]]. [https://books.google.fr/books?id=-jdUAAAAcAAJ&pg=PA340&dq=Bavière+%2B+Ordre+de+Saint-Georges&hl=fr&sa=X&redir_esc=y#v=onepage&q=Bavière%20%2B%20Ordre%20de%20Saint-Georges&f=false "''George''" est l’orthographe anglaise] qui s’emploie de préférence pour les personnages se rapportant à l'histoire d’Angleterre. En allemand "''Georg''", on supprime à la fin même l’e. L’s provient du latin Georgiul. qui est le mot grec vsmpïôç, cultivateur, composé de , la terre, et ..., le travaille. Étymolngiqnement, il ne devrait pas plus y avoir d‘s à George, qu’il n’y en a à lhe'urge, mäaI/ur‘e, Panurge, mots dans la composition desquels entre aussi le vieux verbe ..... Géorgique, titre des poèmes traitant de la culture de la terre, à la même origine que le nom de "''George''", dont nous dirons encore qu’il se transforme en Iouri. dans la langue russe. J. H. S. == Société chevaleresque de Saint-Georges de Franche-Comté == {{Citation bloc|Rappelons-nous que la société chevaleresque de Saint-Georges de Franche-Comté tenait son siège aux franciscains de Rougement, et que de nombreux princes ont élu leur dernier domicile dans les couvents du même ordre.|Jacky Theurot, Nicole Brocard.- La ville et l’Église du {{s|XIII|e}} à la veille du Concile de Trente<ref>[https://books.google.fr/books?id=j7C4H895uiwC&lpg=PA94&dq=chevalier%20de%20Saint-Georges%20%2B%20Heidelberg&hl=fr&pg=PA94#v=onepage&q=chevalier%20de%20Saint-Georges%20+%20Heidelberg&f=false La ville et l’Église du {{s|XIII|e}} à la veille du Concile de Trente] : regards croisés entre comté de Bourgogne et autres principautés in Actes du colloque des 18 et 19 novembre 2005, Numéro 30 de Annales littéraires de l’Université de Franche-Comté : Série Historiques, Presses Universitaires de Franche-Comté, 2008, 394 pages.</ref>}} # Bavière : Ordre de Saint-Georges p. 55 # Naples : Ordre chevaleresque, royal et militaire de Saint-Georges de la Réunion p.143 # 1769 - Russie : Ordre de Saint-Georges p. 199,<br />[https://books.google.fr/books?id=-jdUAAAAcAAJ&dq=Bavière%20%2B%20Ordre%20de%20Saint-Georges&hl=fr&pg=PA339#v=onepage&q=Bavière%20+%20Ordre%20de%20Saint-Georges&f=false Encyclopédie des gens du monde] : répertoire universel des sciences, Volume 12, Catherine II, 1769 # Pologne : Ordre de Saint-Georges p. 199 # Espagne : Ordre de Saint-Georges d’Alfama p. 267 # Autriche : Ordre de Saint-Georges p.270 # France : Ordre de Saint-Georges p. 274 # Gênes : Ordre de Saint-Georges p. 276 # Rome : Ordre de Saint-Georges p. 276 # Ravannes : Ordre de Saint-Georges p. 277 G # Gal (St.-). Voy. Ours, Suisse. p. 268 # Georges (St.-) d’Alfama, Espagne, p.267 # Georges (St.-), Autriche, p.270 # Georges ( St.-), Bavière, p.59 # Georges ( St.-), France, p.274 # Georges (St.-), Gênes, p.276 # Georges (St.-), Ravennes, p.277 # Georges (St.-) de la Réunion, Naples, p.143 # Georges (St.-), Rome, p.276 # Georges (St.-), Russie, p.199 # Georges (St.-) d’Angleterre. Voy. Jarretière, p.19 # Georges (St.-) de Valence. Voy. Notre-Dame-de-Montésat, p.85 # Générosité, Prusse, p.281 # Genette (de la), France, p.262 # Géréon (St.-), Palestine, p.266 # Grande-Chasse. Voy. Aigle d’Or, p.253 # Griffon dit Florida, Naples, p.276 # Guelfes, Hanovre, p.115 # Guillaume, Pays-Bas, p.159 # L’ordre de la Jarretière (Angleterre), p.1348 === Quelques chevaliers de l’ordre de Saint-George(s) === == Le chevalier de Saint George (Écosse), 1688-1766 == * Cf. [[Utilisateur:Ambre Troizat/Saint-George, homme d'armes, sujet & citoyen#Naissance de formes démocratiques de gouvernement|Saint-George, homme d'armes, sujet & citoyen, Naissance de formes démocratiques de gouvernement]] == Saint-George, famille du Poitou == [https://books.google.fr/books?id=vJwoAQAAIAAJ&dq=Le%20Sieur%20de%20Saint-George&hl=fr&pg=PA79#v=onepage&q=Le%20Sieur%20de%20Saint-George&f=false Saint-George], nom d’une ancienne et puissante famille du [[w:Poitou|Poitou]], qui, en partie, embrassa la Réforme et, en partie aussi, y est restée fidèle jusqu'à nos jours. == Saint-George durant la Révolution == Révolution Française == Saint-George dans les villes des Mondes Atlantiques == == Cf. "Saint-George en Europe" == == Saint-Ouen, 41 == [https://www.google.com/search?tbm=bks&q=Vendomois+%2B+Saint-Ouen Vendomois + Saint-Ouen] == Ségrégation raciale == === Le blanc est politique === {{Citation bloc| En tant que théoricien, il peut être considéré comme le fondateur de l’histoire de l'art et de l’archéologie en tant que disciplines modernes. Winckelmann est homosexuel, et ses écrits esthétiques sont façonnés par un homoérotisme assumé, reconnu par ses contemporains, tel Goethe.|[[w:Johann Joachim Winckelmann|Johann Joachim Winckelmann]]<ref>1996 - {{bibliographie|Q104178636}}, [https://books.google.fr/books?id=geXxdlFrgGkC&lpg=PA9&pg=PA9&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false p. 9]</ref>}} * [[w:Ségrégation raciale|Ségrégation raciale]] === Ségrégation raciale (USA) === * [[w:Ségrégation raciale aux États-Unis|Ségrégation raciale aux États-Unis]] * 1954 - [[d:Q24466369|L'abolition par la Cour suprême des États-Unis de la ségrégation raciale dans l'enseignement public]]. {{bibliographie|Q24466369}}. == 13e régiment de chasseurs à cheval == * Cf. [[Utilisateur:Ambre_Troizat#L#Légion|Légion]] * [[w:Milice|Milice]] : polices parallèles et des forces supplétives de l'armée. 1985 - Anne Pérotin-Dumon.- Être patriote sous les tropiques: la Guadeloupe, la colonisation et la révolution (1789-1794), Société d'histoire de la Guadeloupe, 339 pages, Google|M0oYAAAAYAAJ&q * 2007 - Bernard Gainot.- Les officiers de couleur dans les armées de la République et de l'empire (1792-1815): de l'esclavage à la condition militaire dans les Antilles françaises, KARTHALA Editions, 2007 - 232 pages, Google|nMHyBK5gEtYC&hl. == Révolution Française : la Terreur == * 2005 - Anne Pérotin-Dumon.- [http://books.openedition.org/pur/16047 Aux Antilles : bilan et perspectives préliminaires sur l’étude d’un passé violent] In : La Révolution à l'œuvre : Perspectives actuelles dans l'histoire de la Révolution française [en ligne]. Rennes : Presses universitaires de Rennes, 2005, ISBN : 9782753524118. * 2013 - Marisa Linton. Choosing Terror. Virtue, Friendship, and Authenticity in the French Revolution. Oxford, University Press, 2013, 336 p., {{ISBN|978-0-19-957630-2}}. ''[http://www.cairn.info/article.php?ID_ARTICLE=AHRF_384_0199 Comptes rendus », Annales historiques de la Révolution française 2/2016 (n° 384)]'', p. 199-263, , Éditeur : Armand Colin, ISBN : 9782200930264. == 1799. Mort du chevalier de Saint-George == [[Fichier:The St. George's Guard.png|100px|vignette|gauche]] [[File:Crispijn van de Passe.- Flora's Mallewagen, La première crise du capitalisme, 1637.png|100 px|vignette|gauche|Crispijn van de Passe.- Flora's Mallewagen, La première crise du capitalisme, 1637.]] * 1799-1800 ([[w:An VIII|An VIII]]) - {{bibliographie|Q115618879}} <!-- Pierre Gallet.- Précis sur la paix --> * The St. George's Guard [https://archive.org/stream/schoolsandmaste00castgoog#page/n279/mode/2up Schools and masters of fence, from the Middle Ages to the eighteenth century]. [http://www.ingenious.org.uk/site.asp?s=S2&DCID=10436446 1810]. [http://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hwr7nr;view=1up;seq=387 Fig. 136.—The St. George's Guard, page 309] [[Fichier:Monnais.- Éphémérides universelles, 1834.png|100px|vignette|gauche]] * {{Ouvrage | langue = fr | prénom1 = Édouard | nom1 = Monnais | prénom2 = A.V. | nom2 = Arnauld | lien auteur1 = w:Édouard Monnais | lien auteur2 = | titre = Éphémérides universelles | sous-titre = ou, Tableau religieux, politique, littéraire, scientifique et anecdotique, présentant, pour chaque jour de l’année, un extrait des annales de toutes les nations et de tous les siècles, depuis les temps historiques jusqu'à nos jours | lien titre = | numéro d'édition = Deuxième | éditeur = Corby, Libraire-Éditeur | collection = | lien éditeur = | lieu = | année = [[w:1834 en musique classique|1834]] | mois = Juin | volume = Sixième | tome = | pages totales = 530 | passage = 241 | dnb = 410177295 | isbn = 1-57647-109-8 | doi = | url = | lire en ligne = https://books.google.fr/books?id=oYJsjlIUDRwC&lpg=PA241&ots=6c_wEjB122&dq=1%20799.%20Mort%20du%20chevalier%20de%20Saint-George.%20Ce%20mul%C3%A2tre%20si%20fameux%20par%20son%20habileté%20prodigieuse%20dans%20tous%20lès%20exercices%20du%20corps%20et%20dans%20ce%20qu'on%20appelle%20les%20arts%20d’agrément%20%2B%20%C3%89phémérides%20universelles%2C%20ou%20tableau%20religieux&hl=fr&pg=PA241#v=onepage&q&f=false | consulté le = 23 août 2015 | présentation en ligne = http://catalog.hathitrust.org/Record/012295706 | commentaire = [https://www.google.fr/search?q=+le+fermier+général%2C+M.+de+Boulogne&btnG=Chercher+des+livres&tbm=bks&tbo=1&hl=fr#hl=fr&tbm=bks&q=%22le+fermier+général%2C+M.+de+Boulogne%22 "le fermier général, M. de Boulogne"] in Éphémérides universelles: ou, Tableau religieux... | id = }} * '''12 juin 1799'''. "Ce mulâtre si fameux par son habileté prodigieuse dans tous les exercices du corps et dans ce qu'on appelle les arts d’agrément, était né en 1745, à la Guadeloupe, et avait pour père le fermier général, M. de Boulogne, qui l’amena fort jeune en France. Destiné à y vivre au milieu d’une noblesse hautaine, un instinct secret dut lui apprendre qu’il aurait à essuyer, par rapport à la couleur de sa peau, des dédains, des bravades, et il se pourvut de moyens efficaces pour imposer aux fanfarons. Sans négliger de plus sérieuses études, il mit si bien à profit les leçons de La Boëssière, fameux maître d’escrime, chez lequel il était entré comme pensionnaire à l'âge de treize ans, qu'en peu d’années il devint le plus fort tireur de la salle la plus célèbre à cette époque. À mesure que l'âge développait sa taille avantageuse, sa force et son agilité plus qu'ordinaires, Saint-George acquérait une égale supériorité dans tous les autres -exercices : "Personne ne pouvait l’atteindre à la course ; il dansait avec un agrément merveilleux, montait à cru les chevaux les plus difficiles ; et l'hiver, quand la glace fermait les rivières, c’était un passe-temps pour la haute société que d’aller voir patiner Saint-George, tant il avait perfectionné un art si frivole ; enfin, dans un concert, nul ne le surpassait sur le violon... ; son aptitude pour la musique était telle, qu’il exécutait parfaitement un air avec son fouet<ref>Biographie universelle</ref>. » :On conçoit quels durent être les succès d’un cavalier si accompli : des grâces, un esprit vif et cultivé, des manières du meilleur ton, un air doux, que ne démentait pas son excellent caractère, joints à tant d’autres avantages, faisaient aisément oublier, dans les boudoirs, et les cheveux crépus et la peau plus que basanée du beau créole, dont le teint était plus foncé que ne l’est ordinairement celui des mulâtres. :D’abord mousquetaire, puis écuyer de madame de Montesson, et ensuite capitaine des gardes du duc de Chartres, Saint-George, lorsque la révolution éclata, se trouva, par suite de sa position, mêlé à toutes les intrigues dont le Palais-Royal était le foyer. On assure que ce fut sur les ordres secrets du duc d’Orléans, qu'au mois de juin 1791, il se rendit à Tournai, sous prétexte d’y donner un concert aux amateurs, mais effectivement pour tenter de conquérir au parti de son patron, les émigrés qui se trouvaient en cette ville. Quoi qu’il en soit, loin de l’accueillir, ceux-ci l’econduisirent outrageusement, et il s’en retourna sans montrer la moindre humeur, mais bien décidé à soutenir ouvertement la cause contre laquelle ses offenseurs étaient armés. Lorsqu'en 1792 les Prussiens envahirent le sol de la France, Saint-George fit des prodiges de valeur, à la tête d’un corps de cavalerie qu’il avait levé et conduit, en qualité de colonel, à l’armée du Nord. Dans cette mémorable campagne, il servait sous les ordres de Dumouriez, dont il fut des premiers à dénoncer la défection. Son patriotisme ne le préserva pas des persécutions ordonnées par les tyrans de la France au nom de la liberté. Arrêté à Paris et incarcéré comme suspect pendant le règne de la terreur, il fut, comme tant d’autres, rendu à la liberté par la chute de Robespierre (voy. 27 Ju1llet 1794) , mais depuis lors il cessa de prendre part aux affaires publiques. Une maladie de vessie, dont le traitement l’eût astreint à un régime sévère, et que pour cette raison il négligea totalement, l’enleva, le 12 juin 1799, après de longues souffrances. :Saint-George avait composé les partitions de plusieurs opéras comiques qui n’ont pas eu de succès : les connaisseurs de l'époque en louèrent le caractère gracieux et délicat; mais le manque de caractère et de variété s’y faisait trop sentir. C’est aussi ce qu'on peut reprocher aux concertos qu’il a écrits et qui toutefois eurent dans le temps un succès de vogue. Le menuet qui porte son nom, autrefois si goûté, ne se trouve plus que dans les anciennes méthodes d’instrumens. On raconte que le virtuose créole s'étant présenté, en 1776, à la tête de quelques capitalistes<ref>1793 - {{bibliographie|Q91920522}}</ref>, pour l’entreprise de l’Académie royale de musique, qu'alors il était question de confier à une régie, plusieurs des principales actrices, les Arnould, les Guimard et autres, se hâtèrent de représenter à la reine, dans un placet, que leur honneur et leurs priviléges ne leur permettaient pas d’être soumises à la direction d’un mulâtre. Par suite de cette réclamation, on rejeta les propositions de Saint-George". ''P. De Chamrobert'' in [https://books.google.fr/books?id=oYJsjlIUDRwC&lpg=PA241&ots=6c_wEjB122&dq=1%20799.%20Mort%20du%20chevalier%20de%20Saint-George.%20Ce%20mul%C3%A2tre%20si%20fameux%20par%20son%20habileté%20prodigieuse%20dans%20tous%20lès%20exercices%20du%20corps%20et%20dans%20ce%20qu'on%20appelle%20les%20arts%20d’agrément%20%2B%20%C3%89phémérides%20universelles%2C%20ou%20tableau%20religieux&hl=fr&pg=PA241#v=onepage&q&f=false Éphémérides universelles], ou tableau religieux, politique, littéraire, scientifique et anecdotique, présentant pour chaque jour de l’année un extrait des annales de toutes les nations et de tous les siècles A.V. Arnauld, Monnais, Éditeur Corbiz, 1834. * {{Ouvrage | langue = fr | prénom1 = Marie-Nicolas | nom1 = Bouillet (1798-1865) | prénom2 = | nom2 = | lien auteur1 = w:Marie-Nicolas Bouillet | lien auteur2 = | titre = Dictionnaire universel d'histoire et de géographie | sous-titre = dit Le Bouillet | lien titre = w:Référence:Dictionnaire universel d'histoire et de géographie (Bouillet et Chassang) | numéro d'édition = | éditeur = Louis Hachette et Cie | collection = | lien éditeur = w:Louis Hachette | lieu = | année = [[w:1842 en musique classique|1842]] | mois = | volume = [https://books.google.fr/books?id=Xy4xkMfK0hwC&hl=fr&pg=PA865#v=onepage&q&f=false (IAKO) (z)‎] | tome = | pages totales = 1924 | passage = 1562 : SAINT-GEORGE (le chevalier De), homme de couleur, était né en 1745 à la Guadeloupe, du commerce d’un riche colon avec une négresse. Son père, devenu fermier-général, l’amena jeune en France et le fit entrer dans les mousquetaires ; il devint ensuite capitaine des gardes du duc de Chartres (duc d’Orléans). Il se montra favorable à la révolution et servit avec distinction sous Dumouriez ; il n’en fut pas moins arrêté comme suspect en 1794 ; le 9 thermidor lui rendit la liberté. Il mourut en 1801. Le chevalier de Saint-George, d’une taille et d’une figure avantageuses, excellait dans tous les arts d’agrément. Il était bon musicien, et s'était surtout fait de la réputation par son talent pour l’escrime. | dnb = 33987017d | isbn = | doi = | url = | lire en ligne = https://books.google.fr/books?id=Xy4xkMfK0hwC&dq=Mort%20du%20Chevalier%20de%20Saint-George&hl=fr&pg=PA1562#v=onepage&q=Mort%20du%20Chevalier%20de%20Saint-George&f=false | consulté le = 23 août 2015 | présentation en ligne = http://www.worldcat.org/title/dictionnaire-universel-dhistoire-et-de-geographie-etc/oclc/558091980/editions?start_edition=1&sd=asc&referer=di&se=yr&qt=sort_yr_asc&editionsView=true&fq= | commentaire = [[s:Dictionnaire universel d’histoire et de géographie|Dictionnaire universel d’histoire et de géographie]] sur Wikisource | id = }} * {{Ouvrage | langue = fr | prénom1 = Gabriel | nom1 = Banat | prénom2 = Gabriel Banat | nom2 = | lien auteur1 = w:en:Gabriel Banat | lien auteur2 = | titre = The Chevalier de Saint-Georges | sous-titre = Virtuoso of the Sword and the Bow | lien titre = | numéro d'édition = | éditeur = Pendragon Press | collection = Numéro 7 de Lives in music series | lien éditeur = w:en:Pendragon Press | lieu = Hillsdale, New York | année = [[w:2006 en musique classique|2006]] | mois = mars | volume = | tome = | pages totales = 566 | passage = | dnb = 410177295 | isbn = 978-1576471098 | doi = | url = | lire en ligne = https://books.google.fr/books?id=Yy9JgZQQ9XQC&lpg=PP1&hl=fr&pg=PP1#v=onepage&q&f=false | consulté le = | présentation en ligne = http://www.pendragonpress.com/book.php?id=583 | commentaire = | id = }} '''Bibliographie''' * 1898 - {{bibliographie|Q110966096}} <!-- L'escrime à travers les âges --> == Œuvres du Chevalier de Saint-George == * [http://imslp.org/wiki/Category:Saint-Georges, _Joseph_Bologne Category:Saint-Georges, Joseph Bologne] * [http://imslp.org/wiki/List_of_works_by_Joseph_Bologne_Saint-Georges List of works by Joseph Bologne Saint-Georges] * "Monsieur Solers a acquis les mêmes droits à la satisfaction publique par le concerto de clarinette qu’il a excuté, & qui a ét composé par M. de Saint-George. [https://books.google.fr/books?id=2wlKAQAAMAAJ&lpg=PA1602&ots=aDjBD3q2_j&dq=catalogue%20de%20la%20musique%20de%20monsieur%20le%20comte%20d’Ogny&hl=fr&pg=PA1822#v=onepage&q=George&f=false Almanach musical], Minkoff Reprints, 1783. == Saint Georges, héros, Guerres, sports, Nations & nationalismes == * 1992 - Eric John Hobsbawm.- Nations et nationalisme depuis 1780 : programme, mythe, réalité], Gallimard, 1992, 247 pages, {{Google|7z0SAQAAMAAJ&q}} * Stéphane Beaud.- [https://books.google.fr/books?id=-MMd2wZ_BX4C&pg=PT12&dq=inauthor:%22Stéphane+BEAUD%22+%2B+Tra%C3%AEtres+%C3%A0+la+nation+?&hl=fr&sa=X&ved=0ahUKEwiW6ZjS2e3NAhXJChoKHe4EDjAQ6AEIJTAA#v=onepage&q=inauthor%3A%22Stéphane%20BEAUD%22%20%2B%20Tra%C3%AEtres%20%C3%A0%20la%20nation%20%3F&f=false Traîtres à la nation ? : Un autre regard sur la grève des Bleus en Afrique du Sud], La Découverte, 11 août 2011, 200 pages. * 2016 - William Gasparini (sociologue), Le Monde.- [http://www.lemonde.fr/idees/article/2016/07/11/le-football-ou-l-illusion-de-la-survivance-des-etats-nations_4967723_3232.html#yjF5KTHXauJwwiwO.99 Le football ou l’illusion de la survivance des États-nations], 11.07.2016. == Coeuret de Saint-Georges (HL) == * 1826 - Coeuret de Saint-Georges.- Eloge funèbre prononcée à la Conférence des Avocats de Paris, le 12 décembre 1826, A la Mémoire de Jourdan (Athanase-Jean-Léger), avocat à la Cour royale de Paris, décédé le 27 août 1826, à Déal, près Douvres, 7 pages, imprimerie de A. Henry, 1826, [https://books.google.com/books?id=hS9FQwAACAAJ Google livres]. * 1830 - Coeuret de Saint-Georges.- Paroles prononcées le 14 janvier 1830, par M. Coeuret de Saint-Georges, avocat, sur la tombe de M. Afforty, son confrère, Imprimerie de Pihan-Delaforest, Paris, (s. d.), {{BNF|cb30254292r}}. * 1841.- Coeuret de Saint-Georges.- Paroles prononcées le 31 mai 1841, au cimetière Montmartre, sur la tombe du colonel Raucourt, Imprimerie de Beaulé, Paris, 1841, {{BNF|302542933}}. * 1842 - Mollière-Laboulay, Stinville, Ve Sévalle, ''(Signataires)''.- Note collective pour MM. les propriétaires des terrains compris dans le périmètre de la Nouvelle Force, ''Quartier des Quinze-Vingts'', contre M. le préfet de la Seine, agissant dans l’intérêt du département de la Seine - Note concernant la propriété Coeuret de Saint-Georges, (que son propriétaire estime à 144.000 fr.), n ° 24 du plan), présenté devant le jury d’expropriation, Séance du lundi 4 juillet 1842, Imprimerie Beaulé, Paris, 1842, {{BNF|36809008h}}. * 1822 - Coeuret de Saint-Georges.- Principes de logique ou art de penser, de rhétorique, de versification, de lecture à haute-voix et de déclamation, Audot, Paris, 1822, {{BNF|30254294f}}. == Alexandre-Pierre-Thomas-Amable Marie de Saint-Georges (1795-1870) == * Alexandre-Pierre-Thomas-Amable Marie de Saint-Georges.- Paroles prononcées le 7 août 1842 sur la tombe de M. Coeuret de Saint-Georges ''(Coeuret de Saint-Georges (HL)'', Imprimerie de Maulde et Renou, Paris, (1842), {{BNF|30884352f}}. == Jules-Henri Vernoy de Saint-Georges (1799-1875) == Louis Paul Randon de Lucenay, père de M. le marquis de Saint-Georges (Henri Vernoy) & M. le comte de Saint-Georges, ancien préfet des Deux Sèvres, directeur de l'Imprimerie impériale * [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k96154897/f446.item.r=George Volume I : Recherche George] p.435 faisait appeler le chevalier de Saint-Georges p.441 parmi ceux-ci se trouvait le chevalier de Saint-Georges, roi titulaire de la Grande-Bretagne * [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k96213235/f161.item.r=George Volume II : : Recherche George] p.545 1771. — 16 avril: De Vatry (Georges), lieu04 tenant dans Royal-Bavière p.200 Louis-Georges Erasme, marquis de Contades p.229 convention de Closter Severn, que Georges II, comme électeur de Hanovre, viola honteusement p.343 1773, marquis de Saint-Georges (Pinon), comte de Chabo-Laserre p.223 223 réduisait successivement les forts Ontario (i), Oswego et Saint-Georges, où il trouvait cent vingt et une pièces de canon, quatorze mortiers, sept bâtiments montés de dix-huit à huit canons ou mortiers, et deux cents bateaux dont les équipages furent compris dans la capitulation p.517 Georges, dont il a été parlé page 385 p.399 du Petit-Thouars (Yves-Suzanne-Georges )j capitaine-commandant au régiment du Roi-Infanterie p.282 de Menou (Georges), des grenadiers royaux de d'Ailly(...) p.422 de Saint-Georges, commandant p.425 de Saint - Georges, chasseur noble p.314 1761, marquis de Saint-Georges, baron de p.424 le chevalier de Menou (Georges-PierreConstantin) , et de Montalembert (Pierre), cavaliers nobles(...)de Saint-Georges (Louis-Joseph Arcouet), lieutenant(...)le vicomte de Saint-Georges, cavalier noble(...) p.385 1785. — De Lucenay (Louis-Paul Randon)(i), (1) Grand-père maternel du marquis de Saint-Georges, officier de la Légion d'honneur, commandeur de l'ordre du Chêne, des Pays-Bas(...)dramatiques les plus distingués, et du comte de Saint-Georges, ancien préfet, directeur de l'imprimerie impériale p.83 l'électeur de Mayence obtenait aussi des subsides, et, enfin, parmi les pensionnaires de l'Angleterre on trouvait l'électeur de Cologne, frère de l'empereur Charles VII, qui, pour 22,000 livres sterling, permettait à Georges II de lever p.294 de Belaistre, chevalier d'Egminières, d'Harneder, de la Baume, La Chaise, de Saint-Georges, Goulon, Pastournay, Garabel de Villeneuve, du régiment de Champagne p.321 1761, de Menou (Georges), capitaine réf'o r ni é à l a s u i te d es g rena d i ers r oyau x d e d ' Ai 11 y(...) p.94 Ces difficultés n'effrayèrent pas le frère de Georges II p.558 Comte de Saint-Georges p.420 de Cacqueray (Charles-Georges), lieutenant de vaisseau(...) p.227 on était impatient d'écraser dans une seule campagne l'électeur de Hanovre (Georges II, d'Angleterre) et le roi de Prusse, qu'on n'appelait par dérision que le marquis de Brandebourg p.289 Le roi Georges lit reconnut la justice de cette récla p.70 de cesser son feu lorsque le due de Gramont eut commis la faute de se porter à l'encontre des troupes de Georges II, puisque ses boulets seraient venus tomber dans les rangs des Français, Le lieutenant(...) p.155 L'Invincible, capitaine de Saint-Georges, n'amena(...) p.66 Georges II, accompagné de son fils le duc de Cumberland, se proposait d'opérer sa jonction avec le généralissime de Marie-Thérèse, et de franchir ensemble le Rhin pour marcher à la conquête de la France p.67 Le maréchai de Noailles franchit le Rhin à Mayence, à la tête de cinquante-cinq mille combattants, et vint prendre position devant le Meifi, dans le but de disputer le passage de cette rivière à Georges II et d'empêcher sa réunion avec le prince Charles de Lorraine p.68 L'armée britannique courait risque de s'abîmer dans ces gorges, et l'on avait lieu d'espérer de venger sur la personne de Georges II les malheurs essuyés par le roi Jean dans les champs de Poitiers p.69 Georges II, jaloux de constater un succès inespéré, demeura plusieurs heures sur le champ de bataille === [https://books.google.fr/books?id=KYPds_kwCDAC&pg=PA115&dq=Histoire+de+l%27ordre+royal+et+Militaire+de+Saint-Louis+depuis+son+institution+en+1693+jusqu%27en+1830+%2B+Saint-George&hl=fr&sa=X&redir_esc=y#v=onepage&q=Histoire%20de%20l%27ordre%20royal%20et%20Militaire%20de%20Saint-Louis%20depuis%20son%20institution%20en%201693%20jusqu%27en%201830%20%2B%20Saint-George&f=false Saint-Georges] === [https://books.google.fr/books?id=6JRPAAAAYAAJ&dq=Gaudin%20de%20Beaumont%2C%20Fran%C3%A7ois%20%2B%20Gros-Morne%20%2B%20Martinique&hl=fr&pg=PA388#v=onepage&q=Gaudin%20de%20Beaumont,%20Fran%C3%A7ois%20+%20Gros-Morne%20+%20Martinique&f=false Louis Paul Randon de Lucenay], Né le 6 septembre 1713, place Louis le-Grand (aujourd'hui place Vendôme), fils de Messire Hélie Randon, écuver, seigneur de Massane, Hanneucourt, Gargenville, Rangiport, etc., et de dame Marie-Louise de Pons, son épouse. (Extrait de baptême de M. de Randon de Lucenay.) — Mousquetaire, première compagnie en 1764, capitaine au régiment Royal Lorraine-cavalerie en 1765 ; a abandonné en 1769 pour prendre une charge de maréchal général des logis des camps et armées du roi. — Rang de mestre de camp de cavalerie en 1770. — A été employé en cette qualité dans l'état-major, aux ordres de M. de Bourcet, jusqu'en 1773, époque à laquelle il a vendu sa charge à M. de Roissy, et est resté attaché en qualité de mestre de camp à la cavalerie par ordre du 24 octobre même année ; a les vingt ans de services qu'il lui faut ; ont été révolus le 28 avril 1785 ; est âgé de quarante-deux ans. (Mémoire de proprosition pour la croix de Saint-Louis en faveur de M. Randon de Lucenay, adressé au ministre de la Guerre par le baron de Besenval.) — Lettre de M. île Montoynard, ministre de la Guerre, datée de Fontainebleau le 26 octobre 1773, annonçant à M. de Lucemy que le roi a accepté sa démission de maréchal général des logis en faveur de M. de Roissy, que Sa Majesté le conserve à son service comme mestre de camp, et qu'elle lui accordera la croix de Saint-Louis à son rang.—Maréchal de camp le 1ermars 1791. (Dossier de M. Randon'de Lucenay, archives de la Guerre.) — Marquis de Lucenay. (Titres de la famille.)—M. deLucenay est le grand-père du côté maternel de [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k96213235/f161.item.r=George M. le marquis de Saint-Georges (Henri Vernoy)], officier de la Légion d'honneur, commandeur de l'ordre du Chêne (des Pays-Bas), chevalier de l'Étoile (des Pays-Bas, plaque et cordon), chevalier de première classe de l'ordre royal et distingué de Charles lit (d'Espagne), l'un de nos auteurs dramatiques les plus renommés; et de M. le comte de Saint-Georges, ancien préfet des Deux Sèvres, directeur de l'Imprimerie impériale, commandeur de la Légion d'honneur et de l'ordre religieux et militaire de Notre-Dame de la Conception (de Portugal). — Les Vernoy étaient, avant la révolution de 1789, seigneurs de Moutjournal, de Mirejon, de Saint Georges, de Beauverger, de Benuvais, etc. (châtellenics de Moulins et de Billy). [https://books.google.fr/books?id=KYPds_kwCDAC&pg=PA115&dq=Histoire+de+l%27ordre+royal+et+Militaire+de+Saint-Louis+depuis+son+institution+en+1693+jusqu%27en+1830+%2B+Saint-George&hl=fr&sa=X&redir_esc=y#v=onepage&q=Saint-Georges&f=false 1785 - De Lucenay Louis Paul Randon] - Grand père maternel du marquis de Saint Georges officier de la Légion d honneur commandeur de l ordre du Chêne des Pays-Bas chevalier de l Etoile des Pays-Bas plaque et cordon chevalier de première classe de Charles III d Espagne l'un de nos auteurs dramatiques les plus distingués et du comte de Saint Georges ancien préfet directeur de l'imprimerie impériale. [https://books.google.fr/books?id=q5pDAAAAcAAJ&dq=Histoire%20de%20l'ordre%20royal%20et%20Militaire%20de%20Saint-Louis%20depuis%20son%20institution%20en%201693%20jusqu'en%201830%20%2B%20Saint-George&hl=fr&pg=RA1-PT843#v=onepage&q=Histoire%20de%20l'ordre%20royal%20et%20Militaire%20de%20Saint-Louis%20depuis%20son%20institution%20en%201693%20jusqu'en%201830%20+%20Saint-George&f=false Manuel du libraire et de l'amateur de livres:, Volume 6] Ordre de Saint-George et du Mérite militaire, 1833 {{Autres projets | w= Jules-Henri Vernoy de Saint-Georges | s= Jules-Henri Vernoy de Saint-Georges | commons = Jules-Henri Vernoy de Saint-Georges | wikiquote titre = Jules-Henri Vernoy de Saint-Georges | wikt = | wikidata titre = Jules-Henri Vernoy de Saint-Georges }} * 1859 {{Ouvrage | langue = fr | prénom1 = Jacques | nom1 = Reynaud (1804-1872) | prénom2 = | nom2 = | lien auteur1 = w:Comtesse Dash | lien auteur2 = | titre = Portraits contemporains | sous-titre = | lien titre = | numéro d'édition = | éditeur = Amyot | collection = | lien éditeur = | lieu = Paris | année = [[w:1859 en littérature|1859]] | mois = | volume = | tome = | pages totales = | passage = | dnb = 36405711p | isbn = | oclc = 755735690 | doi = | url = | lire en ligne = https://archive.org/details/ReynaudPortraitsComtemporains | consulté le = 12 décembre 2015 | présentation en ligne = http://bibliotheque.bordeaux.fr/in/faces/details.xhtml?id=mgroup%3Ap+unimarcbmb_868459&mozQuirk=%D0%B6&highlight=Auteur:%22Reynaud%20,%20Jacques%22&posInPage=4&bookmark=7ff52b66-4231-4625-b418-308142b2abe4&queryid=f001227e-2863-404a-b8bf-78dc6c3d4715 | commentaire = Jacques Reynaud, ou [[s:Comtesse Dash|Comtesse Dash]] est le pseudonyme de ''Anne-Gabrielle de Cisternes de Courtiras Vicontesse de Poilloüe de Saint-Mars''. Son ouvrage ''Portraits contemporains'' est une suite de Biographies d’auteurs du {{S|XIX}} dont un de [[w:Jules-Henri Vernoy de Saint-Georges|Jules-Henri Vernoy de Saint-Georges]], (1799-1875), sous le titre ''M. de Saint-Georges'', {{p.|49-60}} | id = }} == Henri de Saint-Georges (1801-1864) == Henri de Saint-Georges (1801-1864).- Notice historique sur le musée de peinture de Nantes : d’après des documents officiels et inédits, A. Guéraud (Nantes) et A. Aubry (Paris), 1858, {{BNF|31281006t}}, [https://archive.org/search.php?query=Notice%20historique%20sur%20le%20musée%20de%20peinture%20de%20Nantes Internet Archive]. == George Saint-George (8 novembre 1841 — 5 janvier 1924), compositeur == [http://imslp.org/wiki/Category:Saint-George, _George Category:Saint-George, George] == Salaire & Salariat == ==== Salariat ==== {{Citation bloc|"Att. ds Ac. 1935. Étymol. et Hist. [Ca 1836 (d'apr. Mat. Louis-Philippe, p. 41)] 1. 1845-46 « état, condition de salarié » (Besch.); 1846 (Proudhon, Syst. contrad. écon., t. 1, p. 148); 2. 1846 « ensemble des salariés » (Id., ibid., p. 236); 3. 1869 « mode de rémunération par le salaire » (L. A. Blanqui, Critique sociale, p. 167 ds Dub. Pol., p. 414). Dér. de salarié*; suff. -at*. Fréq. abs. littér.: 10".|Cnrtl<ref>[http://www.cnrtl.fr/definition/Salariat Cnrtl]</ref>.}} * 2016 - Maurice Tournier, « [http://mots.revues.org/19889 Mots et politique, avant et autour de 1980 Entretien] », Mots. Les langages du politique [Online], 94 | 2010, Online since 06 November 2012, connection on 12 July 2016. * 1976 - Maurice Tournier.- Un vocabulaire ouvrier en 1848, essai de lexicométrie, thèse. [http://www.sudoc.fr/006881483 Sudoc]. == Sainte-Marthe (personnel colonial ancien) == === de Sainte-Marthe (Gouverneur de Cayenne) === de Sainte-Marthe # 1682-1687 - Sainte-Marthe, de, [http://anom.archivesnationales.culture.gouv.fr/ark:/61561/up424oiojhor.num=20.referer=nominatif.persname_authfilenumber=20036.form=complexe gouverneur de Cayenne 1682-1687], cité en 1682-1687, [http://anom.archivesnationales.culture.gouv.fr/nominatif/?nom=&prenoms=&q=&start=94241 Secrétariat d’État à la Marine - Personnel colonial ancien (Série E, XVIIe-XVIIIe)] === Antoine André de Sainte-Marthe de Lalande (Gouverneur de la Martinique) === Antoine André de Sainte-Marthe de Lalande (c.1615-1679), gouverneur de la Martinique en 1672 # [http://anom.archivesnationales.culture.gouv.fr/ark:/61561/up424oiojhor.num=20.referer=nominatif.persname_authfilenumber=20036 Gouverneur de la Martinique en 1672], [http://anom.archivesnationales.culture.gouv.fr/nominatif/?nom=&prenoms=&q=&start=94241 Secrétariat d’État à la Marine - Actes du pouvoir souverain (Série A, 1628-1779)] # [http://anom.archivesnationales.culture.gouv.fr/nominatif/?nom=&prenoms=&q=&start=94241 Secrétariat d’État à la Marine - Personnel colonial ancien (Série E, XVIIe-XVIIIe)] == Savant == * 1919 - Max Weber.- [http://classiques.uqac.ca/classiques/Weber/savant_politique/Le_savant.pdf Le savant et le politique] == Sociétés savantes == * 2021 - {{bibliographie|Q106489112}} <!-- Marta Severo et Emma Filipponi, Les sociétés savantes face aux sciences participatives --> == Maurice (Maréchal) de Saxe (1696-1750) == * [[d:Q76723|Maurice de Saxe]] * [[Utilisateur:Ambre Troizat/Saint-George, homme d'armes, sujet & citoyen|Maurice (Maréchal) de Saxe (1696-1750)]] * [[Utilisateur:Ambre Troizat/Saint-George, homme d'armes, sujet & citoyen#Les Africains dans les armées du Maréchal de Saxe|Les Africains dans les armées du Maréchal de Saxe]] == Longvilliers == * [http://www.openstreetmap.org/#map=13/48.5780/1.9967 Village Longvilliers, Rambouillet, Yvelines, Ile-de-France, 78730], France * [http://www.openstreetmap.org/#map=13/50.5339/1.7406 Village Longvilliers, Montreuil, Pas-de-Calais, Nord-Pas-de-Calais and Picardy, 62630], France == Victor Schœlcher == [[Utilisateur:Ambre_Troizat/Réflexions_à_propos_des_traites_&_esclavages#1804-1893_-_L'œuvre_de_Victor_Schœlcher_sous_l'angle_de_l'esclavage|1804-1893 - L'œuvre de Victor Schœlcher sous l'angle de l'esclavage]] == Sciences == * Sylvain Rakotoarison.- [http://www.agoravox.fr/culture-loisirs/culture/article/karl-popper-1902-1994-la-156881 Karl Popper (1902-1994) : la réfutabilité, critère de la scientificité], agoravox.fr, mercredi 17 septembre 2014. === Sciences Humaines & Sociales === Voir : Epistémologie, Géohistoire, Histoire, Humanités numériques, Sociologie, Philosophie === Sciences et beaux arts === * Bibliothèque des sciences et des beaux arts, Volume 46, 1776 * <nowiki><https://www.google.fr/books/edition/Bibliothèque_des_sciences_et_des_beaux/0AGfsh4bmXwC></nowiki> * Romances par Mr Berquin chez Ruault & fe trouve à la ..., dans Bibliothèque des sciences et des beaux arts, Volume 46, 1776 : <nowiki><https://dictionnaire-journaux.gazettes18e.fr/journal/0160-bibliotheque-des-sciences-et-des-beaux-arts></nowiki>, * Mémoires pour l'histoire des sciences & des beaux-arts, 1701-1767 (ou toute la jeunesse de Saint-George : <https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/cb32813492j/date> == Sénégal == === Voyages au Sénégal === * 1802 - {{Bibliographie|Q26260698}} * 1802 & 1975 - {{Bibliographie|Q26260709}} ** [[s:Voyage au Sénégal pendant les années 1784 & 1785|Wikisource]], {{BNF|345801461}}, [https://books.google.fr/books?id=esMvAVaOlHEC&hl=fr&pg=PR3#v=onepage&q&f=false Google], [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k852320/f3.imageLire en ligne]. ** Cf. [[s:Discussion:Voyage au Sénégal pendant les années 1784 & 1785|Discussion:Voyage au Sénégal pendant les années 1784 & 1785]]. ** [http://catalogue.bnf.fr/rechercher.do?motRecherche=André+Charles+de+Lajaille&critereRecherche=0&depart=0&facetteModifiee=ok Notices bibliographiques BnF André Charles de Lajaille] * 1802 - {{Bibliographie|Q26260924}} * 1802 - {{Bibliographie|Q26260935}} * 1807 - Jean-Baptiste-Léonard Durand.- Voyage au Sénégal, ou Mémoires historiques, philosophiques et politiques sur les découvertes, les établissements et le commerce des européens dans les mers de l'Océan Atlantique, depuis le Cap-Blanc jusqu'à la rivière de Serra-Lionne inclusivement, Dentu, 1807 * Jean-Baptiste-Léonard Durand.- Voyage au Sénégal fait dans les années 1785 et 1786, Volume 1, [https://books.google.fr/books?id=8Ta7jc2c_OEC&dq=Voyage%20au%20Sénégal&hl=fr&pg=PP7#v=onepage&q=Voyage%20au%20Sénégal&f=false Google] ** Jean Baptiste Léonard Durand.- Illustrations de Atlas pour servir au voyage du Sénégal, ou Mémoires historiques, philosophiques et politiques sur les découvertes, les établissements et le commerce des européens dans les mers de l'Océan Atlantique, depuis le Cap-Blanc jusqu'à la rivière de Serra-Lionne inclusivement, {{BNF|38495428q}}, [https://books.google.fr/books?id=ggxXywAACAAJ&dq=inauthor:%22Jean+Baptiste+Léonard+Durand%22&hl=fr&sa=X&ved=0ahUKEwi_zsn9k7nOAhVDvBoKHZ8XBHEQ6AEIMDAD Google (sans texte)], [https://books.google.fr/books?id=vKa-o4bJwz4C&dq=inauthor%3A%22Jean%20Baptiste%20Léonard%20Durand%22&hl=fr&pg=PP7#v=onepage&q&f=false Google, Tome deuxième, Atlas de 44 planches], [https://books.google.fr/books?id=SPEL7WABQQAC&dq=inauthor%3A%22Jean%20Baptiste%20Léonard%20Durand%22&hl=fr&pg=PP17#v=onepage&q&f=false Tome second, An X, Chez Agasse], ** Jean Baptiste Léonard Durand.- Atlas pour servir au Voyage du Sénégal, Dentu, 1807, 67 pages, [https://books.google.fr/books?id=QQFCAAAAYAAJ&hl=fr&pg=PR2#v=onepage&q&f=fals*e Google]. * [https://www.google.fr/search?hl=fr&tbo=p&tbm=bks&q=inauthor:%22Jean+Baptiste+Léonard+Durand%22 Traduction en allemand et en anglais]. * 1946 - Sander Rang.- [https://books.google.fr/books?id=uQUYAAAAIAAJ&q=Voyage+au+Sénégal&dq=Voyage+au+Sénégal&hl=fr&sa=X&ved=0ahUKEwin5MGdprnOAhXI1xoKHZO9CxUQ6AEIRzAD Voyage au Sénégal: Naufrage de "La Méduse"], Éditions E.P.I., 1946 - 118 pages * Michel Adanson.- [https://books.google.fr/books?id=0PoRAAAAYAAJ A Voyage to Senegal: The Isle of Goreé, and the River Gambia], 1759 * 1818 - Jean Baptiste Henri Savigny, ‎Alexandre Corréard.- [https://books.google.fr/books?id=08w9AAAAYAAJ Narrative of a Voyage to Senegal in 1816]: Undertaken by Order of the French Government, Comprising an Account of the Shipwreck of the Medusa, the Sufferings of the Crew, and the Various Occurrences on Board the Raft, in the Desert of Zaara, at St. Louis, and at the Camp of Daccard. To which are Subjoined Observations Respecting the Agriculture of the Western Coast of Africa, from Cape Blanco to the Mouth of the Gambia, H. Colburn, 1818, 360 pages. * 1820 - Gaspard-Théodore Mollien.- [https://books.google.fr/books?id=XJlr49Xtr8sC Voyage dans l'intérieur de l'Afrique, aux sources de Sénégal et de la Gambie fait en 1818, Tome premier], Veuve Courcier, 1820. ** 1889 - {{Bibliographie|Q26260576}} == 1870 - Siège de Paris == === Bibliographie === * 1873 - {{bibliographie|Q81808585}} <!-- Juliette Adam, Le siège de Paris --> * 1896 - {{bibliographie|Q52338884}} <!-- 1896 - Auguste Lacaussade, Le Siège de Paris --> == Société des amis de la constitution monarchique. France, 1789- == * Data.bnf : [http://data.bnf.fr/13326793/societe_des_amis_de_la_constitution_monarchique_france/ Société des amis de la constitution monarchique. France] == Société des amis de la liberté et de l'égalité == * Garrau, Pierre-Anselme .- [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6258892jSociété des amis de la liberté et de l'égalité aux amis de la République séant à Sainte-Foi]. [1er mars 1793. * Société des amis de la Constitution.- [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6310093v/f7.item.zoom Lettre de la Société des amis de la liberté et de l'égalité]..., Impr. des sans-culottes, Paris, 1794 * Société des amis de la liberté et de l'égalité. La Cadière-d'Azur, Var. Saint-Cyr-sur-Mer, Var in the data.bnf.fr Labs pages * Joseph Combet.- [http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb41083212jLa Société "républiquaine" de San-Céris-la-Cadière, Var], ([http://data.bnf.fr/atelier/15597847/societe_des_amis_de_la_liberte_et_de_l_egalite_la_cadiere-d_azur__var__saint-cyr-sur-mer__var/ 1789-1795]), Éd. de "La Revue des lettres et des arts", Nice, 1908 == Société de cour == * {{Lien web |langue= fr|auteur= Gérard Noiriel, France Culture|titre= Qu'est-ce qu'une société de cour ? Le Pourquoi du comment : histoire|url= https://www.franceculture.fr/emissions/le-pourquoi-du-comment-histoire/qu-est-ce-qu-une-societe-de-cour|date= |site= franceculture.fr|consulté le= 24 novembre 2021}} == Société française pour l'abolition de l'esclavage == * [[w:Société française pour l'abolition de l'esclavage|Société française pour l'abolition de l'esclavage]] * 1837 - {{bibliographie|Q19232248}} == Société civile == [[Fichier:Jean-Jacques Rousseau.- Mais si le législateur, se trompant dans son objet.png|100px|vignette|gauche|Rousseau.- Mais si le législateur, se trompant dans son objet...]] {{citation bloc|Mais si le Législateur, se trompant dans son objet, prend un principe différent de celui qui nait de la nature des choses, que l’un tende à la servitude & l’autre à la liberté, l’un aux richesses l’autre à la population, l’un à la paix l’autre aux conquêtes, on verra les loix s’affaiblír insensiblement, la constitution s’altérer, & l’État ne cessera d’être agité jusqu’à ce qu’il soit détruit ou changé, & que l’invincíble nature ait repris son empire.|Jean-Jacques Rousseau.- Du contrat social<ref>{{Réf Livre|titre=Du contrat social |auteur=Jean-Jacques Rousseau |année =1762 |éditeur=Marc Michel Rey |partie= II |chapitre= XI « Des divers systèmes de Législation. » |page=67 |s=Du contrat social}}</ref>}} <pre> {{Réf Livre|titre=Du contrat social |auteur=wikidata:Q6527|Jean-Jacques Rousseau |année =[[w:1762|1762]] |éditeur=wikidata:Q118082|Marc Michel Rey |partie= II |chapitre= XI « Des divers systèmes de Législation. » |page=67 |s=Du contrat social}} </pre> * 1824 - {{Ouvrage | langue = fr | prénom1 = Charles | nom1 = Ganilh | lien auteur1 = wikidata:Q2959168 | titre = Du pouvoir et de l’opposition dans la société civile | sous-titre = | lien titre = wikidata:Q22350073 | éditeur = Bossange | lien éditeur = wikidata:Q22350492 | lieu = [[wikidata:Q90|Paris]] | année = [[w:1824|1824]] | passage = [https://archive.org/stream/bub_gb_93FN6GcR8ygC#page/n49/mode/2up Page 17].'' | commentaire = | id = }} {{citation bloc|Dans ce cas, l’ordre social fut inconnu de toute l’antiquité ; car on ne regardera pas, sans doute, comme un principe fondé sur la nature des choses, celui qui établit la Société civile sur l’esclavage des dix -neuf vingtièmes de la population, sur l’oppression de la plus grande partie de l’autre vingtième, et la domination de quelques familles privilégiées. Il y a là une telle violation de la morale et de la raison, qu’elle doit exciter l’indignation de tout être sensible et raisonnable.|Charles Ganilh, Du pouvoir et de l’opposition dans la société civile, Paris, Bossange, 1824<ref>{{Ouvrage | langue = fr | prénom1 = Charles | nom1 = Ganilh | lien auteur1 = wikidata:Q2959168 | titre = Du pouvoir et de l’opposition dans la société civile | sous-titre = | lien titre = wikidata:Q22350073 | éditeur = Bossange | lien éditeur = wikidata:Q22350492 | lieu = [[wikidata:Q90|Paris]] | année = [[w:1824|1824]] | passage = | commentaire = | id = }}</ref>, [https://archive.org/stream/bub_gb_93FN6GcR8ygC#page/n49/mode/2up Page 17].}} === Les sociétés pacifistes === == Société de la morale chrétienne == Cf: Les physiocrates : La Rochefoucauld, Mirabeau === Société civile === [[Fichier:Jean-Jacques Rousseau.- Mais si le législateur, se trompant dans son objet.png|100px|vignette|gauche|Rousseau.- Mais si le législateur, se trompant dans son objet...]] {{citation bloc|Mais si le Législateur, se trompant dans son objet, prend un principe différent de celui qui nait de la nature des choses, que l’un tende à la servitude & l’autre à la liberté, l’un aux richesses l’autre à la population, l’un à la paix l’autre aux conquêtes, on verra les loix s’affaiblír insensiblement, la constitution s’altérer, & l’État ne cessera d’être agité jusqu’à ce qu’il soit détruit ou changé, & que l’invincíble nature ait repris son empire.|Jean-Jacques Rousseau.- Du contrat social<ref>{{Réf Livre|titre=Du contrat social |auteur=Jean-Jacques Rousseau |année =1762 |éditeur=Marc Michel Rey |partie= II |chapitre= XI « Des divers systèmes de Législation. » |page=67 |s=Du contrat social}}</ref>}} <pre> {{Réf Livre|titre=Du contrat social |auteur=wikidata:Q6527|Jean-Jacques Rousseau |année =[[w:1762|1762]] |éditeur=wikidata:Q118082|Marc Michel Rey |partie= II |chapitre= XI « Des divers systèmes de Législation. » |page=67 |s=Du contrat social}} </pre> * 1824 - {{Ouvrage | langue = fr | prénom1 = Charles | nom1 = Ganilh | lien auteur1 = wikidata:Q2959168 | titre = Du pouvoir et de l’opposition dans la société civile | sous-titre = | lien titre = wikidata:Q22350073 | éditeur = Bossange | lien éditeur = wikidata:Q22350492 | lieu = [[wikidata:Q90|Paris]] | année = [[w:1824|1824]] | passage = [https://archive.org/stream/bub_gb_93FN6GcR8ygC#page/n49/mode/2up Page 17].'' | commentaire = | id = }} {{citation bloc|Dans ce cas, l’ordre social fut inconnu de toute l’antiquité ; car on ne regardera pas, sans doute, comme un principe fondé sur la nature des choses, celui qui établit la Société civile sur l’esclavage des dix -neuf vingtièmes de la population, sur l’oppression de la plus grande partie de l’autre vingtième, et la domination de quelques familles privilégiées. Il y a là une telle violation de la morale et de la raison, qu’elle doit exciter l’indignation de tout être sensible et raisonnable.|Charles Ganilh, Du pouvoir et de l’opposition dans la société civile, Paris, Bossange, 1824<ref>{{Ouvrage | langue = fr | prénom1 = Charles | nom1 = Ganilh | lien auteur1 = wikidata:Q2959168 | titre = Du pouvoir et de l’opposition dans la société civile | sous-titre = | lien titre = wikidata:Q22350073 | éditeur = Bossange | lien éditeur = wikidata:Q22350492 | lieu = [[wikidata:Q90|Paris]] | année = [[w:1824|1824]] | passage = | commentaire = | id = }}</ref>, [https://archive.org/stream/bub_gb_93FN6GcR8ygC#page/n49/mode/2up Page 17].}} === Sociologie === Voir : constructivisme Auteurs vedettes : [[w:Pierre Bourdieu|Pierre Bourdieu]] === Sociologie === Voir : constructivisme Auteurs vedettes : [[w:Pierre Bourdieu|Pierre Bourdieu]] === Adam Smith (1723-1790) === [[Fichier:Wealth of Nations.jpg|100px|vignette|gauche]] {{Citation bloc|... je crois, généralement reconnue, que les planteurs français l’emportent sur les Anglais. La loi<ref>[[s:Code noir/1685|Louis XIV Édit du Roi, touchant l’État & la Diſcipline des Eſclaves Négres de l’Amérique Françaiſe, donné à Verſailles, au mois de Mars 1685]]</ref>, en tant qu’elle peut donner à l’esclave quelque faible protection contre la violence du maître, sera mieux exécutée dans une colonie où le gouvernement est en grande partie arbitraire, que dans une autre où il est totalement libre...|Adam Smith.- ''Recherches sur la nature et les causes de la richesse des nations/Livre 4/7|Recherches sur la nature et les causes de la richesse des nations/Livre 4/7''<ref>{{Ouvrage | langue = fr | prénom1 = Adam | nom1 = Smith (1723-1790) | prénom2 = Germain | nom2 = Garnier, traducteur | prénom3 = Blanqui | nom3 = Adolphe, traducteur | prénom4 = Jean-Baptiste | nom4 = Say (1767-1832), Annotateur | lien auteur1 = w:Adam Smith | lien auteur2 = w:Germain Garnier | lien auteur3 = w:Adolphe Blanqui | lien auteur4 = w:Jean-Baptiste Say | titre = Des colonies | sous-titre = in Recherches sur la nature et les causes de la richesse des nations, livre IV, chap. VII, (première édition en 1776) | lien titre = s:Recherches sur la nature et les causes de la richesse des nations/Livre 4/7 | numéro d'édition = | éditeur = Guillaumin | collection = | lien éditeur = w:Guillaumin | lieu = Paris | année = [[w:1843|1843]] | mois = | volume = | tome = | pages totales = | passage = | dnb = 31377302p | isbn = | oclc = | doi = | url = | lire en ligne = [[s:Recherches sur la nature et les causes de la richesse des nations/Livre 4/7|Recherches sur la nature et les causes de la richesse des nations/Livre 4/7]] | consulté le = 1{{er}} janvier 2016 | présentation en ligne = | commentaire = | id = frSmithRn1843 }}<br /> — Bibliographie : </ref>.}} == Soubise (Hôtel de) == * {{article | langue = fr | prénom1 = Jules | nom1 = Guiffrey | lien auteur1 = w:Jules Guiffrey (1840-1918) | prénom2 = Henry | nom2 = Havard | lien auteur2 = w:Henry Havard | prénom3 = | nom3 = | lien auteur3 = | traduction = | titre = Palais Soubise | sous-titre = | périodique = La France artistique et monumentale, 6 volumes | lien périodique = http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb34011334h/PUBLIC | éditeur = librairie illustrée | lieu = | série = | volume = | titre volume = | numéro = | titre numéro = | jour = | mois = | année = [[w:1892 en musique classique|1892]]-[[w:1896 en musique classique|1896]] | pages = | dnb = 32205843p | issn = | issn2 = | issn3 = | isbn = | résumé = | format = | url texte = https://archive.org/details/PalaisSoubise | doi = | consulté le = | commentaire = | extrait = | id = }} == Souveraineté == === La notion de souveraineté politique === [[w:Souveraineté|Souveraineté]] & les [[w:Traités de Westphalie|Traité de Westphalie]] "<i>[http://www.guinee-plurielle.com/pages/34_La_souverainete_estelle_depassee_dans_le_monde_contemporain_-4156943.html La notion de Souveraineté a traditionnellement été définie grâce aux jalons posés par les Traités de Westphalie<ref>Cf. [[w:Souveraineté#Souveraineté_westphalienne_ou_indépendance,_voir_interdépendance|Souveraineté westphalienne ou indépendance, voir interdépendance]]</ref>. en 1648]</i>". Cf. Les mouvements des indépendances aux Amériques et les conceptions de la souveraineté == Sport == * [[w:Sport|Sport]] * Voir Fair-play == Sujets à discuter == === Jean Marie Théodat === * {{bibliographie|Q73524638}} === CTHS === La stratégie de la grève générale, CGT Arte : XXe siècle Le temps des ouvriers (3/4). Le temps à la chaîne, à 22:06 《L'émancipation des Travailleurs est l’œuvre des travailleurs eux-mêmes》, avant 1914. C'est à ce moment que l'on commence à penser que《L'émancipation des esclaves est l’œuvre des esclaves eux-mêmes》. {{Citation bloc|Ces divergences eurent pour conséquence la scission d’abord, la fin de l’A. I. T<ref>Association Internationale des Travailleurs</ref>. ensuite. Lorsque Marx parvint à se débarrasser de Bakounine en dominant complètement le Comité central, l’Association Internationale des Travailleurs, qui avait suscité tant d’espoirs, alla s’éteindre obscurément en Amérique, à New-York.<br> Néanmoins, son influence et son rôle furent énormes. En le dotant de cette formule : '''L’Émancipation des Travailleurs sera l’œuvre des Travailleurs eux-mêmes''', elle a imprimé au mouvement syndical son véritable caractère. En même temps qu’elle a précisé les aspirations et les idées du prolétariat, elle a défini le but final de ses efforts. Elle l’a aussi débarrassé de la gangue nationaliste. C’est un résultat qui compte.|Encyclopédie anarchiste, page 391<ref>Lire sur [https://fr.wikisource.org/wiki/Encyclop%C3%A9die_anarchiste/Conf%C3%A9d%C3%A9ration Encyclopédie anarchiste Wikisource]</ref>.}} Cf. [[w:Marion Fontaine|Marion Fontaine]], histoire politique et sociale et de l’histoire des mouvements ouvriers [https://www.worldcat.org/search?q=L%27Institut%2C+journal+universel+des+sciences+et+des+socie%CC%81te%CC%81s+savantes+en+France+et+a%CC%80+l%27e%CC%81tranger&qt=owc_search L'institut : journal universel des sciences et des sociétés savantes en France et à l'étranger] L'institut. Section 1: Sciences mathématiques, physiques et naturelles, Volumes 23 à 25, Imprimerie nationale, 1858 : ACADÉMIE DES SCIENCES MORALES ET POLITIQUES MORALE [https://books.google.fr/books?id=tYw8AAAAcAAJ&newbks=1&newbks_redir=0&dq=L'%C3%A9mancipation%20des%20Travailleurs%20est%20l'oeuvre%20des%20travailleurs%20eux-m%C3%AAme&hl=fr&pg=RA4-PA100#v=onepage&q=L'%C3%A9mancipation%20des%20Travailleurs%20est%20l'oeuvre%20des%20travailleurs%20eux-m%C3%AAme&f=false Abolition de l'esclavage. M Augustin Cochin] a lu à l'Académie dans ces derniers temps un travail auquel donnent de l'actualité les agitations qui déchirent en ce moment la république des États Unis à cause de l'esclavage. Dans ce travail l'auteur s'est proposé d'examiner quels ont été les résultats de l'abolition de l'esclavage dans les colonies de l'Angleterre et de la France et cet examen le conduit à reconnaître que cette abolition n'a pas eu pour les colonies les conséquences désastreuses que certains esprits avaient redoutées. Ne pouvant suivre l'auteur dans les nombreux détails statistiques qui forment le fond de ce travail nous nous bornerons à en reproduire le préambule, quelques parties qui nous paraissent les plus importantes et les conclusions == Système colonial == [[w:Idéologie coloniale française|Idéologie coloniale française]], redirigé depuis "''Système colonial''" === Les penseurs du système colonial, 1ère mondialisation === 1727 - [[w:Alexandre Cazeau de Roumillac|Alexandre Cazeau de Roumillac]], né à Angoulème en 1727, mort à Londres en 1796. Economiste français, physiocrate, agronome, journaliste et publiciste, planteur dans les îles de Grenade, membre de la Société<br>Bibliographie sur ''[[data.BnF.fr|https://data.bnf.fr/11895417/alexandre_casaux/]]''. === Bibliographie (Système colonial) === *** 1848 - {{Bibliographie|Q61747038}} <!-- Alexandre Sandelin, Répertoire général d'économie politique, Système colonial --> 1791 - Alexandre Cazeau de Roumillac, Argumens pour et contre le commerce des colonies, Demonville, Paris, , traité d'économie du Système colonial de l'école physiocratique. == T == [[Fichier:Luca Pacioli, De divina proportione, Letter T.jpg|100px|vignette|centré]] === Tabac === * Frédéric Georges Cuvier.- Dictionnaire des sciences naturelles], dans lequel on traite méthodiquement des différens êtres de la nature ...: suivi d’une biographie des plus célèbres naturalistes, [https://books.google.fr/books?id=635RAAAAcAAJ&lpg=PA39&ots=5PKyVRgyBK&dq=Castor%20Durante%20%2B%20tabac&hl=fr&pg=PA39#v=onepage&q=Castor%20Durante%20+%20tabac&f=false Volume 21]. ** HERBE SAINTE. (Bot.) Dans la Flore du Pérou on trouve le cestrum auriculatum sous le nom vulgaire dîyerba sauta. Il a, été aussi donné au tabac, à cause de ses grandes vertus, suivant l’auteur du Dictionnaire économique. (J.) ** HERBE DE SAINTE-CROIX. (Bot.) On lit, dans l’HerIzario nuovo di Castors Durante, que le tabac fut nommé herba. sanctæ crucis à Rome, parce que Sancta Crucius Prosper, légat du pape en Portugal, fut le premier qui, à son retour, l’introd’uisit en Italie. Voyez HERBE A LA REINE. (J.) * Frédéric Georges Cuvier.- [https://books.google.fr/books?id=635RAAAAcAAJ&lpg=PA39&ots=5PKyVRgyBK&dq=Castor%20Durante%20%2B%20tabac&hl=fr&pg=PA39#v=onepage&q=Castor%20Durante%20+%20tabac&f=false Dictionnaire des sciences naturelles], dans lequel on traite méthodiquement des différens êtres de la nature ...: suivi d’une biographie des plus célèbres naturalistes, [https://books.google.fr/books?id=QYo5AAAAcAAJ&dq=Frédéric%20Georges%20Cuvier%20%2B%20tabac&hl=fr&pg=PA75#v=onepage&q&f=false Volume 52]. ** Plusieurs entrées * Frédéric Georges Cuvier.- [https://books.google.fr/books?id=635RAAAAcAAJ&lpg=PA39&ots=5PKyVRgyBK&dq=Castor%20Durante%20%2B%20tabac&hl=fr&pg=PA39#v=onepage&q=Castor%20Durante%20+%20tabac&f=false Dictionnaire des sciences naturelles], dans lequel on traite méthodiquement des différens êtres de la nature ...: suivi d’une biographie des plus célèbres naturalistes, [https://books.google.fr/books?id=829RAAAAcAAJ&dq=Frédéric%20Georges%20Cuvier%20%2B%20HERBE%20A%20LA%20REINE&hl=fr&pg=PA538#v=onepage&q=Frédéric%20Georges%20Cuvier%20+%20HERBE%20A%20LA%20REINE&f=false Volume 54] ** TORNABONA. (Bot.) Un des noms donnés au tabac à Pépoque de son introduction en Europe. Son nom latin nicotiana lui futdonné, parce que Nicot , ambassadeur en Poro tugal, Pintroduisit le premier en France sous le règne de Catherine de Médicis, qui en fit usage : ce qui le fit encore nommer herbe à la reine. En ltalie il fut prôné par Tornabonius, suivant Césalpin, d’où lui est venu le nom cité ici. (l) . * Marc Kirsch.- [http://lettre-cdf.revues.org/278 Génèse d’une épidémie], La lettre du Collège de France [En ligne], Hors-série 3 | 2010, mis en ligne le 24 juin 2010, consulté le 20 novembre 2015. * Garcia da Orta; Nicolás Monardes; Charles de L' Écluse; Antoine Colin.- Histoire des drogues, espiceries et de certains médicamens simples qui naissent ès Indes : et en l’Amérique, ceste matière comprise en six livres [de Garcie Du Jardin, Christophle de La Coste, Prosper Alpin et Nicolas Monard] dont il y en a cinq tirés du latin de Charles de L’Escluse, et l'histoire du baulme [de Prosper Alpin] adjoustée de nouveau... Le tout fidellement translaté en françois par Antoine Colin..., 1Lyon : J. Pillehotte, 1602 {{BNF|334184372}}, 1619 {{BNF|30961578q}}. == Table de marbre == * [[w:Table de marbre|Table de Marbre]] * Édit... portant rétablissement de la jurisdiction de la Table de Marbre à Paris... Acte royal. 1704-05-00. Versailles, Registré en Parlement le 20 may 1704, {{BNF|33829137c}} * Ordonnance des maréchaux et conétables de France pour la justice militaire, maréchaussée et juridiction du siège de la conétablie de France, à la table de marbre du palais, Acte. 1705-02-19. Paris, {{BNF|33706310k}} * Édit... portant création d'offices de lieutenans criminels, commissaires enquesteurs-examinateurs et garde-scels, conseillers, commissaires, assesseurs, avocats et procureurs du Roy, substituts, procureurs tiers-référendaires, controlleurs de dépens, procureurs postulans, premiers huissiers, huissiers audienciers et sergens dans toutes les amirautez du Royaume ; et règle la compétence desdits sièges... Registré en Parlement * Édit... portant création de lieutenans criminels et autres officiers dans les amirautez... Enregistré au Parlement le 26 août 1711. {{BNF|338322642}} * [http://www.archivesnationales.culture.gouv.fr/chan/chan/fonds/guideorientation/II-3-3-eauxetforets.htm Table de marbre au souverain. 1536-1790 ; Z1E 869 à 1120]. === Voltaire, Table de Marbre === [[w:Voltaire|Voltaire]] === Voltaire, Charles VII, Table de Marbre=== * [[w:Charles VII (roi de France)|Charles VII (roi de France)]] * [https://books.google.fr/books?id=hl5NAAAAcAAJ&pg=PA119-IA1&dq=Table+de+marbre+%2B+Voltaire&hl=fr&sa=X&ved=2ahUKEwijg9XBjO7sAhVIcBQKHftGC7g4ChC7BTAHegQIAxAH#v=onepage&q&f=false Voltaire, Charles VII, Table de Marbre] == Talleyrand & l'abolition de l'esclavage == === Occurrences "Talleyrand,esclavage" === * 1903 - 2000 : [https://books.google.com/ngrams/graph?content=Talleyrand%2Cesclavage&year_start=1903&year_end=2008&corpus=19&smoothing=6&share=&direct_url=t1%3B%2CTalleyrand%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2Cesclavage%3B%2Cc0 Talleyrand,esclavage] * 1920 - 2000 : [https://books.google.com/ngrams/graph?content=Talleyrand%2Cesclavage&year_start=1920&year_end=2008&corpus=19&smoothing=6&share=&direct_url=t1%3B%2CTalleyrand%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2Cesclavage%3B%2Cc0 Talleyrand,esclavage] * 1918 - 1938 : [https://books.google.com/ngrams/graph?content=Talleyrand%2Cesclavage&year_start=1918&year_end=1938&corpus=19&smoothing=6&share=&direct_url=t1%3B%2CTalleyrand%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2Cesclavage%3B%2Cc0 Talleyrand,esclavage] === Occurrences 1500-2008 === * [https://books.google.com/ngrams/graph?content=Talleyrand%2CValen%C3%A7ay%2CHidalgo%2Cesclavage&year_start=1500&year_end=2008&corpus=19&smoothing=6&share=&direct_url=t1%3B%2CTalleyrand%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2CValen%C3%A7ay%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2CHidalgo%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2Cesclavage%3B%2Cc0 Talleyrand,Valençay,Hidalgo,esclavage] * [https://books.google.com/ngrams/graph?content=Talleyrand%2CValen%C3%A7ay%2CHidalgo%2Cesclavage%2C+Espagne&year_start=1500&year_end=2008&corpus=19&smoothing=6&share=&direct_url=t1%3B%2CTalleyrand%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2CValen%C3%A7ay%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2CHidalgo%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2Cesclavage%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2CEspagne%3B%2Cc0 Talleyrand,Valençay,Hidalgo,esclavage,Espagne] * [https://books.google.com/ngrams/graph?content=Talleyrand%2CValen%C3%A7ay%2CHidalgo%2Cesclavage%2CEspagne%2C+guerre&year_start=1500&year_end=2008&corpus=19&smoothing=6&share=&direct_url=t1%3B%2CTalleyrand%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2CValen%C3%A7ay%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2CHidalgo%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2Cesclavage%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2CEspagne%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2Cguerre%3B%2Cc0 Talleyrand,Valençay,Hidalgo,esclavage,Espagne,guerre] === Occurrences 1729-2008 === * [https://books.google.com/ngrams/graph?content=Talleyrand%2Cesclavage&year_start=1729&year_end=2008&corpus=19&smoothing=6&share=&direct_url=t1%3B%2CTalleyrand%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2Cesclavage%3B%2Cc0 Talleyrand,esclavage] * [https://books.google.com/ngrams/graph?content=Talleyrand%2CValen%C3%A7ay%2Cesclavage&year_start=1729&year_end=2008&corpus=19&smoothing=6&share=&direct_url=t1%3B%2CTalleyrand%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2CValen%C3%A7ay%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2Cesclavage%3B%2Cc0 Talleyrand,Valençay,esclavage] * [https://books.google.com/ngrams/graph?content=Talleyrand%2CValen%C3%A7ay%2CHidalgo%2Cesclavage&year_start=1729&year_end=2008&corpus=19&smoothing=6&share=&direct_url=t1%3B%2CTalleyrand%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2CValen%C3%A7ay%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2CHidalgo%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2Cesclavage%3B%2Cc0 Talleyrand,Valençay,Hidalgo,esclavage] * [https://books.google.com/ngrams/graph?content=Talleyrand%2CValen%C3%A7ay%2CHidalgo%2Cesclavage%2CEspagne&year_start=1729&year_end=2008&corpus=19&smoothing=6&share=&direct_url=t1%3B%2CTalleyrand%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2CValen%C3%A7ay%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2CHidalgo%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2Cesclavage%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2CEspagne%3B%2Cc0 Talleyrand,Valençay,Hidalgo,esclavage,Espagne] * [https://books.google.com/ngrams/graph?content=Talleyrand%2CValen%C3%A7ay%2CHidalgo%2Cesclavage%2CEspagne%2Cguerre&year_start=1729&year_end=2018&corpus=19&smoothing=6&share=&direct_url=t1%3B%2CTalleyrand%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2CValen%C3%A7ay%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2CHidalgo%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2Cesclavage%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2CEspagne%3B%2Cc0%3B.t1%3B%2Cguerre%3B%2Cc0 Talleyrand,Valençay,Hidalgo,esclavage,Espagne,guerre] === Bibliographie (Talleyrand & l'abolition de l'esclavage) === * 1925 - Nicholas Murray Butler.- [https://books.google.fr/books?id=_N5CAAAAIAAJLes États-Unis d'Amérique: Leur origine. Leur développement. Leur unité], 1925. Solon. 39. Somerset (L'affaire Somerset au sujet de l'Esclavage), 133-133. Souveraineté. ... Talleyrand. — Son estime pour Washington, 78. — Pour John Marshall, 163. Taney (Juge-Président). 168, 306- 307, 317. Tar1fs protecteurs, 60-61, ... * Fernand Baldensperger.- [https://books.google.fr/books?id=EIZOAMdOGbQC Les expériences du présent], 1924, Page 107... de « sauvages » observés en Amérique — c'est une réhabilitation de l'esclavage sous la plume de ce voyageur. ... Pour Talleyrand, cf. le Journal de T. de Caze- nove, celui de Moreau Saint-Méry, les fragments de correspondance, que des … * Alain Philippe Blérald.- [https://books.google.fr/books?isbn=2865371344 Histoire économique de la Guadeloupe et de la Martinique: du XVIIe siècle à nos jours], Karthala Editions, 1er janvier 1986 - 336 pages, [https://books.google.fr/books?id=bueCrp5hekcC&pg=PA134&lpg=PA134&dq=Congrès+de+Vienne+Déclaration+des+huit+Cours,+relative+%C3%A0+l%27abolition+de+l%27esclavage&source=bl&ots=a9NGMWsVd6&sig=kMUy_7bcRQWEv-7nyHokn6dPSPU&hl=fr&sa=X&ved=2ahUKEwiYvpPE6_veAhUi4YUKHet2AToQ6AEwBHoECAQQAQ#v=onepage&q=Congrès%20de%20Vienne%20Déclaration%20des%20huit%20Cours%2C%20relative%20%C3%A0%20l'abolition%20de%20l'esclavage&f=false Aperçu].Cf. [https://www.google.fr/search?source=hp&ei=tAcBXND6GoKQlwTNx7LIAg&q=Congrès+de+Vienne+Déclaration+des+huit+Cours%2C+relative+%C3%A0+l%27abolition+de+l%27esclavage&btnK=Recherche+Google&oq=Congrès+de+Vienne+Déclaration+des+huit+Cours%2C+relative+%C3%A0+l%27abolition+de+l%27esclavage&gs_l=psy-ab.3...1007.9288..10224...0.0..0.124.1468.9j7......0....1j2..gws-wiz.....0.-H78apAz9Jk Congrès de Vienne Déclaration des huit Cours, relative à l'abolition de l'esclavage]<br />P. Bernissant mentionne que déjà en 1781, dans ses Réflexions sur l'esclavage, le pasteur Schwartz préconi- (9) On sait qu'il aura fallu la vigilance et les pressions répétées, non désintéressées du reste, de l'Angleterre pour que les négriers ...<br />1986 - {{bibliographie|Q59309577}}<br /> ** P. Bernissant.- [https://books.google.fr/books?id=8_wc2WHciWcC Étude sur le régime agricole des Antilles françaises] - Page x, 1916<br /> ** P. Bernissant. Page. — Traité d'Economie politique et de commerce des colonies. Paris, an IX-X, 2 vol. Le Port de la Pointe-à-Pitre (Guadeloupe), par A. Lara, A. Raimond, et R. Wachter. Paris, 1913. {{bibliographie|Q59308377}}<br /> **Raynal. — Histoire philosophique et …<br /> ==== Diplomatie, droit international ==== * 2006 - {{bibliographie|Q59187816}} * [[d:Q62104662|2000]] - {{bibliographie|Q62104662}} <!-- L'événement le plus important de la Révolution : la vente des biens nationaux en France et dans les territoires annexés : 1789-1867 --> == Gabriel Terrail (Mermeix) == {{Autres projets |w=Gabriel Terrail |s=Spécial:Recherche/Gabriel Terrail |commons=Gabriel Terrail }} [[Fichier:Mermeix (atelier Nadar).jpg|100px|vignette|gauche]] * {{Ouvrage | langue = fr | prénom1 = Gabriel | nom1 = Terrail-Mermeix, (1859-1930) | prénom2 = | nom2 = | lien auteur1 = w:Gabriel Terrail | lien auteur2 = | titre = La France socialiste | sous-titre = Notes d'histoire contemporaine | lien titre = s:La France socialiste | numéro d'édition = | éditeur = F. Fetscherin et Chuit | collection = | lien éditeur = | lieu = Paris | année = [[w:1886 en littérature|1886]] | mois = | volume = | tome = | pages totales = 356 | passage = | dnb = 34036057z | isbn = | oclc = 457711700 | doi = | url = | lire en ligne = | consulté le = | présentation en ligne = http://cataloguelabs.bnf.fr/search.do?mots1=ALL;0;0;La+France+socialiste&mots0=ALL;-1;0;Gabriel+Terrail&typoCarto=&typoIcono=&typoAudio=&typoMus=&typoPerio=&langue1=LAN;0&langue0=LAN;-1&&pageRech=rav | commentaire = | id = }} * {{Ouvrage | langue = fr | prénom1 = Gabriel | nom1 = Terrail-Mermeix, (1859-1930) | prénom2 = | nom2 = Laisant | prénom3 = | nom3 = Laguerre | lien auteur1 = w:Gabriel Terrail | lien auteur2 = | lien auteur3 = | titre = Proposition de loi tendant à frapper d’un impôt, au profit de la Caisse nationale des retraites du travail, le total des sommes souscrites en France aux émissions des titres des sociétés particulières et des États étrangers, | sous-titre = | lien titre = | numéro d'édition = | éditeur = Motteroz | collection = | lien éditeur = | lieu = Paris | année = [[w:1890 en littérature|1890]] | mois = Mars | volume = | tome = | pages totales = | passage = Gabriel Terrail connu sous le pseud de Mermeix, autre pseud. Saint Simonin.; France. Chambre des députés (1876-1942) | dnb = 362453848 | isbn = | oclc = 465780401 | doi = | url = | lire en ligne = | consulté le = | présentation en ligne = https://www.worldcat.org/title/proposition-de-loi-tendant-a-frapper-dun-impot-au-profit-de-la-caisse-nationale-des-retraites-du-travail-le-total-des-sommes-souscrites-en-france-aux-emissions-des-titres-des-societes-particulieres-et-des-etats-etrangers-presentee-par-mm-terrail-mermeix-laisant-laguerre-24-mars-1890/oclc/465780401&referer=brief_results WorldCat.org | commentaire = | id = }} == Théorie ancrée == * [[w:Théorie ancrée|Théorie ancrée]] == Adolphe Thiers, 1797-1877 == * [[d:Q5738|Adolphe Thiers]] * [[w:Adolphe Thiers|Adolphe Thiers]] * [[s:Adolphe Thiers|Adolphe Thiers]] * [http://onlinebooks.library.upenn.edu/webbin/book/lookupname?key=Thiers%2c%20Adolphe%2c%201797-1877 Bibliographie Online Books Page]<br />Thiers, Adolphe, 1797-1877: De la properiete-- (Paris : Lheureux et cie., 1868) (page images at HathiTrust<ref> HathiTrust.- [https://www.youtube.com/watch?v=7i_eh-ZBJKg&t=2s Intro to the New Book Viewer]. In July 2021, HathiTrust is releasing a new version of the Book Viewer! Watch this 5-minute video for a tour of the new features and functions.</ref>)<br />Thiers, Adolphe, 1797-1877: De la propiedad / (Madrid : Establecimiento tipográfico de Mellado, 1848), also by Francisco de Paula Mellado, Vicente Vázquez Queipo, and J. Pérez (page images at HathiTrust)<br />Thiers, Adolphe, 1797-1877: De la propreété / par M. A. Thiers. (Belgium : Méline, Cans, 1848) (page images at HathiTrust)<br />Thiers, Adolphe, 1797-1877: De la propriété, (Paris, Paulin, Lheureux et cie, 1868) (page images at HathiTrust)<br />Thiers, Adolphe, 1797-1877: De la propriété, (Paris : Paulin, Lheureux et cie, 1848) (page images at HathiTrust)<br />Thiers, Adolphe, 1797-1877: De la propriété. (Bruxelles : G. Nobile, 1848) (page images at HathiTrust)<br />Thiers, Adolphe, 1797-1877: De la propriété, par M. A. Thiers. (Paris, Paulin. Lheureux et #, 1848) (page images at HathiTrust) == Ibrahima Thioub == * [[d:Q1656025|Ibrahima Thioub]], historien et professeur d'université sénégalais * [[w:Ibrahima Thioub|Ibrahima Thioub]] * Patrick, L'Humanité.- [http://www.humanite.fr/node/396296 Entretien avec Ibrahima Thioub]. Esclavage, Lundi 23 juin, 2008 == To do list == esclavage symbiotique Pierre Rebuffi.- Les édits et ordonnances des roys de France depuis l'an 1226 jusque 1571, 1571 [http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs11873-014-0245-z The historian’s competence tested by authority: On an academic debate of the 18th century] [https://archive.org/details/MmoireDumouriez1Paris Mémoires du général Dumouriez écrits par lui-même, 1794] [http://www.grandpalais.fr/fr/system/files/field_press_file/dp_la_cour_des_stuarts_au_temps_de_louis_xiv.pdf Migration des Huguenots, 1685] [https://archive.org/details/bub_gb_uA0t5k4CrWoC Pierre Dupuy.- Traitez touchant les droits du Roy tres-chrestien sur plusieurs estats et seigneuries possédées par divers princes voisins et pour prouver qu'il tient à juste titre plusieurs provinces contestées par les princes estrangers, (1655)]. [http://www.europeana.eu/portal/en/search?q=Traitez+touchant+les+droits+du+Roy+treschrestien+sur+plusieurs+estats+et+seigneuries+possédées+par+divers+princes+voisins Européana] ; [http://lib.ugent.be/europeana/900000148901 lib.ugent.be] ; [https://books.google.fr/books?id=fVxLAAAAcAAJ Google] [https://books.google.fr/books?id=2eRQAAAAcAAJ&dq=de%20Boulogne%20%2B%20contr%C3%B4leur%20général&hl=fr&pg=PA34#v=onepage&q=de%20Boulogne%20+%20contr%C3%B4leur%20général&f=false de Boulogne + contrôleur général] [https://www.google.fr/search?q=%22b%C3%A2tard%22&tbm=bks&tbs=cdr:1,cd_min:1772,cd_max:1788&lr=lang_fr&gws_rd=cr&ei=xLfjWMrBEIv3aMHSgzg"bâtard"] == François Xavier Tourte == [[w:François Xavier Tourte|François Xavier Tourte]] (1747-1835) est un archetier français. == Toussaint Louverture == {{Citation bloc|Arrivés à Paris ils furent placés à l'Institution Nationale des Colonies, l'ancien Collège de la Marche. ... Es en partirent, sous la conduite de leur Directeur, Monsieur Coesnon, pour retourner à Saint-Domingue avec l'expédition commandée par …|Alfred Nemours.- Histoire de la famille et de la descendance de Toussiant-Louverture, 1941<ref>Alfred Nemours.- [https://books.google.fr/books?id=OipnAAAAMAAJ Histoire de la famille et de la descendance de Toussiant-Louverture] : Avec des documents inédits et les portraits des descendants de Toussaint-Louverture jusqu'à nos jours, Imprimerie de l'État, 1941 - 303 pages</ref>}} {{Citation bloc|Le collège colonial (ancien [[w:Collège de la Marche|collège de la Marche]] qui était alors situé à peu près à l'emplacement de la rue des Écoles où se trouve actuellement la librairie Présence africaine) avait, sous la direction de l'abbé Couesnon, formé plusieurs …|Robert Cornevin.- Haïti, 1982<ref>Robert Cornevin.- [https://books.google.fr/books?id=F04YAAAAYAAJ Haïti, page 106]</ref>}} ;[https://archive.org/details/bub_gb_Xl_c3HEhtyQC/page/n255/mode/2up L'abbé Couesnon accompagne les enfants Toussaint lors de l'expédition Leclerc] et lettre de Napoléon à Toussaint<ref>{{bibliographie|Q87749945}}, 1845</ref>. * Recherche Google Books : [https://www.google.com/search?q=%C3%A0+proclamer+les+grands+services+que+vous+avez+rendus+au+peuple+fran%C3%A7ais.+Si+son+pavillon+flotte+sur+Saint-Domingue,++y%3E+c%E2%80%99est+%C3%A0+vous+et+aux+braves+noirs+qu%27il+le+doit.+Appel%C3%A9++%C2%BB+par+vos+talents+et+la+force+des+circonstances+au+premier+commandement,+vous+avez+d%C3%A9truit+la+guerre+civile&newwindow=1&tbm=bks&ei=zZ5uXqyDAoaWa_TdpNAB&start=0&sa=N&ved=0ahUKEwjsnfD0tp3oAhUGyxoKHfQuCRo4ChDy0wMIeQ à proclamer les grands services que vous avez rendus au peuple français. Si son pavillon flotte sur Saint-Domingue, y> c’est à vous et aux braves noirs qu'il le doit. Appelé » par vos talents et la force des circonstances au premier commandement, vous avez détruit la guerre civile] {{Citation bloc|Mais la partie la plus significative du programme est l'établissement de l'Institution nationale des colonies, dans les locaux de l'ancien Collège de la Marche, sur les flancs de la Montagne SainteGeneviève, à Paris. Cet établissement mixte …|Bernard Gainot.- L'Empire colonial français: De Richelieu à Napoléon, 2015<ref>Bernard Gainot.- [https://books.google.fr/books?id=68i_CQAAQBAJ&lpg=PT119&dq=coll%C3%A8ge%20de%20la%20Marche%20%2B%20coll%C3%A8ge%20colonial%20%2B%20Institut%20national%20des%20Colonies&hl=fr&pg=PT117#v=onepage&f=false L'Empire colonial français: De Richelieu à Napoléon], 2015</ref>.}} == Histoire du travail == "Le travail est une activité humaine manuelle ou intellectuelle exercée en vue d'un résultat utile déterminé. Cela couvre deux situations : une forme de loisir et une forme d'activité professionnelle". <https://fr.wikibooks.org/wiki/Droit_du_travail/Introduction_au_droit_du_travail>. === Bibliographie === 1872 - Frédéric Passy, L'histoire du travail, Paris, H. Bellaire (notice BnF no FRBNF31065152)Voir et modifier les données sur Wikidata == Traites esclavagistes & leurs abolitions == * Commerce des esclaves & Traite des esclaves ** [[w:Commerce des esclaves|Commerce des esclaves]] ** [[w:Commerce des esclaves|Traite des esclaves]] Sur Wikipédia, les deux entrées sont identiques et l'article [[w:Commerce des esclaves|Commerce des esclaves]] est d'une grande pauvreté.<br>Le débat sur la proposition de créer une entrée Wikidata [[d:Topic:Uik5nvr4t1ntj0dx|"Traite des esclaves"]] montre une grande réticence et révèle une des problématques qui consiste à chercher absolument à structurer les datas plutôt que de les rendre discernables, distinguables entre elles, quitte à en perdre le sens. [https://www.wikidata.org/w/index.php?title=Topic:Uik5nvr4t1ntj0dx&topic_showPostId=uikh5ensm8gdlqpu#flow-post-uikh5ensm8gdlqpu Voici une réponse très précise et très intéressante] de [https://artflsrv03.uchicago.edu/images/encyclopedie//V16/ENC_16-532.jpeg l'Encyclopédie] : "TRAITE [page 16:532] [https://artflsrv03.uchicago.edu/philologic4/encyclopedie1117/navigate/16/2657/?byte=5936321 TRAITE TRAITE], s. f. (Marine.) c'est le commerce qui se fait entre des vaisseaux & les habitans de quelque côte. On utiliserait donc le mot "Traite" parce que ce commerce des esclaves relève du monde de la Marine. Ce serait d'une logique implacable ! Et Jaucourt de préciser : "[[s:L’Encyclopédie/1re_édition/TRAITE|Traite des negres, (Commerce d’Afrique.)]] c’est l’achat des negres que font les Européens sur les côtes d’Afrique, pour employer ces malheureux dans leurs colonies en qualité d’esclaves. Cet achat de negres, pour les réduire en esclavage, est un négoce qui viole la religion, la morale, les lois naturelles, & tous les droits de la nature humaine...". Pouvons-nous conclure que la traite est restrictive et le commerce extensif ? "[[d:Q26212503|Dissertation sur la traite et le commerce des nègres]]" cherche à savoir si la Traite des negres, ou Commerce d’Afrique "est un négoce qui viole la religion, la morale, les lois naturelles, & tous les droits de la nature humaine". On voit que le titre de couverture devient vite "Commerce des Nègres". Les auteurs ont-ils idée que la traite bien localisée (les Européens sur les côtes d’Afrique) devient un commerce mondialisé ? Et nous devons aller consulter Raynal ! "Ce qui frappe surtout, c’est ce que l’on pourrait appeler, au risque de l’anachronisme, [https://francearchives.fr/commemo/recueil-2013/39892 l’invention de la mondialisation]. Raynal s’intéresse à ce nouveau phénomène de la « communication » des hommes. Mieux encore, il se fait subtilement le peintre de l’effet de retour de l’expansion européenne sur le vieux continent. Il montre par exemple, anticipant presque les analyses d’Hannah Arendt, comment le poison d’une vision raciste et exploitatrice en outre-mer a miné les valeurs des colons portugais et ruiné, par contagion, l’édifice moral, social et économique du pays". * [[w:Traites négrières|Traites négrières]] * [http://onlinebooks.library.upenn.edu/webbin/book/browse?type=lcsubc&key=Slave%20trade%20--%20Usa&c=x The Online Books Page] * [http://onlinebooks.library.upenn.edu/webbin/book/browse?type=lcsubc&key=Slave%20trade%20%2d%2d%20Cuba&c=x Filed under: Slave trade -- Cuba] === Bibliographie (Traite des esclaves) === * 1764 - {{Bibliographie|Q26212503}} </-- Jean Bellon de Saint-Quentin, Dissertation sur la traite et le commerce des nègres --> * 1788 - {{Bibliographie|Q30000364}} </-- André-Daniel Laffon de Ladebat.- Discours sur la nécessité et les moyens de détruire l'esclavage dans les colonies --> == Traités de paix (1492-1815) == * [[c:Traités de paix (1492-1815)|Traités de paix (1492-1815)]] sur Commons * 1699 - España, France.- Traité de Paix entre la France et l’Espagne fait à [https://books.google.fr/books?id=n5RFAAAAcAAJ&hl=fr&pg=PA1#v=onepage&q&f=false Lille le 3 décembre 1699] * 1748 - Traité de paix entre le Roi, le Roi de la Grande-Bretagne, et les États genéraux des Provinces-unies des Pays-Bas, conclu à Aix-la-Chapelle le 18 octobre 1748 ; avec les accessions du Roi Catholique de la Reine de Hongrie et de Bohême, impératrice, du Roi de Sardaigne, du Duc de Modène et de la République de Gênes, {{BNF|33705660q}} * 1763 - Traité de paix entre le roi, le roi d’Espagne et le roi de la Grande-Bretagne : conclu à Paris le [https://archive.org/details/traitdepaixent00spai 10 février 1763] avec l’accession du roi de Portugal * Owen Aldridge Alfred.- [www.persee.fr/doc/rbph_0035-0818_1961_num_39_3_2374 Le problème de la traduction au {{s|XVIII|e}} et aujourd'hui] In: Revue belge de philologie et d'histoire, tome 39, fasc. 3, 1961. Langues et litteratures modernes - Moderne taal- en letterkunde. pp. 747-758. DOI : 10.3406/rbph.1961.2374 == Treize Colonies == * {{Lien web |langue= fr|auteur= Domisse|titre= Les relations entre Français et habitants des treize colonies d'Amérique entre 1748 et 1763|url= http://www.domisse.fr/www/histoire/ameriques/fr-colonies.html|date= 2021|site= domisse.fr|consulté le= 27 novembre 2021}} == Théâtre (à l'époque de Saint-George) == === Théâtre considéré comme une institution morale === * [[w:Le Théâtre considéré comme une institution morale|Le Théâtre considéré comme une institution morale]] * [Le Théâtre considéré comme une institution morale Le Théâtre considéré comme une institution morale, recherche google] * 8 juin 1793 - Théâtre Du Lycée Des Arts<ref>La Révolte des Nègres, pantomime à ''grand'' spectacle est à l'affiche le 12 janver 1793. André Tissier.- [https://books.google.fr/books?id=saeLdu3k14AC&lpg=PA246&dq=La%20Révolte%20des%20Nègres%20%2B%20%20pantomime%20%C3%A0%20spectacle&hl=fr&pg=PA246#v=onepage&q=La%20Révolte%20des%20Nègres%20+%20%20pantomime%20%C3%A0%20spectacle&f=false Les spectacles à Paris pendant la Révolution: répertoire, Volume 1]</ref>, au Jardin de l'Egalité.<br />— La Révolte des Nègres, pantomime à spectacle<ref>[https://books.google.fr/books?id=DK89AAAAYAAJ&hl=fr&pg=PA588#v=onepage&q&f=false Réimpression de l'Ancien Moniteur, Volume 16].</ref>, précédée du Tableau parlant.<br />Amusements physiques et nouveaux tours d'adresse. Le citoyen Perrin, mécanicien et démonstrateur de physique amusante, fera aujourd'hui, a six heures précises, dans la salle du citoyen Moreau, au palais de l'Egalité, n° 101, quantité de tours nouveaux et surprenants. — Prix des places, 3liv., 2 liv., 30 s. et 20 s. === Travail (Droit du) === * [[w:Chronologie du travail des enfants|Chronologie du travail des enfants]] ==== Droit au travail ==== * 1848 - Alphonse de Lamartine (1790-1869).- [http://www.assemblee-nationale.fr/histoire/7eo.asp Le droit au travail], Assemblée Nationale Séance du jeudi 7 septembre 1848 ==== Durée du temps de travail ==== * 2011 - François Jarrige (Université de Bourgogne) et Bénédicte Reynaud (CNRS).- [http://www.benedicte-reynaud.com/texte/Reynaud_Geneses-2011.pdf La durée du travail, la norme et ses usages en 1848], Bibliographie. ==== Ministère du travail ==== * 1848 - Louis Blanc (1811-1882).- [http://www.assemblee-nationale.fr/histoire/7eo.asp Pour un ministère du droit du travail], Assemblée Nationale Séance du mercredi 10 mai 1848. * [http://travail-emploi.gouv.fr/IMG/pdf/Une_histoire_du_ministere_du_travail.pdf Plaquette sur l’histoire du ministère du Travail] == François Richard de Tussac == https://en.wikipedia.org/wiki/Fran%C3%A7ois_Richard_de_Tussac === Acte de naissance de François Richard de Tussac === [[Fichier:Acte de naissance François Richard Tussac Montmorillon, 28 décembre 1750.xcf|100px|vignette|gauche|Acte de naissance François Richard Tussac Montmorillon, 28 décembre 1750]] [[Fichier:Mariage de François Richard de Tussac.png|100px|vignette|gauche|Acte de Mariage de François Richard de Tussac]] [[Fichier:Affiches du Poitou 14-08-1777 Généalogie de François Richard de Tussac.png|100px|vignette|gauche|Affiches du Poitou 14-08-1777 Généalogie de François Richard de Tussac]] François Richard de Tussac, né le 28 décembre 1750 à [[w:Montmorillon|Montmorillon]] (Vienne, France), décédé à Paris en 1837, séjourna à la Martinique et dans les Antilles et ce pendant prés de 16 ans entre 1786 & 1802. De retour en France, en 1802, il est nommé conservateur du Cabinet d’histoire naturelle à Angers de 1817 à 1822). Il écrit de 1808 à 1827 son célèbre ouvrage de botanique en 4 volumes, faisant pour cette cause de fréquent voyage entre Angers et Paris. François Richard de Tussac a épousé Marie-Louise Haureix le 14 juin 1780 à [[w:Petite-Rivière-de-l'Artibonite|Petite-Rivière-de-L’Artibonite]] à [[w:Saint-Domingue (colonie française)|Saint-Domingue]]<ref>[http://anom.archivesnationales.culture.gouv.fr/caomec2/osd.php?territoire=SAINT-DOMINGUE&commune=PETITE-RIVIERE-DE-L%27ARTIBONITE&annee=1780&typeacte=AC_MA acte de mariage]</ref> dont un dossier à son nom p.159 figure aux Archives nationales à propos de l'indemnisation des colons spoliés. [https://archives-deux-sevres-vienne.fr/ark:/28387/vta93969931a5a34fa3/daogrp/0/layout:table/idsearch:RECH_00b8cbdec6e38b341b1d731583fe77e5#id:168240800?gallery=true&brightness=100.00&contrast=100.00&center=1964.000,-1509.000&zoom=7&rotation=0.000 Acte de naissance de François Richard de Tussac] Présentation du contenu : Montmorillon : à la paroisse Saint-Martial est annexée la paroisse Saint-Martin de Moussac-sur-Gartempe. Cote : collection communale 2600 Documents de substitution : 5 MI 984 Commune : Montmorillon (Vienne, France) Paroisse : Saint-Martial Type de document : naissance, mariage, décès == U == [[Fichier:Aufseeser lettrine U.png|100px|vignette|centre]] === Le u latin === [[Fichier:RomanV-01.svg|100px|vignette|gauche|U romain]] On rencontre {{Référence nécessaire|le [[w:U (lettre)|u latin]] en forme de v — qui ne descend pas de l’alphabet étrusque mais résulte d’une évolution de la lettre v qui vient de la lettre y|date=7 septembre 2015}} — dans l’ouvrage [[s:Page:Antoine Loisiel, Institutes Coustumières, 1607.djvu/9|Antoine Loisiel, Institutes Coustumières, 1607]]. == L'Utopie de Thomas More == === Utopia / L'Utopie : ou le Traité de la meilleure forme de gouvernement === Les [https://fr.wikiversity.org/w/index.php?search=Utopie&title=Spécial%3ARecherche&go=Continuer utopies] sur Wikiversité [http://www3.telus.net/lakowski/Utopbib0.html International Thomas More Bibliography (U)] ; Utopia , Part A : Editions and Translations [http://www3.telus.net/lakowski/Utopbib1.html International Thomas More Bibliography (U)] ; Utopia, Part B: Studies ==== 1765 & 1777 - Edition en latin, imprimée par Querlon ==== {{Citation bloc|Th Mori Utopia denuo re cognovit AGMQ Meusnier de Querlon Londini et Parisiis Barbou 1777 in 12 Un exemplaire de cette édition avec cinq pages de la main de Querlon a été vendu en 1827 Catalogue des livres de M le marquis de Ch Paris Merlin 1827 in 8 p 127. L édition de 1765 plus belle que cette dernière qui la reproduit toutefois sans aucun changement offre une pagination un peu différente car le texte en est moins serré et porte au bas de sa Dédicace à M de Sartine la signature en toutes lettres de A G Meusnïer de Querlon ce qui n a pas lieu dans celle de 1777|Prosper Jean Levot.- Biographie bretonne<ref>Prosper Jean Levot.- [https://books.google.fr/books?id=LLoGAAAAQAAJ Biographie bretonne]</ref>}} ==== 1780 -1789 - Traduction de Thomas Rousseau ==== [[w:1780 en littératureInternational Thomas More Bibliography|1780]] - [[w:1789 en littérature|1789]] * 1780 - {{bibliographie|Q61707206}} <!--Sir Thomas More (Saint), Thomas Rousseau.- Tableau du meilleur gouvernement possible, ou L'Utopie de Thomas Morus --> ** [[d:Q61721896|1789]] - {{bibliographie|Q61721896}} <!-- Sir Thomas More (Saint), Thomas Rousseau.- Du meilleur gouvernement possible, ou, La nouvelle isle d'Utopie, [https://books.google.fr/books?id=5LVLAAAAYAAJ Google livre] --> ==== 1842 - Traduction en français de Victor Stouvenel ==== [[w:1842 en littérature|1842]] * [[d:Q61642300|1842]] - {{bibliographie|Q61642300}}, {{BNF|309761185}}, [https://catalogue.bnf.fr/changerPageAdv.do?mots0=ALL;-1;0;Utopie&mots1=ALL;0;0;Victor%20Stouvenel&mots2=ALL;0;0;Utopia&mots3=&mots4=&facPays=&suppPhys=&faclocs=&facDocs=&facNots=&facSpec=&typoCarto=&typoIcono=&typoAudio=&typoMus=&typoNumis=&typoPerio=&langue0=&langue1=&langue2=&langue3=&langue4=&datepub=&dateCreaSpec=&dateEnregistrement=&typeDatePer=&corpus=&index=&numNotice=&listeAffinages=&nbResultParPage=10&afficheRegroup=false&pageEnCours=1&trouveDansFiltre=&trouverDansActif=false&triResultParPage=5&critereRecherche=&issn=&pageRech=rav 12 notices sur BNF], Sur Wikisource, [[s:L’Utopie|L’Utopie]] <!-- Thomas More (trad. Victor Stouvenel), L’Utopie : L'Utopie de Thomas Morus, Paris, Paulin, (notice BnF no FRBNF309761185) --> * '''1842''' - Thomas More, ‎Stouvenel.- [https://books.google.fr/books?id=YyzndZYaaTYC L'Utopie de Thomas Morus], 1842<br />* … Néanmoins, si cette croyance était une erreur, s'il existait un gouvernement et un culte meilleurs, plus agréables à l'Eternel, ils supplient sa divine bonté de leur faire une révélation à cet égard , se déclarant prêts à…<br />* [https://books.google.fr/books?id=YyzndZYaaTYC Page 210] "Les fils des esclaves ne le sont point; et l'esclave étranger devient libre en touchant la terre d'Utopie. « La servitude tombe particulièrement sur les citoyens coupables de grands crimes , et sur les condamnés à …"<br />* "Voilà ce qui me persuade invinciblement que l’unique moyen de distribuer les biens avec égalité, avec justice, et de constituer le bonheur du genre humain, c’est l’[[s:Page:More - L’Utopie, trad. Stouvenel, 1842.djvu/116|abolition de la propriété]]. Tant que le droit de propriété sera le fondement de l’édifice social, la classe la plus nombreuse et la plus estimable n’aura en partage que disette, tourments et désespoir." ** 2016 - {{bibliographie|Q61719503}} <!--Thomas More, Serge Dereutte (dir.) et Marcelle Bottigelli-Tisserand (dir.) (trad. Victor Stouvenel), L'Utopie--><br />* "[http://www.les-lettres-francaises.fr/2017/05/linvention-dun-mot-et-dun-ideal-lutopie-de-thomas-more-2/ Son « prince » n’en est pas vraiment un] et est plutôt à rapprocher du [[w:Doge de Venise|doge de Venise]]".<br />* "l’on y [http://www.les-lettres-francaises.fr/2017/05/linvention-dun-mot-et-dun-ideal-lutopie-de-thomas-more-2/ débat des guerres princières], des [[w:Enclosure|enclosures]] frappant les paysans britanniques ou de la sévérité croissante de la justice envers les voleurs qui sont souvent des nécessiteux". ==== 1983 ==== * '''1983''' - Thomas More (Saint), ‎Marie Delcourt.- [https://books.google.fr/books?isbn=2600042652Sir L'Utopie ou le Traité de la meilleure forme de gouvernement], 1983<br />BIBLIOGRAPHIE. On trouvera dans la préface l'indication des éditions modernes de l'Utopie ; en note à la première page de… Il est impossible de relever ici tout ce qui a été écrit sur lui et sur l'Utopie.<br />[https://books.google.fr/books?isbn=2600042652 Page 108] … Leurs esclaves ne sont ni des prisonniers de guerre — à moins que des soldats capturés lors d'une guerre où Utopie fut attaquée — ni des enfants d'esclaves, ni aucun de ceux qu'on trouve en … * '''2013''' - Thomas More.- [https://books.google.fr/books?isbn=9791023203806 L’Utopie: édition intégrale], 2013<br />... Les fils des esclaves ne le sont point ; et l'esclave étranger devient libre en touchant la terre d'Utopie. La servitude tombe particulièrement sur les citoyens coupables de grands crimes, et sur les condamnés à… ==== 2016 ==== * '''2016''' - Thomas More.- [https://books.google.fr/books?isbn=2290135917 L’Utopie, 2016<br />Dieu, et des symphonies d'instruments de musique interrompent ces chants par intervalles. … Mais, au contraire, si le culte et le gouvernement de l'Utopie sont les plus parfaits, alors ils demandent à Dieu qu'il leur accorde la…<br />"Voilà ce qui me persuade invinciblement que l'unique moyen de distribuer les biens avec égalité, avec justice, et de constituer le bonheur du genre humain, c'est l'[https://books.google.fr/books?isbn=2290135917 abolition de la propriété]. Tant que le droit de propriété sera le fondement de…" * '''2018''' - ‎Thomas More.- [https://books.google.fr/books?isbn=1635372569 L’Utopie (illustré)], 2018,<br />… partie d'autres formes que celles que nous voyons chez nous. La plupart sont plus harmonieux que les … Mais, au contraire, si le culte et le gouvernement de l'Utopie sont les plus parfaits, alors ils demandent à Dieu qu'il leur… ==== Bibliographie "Dystopie / Esclavage" ==== * 1725 - {{bibliographie|Q27334208}} * 1961 - {{bibliographie|Q61780632}} <!-- Marguerite Leblanc, De Thomas More à Chaptal --> * 2015 - Sarah Bocelli.- [http://www.madmoizelle.com/dystopie-litterature-selection-340315 Les dystopies dans la littérature], 3 avril 2015 == Túpac Amaru II (José Gabriel Condorcanqui Noguera, marquis d’Oropesa) == [[Fichier:TupacAmaruII.jpg|100px|vignette|gauche|Túpac Amaru II]] * [[w:Túpac Amaru II|José Gabriel Condorcanqui Noguera, marquis d’Oropesa]] [[w:Túpac Amaru II|José Gabriel Condorcanqui Noguera, marquis d’Oropesa]], ou ''José Gabriel Túpac Amaru'', né le {{Date de naissance|19|mars|1738}} 19 mars 1738 à Surimana dans la [[w:Province de Canas|Province de Canas]], [[w:vice-royauté du Pérou]], décédé à [[w:Cuzco]], le {{Date de décès|18|mai|1781}} 18 mai 1781, fut un [[w:Cacique (chef)|cacique]] indien. Il dirigea en 1780 la tête d'un [[w:Révolte de Túpac Amaru II|mouvement d'opposition à la colonisation]] [[w:Espagne|espagnole]] au Pérou (from November 1780 to March 1781). * 6 avril 1781 - Túpac Amaru et son épouse, Micaela Bastidas sont capturés à Tinta puis emmenés à Cusco pour. (In 1781 he was finally defeated and executed along with his family, in a cruel and sadistic manner, as decreed by Judge Benito...) ; (Tupac Amaru II” in 1780. José Gabriel Condorcanqui Noguera (1738–1781), despite his mestizo origin and prosperous business as a muleteer, claimed descent from an Inca (i.e., king). He had acquired an education and became incensed) ; ([https://books.google.com/books?isbn=2366020295 Chronique de l'humanité - Page 4021], Éditions Chronique - 2013 - ‎Aperçu "1781. À. 1782. Tupac. Amaru. II. soulève. les. Indiens. Cuzco, 18 mai 1781 L'Indien rebelle Tupac Amaru II vient de périr dans d'horribles souffrances après avoir assisté à l'exécution de sa femme et de ses fils sur la place centrale de Cuzco".) ;Bibliographie (Túpac Amaru II, José Gabriel Condorcanqui Noguera, marquis d’Oropesa) * 1756.- Prévost.-[https://books.google.fr/books?id=wGJp2fpRIwoC Histoire générale des voyages, ou nouvelle collection de toutes les ...]<ref>1836-1839 - [https://books.google.fr/books?id=wGJp2fpRIwoC&dq=marquis%20d'oropesa%20%2B%20Pérou&hl=fr&pg=PA521#v=onepage&q=marquis%20d'oropesa%20+%20Pérou&f=false ‎Lire le début de l’histoire de Túpac Amaru II, marquis d’Oropesa]</ref>. {{Citation bloc|C'est du frère aîné de ce prince , Sayri-Tupac , que descend , par les femmes, la famille des marquis d'Oropesa, ... fit épouser un gentilhomme de sa cour, et lui donna plus tard le titre de marquise d'Oropesa , du nom d'une ville du haut Pérou.|1836, 1839<ref>* 1836 - [https://books.google.fr/books?id=CA9fAAAAcAAJ A-Ari] - Volume 1 - Page 405<br />* 1836 - P. Leroux.- [https://books.google.fr/books?id=IVu4zVoyVIAC Encyclopédie nouvelle ou dictionnaire phylosophique, scientifique], 1836<br />* 1839 - P. Leroux, ‎J. Reynaud.- [https://books.google.fr/books?id=Ti1GAAAAcAAJ Encyclopédie nouvelle: dictionnaire philosophique, scientifique], 1839</ref>}} {{Citation bloc|2014 - En 1614, le marquis d'Oropesa, corregidor de Cuzco, nomme comme teniente chargé de l'aider dans sa tâche, le hacendado Luis de Santayo. Comme on peut s'y attendre, celui-ci abuse de sa charge pour faire travailler, sous prétexte de...|Jean Piel.- Capitalisme agraire au Pérou<ref>Jean Piel.- [https://books.google.fr/books?isbn=2821845235 Capitalisme agraire au Pérou]. Premier volume, Originalité de la..., 2014 (début de l'histoire)</ref>}} == V == [[Fichier:Luca Pacioli, De divina proportione, Letter V.jpg|100px|vignette|centré]] === Pieter Verheyen === [[w:Pieter Verheyen|Pieter Verheyen]] né à Gand aux Pays-Bas autrichiens le 15 janvier 17471 et mort dans cette ville le 11 janvier 1819, est un compositeur, un organiste et un chanteur. === Vêtement, style vestimentaire & mode === [[Fichier:15th century French banqueting.jpg|100px|vignette|gauche]] * 1877 - Jules-Etienne Quicherat, [https://archive.org/details/histoireducostum00quic Histoire du costume en France depuis les temps les plus reculés jusqu’à la fin du {{s|XVIII|e}}], Paris, Hachette, 2e édition, 1877. * 2007 - Michel Pastoureau, L’étoffe du Diable : une histoire des rayures et des tissus rayés, Paris, Seuil, 2007. * 2016 - Annabelle Marin.- La deshonnesteté des habits, [https://actuelmoyenage.wordpress.com/2016/01/14/la-deshonnestete-des-habits/ Actuelmoyenage.wordpress.com], 4 janvier 2016. == Elisabeth Louise Vigée Le Brun == [[Fichier:Self-portrait with Her Daughter by Elisabeth-Louise Vigée Le Brun.jpg|100px|vignette|gauche|Mère & Fille]] [[Fichier:MA-Lebrun.jpg|100px|vignette|gauche|Marie Antoinette en gaule, 1783]] === Les jardins du Palais Royal après l'Opéra === {{Citation bloc|L’Opéra était alors tout à côté ; il tenait au Palais. Dans les jours d'été, ce spectacle finissait à huit heures et demie, et toutes les personnes élégantes sortaient même avant la fin , pour se promener dans le jardin. Il était de mode alors que les femmes portassent de fort gros bouquets, ce qui joint aux poudres odoriférantes dont chacun parfumait ses cheveux, embaumait véritablement l’air que l’on respirait. Plus tard, mais pourtant avant la révolution, j’ai vu ces soirées se prolonger jusqu'à deux heures du matin; on y faisait de la musique au clair de lune, en plein air. Des artistes, des amateurs, entre autres Garât et Alsevédo, y chantaient. On y jouait de la harpe et de la guitare ; le fameux Saint-Georges<ref>Le chevalier de Saint-Georges, mulâtre, né à la Guadeloupe en 1745 et mort en 1799. Il était fils d’une femme de couleur et de M. de Boulogne, qui devint fermier général</ref> y jouait aussi souvent du violon : la foule s’y portait.|[[w:Elisabeth Louise Vigée Le Brun|Elisabeth, Louise Vigée Le Brun]] (1755-1842).- {{bibliographie|Q110185719}}, {{Gallica|id=bpt6k208330j|f=33|pp=25}}, 1835<ref>Souvenirs de Madame Vigée Le Brun, Lettre II, page 19, Charpentier, Paris, 1869</ref>.}} * [https://archive.org/stream/souvenirsdemadam01vig#page/18/mode/2up/search/Georges le fameux Saint-Georges y jouait aussi souvent du violon] * Elisabeth Vigée-Lebrun.- [http://www.thefashionhistorian.com/2012/03/chemise-la-reine.html La reine en gaule], 1783. See at the National Gallery in Washington DC. * Perrine Kervran.- Une vie, une oeuvre : [http://www.franceculture.fr/emission-une-vie-une-oeuvre-elisabeth-louise-vigee-le-brun-1755-1842-2015-11-07 Elisabeth, Louise Vigée Le Brun (1755-1842)], franceculture.fr, 07.11.2015 - 16:00. == Villers-Cotterêts == == Voltaire == [[Fichier:William Quiller Orchardson - Voltaire (1883).jpg|100px|vignette|gauche|William Quiller Orchardson.- Voltaire ]] [[w:Voltaire|François-Marie Arouet, dit Voltaire]], (Paris, 21 novembre 1694 à - 30 mai 1778). Campagne de Voltaire et de l'avocat Christin contre le servage exercé par le chapitre jurassien de Saint-Claude === Voltaire, les prolétaires dans les texte === Nous examinons ici les différents statuts sous lesquels se présentent le [[w:prolétaire|prolétaire]] à l'époque de Voltaire : [[w:domestique|domestique]], [[w:esclave|esclave]], [[w:mainmortable|mainmortable]], [[w:paysannat|paysannat]], [[w:serf|serf]], ==== Voltaire, l’esclave dans le texte ==== Voltaire, Jean-Antoine-Nicolas de Caritat marquis de Condorcet.- Œuvres complètes de Voltaire: avec des notes et une notice historique sur la vie de Voltaire, Volume 7 Chez Furne, 1835, https://books.google.com/books?id=hDIaAAAAYAAJ, {{google|hDIaAAAAYAAJ}} :[https://books.google.fr/books?id=hDIaAAAAYAAJ&dq=Voltaire%20%2B%20esclavage%20des%20moines&hl=fr&pg=PA264#v=onepage&q=esclavage&f=false Page 264] - ''"Il en est un plus funeste encore, c’est celui d’avoir permis aux bénédictins, aux bernardins, aux chartreux même, d’avoir des mainmortables, des esclaves. On distingue sous leur domination, dans plusieurs provinces de France et en Allemagne : * Esclavage de la personne, * Esclavage des biens, * Esclavage de la personne et des biens"''. * Voltaire, [https://books.google.fr/books?id=NRNvjjYauOsC&lpg=PA1310&dq=Martin%20Luther%20%2B%20esclavage%20des%20anabaptiste&hl=fr&pg=PA1310#v=onepage&q=Martin%20Luther%20+%20esclavage%20des%20anabaptiste&f=false Esclavage des moines] in Voltaire, André Versaille (Rédacteur).- Dictionnaire de la pensée de Voltaire par lui-même, Éditions Complexe, 1320 pages, 1994, {{ISBN|2870275307}}, {{ISBN|9782870275306}}. * [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6546305g/f106.item.r=esclave "esclave"] dans [[d/Q27530753|Candide, 1759]] * Christin depuis lors dépulé à l Assemblée constituante par électeurs de Saint Claude où il était né en 1744 publia en 1772 à Neufchâtel Dissertation sur les origines de l abbaye de Saint Claude et sur les droits des habitants du pays puis la même année la Collection des mémoires présentés au Conseil du Roi par les habitants du Jura et par le Chapitre avec l arrêt rendu. * L'avocat Christin , 1741-1799, un collaborateur de Voltaire, des Lumières à la Révolution [Texte imprimé] : de la lutte contre la mainmorte à la défense des libertés de 1789 / par Roger Bergeret et Jean Maurel, {{Bnf|389118491}} * Voltaire-Christin et la mainmorte en Haut-Jura [Texte imprimé] / André Vuillermoz et Patrick Simon {{Bnf|37542006k}} <nowiki>{{Bnf|}}</nowiki> <poem> p.178 Le Roi Nadab fils de Jéroboam, fut tué par Baza, le Roi Ela par Zambri, Okofias par Jehu, Attalia par Joiada les Rois Joakim, Jéconias, Sédécias furent esclaves p.48 Je ne vous dirai point combien il est dur pour une jeune Princesse d'être menée esclave à Maroc avec sa mère Vous concevez assez tout ce que nous eumes à souffrir dans le vaisseau Corsaire, Ma mère était encor très belle p.152 je fuis esclave, mon Maître m'attend, il faut que j'aille le servir à table(...)Candide partagé entre la joie & la douleur, charmé d'avoir revû son agent fidéle, étonné de le voir esclave, plein de l'idée de retrouver sa maîtresse, le cœur agité , l'esprit bouleversé , se mit à table avec Martin, qui voyait de fang froid toutes ces avantures, & avec six étrangers qui étaient venus passer le Carnaval à Venise p.159 Cunégonde & la Vieille fervent chez ce Prince dont je vous ai parlé, & moi je fuis esclave du Sultan détrôné p.98 tu as l'honneur d'être esclave de nos Seigneurs les Blancs, & tu fais par là la fortune de ton père & de ta mère p.158 elle est esclave dans la maison d'un ancien Souverain p.53 Quand les premiers ravages de cette épouvantable peste furent passés, on vendit les esclaves du Dey p.67 i Le Commandant fit retirer les esclaves Nègres & les Paraguains qui servaient à boire dans des gobelets de crifal de roche </poem> ==== Résultats de recherche ==== * [[d:Q27530753|"sucre"dans "Candide", 1759]] <poem> [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6546305g/f92.item.r=sucre p.84] ''Les garçons & les filles de l'hôtellerie versaient plutieurs liqueurs faites de canne de sucre'' [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6546305g/f106.item.r=sucre p.98] ''C'est à ce prix que vous mangez du sucre en Europe''<ref>[[s:Candide, ou l’Optimisme/Garnier 1877/Chapitre 19|Candide, ou l’Optimisme/Garnier 1877/Chapitre 19]], Wikisource, {{bibliographie|Q27534709}}, p. 180.</ref>, </poem> * [[d:Q15989296|"sucre"dans [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k411337x/f3.item.r=sucre.zoom "Oeuvres complètes de Voltaire". T. 21, 1879]]] <poem> p.304 Le P. Tout-à-tous eut des boites de chocolat, de café, de sucre candi, de citrons confits, avec les Méditations du révérend P. Croiset, et la Fleur des saints', reliées en maroquin p.526 Il fut destiné à être brûlé le dimanche suivant en cérémonie, orné d'un grand san-benito et d'un bonnet en pain de sucre, en l'honneur de notre Sauveur et de la vierge Marie sa mère p.452 il a sur la tête, les jours de cérémonie, un pain de sucre fendu en deux p.437 Ces Occidentaux habitent un pays pauvre qui ne leur produit que très-peu de soie, point de coton, point de sucre, nulle épicerie p.347 Celui-ci présenta requête pour être pendu: il alléguait qu'il haïssait mortellement le travail, et qu'il aimait mieux être étranglé une minute que de faire du sucre toute sa vie p.180 C'est à ce prix que vous mangez du sucre en Europe p.174 Les garçons et les filles de l'hôtellerie versaient plusieurs liqueurs faites de cannes de sucre p.177 En attendant, on leur fit voir, la ville, les édifices publics élevés jusqu'aux nues, les marchés ornés de mille colonnes, les fontaines d'eau pure, les fontaines d'eau rose, celles de liqueurs de cannes de sucre qui coulaient continuellement dans de grandes places pavées d'une espèce de pierreries qui répandaient une odeur semblable à celle du girofle et de la cannelle </poem> === Voltaire, la propriété dans le texte === === Voltaire, Bibliographie === ==== Candide, ou l’Optimisme ==== * 1759 - {{bibliographie|Q27530753}} * 1877 - {{bibliographie|Q27534709}} * [http://www.berlol.net/fac/2013/11/14/cours-sur-candide-de-voltaire/ Cours sur « Candide » de Voltaire] === Bibliothèque === * 2006 - {{bibliographie|Q60180159}} <!-- Xavier Martin, Voltaire méconnu : aspects cachés de l'humanisme des Lumières --> == W == Cf. [[Utilisateur:Ambre Troizat/Réflexions à propos des traites & esclavages#1847-1879-2004 - Henri-Alexandre Wallon, Histoire de l'esclavage dans l'antiquité]] ==== Histoire du Tribunal révolutionnaire de Paris avec le Journal de ses actes, Volume premier ==== * 1880 - {{Bibliographie|Q26205619}} * Collection [https://archive.org/search.php?query=Histoire%20du%20Tribunal%20révolutionnaire%20de%20Paris%20avec%20le%20Journal%20de%20ses%20actes Histoire du Tribunal révolutionnaire de Paris avec le Journal de ses actes] sur Internet Archive. == Mary Wollstonecraft == * 1792 - {{bibliographie|Q28745941}}, avec une [https://archive.org/stream/AVindicationOfTheRightsOfWoman/A_Vindication_of_the_Rights_of_Woman#page/n19/mode/2up lettre] à [[w:Charles-Maurice de Talleyrand-Périgord|Monsieur Talleyrand Perigord]] == X == [[Fichier:Luca Pacioli, De divina proportione, Letter X.jpg|100px|vignette|centré]] == Y == [[Fichier:Luca Pacioli, De divina proportione, Letter Y.jpg|100px|vignette|centré]] == Z == [[Fichier:King James Bible (1611) page A3v (Z).xcf|100px|vignette|centré]] === Zamor, nègre de Madame Dubarry === Zamor (ou [[w:Zamor|Louis-Benoît]]) serait arrivé vers 1773 en France, époque où il devient le serviteur de [[w:Madame du Barry|Madame du Barry]]. <gallery> Fichier:Madame du Barry and the Page Zamore by Gauthier-Dagoty.jpg|D'après Jean-Baptiste André Gautier-Dagoty (1740–1786) .- [http://collections.chateauversailles.fr/#ab243dcd-e628-45e8-86ad-82af2cd1eaec Zamor enfant avec Madame du Barry] File:Jean-Michel Moreau - Banquet Given in the Presence of the King - WGA16206.jpg|Fête donné à Louveciennes, le 2 septembre 1771, <nowiki>[http://arts-graphiques.louvre.fr/detail/oeuvres/1/209224-Fete-donnee-a-Louveciennes-le-2-Septembre-1771]</nowiki> File:Grétry Zémire et Azor Partitur Widmung Madame Du Barry 1772.jpg| Oeuvre VIIe. [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k1165204z/f3.item Zemire et Azor comédie-ballet en vers et en quatre actes représentée devant sa Majesté à Fontainebleau le 9 novembre 1771]. File:J.M. Moreau - Souper donné à Louveciennes.jpg|J.M. Moreau - Souper donné à Louveciennes. [[w:Jean-Michel Moreau|Jean-Michel Moreau]] est l'auteur de [[c:File:Esclaves conduits par des marchands.JPG|Esclaves conduits par des marchands]] File:Zamor portrait by Lemoine.jpg|[[w:Marie-Victoire Lemoine|Marie-Victoire Lemoine (1754–1820)]]- [http://www.cummermuseum.org/visit/art/permanent-collection/portrait-youth-embroidered-vest Portrait supposé de Zamor, 1785]. </gallery> Jean-Benoit ZAMOR, le traître de la Du Barry sur Youtube, watch?v=gRKmmOvavzY. == Joseph Antoine Zorn de Bulach == Joseph-Antoine, baron Zorn de Bulach, [https://www.cnrtl.fr/definition/capitulaire capitulaire] de l'ordre de Saint-Georges, Buste, face, Image fixe, {{BNF|41919868c}} Zorn de Bulach, Joseph Antoine (1736-1817), ''issu d'une ancienne famille alsacienne, officier sous la monarchie, il n'a pas émigré durant la …'' La Revue musicale - Numéros 127 à 131 - Page 89, 1932 : "''Or, parmi les seigneurs qui accompagnaient le prince, nous trouvons le baron Zorn de Bulach, dont le journal a été publié ... Son fils Antoine (1738-1794) lorsqu'il devint grand-maître des cérémonies et préfet de Sopron, donna, à l'occasion de son ... On y présenta l'opéra de Joseph Weigl : Vénus et Adonis (1) Carl KREBs …''" === L'Ambassade Du Prince Louis de Rohan à la Cour de Vienne === Anton Joseph Zorn Von Bulach.- L'Ambassade du prince Louis de Rohan à la cour de Vienne, 1771-1774. Notes écrites par un gentilhomme, officier supérieur attaché au prince Louis de Rohan, ambassadeur du roi [, Antoine-Joseph Zorn de Bulach], et publiées par son arrière-petit-fils le baron Zorn de Bulach "'', 2018, This book is a reproduction of an important historical work''". <nowiki><https://archive.org/details/lambassadedupri00bulagoog></nowiki> Jacques Bariéty.- Les relations franco-allemandes après la première guerre ... - Page 18, 1977, "''Sur le fonds de tableau du « malaise alsacien », une personnalité alsacienne, le baron Claus Zorn de Bulach, fonde au printemps 1922 une nouvelle organisation, le « parti alsacien » et tient une première réunion à Strasbourg, à la Maison …''" == Esclavage & littérature sous la monarchie de Juillet == === 1840 - 2001 - Roger de Beauvoir.- Le chevalier de Saint-Georges === * 1807-1866 - [[w:Roger de Beauvoir|Roger de Beauvoir]] : une œuvre romanesque & théâtrale du XIXe siècle ==== Roger de Beauvoir.- Le chevalier de Saint-Georges (théâtre) ===== {| class="wikitable" |+ Texte de la légende |- ! Anglais !! Français |- | The Femmes Savantes was followed by the Chevalier de St Georges a piece of startling interest which James Wallack made popular in an English dress at the Princess's Theatre. Lafont in the Chevalier was in imitable. His earnest scenes and his comic ones were equally admirable. M Rhozevil in the Baron acted with great power Malle Martelleur in Madame Présle had for the first time an opportunity of displaying her full powers to an English audience In impassioned dialogue this charming artist may vie with any of the leading. French comedians and there is a delicacy and refinement about her quiet scenes a playful humour and a fund of gentle irony that few modern actresses possess and that render her impersonations as agreeable as they are natural and true In the first scene where she narrates the history of the Chevalier St Georges in the scene at her own house where she endeavours to find out the secret of his heart in the music scene and above all in the scene where she comes alone to his house to persuade him to abandon the duel with his unknown brother. Malle Martelleur evinced the powers of a great artist and won the spontaneous and hearty applause of the audience. Much may be said in com of the perfect manner in which she dresses her characters an accomplishment by no means to be despised in these days. In the Femme de quarante ans which is announced for Friday night we shall expect from Malle Martelleur a development of her distinguished abilities The house was crowded with the aristocracy and the élite of the beau monde Everything indicates a prosperous season for Mr Mitchell || Les Femmes savantes sont suivies par le chevalier de St Georges, pièce d’un intérêt saisissant que James Wallack rend populaire dans une robe anglaise au Princess Theatre. Lafont dans le Chevalier était imitable. Ses scènes sérieuses et ses comiques étaient tout aussi admirables. M Rhozevil dans le Baron a joué avec beaucoup de puissance Malle Martelleur dans Madame Présle a eu pour la première fois l’occasion de montrer ses pleins pouvoirs à un public anglais Dans le dialogue passionné cette charmante artiste peut rivaliser avec l’un des principaux Comédiens français et il y a une délicatesse et raffinement sur ses scènes tranquilles un humour ludique et un fonds d’ironie douce que peu d’actrices modernes possèdent et qui rendent ses imitations aussi agréables qu’elles sont naturelles et vraies Dans la première scène où elle raconte l’histoire du chevalier St Georges dans la scène de sa propre maison où elle s’efforce de découvrir le secret de son cœur dans la scène musicale et surtout dans la scène où elle vient seule chez lui pour le persuader d’abandonner le duel avec son frère inconnu. Malle Martelleur a montré les pouvoirs d’un grand artiste et a gagné les applaudissements spontanés et chaleureux du public. Beaucoup peut être dit en com de la manière parfaite dans laquelle elle habille ses personnages un accomplissement par aucun moyen d’être méprisé en ces jours. |- |[https://books.google.fr/books?id=dfksAAAAYAAJ&pg=PA605#v=onepage&f=false The Musical World, Volume 20, page 605] || Traduction en français (Reverso) |} == Bibliographie à traiter == * [https://www.google.com/search?tbm=bks&q=N%C3%A8gre Nègre] === Roederer, Pierre-Louis (1754-1835) === * Roederer, Pierre-Louis (1754-1835), {{BNF|31233783n}} === Albert Mathiez === La réaction thermidorienne ([Reprod. en fac-sim.]) / Albert Mathiez, {{BNF|34697869p}} === Joseph Lequinio (Q3185250) === * [[d:Q3185250|Joseph Lequinio (Q3185250)]] * [https://data.bnf.fr/fr/documents-by-rdt/11912556/te/page1 Joseph-Marie Lequinio (1755-1812) - Œuvres textuelles de cet auteur] * Les préjugés détruits : chapitre XIV, des femmes ([Reprod.]) / par J. M. Lequinio, {{BNF|37236508w}} * Les préjugés détruits, chapitre XV, Des bâtards ([Reprod.]) / par J. M. Lequinio, {{BNF|7236742m}} * Voir dans [https://www.google.fr/books/edition/Joseph_de_Maistre/kiDaH4ll41oC Joseph de Maistre, 2005] * VALIN, Claudy. Lequinio : La loi et le Salut public. Nouvelle édition [en ligne]. Rennes : Presses universitaires de Rennes, 2014 (généré le 17 février 2023). Disponible sur Internet : <http://books.openedition.org/pur/50629>. ISBN : 9782753559615. DOI : https://doi.org/10.4000/books.pur.50629. * 1793 + Joseph-Marie Lequinio + A tout militaire français de quelque grade qu'il soit : Proclamation datée de Valenciennes, 4 avril 1793. Trouvé dans Arthur Chuquet.- [https://www.google.fr/books/edition/La_trahison_de_Dumouriez/scoJAAAAIAAJ La trahison de Dumouriez], [https://archive.org/details/latrahisondedum00chuqgoog upload sur Wikisource]. === Le Radoteur (Philadelphie), Courrier politique de la France et de ses colonies === * Le Radoteur (Philadelphie) {{BNF|456280027}}, [https://catalogue.bnf.fr/rechercher.do?index=TOUS3&numNotice=45628002&typeNotice=S Voir toutes les notices liées], [https://data.bnf.fr/fr/45628002/le_radoteur__philadelphie_/ Data.bnf] === Soixante-onze députés détenus === ==== Bibliographie de l'histoire de Paris pendant la Révolution Française ==== * [https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb370649183Bibliographie de l'histoire de Paris pendant la Révolution Française] * [https://www.google.fr/books/edition/Bibliographie_de_l_histoire_de_Paris_pen/gLpone_kXCcC?hl=fr&gbpv=1&dq=soixante-onze+d%C3%A9put%C3%A9s+d%C3%A9tenus&pg=PA366&printsec=frontcover Maurice Tourneux.- Bibliographie de l'histoire de Paris pendant la Révolution Française, Volume 1, 1890] * [https://www.google.fr/books/edition/Bibliographie_de_l_histoire_de_Paris_pen/gLpone_kXCcC?hl=fr&gbpv=1&dq=soixante-onze+d%C3%A9put%C3%A9s+d%C3%A9tenus&pg=PA366&printsec=frontcover 5 Journées du 10 mars du 31 mai des 1er et 2 juin 1793 Arrestation et Mise hors la loi des Girondins Leur Procès et leur Exécution Expulsion et Retour des 171 députés proscrits] * Soixante-onze députés détenus : [https://www.google.fr/books/edition/Bibliographie_de_l_histoire_de_Paris_pen/gLpone_kXCcC?hl=fr&gbpv=1&dq=soixante-onze+d%C3%A9put%C3%A9s+d%C3%A9tenus&pg=PA366&printsec=frontcover 17 brumaire an III - 7 novembre 1791 Slnd in 8 1f et 28 p IV Lb 1437] === Histoire de France, depuis la fin du règne de Louis XVI jusqu'à l'année 1825 === * 1827 - Guillaume-Honoré Roques, Histoire de France, depuis la fin du règne de Louis XVI jusqu'à l'année 1825, oeuvre littéraire * Voir l'ensemble des publications : (notice BnF no FRBNF30971294b) ; <Internet Archive> * 1827 - Guillaume-Honoré Roques et Guillaume Lallement (dir.), Histoire de France, depuis la fin du règne de Louis XVI jusqu'à l'année 1825 : précédée d'un discours préliminaire et d'une introduction historique sur la monarchie française et les causes qui ont amené la Révolution, Tome 1, Paris, Nicolas Moutardier (notice BnF no FRBNF30971294, lire en ligne)Voir et modifier les données sur Wikidata, Tome premier/9 * Histoire de France, depuis la fin du règne de Louis XVI jusqu'à l'année 1825, précédée d'un discours préliminaire et d'une introduction historique sur la monarchie française et les causes qui ont amenée la Révolution. 5 === Réimpression de L'ancien moniteur === * [https://www.google.fr/books/edition/R%C3%A9impression_de_L_ancien_moniteur_seule/ut0yyvEFVG8C?hl=fr&gbpv=1&dq=Le+moniteur+universel+%2B+proc%C3%A8s+%2B+Saint-George+%2B+Dumouriez&pg=PA473&printsec=frontcover Réimpression de L'ancien moniteur, Volume 16], seule histoire authentique et inaltérée de la révolution française depuis la réunion des Etats-généraux jusqu'au consulat (mai 1789-novembre 1799) édition ornée de vignettes, reproduction des gravures du temps Convention nationale, 1860 ===18 février 2023 === * [https://www.google.fr/books/edition/Deuxi%C3%A8me_registre_du_livre_d_or_de_la_n/a8luUIW-UggC?hl=fr&gbpv=0 Deuxième registre du livre d'or de la noblesse de France, 1845 * Recherche : Joseph + George + Pierre Renault + des Roncins + Controlleur Ordinaire de nos guerres * [https://www.google.fr/books/edition/Abr%C3%A9g%C3%A9_chronologique_d_%C3%A9dits/YR6CX8awrHcC?hl=fr&gbpv=0 Abrégé chronologique d'édits Par Louis Nicolas Henri Chérin · 1788] * [https://www.google.fr/books/edition/Histoire_de_Notre_Dame_de_Boulogne_et_de/VmDALLgEh9gC Histoire de Notre-Dame de Boulogne et de son pèlerinage] Par François A. Lefebvre · 1894 * Recherche : Ancien régime + Loi relative au rétablissement de la libre circulation des personnes et des choses dans l'empire * [https://www.google.fr/books/edition/Loi_relative_au_rétablissement_de_la_li/pMG8jX3WzQ8C Loi relative au rétablissement de la libre circulation des personnes et des choses dans l'empire du 8 septembre 1792, l'an 4e de la liberté, 1792] === 14 février 2023 === * Elisabeth (Princess of France), Félix Feuillet de Conches.- <nowiki>[https://www.google.fr/books/edition/Correspondance_de_Madame_%C3%89lisabeth_de_F/KakfAAAAMAAJ?hl=fr&gbpv=0 Correspondance de Madame Élisabeth de France, soeur de Louis XVI]</nowiki>, 1868 ===18 février 2023 === * [https://www.google.fr/books/edition/Deuxi%C3%A8me_registre_du_livre_d_or_de_la_n/a8luUIW-UggC?hl=fr&gbpv=0 Deuxième registre du livre d'or de la noblesse de France, 1845 * Recherche : Joseph + George + Pierre Renault + des Roncins + Controlleur Ordinaire de nos guerres === 13 février 2023 === * [https://www.google.fr/books/edition/Proclamation_du_roi/AsEsgkEgx_QC?hl=fr&gbpv=1&dq=10+juillet+1790+%2B+Feuilles+de+Flandre+%2B+lille+%2B+salle+de+la+Redoute+%2B+jeudi+8+juillet+%2B+Saint-Georges&printsec=frontcover Proclamation du roi Louis, XVIII, 1820] * Amé François Joseph Bozière.- [https://www.google.fr/books/edition/Armorial_de_Tournai_et_du_Tournaisis/r1YBAAAAQAAJ Armorial de Tournai et du Tournaisis, 1859 * [https://journals.openedition.org/lrf/786 Vignette du Comité des inspecteurs de la Salle, sans date, BNF.] * [https://www.google.fr/books/edition/La_Contre_Révolution_1789_1804/UnF6DwAAQBAJ Jacques Godechot.- La Contre-Révolution (1789-1804), 1984], [https://catalogue.bnf.fr/rechercher.do?motRecherche=La+Contre-R%C3%A9volution+%281789-1804%29&critereRecherche=0&depart=0&facetteModifiee=ok BNF] * [https://catalogue.bnf.fr/rechercher.do?index=TOUS3&numNotice=37334117&typeNotice=E La Révolution française et l'abolition de l'esclavage], [https://www.google.fr/books/edition/La_R%C3%A9volution_fran%C3%A7aise_et_l_abolition/L59CAQAAIAAJ?hl=fr&gbpv=0&bsq=%22hommes%20de%20couleur%20libres%22 sur Google] * [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9334m/f11.item La Révolution française et l'abolition de l'esclavage ; 10-11. La révolte des Noirs et des Créoles. 10.1 Cugoano, Ottobah (1757-1803)] * Galerie de la presse, de la littérature et des beaux-arts, Partie 3, 1841, [https://www.google.fr/books/edition/Galerie_de_la_presse_de_la_litt%C3%A9rature/GkJGAQAAIAAJ?hl=fr&gbpv=1&dq=Chevalier+de+Saint-Georges+%2B+Les+Liaisons+dangereuses&pg=PP111&printsec=frontcover Chevalier de Saint-Georges + Les Liaisons dangereuses] * Memoires des commissaires de sa majesté très-chretienne et de ceux de sa majesté brittanique, [https://www.google.fr/books/edition/Memoires_des_commissaires_de_sa_majest%C3%A9/D2ZeAAAAcAAJ?hl=fr&gbpv=0 sur les possessions [...] des deux couronnes en Amerique, Volume 2, 1755] * La Législation Civile de la Révolution Française ... ==== Chevalier, 2022 ==== [[w:Chevalier (film, 2022)|Chevalier (film, 2022)]] <nowiki>[https://ifsuede.com/decouvrez-laria-son-amour-du-chevalier-de-saint-george-interpretee-par-charlotta-huldt/ Aria “Son Amour” du Chevalier de Saint-George]]</nowiki> [[d:Q108782357|Chevalier, Film américain sorti en 2022, (Q108782357)]] * Jacob Louis. Saint-Georges et la "Légion Noire" de Lille en 1793. In: Revue du Nord, tome 33, n°129, Janvier-mars 1951. pp. 6-17. DOI : https://doi.org/10.3406/rnord.1951.2008 * Jean Massicot.- La franc-maçonnerie - Page 31, 2010, Page 31. <i>[https://www.google.fr/books/edition/La_franc_ma%C3%A7onnerie/hmdPAgAAQBAJ?hl=fr&gbpv=1&dq=le+%22Mozart+noir%22&pg=PA31&printsec=frontcover Excellent escrimeur il est, en tant que musicien le "Mozart Noir" ou le "Voltaire de la Musique"]. Pour défendre la Révolution, il crée un régiment de hussards composé uniquement de noirs et de métis : la "Légion de Saint-George"</i>. * Un maître d'armes sous la Restauration, Volume 1, Par Arsène Vigeant · 1883 * François Joseph Fétis.- Histoire générale de la musique, Volumes 1-2, 1869 * Le procès de Louis XVI, ou collection complete, des opinions, discours et mémoires des membres de la convention nationale, sur les crimes de Louis XVI ; Ouvrage enrichi de diverses pièces justificatives, mises sous les yeux de la Convention, et dont elle a ordonné l'impression, telles que celles qui ont été trouvées chez l'Intendant de la liste civile,... [https://www.google.fr/books/edition/Le_proc%C3%A8s_de_Louis_XVI_ou_collection_co/cTAgFcDxn3QC?hl=fr&gbpv=0 recueillis par J. Ch. Poncelin de la Roche Tilhac], Volume 7, 1795] ==== Le Chevalier de Saint-George.s - The Chevalier de Saint-George.s ==== * 2006 - Gabriel Banat.- The Chevalier de Saint-Georges, Virtuoso of the Sword and the Bow, 2006 <nowiki><https://www.google.fr/books/edition/The_Chevalier_de_Saint_Georges/Yy9JgZQQ9XQC?hl=fr&gbpv=1&dq=Choderlos+de+Laclos+%2B+Chevalier+Saint-Georges+%2B+Les+Liaisons+dangereuses&pg=PA536&printsec=frontcover></nowiki> * LE CHEVALIER DE St. - GEORGES , OU LE DÉBAUCHÉ CORRIGÉ PAR L'AMOUR [https://www.google.fr/books/edition/La_menzogna/rOY2jt-oZGsC?hl=fr&gbpv=1&dq=LE+CHEVALIER+DE+St.+-+GEORGES+,+OU+LE+D%C3%89BAUCH%C3%89+CORRIG%C3%89+PAR+L%27AMOUR&pg=PA328&printsec=frontcover La menzogna Par Maria Grazia Profeti · 2008 * Alexandre Saint-Léger.- [https://www.google.fr/books/edition/Revue_du_Nord_histoire_archéologie_nord/vM04AAAAIAAJ Revue du Nord, histoire & archéologie, nord de la France, ..., 1951]. Affichage d'extraits. Trouvé à l'intérieur – Page 8 : A la suite d'un de ces voyages probablement, Saint - Georges se fixa à Lille ... il que nous trouvons mention de son nom pour la première fois dans le numéro du 10 juillet 1790 des '''Feuilles de Flandre''', journal lillois de l'époque . === Le mulâtre de La Boëssière, {{S|XVIII}} === Cf. Biographie de Madame Élisabeth de France * Le mulâtre de [[w:Nicolas Texier de La Boëssière|La Boëssière]] === Les Traités de paix depuis le Traité de Westphalie === Traité de paix : Traité de Madrid (1667) - https://fr.fanwiki.wiki/Treaty_of_Madrid_%281667%29 === Histoire de la musique === François Joseph Fétis.- Histoire générale de la musique === Jean Baptiste Du Tertre.- Histoire generale des Antilles habitées par le François === * <nowiki>[https://www.google.com/search?q=inauthor%3A%22Jean+Baptiste+Du+Tertre%22+%2B+Histoire+generale+des+Antilles+habit%C3%A9es+par+le+Fran%C3%A7ois&lr=lang_fr&biw=1438&bih=628&tbs=cdr%3A1%2Ccd_min%3A1500%2Ccd_max%3A1756%2Clr%3Alang_1fr&tbm=bks&ei=FhjgY8nyKOeGkdUPmfqOmAM&ved=0ahUKEwjJ1b-8ov_8AhVnQ6QEHRm9AzMQ4dUDCAg&oq=inauthor%3A%22Jean+Baptiste+Du+Tertre%22+%2B+Histoire+generale+des+Antilles+habit%C3%A9es+par+le+Fran%C3%A7ois&gs_lcp=Cg1nd3Mtd2l6LWJvb2tzEAxQ0wVYoBJgnSJoAHAAeACAATGIAd8BkgEBNZgBAKABAaABAsABAQ&sclient=gws-wiz-booksinauthor:"Jean Baptiste Du Tertre" + Histoire generale des Antilles habitées par le François]</nowiki> === ANGELO dans Vigeant Arsène (1844-1916), 1817 (anglais) === Références bibliographiques dans : {{bibliographie|Q68484852}} <!-- Vigeant, Arsène (1844-1916).- La bibliographie de l'escrime ancienne et moderne -->, <nowiki>[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9761787t/f42.image.r=Saint%20George Gallica]</nowiki> ; <nowiki>[https://data.bnf.fr/temp-work/28db2b3032ae44cdc9cd2995b3454539/]</nowiki> * A treatise on the utility and advantages of Fencing giving the opinions of the most eminent Authors and medical practitioners, on the important advantages derived from a knowledge of the art, as a means of self-defence, and a promoter of health. Illustrated by forty-seven engravings. To wich is added, a dissertation on the use of the broad sword (with six descriptive plates). * Memoirs of the late Mr Angelo and a biographical sketch of Chevalier Saint-George with his portrait<ref>2015 - {{bibliographie|Q116854582}} <!-- Black tronies in seventeenth-century Flemish art and the African presence --> </ref>.— London, 1817. Published by Mr Angelo, B. R. Piccadilly, and at his Fencing Academy, Old Bond Street. Printed by G. Smeeton Saint-Martin s Lane. In-folio, qui renferme en album les gravures de l'École des armes, un portrait à la manière noire du chevalier de Saint-Georges, gravé par W. Ward, d'après une peinture de Bronn, et 6 planches sur l'exercice du sabre, dessinées et gravées par Rowlandson, en 179S et 1799. Des détails historiques sur l'auteur et sur Saint-Georges lui donnent aussi un intérêt particulier. * ANGELO, HENRY, 1830 (anglais). Reminiscences of Henry Angelo 19, with memoirs of his late father and friends, including numerous original anecdotes and curious * p.150 - Pascal Rousseau qui fut, après de Saint-Ange, Maître d'armes de Louis XIV, 'mourut à Paris le 9 août 1688, rue de Seine(...)Picard, maître d'armes de Rouen, dut sa notoriété à l'assaut désastreux qu'il fit contre le chevalier de Saint-Georges en 1767(...)Quelques propos blessants tenus par lui sur ses confrères de Paris et sur Saint-Georges, qu'il appelait ''le "'''mulâtre de la Boëssière'''"'', firent venir à Rouen l'élève de ce dernier * p.151 - ET HISTORIQUES 1 5 1 M. de Boullogne, père de Saint-Georges, avait promis à son fils, s'il se vengeait noblement, de lui donner un cheval et un cabriolet(...). Picard fut battu et Saint-Georges eut l'équipage qu'il désirait depuis longtemps. (Notice bibliographique sur Saint-Georges.) 12(...)Ses assauts avec Saint-Georges produisirent un grand effet * p.158 - Ce portrait du chevalier de Saint-Georges, peint par Brown, et qui fut, plus tard, gravé par W. Ward, appartenait à Angelo père et fut le seul objet sauvé de l'incendie qui détruisit sa Salle d'armes à Londres, en 1789(...). On peut lui opposer cet extrait du livre de Gomard (page i3) : « Parmi les Maîtres, les deux plus forts adversaires que rencontra Saint-Georges furent Cavin de Saint-Laurent qui lui toucha sept coups et en reçut vingt-deux, et Faldoni qui lui toucha les deux premiers coups et fut (...) * === Bibliographie historique === * 1838 - 1843 {{bibliographie|Q86473521}}, œuvre écrite <!-- Catalogue général des livres composant les Bibliothèques du département de la Marine et des colonies --> * 1838 - {{bibliographie|Q88288369}} <!-- Catalogue général des livres composant les Bibliothèques du département de la Marine et des colonies, t.1 --> * 1839 - t.2 * 1840 - {{bibliographie|Q88187346}} <!-- Catalogue général des livres composant les Bibliothèques du département de la Marine et des colonies, t.3 --> * 1842 - t.4 * 1843 - {{bibliographie|Q88188079}}, Table alphabétique par noms d'auteurs et par titres d'ouvrages anonymes <!-- Catalogue général des livres composant les Bibliothèques du département de la Marine et des colonies, t.5 --> === Bibliographie d'histoire coloniale === * 1900-1930 - {{bibliographie|Q28867707}} <!-- Bibliographie d'histoire coloniale --> === Bibliographie à saisir dans Wikidata === ==== Étienne-Antoine de Boulogne.- Sermons et discours inédits de M. de Boulogne ==== * Étienne-Antoine de Boulogne.- [https://www.google.fr/books/edition/Sermons_et_discours_in%C3%A9dits_de_M_de_Bou/8qiua55dJ2YC?hl=fr&gbpv=0 Sermons et discours inédits de M. de Boulogne],... précédés d'une notice historique sur ce prélat, Volume 1, 1826 * 1758 - Jeanne-Marie Leprince de Beaumont.- [https://books.google.fr/books?id=AcA5AAAAcAAJ Civan, Roi De Bungo: Histoire Japonnaise, Ou Tableau De L'Éducation D'Un Prince], Volume 1, 1758. * 1758 - Jeanne-Marie Leprince de Beaumont.- [https://books.google.fr/books?id=AcA5AAAAcAAJ Civan, Roi De Bungo: Histoire Japonnaise, Ou Tableau De L'Éducation D'Un Prince], Volume 1, 1758. * 1911 - Shepherd, William R. (William Robert), 1871-1934.- Historical atlas, [https://archive.org/details/bub_gb_6Zc9AAAAYAAJ IA] ; [https://books.google.fr/books?id=kagMAAAAIAAJ Google Books] : [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=mdp.39015082411151&view=1up&seq=7 Hathitrust] * 2011 - Philippe Bourdin.- [https://www.leslibraires.fr/livre/5696174-les-nuits-de-la-revolution-francaise-actes-du--philippe-bourdin-presses-universitaires-de-clermont-ferrand Les nuits de la Révolution française], Actes du colloque international, Clermont-Ferrand, 5-6 septembre 2011 * [https://books.google.fr/books?id=ohVcAAAAcAAJ&pg=PA105#v=onepage&q&f=false Alexandre Dumas.- Un mariage sous Louis XV: comédie en cinq actes] * [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9791346b/f5.image.r= Essai sur l'amélioration du sort des esclaves] * Urusov, A. M., kniaz .- [https://archive.org/details/rsumhistoriq00urus/page/n7/mode/2up Résumé historique des principaux traités de paix conclus entre les puissances européennes depuis le Traité de Westphalie (1648) jusqu'au Traité de Berlin (1878)] * Thomas Clarkson.- [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5791078f Résumé du témoignage donné devant un comité de la Chambre des communes de la Grande-Bretagne et de l'Irlande, touchant la traite des nègres, adressé... aux différentes puissances de la chrétienté] * Élie-Louis (1744-1806).- [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k97902792/f111.item Recueils de pièces imprimées concernant les colonies Guyane, Martinique, Guadeloupe, Saint Domingue Dupuch] * Pierre-Louis Moline.- [https://books.google.fr/books?id=ohVcAAAAcAAJ&pg=PA105#v=onepage&q&f=false La réunion du 10 août ou l Inauguration de la république françoise] sans culotide dramatique en cing odes & en vers mélée de des clamations chants danses & évolutions militaires par G BOUQUIER membre de la convention nationale & du comité d inftruction publique & PL MOLINE Secrétaire gref fier attaché à la convention * [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9774482x/f140.image.r=ordonnance%20royale%20du%205%20janvier%201840,%20relative%20%C3%A0%20l'instruction%20religieuse,%20%C3%A0%20l'instruction%20primaire,%20et%20au%20patronage%20des%20esclave?rk=42918;4 Bulletin officiel de la Guyane française] * [https://archive.org/details/guerressouslouis04pajo Les guerres sous Louis XV, volume 4] === Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances === [http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb307941569 Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, BNF, Notice d'ensemble] Auteur(s) : France Titre(s) : Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830 [Texte imprimé] / avec des notices par MM. Odilon Barrot, Vatimesnil, Ymbert ; mis en ordre et annoté par M. Lepec, avocat à la cour royale de Paris Publication : Paris : Paul Dupont, 1834-1840 Description matérielle : 20 vol. ; in-8 * Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830. T. 3 / avec des notices par MM. Odilon Barrot, Vatimesnil, Ymbert ; mis en ordre et annoté par M. Lepec, avocat à la cour royale de Paris -- 1834-1840 -- livre, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6447704h Gallica] * Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830. T.11 / avec des notices par MM. Odilon Barrot, Vatimesnil, Ymbert ; mis en ordre et annoté par M. Lepec, avocat à la cour royale de Paris -- 1834-1840 -- livre, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6441469z Gallica] * Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, depuis le mois de juin 1789 jusqu'au mois d'août 1830. T. 15 / avec des notices par MM. Odilon Barrot, Vatimesnil, Ymbert ; mis en ordre et annoté par M. Lepec, avocat à la cour royale de Paris -- 1834-1840 -- livre, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6454798x Gallica] * Dors, mon enfant, clos ta paupière <https://www.lieder.net/get_text.html?TextId=128941&RF=0> Déclaration du roi, en faveur de l'Académie royale de peinture & de sculpture : donnée à Versailles le 15 mars 1777 <https://catalog.hathitrust.org/Record/100236433> * Madame de Montesson musicienne Recherches sur la musique française classique, 1960 <https://www.google.fr/books/edition/Recherches_sur_la_musique_fran%C3%A7aise_cla/Zi5LAAAAYAAJ?hl=fr&gbpv=0&bsq=Duc%20de%20Luynes%20%2B%20Chevalier%20de%20Saint-George> * Traité de l'art des armes à l'usage des professeurs et des amateurs Par La Boëssière · 1818 <https://www.google.fr/books/edition/Trait%C3%A9_de_l_art_des_armes/uLkUAAAAYAAJ?hl=fr&gbpv=0> * Saint-Georges, Joseph Boulogne (1745?-1799 ; chevalier de).<https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb39791907t> * La Vie de Saint-Georges Publié le par danielgmarciano <https://daniel-marciano.com/2022/01/23/la-vie-de-saint-georges/> *NOUVEAU RECUEIL DE TRAITÉS de traités d'Aliance, de Paix, de Prêve, de Neutralité, de Commerce, de Limites, d'Échange etc. <https://www.google.fr/books/edition/NOUVEAU_RECUEIL_DE_TRAIT%C3%89S_de_trait%C3%A9s/56vM4A4cii8C?hl=fr&gbpv=0> * 16 juillet 1802 - Arrêté consulaire du 27 messidor an X (16 juillet 1802), version manuscrite définitive <https://fr.wikisource.org/w/index.php?title=Wikisource:Scriptorium/Septembre_2022&oldid=12680776#Arrêté_consulaire_du_27_messidor_an_X_(16_juillet_1802),_version_manuscrite_définitive,_document_en_3_pages>. === Série bibliographique par mots clés === * [https://babel.hathitrust.org/cgi/ls?field1=ocr;q1=Jean-Gabriel%20Stedman;a=srchls;lmt=ft Jean-Gabriel Stedman] * [https://catalogue.bnf.fr/rechercher.do?motRecherche=encyclop%C3%A9die+des+voyages&critereRecherche=0&depart=0&facetteModifiee=ok encyclopédie des voyages] * [https://babel.hathitrust.org/cgi/ls?field1=ocr;q1=Nouveaux%20supple%CC%81ments%20au%20Recueil%20de%20traite%CC%81s%20et%20d%27autres%20actes%20remarquables%2C%20servant%20a%CC%80%20la%20connaissance%20des%20relations%20e%CC%81trange%CC%80res%20des%20puissances%20et%20etats%20dans%20leur%20rapport%20mutuel%2C%20depuis%201761%20jusqu%27a%CC%80%20pre%CC%81sent;a=srchls;lmt=ft;pn=1 Nouveaux suppléments au Recueil de traités et d'autres actes remarquables, servant à la connaissance des relations étrangères des puissances et etats dans leur rapport mutuel, depuis 1761 jusqu'à présent] == Ouvrages à saisir == ------------ Septembre 2003 - Dominique A. Mignot.- De la sujétion à l'idée de citoyenneté aux îles d'Amérique (XVIIè-XVIIIè s.) <<nowiki>https://books.openedition.org/puam/1639</nowiki>>. Publié dans GANZIN, Michel (dir.). Sujet et citoyen : Actes du Colloque de Lyon (Septembre 2003). Nouvelle édition [en ligne]. Aix-en-Provence : Presses universitaires d’Aix-Marseille, 2004 (généré le 06 février 2023). Disponible sur Internet : <<nowiki>http://books.openedition.org/puam/1621</nowiki>>. ISBN : 9782821853232. DOI : <<nowiki>https://doi.org/10.4000/books.puam.1621</nowiki>>, p. 245-256 ------------ 1890-1914 - Alexandre Tuetey, 1842-1918.- Répertoire général des sources manuscrites de l'histoire de Paris pendant la révolution française # Tome 1 [https://archive.org/details/repertoiregenera01tuet 1] # Tome 2 [https://archive.org/details/repertoiregenera02tuet 2] # Tome 3 [https://archive.org/details/repertoiregenera03tuet 3] # Tome 4 [https://archive.org/details/repertoiregenera04tuet 4] # Tome 5 [https://archive.org/details/repertoiregenera05tuet 5] # Tome 6 [https://archive.org/details/repertoiregenera06tuet 6] # Tome 7 [https://archive.org/details/repertoiregenera07tuet 7] # Tome 8 [https://archive.org/details/rpertoiregn08tuetuoft 8] # Tome 9 [https://archive.org/details/rpertoiregn09tuetuoft 9] # Tome 10 [https://archive.org/details/rpertoiregn10tuetuoft 10] # Tome 11 [https://archive.org/details/rpertoiregn11tuetuoft 11] [https://data.bnf.fr/fr/see_all_activities/12510954/page1 Data BnF-Gallica - Répertoire général des sources manuscrites de l'histoire de Paris pendant la Révolution française] Description matérielle : 11 vol. Description : Note : La page de titre porte en plus : "Ville de Paris. Publications relatives à la Révolution française" Édition : Paris : Impr. nouvelle (Association ouvrière) , 1890-1914 Auteur du texte : Alexandre Tuetey (1842-1918) Éditeur scientifique : Archives de Paris, Paris 11 documents numérisés : Tome 1 - Tome 2 - Tome 3 - Tome 4 - Tome 5 - Tome 6 - Tome 7 - Tome 8 - Tome 9 - Tome 10 - Tome 11 * [catalogue, Visualiser dans Gallica, table des matières] * 2010 - {{bibliographie|Q116796120}} <!-- La réaction thermidorienne --> ------------ * [https://archive.org/details/parispendantlar01aulagoog Aulard, F.-A. (François-Alphonse), 1849-1928.- ------------]. Recueil de documents pour l'histoire de l'esprit public à Paris (volumes 1 à 5) * [https://catalog.hathitrust.org/Record/000604905 A. Aulard.- Paris pendant la réaction thermidorienne et sous le Directoire]. Recueil de documents pour l'histoire de l'esprit public à Paris, Deux fois 5 volumes. * [https://fr.wikisource.org/w/index.php?fulltext=1&search=La%20r%C3%A9action%20thermidorienne&title=Sp%C3%A9cial%3ARecherche&ns0=1&ns4=1&ns102=1&ns112=1 La réaction thermidorienne sur Wikisource] ------------ # [https://www.europeana.eu/en/blog/age-of-synergies-technological-innovations-in-the-late-19th-century?fbclid=IwAR39s56pdkSrK1tIT5bUb_Uz44hZ2QXyyLaL9Gh99tytUnCoOaXw9WfuznU Age of Synergies: technological innovations in the late 19th century]. Learn about the scientific and technological developments that revolutionised the world. # [https://www.google.fr/books/edition/%C3%89tudes_sur_l_histoire_d_Ha%C3%AFti_suivies/a1gIAAAAQAAJ?hl=fr&gbpv=0 Beaubrun Ardouin, Jérôme Maximilien Borgella.- Études sur l'histoire d'Haïti, suivies de la vie du général J.M. Borgella, Volumes 1-2, 1853 === Bibliothèque de Moreau de Saint-Méry === [[Fichier:De Port Anse, Saint-Domingue.- Doléances d'un Américain persécuté.png|vignette|100px|left|De Port Anse, Saint-Domingue.- Doléances d'un Américain persécuté, page de titre]] * {{BNF|455450571}}'''Recueils de pièces imprimées''' concernant les colonies [Saint Domingue, Antilles, Noirs, 1788-1789], Date d'édition : 1788-1789, Sujet : Esclavage -- Colonies françaises, Colonies françaises -- 1789-1799 (Révolution), Haïti (île) -- 18e siècle, Notice d'ensemble : http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb455450571, Notice du catalogue : http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb45702775p, * {{BNF|45702775p}}'''Recueils de pièces imprimées''' concernant les colonies [Saint Domingue, Antilles, Noirs, 1788-1789] [Texte imprimé], Lien au titre d'ensemble : Recueils de pièces imprimées concernant les colonies [Bibliothèque de Moreau de Saint-Méry]. 1ere série , Voir toutes les notices liées, Publication : [Paris], 1788-1789, Description matérielle : 1 vol. (473 p.) ; In-8, -------- * Voir : [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Bibliographie_du_XVIIIè_siècle/1750#1789|1789 - Mémoire pour les négocians de Rheims, sur le projet d'abandon des colonies, suivi d'une lettre adressée à M. Blin, député de Nantes aux Etats Généraux, Reims.]] * 1788 - {{bibliographie|Q64450025}} <!-- Cercle des Philadelphes, Recueils de pièces imprimées concernant les colonies, 1ere série, 1788, Recueils de plublication concernant les colonies & provenant de la Bibliothèque de Moreau de Saint-Méry --> * 2000- - {{bibliographie|Q110044706}} <!-- L’historiographie d’une académie coloniale --> -------- * {{BNF|30345946q}} Discours d'un nègre à un Européen, pièce qui a concouru pour le prix de l'Académie françoise, en 1775, par M. Doigni, Auteur : Doigny Du Ponceau (1750-1830). Auteur du texte, Éditeur : (Paris), Date d'édition : 1775, [Https://data.bnf.fr/fr/documents-by-rdt/12017749/te/page1 Liste de textes de Moreau de Saint-Méry] -------- * 1872 - France. Direction des archives. (Auteur), Maury, Alfred, 1817-1892.- [https://bu-catalogue.uco.fr/Record/256348/ Musée des Archives nationales : documents originaux de l'histoire de France exposés dans l'hôtel Soubise], Details des Archives nationales : documents originaux de l'histoire de France exposés dans l'hôtel Soubise, Détails bibliographiques, Paris : H. Plon, 1872. -------- == Evolutions de Wikiversité == Copyvio : what does it mean ? Voir l'historique de chaque page. == En cours sur Wikipédia == '''Le nez''' * Thomas Deletanville .- A New French Dictionary In Two Parts ..., · 1794. <https://www.google.fr/books/edition/A_New_French_Dictionary/148NAAAAQAAJ?hl=fr&gbpv=1&dq=%22nez%22&pg=PP287&printsec=frontcover>. Le nez se mèle de tout en français et en anglais ! == Notes & Références == {{Références}} 5p4vosxzt77yvllkglmly7xisqcwxu3 104 86018 987427 987410 2026-10-15T17:37:36Z Mekkiwik 5298 /* Le contrôle dual */ 987427 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = biologie | parent = [[Recherche:Laboratoire d'études prébiotiques|Laboratoire d'études prébiotiques]] }} {{Hypothèse | titre = Chiralité prébiotique 2 | parent = [[Recherche:Département:Biologie|Département de recherche en Biologie]] | image = {{idfaculté/logo/biologie}} }} <div style="text-align:center;"><span style="font-size:180%;"> '''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:</br> l'auto-organisation prébiotique.'''</span></div> ==pense bête 1== *L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1. *Définir l'auto-organisation au stade prébiotique *Les erreurs par rapport à cette organisation sont *: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? *: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage. *Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome: *: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite. *: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques. *L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome *: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1. *: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K. *: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine. *: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones. *Auto-organisation des liposomes *: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive? *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome. *: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas. *: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture. *: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions? *: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale. *: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes *: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après. ==pense bête 2== *L'auto-organisation aas + acides gras *: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale *: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe. *: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras. *: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche. *Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras. *# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline *# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides *# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD *# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4--- *# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D? *# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH *# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G Alanine A Histidine H *# - Les stéroides chez les procaryotes ==pense bête 3== *Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre *: - soupe prébiotique *: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique *: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique *: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle. *: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs. *: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées. *: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication. *: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique. *: - étape transcription/ traduction *: - étape réplication/division ==pense bête 4== *Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. *Extraits d'internet: *: - "''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''" *: - La membrane externe des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe</ref>. *: - La membrane interne des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne</ref>. *: - MAM <ref>https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&_x_tr_tl=fr&_x_tr_hl=fr&_x_tr_pto=rq</ref> *: - La mitochondrie <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie</ref> *: - Génome mitochondrial <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial</ref>: aucun gène de synthèse d'un phospholipide *: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse</ref> *: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: "Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle." dans RL fonctions de reticulum endoplasmique <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique</ref>. *Étape de cristallisation 2: *Étape de polymérisation 2: ==pense bête 5== *Étape des eucaryotes 3: *: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel. *: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte. *Hydrogénosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome</ref> et mitosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome</ref>: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes. *Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster <ref>https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf</ref> (page 3). *La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau. ==pense bête 6== *auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome. *Les contraintes résultantes: 4 exemples, *#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, *#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, *#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. *#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte</ref>, paragraphe 3 *#: - "Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré." *#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases. *#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D</ref> de wikipédia, "Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D" il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L. *#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré "qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries". *#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début) *#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L. *# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. *#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00040</ref> LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. *#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00010</ref>qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. *# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation. *polymérisation 2: *: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible. *: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques. *: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier. *: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome. *: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation. *: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace. *: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces. ==pense bête 7== *Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2. *Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane. *Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L, elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D. *Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite. ==pense bête 8== *Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD .... *: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217 *: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln. *: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. *: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP). *: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP] *: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA. *: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est *:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+ + 2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===> dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées. *:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF. * En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, *: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas *: - Asp donne Asn et Ala *: - Glu donne Gln *: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique. *Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse *Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras. ==pense bête 9== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8. *: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P *:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) <> Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)<span style="background-color: #ffff00;"> > </span>Fructose 6P + P, '''*'''531.27 <> arabino 6P, '''*'''412.43 <> Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) <> Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) <> R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) <> R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) <> PRPP. *:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) <> dR-5P, '''*'''5427 (mutase) <> dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) <> dR + ATP. *:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. *: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His *:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) > carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) > Asp-CB, '''*'''3523 > orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') > orotate, '''*'''241.10 (PRPP) > orotidine-P, '''*'''411.23 > UMP. *:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) > CTP *:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) > dRU, '''*'''271.21 (dGTP) > dUMP *:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 < > base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C *:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP > dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier) *:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) > R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) > RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) > RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) > RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) > Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) > AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) > AIR-C-CO2H (CAIR), '''*'''6326 (ATP Asp) > CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 > carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) > FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) > IMP +H2O. *:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) > IMP-sucino, '''*'''4322 > AMP + fumarate. *:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) > XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) > GMP *:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) > dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) > dAMP et dGMP *:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) > PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) > 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) > R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) > Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) > Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) > oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) > P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') > Histidinal puis His. *: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs. *:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') > H2O2 (ou succinate) + iminoAsp > en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') > quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) > Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) > NAD+, '''*'''271.23 (ATP) > NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP). *:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) > pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) > 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) > 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) > butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) > lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) > Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP > dATP > CTP > UTP) > FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) > FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) > FADH2 et (FMN NAD) > FMNH2. *:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) > Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) > idem. *:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) > formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 > neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 > dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) > PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) > dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) > dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') > tetrahydrofolate. *::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) > Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) > prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) > chorismate, '''*'''261.85 (NH3) > amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) > 4-amino-benzoate et pyruvate. *:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr''' pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) > aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') > CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 > CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) > dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') > pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) > pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) > ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) > P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 > P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) > PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) > CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP). *: - Synthèse des aas *:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, *::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) > indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') > Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) > Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) > anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') > '''PRPP''' Anthranilate *::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) > Gly '''OH-Pyruvate''' *::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') > Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') > '''OH-Thr''' (voir synthèse B6) *::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) > Cys, idem (Ser '''HomoCys''') > '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) > Cys NH3 '''Oxo-butanoate''' *::: - Asp > Asn et '''*'''411.12 (Asp) > Ala et CO2 *::: - Glu > Gln *::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') > Urocanate NH3 "MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine", '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) > Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) > Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) > formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') > Histamine et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') > NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) > Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) > Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) > Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) > formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) > Formate et Asp. *::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui >nt 7 aas dérivés. Pour His >rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr. ==pense bête 10== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres. *: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr. *: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé. *: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met. *: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA): les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas. ==pense bête 11== *Tanger le 7/12/25 * Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG). * C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs. * L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment. *Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate</ref>. Le C de CO2 est lié à N de NH2. *Les aminonitriles: *: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. *: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp. *: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42. *:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde. *:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes. * L'histidine * Les aromatiques * Lysine ornitine et proline ==pense bête 12== *Paris le 27/02/26 *Les lectures *: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015 *: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005 *: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024, *Plan *: - postulat: ça s'est fait tout seul *: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique *: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique *: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports) *Les aas abiotiques: *: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C *:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025 *:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24) *:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation *:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation. *:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde) *:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement) *: - autres *:# Ser, aubrey faible *:# Thr, plus acétate *:# Asn, NH3 *:# Gln, NH3 *: - Formose *:# His, erythrose formamidine HCN *: - FTT *:# Trp, indole plus Ser ou Fritz *:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN *:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN *:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin *:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin *:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser *:# Met, homocystéine plus CH3 *: - Réactions quasi biotiques *:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline *:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3 ===notes des lectures=== *Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure). *Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h *Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. *: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:"Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides." *: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: "L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019)." J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr ==pense bête 13== *Paris 29/6/26 *Article de départ *: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1). ===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs=== *hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3. ====Pyruvate bis==== *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) *:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne <> P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction) *: - *oxaloacetate + Pi donne '''|>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *: - *oxaloacetate + PP donne <> P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique <--- *:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne <> Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? <--- c'est mon hypothèse pour EC2791 *: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne <> P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2 EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' <--- *Pathway: glycolyse suite *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 (R00658) hydro-lyase <--- *: - *Glycérate-2P donne <> Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase *: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''') EC121.12 (R01061) oxydoréductase <--- *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase <--- *Pathway: Aspartate *: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''') EC1411 (R00396) oxydoréductase *:: + Contradiction '''subs/prod''' ====Glycolate bis==== *Pathway: glyoxylate *: - *Glycolate + Acceptor '''donne |>''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase *:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS? *:: + '''Formate'''? *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |>''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase *: - *Asp + NAD (formate) '''donne <|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410 *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase *:: + Contains pyridoxal phospate. *:: + ''confirmer que Cys est produite avant'' *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant'' *: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |>''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (<u>en labo sans enzyme mais très faible</u>) *:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 <ref>https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84</ref> nitrile hydratase.'' *: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |>''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase ====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate propionate phosphite==== *Compound, phosphite. Voir article sur Phosphite dans les sources hydrothermales <ref>https://www.biorxiv.org/content/10.64898/2025.12.19.695421v2.full</ref>. *: -Phosphite +NAD+ +H2O donne phosphate +NADH +H+ EC1.20.1.1 R05746 oxydoreductase. 146 bactéries, rien d'autre. Enx, enterobacter, 341 aas. Entrée créée en 2001 MAJ 2025. *: -Phosphite +AMP +NAD+ donne ADP +NADH +H+ EC1.20.1.2 R13633 oxydoreductase. Une seule référence <ref>https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.2309743120</ref>. Entrée créée en 2025. *Pathway: pyruvate métabolisme *: -*'''Ethanol''' + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein) bi ecocyc de ethanol ΔG=3.10kcal/mol. eco 891 aas. 8769 êtres dont 200 archées *: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate). 6796 êtres dont 132 archées *: -*'''Acetate''' +ATP donne <> Acetyl-P +ADP EC2721 R00315 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=-6.97 kcal/mol, 400 aas. 7664 êtres dont 28 archées *: -*'''Acetate''' +PP donne <> Acetyl-P +Pi EC272.12 R00320 kinase. Métacyc sens indéfini. Entamoeba histolytica seule référence de 1975 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/0006291X75905136?via%3Dihub</ref> *: -*'''Propionate''' +ATP donne <> Propionyl-P +ADP EC2721 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 7665 êtres dont 29 archées *: -*'''Propionate''' +ATP donne <> Propionyl-P +ADP EC272.15 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 375 bactéries pas d'archées *:: + comment: Involved in the anaerobic degradation of L-threonine in bacteria. Voir dans propanoate pathway EC123- de 2-oxobutanoate vers propanoyle-P, flèche sans enzyme. Le 2-oxobutanoate vient de la Thr. *: - *<u>Acetate + ''ATP +CoA donne <> Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''</u> archées *: - *<u>''Propanoyl-CoA +Formate donne <> 2-Oxobutanoate +CoA EC231.54 R06987 Formate lyase''</u> *: - *<u>''Acetyl-CoA +Formate donne <> Pyruvate +CoA EC231.54 R00212 Formate lyase''</u> *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10701</ref>, attention activation de l'enzyme par flavodoxin/ferredoxin-NADP+ reductase. *: - *'''Methanol''' + NAD donne <> formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein) *: -*formaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase *: - *'''Lactate''' + NAD donne <> '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase. 4141 êtres dont 16 archées *Pathway: glyoxylate métabolisme *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glyoxylate +NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase Metacyc bi. 2272 êtres dont 124 archées (mieux que ec111.29, voir Ser). *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glycolaldehyde +NAD +H2O EC121.21 R01333 aldehyde dehydrogenase ecocyc di de aldehyde ΔG=-17.03kcal/mol *: - *OH-pyruvate '''donne |>''' Glycolaldehyde +CO2 EC411.40 R01393 carboxylase Metacyc bi *Pathway: methane métabolisme *: - *'''Methanol''' + NAD '''donne |>''' formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase Metacyc di *Pathway: cysteine methionine *: - *'''Methanol''' + H2S donne <??> '''Methane thiol''' <u>ou bien le methane thiol est basique comme le methanol</u> *: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase *:: + *Asp + ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase *:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne <|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase *:: + *Asp-semialdehyde + NAD donne <> L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase *:: + *'''acety-CoA''' + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (B6 protein) ====Pyruvate==== =====Glycolyse===== *Pathway: Pyruvate *: - *Pyruvate +HCO3- +ATP '''donne |>''' Oxaloacetate +ADP +Pi EC6411 R00344 ligase metacyc de ATP (A biotinyl-protein) *: - *Malate +NADP donne <> Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc de Malate (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol *:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate. *: - *Malate +NAD+ donne <> Pyruvate +NADH +CO2 +H+ EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc et metacyc direct de Malate ΔG=-0.32Kcal/mol *:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate +H+ (non réversible) <ref>https://biocyc.org/reaction?orgid=ECOLI&id=1.1.1.39-RXN</ref>. *:: + thermodynamiquement Ec111.38 est réversible à cause de son ΔG=-0.32Kcal/mol. Mais dans la cellule elle a pour objet de produire du CO2 lors de l'accumulation de NAD+. Décompte génomes a b e: 458 9991 1295 *: - *Malate +NAD donne <> Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=4.46Kcal/mol *: - *oxaloacetate + Pi '''donne |>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 900 aas. *: - *oxaloacetate '''+PP''' donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bi son ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + abe: 0 250 10; grosse enzyme 1100 aas. Energie de liaison de PP 47.8 Kcal/mol et 1ère et 2ème PP dans ATP, sont égales à 7.3Kcal/mol; P-enolpyruvate 14.8kcal/mol *:: + Also catalyses the reaction: P-enolpyruvate + Pi = pyruvate + PP. <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/12/26/5247/105472/Carboxytransphosphorylase-VII-Phosphoenolpyruvate?redirectedFrom=fulltext</ref> *:: + ''Pyruvate +PP donne <> P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique? c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse) *: - *oxaloacetate +ATP donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +ADP EC411.49 R00341 kinase ecocyc de ATP (shem bi) ΔG=-7.02Kcal/mol *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 520 aas. *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP '''donne <|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 R00200 kinase biocyc de ADP ΔG=-2.23Kcal/mol *: - *Pyruvate +ATP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 R00206 dikinase (multi-step reaction) metacyc de ATP ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP +H2O donne <> P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 R00199 dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 R00658 hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> '''Glycérate-3P''' EC542.11 R01518 mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol *: - *Glycérate-3P + ATP donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 R01061 dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=8.23''' Kcal/mol (gauche-droite) *: - *Fructose-6P '''+PP''' donne <> Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini) *:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule. *:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; enzyme 300-600 aas. *: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |>''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) phosphorylase de f1.6 à f6 ΔG=6.89Kcal/mol) *: - *Fructose-6P +ATP '''donne |>''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol) =====Formation des aas à partir du pyruvate===== *Pathway: Ala Asp Glu *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) Metacyc bi. 5728 êtres dont 243 archées *Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate *: - voie P-Ser *: - *Glycérate-3P +NAD +H2O donne <> P-OH-Pyruvate +NAD EC111.95 R01513 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.03 kcal/mol. 10084 êtres dont 434 archées *: - *O-P-Ser +2-oxoGlu donne <> P-OH-Pyruvate +Glu EC261.52 R04173 transaminase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=0.08 kcal/mol. 8871 êtres dont 71 archées *: - *O-P-Ser +H2O '''donne |>''' L-Ser +Pi EC3133 R00582 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=9.27 kcal/mol. 8278 êtres dont 366 archées *: - voie Glycerate *: - *'''Glycérate-3P''' + H2O '''donne |>''' Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase. 1 seule référence de 1971 "sugarcane leaves" *:: + *Glycéraldéhyde +NAD +H2O donne <> Glycérate +NAD EC1213 R01752 oxydoréductase. 6796 êtres dont 132 archées pas de metacyc *:: + *Glycéraldéhyde +DHAP donne <> Fructose-1P EC412.13 R02568 lyase. Metacyc direct de Fructose. 11542 êtres dont 459 archées *::: * Pour obtenir Fructose-1P à partir de Fructose-6P, il faut 4 enzymes EC111.17, 313.22, 111.11, 2713 (une kinase) <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00051</ref> *::: * Le Glycéraldéhyde libre est bloqué comme le Glycerol <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00561</ref>. Il est rapidement transformé en Glycéraldéhyde-3P EC271.28 *:: + *Mannitol-1P +NAD donne <> Fructose-6P +NAD EC111.17 R00758 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.60 kcal/mol. 1867 êtres dont 2 archées *:: + *Mannitol +Pi donne <> Mannitol-1P +H2O EC313.22 R02167 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=7.22 kcal/mol. 2063 êtres dont 1 archées *:: + *Mannitol +NAD donne <> Fructose +NAD EC111.11 R00868 oxydoréductase. Metacyc bi. 443 êtres dont 0 archées (Ec111.67 1312,Ec111.67 83) *:: + *Fructose +ATP '''donne |>''' Fructose-1P +ADP EC2713 R00866 kinase. Metacyc direct de Fructose. 907 êtres dont 52 archées *: - *Glycerate + NAD donne <> Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase. 2077 êtres, eucaryotes, bactéries, 9 archées MM et 1 METB. Metacyc bi. *: - *'''Ser''' + Pyruvate donne <> Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein). 2913 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + Glyoxylate donne <> '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein). 2880 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + H2S '''donne |>''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein) 3754 êtres, eucaryotes, bactéries, 36 archées. pas de RHEA *: - *Ser +Acetyl-CoA donne <> O-Acetyl-Ser +CoA EC231.30 (R00586) transferase (sans B6) 8266 êtres, eucaryotes, bactéries, 170 archées. *:: + voie de E.Coli suivie de EC251.47 donne Cys avec B6. 8282 êtres *: - *'''Thr''' donne <> Gly + Acetaldehyde EC412.48 (R00751) transaminase (B6 protein) 6788 êtres, eucaryotes, bactéries, 100 archées. Ecocyc bi, ΔG=1.0 kcal/mol *: - *Thr '''donne |>''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein) *Pathway: Val Leu Ile biosynthese *: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat) *: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |>''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction) *: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne <> 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase *: - *Aceto-Lactate + NAD donne <> 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase *: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase *: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase *: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |>''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase *: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |>''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase *: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne <|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating *: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne <|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating *: - * *: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |>''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase *: - *2-isopropylmalate donne <> 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase *: - *2-isopropylmaleate + H2O donne <> 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase *: - *3-isopropylmalate + NAD donne <> 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase *: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée *: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne <|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating *Synthèse *: - 2 groupes *:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6, *::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate *::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate *::: * Cys: consomme H2S, basique *::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate *:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6 *::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD *::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA =====Formation de Asp et Asn ===== *Pathway: Glyoxylate *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |>''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp''' *: - *Asp + NAD '''donne <|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6) *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi *Pathway: Ala Asp Glu *: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |>''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase (sans B6) *: - *Asp +2-oxoglutarate donne <> Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase (avec B6) *: - *Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino lyase ecocyc bi ΔG=+3.19 Kcal/mol de Asp (sans B6) *: - *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *:: + Malate vient directement de Pyruvate *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein) *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6) *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique? *: - Voie Glyoxylate: *:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu. *:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate. *: - voie Ala Asp Glu *:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp. *: - voie cyanoamino acide: *:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude? *: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref>. *:: + =====Formation de Lys===== *Pathway: Lysine *: - *Asp + ATP '''donne |>''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''4-Asp-P''' *: - *4-Asp-P +NAD '''donne <|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-4-semialdehyde''' *: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |>''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase '''4Hydro-dipicolinate''' *: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne <|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase (spontanée: +H2O donne <> '''L-2-Amino-6-oxopimelate''') *: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne <> L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &emsp;&emsp; '''diaminopimelate''' *: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |>''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &emsp;&emsp; '''L-Lys''' (B6 protein) *: - *Lys +acetyl-P '''donne |>''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &emsp;&emsp; '''N6-acetyl-Lys''' *: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne <> N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein) *: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne <> 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &emsp; '''5-Acetamido-pentanoate''' *: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne <> 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &emsp; '''5-Aminopentanoate''' *: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne <> Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein) *: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne <> Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras) *Synthèse *: - étapes: 6 à partir de Asp *: - produit: NH3, CO2 *: - consomme: Asp, Pyruvate *: - utilise: ATP, 3 NAD *: - B6: avec B6 =====Formation des Riboses et dRiboses===== *Pathway: Pentoses phosphates *: - *D-Arabinulose-P donne <> '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase 185 aas metacyc direct de Arabi. 1303 êtres dont 291 archées *: - *D-Arabinulose-P donne <> D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase 211 aas metacyc bi. 1214 êtres dont 295 archées *: - *D-Ribose-5P donne <> D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase 219 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-6.13 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P donne <> D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-1.93 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P +ADP '''donne |>''' D-Ribose-1,5P2 +AMP EC271.212 (R11535) P-transferase 294 aas metacyc de ADP *: - *D-Ribose-1,5P2 + ATP '''donne |>''' PRPP +ADP EC274.23 (R06836) P-transferase 185 aas metacyc de ATP ecocyc bi ΔG=-2.03 kcal/mol *: - *D-Ribose-5P + ATP donne <> PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase 315 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-25.84 kcal/mol *: - * *: - *D-dRibose-5P donne <> '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase 259 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=5.12 kcal/mol *: - *D-dRibose-1P donne <> D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=?? comme Ribose? *Synthèse *: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose *: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P *: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde. *: - utilise: AMP; et rien *: - Note: PRPP peut être obtenu par 2 P-transférases qui peuvent utiliser PEP =====Formation de l'ATP===== *Pathway: purines *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +ADP +Pi EC6347 R01053 amido transférase oiseaux (article unique 1968 <ref>https://www.jbc.org/article/S0021-9258(18)91922-8/pdf</ref>) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. homo4mères *: - *PRA +Gly +ATP '''donne |>''' 5P-Ribosylglycinamide +ADP +Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-6.27 '''GAR''' *:: + ecocyc: séquentiel et ordonné. Tunnel. Monomère <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10792</ref> *: - *GAR +ATP +Formate '''donne |>''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-8.97 '''FGAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG11809</ref>, monomere *:: + EC2122 THF sans ATP R04325 ecocyc et Meta bi ΔG=16.47 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10799</ref>, monomere *: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |>''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20 '''FGAM''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10797</ref> 3 sites Gln d'abord, puis ATP puis FGAR. Monomère. Fusion de 3 enzymes. *: - *FGAM +ATP '''donne |>''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ecocyc et metacyc direct de ATP ΔG=9.97 '''AIR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10798</ref>. Pas de couplage, ATP attaque FGAM puis cyclase. Dimère. *: - *[AIR +HCO3- +ATP '''donne |>''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC634.18 R07404 ecocyc et Meta de ATP ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10796</ref>. dimère. Nonenzymatic carboxylation of AIR occurs. *: - *[AIRC donne <> 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=6.32 Metacyc et ecocyc de carboxyamno '''CAIR'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10793</ref>. octamère. Réversible si EC6336 est absente *: - *5-amino-1-(5-phospho-D-ribosyl)imidazole-4-carboxylate donne <> AIR +CO2 EC411.21 R04209 carboxylase Metacyc bi '''CAIR''' *: - *CAIR +Asp +ATP donne <> (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase ΔG=-7.66 '''SAICAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10791</ref>. Trimère. les sites ne sont pas élucidés. *: - *SAICAR donne <> 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase ΔG=9.84 ecocyc direct Metacyc bi '''AICAR''' *: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |>''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase '''Metacyc bi FAICAR''' *:: + EC2123 THF sans ATP R04560 ecocyc et Meta bi ΔG=18.96 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10795</ref>, monomere *: - *IMP +H2O donne <> FAICAR EC354.10 R01127 cyclase ΔG=26.85 ecocyc et Metacyc bi '''IMP''' *: - *IMP +GTP +Asp '''donne |>''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-103.56 '''car-AMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10790</ref>. dimère. Les binding sites sont élucidés. *: - *car-AMP '''donne |>''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase ΔG=55.05 ecocyc direct metacyc bi '''AMP''' *: - *IMP +NAD +H2O '''donne |>''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase ecocyc et Metacyc bi ΔG=2.43 '''XMP''' *: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |>''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-5.44 '''GMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10420</ref>. dimère. Sans Gln il n'y a que 2 binding sites, ATP et XMP. Le contrôle est strict avec Gln mais pas avec NH3. *: - *GMP,AMP +ATP donne <> GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &emsp;&emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP''' *: - *GMP,AMP +ADP donne <> Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &emsp;&emsp;'''Guanosine, Adenosine''' *: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne <> G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &emsp;&emsp;'''G, A''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne <> G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &emsp;&emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |>''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &emsp;&emsp;'''dGMP,dAMP''' *: - *dGMP,dAMP +ATP donne <> dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &emsp;&emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP''' *Synthèse *: - étapes: 12 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP *: - produit: 2 Fumarate CO2 *: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 Gly *: - utilise: 7 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une carboxylase et une cyclase n'utilisent pas ADP. *: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP. =====La synthèse de novo de l'ATP et le couplage de 2 réactions===== *Problématique: *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase *: - Dans la réaction R01053 l'enzyme EC6347 en fait 2 réactions en parallèle: *:: + L'hydrolyse ATP +H2O '''donne |>''' ADP +Pi, fournit à l'enzyme l'énergie nécessaire pour lier NH3 au Ribose *:: + Ribose-5P +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +H2O *: - La réaction R01053 est directionnelle. C'est le cas des autres réactions faisant intervenir 3 substrats. *: - Avant l'apparition des polypeptides la probabilité de la rencontre des 3 substrats est très faible et c'est le rôle principale de l'enzyme que de les réunir. Dans mon hypothèse, l'environnement avec ses aas libres favorisant tant soit peu la réaction, il est difficile d'imaginer que l'énergie libérée par l’hydrolyse de l'ATP soit récupérée à distance par la ligase. Elle est tout simplement diffusée dans son environnement. Il y a ainsi 7 couplages avec 3 molécules pour le substrat dont 6 avec ATP et une avec GTP. *: - L'enzyme EC6347 peut être remplacée par EC242.14 qui est bidirectionnelle et peut être vue comme le résultat (pas la somme) de 2 transaminases indépendantes. Une à 2 substrats utilisant NH3 et produisant 5P-Ribosylamine +PP qui sont utilisés avec Glu par la 2ème à 3 substrats produisant Gln. Gln peut être produit donc avant l'apparition de l'ATP. *:: + PRPP +NH3 donne <> 5P-ribosylamine +PP *:: + 5P-Ribosylamine +PP +Glu donne <> Gln +PRPP *: - L'enzyme EC6331 n'a que 2 molécules comme substrat comme les kinases et peut être envisagée avant l'apparition de l'ATP en remplaçant celle-ci par PEP. *Comment résoudre le couplage prébiotique nécessaire à la synthèse de novo de l'ATP nécessitant 7 couplages successifs. *: - Dans les réactions que j'ai réunies pour le proto-métabolisme il n'y a que 5 autres couplages non sucessifs: 2 pour CoA 1 pour acetyl-CoA et 2 pour THF. *: - Il faut des concentrations élevées de PEP NH3 Formate Asp Gly Pi *: - Est-ce que les 9 autres aas existants peuvent aider ces couplages: Cys Ser Thr Ala Lys Glu Gln Pro Arg. Et les ceto-acides: Lactate malate oxaloacetate fumarate oxo-glutarate pyruvate; et les acides glycolate acétate propionate =====Formation de l'Uracile===== *Pathway: arginine *: - *ATP +HCO3- +NH3 donne <> Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &emsp;&emsp;'''Carbamoyl-P''' *Pathway: pyrimidines *: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |>''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &emsp;&emsp;'''N-Carbamoyl-Asp''' *: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne <> N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &emsp;&emsp;'''(S)Dihydroorotate''' *: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne <> Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &emsp;&emsp;'''Orotate''' *::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. *:: + *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *::: * Malate vient directement de Pyruvate.Voir Krebs et pyruvate *:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase *: - *Orotidine-5'P +PP donne <> Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &emsp;&emsp;'''Orotidine-5'P''' *: - *Orotidine-5'P '''donne |>''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &emsp;&emsp;'''UMP''' *: - *UMP +Pi '''donne |>''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &emsp;&emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''') *: - *UMP +ATP donne <> UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &emsp;&emsp;'''UDP''' (idem CDP) *: - *UDP +ATP donne <> UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &emsp;&emsp;'''UTP''' (idem CTP) *: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |>''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &emsp;&emsp;'''CTP''' *: - * *: - *Uracil +dRibose-1P donne <> dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &emsp;&emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''') *:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase. *: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP *: - * *: - *dR-base1 +base2 donne <> dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dR-Base1 Base2''' *: - *dUridine +C donne <> dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dCytidine''' *: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP *: - * *: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |>''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &emsp;&emsp;'''dTMP''' et '''DHF''' *: - *dTMP +H2O '''donne |>''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &emsp;&emsp;'''Thymidine''' *: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine *Synthèse *: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP *: - produit: succinate, PP, CO2 *: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP *: - utilise: ADP '''FMN''' *: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine *: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase *: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase. =====Formation de His===== *Pathway: histidine *: - *ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |>''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &emsp;&emsp;'''PRPP-AMP''' *: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |>''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &emsp;&emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |>''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &emsp;&emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |>''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR *: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |>''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne <> Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &emsp;&emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein) *: - *Histidinol-P '''donne |>''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &emsp;&emsp;'''Histidinol''' *: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |>''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidinal''' *: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |>''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidine''' *Synthèse *: - Étapes: 10 à partir de ATP *: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines) *: - consomme: ATP, PRPP, NH3 *: - Utilise: 2 NAD *: - B6: avec B6 =====Récapitulation aas===== *Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |> <u>'''Ala''' sans B6</u> *Pyruvate (Glycolyse); Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne <> Pyruvate + '''Ser''' avec B6 *Glycolate; Glycolate + NAD donne <> Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne <> HxP + '''Gly''' avec B6 *H2S; Ser + H2S donne |> H2O + '''Cys''' avec B6 *Ethanol; Ethanol + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne <> '''Thr''' avec B6 *Pyruvate; 2 Pyruvate donne |> Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-Lactate NAD <> v1, v1+NAD donne <> v2; v2 donne |> v3 + H2O; v3 +NH3 donne |> H2O + <u>'''Val''' sans B6</u> *Thr donne |> Oxobutanoate + NH3 avec B6 *Pyruvate + Oxobutanoate donne |> Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD <> l1, NAD <> l2; l2 donne |> l3 + H2O; l3 +NH3 donne |> H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr *Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |> A1 (avec B6), A1 donne |> A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |> NAD + <u>'''Asp''' (sans B6)</u> * voie Pyruvate *: - Pyruvate +ATP+H2O donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi *: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne <> oxaloacetate + ATP *: - Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)''' *Asp +ATP +NH3 donne |> AMP + PP + <u>'''Asn''' (sans B6)</u> *Asp + ATP donne |> 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6 * Après formation de l'ATP *: - ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6 =====B6 Pyridoxal-P===== *D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser *Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref> *: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu *Biosynthèse de B6 *: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu. *: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant: *:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a <u>molecular tunnel that is almost 100 A in length</u> [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6] *:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a <u>substrate-protective tunnel</u> to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''. *:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and <u>channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel</u>. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants. *: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul. *Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P *: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |>''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi <u>EC4336</u> R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine''' *: -* *: -*Pyridoxal +ATP '''donne |>''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine +ATP '''donne |>''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P''' *: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |>''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne <> Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne <> Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne <> Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal''' *: -* *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +NADP donne <> Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -* *: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6. *: -*L-Ala donne <> D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6 *: -*Pyruvate + D-Glu donne <> D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6 *Synthèse *: - Étapes: une seule *: - produit: directement le pyridoxal seul! *: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate. *: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.) =====NAD nicotinamide adenine dinucléotide===== *Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]] *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) *Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp *: -*Asp + NAD '''donne |>''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp''' *: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne <|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate''' *:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity. *Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes) *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *: - * *: -*Quinolinate + PRPP '''donne <|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide''' *: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne <> Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD''' *:: + '''ATP en substrat''' *: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |>''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+''' *:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln. *: -*NAD + ATP '''donne |>''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+''' *Synthèse *: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN) *: - produit: 2 PP *: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP *: - Utilise: 2 ATP, FAD *: - B6: néant *: - comparaison des 2 voies: *:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S]. *:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution. =====FMN FAD riboflavines===== *Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques. *Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP '''donne <|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil''' *: -*P-ribitylamino-uracil + H2O '''donne |>''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil''' *: -*Ribulose-5P '''donne |>''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P''' *: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |>''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine''' *: -*2 ribitylLumazine '''donne |>''' Riboflavin + ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin''' *:: + A flavoprotein (riboflavin). *: -*Riboflavin + ATP '''donne |>''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN''' *: -*FMN + ATP '''donne |>''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD''' *Synthèse *: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD *: - produit: 2 Formates, NH3 *: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP *: - Utilise: ATP, NADP =====Phe Tyr Trp===== *Les aas aromatiques. Chorismate nécessite FMN. *Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose *: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |>''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase Metacyc de P2 à 1 P '''céto-Fructose-1P''' *:: +*D-Lactate +NAD donne <> Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase ecocyc (schem bi) RL ΔG=+3.33 '''D-Lactate''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne <> D-Lactate +NAD EC121.23 R01735 oxydoreductase pas de REHA '''D-Lactaldehyde''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne <> Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase Metacyc bi '''Methylglyoxal''' *: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |>''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase Metacyc de Asp '''heptulosonate''' *:: +*Asp +ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''Asp-P''' *:: +*Asp-P +NADP '''donne <|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-semialdehyde''' *: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |>''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate''' *: -*Dehydroquinate donne <> Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate''' *: -*Shikimate +NAD donne <> Dehydroshikimate +NAD EC111.24 R06847 oxydoreductase ecocyc LR de shikimate ΔG=-12.20 '''Shikimate''' *: -*Shikimate +ATP '''donne |>''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase ecocyc LR de ATP ΔG=-16.06 '''Shikimate-3P''' *: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate <> Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P''' *: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |>''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate''' *::: .. Requires '''FMN''' *: -*Chorismate donne <> Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate''' *: -*Prephenate donne <> Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate''' *: -*Phe +NAD +H2O donne <> Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6) *: -*Prephenate +NAD donne <> OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate''' *: -*Tyr +NAD +H2O donne <> OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6) *: -*Chorismate +NH3 '''donne |>''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate''' *::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit. *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne <> Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P''' *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne <> Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P''' *: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne <> Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P''' *: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne <> Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' <u>(avec B6)</u> *: - * *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *Synthèse *: - Etapes *:: + Voie commune 11 étapes *:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun *:: + Trp 5 étapes *:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée *: - Produit *:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3 *:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun *:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P *:: + Quinolinate: H2O (rien) *: - Consomme *:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate *:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun *:: + Trp: NH3, PRPP, Ser *:: + Quinolinate, '''2 fois O2''' *: - Utilise *:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP *:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr *:: + Trp: rien *:: + Quinolinate: '''FAD''' *: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6. =====TPP Thiamine pyrophosphate===== *Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas. *Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5. *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire. *:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea. *: -*NAD + Gly +H2S '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |>''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante *: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |>''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P''' *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His). *:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. *: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |>''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P''' *: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne <|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP''' *Biosynthèse de la Thiamine *: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |>''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P''' *: -*Thiamine-P +ATP '''donne |>''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP''' *: -*Thiamine-P +H2O '''donne |>''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine''' *: -*Thiamine +H2O '''donne |>''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole''' *: -*Thiazole +ATP '''donne |>''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P''' *: -*Pyrimidine +ATP '''donne |>''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys) *:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea. *: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP *:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide. *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons. *:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis. *Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP *: - produit: *:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; *:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme) *:: + CO2 PP *: - consomme: *:: + NAD Gly H2S *:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6 *:: + énergie *: - Utilise: *:: + rien *:: + ATP *:: + ATP =====CoA Coenzyme A===== *La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine. *: -*Acetolactate + NADP '''donne <|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*Dimethyl-malate +NAD donne <> methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate''' *: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne <> Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate''' *: -*Pantoate + NAD donne <> Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate''' *: -*Asp '''donne |>''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala''' *:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group. *: -*beta-Ala + Pantoate +ATP '''donne |>''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate''' *: -*beta-Ala + Pantoate '''donne |>''' Pantothenate +H2O EC351.22 R02474 hydrolase '''Pantothenate''' *:: + Article 1966 <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/5/2/399/99824/The-Bacterial-Degradation-of-Pantothenic-Acid-II?redirectedFrom=fulltext</ref>, pseudomonas P-2. *: -*Pantothenate +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate''' *: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives. *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantoate + Cys +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +AMP +PP EC632.51 R04230 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |>''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantetheine +ATP donne <> dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA''' *: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |>''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA''' *Synthèse *: - 13 étapes de Pyruvate à CoA *: - produit: 3 CO2; 3 PP *: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys *: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP *: - B6: pas de B6 =====Val Ile Leu===== *Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul. *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *: -*Acetolactate donne <> OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate donne <> methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' *: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |>''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6) *: -*Ile *: -*Thr '''donne |>''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6) *: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate''' *: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne <> OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate donne <> 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate''' *: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |>''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6) *: -*Leu *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val *: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |>''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate''' *:: +*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*2-Isopropyl-malate donne <> 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate''' *: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne <> 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate''' *: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne <> 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate''' *: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 <u>spontanée</u> R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate''' *: -*Leu +NAD +H2O '''donne <|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6) *Synthèse *: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu. *: - produit *:: + Val: CO2 *:: + Ile: CO2 NH3 *:: + Leu: CO2 *: - consomme *:: + Val: 2 Pyruvate NH3 *:: + Ile: Thr NH3 *:: + Leu: Acetate NH3 *: - Utilise *:: + Val: NADP NAD *:: + Ile: NADP NAD *:: + Leu: ATP CoA 2 NAD *: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6 =====Methionine Met===== *Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. *Pathway: cysteine methionine *: -*acetyl-CoA + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' *: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6) *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (avec B6) *: -*Met +ATP +H2O '''donne |>''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase *: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |>''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met''' voie des sulfures *: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |>''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6) *Synthèse *: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met. *: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici. *: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. *: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol *: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate. *: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP. *:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met. *:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6. =====Glutamate Glu Gln===== *Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs *: -*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne <> Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' *: -*Citrate donne <> Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' *: -*Cis-aconitate +H2O donne <> Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' *: -*Iso-citrate +NADP donne <> oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' *: -*oxalosuccinate donne <> 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' *: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne <> Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6) *: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |>''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase ΔG=-6.77 kcal/mol 469 aas direct de Glu '''Gln''' (sans B6) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 kcal/mol '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. Homo tetramer. 505 aas. *Synthèse *: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln *: - produit: CO2, CoA, Glu *: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3 *: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP *: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln *: - Gln sans ATP: EC242.14. Dans le commentaire NH3 peut remplacer Gln. A partir de là on obtient PRA et PP. PRA est très instable, aussi en présence de Glu et de PP se forme PRPP et Gln avec un ΔG=2.05 kacl/mol meilleur qu'avec l'ATP et favorable à la réversibilité. Donc PRPP + NH3 + Glu donne Gln, peut être en petite quantité, mais peut être entraînée par l'ensemble des autres aas. =====Arginine Arg Pro===== *Nécessite CoA et Glu *: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |>''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu''' *: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |>''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P''' *: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde''' *: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne <|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6) *: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne <> Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine''' *: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase ΔG=6.17 kcal/mol bi metacyc ecocyc, eco 297 aas. 2630 êtres dont 645 archées '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-5-semialdehyde donne <> Pyrroline-5-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *: -* *Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.) *: -*Glu +ATP '''donne |>''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' *: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' *: -*Ornithine +2-oxoglutarate donne <> Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6) *:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' (sans B6) *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-semialdehyde donne <> Pyroline-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *Synthèse sans CoA *: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée *: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P *: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2 *: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD *: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro. =====THF pour TMP===== *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |>''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P''' *: -*Dihydroneopterin-P '''donne |>''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin''' *:: +*Chorismate +Gln '''donne |>''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' *::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate *:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |>''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6) *: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |>''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate''' *: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |>''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10327</ref>. ATP-dependant reaction, est-ce que ATP a un site propre pour son hydrolyse? *: -*THF +NADP '''donne <|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF''' *: -* *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate. *: -* *: -*THF +ATP +Formate donne <> Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF''' eucaryotes *: -*Formyl-THF +P-Ribosylglycinamide donne <> THF +P-Ribosyl-N-formylglycinamide EC2122 R04325 formyl ligase '''Formyl-THF''' bactéries *:: + ecocyc: <ref>https://www.kegg.jp/entry/eco:b2500</ref>, voir formation ATP *: -*Methenyl-THF +H2O donne <> Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF''' *: -*Methylene-THF +NADP donne <> Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF''' *: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |>''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine) *Synthèse *: - 12 étapes de GTP à TMP *: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate *: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3 *: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP =====Acides gras===== *Commencent avec Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA '''donne |>''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne <> Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA donne <> Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA''' *: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne <|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA''' *: - * *: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |>''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA''' *:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl *: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne <> trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA''' *: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à 16 carbones *: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |>''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate''' *Dégradation *: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |>''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |>''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne <> trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA''' *: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA donne <> Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA''' ==essai 1== <pre> Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques. Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu. Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé. Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers. C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation. L'auto-organisation prébiotique *partir du postulat *pas de catalyse minérale des liaisons covalentes *liposome aux interactions faibles *grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis *Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies. *échanges avec l'extérieur *Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau. *A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. *homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme. *L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira. </pre> ==essai 2== *PLD de krishnamurty <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> *Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique *La question de CTP pour l'initialisation de la membrane ===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique=== *Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique: *: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation. *: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle. *: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité. ==essai 3== 12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion. *Deux points importants de la critique du passé de mes essais: *: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? *: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques? *Le nouveau concept *: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile. *: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. *: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile. ==essai 4== 21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a? * Les lectures: *: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).<ref>https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full</ref> *: - Les expériences en laboratoire *:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 <ref> https://theses.hal.science/tel-05407367</ref> *:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 <ref>https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/</ref> *:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 <ref>https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116</ref> * Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides. * Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction *: - en profondeur, avec des températures (>300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction *: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales. *: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (<100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec <u>R.Pascal</u>: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691</ref> *: - <u>Formation des pores d'échange dans la bicouche</u>: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse. *: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP <ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol</ref>. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66. ==essai 5== 15/06/26 Paris. *Les 5 principes *#L'auto-organisation *#La continuité *#La séquestration et la néguentropie *#La différence réaction abiotique/biotique *#L'autonomie *L'environnement prébiotique *: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques *:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire) *:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4 *:# Les minéraux dont les phosphates *:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate *:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3 *: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) *: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes. ===L'auto-organisation=== *Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales. ==essai 6== ===Le processus néguentropique=== *Paris le 5/8/26 ===Introduction à la problématique de la recherche sur les origines de la vie=== *Paris le 2/9/26 *Les ribosomes miroir <ref>https://fr.scienceaq.com/Chemistry/1001083878.html</ref> *RNA polymérase <ref>https://fondation-inserm.org/les-bacteries-miroirs-menace-ou-curiosite-scientifique</ref> ====Le contrôle dual==== *Paris 14.10.26 *Simulateur hydrothermales 2025: formiate acétate pyruvate méthanol NH4 glycolate lactate propionate éthanol, pas de P H2S *Krebs 2024: d'où vient oxaloacétate? CO2 pyruvate oxaloacétate glyoxylate H2+Formiate (équivalent NAD), pas de P H2S, NiFe 22°C pression atmosphérique. *PP 2026: PP est proposé pour remplacer ATP, l'article '''acP de 2016''' propose l'acétyl-P très fragile et peu fréquent. *Moi je propose PEP 2017. *Glycolyse 2014: plusieurs réactions (des isomérase) de l'interconversion des sucres se fait dans l'eau sans enzymes. La non adhésion aux investigations de Muller depuis 1953, recherche des réactions abiotiques qui produisent des molécules biotiques (formaldéhyde adénine...) ne ressemblent aucunement aux réactions biotiques. Glycolyse 2014 m'a conforté dans une idée que j'étais entrain d'appréhender en listant les voies métaboliques de KEGG en partant du simulateur 2025: ces voies ont existé depuis le départ (prébiotiques) dans le système abiotique hydrothermal. *Le contrôle dual: C'est en lisant l'introduction de acP 2016 du chapitre 5, la non adhésion de l'auteur aux investigations de Muller comme je l'ai fait auparavant, m'a encouragé à imaginer un processus qui pourrait se produire dans les sources hydrothermales qui contraindrait ces voies métaboliques égales à celles biotiques actuelles du point de vue du substrat et bien sûr thermodynamique. *: - L'analogie s'est imposée immédiatement: dans le biotique actuel les enzymes créent et contrôlent le métabolisme de base (sucres acides nucléotides minéraux etc.) et de même ce métabolisme contrôle ces enzymes. C'est ce que j’appelle le contrôle dual, qui se fait dans les 2 sens. Mon idée est apparue alors immédiatement, ce sont les voies que je listais auparavant qui se concrétisent. Le métabolisme de base c'est celui des sources hydrothermales, vues alors comme un écosystème biotique hydrothermale, et les enzymes ce sont les aas libres qu'il produit. C'est le contrôle dual prébiotique. *: - La caractéristique principale de ce métabolisme prébiotique qui se crée dans cet écosystème c'est qu'il se fait par étapes. *:: + 1ère étape: simulateur 2025 et krebs 2024 auxquels il faut ajouter PP 2026: aas Ala Gly Asp Glu (4). Les analogues sont NAD (formiate +H2 +NiFe), NH4. Les céto-acides sont Lactate Glycolate Malate céto-Glutarate. Correspondant aux enzymes Ec1411 Ala(5808) Ec261.44 Gly(3043) *:: + 2ème étape, création de Pro (5): c'est le résultat de Glu-P sous l'action de PP, suivie de l'action de l'analogue de NAD comme dans la 1ère étape. L'analogue de ATP est PP qui produit un analogue plus puissant PEP 2017. La 1ère étape a produit aussi les alpha céto-acides: cAla (Lactate) cAsp (Malate) cGly (glycolate) cGlu (alpha céto-glutarate). p8516qb694r9ipa5nj68yj9lc7v5fjx 987428 987427 2026-10-15T17:48:37Z Mekkiwik 5298 /* Le contrôle dual */ 987428 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = biologie | parent = [[Recherche:Laboratoire d'études prébiotiques|Laboratoire d'études prébiotiques]] }} {{Hypothèse | titre = Chiralité prébiotique 2 | parent = [[Recherche:Département:Biologie|Département de recherche en Biologie]] | image = {{idfaculté/logo/biologie}} }} <div style="text-align:center;"><span style="font-size:180%;"> '''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:</br> l'auto-organisation prébiotique.'''</span></div> ==pense bête 1== *L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1. *Définir l'auto-organisation au stade prébiotique *Les erreurs par rapport à cette organisation sont *: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? *: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage. *Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome: *: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite. *: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques. *L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome *: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1. *: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K. *: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine. *: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones. *Auto-organisation des liposomes *: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive? *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome. *: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas. *: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture. *: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions? *: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale. *: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes *: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après. ==pense bête 2== *L'auto-organisation aas + acides gras *: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale *: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe. *: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras. *: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche. *Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras. *# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline *# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides *# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD *# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4--- *# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D? *# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH *# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G Alanine A Histidine H *# - Les stéroides chez les procaryotes ==pense bête 3== *Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre *: - soupe prébiotique *: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique *: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique *: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle. *: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs. *: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées. *: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication. *: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique. *: - étape transcription/ traduction *: - étape réplication/division ==pense bête 4== *Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. *Extraits d'internet: *: - "''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''" *: - La membrane externe des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe</ref>. *: - La membrane interne des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne</ref>. *: - MAM <ref>https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&_x_tr_tl=fr&_x_tr_hl=fr&_x_tr_pto=rq</ref> *: - La mitochondrie <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie</ref> *: - Génome mitochondrial <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial</ref>: aucun gène de synthèse d'un phospholipide *: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse</ref> *: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: "Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle." dans RL fonctions de reticulum endoplasmique <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique</ref>. *Étape de cristallisation 2: *Étape de polymérisation 2: ==pense bête 5== *Étape des eucaryotes 3: *: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel. *: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte. *Hydrogénosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome</ref> et mitosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome</ref>: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes. *Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster <ref>https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf</ref> (page 3). *La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau. ==pense bête 6== *auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome. *Les contraintes résultantes: 4 exemples, *#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, *#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, *#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. *#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte</ref>, paragraphe 3 *#: - "Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré." *#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases. *#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D</ref> de wikipédia, "Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D" il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L. *#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré "qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries". *#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début) *#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L. *# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. *#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00040</ref> LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. *#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00010</ref>qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. *# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation. *polymérisation 2: *: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible. *: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques. *: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier. *: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome. *: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation. *: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace. *: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces. ==pense bête 7== *Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2. *Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane. *Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L, elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D. *Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite. ==pense bête 8== *Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD .... *: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217 *: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln. *: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. *: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP). *: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP] *: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA. *: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est *:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+ + 2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===> dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées. *:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF. * En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, *: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas *: - Asp donne Asn et Ala *: - Glu donne Gln *: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique. *Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse *Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras. ==pense bête 9== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8. *: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P *:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) <> Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)<span style="background-color: #ffff00;"> > </span>Fructose 6P + P, '''*'''531.27 <> arabino 6P, '''*'''412.43 <> Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) <> Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) <> R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) <> R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) <> PRPP. *:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) <> dR-5P, '''*'''5427 (mutase) <> dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) <> dR + ATP. *:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. *: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His *:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) > carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) > Asp-CB, '''*'''3523 > orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') > orotate, '''*'''241.10 (PRPP) > orotidine-P, '''*'''411.23 > UMP. *:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) > CTP *:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) > dRU, '''*'''271.21 (dGTP) > dUMP *:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 < > base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C *:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP > dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier) *:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) > R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) > RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) > RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) > RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) > Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) > AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) > AIR-C-CO2H (CAIR), '''*'''6326 (ATP Asp) > CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 > carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) > FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) > IMP +H2O. *:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) > IMP-sucino, '''*'''4322 > AMP + fumarate. *:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) > XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) > GMP *:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) > dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) > dAMP et dGMP *:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) > PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) > 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) > R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) > Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) > Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) > oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) > P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') > Histidinal puis His. *: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs. *:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') > H2O2 (ou succinate) + iminoAsp > en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') > quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) > Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) > NAD+, '''*'''271.23 (ATP) > NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP). *:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) > pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) > 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) > 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) > butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) > lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) > Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP > dATP > CTP > UTP) > FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) > FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) > FADH2 et (FMN NAD) > FMNH2. *:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) > Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) > idem. *:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) > formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 > neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 > dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) > PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) > dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) > dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') > tetrahydrofolate. *::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) > Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) > prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) > chorismate, '''*'''261.85 (NH3) > amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) > 4-amino-benzoate et pyruvate. *:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr''' pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) > aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') > CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 > CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) > dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') > pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) > pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) > ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) > P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 > P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) > PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) > CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP). *: - Synthèse des aas *:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, *::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) > indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') > Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) > Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) > anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') > '''PRPP''' Anthranilate *::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) > Gly '''OH-Pyruvate''' *::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') > Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') > '''OH-Thr''' (voir synthèse B6) *::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) > Cys, idem (Ser '''HomoCys''') > '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) > Cys NH3 '''Oxo-butanoate''' *::: - Asp > Asn et '''*'''411.12 (Asp) > Ala et CO2 *::: - Glu > Gln *::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') > Urocanate NH3 "MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine", '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) > Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) > Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) > formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') > Histamine et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') > NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) > Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) > Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) > Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) > formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) > Formate et Asp. *::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui >nt 7 aas dérivés. Pour His >rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr. ==pense bête 10== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres. *: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr. *: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé. *: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met. *: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA): les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas. ==pense bête 11== *Tanger le 7/12/25 * Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG). * C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs. * L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment. *Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate</ref>. Le C de CO2 est lié à N de NH2. *Les aminonitriles: *: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. *: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp. *: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42. *:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde. *:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes. * L'histidine * Les aromatiques * Lysine ornitine et proline ==pense bête 12== *Paris le 27/02/26 *Les lectures *: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015 *: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005 *: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024, *Plan *: - postulat: ça s'est fait tout seul *: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique *: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique *: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports) *Les aas abiotiques: *: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C *:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025 *:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24) *:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation *:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation. *:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde) *:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement) *: - autres *:# Ser, aubrey faible *:# Thr, plus acétate *:# Asn, NH3 *:# Gln, NH3 *: - Formose *:# His, erythrose formamidine HCN *: - FTT *:# Trp, indole plus Ser ou Fritz *:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN *:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN *:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin *:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin *:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser *:# Met, homocystéine plus CH3 *: - Réactions quasi biotiques *:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline *:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3 ===notes des lectures=== *Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure). *Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h *Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. *: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:"Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides." *: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: "L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019)." J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr ==pense bête 13== *Paris 29/6/26 *Article de départ *: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1). ===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs=== *hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3. ====Pyruvate bis==== *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) *:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne <> P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction) *: - *oxaloacetate + Pi donne '''|>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *: - *oxaloacetate + PP donne <> P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique <--- *:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne <> Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? <--- c'est mon hypothèse pour EC2791 *: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne <> P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2 EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' <--- *Pathway: glycolyse suite *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 (R00658) hydro-lyase <--- *: - *Glycérate-2P donne <> Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase *: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''') EC121.12 (R01061) oxydoréductase <--- *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase <--- *Pathway: Aspartate *: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''') EC1411 (R00396) oxydoréductase *:: + Contradiction '''subs/prod''' ====Glycolate bis==== *Pathway: glyoxylate *: - *Glycolate + Acceptor '''donne |>''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase *:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS? *:: + '''Formate'''? *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |>''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase *: - *Asp + NAD (formate) '''donne <|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410 *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase *:: + Contains pyridoxal phospate. *:: + ''confirmer que Cys est produite avant'' *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant'' *: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |>''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (<u>en labo sans enzyme mais très faible</u>) *:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 <ref>https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84</ref> nitrile hydratase.'' *: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |>''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase ====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate propionate phosphite==== *Compound, phosphite. Voir article sur Phosphite dans les sources hydrothermales <ref>https://www.biorxiv.org/content/10.64898/2025.12.19.695421v2.full</ref>. *: -Phosphite +NAD+ +H2O donne phosphate +NADH +H+ EC1.20.1.1 R05746 oxydoreductase. 146 bactéries, rien d'autre. Enx, enterobacter, 341 aas. Entrée créée en 2001 MAJ 2025. *: -Phosphite +AMP +NAD+ donne ADP +NADH +H+ EC1.20.1.2 R13633 oxydoreductase. Une seule référence <ref>https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.2309743120</ref>. Entrée créée en 2025. *Pathway: pyruvate métabolisme *: -*'''Ethanol''' + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein) bi ecocyc de ethanol ΔG=3.10kcal/mol. eco 891 aas. 8769 êtres dont 200 archées *: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate). 6796 êtres dont 132 archées *: -*'''Acetate''' +ATP donne <> Acetyl-P +ADP EC2721 R00315 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=-6.97 kcal/mol, 400 aas. 7664 êtres dont 28 archées *: -*'''Acetate''' +PP donne <> Acetyl-P +Pi EC272.12 R00320 kinase. Métacyc sens indéfini. Entamoeba histolytica seule référence de 1975 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/0006291X75905136?via%3Dihub</ref> *: -*'''Propionate''' +ATP donne <> Propionyl-P +ADP EC2721 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 7665 êtres dont 29 archées *: -*'''Propionate''' +ATP donne <> Propionyl-P +ADP EC272.15 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 375 bactéries pas d'archées *:: + comment: Involved in the anaerobic degradation of L-threonine in bacteria. Voir dans propanoate pathway EC123- de 2-oxobutanoate vers propanoyle-P, flèche sans enzyme. Le 2-oxobutanoate vient de la Thr. *: - *<u>Acetate + ''ATP +CoA donne <> Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''</u> archées *: - *<u>''Propanoyl-CoA +Formate donne <> 2-Oxobutanoate +CoA EC231.54 R06987 Formate lyase''</u> *: - *<u>''Acetyl-CoA +Formate donne <> Pyruvate +CoA EC231.54 R00212 Formate lyase''</u> *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10701</ref>, attention activation de l'enzyme par flavodoxin/ferredoxin-NADP+ reductase. *: - *'''Methanol''' + NAD donne <> formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein) *: -*formaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase *: - *'''Lactate''' + NAD donne <> '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase. 4141 êtres dont 16 archées *Pathway: glyoxylate métabolisme *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glyoxylate +NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase Metacyc bi. 2272 êtres dont 124 archées (mieux que ec111.29, voir Ser). *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glycolaldehyde +NAD +H2O EC121.21 R01333 aldehyde dehydrogenase ecocyc di de aldehyde ΔG=-17.03kcal/mol *: - *OH-pyruvate '''donne |>''' Glycolaldehyde +CO2 EC411.40 R01393 carboxylase Metacyc bi *Pathway: methane métabolisme *: - *'''Methanol''' + NAD '''donne |>''' formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase Metacyc di *Pathway: cysteine methionine *: - *'''Methanol''' + H2S donne <??> '''Methane thiol''' <u>ou bien le methane thiol est basique comme le methanol</u> *: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase *:: + *Asp + ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase *:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne <|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase *:: + *Asp-semialdehyde + NAD donne <> L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase *:: + *'''acety-CoA''' + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (B6 protein) ====Pyruvate==== =====Glycolyse===== *Pathway: Pyruvate *: - *Pyruvate +HCO3- +ATP '''donne |>''' Oxaloacetate +ADP +Pi EC6411 R00344 ligase metacyc de ATP (A biotinyl-protein) *: - *Malate +NADP donne <> Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc de Malate (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol *:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate. *: - *Malate +NAD+ donne <> Pyruvate +NADH +CO2 +H+ EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc et metacyc direct de Malate ΔG=-0.32Kcal/mol *:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate +H+ (non réversible) <ref>https://biocyc.org/reaction?orgid=ECOLI&id=1.1.1.39-RXN</ref>. *:: + thermodynamiquement Ec111.38 est réversible à cause de son ΔG=-0.32Kcal/mol. Mais dans la cellule elle a pour objet de produire du CO2 lors de l'accumulation de NAD+. Décompte génomes a b e: 458 9991 1295 *: - *Malate +NAD donne <> Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=4.46Kcal/mol *: - *oxaloacetate + Pi '''donne |>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 900 aas. *: - *oxaloacetate '''+PP''' donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bi son ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + abe: 0 250 10; grosse enzyme 1100 aas. Energie de liaison de PP 47.8 Kcal/mol et 1ère et 2ème PP dans ATP, sont égales à 7.3Kcal/mol; P-enolpyruvate 14.8kcal/mol *:: + Also catalyses the reaction: P-enolpyruvate + Pi = pyruvate + PP. <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/12/26/5247/105472/Carboxytransphosphorylase-VII-Phosphoenolpyruvate?redirectedFrom=fulltext</ref> *:: + ''Pyruvate +PP donne <> P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique? c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse) *: - *oxaloacetate +ATP donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +ADP EC411.49 R00341 kinase ecocyc de ATP (shem bi) ΔG=-7.02Kcal/mol *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 520 aas. *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP '''donne <|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 R00200 kinase biocyc de ADP ΔG=-2.23Kcal/mol *: - *Pyruvate +ATP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 R00206 dikinase (multi-step reaction) metacyc de ATP ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP +H2O donne <> P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 R00199 dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 R00658 hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> '''Glycérate-3P''' EC542.11 R01518 mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol *: - *Glycérate-3P + ATP donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 R01061 dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=8.23''' Kcal/mol (gauche-droite) *: - *Fructose-6P '''+PP''' donne <> Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini) *:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule. *:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; enzyme 300-600 aas. *: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |>''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) phosphorylase de f1.6 à f6 ΔG=6.89Kcal/mol) *: - *Fructose-6P +ATP '''donne |>''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol) =====Formation des aas à partir du pyruvate===== *Pathway: Ala Asp Glu *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) Metacyc bi. 5728 êtres dont 243 archées *Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate *: - voie P-Ser *: - *Glycérate-3P +NAD +H2O donne <> P-OH-Pyruvate +NAD EC111.95 R01513 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.03 kcal/mol. 10084 êtres dont 434 archées *: - *O-P-Ser +2-oxoGlu donne <> P-OH-Pyruvate +Glu EC261.52 R04173 transaminase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=0.08 kcal/mol. 8871 êtres dont 71 archées *: - *O-P-Ser +H2O '''donne |>''' L-Ser +Pi EC3133 R00582 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=9.27 kcal/mol. 8278 êtres dont 366 archées *: - voie Glycerate *: - *'''Glycérate-3P''' + H2O '''donne |>''' Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase. 1 seule référence de 1971 "sugarcane leaves" *:: + *Glycéraldéhyde +NAD +H2O donne <> Glycérate +NAD EC1213 R01752 oxydoréductase. 6796 êtres dont 132 archées pas de metacyc *:: + *Glycéraldéhyde +DHAP donne <> Fructose-1P EC412.13 R02568 lyase. Metacyc direct de Fructose. 11542 êtres dont 459 archées *::: * Pour obtenir Fructose-1P à partir de Fructose-6P, il faut 4 enzymes EC111.17, 313.22, 111.11, 2713 (une kinase) <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00051</ref> *::: * Le Glycéraldéhyde libre est bloqué comme le Glycerol <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00561</ref>. Il est rapidement transformé en Glycéraldéhyde-3P EC271.28 *:: + *Mannitol-1P +NAD donne <> Fructose-6P +NAD EC111.17 R00758 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.60 kcal/mol. 1867 êtres dont 2 archées *:: + *Mannitol +Pi donne <> Mannitol-1P +H2O EC313.22 R02167 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=7.22 kcal/mol. 2063 êtres dont 1 archées *:: + *Mannitol +NAD donne <> Fructose +NAD EC111.11 R00868 oxydoréductase. Metacyc bi. 443 êtres dont 0 archées (Ec111.67 1312,Ec111.67 83) *:: + *Fructose +ATP '''donne |>''' Fructose-1P +ADP EC2713 R00866 kinase. Metacyc direct de Fructose. 907 êtres dont 52 archées *: - *Glycerate + NAD donne <> Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase. 2077 êtres, eucaryotes, bactéries, 9 archées MM et 1 METB. Metacyc bi. *: - *'''Ser''' + Pyruvate donne <> Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein). 2913 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + Glyoxylate donne <> '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein). 2880 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + H2S '''donne |>''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein) 3754 êtres, eucaryotes, bactéries, 36 archées. pas de RHEA *: - *Ser +Acetyl-CoA donne <> O-Acetyl-Ser +CoA EC231.30 (R00586) transferase (sans B6) 8266 êtres, eucaryotes, bactéries, 170 archées. *:: + voie de E.Coli suivie de EC251.47 donne Cys avec B6. 8282 êtres *: - *'''Thr''' donne <> Gly + Acetaldehyde EC412.48 (R00751) transaminase (B6 protein) 6788 êtres, eucaryotes, bactéries, 100 archées. Ecocyc bi, ΔG=1.0 kcal/mol *: - *Thr '''donne |>''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein) *Pathway: Val Leu Ile biosynthese *: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat) *: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |>''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction) *: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne <> 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase *: - *Aceto-Lactate + NAD donne <> 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase *: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase *: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase *: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |>''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase *: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |>''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase *: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne <|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating *: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne <|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating *: - * *: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |>''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase *: - *2-isopropylmalate donne <> 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase *: - *2-isopropylmaleate + H2O donne <> 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase *: - *3-isopropylmalate + NAD donne <> 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase *: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée *: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne <|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating *Synthèse *: - 2 groupes *:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6, *::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate *::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate *::: * Cys: consomme H2S, basique *::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate *:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6 *::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD *::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA =====Formation de Asp et Asn ===== *Pathway: Glyoxylate *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |>''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp''' *: - *Asp + NAD '''donne <|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6) *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi *Pathway: Ala Asp Glu *: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |>''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase (sans B6) *: - *Asp +2-oxoglutarate donne <> Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase (avec B6) *: - *Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino lyase ecocyc bi ΔG=+3.19 Kcal/mol de Asp (sans B6) *: - *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *:: + Malate vient directement de Pyruvate *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein) *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6) *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique? *: - Voie Glyoxylate: *:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu. *:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate. *: - voie Ala Asp Glu *:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp. *: - voie cyanoamino acide: *:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude? *: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref>. *:: + =====Formation de Lys===== *Pathway: Lysine *: - *Asp + ATP '''donne |>''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''4-Asp-P''' *: - *4-Asp-P +NAD '''donne <|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-4-semialdehyde''' *: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |>''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase '''4Hydro-dipicolinate''' *: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne <|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase (spontanée: +H2O donne <> '''L-2-Amino-6-oxopimelate''') *: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne <> L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &emsp;&emsp; '''diaminopimelate''' *: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |>''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &emsp;&emsp; '''L-Lys''' (B6 protein) *: - *Lys +acetyl-P '''donne |>''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &emsp;&emsp; '''N6-acetyl-Lys''' *: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne <> N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein) *: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne <> 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &emsp; '''5-Acetamido-pentanoate''' *: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne <> 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &emsp; '''5-Aminopentanoate''' *: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne <> Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein) *: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne <> Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras) *Synthèse *: - étapes: 6 à partir de Asp *: - produit: NH3, CO2 *: - consomme: Asp, Pyruvate *: - utilise: ATP, 3 NAD *: - B6: avec B6 =====Formation des Riboses et dRiboses===== *Pathway: Pentoses phosphates *: - *D-Arabinulose-P donne <> '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase 185 aas metacyc direct de Arabi. 1303 êtres dont 291 archées *: - *D-Arabinulose-P donne <> D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase 211 aas metacyc bi. 1214 êtres dont 295 archées *: - *D-Ribose-5P donne <> D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase 219 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-6.13 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P donne <> D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-1.93 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P +ADP '''donne |>''' D-Ribose-1,5P2 +AMP EC271.212 (R11535) P-transferase 294 aas metacyc de ADP *: - *D-Ribose-1,5P2 + ATP '''donne |>''' PRPP +ADP EC274.23 (R06836) P-transferase 185 aas metacyc de ATP ecocyc bi ΔG=-2.03 kcal/mol *: - *D-Ribose-5P + ATP donne <> PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase 315 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-25.84 kcal/mol *: - * *: - *D-dRibose-5P donne <> '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase 259 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=5.12 kcal/mol *: - *D-dRibose-1P donne <> D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=?? comme Ribose? *Synthèse *: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose *: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P *: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde. *: - utilise: AMP; et rien *: - Note: PRPP peut être obtenu par 2 P-transférases qui peuvent utiliser PEP =====Formation de l'ATP===== *Pathway: purines *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +ADP +Pi EC6347 R01053 amido transférase oiseaux (article unique 1968 <ref>https://www.jbc.org/article/S0021-9258(18)91922-8/pdf</ref>) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. homo4mères *: - *PRA +Gly +ATP '''donne |>''' 5P-Ribosylglycinamide +ADP +Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-6.27 '''GAR''' *:: + ecocyc: séquentiel et ordonné. Tunnel. Monomère <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10792</ref> *: - *GAR +ATP +Formate '''donne |>''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-8.97 '''FGAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG11809</ref>, monomere *:: + EC2122 THF sans ATP R04325 ecocyc et Meta bi ΔG=16.47 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10799</ref>, monomere *: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |>''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20 '''FGAM''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10797</ref> 3 sites Gln d'abord, puis ATP puis FGAR. Monomère. Fusion de 3 enzymes. *: - *FGAM +ATP '''donne |>''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ecocyc et metacyc direct de ATP ΔG=9.97 '''AIR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10798</ref>. Pas de couplage, ATP attaque FGAM puis cyclase. Dimère. *: - *[AIR +HCO3- +ATP '''donne |>''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC634.18 R07404 ecocyc et Meta de ATP ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10796</ref>. dimère. Nonenzymatic carboxylation of AIR occurs. *: - *[AIRC donne <> 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=6.32 Metacyc et ecocyc de carboxyamno '''CAIR'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10793</ref>. octamère. Réversible si EC6336 est absente *: - *5-amino-1-(5-phospho-D-ribosyl)imidazole-4-carboxylate donne <> AIR +CO2 EC411.21 R04209 carboxylase Metacyc bi '''CAIR''' *: - *CAIR +Asp +ATP donne <> (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase ΔG=-7.66 '''SAICAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10791</ref>. Trimère. les sites ne sont pas élucidés. *: - *SAICAR donne <> 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase ΔG=9.84 ecocyc direct Metacyc bi '''AICAR''' *: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |>''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase '''Metacyc bi FAICAR''' *:: + EC2123 THF sans ATP R04560 ecocyc et Meta bi ΔG=18.96 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10795</ref>, monomere *: - *IMP +H2O donne <> FAICAR EC354.10 R01127 cyclase ΔG=26.85 ecocyc et Metacyc bi '''IMP''' *: - *IMP +GTP +Asp '''donne |>''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-103.56 '''car-AMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10790</ref>. dimère. Les binding sites sont élucidés. *: - *car-AMP '''donne |>''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase ΔG=55.05 ecocyc direct metacyc bi '''AMP''' *: - *IMP +NAD +H2O '''donne |>''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase ecocyc et Metacyc bi ΔG=2.43 '''XMP''' *: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |>''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-5.44 '''GMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10420</ref>. dimère. Sans Gln il n'y a que 2 binding sites, ATP et XMP. Le contrôle est strict avec Gln mais pas avec NH3. *: - *GMP,AMP +ATP donne <> GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &emsp;&emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP''' *: - *GMP,AMP +ADP donne <> Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &emsp;&emsp;'''Guanosine, Adenosine''' *: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne <> G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &emsp;&emsp;'''G, A''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne <> G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &emsp;&emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |>''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &emsp;&emsp;'''dGMP,dAMP''' *: - *dGMP,dAMP +ATP donne <> dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &emsp;&emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP''' *Synthèse *: - étapes: 12 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP *: - produit: 2 Fumarate CO2 *: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 Gly *: - utilise: 7 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une carboxylase et une cyclase n'utilisent pas ADP. *: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP. =====La synthèse de novo de l'ATP et le couplage de 2 réactions===== *Problématique: *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase *: - Dans la réaction R01053 l'enzyme EC6347 en fait 2 réactions en parallèle: *:: + L'hydrolyse ATP +H2O '''donne |>''' ADP +Pi, fournit à l'enzyme l'énergie nécessaire pour lier NH3 au Ribose *:: + Ribose-5P +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +H2O *: - La réaction R01053 est directionnelle. C'est le cas des autres réactions faisant intervenir 3 substrats. *: - Avant l'apparition des polypeptides la probabilité de la rencontre des 3 substrats est très faible et c'est le rôle principale de l'enzyme que de les réunir. Dans mon hypothèse, l'environnement avec ses aas libres favorisant tant soit peu la réaction, il est difficile d'imaginer que l'énergie libérée par l’hydrolyse de l'ATP soit récupérée à distance par la ligase. Elle est tout simplement diffusée dans son environnement. Il y a ainsi 7 couplages avec 3 molécules pour le substrat dont 6 avec ATP et une avec GTP. *: - L'enzyme EC6347 peut être remplacée par EC242.14 qui est bidirectionnelle et peut être vue comme le résultat (pas la somme) de 2 transaminases indépendantes. Une à 2 substrats utilisant NH3 et produisant 5P-Ribosylamine +PP qui sont utilisés avec Glu par la 2ème à 3 substrats produisant Gln. Gln peut être produit donc avant l'apparition de l'ATP. *:: + PRPP +NH3 donne <> 5P-ribosylamine +PP *:: + 5P-Ribosylamine +PP +Glu donne <> Gln +PRPP *: - L'enzyme EC6331 n'a que 2 molécules comme substrat comme les kinases et peut être envisagée avant l'apparition de l'ATP en remplaçant celle-ci par PEP. *Comment résoudre le couplage prébiotique nécessaire à la synthèse de novo de l'ATP nécessitant 7 couplages successifs. *: - Dans les réactions que j'ai réunies pour le proto-métabolisme il n'y a que 5 autres couplages non sucessifs: 2 pour CoA 1 pour acetyl-CoA et 2 pour THF. *: - Il faut des concentrations élevées de PEP NH3 Formate Asp Gly Pi *: - Est-ce que les 9 autres aas existants peuvent aider ces couplages: Cys Ser Thr Ala Lys Glu Gln Pro Arg. Et les ceto-acides: Lactate malate oxaloacetate fumarate oxo-glutarate pyruvate; et les acides glycolate acétate propionate =====Formation de l'Uracile===== *Pathway: arginine *: - *ATP +HCO3- +NH3 donne <> Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &emsp;&emsp;'''Carbamoyl-P''' *Pathway: pyrimidines *: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |>''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &emsp;&emsp;'''N-Carbamoyl-Asp''' *: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne <> N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &emsp;&emsp;'''(S)Dihydroorotate''' *: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne <> Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &emsp;&emsp;'''Orotate''' *::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. *:: + *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *::: * Malate vient directement de Pyruvate.Voir Krebs et pyruvate *:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase *: - *Orotidine-5'P +PP donne <> Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &emsp;&emsp;'''Orotidine-5'P''' *: - *Orotidine-5'P '''donne |>''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &emsp;&emsp;'''UMP''' *: - *UMP +Pi '''donne |>''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &emsp;&emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''') *: - *UMP +ATP donne <> UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &emsp;&emsp;'''UDP''' (idem CDP) *: - *UDP +ATP donne <> UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &emsp;&emsp;'''UTP''' (idem CTP) *: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |>''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &emsp;&emsp;'''CTP''' *: - * *: - *Uracil +dRibose-1P donne <> dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &emsp;&emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''') *:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase. *: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP *: - * *: - *dR-base1 +base2 donne <> dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dR-Base1 Base2''' *: - *dUridine +C donne <> dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dCytidine''' *: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP *: - * *: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |>''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &emsp;&emsp;'''dTMP''' et '''DHF''' *: - *dTMP +H2O '''donne |>''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &emsp;&emsp;'''Thymidine''' *: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine *Synthèse *: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP *: - produit: succinate, PP, CO2 *: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP *: - utilise: ADP '''FMN''' *: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine *: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase *: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase. =====Formation de His===== *Pathway: histidine *: - *ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |>''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &emsp;&emsp;'''PRPP-AMP''' *: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |>''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &emsp;&emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |>''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &emsp;&emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |>''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR *: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |>''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne <> Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &emsp;&emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein) *: - *Histidinol-P '''donne |>''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &emsp;&emsp;'''Histidinol''' *: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |>''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidinal''' *: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |>''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidine''' *Synthèse *: - Étapes: 10 à partir de ATP *: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines) *: - consomme: ATP, PRPP, NH3 *: - Utilise: 2 NAD *: - B6: avec B6 =====Récapitulation aas===== *Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |> <u>'''Ala''' sans B6</u> *Pyruvate (Glycolyse); Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne <> Pyruvate + '''Ser''' avec B6 *Glycolate; Glycolate + NAD donne <> Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne <> HxP + '''Gly''' avec B6 *H2S; Ser + H2S donne |> H2O + '''Cys''' avec B6 *Ethanol; Ethanol + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne <> '''Thr''' avec B6 *Pyruvate; 2 Pyruvate donne |> Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-Lactate NAD <> v1, v1+NAD donne <> v2; v2 donne |> v3 + H2O; v3 +NH3 donne |> H2O + <u>'''Val''' sans B6</u> *Thr donne |> Oxobutanoate + NH3 avec B6 *Pyruvate + Oxobutanoate donne |> Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD <> l1, NAD <> l2; l2 donne |> l3 + H2O; l3 +NH3 donne |> H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr *Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |> A1 (avec B6), A1 donne |> A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |> NAD + <u>'''Asp''' (sans B6)</u> * voie Pyruvate *: - Pyruvate +ATP+H2O donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi *: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne <> oxaloacetate + ATP *: - Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)''' *Asp +ATP +NH3 donne |> AMP + PP + <u>'''Asn''' (sans B6)</u> *Asp + ATP donne |> 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6 * Après formation de l'ATP *: - ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6 =====B6 Pyridoxal-P===== *D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser *Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref> *: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu *Biosynthèse de B6 *: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu. *: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant: *:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a <u>molecular tunnel that is almost 100 A in length</u> [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6] *:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a <u>substrate-protective tunnel</u> to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''. *:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and <u>channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel</u>. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants. *: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul. *Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P *: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |>''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi <u>EC4336</u> R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine''' *: -* *: -*Pyridoxal +ATP '''donne |>''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine +ATP '''donne |>''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P''' *: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |>''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne <> Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne <> Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne <> Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal''' *: -* *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +NADP donne <> Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -* *: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6. *: -*L-Ala donne <> D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6 *: -*Pyruvate + D-Glu donne <> D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6 *Synthèse *: - Étapes: une seule *: - produit: directement le pyridoxal seul! *: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate. *: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.) =====NAD nicotinamide adenine dinucléotide===== *Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]] *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) *Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp *: -*Asp + NAD '''donne |>''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp''' *: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne <|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate''' *:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity. *Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes) *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *: - * *: -*Quinolinate + PRPP '''donne <|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide''' *: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne <> Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD''' *:: + '''ATP en substrat''' *: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |>''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+''' *:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln. *: -*NAD + ATP '''donne |>''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+''' *Synthèse *: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN) *: - produit: 2 PP *: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP *: - Utilise: 2 ATP, FAD *: - B6: néant *: - comparaison des 2 voies: *:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S]. *:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution. =====FMN FAD riboflavines===== *Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques. *Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP '''donne <|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil''' *: -*P-ribitylamino-uracil + H2O '''donne |>''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil''' *: -*Ribulose-5P '''donne |>''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P''' *: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |>''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine''' *: -*2 ribitylLumazine '''donne |>''' Riboflavin + ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin''' *:: + A flavoprotein (riboflavin). *: -*Riboflavin + ATP '''donne |>''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN''' *: -*FMN + ATP '''donne |>''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD''' *Synthèse *: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD *: - produit: 2 Formates, NH3 *: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP *: - Utilise: ATP, NADP =====Phe Tyr Trp===== *Les aas aromatiques. Chorismate nécessite FMN. *Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose *: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |>''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase Metacyc de P2 à 1 P '''céto-Fructose-1P''' *:: +*D-Lactate +NAD donne <> Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase ecocyc (schem bi) RL ΔG=+3.33 '''D-Lactate''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne <> D-Lactate +NAD EC121.23 R01735 oxydoreductase pas de REHA '''D-Lactaldehyde''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne <> Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase Metacyc bi '''Methylglyoxal''' *: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |>''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase Metacyc de Asp '''heptulosonate''' *:: +*Asp +ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''Asp-P''' *:: +*Asp-P +NADP '''donne <|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-semialdehyde''' *: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |>''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate''' *: -*Dehydroquinate donne <> Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate''' *: -*Shikimate +NAD donne <> Dehydroshikimate +NAD EC111.24 R06847 oxydoreductase ecocyc LR de shikimate ΔG=-12.20 '''Shikimate''' *: -*Shikimate +ATP '''donne |>''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase ecocyc LR de ATP ΔG=-16.06 '''Shikimate-3P''' *: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate <> Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P''' *: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |>''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate''' *::: .. Requires '''FMN''' *: -*Chorismate donne <> Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate''' *: -*Prephenate donne <> Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate''' *: -*Phe +NAD +H2O donne <> Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6) *: -*Prephenate +NAD donne <> OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate''' *: -*Tyr +NAD +H2O donne <> OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6) *: -*Chorismate +NH3 '''donne |>''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate''' *::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit. *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne <> Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P''' *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne <> Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P''' *: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne <> Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P''' *: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne <> Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' <u>(avec B6)</u> *: - * *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *Synthèse *: - Etapes *:: + Voie commune 11 étapes *:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun *:: + Trp 5 étapes *:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée *: - Produit *:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3 *:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun *:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P *:: + Quinolinate: H2O (rien) *: - Consomme *:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate *:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun *:: + Trp: NH3, PRPP, Ser *:: + Quinolinate, '''2 fois O2''' *: - Utilise *:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP *:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr *:: + Trp: rien *:: + Quinolinate: '''FAD''' *: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6. =====TPP Thiamine pyrophosphate===== *Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas. *Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5. *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire. *:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea. *: -*NAD + Gly +H2S '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |>''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante *: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |>''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P''' *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His). *:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. *: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |>''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P''' *: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne <|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP''' *Biosynthèse de la Thiamine *: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |>''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P''' *: -*Thiamine-P +ATP '''donne |>''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP''' *: -*Thiamine-P +H2O '''donne |>''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine''' *: -*Thiamine +H2O '''donne |>''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole''' *: -*Thiazole +ATP '''donne |>''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P''' *: -*Pyrimidine +ATP '''donne |>''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys) *:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea. *: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP *:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide. *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons. *:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis. *Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP *: - produit: *:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; *:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme) *:: + CO2 PP *: - consomme: *:: + NAD Gly H2S *:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6 *:: + énergie *: - Utilise: *:: + rien *:: + ATP *:: + ATP =====CoA Coenzyme A===== *La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine. *: -*Acetolactate + NADP '''donne <|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*Dimethyl-malate +NAD donne <> methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate''' *: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne <> Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate''' *: -*Pantoate + NAD donne <> Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate''' *: -*Asp '''donne |>''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala''' *:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group. *: -*beta-Ala + Pantoate +ATP '''donne |>''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate''' *: -*beta-Ala + Pantoate '''donne |>''' Pantothenate +H2O EC351.22 R02474 hydrolase '''Pantothenate''' *:: + Article 1966 <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/5/2/399/99824/The-Bacterial-Degradation-of-Pantothenic-Acid-II?redirectedFrom=fulltext</ref>, pseudomonas P-2. *: -*Pantothenate +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate''' *: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives. *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantoate + Cys +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +AMP +PP EC632.51 R04230 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |>''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantetheine +ATP donne <> dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA''' *: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |>''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA''' *Synthèse *: - 13 étapes de Pyruvate à CoA *: - produit: 3 CO2; 3 PP *: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys *: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP *: - B6: pas de B6 =====Val Ile Leu===== *Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul. *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *: -*Acetolactate donne <> OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate donne <> methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' *: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |>''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6) *: -*Ile *: -*Thr '''donne |>''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6) *: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate''' *: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne <> OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate donne <> 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate''' *: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |>''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6) *: -*Leu *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val *: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |>''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate''' *:: +*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*2-Isopropyl-malate donne <> 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate''' *: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne <> 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate''' *: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne <> 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate''' *: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 <u>spontanée</u> R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate''' *: -*Leu +NAD +H2O '''donne <|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6) *Synthèse *: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu. *: - produit *:: + Val: CO2 *:: + Ile: CO2 NH3 *:: + Leu: CO2 *: - consomme *:: + Val: 2 Pyruvate NH3 *:: + Ile: Thr NH3 *:: + Leu: Acetate NH3 *: - Utilise *:: + Val: NADP NAD *:: + Ile: NADP NAD *:: + Leu: ATP CoA 2 NAD *: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6 =====Methionine Met===== *Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. *Pathway: cysteine methionine *: -*acetyl-CoA + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' *: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6) *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (avec B6) *: -*Met +ATP +H2O '''donne |>''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase *: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |>''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met''' voie des sulfures *: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |>''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6) *Synthèse *: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met. *: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici. *: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. *: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol *: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate. *: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP. *:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met. *:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6. =====Glutamate Glu Gln===== *Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs *: -*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne <> Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' *: -*Citrate donne <> Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' *: -*Cis-aconitate +H2O donne <> Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' *: -*Iso-citrate +NADP donne <> oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' *: -*oxalosuccinate donne <> 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' *: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne <> Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6) *: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |>''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase ΔG=-6.77 kcal/mol 469 aas direct de Glu '''Gln''' (sans B6) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 kcal/mol '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. Homo tetramer. 505 aas. *Synthèse *: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln *: - produit: CO2, CoA, Glu *: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3 *: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP *: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln *: - Gln sans ATP: EC242.14. Dans le commentaire NH3 peut remplacer Gln. A partir de là on obtient PRA et PP. PRA est très instable, aussi en présence de Glu et de PP se forme PRPP et Gln avec un ΔG=2.05 kacl/mol meilleur qu'avec l'ATP et favorable à la réversibilité. Donc PRPP + NH3 + Glu donne Gln, peut être en petite quantité, mais peut être entraînée par l'ensemble des autres aas. =====Arginine Arg Pro===== *Nécessite CoA et Glu *: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |>''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu''' *: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |>''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P''' *: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde''' *: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne <|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6) *: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne <> Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine''' *: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase ΔG=6.17 kcal/mol bi metacyc ecocyc, eco 297 aas. 2630 êtres dont 645 archées '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-5-semialdehyde donne <> Pyrroline-5-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *: -* *Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.) *: -*Glu +ATP '''donne |>''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' *: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' *: -*Ornithine +2-oxoglutarate donne <> Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6) *:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' (sans B6) *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-semialdehyde donne <> Pyroline-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *Synthèse sans CoA *: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée *: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P *: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2 *: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD *: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro. =====THF pour TMP===== *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |>''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P''' *: -*Dihydroneopterin-P '''donne |>''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin''' *:: +*Chorismate +Gln '''donne |>''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' *::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate *:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |>''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6) *: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |>''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate''' *: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |>''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10327</ref>. ATP-dependant reaction, est-ce que ATP a un site propre pour son hydrolyse? *: -*THF +NADP '''donne <|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF''' *: -* *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate. *: -* *: -*THF +ATP +Formate donne <> Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF''' eucaryotes *: -*Formyl-THF +P-Ribosylglycinamide donne <> THF +P-Ribosyl-N-formylglycinamide EC2122 R04325 formyl ligase '''Formyl-THF''' bactéries *:: + ecocyc: <ref>https://www.kegg.jp/entry/eco:b2500</ref>, voir formation ATP *: -*Methenyl-THF +H2O donne <> Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF''' *: -*Methylene-THF +NADP donne <> Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF''' *: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |>''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine) *Synthèse *: - 12 étapes de GTP à TMP *: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate *: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3 *: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP =====Acides gras===== *Commencent avec Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA '''donne |>''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne <> Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA donne <> Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA''' *: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne <|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA''' *: - * *: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |>''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA''' *:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl *: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne <> trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA''' *: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à 16 carbones *: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |>''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate''' *Dégradation *: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |>''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |>''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne <> trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA''' *: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA donne <> Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA''' ==essai 1== <pre> Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques. Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu. Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé. Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers. C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation. L'auto-organisation prébiotique *partir du postulat *pas de catalyse minérale des liaisons covalentes *liposome aux interactions faibles *grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis *Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies. *échanges avec l'extérieur *Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau. *A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. *homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme. *L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira. </pre> ==essai 2== *PLD de krishnamurty <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> *Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique *La question de CTP pour l'initialisation de la membrane ===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique=== *Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique: *: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation. *: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle. *: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité. ==essai 3== 12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion. *Deux points importants de la critique du passé de mes essais: *: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? *: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques? *Le nouveau concept *: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile. *: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. *: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile. ==essai 4== 21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a? * Les lectures: *: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).<ref>https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full</ref> *: - Les expériences en laboratoire *:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 <ref> https://theses.hal.science/tel-05407367</ref> *:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 <ref>https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/</ref> *:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 <ref>https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116</ref> * Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides. * Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction *: - en profondeur, avec des températures (>300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction *: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales. *: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (<100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec <u>R.Pascal</u>: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691</ref> *: - <u>Formation des pores d'échange dans la bicouche</u>: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse. *: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP <ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol</ref>. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66. ==essai 5== 15/06/26 Paris. *Les 5 principes *#L'auto-organisation *#La continuité *#La séquestration et la néguentropie *#La différence réaction abiotique/biotique *#L'autonomie *L'environnement prébiotique *: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques *:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire) *:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4 *:# Les minéraux dont les phosphates *:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate *:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3 *: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) *: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes. ===L'auto-organisation=== *Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales. ==essai 6== ===Le processus néguentropique=== *Paris le 5/8/26 ===Introduction à la problématique de la recherche sur les origines de la vie=== *Paris le 2/9/26 *Les ribosomes miroir <ref>https://fr.scienceaq.com/Chemistry/1001083878.html</ref> *RNA polymérase <ref>https://fondation-inserm.org/les-bacteries-miroirs-menace-ou-curiosite-scientifique</ref> ====Le contrôle dual==== *Paris 14.10.26 *Simulateur hydrothermales 2025: formiate acétate pyruvate méthanol NH4 glycolate lactate propionate éthanol, pas de P H2S *Krebs 2024: d'où vient oxaloacétate? CO2 pyruvate oxaloacétate glyoxylate H2+Formiate (équivalent NAD), pas de P H2S, NiFe 22°C pression atmosphérique. *PP 2026: PP est proposé pour remplacer ATP, l'article '''acP de 2016''' propose l'acétyl-P très fragile et peu fréquent. *Moi je propose PEP 2017. *Glycolyse 2014: plusieurs réactions (des isomérase) de l'interconversion des sucres se fait dans l'eau sans enzymes. La non adhésion aux investigations de Muller depuis 1953, recherche des réactions abiotiques qui produisent des molécules biotiques (formaldéhyde adénine...) ne ressemblent aucunement aux réactions biotiques. Glycolyse 2014 m'a conforté dans une idée que j'étais entrain d'appréhender en listant les voies métaboliques de KEGG en partant du simulateur 2025: ces voies ont existé depuis le départ (prébiotiques) dans le système abiotique hydrothermal. *Le contrôle dual: C'est en lisant l'introduction de acP 2016 du chapitre 5, la non adhésion de l'auteur aux investigations de Muller comme je l'ai fait auparavant, m'a encouragé à imaginer un processus qui pourrait se produire dans les sources hydrothermales qui contraindrait ces voies métaboliques égales à celles biotiques actuelles du point de vue du substrat et bien sûr thermodynamique. *: - L'analogie s'est imposée immédiatement: dans le biotique actuel les enzymes créent et contrôlent le métabolisme de base (sucres acides nucléotides minéraux etc.) et de même ce métabolisme contrôle ces enzymes. C'est ce que j’appelle le contrôle dual, qui se fait dans les 2 sens. Mon idée est apparue alors immédiatement, ce sont les voies que je listais auparavant qui se concrétisent. Le métabolisme de base c'est celui des sources hydrothermales, vues alors comme un écosystème biotique hydrothermale, et les enzymes ce sont les aas libres qu'il produit. C'est le contrôle dual prébiotique. *: - La caractéristique principale de ce métabolisme prébiotique qui se crée dans cet écosystème c'est qu'il se fait par étapes. *:: + 1ère étape: simulateur 2025 et krebs 2024 auxquels il faut ajouter PP 2026: aas Ala Gly Asp Glu (4). Les analogues sont NAD (formiate +H2 +NiFe), NH4. Les céto-acides sont Lactate Glycolate Malate céto-Glutarate. Correspondant aux enzymes Ec1411 Ala(5808) Ec261.44 Gly(3043) Ec261.35 Asp(144) *:: + 2ème étape, création de Pro (5): c'est le résultat de Glu-P sous l'action de PP, suivie de l'action de l'analogue de NAD comme dans la 1ère étape. L'analogue de ATP est PP qui produit un analogue plus puissant PEP 2017. La 1ère étape a produit aussi les alpha céto-acides: cAla (Lactate) cAsp (Malate) cGly (glycolate) cGlu (alpha céto-glutarate). jl8bzj3auzmxs39jjahm6gf7wo06k3t 987429 987428 2026-10-15T18:08:34Z Mekkiwik 5298 /* Introduction à la problématique de la recherche sur les origines de la vie */ 987429 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = biologie | parent = [[Recherche:Laboratoire d'études prébiotiques|Laboratoire d'études prébiotiques]] }} {{Hypothèse | titre = Chiralité prébiotique 2 | parent = [[Recherche:Département:Biologie|Département de recherche en Biologie]] | image = {{idfaculté/logo/biologie}} }} <div style="text-align:center;"><span style="font-size:180%;"> '''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:</br> l'auto-organisation prébiotique.'''</span></div> ==pense bête 1== *L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1. *Définir l'auto-organisation au stade prébiotique *Les erreurs par rapport à cette organisation sont *: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? *: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage. *Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome: *: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite. *: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques. *L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome *: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1. *: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K. *: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine. *: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones. *Auto-organisation des liposomes *: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive? *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome. *: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas. *: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture. *: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions? *: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale. *: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes *: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après. ==pense bête 2== *L'auto-organisation aas + acides gras *: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale *: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe. *: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras. *: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche. *Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras. *# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline *# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides *# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD *# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4--- *# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D? *# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH *# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G Alanine A Histidine H *# - Les stéroides chez les procaryotes ==pense bête 3== *Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre *: - soupe prébiotique *: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique *: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique *: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle. *: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs. *: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées. *: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication. *: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique. *: - étape transcription/ traduction *: - étape réplication/division ==pense bête 4== *Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. *Extraits d'internet: *: - "''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''" *: - La membrane externe des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe</ref>. *: - La membrane interne des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne</ref>. *: - MAM <ref>https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&_x_tr_tl=fr&_x_tr_hl=fr&_x_tr_pto=rq</ref> *: - La mitochondrie <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie</ref> *: - Génome mitochondrial <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial</ref>: aucun gène de synthèse d'un phospholipide *: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse</ref> *: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: "Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle." dans RL fonctions de reticulum endoplasmique <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique</ref>. *Étape de cristallisation 2: *Étape de polymérisation 2: ==pense bête 5== *Étape des eucaryotes 3: *: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel. *: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte. *Hydrogénosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome</ref> et mitosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome</ref>: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes. *Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster <ref>https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf</ref> (page 3). *La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau. ==pense bête 6== *auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome. *Les contraintes résultantes: 4 exemples, *#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, *#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, *#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. *#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte</ref>, paragraphe 3 *#: - "Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré." *#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases. *#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D</ref> de wikipédia, "Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D" il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L. *#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré "qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries". *#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début) *#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L. *# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. *#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00040</ref> LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. *#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00010</ref>qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. *# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation. *polymérisation 2: *: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible. *: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques. *: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier. *: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome. *: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation. *: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace. *: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces. ==pense bête 7== *Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2. *Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane. *Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L, elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D. *Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite. ==pense bête 8== *Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD .... *: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217 *: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln. *: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. *: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP). *: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP] *: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA. *: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est *:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+ + 2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===> dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées. *:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF. * En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, *: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas *: - Asp donne Asn et Ala *: - Glu donne Gln *: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique. *Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse *Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras. ==pense bête 9== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8. *: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P *:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) <> Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)<span style="background-color: #ffff00;"> > </span>Fructose 6P + P, '''*'''531.27 <> arabino 6P, '''*'''412.43 <> Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) <> Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) <> R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) <> R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) <> PRPP. *:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) <> dR-5P, '''*'''5427 (mutase) <> dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) <> dR + ATP. *:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. *: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His *:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) > carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) > Asp-CB, '''*'''3523 > orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') > orotate, '''*'''241.10 (PRPP) > orotidine-P, '''*'''411.23 > UMP. *:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) > CTP *:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) > dRU, '''*'''271.21 (dGTP) > dUMP *:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 < > base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C *:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP > dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier) *:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) > R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) > RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) > RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) > RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) > Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) > AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) > AIR-C-CO2H (CAIR), '''*'''6326 (ATP Asp) > CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 > carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) > FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) > IMP +H2O. *:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) > IMP-sucino, '''*'''4322 > AMP + fumarate. *:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) > XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) > GMP *:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) > dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) > dAMP et dGMP *:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) > PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) > 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) > R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) > Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) > Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) > oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) > P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') > Histidinal puis His. *: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs. *:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') > H2O2 (ou succinate) + iminoAsp > en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') > quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) > Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) > NAD+, '''*'''271.23 (ATP) > NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP). *:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) > pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) > 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) > 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) > butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) > lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) > Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP > dATP > CTP > UTP) > FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) > FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) > FADH2 et (FMN NAD) > FMNH2. *:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) > Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) > idem. *:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) > formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 > neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 > dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) > PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) > dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) > dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') > tetrahydrofolate. *::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) > Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) > prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) > chorismate, '''*'''261.85 (NH3) > amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) > 4-amino-benzoate et pyruvate. *:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr''' pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) > aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') > CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 > CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) > dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') > pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) > pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) > ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) > P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 > P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) > PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) > CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP). *: - Synthèse des aas *:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, *::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) > indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') > Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) > Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) > anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') > '''PRPP''' Anthranilate *::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) > Gly '''OH-Pyruvate''' *::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') > Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') > '''OH-Thr''' (voir synthèse B6) *::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) > Cys, idem (Ser '''HomoCys''') > '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) > Cys NH3 '''Oxo-butanoate''' *::: - Asp > Asn et '''*'''411.12 (Asp) > Ala et CO2 *::: - Glu > Gln *::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') > Urocanate NH3 "MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine", '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) > Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) > Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) > formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') > Histamine et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') > NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) > Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) > Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) > Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) > formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) > Formate et Asp. *::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui >nt 7 aas dérivés. Pour His >rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr. ==pense bête 10== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres. *: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr. *: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé. *: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met. *: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA): les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas. ==pense bête 11== *Tanger le 7/12/25 * Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG). * C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs. * L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment. *Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate</ref>. Le C de CO2 est lié à N de NH2. *Les aminonitriles: *: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. *: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp. *: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42. *:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde. *:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes. * L'histidine * Les aromatiques * Lysine ornitine et proline ==pense bête 12== *Paris le 27/02/26 *Les lectures *: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015 *: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005 *: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024, *Plan *: - postulat: ça s'est fait tout seul *: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique *: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique *: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports) *Les aas abiotiques: *: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C *:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025 *:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24) *:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation *:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation. *:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde) *:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement) *: - autres *:# Ser, aubrey faible *:# Thr, plus acétate *:# Asn, NH3 *:# Gln, NH3 *: - Formose *:# His, erythrose formamidine HCN *: - FTT *:# Trp, indole plus Ser ou Fritz *:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN *:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN *:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin *:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin *:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser *:# Met, homocystéine plus CH3 *: - Réactions quasi biotiques *:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline *:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3 ===notes des lectures=== *Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure). *Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h *Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. *: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:"Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides." *: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: "L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019)." J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr ==pense bête 13== *Paris 29/6/26 *Article de départ *: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1). ===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs=== *hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3. ====Pyruvate bis==== *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) *:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne <> P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction) *: - *oxaloacetate + Pi donne '''|>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *: - *oxaloacetate + PP donne <> P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique <--- *:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne <> Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? <--- c'est mon hypothèse pour EC2791 *: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne <> P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2 EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' <--- *Pathway: glycolyse suite *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 (R00658) hydro-lyase <--- *: - *Glycérate-2P donne <> Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase *: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''') EC121.12 (R01061) oxydoréductase <--- *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase <--- *Pathway: Aspartate *: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''') EC1411 (R00396) oxydoréductase *:: + Contradiction '''subs/prod''' ====Glycolate bis==== *Pathway: glyoxylate *: - *Glycolate + Acceptor '''donne |>''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase *:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS? *:: + '''Formate'''? *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |>''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase *: - *Asp + NAD (formate) '''donne <|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410 *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase *:: + Contains pyridoxal phospate. *:: + ''confirmer que Cys est produite avant'' *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant'' *: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |>''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (<u>en labo sans enzyme mais très faible</u>) *:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 <ref>https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84</ref> nitrile hydratase.'' *: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |>''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase ====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate propionate phosphite==== *Compound, phosphite. Voir article sur Phosphite dans les sources hydrothermales <ref>https://www.biorxiv.org/content/10.64898/2025.12.19.695421v2.full</ref>. *: -Phosphite +NAD+ +H2O donne phosphate +NADH +H+ EC1.20.1.1 R05746 oxydoreductase. 146 bactéries, rien d'autre. Enx, enterobacter, 341 aas. Entrée créée en 2001 MAJ 2025. *: -Phosphite +AMP +NAD+ donne ADP +NADH +H+ EC1.20.1.2 R13633 oxydoreductase. Une seule référence <ref>https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.2309743120</ref>. Entrée créée en 2025. *Pathway: pyruvate métabolisme *: -*'''Ethanol''' + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein) bi ecocyc de ethanol ΔG=3.10kcal/mol. eco 891 aas. 8769 êtres dont 200 archées *: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate). 6796 êtres dont 132 archées *: -*'''Acetate''' +ATP donne <> Acetyl-P +ADP EC2721 R00315 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=-6.97 kcal/mol, 400 aas. 7664 êtres dont 28 archées *: -*'''Acetate''' +PP donne <> Acetyl-P +Pi EC272.12 R00320 kinase. Métacyc sens indéfini. Entamoeba histolytica seule référence de 1975 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/0006291X75905136?via%3Dihub</ref> *: -*'''Propionate''' +ATP donne <> Propionyl-P +ADP EC2721 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 7665 êtres dont 29 archées *: -*'''Propionate''' +ATP donne <> Propionyl-P +ADP EC272.15 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 375 bactéries pas d'archées *:: + comment: Involved in the anaerobic degradation of L-threonine in bacteria. Voir dans propanoate pathway EC123- de 2-oxobutanoate vers propanoyle-P, flèche sans enzyme. Le 2-oxobutanoate vient de la Thr. *: - *<u>Acetate + ''ATP +CoA donne <> Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''</u> archées *: - *<u>''Propanoyl-CoA +Formate donne <> 2-Oxobutanoate +CoA EC231.54 R06987 Formate lyase''</u> *: - *<u>''Acetyl-CoA +Formate donne <> Pyruvate +CoA EC231.54 R00212 Formate lyase''</u> *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10701</ref>, attention activation de l'enzyme par flavodoxin/ferredoxin-NADP+ reductase. *: - *'''Methanol''' + NAD donne <> formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein) *: -*formaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase *: - *'''Lactate''' + NAD donne <> '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase. 4141 êtres dont 16 archées *Pathway: glyoxylate métabolisme *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glyoxylate +NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase Metacyc bi. 2272 êtres dont 124 archées (mieux que ec111.29, voir Ser). *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glycolaldehyde +NAD +H2O EC121.21 R01333 aldehyde dehydrogenase ecocyc di de aldehyde ΔG=-17.03kcal/mol *: - *OH-pyruvate '''donne |>''' Glycolaldehyde +CO2 EC411.40 R01393 carboxylase Metacyc bi *Pathway: methane métabolisme *: - *'''Methanol''' + NAD '''donne |>''' formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase Metacyc di *Pathway: cysteine methionine *: - *'''Methanol''' + H2S donne <??> '''Methane thiol''' <u>ou bien le methane thiol est basique comme le methanol</u> *: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase *:: + *Asp + ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase *:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne <|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase *:: + *Asp-semialdehyde + NAD donne <> L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase *:: + *'''acety-CoA''' + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (B6 protein) ====Pyruvate==== =====Glycolyse===== *Pathway: Pyruvate *: - *Pyruvate +HCO3- +ATP '''donne |>''' Oxaloacetate +ADP +Pi EC6411 R00344 ligase metacyc de ATP (A biotinyl-protein) *: - *Malate +NADP donne <> Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc de Malate (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol *:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate. *: - *Malate +NAD+ donne <> Pyruvate +NADH +CO2 +H+ EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc et metacyc direct de Malate ΔG=-0.32Kcal/mol *:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate +H+ (non réversible) <ref>https://biocyc.org/reaction?orgid=ECOLI&id=1.1.1.39-RXN</ref>. *:: + thermodynamiquement Ec111.38 est réversible à cause de son ΔG=-0.32Kcal/mol. Mais dans la cellule elle a pour objet de produire du CO2 lors de l'accumulation de NAD+. Décompte génomes a b e: 458 9991 1295 *: - *Malate +NAD donne <> Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=4.46Kcal/mol *: - *oxaloacetate + Pi '''donne |>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 900 aas. *: - *oxaloacetate '''+PP''' donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bi son ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + abe: 0 250 10; grosse enzyme 1100 aas. Energie de liaison de PP 47.8 Kcal/mol et 1ère et 2ème PP dans ATP, sont égales à 7.3Kcal/mol; P-enolpyruvate 14.8kcal/mol *:: + Also catalyses the reaction: P-enolpyruvate + Pi = pyruvate + PP. <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/12/26/5247/105472/Carboxytransphosphorylase-VII-Phosphoenolpyruvate?redirectedFrom=fulltext</ref> *:: + ''Pyruvate +PP donne <> P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique? c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse) *: - *oxaloacetate +ATP donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +ADP EC411.49 R00341 kinase ecocyc de ATP (shem bi) ΔG=-7.02Kcal/mol *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 520 aas. *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP '''donne <|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 R00200 kinase biocyc de ADP ΔG=-2.23Kcal/mol *: - *Pyruvate +ATP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 R00206 dikinase (multi-step reaction) metacyc de ATP ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP +H2O donne <> P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 R00199 dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 R00658 hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> '''Glycérate-3P''' EC542.11 R01518 mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol *: - *Glycérate-3P + ATP donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 R01061 dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=8.23''' Kcal/mol (gauche-droite) *: - *Fructose-6P '''+PP''' donne <> Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini) *:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule. *:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; enzyme 300-600 aas. *: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |>''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) phosphorylase de f1.6 à f6 ΔG=6.89Kcal/mol) *: - *Fructose-6P +ATP '''donne |>''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol) =====Formation des aas à partir du pyruvate===== *Pathway: Ala Asp Glu *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) Metacyc bi. 5728 êtres dont 243 archées *Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate *: - voie P-Ser *: - *Glycérate-3P +NAD +H2O donne <> P-OH-Pyruvate +NAD EC111.95 R01513 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.03 kcal/mol. 10084 êtres dont 434 archées *: - *O-P-Ser +2-oxoGlu donne <> P-OH-Pyruvate +Glu EC261.52 R04173 transaminase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=0.08 kcal/mol. 8871 êtres dont 71 archées *: - *O-P-Ser +H2O '''donne |>''' L-Ser +Pi EC3133 R00582 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=9.27 kcal/mol. 8278 êtres dont 366 archées *: - voie Glycerate *: - *'''Glycérate-3P''' + H2O '''donne |>''' Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase. 1 seule référence de 1971 "sugarcane leaves" *:: + *Glycéraldéhyde +NAD +H2O donne <> Glycérate +NAD EC1213 R01752 oxydoréductase. 6796 êtres dont 132 archées pas de metacyc *:: + *Glycéraldéhyde +DHAP donne <> Fructose-1P EC412.13 R02568 lyase. Metacyc direct de Fructose. 11542 êtres dont 459 archées *::: * Pour obtenir Fructose-1P à partir de Fructose-6P, il faut 4 enzymes EC111.17, 313.22, 111.11, 2713 (une kinase) <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00051</ref> *::: * Le Glycéraldéhyde libre est bloqué comme le Glycerol <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00561</ref>. Il est rapidement transformé en Glycéraldéhyde-3P EC271.28 *:: + *Mannitol-1P +NAD donne <> Fructose-6P +NAD EC111.17 R00758 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.60 kcal/mol. 1867 êtres dont 2 archées *:: + *Mannitol +Pi donne <> Mannitol-1P +H2O EC313.22 R02167 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=7.22 kcal/mol. 2063 êtres dont 1 archées *:: + *Mannitol +NAD donne <> Fructose +NAD EC111.11 R00868 oxydoréductase. Metacyc bi. 443 êtres dont 0 archées (Ec111.67 1312,Ec111.67 83) *:: + *Fructose +ATP '''donne |>''' Fructose-1P +ADP EC2713 R00866 kinase. Metacyc direct de Fructose. 907 êtres dont 52 archées *: - *Glycerate + NAD donne <> Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase. 2077 êtres, eucaryotes, bactéries, 9 archées MM et 1 METB. Metacyc bi. *: - *'''Ser''' + Pyruvate donne <> Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein). 2913 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + Glyoxylate donne <> '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein). 2880 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + H2S '''donne |>''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein) 3754 êtres, eucaryotes, bactéries, 36 archées. pas de RHEA *: - *Ser +Acetyl-CoA donne <> O-Acetyl-Ser +CoA EC231.30 (R00586) transferase (sans B6) 8266 êtres, eucaryotes, bactéries, 170 archées. *:: + voie de E.Coli suivie de EC251.47 donne Cys avec B6. 8282 êtres *: - *'''Thr''' donne <> Gly + Acetaldehyde EC412.48 (R00751) transaminase (B6 protein) 6788 êtres, eucaryotes, bactéries, 100 archées. Ecocyc bi, ΔG=1.0 kcal/mol *: - *Thr '''donne |>''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein) *Pathway: Val Leu Ile biosynthese *: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat) *: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |>''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction) *: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne <> 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase *: - *Aceto-Lactate + NAD donne <> 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase *: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase *: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase *: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |>''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase *: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |>''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase *: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne <|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating *: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne <|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating *: - * *: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |>''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase *: - *2-isopropylmalate donne <> 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase *: - *2-isopropylmaleate + H2O donne <> 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase *: - *3-isopropylmalate + NAD donne <> 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase *: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée *: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne <|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating *Synthèse *: - 2 groupes *:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6, *::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate *::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate *::: * Cys: consomme H2S, basique *::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate *:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6 *::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD *::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA =====Formation de Asp et Asn ===== *Pathway: Glyoxylate *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |>''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp''' *: - *Asp + NAD '''donne <|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6) *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi *Pathway: Ala Asp Glu *: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |>''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase (sans B6) *: - *Asp +2-oxoglutarate donne <> Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase (avec B6) *: - *Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino lyase ecocyc bi ΔG=+3.19 Kcal/mol de Asp (sans B6) *: - *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *:: + Malate vient directement de Pyruvate *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein) *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6) *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique? *: - Voie Glyoxylate: *:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu. *:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate. *: - voie Ala Asp Glu *:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp. *: - voie cyanoamino acide: *:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude? *: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref>. *:: + =====Formation de Lys===== *Pathway: Lysine *: - *Asp + ATP '''donne |>''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''4-Asp-P''' *: - *4-Asp-P +NAD '''donne <|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-4-semialdehyde''' *: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |>''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase '''4Hydro-dipicolinate''' *: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne <|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase (spontanée: +H2O donne <> '''L-2-Amino-6-oxopimelate''') *: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne <> L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &emsp;&emsp; '''diaminopimelate''' *: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |>''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &emsp;&emsp; '''L-Lys''' (B6 protein) *: - *Lys +acetyl-P '''donne |>''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &emsp;&emsp; '''N6-acetyl-Lys''' *: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne <> N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein) *: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne <> 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &emsp; '''5-Acetamido-pentanoate''' *: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne <> 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &emsp; '''5-Aminopentanoate''' *: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne <> Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein) *: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne <> Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras) *Synthèse *: - étapes: 6 à partir de Asp *: - produit: NH3, CO2 *: - consomme: Asp, Pyruvate *: - utilise: ATP, 3 NAD *: - B6: avec B6 =====Formation des Riboses et dRiboses===== *Pathway: Pentoses phosphates *: - *D-Arabinulose-P donne <> '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase 185 aas metacyc direct de Arabi. 1303 êtres dont 291 archées *: - *D-Arabinulose-P donne <> D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase 211 aas metacyc bi. 1214 êtres dont 295 archées *: - *D-Ribose-5P donne <> D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase 219 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-6.13 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P donne <> D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-1.93 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P +ADP '''donne |>''' D-Ribose-1,5P2 +AMP EC271.212 (R11535) P-transferase 294 aas metacyc de ADP *: - *D-Ribose-1,5P2 + ATP '''donne |>''' PRPP +ADP EC274.23 (R06836) P-transferase 185 aas metacyc de ATP ecocyc bi ΔG=-2.03 kcal/mol *: - *D-Ribose-5P + ATP donne <> PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase 315 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-25.84 kcal/mol *: - * *: - *D-dRibose-5P donne <> '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase 259 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=5.12 kcal/mol *: - *D-dRibose-1P donne <> D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=?? comme Ribose? *Synthèse *: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose *: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P *: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde. *: - utilise: AMP; et rien *: - Note: PRPP peut être obtenu par 2 P-transférases qui peuvent utiliser PEP =====Formation de l'ATP===== *Pathway: purines *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +ADP +Pi EC6347 R01053 amido transférase oiseaux (article unique 1968 <ref>https://www.jbc.org/article/S0021-9258(18)91922-8/pdf</ref>) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. homo4mères *: - *PRA +Gly +ATP '''donne |>''' 5P-Ribosylglycinamide +ADP +Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-6.27 '''GAR''' *:: + ecocyc: séquentiel et ordonné. Tunnel. Monomère <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10792</ref> *: - *GAR +ATP +Formate '''donne |>''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-8.97 '''FGAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG11809</ref>, monomere *:: + EC2122 THF sans ATP R04325 ecocyc et Meta bi ΔG=16.47 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10799</ref>, monomere *: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |>''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20 '''FGAM''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10797</ref> 3 sites Gln d'abord, puis ATP puis FGAR. Monomère. Fusion de 3 enzymes. *: - *FGAM +ATP '''donne |>''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ecocyc et metacyc direct de ATP ΔG=9.97 '''AIR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10798</ref>. Pas de couplage, ATP attaque FGAM puis cyclase. Dimère. *: - *[AIR +HCO3- +ATP '''donne |>''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC634.18 R07404 ecocyc et Meta de ATP ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10796</ref>. dimère. Nonenzymatic carboxylation of AIR occurs. *: - *[AIRC donne <> 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=6.32 Metacyc et ecocyc de carboxyamno '''CAIR'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10793</ref>. octamère. Réversible si EC6336 est absente *: - *5-amino-1-(5-phospho-D-ribosyl)imidazole-4-carboxylate donne <> AIR +CO2 EC411.21 R04209 carboxylase Metacyc bi '''CAIR''' *: - *CAIR +Asp +ATP donne <> (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase ΔG=-7.66 '''SAICAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10791</ref>. Trimère. les sites ne sont pas élucidés. *: - *SAICAR donne <> 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase ΔG=9.84 ecocyc direct Metacyc bi '''AICAR''' *: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |>''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase '''Metacyc bi FAICAR''' *:: + EC2123 THF sans ATP R04560 ecocyc et Meta bi ΔG=18.96 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10795</ref>, monomere *: - *IMP +H2O donne <> FAICAR EC354.10 R01127 cyclase ΔG=26.85 ecocyc et Metacyc bi '''IMP''' *: - *IMP +GTP +Asp '''donne |>''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-103.56 '''car-AMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10790</ref>. dimère. Les binding sites sont élucidés. *: - *car-AMP '''donne |>''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase ΔG=55.05 ecocyc direct metacyc bi '''AMP''' *: - *IMP +NAD +H2O '''donne |>''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase ecocyc et Metacyc bi ΔG=2.43 '''XMP''' *: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |>''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-5.44 '''GMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10420</ref>. dimère. Sans Gln il n'y a que 2 binding sites, ATP et XMP. Le contrôle est strict avec Gln mais pas avec NH3. *: - *GMP,AMP +ATP donne <> GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &emsp;&emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP''' *: - *GMP,AMP +ADP donne <> Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &emsp;&emsp;'''Guanosine, Adenosine''' *: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne <> G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &emsp;&emsp;'''G, A''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne <> G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &emsp;&emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |>''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &emsp;&emsp;'''dGMP,dAMP''' *: - *dGMP,dAMP +ATP donne <> dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &emsp;&emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP''' *Synthèse *: - étapes: 12 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP *: - produit: 2 Fumarate CO2 *: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 Gly *: - utilise: 7 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une carboxylase et une cyclase n'utilisent pas ADP. *: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP. =====La synthèse de novo de l'ATP et le couplage de 2 réactions===== *Problématique: *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase *: - Dans la réaction R01053 l'enzyme EC6347 en fait 2 réactions en parallèle: *:: + L'hydrolyse ATP +H2O '''donne |>''' ADP +Pi, fournit à l'enzyme l'énergie nécessaire pour lier NH3 au Ribose *:: + Ribose-5P +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +H2O *: - La réaction R01053 est directionnelle. C'est le cas des autres réactions faisant intervenir 3 substrats. *: - Avant l'apparition des polypeptides la probabilité de la rencontre des 3 substrats est très faible et c'est le rôle principale de l'enzyme que de les réunir. Dans mon hypothèse, l'environnement avec ses aas libres favorisant tant soit peu la réaction, il est difficile d'imaginer que l'énergie libérée par l’hydrolyse de l'ATP soit récupérée à distance par la ligase. Elle est tout simplement diffusée dans son environnement. Il y a ainsi 7 couplages avec 3 molécules pour le substrat dont 6 avec ATP et une avec GTP. *: - L'enzyme EC6347 peut être remplacée par EC242.14 qui est bidirectionnelle et peut être vue comme le résultat (pas la somme) de 2 transaminases indépendantes. Une à 2 substrats utilisant NH3 et produisant 5P-Ribosylamine +PP qui sont utilisés avec Glu par la 2ème à 3 substrats produisant Gln. Gln peut être produit donc avant l'apparition de l'ATP. *:: + PRPP +NH3 donne <> 5P-ribosylamine +PP *:: + 5P-Ribosylamine +PP +Glu donne <> Gln +PRPP *: - L'enzyme EC6331 n'a que 2 molécules comme substrat comme les kinases et peut être envisagée avant l'apparition de l'ATP en remplaçant celle-ci par PEP. *Comment résoudre le couplage prébiotique nécessaire à la synthèse de novo de l'ATP nécessitant 7 couplages successifs. *: - Dans les réactions que j'ai réunies pour le proto-métabolisme il n'y a que 5 autres couplages non sucessifs: 2 pour CoA 1 pour acetyl-CoA et 2 pour THF. *: - Il faut des concentrations élevées de PEP NH3 Formate Asp Gly Pi *: - Est-ce que les 9 autres aas existants peuvent aider ces couplages: Cys Ser Thr Ala Lys Glu Gln Pro Arg. Et les ceto-acides: Lactate malate oxaloacetate fumarate oxo-glutarate pyruvate; et les acides glycolate acétate propionate =====Formation de l'Uracile===== *Pathway: arginine *: - *ATP +HCO3- +NH3 donne <> Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &emsp;&emsp;'''Carbamoyl-P''' *Pathway: pyrimidines *: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |>''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &emsp;&emsp;'''N-Carbamoyl-Asp''' *: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne <> N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &emsp;&emsp;'''(S)Dihydroorotate''' *: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne <> Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &emsp;&emsp;'''Orotate''' *::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. *:: + *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *::: * Malate vient directement de Pyruvate.Voir Krebs et pyruvate *:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase *: - *Orotidine-5'P +PP donne <> Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &emsp;&emsp;'''Orotidine-5'P''' *: - *Orotidine-5'P '''donne |>''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &emsp;&emsp;'''UMP''' *: - *UMP +Pi '''donne |>''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &emsp;&emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''') *: - *UMP +ATP donne <> UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &emsp;&emsp;'''UDP''' (idem CDP) *: - *UDP +ATP donne <> UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &emsp;&emsp;'''UTP''' (idem CTP) *: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |>''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &emsp;&emsp;'''CTP''' *: - * *: - *Uracil +dRibose-1P donne <> dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &emsp;&emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''') *:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase. *: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP *: - * *: - *dR-base1 +base2 donne <> dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dR-Base1 Base2''' *: - *dUridine +C donne <> dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dCytidine''' *: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP *: - * *: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |>''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &emsp;&emsp;'''dTMP''' et '''DHF''' *: - *dTMP +H2O '''donne |>''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &emsp;&emsp;'''Thymidine''' *: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine *Synthèse *: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP *: - produit: succinate, PP, CO2 *: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP *: - utilise: ADP '''FMN''' *: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine *: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase *: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase. =====Formation de His===== *Pathway: histidine *: - *ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |>''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &emsp;&emsp;'''PRPP-AMP''' *: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |>''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &emsp;&emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |>''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &emsp;&emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |>''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR *: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |>''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne <> Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &emsp;&emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein) *: - *Histidinol-P '''donne |>''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &emsp;&emsp;'''Histidinol''' *: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |>''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidinal''' *: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |>''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidine''' *Synthèse *: - Étapes: 10 à partir de ATP *: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines) *: - consomme: ATP, PRPP, NH3 *: - Utilise: 2 NAD *: - B6: avec B6 =====Récapitulation aas===== *Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |> <u>'''Ala''' sans B6</u> *Pyruvate (Glycolyse); Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne <> Pyruvate + '''Ser''' avec B6 *Glycolate; Glycolate + NAD donne <> Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne <> HxP + '''Gly''' avec B6 *H2S; Ser + H2S donne |> H2O + '''Cys''' avec B6 *Ethanol; Ethanol + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne <> '''Thr''' avec B6 *Pyruvate; 2 Pyruvate donne |> Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-Lactate NAD <> v1, v1+NAD donne <> v2; v2 donne |> v3 + H2O; v3 +NH3 donne |> H2O + <u>'''Val''' sans B6</u> *Thr donne |> Oxobutanoate + NH3 avec B6 *Pyruvate + Oxobutanoate donne |> Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD <> l1, NAD <> l2; l2 donne |> l3 + H2O; l3 +NH3 donne |> H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr *Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |> A1 (avec B6), A1 donne |> A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |> NAD + <u>'''Asp''' (sans B6)</u> * voie Pyruvate *: - Pyruvate +ATP+H2O donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi *: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne <> oxaloacetate + ATP *: - Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)''' *Asp +ATP +NH3 donne |> AMP + PP + <u>'''Asn''' (sans B6)</u> *Asp + ATP donne |> 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6 * Après formation de l'ATP *: - ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6 =====B6 Pyridoxal-P===== *D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser *Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref> *: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu *Biosynthèse de B6 *: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu. *: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant: *:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a <u>molecular tunnel that is almost 100 A in length</u> [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6] *:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a <u>substrate-protective tunnel</u> to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''. *:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and <u>channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel</u>. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants. *: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul. *Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P *: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |>''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi <u>EC4336</u> R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine''' *: -* *: -*Pyridoxal +ATP '''donne |>''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine +ATP '''donne |>''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P''' *: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |>''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne <> Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne <> Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne <> Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal''' *: -* *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +NADP donne <> Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -* *: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6. *: -*L-Ala donne <> D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6 *: -*Pyruvate + D-Glu donne <> D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6 *Synthèse *: - Étapes: une seule *: - produit: directement le pyridoxal seul! *: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate. *: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.) =====NAD nicotinamide adenine dinucléotide===== *Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]] *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) *Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp *: -*Asp + NAD '''donne |>''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp''' *: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne <|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate''' *:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity. *Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes) *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *: - * *: -*Quinolinate + PRPP '''donne <|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide''' *: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne <> Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD''' *:: + '''ATP en substrat''' *: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |>''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+''' *:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln. *: -*NAD + ATP '''donne |>''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+''' *Synthèse *: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN) *: - produit: 2 PP *: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP *: - Utilise: 2 ATP, FAD *: - B6: néant *: - comparaison des 2 voies: *:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S]. *:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution. =====FMN FAD riboflavines===== *Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques. *Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP '''donne <|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil''' *: -*P-ribitylamino-uracil + H2O '''donne |>''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil''' *: -*Ribulose-5P '''donne |>''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P''' *: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |>''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine''' *: -*2 ribitylLumazine '''donne |>''' Riboflavin + ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin''' *:: + A flavoprotein (riboflavin). *: -*Riboflavin + ATP '''donne |>''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN''' *: -*FMN + ATP '''donne |>''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD''' *Synthèse *: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD *: - produit: 2 Formates, NH3 *: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP *: - Utilise: ATP, NADP =====Phe Tyr Trp===== *Les aas aromatiques. Chorismate nécessite FMN. *Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose *: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |>''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase Metacyc de P2 à 1 P '''céto-Fructose-1P''' *:: +*D-Lactate +NAD donne <> Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase ecocyc (schem bi) RL ΔG=+3.33 '''D-Lactate''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne <> D-Lactate +NAD EC121.23 R01735 oxydoreductase pas de REHA '''D-Lactaldehyde''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne <> Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase Metacyc bi '''Methylglyoxal''' *: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |>''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase Metacyc de Asp '''heptulosonate''' *:: +*Asp +ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''Asp-P''' *:: +*Asp-P +NADP '''donne <|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-semialdehyde''' *: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |>''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate''' *: -*Dehydroquinate donne <> Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate''' *: -*Shikimate +NAD donne <> Dehydroshikimate +NAD EC111.24 R06847 oxydoreductase ecocyc LR de shikimate ΔG=-12.20 '''Shikimate''' *: -*Shikimate +ATP '''donne |>''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase ecocyc LR de ATP ΔG=-16.06 '''Shikimate-3P''' *: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate <> Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P''' *: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |>''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate''' *::: .. Requires '''FMN''' *: -*Chorismate donne <> Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate''' *: -*Prephenate donne <> Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate''' *: -*Phe +NAD +H2O donne <> Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6) *: -*Prephenate +NAD donne <> OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate''' *: -*Tyr +NAD +H2O donne <> OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6) *: -*Chorismate +NH3 '''donne |>''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate''' *::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit. *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne <> Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P''' *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne <> Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P''' *: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne <> Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P''' *: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne <> Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' <u>(avec B6)</u> *: - * *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *Synthèse *: - Etapes *:: + Voie commune 11 étapes *:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun *:: + Trp 5 étapes *:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée *: - Produit *:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3 *:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun *:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P *:: + Quinolinate: H2O (rien) *: - Consomme *:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate *:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun *:: + Trp: NH3, PRPP, Ser *:: + Quinolinate, '''2 fois O2''' *: - Utilise *:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP *:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr *:: + Trp: rien *:: + Quinolinate: '''FAD''' *: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6. =====TPP Thiamine pyrophosphate===== *Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas. *Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5. *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire. *:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea. *: -*NAD + Gly +H2S '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |>''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante *: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |>''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P''' *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His). *:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. *: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |>''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P''' *: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne <|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP''' *Biosynthèse de la Thiamine *: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |>''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P''' *: -*Thiamine-P +ATP '''donne |>''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP''' *: -*Thiamine-P +H2O '''donne |>''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine''' *: -*Thiamine +H2O '''donne |>''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole''' *: -*Thiazole +ATP '''donne |>''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P''' *: -*Pyrimidine +ATP '''donne |>''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys) *:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea. *: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP *:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide. *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons. *:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis. *Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP *: - produit: *:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; *:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme) *:: + CO2 PP *: - consomme: *:: + NAD Gly H2S *:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6 *:: + énergie *: - Utilise: *:: + rien *:: + ATP *:: + ATP =====CoA Coenzyme A===== *La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine. *: -*Acetolactate + NADP '''donne <|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*Dimethyl-malate +NAD donne <> methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate''' *: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne <> Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate''' *: -*Pantoate + NAD donne <> Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate''' *: -*Asp '''donne |>''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala''' *:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group. *: -*beta-Ala + Pantoate +ATP '''donne |>''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate''' *: -*beta-Ala + Pantoate '''donne |>''' Pantothenate +H2O EC351.22 R02474 hydrolase '''Pantothenate''' *:: + Article 1966 <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/5/2/399/99824/The-Bacterial-Degradation-of-Pantothenic-Acid-II?redirectedFrom=fulltext</ref>, pseudomonas P-2. *: -*Pantothenate +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate''' *: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives. *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantoate + Cys +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +AMP +PP EC632.51 R04230 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |>''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantetheine +ATP donne <> dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA''' *: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |>''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA''' *Synthèse *: - 13 étapes de Pyruvate à CoA *: - produit: 3 CO2; 3 PP *: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys *: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP *: - B6: pas de B6 =====Val Ile Leu===== *Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul. *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *: -*Acetolactate donne <> OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate donne <> methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' *: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |>''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6) *: -*Ile *: -*Thr '''donne |>''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6) *: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate''' *: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne <> OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate donne <> 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate''' *: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |>''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6) *: -*Leu *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val *: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |>''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate''' *:: +*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*2-Isopropyl-malate donne <> 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate''' *: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne <> 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate''' *: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne <> 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate''' *: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 <u>spontanée</u> R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate''' *: -*Leu +NAD +H2O '''donne <|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6) *Synthèse *: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu. *: - produit *:: + Val: CO2 *:: + Ile: CO2 NH3 *:: + Leu: CO2 *: - consomme *:: + Val: 2 Pyruvate NH3 *:: + Ile: Thr NH3 *:: + Leu: Acetate NH3 *: - Utilise *:: + Val: NADP NAD *:: + Ile: NADP NAD *:: + Leu: ATP CoA 2 NAD *: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6 =====Methionine Met===== *Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. *Pathway: cysteine methionine *: -*acetyl-CoA + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' *: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6) *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (avec B6) *: -*Met +ATP +H2O '''donne |>''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase *: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |>''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met''' voie des sulfures *: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |>''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6) *Synthèse *: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met. *: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici. *: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. *: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol *: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate. *: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP. *:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met. *:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6. =====Glutamate Glu Gln===== *Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs *: -*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne <> Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' *: -*Citrate donne <> Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' *: -*Cis-aconitate +H2O donne <> Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' *: -*Iso-citrate +NADP donne <> oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' *: -*oxalosuccinate donne <> 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' *: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne <> Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6) *: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |>''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase ΔG=-6.77 kcal/mol 469 aas direct de Glu '''Gln''' (sans B6) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 kcal/mol '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. Homo tetramer. 505 aas. *Synthèse *: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln *: - produit: CO2, CoA, Glu *: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3 *: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP *: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln *: - Gln sans ATP: EC242.14. Dans le commentaire NH3 peut remplacer Gln. A partir de là on obtient PRA et PP. PRA est très instable, aussi en présence de Glu et de PP se forme PRPP et Gln avec un ΔG=2.05 kacl/mol meilleur qu'avec l'ATP et favorable à la réversibilité. Donc PRPP + NH3 + Glu donne Gln, peut être en petite quantité, mais peut être entraînée par l'ensemble des autres aas. =====Arginine Arg Pro===== *Nécessite CoA et Glu *: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |>''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu''' *: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |>''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P''' *: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde''' *: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne <|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6) *: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne <> Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine''' *: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase ΔG=6.17 kcal/mol bi metacyc ecocyc, eco 297 aas. 2630 êtres dont 645 archées '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-5-semialdehyde donne <> Pyrroline-5-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *: -* *Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.) *: -*Glu +ATP '''donne |>''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' *: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' *: -*Ornithine +2-oxoglutarate donne <> Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6) *:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' (sans B6) *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-semialdehyde donne <> Pyroline-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *Synthèse sans CoA *: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée *: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P *: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2 *: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD *: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro. =====THF pour TMP===== *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |>''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P''' *: -*Dihydroneopterin-P '''donne |>''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin''' *:: +*Chorismate +Gln '''donne |>''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' *::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate *:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |>''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6) *: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |>''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate''' *: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |>''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10327</ref>. ATP-dependant reaction, est-ce que ATP a un site propre pour son hydrolyse? *: -*THF +NADP '''donne <|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF''' *: -* *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate. *: -* *: -*THF +ATP +Formate donne <> Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF''' eucaryotes *: -*Formyl-THF +P-Ribosylglycinamide donne <> THF +P-Ribosyl-N-formylglycinamide EC2122 R04325 formyl ligase '''Formyl-THF''' bactéries *:: + ecocyc: <ref>https://www.kegg.jp/entry/eco:b2500</ref>, voir formation ATP *: -*Methenyl-THF +H2O donne <> Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF''' *: -*Methylene-THF +NADP donne <> Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF''' *: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |>''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine) *Synthèse *: - 12 étapes de GTP à TMP *: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate *: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3 *: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP =====Acides gras===== *Commencent avec Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA '''donne |>''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne <> Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA donne <> Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA''' *: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne <|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA''' *: - * *: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |>''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA''' *:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl *: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne <> trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA''' *: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à 16 carbones *: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |>''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate''' *Dégradation *: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |>''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |>''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne <> trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA''' *: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA donne <> Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA''' ==essai 1== <pre> Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques. Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu. Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé. Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers. C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation. L'auto-organisation prébiotique *partir du postulat *pas de catalyse minérale des liaisons covalentes *liposome aux interactions faibles *grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis *Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies. *échanges avec l'extérieur *Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau. *A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. *homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme. *L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira. </pre> ==essai 2== *PLD de krishnamurty <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> *Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique *La question de CTP pour l'initialisation de la membrane ===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique=== *Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique: *: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation. *: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle. *: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité. ==essai 3== 12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion. *Deux points importants de la critique du passé de mes essais: *: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? *: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques? *Le nouveau concept *: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile. *: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. *: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile. ==essai 4== 21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a? * Les lectures: *: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).<ref>https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full</ref> *: - Les expériences en laboratoire *:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 <ref> https://theses.hal.science/tel-05407367</ref> *:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 <ref>https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/</ref> *:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 <ref>https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116</ref> * Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides. * Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction *: - en profondeur, avec des températures (>300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction *: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales. *: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (<100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec <u>R.Pascal</u>: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691</ref> *: - <u>Formation des pores d'échange dans la bicouche</u>: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse. *: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP <ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol</ref>. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66. ==essai 5== 15/06/26 Paris. *Les 5 principes *#L'auto-organisation *#La continuité *#La séquestration et la néguentropie *#La différence réaction abiotique/biotique *#L'autonomie *L'environnement prébiotique *: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques *:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire) *:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4 *:# Les minéraux dont les phosphates *:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate *:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3 *: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) *: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes. ===L'auto-organisation=== *Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales. ==essai 6== ===Le processus néguentropique=== *Paris le 5/8/26 ===Introduction à la problématique de la recherche sur les origines de la vie=== *Paris le 2/9/26 *Les ribosomes miroir <ref>https://fr.scienceaq.com/Chemistry/1001083878.html</ref> *RNA polymérase <ref>https://fondation-inserm.org/les-bacteries-miroirs-menace-ou-curiosite-scientifique</ref> ====Le contrôle dual==== *Paris 14.10.26 *Simulateur hydrothermales 2025: formiate acétate pyruvate méthanol NH4 glycolate lactate propionate éthanol, pas de P H2S *Krebs 2024: d'où vient oxaloacétate? CO2 pyruvate oxaloacétate glyoxylate H2+Formiate (équivalent NAD), pas de P H2S, NiFe 22°C pression atmosphérique. *PP 2026: PP est proposé pour remplacer ATP, l'article '''acP de 2016''' propose l'acétyl-P très fragile et peu fréquent. *Moi je propose PEP 2017. *Glycolyse 2014: plusieurs réactions (des isomérase) de l'interconversion des sucres se fait dans l'eau sans enzymes. La non adhésion aux investigations de Muller depuis 1953, recherche des réactions abiotiques qui produisent des molécules biotiques (formaldéhyde adénine...) ne ressemblent aucunement aux réactions biotiques. Glycolyse 2014 m'a conforté dans une idée que j'étais entrain d'appréhender en listant les voies métaboliques de KEGG en partant du simulateur 2025: ces voies ont existé depuis le départ (prébiotiques) dans le système abiotique hydrothermal. *Le contrôle dual: C'est en lisant l'introduction de acP 2016 du chapitre 5, la non adhésion de l'auteur aux investigations de Muller comme je l'ai fait auparavant, m'a encouragé à imaginer un processus qui pourrait se produire dans les sources hydrothermales qui contraindrait ces voies métaboliques égales à celles biotiques actuelles du point de vue du substrat et bien sûr thermodynamique. *: - L'analogie s'est imposée immédiatement: dans le biotique actuel les enzymes créent et contrôlent le métabolisme de base (sucres acides nucléotides minéraux etc.) et de même ce métabolisme contrôle ces enzymes. C'est ce que j’appelle le contrôle dual, qui se fait dans les 2 sens. Mon idée est apparue alors immédiatement, ce sont les voies que je listais auparavant qui se concrétisent. Le métabolisme de base c'est celui des sources hydrothermales, vues alors comme un écosystème biotique hydrothermale, et les enzymes ce sont les aas libres qu'il produit. C'est le contrôle dual prébiotique. *: - La caractéristique principale de ce métabolisme prébiotique qui se crée dans cet écosystème c'est qu'il se fait par étapes. *:: + 1ère étape: simulateur 2025 et krebs 2024 auxquels il faut ajouter PP 2026: aas Ala Gly Asp Glu (4); les céto-acides Pyruvate Glyoxylate oxaloacetate ceto-glutarate. Les analogues sont NAD (formiate +H2 +NiFe) et NH4. Les OH-acides sont Lactate Glycolate Malate OH-céto-Glutarate. Correspondant aux enzymes Ec1411 Ala(5808) Ec261.44 Gly(3043) Ec261.35 Asp(144) Ec1412 Glu(4450); Ec1 Lac() Ec2 Glc() Ec2 Mal() Ec1 OH-Glu(4450) *:: + 2ème étape, création de Pro (5): c'est le résultat de Glu-P sous l'action de PP, suivie de l'action de l'analogue de NAD comme dans la 1ère étape. L'analogue de ATP est PP qui produit un analogue plus puissant PEP 2017. La 1ère étape a produit aussi les alpha céto-acides: cAla (Lactate) cAsp (Malate) cGly (glycolate) cGlu (alpha céto-glutarate). 5dkbfv6v4eg8jxng3gquiy7h74m1apz 987430 987429 2026-10-15T18:12:16Z Mekkiwik 5298 /* Le contrôle dual */ 987430 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = biologie | parent = [[Recherche:Laboratoire d'études prébiotiques|Laboratoire d'études prébiotiques]] }} {{Hypothèse | titre = Chiralité prébiotique 2 | parent = [[Recherche:Département:Biologie|Département de recherche en Biologie]] | image = {{idfaculté/logo/biologie}} }} <div style="text-align:center;"><span style="font-size:180%;"> '''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:</br> l'auto-organisation prébiotique.'''</span></div> ==pense bête 1== *L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1. *Définir l'auto-organisation au stade prébiotique *Les erreurs par rapport à cette organisation sont *: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? *: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage. *Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome: *: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite. *: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques. *L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome *: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1. *: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K. *: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine. *: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones. *Auto-organisation des liposomes *: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive? *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome. *: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas. *: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture. *: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions? *: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale. *: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes *: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après. ==pense bête 2== *L'auto-organisation aas + acides gras *: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale *: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe. *: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras. *: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche. *Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras. *# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline *# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides *# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD *# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4--- *# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D? *# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH *# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G Alanine A Histidine H *# - Les stéroides chez les procaryotes ==pense bête 3== *Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre *: - soupe prébiotique *: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique *: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique *: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle. *: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs. *: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées. *: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication. *: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique. *: - étape transcription/ traduction *: - étape réplication/division ==pense bête 4== *Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. *Extraits d'internet: *: - "''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''" *: - La membrane externe des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe</ref>. *: - La membrane interne des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne</ref>. *: - MAM <ref>https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&_x_tr_tl=fr&_x_tr_hl=fr&_x_tr_pto=rq</ref> *: - La mitochondrie <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie</ref> *: - Génome mitochondrial <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial</ref>: aucun gène de synthèse d'un phospholipide *: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse</ref> *: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: "Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle." dans RL fonctions de reticulum endoplasmique <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique</ref>. *Étape de cristallisation 2: *Étape de polymérisation 2: ==pense bête 5== *Étape des eucaryotes 3: *: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel. *: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte. *Hydrogénosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome</ref> et mitosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome</ref>: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes. *Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster <ref>https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf</ref> (page 3). *La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau. ==pense bête 6== *auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome. *Les contraintes résultantes: 4 exemples, *#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, *#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, *#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. *#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte</ref>, paragraphe 3 *#: - "Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré." *#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases. *#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D</ref> de wikipédia, "Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D" il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L. *#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré "qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries". *#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début) *#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L. *# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. *#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00040</ref> LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. *#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00010</ref>qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. *# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation. *polymérisation 2: *: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible. *: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques. *: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier. *: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome. *: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation. *: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace. *: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces. ==pense bête 7== *Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2. *Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane. *Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L, elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D. *Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite. ==pense bête 8== *Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD .... *: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217 *: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln. *: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. *: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP). *: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP] *: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA. *: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est *:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+ + 2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===> dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées. *:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF. * En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, *: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas *: - Asp donne Asn et Ala *: - Glu donne Gln *: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique. *Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse *Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras. ==pense bête 9== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8. *: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P *:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) <> Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)<span style="background-color: #ffff00;"> > </span>Fructose 6P + P, '''*'''531.27 <> arabino 6P, '''*'''412.43 <> Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) <> Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) <> R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) <> R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) <> PRPP. *:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) <> dR-5P, '''*'''5427 (mutase) <> dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) <> dR + ATP. *:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. *: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His *:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) > carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) > Asp-CB, '''*'''3523 > orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') > orotate, '''*'''241.10 (PRPP) > orotidine-P, '''*'''411.23 > UMP. *:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) > CTP *:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) > dRU, '''*'''271.21 (dGTP) > dUMP *:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 < > base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C *:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP > dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier) *:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) > R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) > RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) > RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) > RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) > Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) > AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) > AIR-C-CO2H (CAIR), '''*'''6326 (ATP Asp) > CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 > carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) > FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) > IMP +H2O. *:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) > IMP-sucino, '''*'''4322 > AMP + fumarate. *:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) > XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) > GMP *:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) > dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) > dAMP et dGMP *:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) > PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) > 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) > R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) > Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) > Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) > oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) > P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') > Histidinal puis His. *: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs. *:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') > H2O2 (ou succinate) + iminoAsp > en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') > quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) > Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) > NAD+, '''*'''271.23 (ATP) > NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP). *:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) > pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) > 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) > 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) > butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) > lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) > Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP > dATP > CTP > UTP) > FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) > FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) > FADH2 et (FMN NAD) > FMNH2. *:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) > Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) > idem. *:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) > formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 > neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 > dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) > PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) > dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) > dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') > tetrahydrofolate. *::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) > Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) > prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) > chorismate, '''*'''261.85 (NH3) > amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) > 4-amino-benzoate et pyruvate. *:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr''' pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) > aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') > CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 > CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) > dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') > pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) > pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) > ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) > P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 > P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) > PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) > CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP). *: - Synthèse des aas *:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, *::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) > indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') > Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) > Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) > anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') > '''PRPP''' Anthranilate *::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) > Gly '''OH-Pyruvate''' *::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') > Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') > '''OH-Thr''' (voir synthèse B6) *::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) > Cys, idem (Ser '''HomoCys''') > '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) > Cys NH3 '''Oxo-butanoate''' *::: - Asp > Asn et '''*'''411.12 (Asp) > Ala et CO2 *::: - Glu > Gln *::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') > Urocanate NH3 "MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine", '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) > Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) > Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) > formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') > Histamine et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') > NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) > Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) > Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) > Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) > formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) > Formate et Asp. *::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui >nt 7 aas dérivés. Pour His >rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr. ==pense bête 10== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres. *: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr. *: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé. *: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met. *: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA): les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas. ==pense bête 11== *Tanger le 7/12/25 * Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG). * C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs. * L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment. *Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate</ref>. Le C de CO2 est lié à N de NH2. *Les aminonitriles: *: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. *: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp. *: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42. *:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde. *:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes. * L'histidine * Les aromatiques * Lysine ornitine et proline ==pense bête 12== *Paris le 27/02/26 *Les lectures *: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015 *: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005 *: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024, *Plan *: - postulat: ça s'est fait tout seul *: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique *: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique *: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports) *Les aas abiotiques: *: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C *:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025 *:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24) *:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation *:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation. *:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde) *:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement) *: - autres *:# Ser, aubrey faible *:# Thr, plus acétate *:# Asn, NH3 *:# Gln, NH3 *: - Formose *:# His, erythrose formamidine HCN *: - FTT *:# Trp, indole plus Ser ou Fritz *:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN *:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN *:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin *:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin *:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser *:# Met, homocystéine plus CH3 *: - Réactions quasi biotiques *:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline *:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3 ===notes des lectures=== *Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure). *Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h *Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. *: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:"Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides." *: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: "L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019)." J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr ==pense bête 13== *Paris 29/6/26 *Article de départ *: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1). ===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs=== *hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3. ====Pyruvate bis==== *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) *:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne <> P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction) *: - *oxaloacetate + Pi donne '''|>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *: - *oxaloacetate + PP donne <> P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique <--- *:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne <> Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? <--- c'est mon hypothèse pour EC2791 *: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne <> P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2 EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' <--- *Pathway: glycolyse suite *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 (R00658) hydro-lyase <--- *: - *Glycérate-2P donne <> Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase *: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''') EC121.12 (R01061) oxydoréductase <--- *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase <--- *Pathway: Aspartate *: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''') EC1411 (R00396) oxydoréductase *:: + Contradiction '''subs/prod''' ====Glycolate bis==== *Pathway: glyoxylate *: - *Glycolate + Acceptor '''donne |>''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase *:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS? *:: + '''Formate'''? *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |>''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase *: - *Asp + NAD (formate) '''donne <|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410 *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase *:: + Contains pyridoxal phospate. *:: + ''confirmer que Cys est produite avant'' *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant'' *: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |>''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (<u>en labo sans enzyme mais très faible</u>) *:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 <ref>https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84</ref> nitrile hydratase.'' *: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |>''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase ====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate propionate phosphite==== *Compound, phosphite. Voir article sur Phosphite dans les sources hydrothermales <ref>https://www.biorxiv.org/content/10.64898/2025.12.19.695421v2.full</ref>. *: -Phosphite +NAD+ +H2O donne phosphate +NADH +H+ EC1.20.1.1 R05746 oxydoreductase. 146 bactéries, rien d'autre. Enx, enterobacter, 341 aas. Entrée créée en 2001 MAJ 2025. *: -Phosphite +AMP +NAD+ donne ADP +NADH +H+ EC1.20.1.2 R13633 oxydoreductase. Une seule référence <ref>https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.2309743120</ref>. Entrée créée en 2025. *Pathway: pyruvate métabolisme *: -*'''Ethanol''' + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein) bi ecocyc de ethanol ΔG=3.10kcal/mol. eco 891 aas. 8769 êtres dont 200 archées *: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate). 6796 êtres dont 132 archées *: -*'''Acetate''' +ATP donne <> Acetyl-P +ADP EC2721 R00315 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=-6.97 kcal/mol, 400 aas. 7664 êtres dont 28 archées *: -*'''Acetate''' +PP donne <> Acetyl-P +Pi EC272.12 R00320 kinase. Métacyc sens indéfini. Entamoeba histolytica seule référence de 1975 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/0006291X75905136?via%3Dihub</ref> *: -*'''Propionate''' +ATP donne <> Propionyl-P +ADP EC2721 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 7665 êtres dont 29 archées *: -*'''Propionate''' +ATP donne <> Propionyl-P +ADP EC272.15 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 375 bactéries pas d'archées *:: + comment: Involved in the anaerobic degradation of L-threonine in bacteria. Voir dans propanoate pathway EC123- de 2-oxobutanoate vers propanoyle-P, flèche sans enzyme. Le 2-oxobutanoate vient de la Thr. *: - *<u>Acetate + ''ATP +CoA donne <> Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''</u> archées *: - *<u>''Propanoyl-CoA +Formate donne <> 2-Oxobutanoate +CoA EC231.54 R06987 Formate lyase''</u> *: - *<u>''Acetyl-CoA +Formate donne <> Pyruvate +CoA EC231.54 R00212 Formate lyase''</u> *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10701</ref>, attention activation de l'enzyme par flavodoxin/ferredoxin-NADP+ reductase. *: - *'''Methanol''' + NAD donne <> formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein) *: -*formaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase *: - *'''Lactate''' + NAD donne <> '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase. 4141 êtres dont 16 archées *Pathway: glyoxylate métabolisme *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glyoxylate +NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase Metacyc bi. 2272 êtres dont 124 archées (mieux que ec111.29, voir Ser). *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glycolaldehyde +NAD +H2O EC121.21 R01333 aldehyde dehydrogenase ecocyc di de aldehyde ΔG=-17.03kcal/mol *: - *OH-pyruvate '''donne |>''' Glycolaldehyde +CO2 EC411.40 R01393 carboxylase Metacyc bi *Pathway: methane métabolisme *: - *'''Methanol''' + NAD '''donne |>''' formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase Metacyc di *Pathway: cysteine methionine *: - *'''Methanol''' + H2S donne <??> '''Methane thiol''' <u>ou bien le methane thiol est basique comme le methanol</u> *: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase *:: + *Asp + ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase *:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne <|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase *:: + *Asp-semialdehyde + NAD donne <> L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase *:: + *'''acety-CoA''' + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (B6 protein) ====Pyruvate==== =====Glycolyse===== *Pathway: Pyruvate *: - *Pyruvate +HCO3- +ATP '''donne |>''' Oxaloacetate +ADP +Pi EC6411 R00344 ligase metacyc de ATP (A biotinyl-protein) *: - *Malate +NADP donne <> Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc de Malate (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol *:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate. *: - *Malate +NAD+ donne <> Pyruvate +NADH +CO2 +H+ EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc et metacyc direct de Malate ΔG=-0.32Kcal/mol *:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate +H+ (non réversible) <ref>https://biocyc.org/reaction?orgid=ECOLI&id=1.1.1.39-RXN</ref>. *:: + thermodynamiquement Ec111.38 est réversible à cause de son ΔG=-0.32Kcal/mol. Mais dans la cellule elle a pour objet de produire du CO2 lors de l'accumulation de NAD+. Décompte génomes a b e: 458 9991 1295 *: - *Malate +NAD donne <> Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=4.46Kcal/mol *: - *oxaloacetate + Pi '''donne |>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 900 aas. *: - *oxaloacetate '''+PP''' donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bi son ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + abe: 0 250 10; grosse enzyme 1100 aas. Energie de liaison de PP 47.8 Kcal/mol et 1ère et 2ème PP dans ATP, sont égales à 7.3Kcal/mol; P-enolpyruvate 14.8kcal/mol *:: + Also catalyses the reaction: P-enolpyruvate + Pi = pyruvate + PP. <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/12/26/5247/105472/Carboxytransphosphorylase-VII-Phosphoenolpyruvate?redirectedFrom=fulltext</ref> *:: + ''Pyruvate +PP donne <> P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique? c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse) *: - *oxaloacetate +ATP donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +ADP EC411.49 R00341 kinase ecocyc de ATP (shem bi) ΔG=-7.02Kcal/mol *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 520 aas. *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP '''donne <|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 R00200 kinase biocyc de ADP ΔG=-2.23Kcal/mol *: - *Pyruvate +ATP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 R00206 dikinase (multi-step reaction) metacyc de ATP ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP +H2O donne <> P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 R00199 dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 R00658 hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> '''Glycérate-3P''' EC542.11 R01518 mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol *: - *Glycérate-3P + ATP donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 R01061 dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=8.23''' Kcal/mol (gauche-droite) *: - *Fructose-6P '''+PP''' donne <> Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini) *:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule. *:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; enzyme 300-600 aas. *: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |>''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) phosphorylase de f1.6 à f6 ΔG=6.89Kcal/mol) *: - *Fructose-6P +ATP '''donne |>''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol) =====Formation des aas à partir du pyruvate===== *Pathway: Ala Asp Glu *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) Metacyc bi. 5728 êtres dont 243 archées *Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate *: - voie P-Ser *: - *Glycérate-3P +NAD +H2O donne <> P-OH-Pyruvate +NAD EC111.95 R01513 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.03 kcal/mol. 10084 êtres dont 434 archées *: - *O-P-Ser +2-oxoGlu donne <> P-OH-Pyruvate +Glu EC261.52 R04173 transaminase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=0.08 kcal/mol. 8871 êtres dont 71 archées *: - *O-P-Ser +H2O '''donne |>''' L-Ser +Pi EC3133 R00582 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=9.27 kcal/mol. 8278 êtres dont 366 archées *: - voie Glycerate *: - *'''Glycérate-3P''' + H2O '''donne |>''' Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase. 1 seule référence de 1971 "sugarcane leaves" *:: + *Glycéraldéhyde +NAD +H2O donne <> Glycérate +NAD EC1213 R01752 oxydoréductase. 6796 êtres dont 132 archées pas de metacyc *:: + *Glycéraldéhyde +DHAP donne <> Fructose-1P EC412.13 R02568 lyase. Metacyc direct de Fructose. 11542 êtres dont 459 archées *::: * Pour obtenir Fructose-1P à partir de Fructose-6P, il faut 4 enzymes EC111.17, 313.22, 111.11, 2713 (une kinase) <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00051</ref> *::: * Le Glycéraldéhyde libre est bloqué comme le Glycerol <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00561</ref>. Il est rapidement transformé en Glycéraldéhyde-3P EC271.28 *:: + *Mannitol-1P +NAD donne <> Fructose-6P +NAD EC111.17 R00758 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.60 kcal/mol. 1867 êtres dont 2 archées *:: + *Mannitol +Pi donne <> Mannitol-1P +H2O EC313.22 R02167 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=7.22 kcal/mol. 2063 êtres dont 1 archées *:: + *Mannitol +NAD donne <> Fructose +NAD EC111.11 R00868 oxydoréductase. Metacyc bi. 443 êtres dont 0 archées (Ec111.67 1312,Ec111.67 83) *:: + *Fructose +ATP '''donne |>''' Fructose-1P +ADP EC2713 R00866 kinase. Metacyc direct de Fructose. 907 êtres dont 52 archées *: - *Glycerate + NAD donne <> Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase. 2077 êtres, eucaryotes, bactéries, 9 archées MM et 1 METB. Metacyc bi. *: - *'''Ser''' + Pyruvate donne <> Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein). 2913 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + Glyoxylate donne <> '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein). 2880 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + H2S '''donne |>''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein) 3754 êtres, eucaryotes, bactéries, 36 archées. pas de RHEA *: - *Ser +Acetyl-CoA donne <> O-Acetyl-Ser +CoA EC231.30 (R00586) transferase (sans B6) 8266 êtres, eucaryotes, bactéries, 170 archées. *:: + voie de E.Coli suivie de EC251.47 donne Cys avec B6. 8282 êtres *: - *'''Thr''' donne <> Gly + Acetaldehyde EC412.48 (R00751) transaminase (B6 protein) 6788 êtres, eucaryotes, bactéries, 100 archées. Ecocyc bi, ΔG=1.0 kcal/mol *: - *Thr '''donne |>''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein) *Pathway: Val Leu Ile biosynthese *: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat) *: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |>''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction) *: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne <> 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase *: - *Aceto-Lactate + NAD donne <> 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase *: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase *: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase *: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |>''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase *: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |>''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase *: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne <|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating *: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne <|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating *: - * *: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |>''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase *: - *2-isopropylmalate donne <> 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase *: - *2-isopropylmaleate + H2O donne <> 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase *: - *3-isopropylmalate + NAD donne <> 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase *: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée *: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne <|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating *Synthèse *: - 2 groupes *:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6, *::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate *::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate *::: * Cys: consomme H2S, basique *::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate *:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6 *::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD *::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA =====Formation de Asp et Asn ===== *Pathway: Glyoxylate *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |>''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp''' *: - *Asp + NAD '''donne <|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6) *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi *Pathway: Ala Asp Glu *: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |>''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase (sans B6) *: - *Asp +2-oxoglutarate donne <> Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase (avec B6) *: - *Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino lyase ecocyc bi ΔG=+3.19 Kcal/mol de Asp (sans B6) *: - *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *:: + Malate vient directement de Pyruvate *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein) *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6) *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique? *: - Voie Glyoxylate: *:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu. *:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate. *: - voie Ala Asp Glu *:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp. *: - voie cyanoamino acide: *:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude? *: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref>. *:: + =====Formation de Lys===== *Pathway: Lysine *: - *Asp + ATP '''donne |>''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''4-Asp-P''' *: - *4-Asp-P +NAD '''donne <|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-4-semialdehyde''' *: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |>''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase '''4Hydro-dipicolinate''' *: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne <|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase (spontanée: +H2O donne <> '''L-2-Amino-6-oxopimelate''') *: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne <> L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &emsp;&emsp; '''diaminopimelate''' *: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |>''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &emsp;&emsp; '''L-Lys''' (B6 protein) *: - *Lys +acetyl-P '''donne |>''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &emsp;&emsp; '''N6-acetyl-Lys''' *: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne <> N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein) *: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne <> 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &emsp; '''5-Acetamido-pentanoate''' *: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne <> 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &emsp; '''5-Aminopentanoate''' *: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne <> Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein) *: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne <> Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras) *Synthèse *: - étapes: 6 à partir de Asp *: - produit: NH3, CO2 *: - consomme: Asp, Pyruvate *: - utilise: ATP, 3 NAD *: - B6: avec B6 =====Formation des Riboses et dRiboses===== *Pathway: Pentoses phosphates *: - *D-Arabinulose-P donne <> '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase 185 aas metacyc direct de Arabi. 1303 êtres dont 291 archées *: - *D-Arabinulose-P donne <> D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase 211 aas metacyc bi. 1214 êtres dont 295 archées *: - *D-Ribose-5P donne <> D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase 219 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-6.13 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P donne <> D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-1.93 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P +ADP '''donne |>''' D-Ribose-1,5P2 +AMP EC271.212 (R11535) P-transferase 294 aas metacyc de ADP *: - *D-Ribose-1,5P2 + ATP '''donne |>''' PRPP +ADP EC274.23 (R06836) P-transferase 185 aas metacyc de ATP ecocyc bi ΔG=-2.03 kcal/mol *: - *D-Ribose-5P + ATP donne <> PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase 315 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-25.84 kcal/mol *: - * *: - *D-dRibose-5P donne <> '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase 259 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=5.12 kcal/mol *: - *D-dRibose-1P donne <> D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=?? comme Ribose? *Synthèse *: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose *: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P *: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde. *: - utilise: AMP; et rien *: - Note: PRPP peut être obtenu par 2 P-transférases qui peuvent utiliser PEP =====Formation de l'ATP===== *Pathway: purines *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +ADP +Pi EC6347 R01053 amido transférase oiseaux (article unique 1968 <ref>https://www.jbc.org/article/S0021-9258(18)91922-8/pdf</ref>) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. homo4mères *: - *PRA +Gly +ATP '''donne |>''' 5P-Ribosylglycinamide +ADP +Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-6.27 '''GAR''' *:: + ecocyc: séquentiel et ordonné. Tunnel. Monomère <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10792</ref> *: - *GAR +ATP +Formate '''donne |>''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-8.97 '''FGAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG11809</ref>, monomere *:: + EC2122 THF sans ATP R04325 ecocyc et Meta bi ΔG=16.47 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10799</ref>, monomere *: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |>''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20 '''FGAM''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10797</ref> 3 sites Gln d'abord, puis ATP puis FGAR. Monomère. Fusion de 3 enzymes. *: - *FGAM +ATP '''donne |>''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ecocyc et metacyc direct de ATP ΔG=9.97 '''AIR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10798</ref>. Pas de couplage, ATP attaque FGAM puis cyclase. Dimère. *: - *[AIR +HCO3- +ATP '''donne |>''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC634.18 R07404 ecocyc et Meta de ATP ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10796</ref>. dimère. Nonenzymatic carboxylation of AIR occurs. *: - *[AIRC donne <> 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=6.32 Metacyc et ecocyc de carboxyamno '''CAIR'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10793</ref>. octamère. Réversible si EC6336 est absente *: - *5-amino-1-(5-phospho-D-ribosyl)imidazole-4-carboxylate donne <> AIR +CO2 EC411.21 R04209 carboxylase Metacyc bi '''CAIR''' *: - *CAIR +Asp +ATP donne <> (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase ΔG=-7.66 '''SAICAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10791</ref>. Trimère. les sites ne sont pas élucidés. *: - *SAICAR donne <> 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase ΔG=9.84 ecocyc direct Metacyc bi '''AICAR''' *: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |>''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase '''Metacyc bi FAICAR''' *:: + EC2123 THF sans ATP R04560 ecocyc et Meta bi ΔG=18.96 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10795</ref>, monomere *: - *IMP +H2O donne <> FAICAR EC354.10 R01127 cyclase ΔG=26.85 ecocyc et Metacyc bi '''IMP''' *: - *IMP +GTP +Asp '''donne |>''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-103.56 '''car-AMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10790</ref>. dimère. Les binding sites sont élucidés. *: - *car-AMP '''donne |>''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase ΔG=55.05 ecocyc direct metacyc bi '''AMP''' *: - *IMP +NAD +H2O '''donne |>''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase ecocyc et Metacyc bi ΔG=2.43 '''XMP''' *: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |>''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-5.44 '''GMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10420</ref>. dimère. Sans Gln il n'y a que 2 binding sites, ATP et XMP. Le contrôle est strict avec Gln mais pas avec NH3. *: - *GMP,AMP +ATP donne <> GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &emsp;&emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP''' *: - *GMP,AMP +ADP donne <> Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &emsp;&emsp;'''Guanosine, Adenosine''' *: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne <> G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &emsp;&emsp;'''G, A''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne <> G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &emsp;&emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |>''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &emsp;&emsp;'''dGMP,dAMP''' *: - *dGMP,dAMP +ATP donne <> dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &emsp;&emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP''' *Synthèse *: - étapes: 12 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP *: - produit: 2 Fumarate CO2 *: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 Gly *: - utilise: 7 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une carboxylase et une cyclase n'utilisent pas ADP. *: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP. =====La synthèse de novo de l'ATP et le couplage de 2 réactions===== *Problématique: *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase *: - Dans la réaction R01053 l'enzyme EC6347 en fait 2 réactions en parallèle: *:: + L'hydrolyse ATP +H2O '''donne |>''' ADP +Pi, fournit à l'enzyme l'énergie nécessaire pour lier NH3 au Ribose *:: + Ribose-5P +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +H2O *: - La réaction R01053 est directionnelle. C'est le cas des autres réactions faisant intervenir 3 substrats. *: - Avant l'apparition des polypeptides la probabilité de la rencontre des 3 substrats est très faible et c'est le rôle principale de l'enzyme que de les réunir. Dans mon hypothèse, l'environnement avec ses aas libres favorisant tant soit peu la réaction, il est difficile d'imaginer que l'énergie libérée par l’hydrolyse de l'ATP soit récupérée à distance par la ligase. Elle est tout simplement diffusée dans son environnement. Il y a ainsi 7 couplages avec 3 molécules pour le substrat dont 6 avec ATP et une avec GTP. *: - L'enzyme EC6347 peut être remplacée par EC242.14 qui est bidirectionnelle et peut être vue comme le résultat (pas la somme) de 2 transaminases indépendantes. Une à 2 substrats utilisant NH3 et produisant 5P-Ribosylamine +PP qui sont utilisés avec Glu par la 2ème à 3 substrats produisant Gln. Gln peut être produit donc avant l'apparition de l'ATP. *:: + PRPP +NH3 donne <> 5P-ribosylamine +PP *:: + 5P-Ribosylamine +PP +Glu donne <> Gln +PRPP *: - L'enzyme EC6331 n'a que 2 molécules comme substrat comme les kinases et peut être envisagée avant l'apparition de l'ATP en remplaçant celle-ci par PEP. *Comment résoudre le couplage prébiotique nécessaire à la synthèse de novo de l'ATP nécessitant 7 couplages successifs. *: - Dans les réactions que j'ai réunies pour le proto-métabolisme il n'y a que 5 autres couplages non sucessifs: 2 pour CoA 1 pour acetyl-CoA et 2 pour THF. *: - Il faut des concentrations élevées de PEP NH3 Formate Asp Gly Pi *: - Est-ce que les 9 autres aas existants peuvent aider ces couplages: Cys Ser Thr Ala Lys Glu Gln Pro Arg. Et les ceto-acides: Lactate malate oxaloacetate fumarate oxo-glutarate pyruvate; et les acides glycolate acétate propionate =====Formation de l'Uracile===== *Pathway: arginine *: - *ATP +HCO3- +NH3 donne <> Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &emsp;&emsp;'''Carbamoyl-P''' *Pathway: pyrimidines *: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |>''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &emsp;&emsp;'''N-Carbamoyl-Asp''' *: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne <> N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &emsp;&emsp;'''(S)Dihydroorotate''' *: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne <> Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &emsp;&emsp;'''Orotate''' *::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. *:: + *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *::: * Malate vient directement de Pyruvate.Voir Krebs et pyruvate *:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase *: - *Orotidine-5'P +PP donne <> Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &emsp;&emsp;'''Orotidine-5'P''' *: - *Orotidine-5'P '''donne |>''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &emsp;&emsp;'''UMP''' *: - *UMP +Pi '''donne |>''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &emsp;&emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''') *: - *UMP +ATP donne <> UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &emsp;&emsp;'''UDP''' (idem CDP) *: - *UDP +ATP donne <> UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &emsp;&emsp;'''UTP''' (idem CTP) *: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |>''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &emsp;&emsp;'''CTP''' *: - * *: - *Uracil +dRibose-1P donne <> dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &emsp;&emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''') *:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase. *: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP *: - * *: - *dR-base1 +base2 donne <> dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dR-Base1 Base2''' *: - *dUridine +C donne <> dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dCytidine''' *: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP *: - * *: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |>''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &emsp;&emsp;'''dTMP''' et '''DHF''' *: - *dTMP +H2O '''donne |>''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &emsp;&emsp;'''Thymidine''' *: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine *Synthèse *: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP *: - produit: succinate, PP, CO2 *: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP *: - utilise: ADP '''FMN''' *: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine *: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase *: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase. =====Formation de His===== *Pathway: histidine *: - *ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |>''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &emsp;&emsp;'''PRPP-AMP''' *: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |>''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &emsp;&emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |>''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &emsp;&emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |>''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR *: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |>''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne <> Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &emsp;&emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein) *: - *Histidinol-P '''donne |>''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &emsp;&emsp;'''Histidinol''' *: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |>''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidinal''' *: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |>''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidine''' *Synthèse *: - Étapes: 10 à partir de ATP *: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines) *: - consomme: ATP, PRPP, NH3 *: - Utilise: 2 NAD *: - B6: avec B6 =====Récapitulation aas===== *Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |> <u>'''Ala''' sans B6</u> *Pyruvate (Glycolyse); Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne <> Pyruvate + '''Ser''' avec B6 *Glycolate; Glycolate + NAD donne <> Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne <> HxP + '''Gly''' avec B6 *H2S; Ser + H2S donne |> H2O + '''Cys''' avec B6 *Ethanol; Ethanol + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne <> '''Thr''' avec B6 *Pyruvate; 2 Pyruvate donne |> Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-Lactate NAD <> v1, v1+NAD donne <> v2; v2 donne |> v3 + H2O; v3 +NH3 donne |> H2O + <u>'''Val''' sans B6</u> *Thr donne |> Oxobutanoate + NH3 avec B6 *Pyruvate + Oxobutanoate donne |> Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD <> l1, NAD <> l2; l2 donne |> l3 + H2O; l3 +NH3 donne |> H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr *Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |> A1 (avec B6), A1 donne |> A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |> NAD + <u>'''Asp''' (sans B6)</u> * voie Pyruvate *: - Pyruvate +ATP+H2O donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi *: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne <> oxaloacetate + ATP *: - Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)''' *Asp +ATP +NH3 donne |> AMP + PP + <u>'''Asn''' (sans B6)</u> *Asp + ATP donne |> 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6 * Après formation de l'ATP *: - ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6 =====B6 Pyridoxal-P===== *D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser *Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref> *: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu *Biosynthèse de B6 *: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu. *: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant: *:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a <u>molecular tunnel that is almost 100 A in length</u> [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6] *:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a <u>substrate-protective tunnel</u> to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''. *:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and <u>channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel</u>. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants. *: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul. *Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P *: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |>''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi <u>EC4336</u> R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine''' *: -* *: -*Pyridoxal +ATP '''donne |>''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine +ATP '''donne |>''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P''' *: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |>''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne <> Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne <> Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne <> Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal''' *: -* *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +NADP donne <> Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -* *: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6. *: -*L-Ala donne <> D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6 *: -*Pyruvate + D-Glu donne <> D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6 *Synthèse *: - Étapes: une seule *: - produit: directement le pyridoxal seul! *: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate. *: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.) =====NAD nicotinamide adenine dinucléotide===== *Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]] *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) *Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp *: -*Asp + NAD '''donne |>''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp''' *: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne <|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate''' *:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity. *Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes) *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *: - * *: -*Quinolinate + PRPP '''donne <|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide''' *: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne <> Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD''' *:: + '''ATP en substrat''' *: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |>''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+''' *:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln. *: -*NAD + ATP '''donne |>''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+''' *Synthèse *: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN) *: - produit: 2 PP *: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP *: - Utilise: 2 ATP, FAD *: - B6: néant *: - comparaison des 2 voies: *:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S]. *:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution. =====FMN FAD riboflavines===== *Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques. *Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP '''donne <|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil''' *: -*P-ribitylamino-uracil + H2O '''donne |>''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil''' *: -*Ribulose-5P '''donne |>''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P''' *: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |>''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine''' *: -*2 ribitylLumazine '''donne |>''' Riboflavin + ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin''' *:: + A flavoprotein (riboflavin). *: -*Riboflavin + ATP '''donne |>''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN''' *: -*FMN + ATP '''donne |>''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD''' *Synthèse *: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD *: - produit: 2 Formates, NH3 *: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP *: - Utilise: ATP, NADP =====Phe Tyr Trp===== *Les aas aromatiques. Chorismate nécessite FMN. *Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose *: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |>''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase Metacyc de P2 à 1 P '''céto-Fructose-1P''' *:: +*D-Lactate +NAD donne <> Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase ecocyc (schem bi) RL ΔG=+3.33 '''D-Lactate''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne <> D-Lactate +NAD EC121.23 R01735 oxydoreductase pas de REHA '''D-Lactaldehyde''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne <> Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase Metacyc bi '''Methylglyoxal''' *: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |>''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase Metacyc de Asp '''heptulosonate''' *:: +*Asp +ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''Asp-P''' *:: +*Asp-P +NADP '''donne <|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-semialdehyde''' *: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |>''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate''' *: -*Dehydroquinate donne <> Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate''' *: -*Shikimate +NAD donne <> Dehydroshikimate +NAD EC111.24 R06847 oxydoreductase ecocyc LR de shikimate ΔG=-12.20 '''Shikimate''' *: -*Shikimate +ATP '''donne |>''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase ecocyc LR de ATP ΔG=-16.06 '''Shikimate-3P''' *: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate <> Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P''' *: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |>''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate''' *::: .. Requires '''FMN''' *: -*Chorismate donne <> Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate''' *: -*Prephenate donne <> Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate''' *: -*Phe +NAD +H2O donne <> Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6) *: -*Prephenate +NAD donne <> OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate''' *: -*Tyr +NAD +H2O donne <> OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6) *: -*Chorismate +NH3 '''donne |>''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate''' *::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit. *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne <> Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P''' *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne <> Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P''' *: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne <> Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P''' *: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne <> Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' <u>(avec B6)</u> *: - * *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *Synthèse *: - Etapes *:: + Voie commune 11 étapes *:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun *:: + Trp 5 étapes *:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée *: - Produit *:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3 *:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun *:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P *:: + Quinolinate: H2O (rien) *: - Consomme *:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate *:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun *:: + Trp: NH3, PRPP, Ser *:: + Quinolinate, '''2 fois O2''' *: - Utilise *:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP *:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr *:: + Trp: rien *:: + Quinolinate: '''FAD''' *: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6. =====TPP Thiamine pyrophosphate===== *Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas. *Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5. *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire. *:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea. *: -*NAD + Gly +H2S '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |>''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante *: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |>''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P''' *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His). *:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. *: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |>''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P''' *: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne <|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP''' *Biosynthèse de la Thiamine *: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |>''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P''' *: -*Thiamine-P +ATP '''donne |>''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP''' *: -*Thiamine-P +H2O '''donne |>''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine''' *: -*Thiamine +H2O '''donne |>''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole''' *: -*Thiazole +ATP '''donne |>''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P''' *: -*Pyrimidine +ATP '''donne |>''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys) *:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea. *: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP *:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide. *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons. *:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis. *Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP *: - produit: *:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; *:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme) *:: + CO2 PP *: - consomme: *:: + NAD Gly H2S *:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6 *:: + énergie *: - Utilise: *:: + rien *:: + ATP *:: + ATP =====CoA Coenzyme A===== *La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine. *: -*Acetolactate + NADP '''donne <|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*Dimethyl-malate +NAD donne <> methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate''' *: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne <> Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate''' *: -*Pantoate + NAD donne <> Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate''' *: -*Asp '''donne |>''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala''' *:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group. *: -*beta-Ala + Pantoate +ATP '''donne |>''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate''' *: -*beta-Ala + Pantoate '''donne |>''' Pantothenate +H2O EC351.22 R02474 hydrolase '''Pantothenate''' *:: + Article 1966 <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/5/2/399/99824/The-Bacterial-Degradation-of-Pantothenic-Acid-II?redirectedFrom=fulltext</ref>, pseudomonas P-2. *: -*Pantothenate +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate''' *: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives. *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantoate + Cys +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +AMP +PP EC632.51 R04230 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |>''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantetheine +ATP donne <> dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA''' *: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |>''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA''' *Synthèse *: - 13 étapes de Pyruvate à CoA *: - produit: 3 CO2; 3 PP *: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys *: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP *: - B6: pas de B6 =====Val Ile Leu===== *Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul. *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *: -*Acetolactate donne <> OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate donne <> methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' *: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |>''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6) *: -*Ile *: -*Thr '''donne |>''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6) *: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate''' *: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne <> OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate donne <> 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate''' *: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |>''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6) *: -*Leu *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val *: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |>''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate''' *:: +*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*2-Isopropyl-malate donne <> 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate''' *: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne <> 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate''' *: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne <> 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate''' *: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 <u>spontanée</u> R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate''' *: -*Leu +NAD +H2O '''donne <|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6) *Synthèse *: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu. *: - produit *:: + Val: CO2 *:: + Ile: CO2 NH3 *:: + Leu: CO2 *: - consomme *:: + Val: 2 Pyruvate NH3 *:: + Ile: Thr NH3 *:: + Leu: Acetate NH3 *: - Utilise *:: + Val: NADP NAD *:: + Ile: NADP NAD *:: + Leu: ATP CoA 2 NAD *: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6 =====Methionine Met===== *Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. *Pathway: cysteine methionine *: -*acetyl-CoA + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' *: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6) *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (avec B6) *: -*Met +ATP +H2O '''donne |>''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase *: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |>''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met''' voie des sulfures *: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |>''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6) *Synthèse *: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met. *: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici. *: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. *: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol *: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate. *: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP. *:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met. *:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6. =====Glutamate Glu Gln===== *Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs *: -*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne <> Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' *: -*Citrate donne <> Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' *: -*Cis-aconitate +H2O donne <> Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' *: -*Iso-citrate +NADP donne <> oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' *: -*oxalosuccinate donne <> 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' *: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne <> Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6) *: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |>''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase ΔG=-6.77 kcal/mol 469 aas direct de Glu '''Gln''' (sans B6) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 kcal/mol '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. Homo tetramer. 505 aas. *Synthèse *: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln *: - produit: CO2, CoA, Glu *: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3 *: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP *: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln *: - Gln sans ATP: EC242.14. Dans le commentaire NH3 peut remplacer Gln. A partir de là on obtient PRA et PP. PRA est très instable, aussi en présence de Glu et de PP se forme PRPP et Gln avec un ΔG=2.05 kacl/mol meilleur qu'avec l'ATP et favorable à la réversibilité. Donc PRPP + NH3 + Glu donne Gln, peut être en petite quantité, mais peut être entraînée par l'ensemble des autres aas. =====Arginine Arg Pro===== *Nécessite CoA et Glu *: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |>''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu''' *: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |>''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P''' *: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde''' *: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne <|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6) *: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne <> Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine''' *: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase ΔG=6.17 kcal/mol bi metacyc ecocyc, eco 297 aas. 2630 êtres dont 645 archées '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-5-semialdehyde donne <> Pyrroline-5-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *: -* *Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.) *: -*Glu +ATP '''donne |>''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' *: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' *: -*Ornithine +2-oxoglutarate donne <> Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6) *:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' (sans B6) *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-semialdehyde donne <> Pyroline-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *Synthèse sans CoA *: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée *: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P *: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2 *: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD *: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro. =====THF pour TMP===== *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |>''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P''' *: -*Dihydroneopterin-P '''donne |>''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin''' *:: +*Chorismate +Gln '''donne |>''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' *::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate *:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |>''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6) *: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |>''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate''' *: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |>''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10327</ref>. ATP-dependant reaction, est-ce que ATP a un site propre pour son hydrolyse? *: -*THF +NADP '''donne <|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF''' *: -* *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate. *: -* *: -*THF +ATP +Formate donne <> Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF''' eucaryotes *: -*Formyl-THF +P-Ribosylglycinamide donne <> THF +P-Ribosyl-N-formylglycinamide EC2122 R04325 formyl ligase '''Formyl-THF''' bactéries *:: + ecocyc: <ref>https://www.kegg.jp/entry/eco:b2500</ref>, voir formation ATP *: -*Methenyl-THF +H2O donne <> Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF''' *: -*Methylene-THF +NADP donne <> Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF''' *: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |>''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine) *Synthèse *: - 12 étapes de GTP à TMP *: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate *: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3 *: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP =====Acides gras===== *Commencent avec Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA '''donne |>''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne <> Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA donne <> Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA''' *: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne <|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA''' *: - * *: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |>''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA''' *:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl *: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne <> trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA''' *: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à 16 carbones *: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |>''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate''' *Dégradation *: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |>''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |>''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne <> trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA''' *: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA donne <> Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA''' ==essai 1== <pre> Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques. Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu. Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé. Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers. C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation. L'auto-organisation prébiotique *partir du postulat *pas de catalyse minérale des liaisons covalentes *liposome aux interactions faibles *grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis *Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies. *échanges avec l'extérieur *Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau. *A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. *homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme. *L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira. </pre> ==essai 2== *PLD de krishnamurty <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> *Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique *La question de CTP pour l'initialisation de la membrane ===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique=== *Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique: *: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation. *: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle. *: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité. ==essai 3== 12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion. *Deux points importants de la critique du passé de mes essais: *: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? *: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques? *Le nouveau concept *: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile. *: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. *: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile. ==essai 4== 21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a? * Les lectures: *: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).<ref>https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full</ref> *: - Les expériences en laboratoire *:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 <ref> https://theses.hal.science/tel-05407367</ref> *:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 <ref>https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/</ref> *:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 <ref>https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116</ref> * Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides. * Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction *: - en profondeur, avec des températures (>300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction *: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales. *: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (<100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec <u>R.Pascal</u>: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691</ref> *: - <u>Formation des pores d'échange dans la bicouche</u>: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse. *: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP <ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol</ref>. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66. ==essai 5== 15/06/26 Paris. *Les 5 principes *#L'auto-organisation *#La continuité *#La séquestration et la néguentropie *#La différence réaction abiotique/biotique *#L'autonomie *L'environnement prébiotique *: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques *:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire) *:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4 *:# Les minéraux dont les phosphates *:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate *:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3 *: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) *: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes. ===L'auto-organisation=== *Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales. ==essai 6== ===Le processus néguentropique=== *Paris le 5/8/26 ===Introduction à la problématique de la recherche sur les origines de la vie=== *Paris le 2/9/26 *Les ribosomes miroir <ref>https://fr.scienceaq.com/Chemistry/1001083878.html</ref> *RNA polymérase <ref>https://fondation-inserm.org/les-bacteries-miroirs-menace-ou-curiosite-scientifique</ref> ====Le contrôle dual==== *Paris 14.10.26 *Simulateur hydrothermales 2025: formiate acétate pyruvate méthanol NH4 glycolate lactate propionate éthanol, pas de P H2S *Krebs 2024: d'où vient oxaloacétate? CO2 pyruvate oxaloacétate glyoxylate H2+Formiate (équivalent NAD), pas de P H2S, NiFe 22°C pression atmosphérique. *PP 2026: PP est proposé pour remplacer ATP, l'article '''acP de 2016''' propose l'acétyl-P très fragile et peu fréquent. *Moi je propose PEP 2017. *Glycolyse 2014: plusieurs réactions (des isomérase) de l'interconversion des sucres se fait dans l'eau sans enzymes. La non adhésion aux investigations de Muller depuis 1953, recherche des réactions abiotiques qui produisent des molécules biotiques (formaldéhyde adénine...) ne ressemblent aucunement aux réactions biotiques. Glycolyse 2014 m'a conforté dans une idée que j'étais entrain d'appréhender en listant les voies métaboliques de KEGG en partant du simulateur 2025: ces voies ont existé depuis le départ (prébiotiques) dans le système abiotique hydrothermal. *Le contrôle dual: C'est en lisant l'introduction de acP 2016 du chapitre 5, la non adhésion de l'auteur aux investigations de Muller comme je l'ai fait auparavant, m'a encouragé à imaginer un processus qui pourrait se produire dans les sources hydrothermales qui contraindrait ces voies métaboliques égales à celles biotiques actuelles du point de vue du substrat et bien sûr thermodynamique. *: - L'analogie s'est imposée immédiatement: dans le biotique actuel les enzymes créent et contrôlent le métabolisme de base (sucres acides nucléotides minéraux etc.) et de même ce métabolisme contrôle ces enzymes. C'est ce que j’appelle le contrôle dual, qui se fait dans les 2 sens. Mon idée est apparue alors immédiatement, ce sont les voies que je listais auparavant qui se concrétisent. Le métabolisme de base c'est celui des sources hydrothermales, vues alors comme un écosystème biotique hydrothermale, et les enzymes ce sont les aas libres qu'il produit. C'est le contrôle dual prébiotique. *: - La caractéristique principale de ce métabolisme prébiotique qui se crée dans cet écosystème c'est qu'il se fait par étapes. *:: + 1ère étape: simulateur 2025 et krebs 2024 auxquels il faut ajouter PP 2026: aas Ala Gly Asp Glu (4); les céto-acides Pyruvate Glyoxylate oxaloacetate ceto-glutarate. Les analogues sont NAD (formiate +H2 +NiFe) et NH4. Les OH-acides sont Lactate Glycolate Malate OH-céto-Glutarate. Correspondant aux enzymes Ec1411 Ala(5808) Ec261.44 Gly(3043) Ec261.35 Asp(144) Ec1412 Glu(4450); Ec111.27 Lac(4198) Ec2 Glc() Ec2 Mal() Ec1 OH-Glu(4450) *:: + 2ème étape, création de Pro (5): c'est le résultat de Glu-P sous l'action de PP, suivie de l'action de l'analogue de NAD comme dans la 1ère étape. L'analogue de ATP est PP qui produit un analogue plus puissant PEP 2017. La 1ère étape a produit aussi les alpha céto-acides: cAla (Lactate) cAsp (Malate) cGly (glycolate) cGlu (alpha céto-glutarate). dwloepyxp7t64bot0lv8nnhu4z0u65z 987431 987430 2026-10-15T18:17:23Z Mekkiwik 5298 /* Le contrôle dual */ 987431 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = biologie | parent = [[Recherche:Laboratoire d'études prébiotiques|Laboratoire d'études prébiotiques]] }} {{Hypothèse | titre = Chiralité prébiotique 2 | parent = [[Recherche:Département:Biologie|Département de recherche en Biologie]] | image = {{idfaculté/logo/biologie}} }} <div style="text-align:center;"><span style="font-size:180%;"> '''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:</br> l'auto-organisation prébiotique.'''</span></div> ==pense bête 1== *L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1. *Définir l'auto-organisation au stade prébiotique *Les erreurs par rapport à cette organisation sont *: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? *: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage. *Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome: *: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite. *: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques. *L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome *: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1. *: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K. *: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine. *: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones. *Auto-organisation des liposomes *: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive? *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome. *: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas. *: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture. *: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions? *: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale. *: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes *: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après. ==pense bête 2== *L'auto-organisation aas + acides gras *: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale *: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe. *: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras. *: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche. *Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras. *# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline *# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides *# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD *# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4--- *# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D? *# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH *# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G Alanine A Histidine H *# - Les stéroides chez les procaryotes ==pense bête 3== *Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre *: - soupe prébiotique *: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique *: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique *: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle. *: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs. *: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées. *: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication. *: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique. *: - étape transcription/ traduction *: - étape réplication/division ==pense bête 4== *Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. *Extraits d'internet: *: - "''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''" *: - La membrane externe des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe</ref>. *: - La membrane interne des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne</ref>. *: - MAM <ref>https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&_x_tr_tl=fr&_x_tr_hl=fr&_x_tr_pto=rq</ref> *: - La mitochondrie <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie</ref> *: - Génome mitochondrial <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial</ref>: aucun gène de synthèse d'un phospholipide *: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse</ref> *: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: "Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle." dans RL fonctions de reticulum endoplasmique <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique</ref>. *Étape de cristallisation 2: *Étape de polymérisation 2: ==pense bête 5== *Étape des eucaryotes 3: *: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel. *: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte. *Hydrogénosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome</ref> et mitosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome</ref>: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes. *Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster <ref>https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf</ref> (page 3). *La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau. ==pense bête 6== *auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome. *Les contraintes résultantes: 4 exemples, *#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, *#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, *#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. *#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte</ref>, paragraphe 3 *#: - "Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré." *#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases. *#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D</ref> de wikipédia, "Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D" il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L. *#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré "qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries". *#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début) *#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L. *# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. *#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00040</ref> LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. *#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00010</ref>qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. *# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation. *polymérisation 2: *: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible. *: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques. *: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier. *: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome. *: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation. *: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace. *: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces. ==pense bête 7== *Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2. *Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane. *Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L, elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D. *Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite. ==pense bête 8== *Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD .... *: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217 *: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln. *: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. *: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP). *: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP] *: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA. *: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est *:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+ + 2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===> dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées. *:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF. * En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, *: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas *: - Asp donne Asn et Ala *: - Glu donne Gln *: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique. *Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse *Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras. ==pense bête 9== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8. *: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P *:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) <> Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)<span style="background-color: #ffff00;"> > </span>Fructose 6P + P, '''*'''531.27 <> arabino 6P, '''*'''412.43 <> Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) <> Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) <> R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) <> R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) <> PRPP. *:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) <> dR-5P, '''*'''5427 (mutase) <> dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) <> dR + ATP. *:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. *: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His *:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) > carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) > Asp-CB, '''*'''3523 > orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') > orotate, '''*'''241.10 (PRPP) > orotidine-P, '''*'''411.23 > UMP. *:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) > CTP *:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) > dRU, '''*'''271.21 (dGTP) > dUMP *:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 < > base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C *:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP > dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier) *:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) > R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) > RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) > RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) > RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) > Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) > AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) > AIR-C-CO2H (CAIR), '''*'''6326 (ATP Asp) > CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 > carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) > FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) > IMP +H2O. *:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) > IMP-sucino, '''*'''4322 > AMP + fumarate. *:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) > XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) > GMP *:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) > dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) > dAMP et dGMP *:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) > PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) > 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) > R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) > Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) > Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) > oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) > P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') > Histidinal puis His. *: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs. *:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') > H2O2 (ou succinate) + iminoAsp > en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') > quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) > Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) > NAD+, '''*'''271.23 (ATP) > NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP). *:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) > pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) > 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) > 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) > butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) > lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) > Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP > dATP > CTP > UTP) > FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) > FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) > FADH2 et (FMN NAD) > FMNH2. *:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) > Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) > idem. *:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) > formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 > neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 > dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) > PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) > dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) > dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') > tetrahydrofolate. *::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) > Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) > prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) > chorismate, '''*'''261.85 (NH3) > amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) > 4-amino-benzoate et pyruvate. *:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr''' pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) > aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') > CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 > CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) > dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') > pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) > pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) > ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) > P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 > P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) > PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) > CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP). *: - Synthèse des aas *:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, *::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) > indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') > Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) > Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) > anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') > '''PRPP''' Anthranilate *::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) > Gly '''OH-Pyruvate''' *::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') > Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') > '''OH-Thr''' (voir synthèse B6) *::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) > Cys, idem (Ser '''HomoCys''') > '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) > Cys NH3 '''Oxo-butanoate''' *::: - Asp > Asn et '''*'''411.12 (Asp) > Ala et CO2 *::: - Glu > Gln *::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') > Urocanate NH3 "MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine", '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) > Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) > Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) > formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') > Histamine et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') > NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) > Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) > Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) > Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) > formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) > Formate et Asp. *::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui >nt 7 aas dérivés. Pour His >rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr. ==pense bête 10== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres. *: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr. *: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé. *: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met. *: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA): les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas. ==pense bête 11== *Tanger le 7/12/25 * Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG). * C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs. * L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment. *Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate</ref>. Le C de CO2 est lié à N de NH2. *Les aminonitriles: *: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. *: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp. *: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42. *:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde. *:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes. * L'histidine * Les aromatiques * Lysine ornitine et proline ==pense bête 12== *Paris le 27/02/26 *Les lectures *: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015 *: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005 *: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024, *Plan *: - postulat: ça s'est fait tout seul *: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique *: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique *: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports) *Les aas abiotiques: *: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C *:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025 *:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24) *:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation *:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation. *:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde) *:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement) *: - autres *:# Ser, aubrey faible *:# Thr, plus acétate *:# Asn, NH3 *:# Gln, NH3 *: - Formose *:# His, erythrose formamidine HCN *: - FTT *:# Trp, indole plus Ser ou Fritz *:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN *:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN *:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin *:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin *:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser *:# Met, homocystéine plus CH3 *: - Réactions quasi biotiques *:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline *:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3 ===notes des lectures=== *Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure). *Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h *Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. *: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:"Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides." *: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: "L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019)." J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr ==pense bête 13== *Paris 29/6/26 *Article de départ *: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1). ===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs=== *hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3. ====Pyruvate bis==== *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) *:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne <> P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction) *: - *oxaloacetate + Pi donne '''|>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *: - *oxaloacetate + PP donne <> P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique <--- *:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne <> Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? <--- c'est mon hypothèse pour EC2791 *: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne <> P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2 EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' <--- *Pathway: glycolyse suite *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 (R00658) hydro-lyase <--- *: - *Glycérate-2P donne <> Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase *: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''') EC121.12 (R01061) oxydoréductase <--- *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase <--- *Pathway: Aspartate *: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''') EC1411 (R00396) oxydoréductase *:: + Contradiction '''subs/prod''' ====Glycolate bis==== *Pathway: glyoxylate *: - *Glycolate + Acceptor '''donne |>''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase *:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS? *:: + '''Formate'''? *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |>''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase *: - *Asp + NAD (formate) '''donne <|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410 *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase *:: + Contains pyridoxal phospate. *:: + ''confirmer que Cys est produite avant'' *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant'' *: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |>''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (<u>en labo sans enzyme mais très faible</u>) *:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 <ref>https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84</ref> nitrile hydratase.'' *: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |>''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase ====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate propionate phosphite==== *Compound, phosphite. Voir article sur Phosphite dans les sources hydrothermales <ref>https://www.biorxiv.org/content/10.64898/2025.12.19.695421v2.full</ref>. *: -Phosphite +NAD+ +H2O donne phosphate +NADH +H+ EC1.20.1.1 R05746 oxydoreductase. 146 bactéries, rien d'autre. Enx, enterobacter, 341 aas. Entrée créée en 2001 MAJ 2025. *: -Phosphite +AMP +NAD+ donne ADP +NADH +H+ EC1.20.1.2 R13633 oxydoreductase. Une seule référence <ref>https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.2309743120</ref>. Entrée créée en 2025. *Pathway: pyruvate métabolisme *: -*'''Ethanol''' + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein) bi ecocyc de ethanol ΔG=3.10kcal/mol. eco 891 aas. 8769 êtres dont 200 archées *: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate). 6796 êtres dont 132 archées *: -*'''Acetate''' +ATP donne <> Acetyl-P +ADP EC2721 R00315 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=-6.97 kcal/mol, 400 aas. 7664 êtres dont 28 archées *: -*'''Acetate''' +PP donne <> Acetyl-P +Pi EC272.12 R00320 kinase. Métacyc sens indéfini. Entamoeba histolytica seule référence de 1975 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/0006291X75905136?via%3Dihub</ref> *: -*'''Propionate''' +ATP donne <> Propionyl-P +ADP EC2721 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 7665 êtres dont 29 archées *: -*'''Propionate''' +ATP donne <> Propionyl-P +ADP EC272.15 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 375 bactéries pas d'archées *:: + comment: Involved in the anaerobic degradation of L-threonine in bacteria. Voir dans propanoate pathway EC123- de 2-oxobutanoate vers propanoyle-P, flèche sans enzyme. Le 2-oxobutanoate vient de la Thr. *: - *<u>Acetate + ''ATP +CoA donne <> Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''</u> archées *: - *<u>''Propanoyl-CoA +Formate donne <> 2-Oxobutanoate +CoA EC231.54 R06987 Formate lyase''</u> *: - *<u>''Acetyl-CoA +Formate donne <> Pyruvate +CoA EC231.54 R00212 Formate lyase''</u> *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10701</ref>, attention activation de l'enzyme par flavodoxin/ferredoxin-NADP+ reductase. *: - *'''Methanol''' + NAD donne <> formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein) *: -*formaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase *: - *'''Lactate''' + NAD donne <> '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase. 4141 êtres dont 16 archées *Pathway: glyoxylate métabolisme *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glyoxylate +NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase Metacyc bi. 2272 êtres dont 124 archées (mieux que ec111.29, voir Ser). *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glycolaldehyde +NAD +H2O EC121.21 R01333 aldehyde dehydrogenase ecocyc di de aldehyde ΔG=-17.03kcal/mol *: - *OH-pyruvate '''donne |>''' Glycolaldehyde +CO2 EC411.40 R01393 carboxylase Metacyc bi *Pathway: methane métabolisme *: - *'''Methanol''' + NAD '''donne |>''' formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase Metacyc di *Pathway: cysteine methionine *: - *'''Methanol''' + H2S donne <??> '''Methane thiol''' <u>ou bien le methane thiol est basique comme le methanol</u> *: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase *:: + *Asp + ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase *:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne <|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase *:: + *Asp-semialdehyde + NAD donne <> L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase *:: + *'''acety-CoA''' + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (B6 protein) ====Pyruvate==== =====Glycolyse===== *Pathway: Pyruvate *: - *Pyruvate +HCO3- +ATP '''donne |>''' Oxaloacetate +ADP +Pi EC6411 R00344 ligase metacyc de ATP (A biotinyl-protein) *: - *Malate +NADP donne <> Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc de Malate (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol *:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate. *: - *Malate +NAD+ donne <> Pyruvate +NADH +CO2 +H+ EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc et metacyc direct de Malate ΔG=-0.32Kcal/mol *:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate +H+ (non réversible) <ref>https://biocyc.org/reaction?orgid=ECOLI&id=1.1.1.39-RXN</ref>. *:: + thermodynamiquement Ec111.38 est réversible à cause de son ΔG=-0.32Kcal/mol. Mais dans la cellule elle a pour objet de produire du CO2 lors de l'accumulation de NAD+. Décompte génomes a b e: 458 9991 1295 *: - *Malate +NAD donne <> Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=4.46Kcal/mol *: - *oxaloacetate + Pi '''donne |>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 900 aas. *: - *oxaloacetate '''+PP''' donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bi son ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + abe: 0 250 10; grosse enzyme 1100 aas. Energie de liaison de PP 47.8 Kcal/mol et 1ère et 2ème PP dans ATP, sont égales à 7.3Kcal/mol; P-enolpyruvate 14.8kcal/mol *:: + Also catalyses the reaction: P-enolpyruvate + Pi = pyruvate + PP. <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/12/26/5247/105472/Carboxytransphosphorylase-VII-Phosphoenolpyruvate?redirectedFrom=fulltext</ref> *:: + ''Pyruvate +PP donne <> P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique? c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse) *: - *oxaloacetate +ATP donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +ADP EC411.49 R00341 kinase ecocyc de ATP (shem bi) ΔG=-7.02Kcal/mol *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 520 aas. *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP '''donne <|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 R00200 kinase biocyc de ADP ΔG=-2.23Kcal/mol *: - *Pyruvate +ATP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 R00206 dikinase (multi-step reaction) metacyc de ATP ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP +H2O donne <> P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 R00199 dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 R00658 hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> '''Glycérate-3P''' EC542.11 R01518 mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol *: - *Glycérate-3P + ATP donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 R01061 dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=8.23''' Kcal/mol (gauche-droite) *: - *Fructose-6P '''+PP''' donne <> Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini) *:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule. *:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; enzyme 300-600 aas. *: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |>''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) phosphorylase de f1.6 à f6 ΔG=6.89Kcal/mol) *: - *Fructose-6P +ATP '''donne |>''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol) =====Formation des aas à partir du pyruvate===== *Pathway: Ala Asp Glu *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) Metacyc bi. 5728 êtres dont 243 archées *Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate *: - voie P-Ser *: - *Glycérate-3P +NAD +H2O donne <> P-OH-Pyruvate +NAD EC111.95 R01513 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.03 kcal/mol. 10084 êtres dont 434 archées *: - *O-P-Ser +2-oxoGlu donne <> P-OH-Pyruvate +Glu EC261.52 R04173 transaminase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=0.08 kcal/mol. 8871 êtres dont 71 archées *: - *O-P-Ser +H2O '''donne |>''' L-Ser +Pi EC3133 R00582 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=9.27 kcal/mol. 8278 êtres dont 366 archées *: - voie Glycerate *: - *'''Glycérate-3P''' + H2O '''donne |>''' Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase. 1 seule référence de 1971 "sugarcane leaves" *:: + *Glycéraldéhyde +NAD +H2O donne <> Glycérate +NAD EC1213 R01752 oxydoréductase. 6796 êtres dont 132 archées pas de metacyc *:: + *Glycéraldéhyde +DHAP donne <> Fructose-1P EC412.13 R02568 lyase. Metacyc direct de Fructose. 11542 êtres dont 459 archées *::: * Pour obtenir Fructose-1P à partir de Fructose-6P, il faut 4 enzymes EC111.17, 313.22, 111.11, 2713 (une kinase) <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00051</ref> *::: * Le Glycéraldéhyde libre est bloqué comme le Glycerol <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00561</ref>. Il est rapidement transformé en Glycéraldéhyde-3P EC271.28 *:: + *Mannitol-1P +NAD donne <> Fructose-6P +NAD EC111.17 R00758 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.60 kcal/mol. 1867 êtres dont 2 archées *:: + *Mannitol +Pi donne <> Mannitol-1P +H2O EC313.22 R02167 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=7.22 kcal/mol. 2063 êtres dont 1 archées *:: + *Mannitol +NAD donne <> Fructose +NAD EC111.11 R00868 oxydoréductase. Metacyc bi. 443 êtres dont 0 archées (Ec111.67 1312,Ec111.67 83) *:: + *Fructose +ATP '''donne |>''' Fructose-1P +ADP EC2713 R00866 kinase. Metacyc direct de Fructose. 907 êtres dont 52 archées *: - *Glycerate + NAD donne <> Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase. 2077 êtres, eucaryotes, bactéries, 9 archées MM et 1 METB. Metacyc bi. *: - *'''Ser''' + Pyruvate donne <> Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein). 2913 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + Glyoxylate donne <> '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein). 2880 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + H2S '''donne |>''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein) 3754 êtres, eucaryotes, bactéries, 36 archées. pas de RHEA *: - *Ser +Acetyl-CoA donne <> O-Acetyl-Ser +CoA EC231.30 (R00586) transferase (sans B6) 8266 êtres, eucaryotes, bactéries, 170 archées. *:: + voie de E.Coli suivie de EC251.47 donne Cys avec B6. 8282 êtres *: - *'''Thr''' donne <> Gly + Acetaldehyde EC412.48 (R00751) transaminase (B6 protein) 6788 êtres, eucaryotes, bactéries, 100 archées. Ecocyc bi, ΔG=1.0 kcal/mol *: - *Thr '''donne |>''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein) *Pathway: Val Leu Ile biosynthese *: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat) *: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |>''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction) *: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne <> 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase *: - *Aceto-Lactate + NAD donne <> 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase *: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase *: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase *: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |>''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase *: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |>''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase *: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne <|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating *: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne <|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating *: - * *: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |>''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase *: - *2-isopropylmalate donne <> 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase *: - *2-isopropylmaleate + H2O donne <> 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase *: - *3-isopropylmalate + NAD donne <> 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase *: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée *: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne <|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating *Synthèse *: - 2 groupes *:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6, *::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate *::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate *::: * Cys: consomme H2S, basique *::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate *:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6 *::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD *::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA =====Formation de Asp et Asn ===== *Pathway: Glyoxylate *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |>''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp''' *: - *Asp + NAD '''donne <|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6) *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi *Pathway: Ala Asp Glu *: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |>''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase (sans B6) *: - *Asp +2-oxoglutarate donne <> Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase (avec B6) *: - *Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino lyase ecocyc bi ΔG=+3.19 Kcal/mol de Asp (sans B6) *: - *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *:: + Malate vient directement de Pyruvate *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein) *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6) *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique? *: - Voie Glyoxylate: *:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu. *:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate. *: - voie Ala Asp Glu *:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp. *: - voie cyanoamino acide: *:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude? *: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref>. *:: + =====Formation de Lys===== *Pathway: Lysine *: - *Asp + ATP '''donne |>''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''4-Asp-P''' *: - *4-Asp-P +NAD '''donne <|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-4-semialdehyde''' *: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |>''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase '''4Hydro-dipicolinate''' *: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne <|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase (spontanée: +H2O donne <> '''L-2-Amino-6-oxopimelate''') *: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne <> L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &emsp;&emsp; '''diaminopimelate''' *: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |>''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &emsp;&emsp; '''L-Lys''' (B6 protein) *: - *Lys +acetyl-P '''donne |>''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &emsp;&emsp; '''N6-acetyl-Lys''' *: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne <> N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein) *: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne <> 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &emsp; '''5-Acetamido-pentanoate''' *: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne <> 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &emsp; '''5-Aminopentanoate''' *: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne <> Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein) *: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne <> Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras) *Synthèse *: - étapes: 6 à partir de Asp *: - produit: NH3, CO2 *: - consomme: Asp, Pyruvate *: - utilise: ATP, 3 NAD *: - B6: avec B6 =====Formation des Riboses et dRiboses===== *Pathway: Pentoses phosphates *: - *D-Arabinulose-P donne <> '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase 185 aas metacyc direct de Arabi. 1303 êtres dont 291 archées *: - *D-Arabinulose-P donne <> D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase 211 aas metacyc bi. 1214 êtres dont 295 archées *: - *D-Ribose-5P donne <> D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase 219 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-6.13 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P donne <> D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-1.93 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P +ADP '''donne |>''' D-Ribose-1,5P2 +AMP EC271.212 (R11535) P-transferase 294 aas metacyc de ADP *: - *D-Ribose-1,5P2 + ATP '''donne |>''' PRPP +ADP EC274.23 (R06836) P-transferase 185 aas metacyc de ATP ecocyc bi ΔG=-2.03 kcal/mol *: - *D-Ribose-5P + ATP donne <> PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase 315 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-25.84 kcal/mol *: - * *: - *D-dRibose-5P donne <> '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase 259 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=5.12 kcal/mol *: - *D-dRibose-1P donne <> D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=?? comme Ribose? *Synthèse *: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose *: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P *: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde. *: - utilise: AMP; et rien *: - Note: PRPP peut être obtenu par 2 P-transférases qui peuvent utiliser PEP =====Formation de l'ATP===== *Pathway: purines *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +ADP +Pi EC6347 R01053 amido transférase oiseaux (article unique 1968 <ref>https://www.jbc.org/article/S0021-9258(18)91922-8/pdf</ref>) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. homo4mères *: - *PRA +Gly +ATP '''donne |>''' 5P-Ribosylglycinamide +ADP +Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-6.27 '''GAR''' *:: + ecocyc: séquentiel et ordonné. Tunnel. Monomère <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10792</ref> *: - *GAR +ATP +Formate '''donne |>''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-8.97 '''FGAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG11809</ref>, monomere *:: + EC2122 THF sans ATP R04325 ecocyc et Meta bi ΔG=16.47 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10799</ref>, monomere *: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |>''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20 '''FGAM''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10797</ref> 3 sites Gln d'abord, puis ATP puis FGAR. Monomère. Fusion de 3 enzymes. *: - *FGAM +ATP '''donne |>''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ecocyc et metacyc direct de ATP ΔG=9.97 '''AIR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10798</ref>. Pas de couplage, ATP attaque FGAM puis cyclase. Dimère. *: - *[AIR +HCO3- +ATP '''donne |>''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC634.18 R07404 ecocyc et Meta de ATP ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10796</ref>. dimère. Nonenzymatic carboxylation of AIR occurs. *: - *[AIRC donne <> 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=6.32 Metacyc et ecocyc de carboxyamno '''CAIR'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10793</ref>. octamère. Réversible si EC6336 est absente *: - *5-amino-1-(5-phospho-D-ribosyl)imidazole-4-carboxylate donne <> AIR +CO2 EC411.21 R04209 carboxylase Metacyc bi '''CAIR''' *: - *CAIR +Asp +ATP donne <> (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase ΔG=-7.66 '''SAICAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10791</ref>. Trimère. les sites ne sont pas élucidés. *: - *SAICAR donne <> 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase ΔG=9.84 ecocyc direct Metacyc bi '''AICAR''' *: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |>''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase '''Metacyc bi FAICAR''' *:: + EC2123 THF sans ATP R04560 ecocyc et Meta bi ΔG=18.96 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10795</ref>, monomere *: - *IMP +H2O donne <> FAICAR EC354.10 R01127 cyclase ΔG=26.85 ecocyc et Metacyc bi '''IMP''' *: - *IMP +GTP +Asp '''donne |>''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-103.56 '''car-AMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10790</ref>. dimère. Les binding sites sont élucidés. *: - *car-AMP '''donne |>''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase ΔG=55.05 ecocyc direct metacyc bi '''AMP''' *: - *IMP +NAD +H2O '''donne |>''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase ecocyc et Metacyc bi ΔG=2.43 '''XMP''' *: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |>''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-5.44 '''GMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10420</ref>. dimère. Sans Gln il n'y a que 2 binding sites, ATP et XMP. Le contrôle est strict avec Gln mais pas avec NH3. *: - *GMP,AMP +ATP donne <> GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &emsp;&emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP''' *: - *GMP,AMP +ADP donne <> Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &emsp;&emsp;'''Guanosine, Adenosine''' *: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne <> G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &emsp;&emsp;'''G, A''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne <> G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &emsp;&emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |>''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &emsp;&emsp;'''dGMP,dAMP''' *: - *dGMP,dAMP +ATP donne <> dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &emsp;&emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP''' *Synthèse *: - étapes: 12 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP *: - produit: 2 Fumarate CO2 *: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 Gly *: - utilise: 7 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une carboxylase et une cyclase n'utilisent pas ADP. *: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP. =====La synthèse de novo de l'ATP et le couplage de 2 réactions===== *Problématique: *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase *: - Dans la réaction R01053 l'enzyme EC6347 en fait 2 réactions en parallèle: *:: + L'hydrolyse ATP +H2O '''donne |>''' ADP +Pi, fournit à l'enzyme l'énergie nécessaire pour lier NH3 au Ribose *:: + Ribose-5P +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +H2O *: - La réaction R01053 est directionnelle. C'est le cas des autres réactions faisant intervenir 3 substrats. *: - Avant l'apparition des polypeptides la probabilité de la rencontre des 3 substrats est très faible et c'est le rôle principale de l'enzyme que de les réunir. Dans mon hypothèse, l'environnement avec ses aas libres favorisant tant soit peu la réaction, il est difficile d'imaginer que l'énergie libérée par l’hydrolyse de l'ATP soit récupérée à distance par la ligase. Elle est tout simplement diffusée dans son environnement. Il y a ainsi 7 couplages avec 3 molécules pour le substrat dont 6 avec ATP et une avec GTP. *: - L'enzyme EC6347 peut être remplacée par EC242.14 qui est bidirectionnelle et peut être vue comme le résultat (pas la somme) de 2 transaminases indépendantes. Une à 2 substrats utilisant NH3 et produisant 5P-Ribosylamine +PP qui sont utilisés avec Glu par la 2ème à 3 substrats produisant Gln. Gln peut être produit donc avant l'apparition de l'ATP. *:: + PRPP +NH3 donne <> 5P-ribosylamine +PP *:: + 5P-Ribosylamine +PP +Glu donne <> Gln +PRPP *: - L'enzyme EC6331 n'a que 2 molécules comme substrat comme les kinases et peut être envisagée avant l'apparition de l'ATP en remplaçant celle-ci par PEP. *Comment résoudre le couplage prébiotique nécessaire à la synthèse de novo de l'ATP nécessitant 7 couplages successifs. *: - Dans les réactions que j'ai réunies pour le proto-métabolisme il n'y a que 5 autres couplages non sucessifs: 2 pour CoA 1 pour acetyl-CoA et 2 pour THF. *: - Il faut des concentrations élevées de PEP NH3 Formate Asp Gly Pi *: - Est-ce que les 9 autres aas existants peuvent aider ces couplages: Cys Ser Thr Ala Lys Glu Gln Pro Arg. Et les ceto-acides: Lactate malate oxaloacetate fumarate oxo-glutarate pyruvate; et les acides glycolate acétate propionate =====Formation de l'Uracile===== *Pathway: arginine *: - *ATP +HCO3- +NH3 donne <> Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &emsp;&emsp;'''Carbamoyl-P''' *Pathway: pyrimidines *: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |>''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &emsp;&emsp;'''N-Carbamoyl-Asp''' *: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne <> N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &emsp;&emsp;'''(S)Dihydroorotate''' *: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne <> Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &emsp;&emsp;'''Orotate''' *::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. *:: + *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *::: * Malate vient directement de Pyruvate.Voir Krebs et pyruvate *:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase *: - *Orotidine-5'P +PP donne <> Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &emsp;&emsp;'''Orotidine-5'P''' *: - *Orotidine-5'P '''donne |>''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &emsp;&emsp;'''UMP''' *: - *UMP +Pi '''donne |>''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &emsp;&emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''') *: - *UMP +ATP donne <> UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &emsp;&emsp;'''UDP''' (idem CDP) *: - *UDP +ATP donne <> UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &emsp;&emsp;'''UTP''' (idem CTP) *: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |>''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &emsp;&emsp;'''CTP''' *: - * *: - *Uracil +dRibose-1P donne <> dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &emsp;&emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''') *:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase. *: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP *: - * *: - *dR-base1 +base2 donne <> dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dR-Base1 Base2''' *: - *dUridine +C donne <> dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dCytidine''' *: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP *: - * *: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |>''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &emsp;&emsp;'''dTMP''' et '''DHF''' *: - *dTMP +H2O '''donne |>''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &emsp;&emsp;'''Thymidine''' *: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine *Synthèse *: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP *: - produit: succinate, PP, CO2 *: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP *: - utilise: ADP '''FMN''' *: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine *: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase *: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase. =====Formation de His===== *Pathway: histidine *: - *ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |>''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &emsp;&emsp;'''PRPP-AMP''' *: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |>''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &emsp;&emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |>''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &emsp;&emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |>''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR *: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |>''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne <> Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &emsp;&emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein) *: - *Histidinol-P '''donne |>''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &emsp;&emsp;'''Histidinol''' *: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |>''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidinal''' *: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |>''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidine''' *Synthèse *: - Étapes: 10 à partir de ATP *: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines) *: - consomme: ATP, PRPP, NH3 *: - Utilise: 2 NAD *: - B6: avec B6 =====Récapitulation aas===== *Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |> <u>'''Ala''' sans B6</u> *Pyruvate (Glycolyse); Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne <> Pyruvate + '''Ser''' avec B6 *Glycolate; Glycolate + NAD donne <> Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne <> HxP + '''Gly''' avec B6 *H2S; Ser + H2S donne |> H2O + '''Cys''' avec B6 *Ethanol; Ethanol + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne <> '''Thr''' avec B6 *Pyruvate; 2 Pyruvate donne |> Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-Lactate NAD <> v1, v1+NAD donne <> v2; v2 donne |> v3 + H2O; v3 +NH3 donne |> H2O + <u>'''Val''' sans B6</u> *Thr donne |> Oxobutanoate + NH3 avec B6 *Pyruvate + Oxobutanoate donne |> Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD <> l1, NAD <> l2; l2 donne |> l3 + H2O; l3 +NH3 donne |> H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr *Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |> A1 (avec B6), A1 donne |> A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |> NAD + <u>'''Asp''' (sans B6)</u> * voie Pyruvate *: - Pyruvate +ATP+H2O donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi *: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne <> oxaloacetate + ATP *: - Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)''' *Asp +ATP +NH3 donne |> AMP + PP + <u>'''Asn''' (sans B6)</u> *Asp + ATP donne |> 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6 * Après formation de l'ATP *: - ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6 =====B6 Pyridoxal-P===== *D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser *Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref> *: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu *Biosynthèse de B6 *: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu. *: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant: *:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a <u>molecular tunnel that is almost 100 A in length</u> [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6] *:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a <u>substrate-protective tunnel</u> to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''. *:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and <u>channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel</u>. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants. *: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul. *Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P *: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |>''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi <u>EC4336</u> R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine''' *: -* *: -*Pyridoxal +ATP '''donne |>''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine +ATP '''donne |>''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P''' *: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |>''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne <> Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne <> Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne <> Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal''' *: -* *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +NADP donne <> Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -* *: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6. *: -*L-Ala donne <> D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6 *: -*Pyruvate + D-Glu donne <> D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6 *Synthèse *: - Étapes: une seule *: - produit: directement le pyridoxal seul! *: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate. *: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.) =====NAD nicotinamide adenine dinucléotide===== *Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]] *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) *Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp *: -*Asp + NAD '''donne |>''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp''' *: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne <|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate''' *:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity. *Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes) *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *: - * *: -*Quinolinate + PRPP '''donne <|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide''' *: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne <> Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD''' *:: + '''ATP en substrat''' *: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |>''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+''' *:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln. *: -*NAD + ATP '''donne |>''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+''' *Synthèse *: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN) *: - produit: 2 PP *: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP *: - Utilise: 2 ATP, FAD *: - B6: néant *: - comparaison des 2 voies: *:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S]. *:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution. =====FMN FAD riboflavines===== *Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques. *Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP '''donne <|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil''' *: -*P-ribitylamino-uracil + H2O '''donne |>''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil''' *: -*Ribulose-5P '''donne |>''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P''' *: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |>''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine''' *: -*2 ribitylLumazine '''donne |>''' Riboflavin + ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin''' *:: + A flavoprotein (riboflavin). *: -*Riboflavin + ATP '''donne |>''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN''' *: -*FMN + ATP '''donne |>''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD''' *Synthèse *: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD *: - produit: 2 Formates, NH3 *: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP *: - Utilise: ATP, NADP =====Phe Tyr Trp===== *Les aas aromatiques. Chorismate nécessite FMN. *Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose *: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |>''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase Metacyc de P2 à 1 P '''céto-Fructose-1P''' *:: +*D-Lactate +NAD donne <> Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase ecocyc (schem bi) RL ΔG=+3.33 '''D-Lactate''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne <> D-Lactate +NAD EC121.23 R01735 oxydoreductase pas de REHA '''D-Lactaldehyde''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne <> Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase Metacyc bi '''Methylglyoxal''' *: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |>''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase Metacyc de Asp '''heptulosonate''' *:: +*Asp +ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''Asp-P''' *:: +*Asp-P +NADP '''donne <|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-semialdehyde''' *: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |>''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate''' *: -*Dehydroquinate donne <> Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate''' *: -*Shikimate +NAD donne <> Dehydroshikimate +NAD EC111.24 R06847 oxydoreductase ecocyc LR de shikimate ΔG=-12.20 '''Shikimate''' *: -*Shikimate +ATP '''donne |>''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase ecocyc LR de ATP ΔG=-16.06 '''Shikimate-3P''' *: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate <> Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P''' *: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |>''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate''' *::: .. Requires '''FMN''' *: -*Chorismate donne <> Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate''' *: -*Prephenate donne <> Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate''' *: -*Phe +NAD +H2O donne <> Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6) *: -*Prephenate +NAD donne <> OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate''' *: -*Tyr +NAD +H2O donne <> OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6) *: -*Chorismate +NH3 '''donne |>''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate''' *::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit. *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne <> Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P''' *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne <> Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P''' *: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne <> Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P''' *: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne <> Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' <u>(avec B6)</u> *: - * *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *Synthèse *: - Etapes *:: + Voie commune 11 étapes *:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun *:: + Trp 5 étapes *:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée *: - Produit *:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3 *:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun *:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P *:: + Quinolinate: H2O (rien) *: - Consomme *:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate *:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun *:: + Trp: NH3, PRPP, Ser *:: + Quinolinate, '''2 fois O2''' *: - Utilise *:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP *:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr *:: + Trp: rien *:: + Quinolinate: '''FAD''' *: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6. =====TPP Thiamine pyrophosphate===== *Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas. *Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5. *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire. *:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea. *: -*NAD + Gly +H2S '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |>''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante *: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |>''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P''' *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His). *:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. *: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |>''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P''' *: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne <|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP''' *Biosynthèse de la Thiamine *: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |>''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P''' *: -*Thiamine-P +ATP '''donne |>''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP''' *: -*Thiamine-P +H2O '''donne |>''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine''' *: -*Thiamine +H2O '''donne |>''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole''' *: -*Thiazole +ATP '''donne |>''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P''' *: -*Pyrimidine +ATP '''donne |>''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys) *:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea. *: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP *:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide. *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons. *:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis. *Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP *: - produit: *:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; *:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme) *:: + CO2 PP *: - consomme: *:: + NAD Gly H2S *:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6 *:: + énergie *: - Utilise: *:: + rien *:: + ATP *:: + ATP =====CoA Coenzyme A===== *La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine. *: -*Acetolactate + NADP '''donne <|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*Dimethyl-malate +NAD donne <> methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate''' *: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne <> Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate''' *: -*Pantoate + NAD donne <> Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate''' *: -*Asp '''donne |>''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala''' *:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group. *: -*beta-Ala + Pantoate +ATP '''donne |>''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate''' *: -*beta-Ala + Pantoate '''donne |>''' Pantothenate +H2O EC351.22 R02474 hydrolase '''Pantothenate''' *:: + Article 1966 <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/5/2/399/99824/The-Bacterial-Degradation-of-Pantothenic-Acid-II?redirectedFrom=fulltext</ref>, pseudomonas P-2. *: -*Pantothenate +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate''' *: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives. *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantoate + Cys +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +AMP +PP EC632.51 R04230 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |>''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantetheine +ATP donne <> dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA''' *: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |>''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA''' *Synthèse *: - 13 étapes de Pyruvate à CoA *: - produit: 3 CO2; 3 PP *: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys *: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP *: - B6: pas de B6 =====Val Ile Leu===== *Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul. *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *: -*Acetolactate donne <> OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate donne <> methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' *: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |>''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6) *: -*Ile *: -*Thr '''donne |>''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6) *: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate''' *: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne <> OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate donne <> 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate''' *: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |>''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6) *: -*Leu *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val *: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |>''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate''' *:: +*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*2-Isopropyl-malate donne <> 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate''' *: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne <> 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate''' *: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne <> 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate''' *: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 <u>spontanée</u> R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate''' *: -*Leu +NAD +H2O '''donne <|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6) *Synthèse *: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu. *: - produit *:: + Val: CO2 *:: + Ile: CO2 NH3 *:: + Leu: CO2 *: - consomme *:: + Val: 2 Pyruvate NH3 *:: + Ile: Thr NH3 *:: + Leu: Acetate NH3 *: - Utilise *:: + Val: NADP NAD *:: + Ile: NADP NAD *:: + Leu: ATP CoA 2 NAD *: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6 =====Methionine Met===== *Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. *Pathway: cysteine methionine *: -*acetyl-CoA + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' *: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6) *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (avec B6) *: -*Met +ATP +H2O '''donne |>''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase *: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |>''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met''' voie des sulfures *: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |>''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6) *Synthèse *: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met. *: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici. *: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. *: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol *: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate. *: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP. *:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met. *:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6. =====Glutamate Glu Gln===== *Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs *: -*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne <> Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' *: -*Citrate donne <> Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' *: -*Cis-aconitate +H2O donne <> Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' *: -*Iso-citrate +NADP donne <> oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' *: -*oxalosuccinate donne <> 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' *: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne <> Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6) *: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |>''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase ΔG=-6.77 kcal/mol 469 aas direct de Glu '''Gln''' (sans B6) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 kcal/mol '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. Homo tetramer. 505 aas. *Synthèse *: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln *: - produit: CO2, CoA, Glu *: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3 *: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP *: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln *: - Gln sans ATP: EC242.14. Dans le commentaire NH3 peut remplacer Gln. A partir de là on obtient PRA et PP. PRA est très instable, aussi en présence de Glu et de PP se forme PRPP et Gln avec un ΔG=2.05 kacl/mol meilleur qu'avec l'ATP et favorable à la réversibilité. Donc PRPP + NH3 + Glu donne Gln, peut être en petite quantité, mais peut être entraînée par l'ensemble des autres aas. =====Arginine Arg Pro===== *Nécessite CoA et Glu *: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |>''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu''' *: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |>''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P''' *: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde''' *: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne <|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6) *: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne <> Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine''' *: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase ΔG=6.17 kcal/mol bi metacyc ecocyc, eco 297 aas. 2630 êtres dont 645 archées '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-5-semialdehyde donne <> Pyrroline-5-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *: -* *Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.) *: -*Glu +ATP '''donne |>''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' *: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' *: -*Ornithine +2-oxoglutarate donne <> Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6) *:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' (sans B6) *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-semialdehyde donne <> Pyroline-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *Synthèse sans CoA *: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée *: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P *: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2 *: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD *: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro. =====THF pour TMP===== *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |>''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P''' *: -*Dihydroneopterin-P '''donne |>''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin''' *:: +*Chorismate +Gln '''donne |>''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' *::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate *:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |>''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6) *: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |>''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate''' *: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |>''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10327</ref>. ATP-dependant reaction, est-ce que ATP a un site propre pour son hydrolyse? *: -*THF +NADP '''donne <|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF''' *: -* *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate. *: -* *: -*THF +ATP +Formate donne <> Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF''' eucaryotes *: -*Formyl-THF +P-Ribosylglycinamide donne <> THF +P-Ribosyl-N-formylglycinamide EC2122 R04325 formyl ligase '''Formyl-THF''' bactéries *:: + ecocyc: <ref>https://www.kegg.jp/entry/eco:b2500</ref>, voir formation ATP *: -*Methenyl-THF +H2O donne <> Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF''' *: -*Methylene-THF +NADP donne <> Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF''' *: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |>''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine) *Synthèse *: - 12 étapes de GTP à TMP *: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate *: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3 *: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP =====Acides gras===== *Commencent avec Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA '''donne |>''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne <> Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA donne <> Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA''' *: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne <|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA''' *: - * *: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |>''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA''' *:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl *: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne <> trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA''' *: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à 16 carbones *: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |>''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate''' *Dégradation *: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |>''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |>''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne <> trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA''' *: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA donne <> Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA''' ==essai 1== <pre> Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques. Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu. Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé. Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers. C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation. L'auto-organisation prébiotique *partir du postulat *pas de catalyse minérale des liaisons covalentes *liposome aux interactions faibles *grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis *Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies. *échanges avec l'extérieur *Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau. *A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. *homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme. *L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira. </pre> ==essai 2== *PLD de krishnamurty <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> *Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique *La question de CTP pour l'initialisation de la membrane ===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique=== *Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique: *: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation. *: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle. *: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité. ==essai 3== 12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion. *Deux points importants de la critique du passé de mes essais: *: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? *: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques? *Le nouveau concept *: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile. *: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. *: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile. ==essai 4== 21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a? * Les lectures: *: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).<ref>https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full</ref> *: - Les expériences en laboratoire *:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 <ref> https://theses.hal.science/tel-05407367</ref> *:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 <ref>https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/</ref> *:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 <ref>https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116</ref> * Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides. * Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction *: - en profondeur, avec des températures (>300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction *: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales. *: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (<100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec <u>R.Pascal</u>: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691</ref> *: - <u>Formation des pores d'échange dans la bicouche</u>: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse. *: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP <ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol</ref>. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66. ==essai 5== 15/06/26 Paris. *Les 5 principes *#L'auto-organisation *#La continuité *#La séquestration et la néguentropie *#La différence réaction abiotique/biotique *#L'autonomie *L'environnement prébiotique *: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques *:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire) *:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4 *:# Les minéraux dont les phosphates *:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate *:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3 *: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) *: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes. ===L'auto-organisation=== *Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales. ==essai 6== ===Le processus néguentropique=== *Paris le 5/8/26 ===Introduction à la problématique de la recherche sur les origines de la vie=== *Paris le 2/9/26 *Les ribosomes miroir <ref>https://fr.scienceaq.com/Chemistry/1001083878.html</ref> *RNA polymérase <ref>https://fondation-inserm.org/les-bacteries-miroirs-menace-ou-curiosite-scientifique</ref> ====Le contrôle dual==== *Paris 14.10.26 *Simulateur hydrothermales 2025: formiate acétate pyruvate méthanol NH4 glycolate lactate propionate éthanol, pas de P H2S *Krebs 2024: d'où vient oxaloacétate? CO2 pyruvate oxaloacétate glyoxylate H2+Formiate (équivalent NAD), pas de P H2S, NiFe 22°C pression atmosphérique. *PP 2026: PP est proposé pour remplacer ATP, l'article '''acP de 2016''' propose l'acétyl-P très fragile et peu fréquent. *Moi je propose PEP 2017. *Glycolyse 2014: plusieurs réactions (des isomérase) de l'interconversion des sucres se fait dans l'eau sans enzymes. La non adhésion aux investigations de Muller depuis 1953, recherche des réactions abiotiques qui produisent des molécules biotiques (formaldéhyde adénine...) ne ressemblent aucunement aux réactions biotiques. Glycolyse 2014 m'a conforté dans une idée que j'étais entrain d'appréhender en listant les voies métaboliques de KEGG en partant du simulateur 2025: ces voies ont existé depuis le départ (prébiotiques) dans le système abiotique hydrothermal. *Le contrôle dual: C'est en lisant l'introduction de acP 2016 du chapitre 5, la non adhésion de l'auteur aux investigations de Muller comme je l'ai fait auparavant, m'a encouragé à imaginer un processus qui pourrait se produire dans les sources hydrothermales qui contraindrait ces voies métaboliques égales à celles biotiques actuelles du point de vue du substrat et bien sûr thermodynamique. *: - L'analogie s'est imposée immédiatement: dans le biotique actuel les enzymes créent et contrôlent le métabolisme de base (sucres acides nucléotides minéraux etc.) et de même ce métabolisme contrôle ces enzymes. C'est ce que j’appelle le contrôle dual, qui se fait dans les 2 sens. Mon idée est apparue alors immédiatement, ce sont les voies que je listais auparavant qui se concrétisent. Le métabolisme de base c'est celui des sources hydrothermales, vues alors comme un écosystème biotique hydrothermale, et les enzymes ce sont les aas libres qu'il produit. C'est le contrôle dual prébiotique. *: - La caractéristique principale de ce métabolisme prébiotique qui se crée dans cet écosystème c'est qu'il se fait par étapes. *:: + 1ère étape: simulateur 2025 et krebs 2024 auxquels il faut ajouter PP 2026: aas Ala Gly Asp Glu (4); les céto-acides Pyruvate Glyoxylate oxaloacetate ceto-glutarate. Les analogues sont NAD (formiate +H2 +NiFe) et NH4. Les OH-acides sont Lactate Glycolate Malate OH-céto-Glutarate. Correspondant aux enzymes Ec1411 Ala(5808) Ec261.44 Gly(3043) Ec261.35 Asp(144) Ec1412 Glu(4450); Ec111.27 Lac(4198) Ec111.26 Glc(2328) Ec2 Mal() Ec1 OH-Glu(4450) *:: + 2ème étape, création de Pro (5): c'est le résultat de Glu-P sous l'action de PP, suivie de l'action de l'analogue de NAD comme dans la 1ère étape. L'analogue de ATP est PP qui produit un analogue plus puissant PEP 2017. La 1ère étape a produit aussi les alpha céto-acides: cAla (Lactate) cAsp (Malate) cGly (glycolate) cGlu (alpha céto-glutarate). c00qjg4j5tcxmeqpext7etqea0ub0ae 987432 987431 2026-10-15T18:28:00Z Mekkiwik 5298 /* Le contrôle dual */ 987432 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = biologie | parent = [[Recherche:Laboratoire d'études prébiotiques|Laboratoire d'études prébiotiques]] }} {{Hypothèse | titre = Chiralité prébiotique 2 | parent = [[Recherche:Département:Biologie|Département de recherche en Biologie]] | image = {{idfaculté/logo/biologie}} }} <div style="text-align:center;"><span style="font-size:180%;"> '''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:</br> l'auto-organisation prébiotique.'''</span></div> ==pense bête 1== *L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1. *Définir l'auto-organisation au stade prébiotique *Les erreurs par rapport à cette organisation sont *: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? *: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage. *Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome: *: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite. *: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques. *L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome *: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1. *: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K. *: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine. *: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones. *Auto-organisation des liposomes *: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive? *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome. *: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas. *: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture. *: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions? *: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale. *: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes *: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après. ==pense bête 2== *L'auto-organisation aas + acides gras *: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale *: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe. *: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras. *: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche. *Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras. *# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline *# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides *# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD *# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4--- *# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D? *# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH *# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G Alanine A Histidine H *# - Les stéroides chez les procaryotes ==pense bête 3== *Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre *: - soupe prébiotique *: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique *: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique *: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle. *: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs. *: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées. *: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication. *: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique. *: - étape transcription/ traduction *: - étape réplication/division ==pense bête 4== *Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. *Extraits d'internet: *: - "''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''" *: - La membrane externe des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe</ref>. *: - La membrane interne des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne</ref>. *: - MAM <ref>https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&_x_tr_tl=fr&_x_tr_hl=fr&_x_tr_pto=rq</ref> *: - La mitochondrie <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie</ref> *: - Génome mitochondrial <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial</ref>: aucun gène de synthèse d'un phospholipide *: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse</ref> *: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: "Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle." dans RL fonctions de reticulum endoplasmique <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique</ref>. *Étape de cristallisation 2: *Étape de polymérisation 2: ==pense bête 5== *Étape des eucaryotes 3: *: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel. *: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte. *Hydrogénosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome</ref> et mitosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome</ref>: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes. *Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster <ref>https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf</ref> (page 3). *La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau. ==pense bête 6== *auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome. *Les contraintes résultantes: 4 exemples, *#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, *#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, *#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. *#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte</ref>, paragraphe 3 *#: - "Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré." *#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases. *#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D</ref> de wikipédia, "Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D" il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L. *#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré "qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries". *#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début) *#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L. *# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. *#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00040</ref> LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. *#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00010</ref>qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. *# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation. *polymérisation 2: *: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible. *: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques. *: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier. *: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome. *: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation. *: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace. *: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces. ==pense bête 7== *Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2. *Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane. *Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L, elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D. *Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite. ==pense bête 8== *Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD .... *: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217 *: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln. *: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. *: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP). *: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP] *: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA. *: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est *:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+ + 2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===> dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées. *:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF. * En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, *: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas *: - Asp donne Asn et Ala *: - Glu donne Gln *: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique. *Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse *Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras. ==pense bête 9== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8. *: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P *:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) <> Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)<span style="background-color: #ffff00;"> > </span>Fructose 6P + P, '''*'''531.27 <> arabino 6P, '''*'''412.43 <> Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) <> Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) <> R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) <> R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) <> PRPP. *:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) <> dR-5P, '''*'''5427 (mutase) <> dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) <> dR + ATP. *:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. *: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His *:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) > carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) > Asp-CB, '''*'''3523 > orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') > orotate, '''*'''241.10 (PRPP) > orotidine-P, '''*'''411.23 > UMP. *:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) > CTP *:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) > dRU, '''*'''271.21 (dGTP) > dUMP *:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 < > base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C *:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP > dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier) *:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) > R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) > RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) > RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) > RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) > Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) > AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) > AIR-C-CO2H (CAIR), '''*'''6326 (ATP Asp) > CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 > carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) > FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) > IMP +H2O. *:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) > IMP-sucino, '''*'''4322 > AMP + fumarate. *:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) > XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) > GMP *:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) > dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) > dAMP et dGMP *:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) > PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) > 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) > R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) > Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) > Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) > oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) > P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') > Histidinal puis His. *: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs. *:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') > H2O2 (ou succinate) + iminoAsp > en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') > quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) > Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) > NAD+, '''*'''271.23 (ATP) > NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP). *:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) > pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) > 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) > 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) > butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) > lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) > Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP > dATP > CTP > UTP) > FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) > FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) > FADH2 et (FMN NAD) > FMNH2. *:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) > Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) > idem. *:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) > formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 > neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 > dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) > PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) > dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) > dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') > tetrahydrofolate. *::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) > Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) > prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) > chorismate, '''*'''261.85 (NH3) > amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) > 4-amino-benzoate et pyruvate. *:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr''' pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) > aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') > CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 > CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) > dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') > pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) > pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) > ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) > P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 > P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) > PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) > CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP). *: - Synthèse des aas *:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, *::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) > indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') > Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) > Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) > anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') > '''PRPP''' Anthranilate *::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) > Gly '''OH-Pyruvate''' *::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') > Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') > '''OH-Thr''' (voir synthèse B6) *::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) > Cys, idem (Ser '''HomoCys''') > '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) > Cys NH3 '''Oxo-butanoate''' *::: - Asp > Asn et '''*'''411.12 (Asp) > Ala et CO2 *::: - Glu > Gln *::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') > Urocanate NH3 "MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine", '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) > Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) > Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) > formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') > Histamine et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') > NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) > Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) > Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) > Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) > formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) > Formate et Asp. *::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui >nt 7 aas dérivés. Pour His >rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr. ==pense bête 10== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres. *: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr. *: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé. *: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met. *: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA): les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas. ==pense bête 11== *Tanger le 7/12/25 * Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG). * C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs. * L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment. *Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate</ref>. Le C de CO2 est lié à N de NH2. *Les aminonitriles: *: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. *: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp. *: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42. *:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde. *:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes. * L'histidine * Les aromatiques * Lysine ornitine et proline ==pense bête 12== *Paris le 27/02/26 *Les lectures *: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015 *: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005 *: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024, *Plan *: - postulat: ça s'est fait tout seul *: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique *: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique *: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports) *Les aas abiotiques: *: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C *:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025 *:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24) *:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation *:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation. *:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde) *:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement) *: - autres *:# Ser, aubrey faible *:# Thr, plus acétate *:# Asn, NH3 *:# Gln, NH3 *: - Formose *:# His, erythrose formamidine HCN *: - FTT *:# Trp, indole plus Ser ou Fritz *:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN *:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN *:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin *:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin *:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser *:# Met, homocystéine plus CH3 *: - Réactions quasi biotiques *:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline *:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3 ===notes des lectures=== *Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure). *Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h *Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. *: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:"Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides." *: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: "L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019)." J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr ==pense bête 13== *Paris 29/6/26 *Article de départ *: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1). ===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs=== *hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3. ====Pyruvate bis==== *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) *:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne <> P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction) *: - *oxaloacetate + Pi donne '''|>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *: - *oxaloacetate + PP donne <> P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique <--- *:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne <> Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? <--- c'est mon hypothèse pour EC2791 *: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne <> P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2 EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' <--- *Pathway: glycolyse suite *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 (R00658) hydro-lyase <--- *: - *Glycérate-2P donne <> Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase *: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''') EC121.12 (R01061) oxydoréductase <--- *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase <--- *Pathway: Aspartate *: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''') EC1411 (R00396) oxydoréductase *:: + Contradiction '''subs/prod''' ====Glycolate bis==== *Pathway: glyoxylate *: - *Glycolate + Acceptor '''donne |>''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase *:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS? *:: + '''Formate'''? *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |>''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase *: - *Asp + NAD (formate) '''donne <|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410 *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase *:: + Contains pyridoxal phospate. *:: + ''confirmer que Cys est produite avant'' *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant'' *: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |>''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (<u>en labo sans enzyme mais très faible</u>) *:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 <ref>https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84</ref> nitrile hydratase.'' *: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |>''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase ====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate propionate phosphite==== *Compound, phosphite. Voir article sur Phosphite dans les sources hydrothermales <ref>https://www.biorxiv.org/content/10.64898/2025.12.19.695421v2.full</ref>. *: -Phosphite +NAD+ +H2O donne phosphate +NADH +H+ EC1.20.1.1 R05746 oxydoreductase. 146 bactéries, rien d'autre. Enx, enterobacter, 341 aas. Entrée créée en 2001 MAJ 2025. *: -Phosphite +AMP +NAD+ donne ADP +NADH +H+ EC1.20.1.2 R13633 oxydoreductase. Une seule référence <ref>https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.2309743120</ref>. Entrée créée en 2025. *Pathway: pyruvate métabolisme *: -*'''Ethanol''' + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein) bi ecocyc de ethanol ΔG=3.10kcal/mol. eco 891 aas. 8769 êtres dont 200 archées *: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate). 6796 êtres dont 132 archées *: -*'''Acetate''' +ATP donne <> Acetyl-P +ADP EC2721 R00315 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=-6.97 kcal/mol, 400 aas. 7664 êtres dont 28 archées *: -*'''Acetate''' +PP donne <> Acetyl-P +Pi EC272.12 R00320 kinase. Métacyc sens indéfini. Entamoeba histolytica seule référence de 1975 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/0006291X75905136?via%3Dihub</ref> *: -*'''Propionate''' +ATP donne <> Propionyl-P +ADP EC2721 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 7665 êtres dont 29 archées *: -*'''Propionate''' +ATP donne <> Propionyl-P +ADP EC272.15 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 375 bactéries pas d'archées *:: + comment: Involved in the anaerobic degradation of L-threonine in bacteria. Voir dans propanoate pathway EC123- de 2-oxobutanoate vers propanoyle-P, flèche sans enzyme. Le 2-oxobutanoate vient de la Thr. *: - *<u>Acetate + ''ATP +CoA donne <> Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''</u> archées *: - *<u>''Propanoyl-CoA +Formate donne <> 2-Oxobutanoate +CoA EC231.54 R06987 Formate lyase''</u> *: - *<u>''Acetyl-CoA +Formate donne <> Pyruvate +CoA EC231.54 R00212 Formate lyase''</u> *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10701</ref>, attention activation de l'enzyme par flavodoxin/ferredoxin-NADP+ reductase. *: - *'''Methanol''' + NAD donne <> formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein) *: -*formaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase *: - *'''Lactate''' + NAD donne <> '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase. 4141 êtres dont 16 archées *Pathway: glyoxylate métabolisme *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glyoxylate +NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase Metacyc bi. 2272 êtres dont 124 archées (mieux que ec111.29, voir Ser). *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glycolaldehyde +NAD +H2O EC121.21 R01333 aldehyde dehydrogenase ecocyc di de aldehyde ΔG=-17.03kcal/mol *: - *OH-pyruvate '''donne |>''' Glycolaldehyde +CO2 EC411.40 R01393 carboxylase Metacyc bi *Pathway: methane métabolisme *: - *'''Methanol''' + NAD '''donne |>''' formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase Metacyc di *Pathway: cysteine methionine *: - *'''Methanol''' + H2S donne <??> '''Methane thiol''' <u>ou bien le methane thiol est basique comme le methanol</u> *: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase *:: + *Asp + ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase *:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne <|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase *:: + *Asp-semialdehyde + NAD donne <> L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase *:: + *'''acety-CoA''' + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (B6 protein) ====Pyruvate==== =====Glycolyse===== *Pathway: Pyruvate *: - *Pyruvate +HCO3- +ATP '''donne |>''' Oxaloacetate +ADP +Pi EC6411 R00344 ligase metacyc de ATP (A biotinyl-protein) *: - *Malate +NADP donne <> Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc de Malate (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol *:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate. *: - *Malate +NAD+ donne <> Pyruvate +NADH +CO2 +H+ EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc et metacyc direct de Malate ΔG=-0.32Kcal/mol *:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate +H+ (non réversible) <ref>https://biocyc.org/reaction?orgid=ECOLI&id=1.1.1.39-RXN</ref>. *:: + thermodynamiquement Ec111.38 est réversible à cause de son ΔG=-0.32Kcal/mol. Mais dans la cellule elle a pour objet de produire du CO2 lors de l'accumulation de NAD+. Décompte génomes a b e: 458 9991 1295 *: - *Malate +NAD donne <> Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=4.46Kcal/mol *: - *oxaloacetate + Pi '''donne |>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 900 aas. *: - *oxaloacetate '''+PP''' donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bi son ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + abe: 0 250 10; grosse enzyme 1100 aas. Energie de liaison de PP 47.8 Kcal/mol et 1ère et 2ème PP dans ATP, sont égales à 7.3Kcal/mol; P-enolpyruvate 14.8kcal/mol *:: + Also catalyses the reaction: P-enolpyruvate + Pi = pyruvate + PP. <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/12/26/5247/105472/Carboxytransphosphorylase-VII-Phosphoenolpyruvate?redirectedFrom=fulltext</ref> *:: + ''Pyruvate +PP donne <> P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique? c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse) *: - *oxaloacetate +ATP donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +ADP EC411.49 R00341 kinase ecocyc de ATP (shem bi) ΔG=-7.02Kcal/mol *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 520 aas. *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP '''donne <|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 R00200 kinase biocyc de ADP ΔG=-2.23Kcal/mol *: - *Pyruvate +ATP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 R00206 dikinase (multi-step reaction) metacyc de ATP ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP +H2O donne <> P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 R00199 dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 R00658 hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> '''Glycérate-3P''' EC542.11 R01518 mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol *: - *Glycérate-3P + ATP donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 R01061 dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=8.23''' Kcal/mol (gauche-droite) *: - *Fructose-6P '''+PP''' donne <> Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini) *:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule. *:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; enzyme 300-600 aas. *: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |>''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) phosphorylase de f1.6 à f6 ΔG=6.89Kcal/mol) *: - *Fructose-6P +ATP '''donne |>''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol) =====Formation des aas à partir du pyruvate===== *Pathway: Ala Asp Glu *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) Metacyc bi. 5728 êtres dont 243 archées *Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate *: - voie P-Ser *: - *Glycérate-3P +NAD +H2O donne <> P-OH-Pyruvate +NAD EC111.95 R01513 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.03 kcal/mol. 10084 êtres dont 434 archées *: - *O-P-Ser +2-oxoGlu donne <> P-OH-Pyruvate +Glu EC261.52 R04173 transaminase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=0.08 kcal/mol. 8871 êtres dont 71 archées *: - *O-P-Ser +H2O '''donne |>''' L-Ser +Pi EC3133 R00582 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=9.27 kcal/mol. 8278 êtres dont 366 archées *: - voie Glycerate *: - *'''Glycérate-3P''' + H2O '''donne |>''' Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase. 1 seule référence de 1971 "sugarcane leaves" *:: + *Glycéraldéhyde +NAD +H2O donne <> Glycérate +NAD EC1213 R01752 oxydoréductase. 6796 êtres dont 132 archées pas de metacyc *:: + *Glycéraldéhyde +DHAP donne <> Fructose-1P EC412.13 R02568 lyase. Metacyc direct de Fructose. 11542 êtres dont 459 archées *::: * Pour obtenir Fructose-1P à partir de Fructose-6P, il faut 4 enzymes EC111.17, 313.22, 111.11, 2713 (une kinase) <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00051</ref> *::: * Le Glycéraldéhyde libre est bloqué comme le Glycerol <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00561</ref>. Il est rapidement transformé en Glycéraldéhyde-3P EC271.28 *:: + *Mannitol-1P +NAD donne <> Fructose-6P +NAD EC111.17 R00758 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.60 kcal/mol. 1867 êtres dont 2 archées *:: + *Mannitol +Pi donne <> Mannitol-1P +H2O EC313.22 R02167 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=7.22 kcal/mol. 2063 êtres dont 1 archées *:: + *Mannitol +NAD donne <> Fructose +NAD EC111.11 R00868 oxydoréductase. Metacyc bi. 443 êtres dont 0 archées (Ec111.67 1312,Ec111.67 83) *:: + *Fructose +ATP '''donne |>''' Fructose-1P +ADP EC2713 R00866 kinase. Metacyc direct de Fructose. 907 êtres dont 52 archées *: - *Glycerate + NAD donne <> Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase. 2077 êtres, eucaryotes, bactéries, 9 archées MM et 1 METB. Metacyc bi. *: - *'''Ser''' + Pyruvate donne <> Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein). 2913 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + Glyoxylate donne <> '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein). 2880 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + H2S '''donne |>''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein) 3754 êtres, eucaryotes, bactéries, 36 archées. pas de RHEA *: - *Ser +Acetyl-CoA donne <> O-Acetyl-Ser +CoA EC231.30 (R00586) transferase (sans B6) 8266 êtres, eucaryotes, bactéries, 170 archées. *:: + voie de E.Coli suivie de EC251.47 donne Cys avec B6. 8282 êtres *: - *'''Thr''' donne <> Gly + Acetaldehyde EC412.48 (R00751) transaminase (B6 protein) 6788 êtres, eucaryotes, bactéries, 100 archées. Ecocyc bi, ΔG=1.0 kcal/mol *: - *Thr '''donne |>''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein) *Pathway: Val Leu Ile biosynthese *: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat) *: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |>''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction) *: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne <> 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase *: - *Aceto-Lactate + NAD donne <> 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase *: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase *: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase *: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |>''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase *: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |>''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase *: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne <|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating *: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne <|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating *: - * *: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |>''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase *: - *2-isopropylmalate donne <> 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase *: - *2-isopropylmaleate + H2O donne <> 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase *: - *3-isopropylmalate + NAD donne <> 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase *: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée *: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne <|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating *Synthèse *: - 2 groupes *:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6, *::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate *::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate *::: * Cys: consomme H2S, basique *::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate *:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6 *::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD *::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA =====Formation de Asp et Asn ===== *Pathway: Glyoxylate *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |>''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp''' *: - *Asp + NAD '''donne <|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6) *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi *Pathway: Ala Asp Glu *: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |>''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase (sans B6) *: - *Asp +2-oxoglutarate donne <> Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase (avec B6) *: - *Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino lyase ecocyc bi ΔG=+3.19 Kcal/mol de Asp (sans B6) *: - *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *:: + Malate vient directement de Pyruvate *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein) *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6) *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique? *: - Voie Glyoxylate: *:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu. *:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate. *: - voie Ala Asp Glu *:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp. *: - voie cyanoamino acide: *:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude? *: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref>. *:: + =====Formation de Lys===== *Pathway: Lysine *: - *Asp + ATP '''donne |>''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''4-Asp-P''' *: - *4-Asp-P +NAD '''donne <|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-4-semialdehyde''' *: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |>''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase '''4Hydro-dipicolinate''' *: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne <|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase (spontanée: +H2O donne <> '''L-2-Amino-6-oxopimelate''') *: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne <> L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &emsp;&emsp; '''diaminopimelate''' *: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |>''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &emsp;&emsp; '''L-Lys''' (B6 protein) *: - *Lys +acetyl-P '''donne |>''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &emsp;&emsp; '''N6-acetyl-Lys''' *: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne <> N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein) *: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne <> 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &emsp; '''5-Acetamido-pentanoate''' *: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne <> 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &emsp; '''5-Aminopentanoate''' *: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne <> Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein) *: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne <> Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras) *Synthèse *: - étapes: 6 à partir de Asp *: - produit: NH3, CO2 *: - consomme: Asp, Pyruvate *: - utilise: ATP, 3 NAD *: - B6: avec B6 =====Formation des Riboses et dRiboses===== *Pathway: Pentoses phosphates *: - *D-Arabinulose-P donne <> '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase 185 aas metacyc direct de Arabi. 1303 êtres dont 291 archées *: - *D-Arabinulose-P donne <> D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase 211 aas metacyc bi. 1214 êtres dont 295 archées *: - *D-Ribose-5P donne <> D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase 219 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-6.13 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P donne <> D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-1.93 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P +ADP '''donne |>''' D-Ribose-1,5P2 +AMP EC271.212 (R11535) P-transferase 294 aas metacyc de ADP *: - *D-Ribose-1,5P2 + ATP '''donne |>''' PRPP +ADP EC274.23 (R06836) P-transferase 185 aas metacyc de ATP ecocyc bi ΔG=-2.03 kcal/mol *: - *D-Ribose-5P + ATP donne <> PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase 315 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-25.84 kcal/mol *: - * *: - *D-dRibose-5P donne <> '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase 259 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=5.12 kcal/mol *: - *D-dRibose-1P donne <> D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=?? comme Ribose? *Synthèse *: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose *: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P *: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde. *: - utilise: AMP; et rien *: - Note: PRPP peut être obtenu par 2 P-transférases qui peuvent utiliser PEP =====Formation de l'ATP===== *Pathway: purines *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +ADP +Pi EC6347 R01053 amido transférase oiseaux (article unique 1968 <ref>https://www.jbc.org/article/S0021-9258(18)91922-8/pdf</ref>) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. homo4mères *: - *PRA +Gly +ATP '''donne |>''' 5P-Ribosylglycinamide +ADP +Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-6.27 '''GAR''' *:: + ecocyc: séquentiel et ordonné. Tunnel. Monomère <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10792</ref> *: - *GAR +ATP +Formate '''donne |>''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-8.97 '''FGAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG11809</ref>, monomere *:: + EC2122 THF sans ATP R04325 ecocyc et Meta bi ΔG=16.47 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10799</ref>, monomere *: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |>''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20 '''FGAM''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10797</ref> 3 sites Gln d'abord, puis ATP puis FGAR. Monomère. Fusion de 3 enzymes. *: - *FGAM +ATP '''donne |>''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ecocyc et metacyc direct de ATP ΔG=9.97 '''AIR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10798</ref>. Pas de couplage, ATP attaque FGAM puis cyclase. Dimère. *: - *[AIR +HCO3- +ATP '''donne |>''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC634.18 R07404 ecocyc et Meta de ATP ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10796</ref>. dimère. Nonenzymatic carboxylation of AIR occurs. *: - *[AIRC donne <> 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=6.32 Metacyc et ecocyc de carboxyamno '''CAIR'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10793</ref>. octamère. Réversible si EC6336 est absente *: - *5-amino-1-(5-phospho-D-ribosyl)imidazole-4-carboxylate donne <> AIR +CO2 EC411.21 R04209 carboxylase Metacyc bi '''CAIR''' *: - *CAIR +Asp +ATP donne <> (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase ΔG=-7.66 '''SAICAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10791</ref>. Trimère. les sites ne sont pas élucidés. *: - *SAICAR donne <> 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase ΔG=9.84 ecocyc direct Metacyc bi '''AICAR''' *: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |>''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase '''Metacyc bi FAICAR''' *:: + EC2123 THF sans ATP R04560 ecocyc et Meta bi ΔG=18.96 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10795</ref>, monomere *: - *IMP +H2O donne <> FAICAR EC354.10 R01127 cyclase ΔG=26.85 ecocyc et Metacyc bi '''IMP''' *: - *IMP +GTP +Asp '''donne |>''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-103.56 '''car-AMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10790</ref>. dimère. Les binding sites sont élucidés. *: - *car-AMP '''donne |>''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase ΔG=55.05 ecocyc direct metacyc bi '''AMP''' *: - *IMP +NAD +H2O '''donne |>''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase ecocyc et Metacyc bi ΔG=2.43 '''XMP''' *: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |>''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-5.44 '''GMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10420</ref>. dimère. Sans Gln il n'y a que 2 binding sites, ATP et XMP. Le contrôle est strict avec Gln mais pas avec NH3. *: - *GMP,AMP +ATP donne <> GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &emsp;&emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP''' *: - *GMP,AMP +ADP donne <> Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &emsp;&emsp;'''Guanosine, Adenosine''' *: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne <> G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &emsp;&emsp;'''G, A''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne <> G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &emsp;&emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |>''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &emsp;&emsp;'''dGMP,dAMP''' *: - *dGMP,dAMP +ATP donne <> dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &emsp;&emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP''' *Synthèse *: - étapes: 12 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP *: - produit: 2 Fumarate CO2 *: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 Gly *: - utilise: 7 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une carboxylase et une cyclase n'utilisent pas ADP. *: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP. =====La synthèse de novo de l'ATP et le couplage de 2 réactions===== *Problématique: *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase *: - Dans la réaction R01053 l'enzyme EC6347 en fait 2 réactions en parallèle: *:: + L'hydrolyse ATP +H2O '''donne |>''' ADP +Pi, fournit à l'enzyme l'énergie nécessaire pour lier NH3 au Ribose *:: + Ribose-5P +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +H2O *: - La réaction R01053 est directionnelle. C'est le cas des autres réactions faisant intervenir 3 substrats. *: - Avant l'apparition des polypeptides la probabilité de la rencontre des 3 substrats est très faible et c'est le rôle principale de l'enzyme que de les réunir. Dans mon hypothèse, l'environnement avec ses aas libres favorisant tant soit peu la réaction, il est difficile d'imaginer que l'énergie libérée par l’hydrolyse de l'ATP soit récupérée à distance par la ligase. Elle est tout simplement diffusée dans son environnement. Il y a ainsi 7 couplages avec 3 molécules pour le substrat dont 6 avec ATP et une avec GTP. *: - L'enzyme EC6347 peut être remplacée par EC242.14 qui est bidirectionnelle et peut être vue comme le résultat (pas la somme) de 2 transaminases indépendantes. Une à 2 substrats utilisant NH3 et produisant 5P-Ribosylamine +PP qui sont utilisés avec Glu par la 2ème à 3 substrats produisant Gln. Gln peut être produit donc avant l'apparition de l'ATP. *:: + PRPP +NH3 donne <> 5P-ribosylamine +PP *:: + 5P-Ribosylamine +PP +Glu donne <> Gln +PRPP *: - L'enzyme EC6331 n'a que 2 molécules comme substrat comme les kinases et peut être envisagée avant l'apparition de l'ATP en remplaçant celle-ci par PEP. *Comment résoudre le couplage prébiotique nécessaire à la synthèse de novo de l'ATP nécessitant 7 couplages successifs. *: - Dans les réactions que j'ai réunies pour le proto-métabolisme il n'y a que 5 autres couplages non sucessifs: 2 pour CoA 1 pour acetyl-CoA et 2 pour THF. *: - Il faut des concentrations élevées de PEP NH3 Formate Asp Gly Pi *: - Est-ce que les 9 autres aas existants peuvent aider ces couplages: Cys Ser Thr Ala Lys Glu Gln Pro Arg. Et les ceto-acides: Lactate malate oxaloacetate fumarate oxo-glutarate pyruvate; et les acides glycolate acétate propionate =====Formation de l'Uracile===== *Pathway: arginine *: - *ATP +HCO3- +NH3 donne <> Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &emsp;&emsp;'''Carbamoyl-P''' *Pathway: pyrimidines *: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |>''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &emsp;&emsp;'''N-Carbamoyl-Asp''' *: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne <> N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &emsp;&emsp;'''(S)Dihydroorotate''' *: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne <> Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &emsp;&emsp;'''Orotate''' *::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. *:: + *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *::: * Malate vient directement de Pyruvate.Voir Krebs et pyruvate *:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase *: - *Orotidine-5'P +PP donne <> Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &emsp;&emsp;'''Orotidine-5'P''' *: - *Orotidine-5'P '''donne |>''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &emsp;&emsp;'''UMP''' *: - *UMP +Pi '''donne |>''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &emsp;&emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''') *: - *UMP +ATP donne <> UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &emsp;&emsp;'''UDP''' (idem CDP) *: - *UDP +ATP donne <> UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &emsp;&emsp;'''UTP''' (idem CTP) *: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |>''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &emsp;&emsp;'''CTP''' *: - * *: - *Uracil +dRibose-1P donne <> dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &emsp;&emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''') *:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase. *: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP *: - * *: - *dR-base1 +base2 donne <> dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dR-Base1 Base2''' *: - *dUridine +C donne <> dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dCytidine''' *: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP *: - * *: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |>''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &emsp;&emsp;'''dTMP''' et '''DHF''' *: - *dTMP +H2O '''donne |>''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &emsp;&emsp;'''Thymidine''' *: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine *Synthèse *: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP *: - produit: succinate, PP, CO2 *: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP *: - utilise: ADP '''FMN''' *: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine *: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase *: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase. =====Formation de His===== *Pathway: histidine *: - *ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |>''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &emsp;&emsp;'''PRPP-AMP''' *: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |>''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &emsp;&emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |>''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &emsp;&emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |>''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR *: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |>''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne <> Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &emsp;&emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein) *: - *Histidinol-P '''donne |>''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &emsp;&emsp;'''Histidinol''' *: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |>''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidinal''' *: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |>''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidine''' *Synthèse *: - Étapes: 10 à partir de ATP *: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines) *: - consomme: ATP, PRPP, NH3 *: - Utilise: 2 NAD *: - B6: avec B6 =====Récapitulation aas===== *Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |> <u>'''Ala''' sans B6</u> *Pyruvate (Glycolyse); Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne <> Pyruvate + '''Ser''' avec B6 *Glycolate; Glycolate + NAD donne <> Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne <> HxP + '''Gly''' avec B6 *H2S; Ser + H2S donne |> H2O + '''Cys''' avec B6 *Ethanol; Ethanol + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne <> '''Thr''' avec B6 *Pyruvate; 2 Pyruvate donne |> Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-Lactate NAD <> v1, v1+NAD donne <> v2; v2 donne |> v3 + H2O; v3 +NH3 donne |> H2O + <u>'''Val''' sans B6</u> *Thr donne |> Oxobutanoate + NH3 avec B6 *Pyruvate + Oxobutanoate donne |> Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD <> l1, NAD <> l2; l2 donne |> l3 + H2O; l3 +NH3 donne |> H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr *Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |> A1 (avec B6), A1 donne |> A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |> NAD + <u>'''Asp''' (sans B6)</u> * voie Pyruvate *: - Pyruvate +ATP+H2O donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi *: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne <> oxaloacetate + ATP *: - Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)''' *Asp +ATP +NH3 donne |> AMP + PP + <u>'''Asn''' (sans B6)</u> *Asp + ATP donne |> 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6 * Après formation de l'ATP *: - ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6 =====B6 Pyridoxal-P===== *D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser *Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref> *: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu *Biosynthèse de B6 *: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu. *: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant: *:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a <u>molecular tunnel that is almost 100 A in length</u> [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6] *:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a <u>substrate-protective tunnel</u> to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''. *:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and <u>channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel</u>. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants. *: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul. *Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P *: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |>''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi <u>EC4336</u> R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine''' *: -* *: -*Pyridoxal +ATP '''donne |>''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine +ATP '''donne |>''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P''' *: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |>''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne <> Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne <> Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne <> Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal''' *: -* *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +NADP donne <> Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -* *: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6. *: -*L-Ala donne <> D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6 *: -*Pyruvate + D-Glu donne <> D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6 *Synthèse *: - Étapes: une seule *: - produit: directement le pyridoxal seul! *: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate. *: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.) =====NAD nicotinamide adenine dinucléotide===== *Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]] *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) *Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp *: -*Asp + NAD '''donne |>''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp''' *: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne <|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate''' *:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity. *Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes) *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *: - * *: -*Quinolinate + PRPP '''donne <|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide''' *: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne <> Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD''' *:: + '''ATP en substrat''' *: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |>''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+''' *:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln. *: -*NAD + ATP '''donne |>''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+''' *Synthèse *: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN) *: - produit: 2 PP *: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP *: - Utilise: 2 ATP, FAD *: - B6: néant *: - comparaison des 2 voies: *:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S]. *:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution. =====FMN FAD riboflavines===== *Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques. *Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP '''donne <|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil''' *: -*P-ribitylamino-uracil + H2O '''donne |>''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil''' *: -*Ribulose-5P '''donne |>''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P''' *: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |>''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine''' *: -*2 ribitylLumazine '''donne |>''' Riboflavin + ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin''' *:: + A flavoprotein (riboflavin). *: -*Riboflavin + ATP '''donne |>''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN''' *: -*FMN + ATP '''donne |>''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD''' *Synthèse *: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD *: - produit: 2 Formates, NH3 *: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP *: - Utilise: ATP, NADP =====Phe Tyr Trp===== *Les aas aromatiques. Chorismate nécessite FMN. *Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose *: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |>''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase Metacyc de P2 à 1 P '''céto-Fructose-1P''' *:: +*D-Lactate +NAD donne <> Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase ecocyc (schem bi) RL ΔG=+3.33 '''D-Lactate''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne <> D-Lactate +NAD EC121.23 R01735 oxydoreductase pas de REHA '''D-Lactaldehyde''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne <> Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase Metacyc bi '''Methylglyoxal''' *: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |>''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase Metacyc de Asp '''heptulosonate''' *:: +*Asp +ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''Asp-P''' *:: +*Asp-P +NADP '''donne <|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-semialdehyde''' *: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |>''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate''' *: -*Dehydroquinate donne <> Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate''' *: -*Shikimate +NAD donne <> Dehydroshikimate +NAD EC111.24 R06847 oxydoreductase ecocyc LR de shikimate ΔG=-12.20 '''Shikimate''' *: -*Shikimate +ATP '''donne |>''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase ecocyc LR de ATP ΔG=-16.06 '''Shikimate-3P''' *: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate <> Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P''' *: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |>''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate''' *::: .. Requires '''FMN''' *: -*Chorismate donne <> Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate''' *: -*Prephenate donne <> Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate''' *: -*Phe +NAD +H2O donne <> Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6) *: -*Prephenate +NAD donne <> OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate''' *: -*Tyr +NAD +H2O donne <> OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6) *: -*Chorismate +NH3 '''donne |>''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate''' *::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit. *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne <> Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P''' *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne <> Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P''' *: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne <> Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P''' *: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne <> Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' <u>(avec B6)</u> *: - * *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *Synthèse *: - Etapes *:: + Voie commune 11 étapes *:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun *:: + Trp 5 étapes *:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée *: - Produit *:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3 *:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun *:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P *:: + Quinolinate: H2O (rien) *: - Consomme *:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate *:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun *:: + Trp: NH3, PRPP, Ser *:: + Quinolinate, '''2 fois O2''' *: - Utilise *:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP *:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr *:: + Trp: rien *:: + Quinolinate: '''FAD''' *: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6. =====TPP Thiamine pyrophosphate===== *Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas. *Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5. *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire. *:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea. *: -*NAD + Gly +H2S '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |>''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante *: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |>''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P''' *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His). *:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. *: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |>''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P''' *: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne <|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP''' *Biosynthèse de la Thiamine *: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |>''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P''' *: -*Thiamine-P +ATP '''donne |>''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP''' *: -*Thiamine-P +H2O '''donne |>''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine''' *: -*Thiamine +H2O '''donne |>''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole''' *: -*Thiazole +ATP '''donne |>''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P''' *: -*Pyrimidine +ATP '''donne |>''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys) *:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea. *: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP *:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide. *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons. *:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis. *Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP *: - produit: *:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; *:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme) *:: + CO2 PP *: - consomme: *:: + NAD Gly H2S *:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6 *:: + énergie *: - Utilise: *:: + rien *:: + ATP *:: + ATP =====CoA Coenzyme A===== *La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine. *: -*Acetolactate + NADP '''donne <|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*Dimethyl-malate +NAD donne <> methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate''' *: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne <> Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate''' *: -*Pantoate + NAD donne <> Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate''' *: -*Asp '''donne |>''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala''' *:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group. *: -*beta-Ala + Pantoate +ATP '''donne |>''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate''' *: -*beta-Ala + Pantoate '''donne |>''' Pantothenate +H2O EC351.22 R02474 hydrolase '''Pantothenate''' *:: + Article 1966 <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/5/2/399/99824/The-Bacterial-Degradation-of-Pantothenic-Acid-II?redirectedFrom=fulltext</ref>, pseudomonas P-2. *: -*Pantothenate +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate''' *: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives. *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantoate + Cys +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +AMP +PP EC632.51 R04230 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |>''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantetheine +ATP donne <> dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA''' *: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |>''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA''' *Synthèse *: - 13 étapes de Pyruvate à CoA *: - produit: 3 CO2; 3 PP *: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys *: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP *: - B6: pas de B6 =====Val Ile Leu===== *Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul. *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *: -*Acetolactate donne <> OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate donne <> methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' *: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |>''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6) *: -*Ile *: -*Thr '''donne |>''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6) *: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate''' *: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne <> OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate donne <> 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate''' *: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |>''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6) *: -*Leu *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val *: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |>''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate''' *:: +*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*2-Isopropyl-malate donne <> 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate''' *: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne <> 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate''' *: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne <> 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate''' *: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 <u>spontanée</u> R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate''' *: -*Leu +NAD +H2O '''donne <|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6) *Synthèse *: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu. *: - produit *:: + Val: CO2 *:: + Ile: CO2 NH3 *:: + Leu: CO2 *: - consomme *:: + Val: 2 Pyruvate NH3 *:: + Ile: Thr NH3 *:: + Leu: Acetate NH3 *: - Utilise *:: + Val: NADP NAD *:: + Ile: NADP NAD *:: + Leu: ATP CoA 2 NAD *: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6 =====Methionine Met===== *Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. *Pathway: cysteine methionine *: -*acetyl-CoA + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' *: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6) *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (avec B6) *: -*Met +ATP +H2O '''donne |>''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase *: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |>''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met''' voie des sulfures *: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |>''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6) *Synthèse *: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met. *: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici. *: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. *: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol *: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate. *: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP. *:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met. *:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6. =====Glutamate Glu Gln===== *Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs *: -*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne <> Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' *: -*Citrate donne <> Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' *: -*Cis-aconitate +H2O donne <> Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' *: -*Iso-citrate +NADP donne <> oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' *: -*oxalosuccinate donne <> 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' *: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne <> Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6) *: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |>''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase ΔG=-6.77 kcal/mol 469 aas direct de Glu '''Gln''' (sans B6) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 kcal/mol '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. Homo tetramer. 505 aas. *Synthèse *: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln *: - produit: CO2, CoA, Glu *: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3 *: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP *: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln *: - Gln sans ATP: EC242.14. Dans le commentaire NH3 peut remplacer Gln. A partir de là on obtient PRA et PP. PRA est très instable, aussi en présence de Glu et de PP se forme PRPP et Gln avec un ΔG=2.05 kacl/mol meilleur qu'avec l'ATP et favorable à la réversibilité. Donc PRPP + NH3 + Glu donne Gln, peut être en petite quantité, mais peut être entraînée par l'ensemble des autres aas. =====Arginine Arg Pro===== *Nécessite CoA et Glu *: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |>''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu''' *: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |>''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P''' *: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde''' *: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne <|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6) *: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne <> Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine''' *: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase ΔG=6.17 kcal/mol bi metacyc ecocyc, eco 297 aas. 2630 êtres dont 645 archées '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-5-semialdehyde donne <> Pyrroline-5-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *: -* *Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.) *: -*Glu +ATP '''donne |>''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' *: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' *: -*Ornithine +2-oxoglutarate donne <> Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6) *:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' (sans B6) *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-semialdehyde donne <> Pyroline-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *Synthèse sans CoA *: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée *: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P *: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2 *: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD *: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro. =====THF pour TMP===== *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |>''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P''' *: -*Dihydroneopterin-P '''donne |>''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin''' *:: +*Chorismate +Gln '''donne |>''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' *::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate *:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |>''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6) *: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |>''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate''' *: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |>''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10327</ref>. ATP-dependant reaction, est-ce que ATP a un site propre pour son hydrolyse? *: -*THF +NADP '''donne <|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF''' *: -* *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate. *: -* *: -*THF +ATP +Formate donne <> Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF''' eucaryotes *: -*Formyl-THF +P-Ribosylglycinamide donne <> THF +P-Ribosyl-N-formylglycinamide EC2122 R04325 formyl ligase '''Formyl-THF''' bactéries *:: + ecocyc: <ref>https://www.kegg.jp/entry/eco:b2500</ref>, voir formation ATP *: -*Methenyl-THF +H2O donne <> Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF''' *: -*Methylene-THF +NADP donne <> Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF''' *: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |>''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine) *Synthèse *: - 12 étapes de GTP à TMP *: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate *: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3 *: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP =====Acides gras===== *Commencent avec Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA '''donne |>''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne <> Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA donne <> Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA''' *: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne <|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA''' *: - * *: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |>''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA''' *:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl *: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne <> trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA''' *: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à 16 carbones *: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |>''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate''' *Dégradation *: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |>''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |>''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne <> trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA''' *: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA donne <> Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA''' ==essai 1== <pre> Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques. Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu. Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé. Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers. C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation. L'auto-organisation prébiotique *partir du postulat *pas de catalyse minérale des liaisons covalentes *liposome aux interactions faibles *grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis *Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies. *échanges avec l'extérieur *Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau. *A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. *homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme. *L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira. </pre> ==essai 2== *PLD de krishnamurty <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> *Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique *La question de CTP pour l'initialisation de la membrane ===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique=== *Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique: *: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation. *: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle. *: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité. ==essai 3== 12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion. *Deux points importants de la critique du passé de mes essais: *: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? *: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques? *Le nouveau concept *: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile. *: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. *: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile. ==essai 4== 21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a? * Les lectures: *: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).<ref>https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full</ref> *: - Les expériences en laboratoire *:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 <ref> https://theses.hal.science/tel-05407367</ref> *:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 <ref>https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/</ref> *:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 <ref>https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116</ref> * Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides. * Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction *: - en profondeur, avec des températures (>300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction *: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales. *: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (<100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec <u>R.Pascal</u>: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691</ref> *: - <u>Formation des pores d'échange dans la bicouche</u>: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse. *: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP <ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol</ref>. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66. ==essai 5== 15/06/26 Paris. *Les 5 principes *#L'auto-organisation *#La continuité *#La séquestration et la néguentropie *#La différence réaction abiotique/biotique *#L'autonomie *L'environnement prébiotique *: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques *:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire) *:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4 *:# Les minéraux dont les phosphates *:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate *:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3 *: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) *: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes. ===L'auto-organisation=== *Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales. ==essai 6== ===Le processus néguentropique=== *Paris le 5/8/26 ===Introduction à la problématique de la recherche sur les origines de la vie=== *Paris le 2/9/26 *Les ribosomes miroir <ref>https://fr.scienceaq.com/Chemistry/1001083878.html</ref> *RNA polymérase <ref>https://fondation-inserm.org/les-bacteries-miroirs-menace-ou-curiosite-scientifique</ref> ====Le contrôle dual==== *Paris 14.10.26 *Simulateur hydrothermales 2025: formiate acétate pyruvate méthanol NH4 glycolate lactate propionate éthanol, pas de P H2S *Krebs 2024: d'où vient oxaloacétate? CO2 pyruvate oxaloacétate glyoxylate H2+Formiate (équivalent NAD), pas de P H2S, NiFe 22°C pression atmosphérique. *PP 2026: PP est proposé pour remplacer ATP, l'article '''acP de 2016''' propose l'acétyl-P très fragile et peu fréquent. *Moi je propose PEP 2017. *Glycolyse 2014: plusieurs réactions (des isomérase) de l'interconversion des sucres se fait dans l'eau sans enzymes. La non adhésion aux investigations de Muller depuis 1953, recherche des réactions abiotiques qui produisent des molécules biotiques (formaldéhyde adénine...) ne ressemblent aucunement aux réactions biotiques. Glycolyse 2014 m'a conforté dans une idée que j'étais entrain d'appréhender en listant les voies métaboliques de KEGG en partant du simulateur 2025: ces voies ont existé depuis le départ (prébiotiques) dans le système abiotique hydrothermal. *Le contrôle dual: C'est en lisant l'introduction de acP 2016 du chapitre 5, la non adhésion de l'auteur aux investigations de Muller comme je l'ai fait auparavant, m'a encouragé à imaginer un processus qui pourrait se produire dans les sources hydrothermales qui contraindrait ces voies métaboliques égales à celles biotiques actuelles du point de vue du substrat et bien sûr thermodynamique. *: - L'analogie s'est imposée immédiatement: dans le biotique actuel les enzymes créent et contrôlent le métabolisme de base (sucres acides nucléotides minéraux etc.) et de même ce métabolisme contrôle ces enzymes. C'est ce que j’appelle le contrôle dual, qui se fait dans les 2 sens. Mon idée est apparue alors immédiatement, ce sont les voies que je listais auparavant qui se concrétisent. Le métabolisme de base c'est celui des sources hydrothermales, vues alors comme un écosystème biotique hydrothermale, et les enzymes ce sont les aas libres qu'il produit. C'est le contrôle dual prébiotique. *: - La caractéristique principale de ce métabolisme prébiotique qui se crée dans cet écosystème c'est qu'il se fait par étapes. *:: + 1ère étape: simulateur 2025 et krebs 2024 auxquels il faut ajouter PP 2026: aas Ala Gly Asp Glu (4); les céto-acides Pyruvate Glyoxylate oxaloacetate ceto-glutarate. Les analogues sont NAD (formiate +H2 +NiFe) et NH4. Les OH-acides sont Lactate Glycolate Malate OH-céto-Glutarate. Correspondant aux enzymes Ec1411 Ala(5808) Ec261.44 Gly(3043) Ec261.35 Asp(144) Ec1412 Glu(4450); Ec111.27 Lac(4198) Ec111.26 Glc(2328) Ec111.37 Mal(8815) Ec111.38 Pyr(5455)[Pyruvate Malate] Ec1 OH-Glu() *:: + 2ème étape, création de Pro (5): c'est le résultat de Glu-P sous l'action de PP, suivie de l'action de l'analogue de NAD comme dans la 1ère étape. L'analogue de ATP est PP qui produit un analogue plus puissant PEP 2017. La 1ère étape a produit aussi les alpha céto-acides: cAla (Lactate) cAsp (Malate) cGly (glycolate) cGlu (alpha céto-glutarate). k35p3gdn9p0lsaz9blovlhxfjochr77 987436 987432 2026-10-15T20:37:45Z Mekkiwik 5298 /* Le contrôle dual */ 987436 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = biologie | parent = [[Recherche:Laboratoire d'études prébiotiques|Laboratoire d'études prébiotiques]] }} {{Hypothèse | titre = Chiralité prébiotique 2 | parent = [[Recherche:Département:Biologie|Département de recherche en Biologie]] | image = {{idfaculté/logo/biologie}} }} <div style="text-align:center;"><span style="font-size:180%;"> '''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:</br> l'auto-organisation prébiotique.'''</span></div> ==pense bête 1== *L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1. *Définir l'auto-organisation au stade prébiotique *Les erreurs par rapport à cette organisation sont *: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? *: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage. *Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome: *: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite. *: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques. *L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome *: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1. *: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K. *: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine. *: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones. *Auto-organisation des liposomes *: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive? *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome. *: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas. *: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture. *: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions? *: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale. *: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes *: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après. ==pense bête 2== *L'auto-organisation aas + acides gras *: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale *: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe. *: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras. *: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche. *Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras. *# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline *# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides *# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD *# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4--- *# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D? *# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH *# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G Alanine A Histidine H *# - Les stéroides chez les procaryotes ==pense bête 3== *Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre *: - soupe prébiotique *: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique *: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique *: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle. *: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs. *: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées. *: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication. *: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique. *: - étape transcription/ traduction *: - étape réplication/division ==pense bête 4== *Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. *Extraits d'internet: *: - "''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''" *: - La membrane externe des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe</ref>. *: - La membrane interne des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne</ref>. *: - MAM <ref>https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&_x_tr_tl=fr&_x_tr_hl=fr&_x_tr_pto=rq</ref> *: - La mitochondrie <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie</ref> *: - Génome mitochondrial <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial</ref>: aucun gène de synthèse d'un phospholipide *: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse</ref> *: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: "Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle." dans RL fonctions de reticulum endoplasmique <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique</ref>. *Étape de cristallisation 2: *Étape de polymérisation 2: ==pense bête 5== *Étape des eucaryotes 3: *: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel. *: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte. *Hydrogénosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome</ref> et mitosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome</ref>: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes. *Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster <ref>https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf</ref> (page 3). *La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau. ==pense bête 6== *auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome. *Les contraintes résultantes: 4 exemples, *#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, *#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, *#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. *#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte</ref>, paragraphe 3 *#: - "Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré." *#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases. *#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D</ref> de wikipédia, "Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D" il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L. *#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré "qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries". *#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début) *#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L. *# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. *#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00040</ref> LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. *#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00010</ref>qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. *# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation. *polymérisation 2: *: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible. *: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques. *: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier. *: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome. *: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation. *: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace. *: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces. ==pense bête 7== *Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2. *Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane. *Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L, elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D. *Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite. ==pense bête 8== *Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD .... *: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217 *: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln. *: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. *: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP). *: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP] *: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA. *: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est *:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+ + 2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===> dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées. *:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF. * En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, *: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas *: - Asp donne Asn et Ala *: - Glu donne Gln *: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique. *Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse *Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras. ==pense bête 9== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8. *: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P *:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) <> Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)<span style="background-color: #ffff00;"> > </span>Fructose 6P + P, '''*'''531.27 <> arabino 6P, '''*'''412.43 <> Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) <> Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) <> R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) <> R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) <> PRPP. *:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) <> dR-5P, '''*'''5427 (mutase) <> dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) <> dR + ATP. *:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. *: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His *:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) > carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) > Asp-CB, '''*'''3523 > orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') > orotate, '''*'''241.10 (PRPP) > orotidine-P, '''*'''411.23 > UMP. *:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) > CTP *:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) > dRU, '''*'''271.21 (dGTP) > dUMP *:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 < > base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C *:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP > dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier) *:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) > R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) > RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) > RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) > RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) > Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) > AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) > AIR-C-CO2H (CAIR), '''*'''6326 (ATP Asp) > CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 > carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) > FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) > IMP +H2O. *:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) > IMP-sucino, '''*'''4322 > AMP + fumarate. *:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) > XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) > GMP *:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) > dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) > dAMP et dGMP *:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) > PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) > 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) > R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) > Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) > Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) > oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) > P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') > Histidinal puis His. *: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs. *:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') > H2O2 (ou succinate) + iminoAsp > en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') > quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) > Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) > NAD+, '''*'''271.23 (ATP) > NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP). *:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) > pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) > 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) > 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) > butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) > lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) > Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP > dATP > CTP > UTP) > FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) > FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) > FADH2 et (FMN NAD) > FMNH2. *:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) > Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) > idem. *:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) > formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 > neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 > dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) > PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) > dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) > dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') > tetrahydrofolate. *::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) > Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) > prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) > chorismate, '''*'''261.85 (NH3) > amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) > 4-amino-benzoate et pyruvate. *:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr''' pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) > aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') > CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 > CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) > dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') > pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) > pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) > ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) > P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 > P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) > PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) > CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP). *: - Synthèse des aas *:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, *::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) > indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') > Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) > Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) > anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') > '''PRPP''' Anthranilate *::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) > Gly '''OH-Pyruvate''' *::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') > Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') > '''OH-Thr''' (voir synthèse B6) *::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) > Cys, idem (Ser '''HomoCys''') > '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) > Cys NH3 '''Oxo-butanoate''' *::: - Asp > Asn et '''*'''411.12 (Asp) > Ala et CO2 *::: - Glu > Gln *::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') > Urocanate NH3 "MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine", '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) > Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) > Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) > formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') > Histamine et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') > NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) > Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) > Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) > Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) > formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) > Formate et Asp. *::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui >nt 7 aas dérivés. Pour His >rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr. ==pense bête 10== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres. *: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr. *: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé. *: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met. *: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA): les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas. ==pense bête 11== *Tanger le 7/12/25 * Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG). * C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs. * L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment. *Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate</ref>. Le C de CO2 est lié à N de NH2. *Les aminonitriles: *: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. *: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp. *: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42. *:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde. *:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes. * L'histidine * Les aromatiques * Lysine ornitine et proline ==pense bête 12== *Paris le 27/02/26 *Les lectures *: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015 *: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005 *: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024, *Plan *: - postulat: ça s'est fait tout seul *: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique *: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique *: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports) *Les aas abiotiques: *: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C *:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025 *:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24) *:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation *:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation. *:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde) *:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement) *: - autres *:# Ser, aubrey faible *:# Thr, plus acétate *:# Asn, NH3 *:# Gln, NH3 *: - Formose *:# His, erythrose formamidine HCN *: - FTT *:# Trp, indole plus Ser ou Fritz *:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN *:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN *:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin *:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin *:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser *:# Met, homocystéine plus CH3 *: - Réactions quasi biotiques *:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline *:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3 ===notes des lectures=== *Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure). *Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h *Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. *: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:"Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides." *: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: "L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019)." J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr ==pense bête 13== *Paris 29/6/26 *Article de départ *: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1). ===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs=== *hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3. ====Pyruvate bis==== *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) *:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne <> P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction) *: - *oxaloacetate + Pi donne '''|>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *: - *oxaloacetate + PP donne <> P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique <--- *:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne <> Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? <--- c'est mon hypothèse pour EC2791 *: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne <> P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2 EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' <--- *Pathway: glycolyse suite *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 (R00658) hydro-lyase <--- *: - *Glycérate-2P donne <> Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase *: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''') EC121.12 (R01061) oxydoréductase <--- *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase <--- *Pathway: Aspartate *: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''') EC1411 (R00396) oxydoréductase *:: + Contradiction '''subs/prod''' ====Glycolate bis==== *Pathway: glyoxylate *: - *Glycolate + Acceptor '''donne |>''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase *:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS? *:: + '''Formate'''? *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |>''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase *: - *Asp + NAD (formate) '''donne <|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410 *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase *:: + Contains pyridoxal phospate. *:: + ''confirmer que Cys est produite avant'' *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant'' *: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |>''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (<u>en labo sans enzyme mais très faible</u>) *:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 <ref>https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84</ref> nitrile hydratase.'' *: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |>''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase ====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate propionate phosphite==== *Compound, phosphite. Voir article sur Phosphite dans les sources hydrothermales <ref>https://www.biorxiv.org/content/10.64898/2025.12.19.695421v2.full</ref>. *: -Phosphite +NAD+ +H2O donne phosphate +NADH +H+ EC1.20.1.1 R05746 oxydoreductase. 146 bactéries, rien d'autre. Enx, enterobacter, 341 aas. Entrée créée en 2001 MAJ 2025. *: -Phosphite +AMP +NAD+ donne ADP +NADH +H+ EC1.20.1.2 R13633 oxydoreductase. Une seule référence <ref>https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.2309743120</ref>. Entrée créée en 2025. *Pathway: pyruvate métabolisme *: -*'''Ethanol''' + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein) bi ecocyc de ethanol ΔG=3.10kcal/mol. eco 891 aas. 8769 êtres dont 200 archées *: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate). 6796 êtres dont 132 archées *: -*'''Acetate''' +ATP donne <> Acetyl-P +ADP EC2721 R00315 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=-6.97 kcal/mol, 400 aas. 7664 êtres dont 28 archées *: -*'''Acetate''' +PP donne <> Acetyl-P +Pi EC272.12 R00320 kinase. Métacyc sens indéfini. Entamoeba histolytica seule référence de 1975 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/0006291X75905136?via%3Dihub</ref> *: -*'''Propionate''' +ATP donne <> Propionyl-P +ADP EC2721 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 7665 êtres dont 29 archées *: -*'''Propionate''' +ATP donne <> Propionyl-P +ADP EC272.15 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 375 bactéries pas d'archées *:: + comment: Involved in the anaerobic degradation of L-threonine in bacteria. Voir dans propanoate pathway EC123- de 2-oxobutanoate vers propanoyle-P, flèche sans enzyme. Le 2-oxobutanoate vient de la Thr. *: - *<u>Acetate + ''ATP +CoA donne <> Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''</u> archées *: - *<u>''Propanoyl-CoA +Formate donne <> 2-Oxobutanoate +CoA EC231.54 R06987 Formate lyase''</u> *: - *<u>''Acetyl-CoA +Formate donne <> Pyruvate +CoA EC231.54 R00212 Formate lyase''</u> *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10701</ref>, attention activation de l'enzyme par flavodoxin/ferredoxin-NADP+ reductase. *: - *'''Methanol''' + NAD donne <> formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein) *: -*formaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase *: - *'''Lactate''' + NAD donne <> '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase. 4141 êtres dont 16 archées *Pathway: glyoxylate métabolisme *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glyoxylate +NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase Metacyc bi. 2272 êtres dont 124 archées (mieux que ec111.29, voir Ser). *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glycolaldehyde +NAD +H2O EC121.21 R01333 aldehyde dehydrogenase ecocyc di de aldehyde ΔG=-17.03kcal/mol *: - *OH-pyruvate '''donne |>''' Glycolaldehyde +CO2 EC411.40 R01393 carboxylase Metacyc bi *Pathway: methane métabolisme *: - *'''Methanol''' + NAD '''donne |>''' formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase Metacyc di *Pathway: cysteine methionine *: - *'''Methanol''' + H2S donne <??> '''Methane thiol''' <u>ou bien le methane thiol est basique comme le methanol</u> *: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase *:: + *Asp + ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase *:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne <|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase *:: + *Asp-semialdehyde + NAD donne <> L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase *:: + *'''acety-CoA''' + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (B6 protein) ====Pyruvate==== =====Glycolyse===== *Pathway: Pyruvate *: - *Pyruvate +HCO3- +ATP '''donne |>''' Oxaloacetate +ADP +Pi EC6411 R00344 ligase metacyc de ATP (A biotinyl-protein) *: - *Malate +NADP donne <> Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc de Malate (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol *:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate. *: - *Malate +NAD+ donne <> Pyruvate +NADH +CO2 +H+ EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc et metacyc direct de Malate ΔG=-0.32Kcal/mol *:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate +H+ (non réversible) <ref>https://biocyc.org/reaction?orgid=ECOLI&id=1.1.1.39-RXN</ref>. *:: + thermodynamiquement Ec111.38 est réversible à cause de son ΔG=-0.32Kcal/mol. Mais dans la cellule elle a pour objet de produire du CO2 lors de l'accumulation de NAD+. Décompte génomes a b e: 458 9991 1295 *: - *Malate +NAD donne <> Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=4.46Kcal/mol *: - *oxaloacetate + Pi '''donne |>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 900 aas. *: - *oxaloacetate '''+PP''' donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bi son ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + abe: 0 250 10; grosse enzyme 1100 aas. Energie de liaison de PP 47.8 Kcal/mol et 1ère et 2ème PP dans ATP, sont égales à 7.3Kcal/mol; P-enolpyruvate 14.8kcal/mol *:: + Also catalyses the reaction: P-enolpyruvate + Pi = pyruvate + PP. <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/12/26/5247/105472/Carboxytransphosphorylase-VII-Phosphoenolpyruvate?redirectedFrom=fulltext</ref> *:: + ''Pyruvate +PP donne <> P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique? c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse) *: - *oxaloacetate +ATP donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +ADP EC411.49 R00341 kinase ecocyc de ATP (shem bi) ΔG=-7.02Kcal/mol *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 520 aas. *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP '''donne <|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 R00200 kinase biocyc de ADP ΔG=-2.23Kcal/mol *: - *Pyruvate +ATP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 R00206 dikinase (multi-step reaction) metacyc de ATP ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP +H2O donne <> P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 R00199 dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 R00658 hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> '''Glycérate-3P''' EC542.11 R01518 mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol *: - *Glycérate-3P + ATP donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 R01061 dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=8.23''' Kcal/mol (gauche-droite) *: - *Fructose-6P '''+PP''' donne <> Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini) *:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule. *:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; enzyme 300-600 aas. *: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |>''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) phosphorylase de f1.6 à f6 ΔG=6.89Kcal/mol) *: - *Fructose-6P +ATP '''donne |>''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol) =====Formation des aas à partir du pyruvate===== *Pathway: Ala Asp Glu *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) Metacyc bi. 5728 êtres dont 243 archées *Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate *: - voie P-Ser *: - *Glycérate-3P +NAD +H2O donne <> P-OH-Pyruvate +NAD EC111.95 R01513 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.03 kcal/mol. 10084 êtres dont 434 archées *: - *O-P-Ser +2-oxoGlu donne <> P-OH-Pyruvate +Glu EC261.52 R04173 transaminase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=0.08 kcal/mol. 8871 êtres dont 71 archées *: - *O-P-Ser +H2O '''donne |>''' L-Ser +Pi EC3133 R00582 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=9.27 kcal/mol. 8278 êtres dont 366 archées *: - voie Glycerate *: - *'''Glycérate-3P''' + H2O '''donne |>''' Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase. 1 seule référence de 1971 "sugarcane leaves" *:: + *Glycéraldéhyde +NAD +H2O donne <> Glycérate +NAD EC1213 R01752 oxydoréductase. 6796 êtres dont 132 archées pas de metacyc *:: + *Glycéraldéhyde +DHAP donne <> Fructose-1P EC412.13 R02568 lyase. Metacyc direct de Fructose. 11542 êtres dont 459 archées *::: * Pour obtenir Fructose-1P à partir de Fructose-6P, il faut 4 enzymes EC111.17, 313.22, 111.11, 2713 (une kinase) <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00051</ref> *::: * Le Glycéraldéhyde libre est bloqué comme le Glycerol <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00561</ref>. Il est rapidement transformé en Glycéraldéhyde-3P EC271.28 *:: + *Mannitol-1P +NAD donne <> Fructose-6P +NAD EC111.17 R00758 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.60 kcal/mol. 1867 êtres dont 2 archées *:: + *Mannitol +Pi donne <> Mannitol-1P +H2O EC313.22 R02167 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=7.22 kcal/mol. 2063 êtres dont 1 archées *:: + *Mannitol +NAD donne <> Fructose +NAD EC111.11 R00868 oxydoréductase. Metacyc bi. 443 êtres dont 0 archées (Ec111.67 1312,Ec111.67 83) *:: + *Fructose +ATP '''donne |>''' Fructose-1P +ADP EC2713 R00866 kinase. Metacyc direct de Fructose. 907 êtres dont 52 archées *: - *Glycerate + NAD donne <> Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase. 2077 êtres, eucaryotes, bactéries, 9 archées MM et 1 METB. Metacyc bi. *: - *'''Ser''' + Pyruvate donne <> Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein). 2913 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + Glyoxylate donne <> '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein). 2880 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + H2S '''donne |>''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein) 3754 êtres, eucaryotes, bactéries, 36 archées. pas de RHEA *: - *Ser +Acetyl-CoA donne <> O-Acetyl-Ser +CoA EC231.30 (R00586) transferase (sans B6) 8266 êtres, eucaryotes, bactéries, 170 archées. *:: + voie de E.Coli suivie de EC251.47 donne Cys avec B6. 8282 êtres *: - *'''Thr''' donne <> Gly + Acetaldehyde EC412.48 (R00751) transaminase (B6 protein) 6788 êtres, eucaryotes, bactéries, 100 archées. Ecocyc bi, ΔG=1.0 kcal/mol *: - *Thr '''donne |>''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein) *Pathway: Val Leu Ile biosynthese *: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat) *: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |>''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction) *: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne <> 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase *: - *Aceto-Lactate + NAD donne <> 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase *: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase *: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase *: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |>''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase *: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |>''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase *: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne <|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating *: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne <|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating *: - * *: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |>''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase *: - *2-isopropylmalate donne <> 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase *: - *2-isopropylmaleate + H2O donne <> 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase *: - *3-isopropylmalate + NAD donne <> 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase *: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée *: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne <|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating *Synthèse *: - 2 groupes *:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6, *::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate *::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate *::: * Cys: consomme H2S, basique *::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate *:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6 *::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD *::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA =====Formation de Asp et Asn ===== *Pathway: Glyoxylate *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |>''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp''' *: - *Asp + NAD '''donne <|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6) *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi *Pathway: Ala Asp Glu *: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |>''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase (sans B6) *: - *Asp +2-oxoglutarate donne <> Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase (avec B6) *: - *Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino lyase ecocyc bi ΔG=+3.19 Kcal/mol de Asp (sans B6) *: - *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *:: + Malate vient directement de Pyruvate *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein) *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6) *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique? *: - Voie Glyoxylate: *:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu. *:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate. *: - voie Ala Asp Glu *:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp. *: - voie cyanoamino acide: *:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude? *: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref>. *:: + =====Formation de Lys===== *Pathway: Lysine *: - *Asp + ATP '''donne |>''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''4-Asp-P''' *: - *4-Asp-P +NAD '''donne <|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-4-semialdehyde''' *: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |>''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase '''4Hydro-dipicolinate''' *: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne <|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase (spontanée: +H2O donne <> '''L-2-Amino-6-oxopimelate''') *: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne <> L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &emsp;&emsp; '''diaminopimelate''' *: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |>''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &emsp;&emsp; '''L-Lys''' (B6 protein) *: - *Lys +acetyl-P '''donne |>''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &emsp;&emsp; '''N6-acetyl-Lys''' *: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne <> N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein) *: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne <> 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &emsp; '''5-Acetamido-pentanoate''' *: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne <> 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &emsp; '''5-Aminopentanoate''' *: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne <> Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein) *: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne <> Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras) *Synthèse *: - étapes: 6 à partir de Asp *: - produit: NH3, CO2 *: - consomme: Asp, Pyruvate *: - utilise: ATP, 3 NAD *: - B6: avec B6 =====Formation des Riboses et dRiboses===== *Pathway: Pentoses phosphates *: - *D-Arabinulose-P donne <> '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase 185 aas metacyc direct de Arabi. 1303 êtres dont 291 archées *: - *D-Arabinulose-P donne <> D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase 211 aas metacyc bi. 1214 êtres dont 295 archées *: - *D-Ribose-5P donne <> D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase 219 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-6.13 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P donne <> D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-1.93 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P +ADP '''donne |>''' D-Ribose-1,5P2 +AMP EC271.212 (R11535) P-transferase 294 aas metacyc de ADP *: - *D-Ribose-1,5P2 + ATP '''donne |>''' PRPP +ADP EC274.23 (R06836) P-transferase 185 aas metacyc de ATP ecocyc bi ΔG=-2.03 kcal/mol *: - *D-Ribose-5P + ATP donne <> PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase 315 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-25.84 kcal/mol *: - * *: - *D-dRibose-5P donne <> '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase 259 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=5.12 kcal/mol *: - *D-dRibose-1P donne <> D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=?? comme Ribose? *Synthèse *: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose *: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P *: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde. *: - utilise: AMP; et rien *: - Note: PRPP peut être obtenu par 2 P-transférases qui peuvent utiliser PEP =====Formation de l'ATP===== *Pathway: purines *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +ADP +Pi EC6347 R01053 amido transférase oiseaux (article unique 1968 <ref>https://www.jbc.org/article/S0021-9258(18)91922-8/pdf</ref>) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. homo4mères *: - *PRA +Gly +ATP '''donne |>''' 5P-Ribosylglycinamide +ADP +Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-6.27 '''GAR''' *:: + ecocyc: séquentiel et ordonné. Tunnel. Monomère <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10792</ref> *: - *GAR +ATP +Formate '''donne |>''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-8.97 '''FGAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG11809</ref>, monomere *:: + EC2122 THF sans ATP R04325 ecocyc et Meta bi ΔG=16.47 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10799</ref>, monomere *: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |>''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20 '''FGAM''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10797</ref> 3 sites Gln d'abord, puis ATP puis FGAR. Monomère. Fusion de 3 enzymes. *: - *FGAM +ATP '''donne |>''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ecocyc et metacyc direct de ATP ΔG=9.97 '''AIR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10798</ref>. Pas de couplage, ATP attaque FGAM puis cyclase. Dimère. *: - *[AIR +HCO3- +ATP '''donne |>''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC634.18 R07404 ecocyc et Meta de ATP ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10796</ref>. dimère. Nonenzymatic carboxylation of AIR occurs. *: - *[AIRC donne <> 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=6.32 Metacyc et ecocyc de carboxyamno '''CAIR'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10793</ref>. octamère. Réversible si EC6336 est absente *: - *5-amino-1-(5-phospho-D-ribosyl)imidazole-4-carboxylate donne <> AIR +CO2 EC411.21 R04209 carboxylase Metacyc bi '''CAIR''' *: - *CAIR +Asp +ATP donne <> (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase ΔG=-7.66 '''SAICAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10791</ref>. Trimère. les sites ne sont pas élucidés. *: - *SAICAR donne <> 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase ΔG=9.84 ecocyc direct Metacyc bi '''AICAR''' *: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |>''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase '''Metacyc bi FAICAR''' *:: + EC2123 THF sans ATP R04560 ecocyc et Meta bi ΔG=18.96 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10795</ref>, monomere *: - *IMP +H2O donne <> FAICAR EC354.10 R01127 cyclase ΔG=26.85 ecocyc et Metacyc bi '''IMP''' *: - *IMP +GTP +Asp '''donne |>''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-103.56 '''car-AMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10790</ref>. dimère. Les binding sites sont élucidés. *: - *car-AMP '''donne |>''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase ΔG=55.05 ecocyc direct metacyc bi '''AMP''' *: - *IMP +NAD +H2O '''donne |>''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase ecocyc et Metacyc bi ΔG=2.43 '''XMP''' *: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |>''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-5.44 '''GMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10420</ref>. dimère. Sans Gln il n'y a que 2 binding sites, ATP et XMP. Le contrôle est strict avec Gln mais pas avec NH3. *: - *GMP,AMP +ATP donne <> GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &emsp;&emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP''' *: - *GMP,AMP +ADP donne <> Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &emsp;&emsp;'''Guanosine, Adenosine''' *: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne <> G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &emsp;&emsp;'''G, A''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne <> G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &emsp;&emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |>''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &emsp;&emsp;'''dGMP,dAMP''' *: - *dGMP,dAMP +ATP donne <> dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &emsp;&emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP''' *Synthèse *: - étapes: 12 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP *: - produit: 2 Fumarate CO2 *: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 Gly *: - utilise: 7 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une carboxylase et une cyclase n'utilisent pas ADP. *: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP. =====La synthèse de novo de l'ATP et le couplage de 2 réactions===== *Problématique: *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase *: - Dans la réaction R01053 l'enzyme EC6347 en fait 2 réactions en parallèle: *:: + L'hydrolyse ATP +H2O '''donne |>''' ADP +Pi, fournit à l'enzyme l'énergie nécessaire pour lier NH3 au Ribose *:: + Ribose-5P +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +H2O *: - La réaction R01053 est directionnelle. C'est le cas des autres réactions faisant intervenir 3 substrats. *: - Avant l'apparition des polypeptides la probabilité de la rencontre des 3 substrats est très faible et c'est le rôle principale de l'enzyme que de les réunir. Dans mon hypothèse, l'environnement avec ses aas libres favorisant tant soit peu la réaction, il est difficile d'imaginer que l'énergie libérée par l’hydrolyse de l'ATP soit récupérée à distance par la ligase. Elle est tout simplement diffusée dans son environnement. Il y a ainsi 7 couplages avec 3 molécules pour le substrat dont 6 avec ATP et une avec GTP. *: - L'enzyme EC6347 peut être remplacée par EC242.14 qui est bidirectionnelle et peut être vue comme le résultat (pas la somme) de 2 transaminases indépendantes. Une à 2 substrats utilisant NH3 et produisant 5P-Ribosylamine +PP qui sont utilisés avec Glu par la 2ème à 3 substrats produisant Gln. Gln peut être produit donc avant l'apparition de l'ATP. *:: + PRPP +NH3 donne <> 5P-ribosylamine +PP *:: + 5P-Ribosylamine +PP +Glu donne <> Gln +PRPP *: - L'enzyme EC6331 n'a que 2 molécules comme substrat comme les kinases et peut être envisagée avant l'apparition de l'ATP en remplaçant celle-ci par PEP. *Comment résoudre le couplage prébiotique nécessaire à la synthèse de novo de l'ATP nécessitant 7 couplages successifs. *: - Dans les réactions que j'ai réunies pour le proto-métabolisme il n'y a que 5 autres couplages non sucessifs: 2 pour CoA 1 pour acetyl-CoA et 2 pour THF. *: - Il faut des concentrations élevées de PEP NH3 Formate Asp Gly Pi *: - Est-ce que les 9 autres aas existants peuvent aider ces couplages: Cys Ser Thr Ala Lys Glu Gln Pro Arg. Et les ceto-acides: Lactate malate oxaloacetate fumarate oxo-glutarate pyruvate; et les acides glycolate acétate propionate =====Formation de l'Uracile===== *Pathway: arginine *: - *ATP +HCO3- +NH3 donne <> Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &emsp;&emsp;'''Carbamoyl-P''' *Pathway: pyrimidines *: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |>''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &emsp;&emsp;'''N-Carbamoyl-Asp''' *: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne <> N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &emsp;&emsp;'''(S)Dihydroorotate''' *: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne <> Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &emsp;&emsp;'''Orotate''' *::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. *:: + *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *::: * Malate vient directement de Pyruvate.Voir Krebs et pyruvate *:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase *: - *Orotidine-5'P +PP donne <> Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &emsp;&emsp;'''Orotidine-5'P''' *: - *Orotidine-5'P '''donne |>''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &emsp;&emsp;'''UMP''' *: - *UMP +Pi '''donne |>''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &emsp;&emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''') *: - *UMP +ATP donne <> UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &emsp;&emsp;'''UDP''' (idem CDP) *: - *UDP +ATP donne <> UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &emsp;&emsp;'''UTP''' (idem CTP) *: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |>''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &emsp;&emsp;'''CTP''' *: - * *: - *Uracil +dRibose-1P donne <> dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &emsp;&emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''') *:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase. *: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP *: - * *: - *dR-base1 +base2 donne <> dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dR-Base1 Base2''' *: - *dUridine +C donne <> dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dCytidine''' *: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP *: - * *: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |>''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &emsp;&emsp;'''dTMP''' et '''DHF''' *: - *dTMP +H2O '''donne |>''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &emsp;&emsp;'''Thymidine''' *: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine *Synthèse *: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP *: - produit: succinate, PP, CO2 *: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP *: - utilise: ADP '''FMN''' *: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine *: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase *: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase. =====Formation de His===== *Pathway: histidine *: - *ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |>''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &emsp;&emsp;'''PRPP-AMP''' *: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |>''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &emsp;&emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |>''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &emsp;&emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |>''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR *: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |>''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne <> Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &emsp;&emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein) *: - *Histidinol-P '''donne |>''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &emsp;&emsp;'''Histidinol''' *: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |>''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidinal''' *: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |>''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidine''' *Synthèse *: - Étapes: 10 à partir de ATP *: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines) *: - consomme: ATP, PRPP, NH3 *: - Utilise: 2 NAD *: - B6: avec B6 =====Récapitulation aas===== *Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |> <u>'''Ala''' sans B6</u> *Pyruvate (Glycolyse); Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne <> Pyruvate + '''Ser''' avec B6 *Glycolate; Glycolate + NAD donne <> Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne <> HxP + '''Gly''' avec B6 *H2S; Ser + H2S donne |> H2O + '''Cys''' avec B6 *Ethanol; Ethanol + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne <> '''Thr''' avec B6 *Pyruvate; 2 Pyruvate donne |> Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-Lactate NAD <> v1, v1+NAD donne <> v2; v2 donne |> v3 + H2O; v3 +NH3 donne |> H2O + <u>'''Val''' sans B6</u> *Thr donne |> Oxobutanoate + NH3 avec B6 *Pyruvate + Oxobutanoate donne |> Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD <> l1, NAD <> l2; l2 donne |> l3 + H2O; l3 +NH3 donne |> H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr *Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |> A1 (avec B6), A1 donne |> A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |> NAD + <u>'''Asp''' (sans B6)</u> * voie Pyruvate *: - Pyruvate +ATP+H2O donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi *: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne <> oxaloacetate + ATP *: - Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)''' *Asp +ATP +NH3 donne |> AMP + PP + <u>'''Asn''' (sans B6)</u> *Asp + ATP donne |> 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6 * Après formation de l'ATP *: - ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6 =====B6 Pyridoxal-P===== *D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser *Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref> *: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu *Biosynthèse de B6 *: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu. *: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant: *:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a <u>molecular tunnel that is almost 100 A in length</u> [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6] *:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a <u>substrate-protective tunnel</u> to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''. *:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and <u>channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel</u>. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants. *: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul. *Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P *: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |>''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi <u>EC4336</u> R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine''' *: -* *: -*Pyridoxal +ATP '''donne |>''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine +ATP '''donne |>''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P''' *: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |>''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne <> Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne <> Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne <> Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal''' *: -* *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +NADP donne <> Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -* *: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6. *: -*L-Ala donne <> D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6 *: -*Pyruvate + D-Glu donne <> D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6 *Synthèse *: - Étapes: une seule *: - produit: directement le pyridoxal seul! *: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate. *: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.) =====NAD nicotinamide adenine dinucléotide===== *Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]] *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) *Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp *: -*Asp + NAD '''donne |>''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp''' *: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne <|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate''' *:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity. *Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes) *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *: - * *: -*Quinolinate + PRPP '''donne <|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide''' *: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne <> Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD''' *:: + '''ATP en substrat''' *: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |>''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+''' *:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln. *: -*NAD + ATP '''donne |>''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+''' *Synthèse *: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN) *: - produit: 2 PP *: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP *: - Utilise: 2 ATP, FAD *: - B6: néant *: - comparaison des 2 voies: *:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S]. *:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution. =====FMN FAD riboflavines===== *Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques. *Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP '''donne <|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil''' *: -*P-ribitylamino-uracil + H2O '''donne |>''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil''' *: -*Ribulose-5P '''donne |>''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P''' *: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |>''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine''' *: -*2 ribitylLumazine '''donne |>''' Riboflavin + ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin''' *:: + A flavoprotein (riboflavin). *: -*Riboflavin + ATP '''donne |>''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN''' *: -*FMN + ATP '''donne |>''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD''' *Synthèse *: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD *: - produit: 2 Formates, NH3 *: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP *: - Utilise: ATP, NADP =====Phe Tyr Trp===== *Les aas aromatiques. Chorismate nécessite FMN. *Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose *: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |>''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase Metacyc de P2 à 1 P '''céto-Fructose-1P''' *:: +*D-Lactate +NAD donne <> Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase ecocyc (schem bi) RL ΔG=+3.33 '''D-Lactate''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne <> D-Lactate +NAD EC121.23 R01735 oxydoreductase pas de REHA '''D-Lactaldehyde''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne <> Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase Metacyc bi '''Methylglyoxal''' *: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |>''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase Metacyc de Asp '''heptulosonate''' *:: +*Asp +ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''Asp-P''' *:: +*Asp-P +NADP '''donne <|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-semialdehyde''' *: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |>''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate''' *: -*Dehydroquinate donne <> Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate''' *: -*Shikimate +NAD donne <> Dehydroshikimate +NAD EC111.24 R06847 oxydoreductase ecocyc LR de shikimate ΔG=-12.20 '''Shikimate''' *: -*Shikimate +ATP '''donne |>''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase ecocyc LR de ATP ΔG=-16.06 '''Shikimate-3P''' *: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate <> Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P''' *: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |>''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate''' *::: .. Requires '''FMN''' *: -*Chorismate donne <> Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate''' *: -*Prephenate donne <> Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate''' *: -*Phe +NAD +H2O donne <> Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6) *: -*Prephenate +NAD donne <> OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate''' *: -*Tyr +NAD +H2O donne <> OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6) *: -*Chorismate +NH3 '''donne |>''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate''' *::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit. *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne <> Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P''' *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne <> Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P''' *: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne <> Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P''' *: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne <> Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' <u>(avec B6)</u> *: - * *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *Synthèse *: - Etapes *:: + Voie commune 11 étapes *:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun *:: + Trp 5 étapes *:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée *: - Produit *:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3 *:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun *:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P *:: + Quinolinate: H2O (rien) *: - Consomme *:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate *:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun *:: + Trp: NH3, PRPP, Ser *:: + Quinolinate, '''2 fois O2''' *: - Utilise *:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP *:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr *:: + Trp: rien *:: + Quinolinate: '''FAD''' *: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6. =====TPP Thiamine pyrophosphate===== *Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas. *Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5. *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire. *:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea. *: -*NAD + Gly +H2S '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |>''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante *: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |>''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P''' *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His). *:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. *: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |>''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P''' *: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne <|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP''' *Biosynthèse de la Thiamine *: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |>''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P''' *: -*Thiamine-P +ATP '''donne |>''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP''' *: -*Thiamine-P +H2O '''donne |>''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine''' *: -*Thiamine +H2O '''donne |>''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole''' *: -*Thiazole +ATP '''donne |>''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P''' *: -*Pyrimidine +ATP '''donne |>''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys) *:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea. *: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP *:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide. *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons. *:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis. *Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP *: - produit: *:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; *:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme) *:: + CO2 PP *: - consomme: *:: + NAD Gly H2S *:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6 *:: + énergie *: - Utilise: *:: + rien *:: + ATP *:: + ATP =====CoA Coenzyme A===== *La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine. *: -*Acetolactate + NADP '''donne <|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*Dimethyl-malate +NAD donne <> methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate''' *: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne <> Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate''' *: -*Pantoate + NAD donne <> Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate''' *: -*Asp '''donne |>''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala''' *:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group. *: -*beta-Ala + Pantoate +ATP '''donne |>''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate''' *: -*beta-Ala + Pantoate '''donne |>''' Pantothenate +H2O EC351.22 R02474 hydrolase '''Pantothenate''' *:: + Article 1966 <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/5/2/399/99824/The-Bacterial-Degradation-of-Pantothenic-Acid-II?redirectedFrom=fulltext</ref>, pseudomonas P-2. *: -*Pantothenate +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate''' *: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives. *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantoate + Cys +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +AMP +PP EC632.51 R04230 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |>''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantetheine +ATP donne <> dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA''' *: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |>''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA''' *Synthèse *: - 13 étapes de Pyruvate à CoA *: - produit: 3 CO2; 3 PP *: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys *: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP *: - B6: pas de B6 =====Val Ile Leu===== *Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul. *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *: -*Acetolactate donne <> OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate donne <> methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' *: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |>''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6) *: -*Ile *: -*Thr '''donne |>''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6) *: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate''' *: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne <> OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate donne <> 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate''' *: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |>''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6) *: -*Leu *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val *: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |>''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate''' *:: +*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*2-Isopropyl-malate donne <> 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate''' *: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne <> 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate''' *: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne <> 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate''' *: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 <u>spontanée</u> R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate''' *: -*Leu +NAD +H2O '''donne <|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6) *Synthèse *: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu. *: - produit *:: + Val: CO2 *:: + Ile: CO2 NH3 *:: + Leu: CO2 *: - consomme *:: + Val: 2 Pyruvate NH3 *:: + Ile: Thr NH3 *:: + Leu: Acetate NH3 *: - Utilise *:: + Val: NADP NAD *:: + Ile: NADP NAD *:: + Leu: ATP CoA 2 NAD *: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6 =====Methionine Met===== *Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. *Pathway: cysteine methionine *: -*acetyl-CoA + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' *: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6) *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (avec B6) *: -*Met +ATP +H2O '''donne |>''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase *: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |>''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met''' voie des sulfures *: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |>''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6) *Synthèse *: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met. *: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici. *: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. *: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol *: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate. *: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP. *:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met. *:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6. =====Glutamate Glu Gln===== *Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs *: -*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne <> Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' *: -*Citrate donne <> Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' *: -*Cis-aconitate +H2O donne <> Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' *: -*Iso-citrate +NADP donne <> oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' *: -*oxalosuccinate donne <> 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' *: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne <> Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6) *: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |>''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase ΔG=-6.77 kcal/mol 469 aas direct de Glu '''Gln''' (sans B6) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 kcal/mol '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. Homo tetramer. 505 aas. *Synthèse *: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln *: - produit: CO2, CoA, Glu *: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3 *: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP *: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln *: - Gln sans ATP: EC242.14. Dans le commentaire NH3 peut remplacer Gln. A partir de là on obtient PRA et PP. PRA est très instable, aussi en présence de Glu et de PP se forme PRPP et Gln avec un ΔG=2.05 kacl/mol meilleur qu'avec l'ATP et favorable à la réversibilité. Donc PRPP + NH3 + Glu donne Gln, peut être en petite quantité, mais peut être entraînée par l'ensemble des autres aas. =====Arginine Arg Pro===== *Nécessite CoA et Glu *: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |>''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu''' *: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |>''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P''' *: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde''' *: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne <|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6) *: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne <> Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine''' *: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase ΔG=6.17 kcal/mol bi metacyc ecocyc, eco 297 aas. 2630 êtres dont 645 archées '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-5-semialdehyde donne <> Pyrroline-5-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *: -* *Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.) *: -*Glu +ATP '''donne |>''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' *: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' *: -*Ornithine +2-oxoglutarate donne <> Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6) *:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' (sans B6) *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-semialdehyde donne <> Pyroline-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *Synthèse sans CoA *: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée *: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P *: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2 *: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD *: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro. =====THF pour TMP===== *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |>''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P''' *: -*Dihydroneopterin-P '''donne |>''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin''' *:: +*Chorismate +Gln '''donne |>''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' *::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate *:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |>''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6) *: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |>''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate''' *: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |>''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10327</ref>. ATP-dependant reaction, est-ce que ATP a un site propre pour son hydrolyse? *: -*THF +NADP '''donne <|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF''' *: -* *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate. *: -* *: -*THF +ATP +Formate donne <> Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF''' eucaryotes *: -*Formyl-THF +P-Ribosylglycinamide donne <> THF +P-Ribosyl-N-formylglycinamide EC2122 R04325 formyl ligase '''Formyl-THF''' bactéries *:: + ecocyc: <ref>https://www.kegg.jp/entry/eco:b2500</ref>, voir formation ATP *: -*Methenyl-THF +H2O donne <> Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF''' *: -*Methylene-THF +NADP donne <> Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF''' *: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |>''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine) *Synthèse *: - 12 étapes de GTP à TMP *: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate *: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3 *: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP =====Acides gras===== *Commencent avec Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA '''donne |>''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne <> Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA donne <> Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA''' *: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne <|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA''' *: - * *: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |>''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA''' *:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl *: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne <> trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA''' *: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à 16 carbones *: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |>''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate''' *Dégradation *: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |>''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |>''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne <> trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA''' *: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA donne <> Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA''' ==essai 1== <pre> Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques. Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu. Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé. Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers. C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation. L'auto-organisation prébiotique *partir du postulat *pas de catalyse minérale des liaisons covalentes *liposome aux interactions faibles *grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis *Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies. *échanges avec l'extérieur *Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau. *A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. *homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme. *L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira. </pre> ==essai 2== *PLD de krishnamurty <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> *Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique *La question de CTP pour l'initialisation de la membrane ===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique=== *Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique: *: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation. *: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle. *: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité. ==essai 3== 12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion. *Deux points importants de la critique du passé de mes essais: *: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? *: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques? *Le nouveau concept *: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile. *: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. *: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile. ==essai 4== 21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a? * Les lectures: *: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).<ref>https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full</ref> *: - Les expériences en laboratoire *:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 <ref> https://theses.hal.science/tel-05407367</ref> *:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 <ref>https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/</ref> *:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 <ref>https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116</ref> * Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides. * Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction *: - en profondeur, avec des températures (>300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction *: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales. *: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (<100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec <u>R.Pascal</u>: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691</ref> *: - <u>Formation des pores d'échange dans la bicouche</u>: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse. *: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP <ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol</ref>. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66. ==essai 5== 15/06/26 Paris. *Les 5 principes *#L'auto-organisation *#La continuité *#La séquestration et la néguentropie *#La différence réaction abiotique/biotique *#L'autonomie *L'environnement prébiotique *: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques *:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire) *:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4 *:# Les minéraux dont les phosphates *:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate *:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3 *: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) *: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes. ===L'auto-organisation=== *Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales. ==essai 6== ===Le processus néguentropique=== *Paris le 5/8/26 ===Introduction à la problématique de la recherche sur les origines de la vie=== *Paris le 2/9/26 *Les ribosomes miroir <ref>https://fr.scienceaq.com/Chemistry/1001083878.html</ref> *RNA polymérase <ref>https://fondation-inserm.org/les-bacteries-miroirs-menace-ou-curiosite-scientifique</ref> ====Le contrôle dual==== *Paris 14.10.26 *Simulateur hydrothermales 2025: formiate acétate pyruvate méthanol NH4 glycolate lactate propionate éthanol, pas de P H2S *Krebs 2024: d'où vient oxaloacétate? CO2 pyruvate oxaloacétate glyoxylate H2+Formiate (équivalent NAD), pas de P H2S, NiFe 22°C pression atmosphérique. *PP 2026: PP est proposé pour remplacer ATP, l'article '''acP de 2016''' propose l'acétyl-P très fragile et peu fréquent. *Moi je propose PEP 2017. *Glycolyse 2014: plusieurs réactions (des isomérase) de l'interconversion des sucres se fait dans l'eau sans enzymes. La non adhésion aux investigations de Muller depuis 1953, recherche des réactions abiotiques qui produisent des molécules biotiques (formaldéhyde adénine...) ne ressemblent aucunement aux réactions biotiques. Glycolyse 2014 m'a conforté dans une idée que j'étais entrain d'appréhender en listant les voies métaboliques de KEGG en partant du simulateur 2025: ces voies ont existé depuis le départ (prébiotiques) dans le système abiotique hydrothermal. *Le contrôle dual: C'est en lisant l'introduction de acP 2016 du chapitre 5, la non adhésion de l'auteur aux investigations de Muller comme je l'ai fait auparavant, m'a encouragé à imaginer un processus qui pourrait se produire dans les sources hydrothermales qui contraindrait ces voies métaboliques égales à celles biotiques actuelles du point de vue du substrat et bien sûr thermodynamique. *: - L'analogie s'est imposée immédiatement: dans le biotique actuel les enzymes créent et contrôlent le métabolisme de base (sucres acides nucléotides minéraux etc.) et de même ce métabolisme contrôle ces enzymes. C'est ce que j’appelle le contrôle dual, qui se fait dans les 2 sens. Mon idée est apparue alors immédiatement, ce sont les voies que je listais auparavant qui se concrétisent. Le métabolisme de base c'est celui des sources hydrothermales, vues alors comme un écosystème biotique hydrothermale, et les enzymes ce sont les aas libres qu'il produit. C'est le contrôle dual prébiotique. *: - La caractéristique principale de ce métabolisme prébiotique qui se crée dans cet écosystème c'est qu'il se fait par étapes. *:: + 1ère étape: simulateur 2025 et krebs 2024 auxquels il faut ajouter PP 2026: aas Ala Gly Asp Glu (4); les céto-acides Pyruvate Glyoxylate oxaloacetate ceto-glutarate. Les analogues sont NAD (formiate +H2 +NiFe) et NH4. Les OH-acides sont Lactate Glycolate Malate OH-céto-Glutarate. Correspondant aux enzymes Ec1411 Ala(5808) Ec261.44 Gly(3043) Ec261.35 Asp(144) Ec1412 Glu(4450); Ec111.27 Lac(4198) Ec111.26 Glc(2328) Ec111.37 Mal(8815) Ec111.38 Pyr(5455)[Pyruvate Malate] Ec111.399 OH-Glu(10321) *:: + 2ème étape, création de Pro (5): c'est le résultat de Glu-P sous l'action de PP, suivie de l'action de l'analogue de NAD comme dans la 1ère étape. L'analogue de ATP est PP qui produit un analogue plus puissant PEP 2017. La 1ère étape a produit aussi les alpha céto-acides: cAla (Lactate) cAsp (Malate) cGly (glycolate) cGlu (alpha céto-glutarate). aiz8k2nok0x2m0fkj5zfy0pui7046ey 987464 987436 2026-10-16T10:29:50Z Mekkiwik 5298 /* Le contrôle dual */ 987464 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = biologie | parent = [[Recherche:Laboratoire d'études prébiotiques|Laboratoire d'études prébiotiques]] }} {{Hypothèse | titre = Chiralité prébiotique 2 | parent = [[Recherche:Département:Biologie|Département de recherche en Biologie]] | image = {{idfaculté/logo/biologie}} }} <div style="text-align:center;"><span style="font-size:180%;"> '''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:</br> l'auto-organisation prébiotique.'''</span></div> ==pense bête 1== *L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1. *Définir l'auto-organisation au stade prébiotique *Les erreurs par rapport à cette organisation sont *: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? *: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage. *Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome: *: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite. *: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques. *L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome *: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1. *: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K. *: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine. *: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones. *Auto-organisation des liposomes *: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive? *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome. *: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas. *: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture. *: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions? *: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale. *: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes *: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après. ==pense bête 2== *L'auto-organisation aas + acides gras *: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale *: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe. *: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras. *: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche. *Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras. *# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline *# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides *# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD *# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4--- *# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D? *# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH *# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G Alanine A Histidine H *# - Les stéroides chez les procaryotes ==pense bête 3== *Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre *: - soupe prébiotique *: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique *: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique *: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle. *: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs. *: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées. *: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication. *: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique. *: - étape transcription/ traduction *: - étape réplication/division ==pense bête 4== *Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. *Extraits d'internet: *: - "''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''" *: - La membrane externe des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe</ref>. *: - La membrane interne des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne</ref>. *: - MAM <ref>https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&_x_tr_tl=fr&_x_tr_hl=fr&_x_tr_pto=rq</ref> *: - La mitochondrie <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie</ref> *: - Génome mitochondrial <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial</ref>: aucun gène de synthèse d'un phospholipide *: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse</ref> *: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: "Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle." dans RL fonctions de reticulum endoplasmique <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique</ref>. *Étape de cristallisation 2: *Étape de polymérisation 2: ==pense bête 5== *Étape des eucaryotes 3: *: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel. *: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte. *Hydrogénosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome</ref> et mitosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome</ref>: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes. *Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster <ref>https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf</ref> (page 3). *La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau. ==pense bête 6== *auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome. *Les contraintes résultantes: 4 exemples, *#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, *#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, *#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. *#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte</ref>, paragraphe 3 *#: - "Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré." *#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases. *#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D</ref> de wikipédia, "Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D" il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L. *#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré "qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries". *#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début) *#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L. *# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. *#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00040</ref> LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. *#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00010</ref>qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. *# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation. *polymérisation 2: *: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible. *: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques. *: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier. *: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome. *: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation. *: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace. *: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces. ==pense bête 7== *Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2. *Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane. *Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L, elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D. *Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite. ==pense bête 8== *Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD .... *: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217 *: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln. *: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. *: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP). *: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP] *: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA. *: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est *:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+ + 2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===> dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées. *:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF. * En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, *: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas *: - Asp donne Asn et Ala *: - Glu donne Gln *: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique. *Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse *Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras. ==pense bête 9== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8. *: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P *:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) <> Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)<span style="background-color: #ffff00;"> > </span>Fructose 6P + P, '''*'''531.27 <> arabino 6P, '''*'''412.43 <> Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) <> Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) <> R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) <> R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) <> PRPP. *:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) <> dR-5P, '''*'''5427 (mutase) <> dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) <> dR + ATP. *:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. *: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His *:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) > carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) > Asp-CB, '''*'''3523 > orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') > orotate, '''*'''241.10 (PRPP) > orotidine-P, '''*'''411.23 > UMP. *:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) > CTP *:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) > dRU, '''*'''271.21 (dGTP) > dUMP *:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 < > base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C *:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP > dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier) *:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) > R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) > RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) > RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) > RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) > Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) > AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) > AIR-C-CO2H (CAIR), '''*'''6326 (ATP Asp) > CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 > carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) > FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) > IMP +H2O. *:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) > IMP-sucino, '''*'''4322 > AMP + fumarate. *:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) > XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) > GMP *:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) > dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) > dAMP et dGMP *:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) > PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) > 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) > R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) > Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) > Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) > oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) > P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') > Histidinal puis His. *: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs. *:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') > H2O2 (ou succinate) + iminoAsp > en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') > quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) > Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) > NAD+, '''*'''271.23 (ATP) > NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP). *:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) > pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) > 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) > 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) > butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) > lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) > Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP > dATP > CTP > UTP) > FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) > FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) > FADH2 et (FMN NAD) > FMNH2. *:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) > Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) > idem. *:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) > formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 > neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 > dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) > PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) > dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) > dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') > tetrahydrofolate. *::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) > Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) > prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) > chorismate, '''*'''261.85 (NH3) > amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) > 4-amino-benzoate et pyruvate. *:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr''' pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) > aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') > CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 > CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) > dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') > pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) > pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) > ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) > P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 > P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) > PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) > CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP). *: - Synthèse des aas *:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, *::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) > indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') > Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) > Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) > anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') > '''PRPP''' Anthranilate *::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) > Gly '''OH-Pyruvate''' *::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') > Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') > '''OH-Thr''' (voir synthèse B6) *::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) > Cys, idem (Ser '''HomoCys''') > '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) > Cys NH3 '''Oxo-butanoate''' *::: - Asp > Asn et '''*'''411.12 (Asp) > Ala et CO2 *::: - Glu > Gln *::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') > Urocanate NH3 "MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine", '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) > Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) > Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) > formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') > Histamine et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') > NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) > Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) > Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) > Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) > formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) > Formate et Asp. *::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui >nt 7 aas dérivés. Pour His >rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr. ==pense bête 10== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres. *: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr. *: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé. *: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met. *: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA): les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas. ==pense bête 11== *Tanger le 7/12/25 * Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG). * C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs. * L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment. *Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate</ref>. Le C de CO2 est lié à N de NH2. *Les aminonitriles: *: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. *: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp. *: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42. *:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde. *:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes. * L'histidine * Les aromatiques * Lysine ornitine et proline ==pense bête 12== *Paris le 27/02/26 *Les lectures *: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015 *: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005 *: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024, *Plan *: - postulat: ça s'est fait tout seul *: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique *: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique *: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports) *Les aas abiotiques: *: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C *:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025 *:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24) *:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation *:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation. *:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde) *:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement) *: - autres *:# Ser, aubrey faible *:# Thr, plus acétate *:# Asn, NH3 *:# Gln, NH3 *: - Formose *:# His, erythrose formamidine HCN *: - FTT *:# Trp, indole plus Ser ou Fritz *:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN *:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN *:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin *:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin *:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser *:# Met, homocystéine plus CH3 *: - Réactions quasi biotiques *:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline *:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3 ===notes des lectures=== *Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure). *Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h *Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. *: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:"Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides." *: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: "L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019)." J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr ==pense bête 13== *Paris 29/6/26 *Article de départ *: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1). ===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs=== *hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3. ====Pyruvate bis==== *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) *:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne <> P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction) *: - *oxaloacetate + Pi donne '''|>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *: - *oxaloacetate + PP donne <> P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique <--- *:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne <> Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? <--- c'est mon hypothèse pour EC2791 *: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne <> P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2 EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' <--- *Pathway: glycolyse suite *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 (R00658) hydro-lyase <--- *: - *Glycérate-2P donne <> Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase *: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''') EC121.12 (R01061) oxydoréductase <--- *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase <--- *Pathway: Aspartate *: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''') EC1411 (R00396) oxydoréductase *:: + Contradiction '''subs/prod''' ====Glycolate bis==== *Pathway: glyoxylate *: - *Glycolate + Acceptor '''donne |>''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase *:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS? *:: + '''Formate'''? *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |>''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase *: - *Asp + NAD (formate) '''donne <|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410 *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase *:: + Contains pyridoxal phospate. *:: + ''confirmer que Cys est produite avant'' *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant'' *: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |>''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (<u>en labo sans enzyme mais très faible</u>) *:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 <ref>https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84</ref> nitrile hydratase.'' *: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |>''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase ====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate propionate phosphite==== *Compound, phosphite. Voir article sur Phosphite dans les sources hydrothermales <ref>https://www.biorxiv.org/content/10.64898/2025.12.19.695421v2.full</ref>. *: -Phosphite +NAD+ +H2O donne phosphate +NADH +H+ EC1.20.1.1 R05746 oxydoreductase. 146 bactéries, rien d'autre. Enx, enterobacter, 341 aas. Entrée créée en 2001 MAJ 2025. *: -Phosphite +AMP +NAD+ donne ADP +NADH +H+ EC1.20.1.2 R13633 oxydoreductase. Une seule référence <ref>https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.2309743120</ref>. Entrée créée en 2025. *Pathway: pyruvate métabolisme *: -*'''Ethanol''' + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein) bi ecocyc de ethanol ΔG=3.10kcal/mol. eco 891 aas. 8769 êtres dont 200 archées *: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate). 6796 êtres dont 132 archées *: -*'''Acetate''' +ATP donne <> Acetyl-P +ADP EC2721 R00315 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=-6.97 kcal/mol, 400 aas. 7664 êtres dont 28 archées *: -*'''Acetate''' +PP donne <> Acetyl-P +Pi EC272.12 R00320 kinase. Métacyc sens indéfini. Entamoeba histolytica seule référence de 1975 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/0006291X75905136?via%3Dihub</ref> *: -*'''Propionate''' +ATP donne <> Propionyl-P +ADP EC2721 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 7665 êtres dont 29 archées *: -*'''Propionate''' +ATP donne <> Propionyl-P +ADP EC272.15 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 375 bactéries pas d'archées *:: + comment: Involved in the anaerobic degradation of L-threonine in bacteria. Voir dans propanoate pathway EC123- de 2-oxobutanoate vers propanoyle-P, flèche sans enzyme. Le 2-oxobutanoate vient de la Thr. *: - *<u>Acetate + ''ATP +CoA donne <> Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''</u> archées *: - *<u>''Propanoyl-CoA +Formate donne <> 2-Oxobutanoate +CoA EC231.54 R06987 Formate lyase''</u> *: - *<u>''Acetyl-CoA +Formate donne <> Pyruvate +CoA EC231.54 R00212 Formate lyase''</u> *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10701</ref>, attention activation de l'enzyme par flavodoxin/ferredoxin-NADP+ reductase. *: - *'''Methanol''' + NAD donne <> formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein) *: -*formaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase *: - *'''Lactate''' + NAD donne <> '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase. 4141 êtres dont 16 archées *Pathway: glyoxylate métabolisme *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glyoxylate +NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase Metacyc bi. 2272 êtres dont 124 archées (mieux que ec111.29, voir Ser). *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glycolaldehyde +NAD +H2O EC121.21 R01333 aldehyde dehydrogenase ecocyc di de aldehyde ΔG=-17.03kcal/mol *: - *OH-pyruvate '''donne |>''' Glycolaldehyde +CO2 EC411.40 R01393 carboxylase Metacyc bi *Pathway: methane métabolisme *: - *'''Methanol''' + NAD '''donne |>''' formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase Metacyc di *Pathway: cysteine methionine *: - *'''Methanol''' + H2S donne <??> '''Methane thiol''' <u>ou bien le methane thiol est basique comme le methanol</u> *: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase *:: + *Asp + ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase *:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne <|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase *:: + *Asp-semialdehyde + NAD donne <> L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase *:: + *'''acety-CoA''' + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (B6 protein) ====Pyruvate==== =====Glycolyse===== *Pathway: Pyruvate *: - *Pyruvate +HCO3- +ATP '''donne |>''' Oxaloacetate +ADP +Pi EC6411 R00344 ligase metacyc de ATP (A biotinyl-protein) *: - *Malate +NADP donne <> Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc de Malate (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol *:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate. *: - *Malate +NAD+ donne <> Pyruvate +NADH +CO2 +H+ EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc et metacyc direct de Malate ΔG=-0.32Kcal/mol *:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate +H+ (non réversible) <ref>https://biocyc.org/reaction?orgid=ECOLI&id=1.1.1.39-RXN</ref>. *:: + thermodynamiquement Ec111.38 est réversible à cause de son ΔG=-0.32Kcal/mol. Mais dans la cellule elle a pour objet de produire du CO2 lors de l'accumulation de NAD+. Décompte génomes a b e: 458 9991 1295 *: - *Malate +NAD donne <> Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=4.46Kcal/mol *: - *oxaloacetate + Pi '''donne |>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 900 aas. *: - *oxaloacetate '''+PP''' donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bi son ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + abe: 0 250 10; grosse enzyme 1100 aas. Energie de liaison de PP 47.8 Kcal/mol et 1ère et 2ème PP dans ATP, sont égales à 7.3Kcal/mol; P-enolpyruvate 14.8kcal/mol *:: + Also catalyses the reaction: P-enolpyruvate + Pi = pyruvate + PP. <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/12/26/5247/105472/Carboxytransphosphorylase-VII-Phosphoenolpyruvate?redirectedFrom=fulltext</ref> *:: + ''Pyruvate +PP donne <> P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique? c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse) *: - *oxaloacetate +ATP donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +ADP EC411.49 R00341 kinase ecocyc de ATP (shem bi) ΔG=-7.02Kcal/mol *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 520 aas. *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP '''donne <|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 R00200 kinase biocyc de ADP ΔG=-2.23Kcal/mol *: - *Pyruvate +ATP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 R00206 dikinase (multi-step reaction) metacyc de ATP ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP +H2O donne <> P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 R00199 dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 R00658 hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> '''Glycérate-3P''' EC542.11 R01518 mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol *: - *Glycérate-3P + ATP donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 R01061 dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=8.23''' Kcal/mol (gauche-droite) *: - *Fructose-6P '''+PP''' donne <> Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini) *:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule. *:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; enzyme 300-600 aas. *: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |>''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) phosphorylase de f1.6 à f6 ΔG=6.89Kcal/mol) *: - *Fructose-6P +ATP '''donne |>''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol) =====Formation des aas à partir du pyruvate===== *Pathway: Ala Asp Glu *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) Metacyc bi. 5728 êtres dont 243 archées *Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate *: - voie P-Ser *: - *Glycérate-3P +NAD +H2O donne <> P-OH-Pyruvate +NAD EC111.95 R01513 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.03 kcal/mol. 10084 êtres dont 434 archées *: - *O-P-Ser +2-oxoGlu donne <> P-OH-Pyruvate +Glu EC261.52 R04173 transaminase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=0.08 kcal/mol. 8871 êtres dont 71 archées *: - *O-P-Ser +H2O '''donne |>''' L-Ser +Pi EC3133 R00582 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=9.27 kcal/mol. 8278 êtres dont 366 archées *: - voie Glycerate *: - *'''Glycérate-3P''' + H2O '''donne |>''' Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase. 1 seule référence de 1971 "sugarcane leaves" *:: + *Glycéraldéhyde +NAD +H2O donne <> Glycérate +NAD EC1213 R01752 oxydoréductase. 6796 êtres dont 132 archées pas de metacyc *:: + *Glycéraldéhyde +DHAP donne <> Fructose-1P EC412.13 R02568 lyase. Metacyc direct de Fructose. 11542 êtres dont 459 archées *::: * Pour obtenir Fructose-1P à partir de Fructose-6P, il faut 4 enzymes EC111.17, 313.22, 111.11, 2713 (une kinase) <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00051</ref> *::: * Le Glycéraldéhyde libre est bloqué comme le Glycerol <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00561</ref>. Il est rapidement transformé en Glycéraldéhyde-3P EC271.28 *:: + *Mannitol-1P +NAD donne <> Fructose-6P +NAD EC111.17 R00758 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.60 kcal/mol. 1867 êtres dont 2 archées *:: + *Mannitol +Pi donne <> Mannitol-1P +H2O EC313.22 R02167 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=7.22 kcal/mol. 2063 êtres dont 1 archées *:: + *Mannitol +NAD donne <> Fructose +NAD EC111.11 R00868 oxydoréductase. Metacyc bi. 443 êtres dont 0 archées (Ec111.67 1312,Ec111.67 83) *:: + *Fructose +ATP '''donne |>''' Fructose-1P +ADP EC2713 R00866 kinase. Metacyc direct de Fructose. 907 êtres dont 52 archées *: - *Glycerate + NAD donne <> Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase. 2077 êtres, eucaryotes, bactéries, 9 archées MM et 1 METB. Metacyc bi. *: - *'''Ser''' + Pyruvate donne <> Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein). 2913 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + Glyoxylate donne <> '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein). 2880 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + H2S '''donne |>''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein) 3754 êtres, eucaryotes, bactéries, 36 archées. pas de RHEA *: - *Ser +Acetyl-CoA donne <> O-Acetyl-Ser +CoA EC231.30 (R00586) transferase (sans B6) 8266 êtres, eucaryotes, bactéries, 170 archées. *:: + voie de E.Coli suivie de EC251.47 donne Cys avec B6. 8282 êtres *: - *'''Thr''' donne <> Gly + Acetaldehyde EC412.48 (R00751) transaminase (B6 protein) 6788 êtres, eucaryotes, bactéries, 100 archées. Ecocyc bi, ΔG=1.0 kcal/mol *: - *Thr '''donne |>''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein) *Pathway: Val Leu Ile biosynthese *: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat) *: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |>''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction) *: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne <> 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase *: - *Aceto-Lactate + NAD donne <> 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase *: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase *: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase *: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |>''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase *: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |>''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase *: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne <|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating *: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne <|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating *: - * *: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |>''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase *: - *2-isopropylmalate donne <> 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase *: - *2-isopropylmaleate + H2O donne <> 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase *: - *3-isopropylmalate + NAD donne <> 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase *: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée *: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne <|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating *Synthèse *: - 2 groupes *:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6, *::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate *::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate *::: * Cys: consomme H2S, basique *::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate *:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6 *::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD *::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA =====Formation de Asp et Asn ===== *Pathway: Glyoxylate *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |>''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp''' *: - *Asp + NAD '''donne <|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6) *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi *Pathway: Ala Asp Glu *: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |>''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase (sans B6) *: - *Asp +2-oxoglutarate donne <> Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase (avec B6) *: - *Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino lyase ecocyc bi ΔG=+3.19 Kcal/mol de Asp (sans B6) *: - *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *:: + Malate vient directement de Pyruvate *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein) *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6) *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique? *: - Voie Glyoxylate: *:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu. *:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate. *: - voie Ala Asp Glu *:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp. *: - voie cyanoamino acide: *:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude? *: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref>. *:: + =====Formation de Lys===== *Pathway: Lysine *: - *Asp + ATP '''donne |>''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''4-Asp-P''' *: - *4-Asp-P +NAD '''donne <|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-4-semialdehyde''' *: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |>''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase '''4Hydro-dipicolinate''' *: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne <|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase (spontanée: +H2O donne <> '''L-2-Amino-6-oxopimelate''') *: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne <> L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &emsp;&emsp; '''diaminopimelate''' *: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |>''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &emsp;&emsp; '''L-Lys''' (B6 protein) *: - *Lys +acetyl-P '''donne |>''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &emsp;&emsp; '''N6-acetyl-Lys''' *: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne <> N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein) *: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne <> 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &emsp; '''5-Acetamido-pentanoate''' *: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne <> 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &emsp; '''5-Aminopentanoate''' *: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne <> Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein) *: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne <> Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras) *Synthèse *: - étapes: 6 à partir de Asp *: - produit: NH3, CO2 *: - consomme: Asp, Pyruvate *: - utilise: ATP, 3 NAD *: - B6: avec B6 =====Formation des Riboses et dRiboses===== *Pathway: Pentoses phosphates *: - *D-Arabinulose-P donne <> '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase 185 aas metacyc direct de Arabi. 1303 êtres dont 291 archées *: - *D-Arabinulose-P donne <> D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase 211 aas metacyc bi. 1214 êtres dont 295 archées *: - *D-Ribose-5P donne <> D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase 219 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-6.13 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P donne <> D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-1.93 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P +ADP '''donne |>''' D-Ribose-1,5P2 +AMP EC271.212 (R11535) P-transferase 294 aas metacyc de ADP *: - *D-Ribose-1,5P2 + ATP '''donne |>''' PRPP +ADP EC274.23 (R06836) P-transferase 185 aas metacyc de ATP ecocyc bi ΔG=-2.03 kcal/mol *: - *D-Ribose-5P + ATP donne <> PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase 315 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-25.84 kcal/mol *: - * *: - *D-dRibose-5P donne <> '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase 259 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=5.12 kcal/mol *: - *D-dRibose-1P donne <> D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=?? comme Ribose? *Synthèse *: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose *: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P *: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde. *: - utilise: AMP; et rien *: - Note: PRPP peut être obtenu par 2 P-transférases qui peuvent utiliser PEP =====Formation de l'ATP===== *Pathway: purines *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +ADP +Pi EC6347 R01053 amido transférase oiseaux (article unique 1968 <ref>https://www.jbc.org/article/S0021-9258(18)91922-8/pdf</ref>) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. homo4mères *: - *PRA +Gly +ATP '''donne |>''' 5P-Ribosylglycinamide +ADP +Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-6.27 '''GAR''' *:: + ecocyc: séquentiel et ordonné. Tunnel. Monomère <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10792</ref> *: - *GAR +ATP +Formate '''donne |>''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-8.97 '''FGAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG11809</ref>, monomere *:: + EC2122 THF sans ATP R04325 ecocyc et Meta bi ΔG=16.47 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10799</ref>, monomere *: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |>''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20 '''FGAM''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10797</ref> 3 sites Gln d'abord, puis ATP puis FGAR. Monomère. Fusion de 3 enzymes. *: - *FGAM +ATP '''donne |>''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ecocyc et metacyc direct de ATP ΔG=9.97 '''AIR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10798</ref>. Pas de couplage, ATP attaque FGAM puis cyclase. Dimère. *: - *[AIR +HCO3- +ATP '''donne |>''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC634.18 R07404 ecocyc et Meta de ATP ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10796</ref>. dimère. Nonenzymatic carboxylation of AIR occurs. *: - *[AIRC donne <> 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=6.32 Metacyc et ecocyc de carboxyamno '''CAIR'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10793</ref>. octamère. Réversible si EC6336 est absente *: - *5-amino-1-(5-phospho-D-ribosyl)imidazole-4-carboxylate donne <> AIR +CO2 EC411.21 R04209 carboxylase Metacyc bi '''CAIR''' *: - *CAIR +Asp +ATP donne <> (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase ΔG=-7.66 '''SAICAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10791</ref>. Trimère. les sites ne sont pas élucidés. *: - *SAICAR donne <> 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase ΔG=9.84 ecocyc direct Metacyc bi '''AICAR''' *: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |>''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase '''Metacyc bi FAICAR''' *:: + EC2123 THF sans ATP R04560 ecocyc et Meta bi ΔG=18.96 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10795</ref>, monomere *: - *IMP +H2O donne <> FAICAR EC354.10 R01127 cyclase ΔG=26.85 ecocyc et Metacyc bi '''IMP''' *: - *IMP +GTP +Asp '''donne |>''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-103.56 '''car-AMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10790</ref>. dimère. Les binding sites sont élucidés. *: - *car-AMP '''donne |>''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase ΔG=55.05 ecocyc direct metacyc bi '''AMP''' *: - *IMP +NAD +H2O '''donne |>''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase ecocyc et Metacyc bi ΔG=2.43 '''XMP''' *: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |>''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-5.44 '''GMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10420</ref>. dimère. Sans Gln il n'y a que 2 binding sites, ATP et XMP. Le contrôle est strict avec Gln mais pas avec NH3. *: - *GMP,AMP +ATP donne <> GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &emsp;&emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP''' *: - *GMP,AMP +ADP donne <> Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &emsp;&emsp;'''Guanosine, Adenosine''' *: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne <> G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &emsp;&emsp;'''G, A''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne <> G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &emsp;&emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |>''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &emsp;&emsp;'''dGMP,dAMP''' *: - *dGMP,dAMP +ATP donne <> dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &emsp;&emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP''' *Synthèse *: - étapes: 12 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP *: - produit: 2 Fumarate CO2 *: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 Gly *: - utilise: 7 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une carboxylase et une cyclase n'utilisent pas ADP. *: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP. =====La synthèse de novo de l'ATP et le couplage de 2 réactions===== *Problématique: *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase *: - Dans la réaction R01053 l'enzyme EC6347 en fait 2 réactions en parallèle: *:: + L'hydrolyse ATP +H2O '''donne |>''' ADP +Pi, fournit à l'enzyme l'énergie nécessaire pour lier NH3 au Ribose *:: + Ribose-5P +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +H2O *: - La réaction R01053 est directionnelle. C'est le cas des autres réactions faisant intervenir 3 substrats. *: - Avant l'apparition des polypeptides la probabilité de la rencontre des 3 substrats est très faible et c'est le rôle principale de l'enzyme que de les réunir. Dans mon hypothèse, l'environnement avec ses aas libres favorisant tant soit peu la réaction, il est difficile d'imaginer que l'énergie libérée par l’hydrolyse de l'ATP soit récupérée à distance par la ligase. Elle est tout simplement diffusée dans son environnement. Il y a ainsi 7 couplages avec 3 molécules pour le substrat dont 6 avec ATP et une avec GTP. *: - L'enzyme EC6347 peut être remplacée par EC242.14 qui est bidirectionnelle et peut être vue comme le résultat (pas la somme) de 2 transaminases indépendantes. Une à 2 substrats utilisant NH3 et produisant 5P-Ribosylamine +PP qui sont utilisés avec Glu par la 2ème à 3 substrats produisant Gln. Gln peut être produit donc avant l'apparition de l'ATP. *:: + PRPP +NH3 donne <> 5P-ribosylamine +PP *:: + 5P-Ribosylamine +PP +Glu donne <> Gln +PRPP *: - L'enzyme EC6331 n'a que 2 molécules comme substrat comme les kinases et peut être envisagée avant l'apparition de l'ATP en remplaçant celle-ci par PEP. *Comment résoudre le couplage prébiotique nécessaire à la synthèse de novo de l'ATP nécessitant 7 couplages successifs. *: - Dans les réactions que j'ai réunies pour le proto-métabolisme il n'y a que 5 autres couplages non sucessifs: 2 pour CoA 1 pour acetyl-CoA et 2 pour THF. *: - Il faut des concentrations élevées de PEP NH3 Formate Asp Gly Pi *: - Est-ce que les 9 autres aas existants peuvent aider ces couplages: Cys Ser Thr Ala Lys Glu Gln Pro Arg. Et les ceto-acides: Lactate malate oxaloacetate fumarate oxo-glutarate pyruvate; et les acides glycolate acétate propionate =====Formation de l'Uracile===== *Pathway: arginine *: - *ATP +HCO3- +NH3 donne <> Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &emsp;&emsp;'''Carbamoyl-P''' *Pathway: pyrimidines *: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |>''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &emsp;&emsp;'''N-Carbamoyl-Asp''' *: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne <> N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &emsp;&emsp;'''(S)Dihydroorotate''' *: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne <> Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &emsp;&emsp;'''Orotate''' *::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. *:: + *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *::: * Malate vient directement de Pyruvate.Voir Krebs et pyruvate *:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase *: - *Orotidine-5'P +PP donne <> Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &emsp;&emsp;'''Orotidine-5'P''' *: - *Orotidine-5'P '''donne |>''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &emsp;&emsp;'''UMP''' *: - *UMP +Pi '''donne |>''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &emsp;&emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''') *: - *UMP +ATP donne <> UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &emsp;&emsp;'''UDP''' (idem CDP) *: - *UDP +ATP donne <> UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &emsp;&emsp;'''UTP''' (idem CTP) *: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |>''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &emsp;&emsp;'''CTP''' *: - * *: - *Uracil +dRibose-1P donne <> dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &emsp;&emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''') *:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase. *: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP *: - * *: - *dR-base1 +base2 donne <> dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dR-Base1 Base2''' *: - *dUridine +C donne <> dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dCytidine''' *: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP *: - * *: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |>''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &emsp;&emsp;'''dTMP''' et '''DHF''' *: - *dTMP +H2O '''donne |>''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &emsp;&emsp;'''Thymidine''' *: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine *Synthèse *: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP *: - produit: succinate, PP, CO2 *: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP *: - utilise: ADP '''FMN''' *: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine *: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase *: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase. =====Formation de His===== *Pathway: histidine *: - *ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |>''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &emsp;&emsp;'''PRPP-AMP''' *: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |>''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &emsp;&emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |>''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &emsp;&emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |>''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR *: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |>''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne <> Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &emsp;&emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein) *: - *Histidinol-P '''donne |>''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &emsp;&emsp;'''Histidinol''' *: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |>''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidinal''' *: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |>''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidine''' *Synthèse *: - Étapes: 10 à partir de ATP *: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines) *: - consomme: ATP, PRPP, NH3 *: - Utilise: 2 NAD *: - B6: avec B6 =====Récapitulation aas===== *Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |> <u>'''Ala''' sans B6</u> *Pyruvate (Glycolyse); Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne <> Pyruvate + '''Ser''' avec B6 *Glycolate; Glycolate + NAD donne <> Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne <> HxP + '''Gly''' avec B6 *H2S; Ser + H2S donne |> H2O + '''Cys''' avec B6 *Ethanol; Ethanol + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne <> '''Thr''' avec B6 *Pyruvate; 2 Pyruvate donne |> Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-Lactate NAD <> v1, v1+NAD donne <> v2; v2 donne |> v3 + H2O; v3 +NH3 donne |> H2O + <u>'''Val''' sans B6</u> *Thr donne |> Oxobutanoate + NH3 avec B6 *Pyruvate + Oxobutanoate donne |> Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD <> l1, NAD <> l2; l2 donne |> l3 + H2O; l3 +NH3 donne |> H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr *Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |> A1 (avec B6), A1 donne |> A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |> NAD + <u>'''Asp''' (sans B6)</u> * voie Pyruvate *: - Pyruvate +ATP+H2O donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi *: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne <> oxaloacetate + ATP *: - Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)''' *Asp +ATP +NH3 donne |> AMP + PP + <u>'''Asn''' (sans B6)</u> *Asp + ATP donne |> 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6 * Après formation de l'ATP *: - ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6 =====B6 Pyridoxal-P===== *D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser *Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref> *: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu *Biosynthèse de B6 *: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu. *: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant: *:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a <u>molecular tunnel that is almost 100 A in length</u> [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6] *:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a <u>substrate-protective tunnel</u> to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''. *:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and <u>channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel</u>. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants. *: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul. *Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P *: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |>''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi <u>EC4336</u> R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine''' *: -* *: -*Pyridoxal +ATP '''donne |>''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine +ATP '''donne |>''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P''' *: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |>''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne <> Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne <> Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne <> Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal''' *: -* *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +NADP donne <> Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -* *: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6. *: -*L-Ala donne <> D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6 *: -*Pyruvate + D-Glu donne <> D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6 *Synthèse *: - Étapes: une seule *: - produit: directement le pyridoxal seul! *: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate. *: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.) =====NAD nicotinamide adenine dinucléotide===== *Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]] *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) *Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp *: -*Asp + NAD '''donne |>''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp''' *: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne <|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate''' *:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity. *Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes) *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *: - * *: -*Quinolinate + PRPP '''donne <|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide''' *: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne <> Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD''' *:: + '''ATP en substrat''' *: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |>''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+''' *:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln. *: -*NAD + ATP '''donne |>''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+''' *Synthèse *: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN) *: - produit: 2 PP *: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP *: - Utilise: 2 ATP, FAD *: - B6: néant *: - comparaison des 2 voies: *:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S]. *:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution. =====FMN FAD riboflavines===== *Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques. *Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP '''donne <|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil''' *: -*P-ribitylamino-uracil + H2O '''donne |>''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil''' *: -*Ribulose-5P '''donne |>''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P''' *: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |>''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine''' *: -*2 ribitylLumazine '''donne |>''' Riboflavin + ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin''' *:: + A flavoprotein (riboflavin). *: -*Riboflavin + ATP '''donne |>''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN''' *: -*FMN + ATP '''donne |>''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD''' *Synthèse *: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD *: - produit: 2 Formates, NH3 *: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP *: - Utilise: ATP, NADP =====Phe Tyr Trp===== *Les aas aromatiques. Chorismate nécessite FMN. *Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose *: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |>''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase Metacyc de P2 à 1 P '''céto-Fructose-1P''' *:: +*D-Lactate +NAD donne <> Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase ecocyc (schem bi) RL ΔG=+3.33 '''D-Lactate''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne <> D-Lactate +NAD EC121.23 R01735 oxydoreductase pas de REHA '''D-Lactaldehyde''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne <> Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase Metacyc bi '''Methylglyoxal''' *: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |>''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase Metacyc de Asp '''heptulosonate''' *:: +*Asp +ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''Asp-P''' *:: +*Asp-P +NADP '''donne <|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-semialdehyde''' *: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |>''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate''' *: -*Dehydroquinate donne <> Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate''' *: -*Shikimate +NAD donne <> Dehydroshikimate +NAD EC111.24 R06847 oxydoreductase ecocyc LR de shikimate ΔG=-12.20 '''Shikimate''' *: -*Shikimate +ATP '''donne |>''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase ecocyc LR de ATP ΔG=-16.06 '''Shikimate-3P''' *: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate <> Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P''' *: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |>''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate''' *::: .. Requires '''FMN''' *: -*Chorismate donne <> Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate''' *: -*Prephenate donne <> Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate''' *: -*Phe +NAD +H2O donne <> Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6) *: -*Prephenate +NAD donne <> OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate''' *: -*Tyr +NAD +H2O donne <> OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6) *: -*Chorismate +NH3 '''donne |>''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate''' *::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit. *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne <> Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P''' *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne <> Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P''' *: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne <> Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P''' *: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne <> Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' <u>(avec B6)</u> *: - * *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *Synthèse *: - Etapes *:: + Voie commune 11 étapes *:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun *:: + Trp 5 étapes *:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée *: - Produit *:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3 *:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun *:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P *:: + Quinolinate: H2O (rien) *: - Consomme *:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate *:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun *:: + Trp: NH3, PRPP, Ser *:: + Quinolinate, '''2 fois O2''' *: - Utilise *:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP *:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr *:: + Trp: rien *:: + Quinolinate: '''FAD''' *: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6. =====TPP Thiamine pyrophosphate===== *Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas. *Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5. *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire. *:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea. *: -*NAD + Gly +H2S '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |>''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante *: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |>''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P''' *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His). *:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. *: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |>''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P''' *: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne <|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP''' *Biosynthèse de la Thiamine *: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |>''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P''' *: -*Thiamine-P +ATP '''donne |>''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP''' *: -*Thiamine-P +H2O '''donne |>''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine''' *: -*Thiamine +H2O '''donne |>''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole''' *: -*Thiazole +ATP '''donne |>''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P''' *: -*Pyrimidine +ATP '''donne |>''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys) *:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea. *: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP *:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide. *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons. *:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis. *Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP *: - produit: *:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; *:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme) *:: + CO2 PP *: - consomme: *:: + NAD Gly H2S *:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6 *:: + énergie *: - Utilise: *:: + rien *:: + ATP *:: + ATP =====CoA Coenzyme A===== *La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine. *: -*Acetolactate + NADP '''donne <|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*Dimethyl-malate +NAD donne <> methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate''' *: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne <> Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate''' *: -*Pantoate + NAD donne <> Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate''' *: -*Asp '''donne |>''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala''' *:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group. *: -*beta-Ala + Pantoate +ATP '''donne |>''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate''' *: -*beta-Ala + Pantoate '''donne |>''' Pantothenate +H2O EC351.22 R02474 hydrolase '''Pantothenate''' *:: + Article 1966 <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/5/2/399/99824/The-Bacterial-Degradation-of-Pantothenic-Acid-II?redirectedFrom=fulltext</ref>, pseudomonas P-2. *: -*Pantothenate +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate''' *: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives. *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantoate + Cys +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +AMP +PP EC632.51 R04230 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |>''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantetheine +ATP donne <> dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA''' *: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |>''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA''' *Synthèse *: - 13 étapes de Pyruvate à CoA *: - produit: 3 CO2; 3 PP *: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys *: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP *: - B6: pas de B6 =====Val Ile Leu===== *Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul. *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *: -*Acetolactate donne <> OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate donne <> methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' *: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |>''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6) *: -*Ile *: -*Thr '''donne |>''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6) *: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate''' *: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne <> OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate donne <> 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate''' *: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |>''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6) *: -*Leu *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val *: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |>''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate''' *:: +*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*2-Isopropyl-malate donne <> 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate''' *: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne <> 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate''' *: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne <> 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate''' *: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 <u>spontanée</u> R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate''' *: -*Leu +NAD +H2O '''donne <|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6) *Synthèse *: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu. *: - produit *:: + Val: CO2 *:: + Ile: CO2 NH3 *:: + Leu: CO2 *: - consomme *:: + Val: 2 Pyruvate NH3 *:: + Ile: Thr NH3 *:: + Leu: Acetate NH3 *: - Utilise *:: + Val: NADP NAD *:: + Ile: NADP NAD *:: + Leu: ATP CoA 2 NAD *: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6 =====Methionine Met===== *Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. *Pathway: cysteine methionine *: -*acetyl-CoA + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' *: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6) *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (avec B6) *: -*Met +ATP +H2O '''donne |>''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase *: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |>''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met''' voie des sulfures *: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |>''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6) *Synthèse *: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met. *: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici. *: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. *: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol *: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate. *: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP. *:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met. *:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6. =====Glutamate Glu Gln===== *Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs *: -*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne <> Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' *: -*Citrate donne <> Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' *: -*Cis-aconitate +H2O donne <> Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' *: -*Iso-citrate +NADP donne <> oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' *: -*oxalosuccinate donne <> 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' *: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne <> Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6) *: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |>''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase ΔG=-6.77 kcal/mol 469 aas direct de Glu '''Gln''' (sans B6) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 kcal/mol '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. Homo tetramer. 505 aas. *Synthèse *: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln *: - produit: CO2, CoA, Glu *: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3 *: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP *: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln *: - Gln sans ATP: EC242.14. Dans le commentaire NH3 peut remplacer Gln. A partir de là on obtient PRA et PP. PRA est très instable, aussi en présence de Glu et de PP se forme PRPP et Gln avec un ΔG=2.05 kacl/mol meilleur qu'avec l'ATP et favorable à la réversibilité. Donc PRPP + NH3 + Glu donne Gln, peut être en petite quantité, mais peut être entraînée par l'ensemble des autres aas. =====Arginine Arg Pro===== *Nécessite CoA et Glu *: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |>''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu''' *: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |>''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P''' *: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde''' *: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne <|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6) *: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne <> Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine''' *: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase ΔG=6.17 kcal/mol bi metacyc ecocyc, eco 297 aas. 2630 êtres dont 645 archées '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-5-semialdehyde donne <> Pyrroline-5-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *: -* *Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.) *: -*Glu +ATP '''donne |>''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' *: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' *: -*Ornithine +2-oxoglutarate donne <> Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6) *:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' (sans B6) *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-semialdehyde donne <> Pyroline-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *Synthèse sans CoA *: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée *: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P *: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2 *: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD *: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro. =====THF pour TMP===== *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |>''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P''' *: -*Dihydroneopterin-P '''donne |>''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin''' *:: +*Chorismate +Gln '''donne |>''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' *::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate *:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |>''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6) *: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |>''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate''' *: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |>''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10327</ref>. ATP-dependant reaction, est-ce que ATP a un site propre pour son hydrolyse? *: -*THF +NADP '''donne <|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF''' *: -* *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate. *: -* *: -*THF +ATP +Formate donne <> Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF''' eucaryotes *: -*Formyl-THF +P-Ribosylglycinamide donne <> THF +P-Ribosyl-N-formylglycinamide EC2122 R04325 formyl ligase '''Formyl-THF''' bactéries *:: + ecocyc: <ref>https://www.kegg.jp/entry/eco:b2500</ref>, voir formation ATP *: -*Methenyl-THF +H2O donne <> Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF''' *: -*Methylene-THF +NADP donne <> Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF''' *: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |>''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine) *Synthèse *: - 12 étapes de GTP à TMP *: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate *: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3 *: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP =====Acides gras===== *Commencent avec Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA '''donne |>''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne <> Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA donne <> Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA''' *: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne <|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA''' *: - * *: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |>''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA''' *:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl *: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne <> trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA''' *: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à 16 carbones *: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |>''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate''' *Dégradation *: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |>''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |>''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne <> trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA''' *: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA donne <> Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA''' ==essai 1== <pre> Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques. Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu. Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé. Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers. C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation. L'auto-organisation prébiotique *partir du postulat *pas de catalyse minérale des liaisons covalentes *liposome aux interactions faibles *grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis *Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies. *échanges avec l'extérieur *Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau. *A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. *homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme. *L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira. </pre> ==essai 2== *PLD de krishnamurty <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> *Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique *La question de CTP pour l'initialisation de la membrane ===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique=== *Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique: *: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation. *: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle. *: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité. ==essai 3== 12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion. *Deux points importants de la critique du passé de mes essais: *: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? *: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques? *Le nouveau concept *: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile. *: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. *: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile. ==essai 4== 21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a? * Les lectures: *: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).<ref>https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full</ref> *: - Les expériences en laboratoire *:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 <ref> https://theses.hal.science/tel-05407367</ref> *:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 <ref>https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/</ref> *:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 <ref>https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116</ref> * Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides. * Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction *: - en profondeur, avec des températures (>300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction *: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales. *: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (<100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec <u>R.Pascal</u>: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691</ref> *: - <u>Formation des pores d'échange dans la bicouche</u>: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse. *: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP <ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol</ref>. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66. ==essai 5== 15/06/26 Paris. *Les 5 principes *#L'auto-organisation *#La continuité *#La séquestration et la néguentropie *#La différence réaction abiotique/biotique *#L'autonomie *L'environnement prébiotique *: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques *:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire) *:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4 *:# Les minéraux dont les phosphates *:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate *:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3 *: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) *: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes. ===L'auto-organisation=== *Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales. ==essai 6== ===Le processus néguentropique=== *Paris le 5/8/26 ===Introduction à la problématique de la recherche sur les origines de la vie=== *Paris le 2/9/26 *Les ribosomes miroir <ref>https://fr.scienceaq.com/Chemistry/1001083878.html</ref> *RNA polymérase <ref>https://fondation-inserm.org/les-bacteries-miroirs-menace-ou-curiosite-scientifique</ref> ====Le contrôle dual==== *Paris 14.10.26 *Simulateur hydrothermales 2025: formiate acétate pyruvate méthanol NH4 glycolate lactate propionate éthanol, pas de P H2S *Krebs 2024: d'où vient oxaloacétate? CO2 pyruvate oxaloacétate glyoxylate H2+Formiate (équivalent NAD), pas de P H2S, NiFe 22°C pression atmosphérique. *PP 2026: PP est proposé pour remplacer ATP, l'article '''acP de 2016''' propose l'acétyl-P très fragile et peu fréquent. *Moi je propose PEP 2017. *Glycolyse 2014: plusieurs réactions (des isomérase) de l'interconversion des sucres se fait dans l'eau sans enzymes. La non adhésion aux investigations de Muller depuis 1953, recherche des réactions abiotiques qui produisent des molécules biotiques (formaldéhyde adénine...) ne ressemblent aucunement aux réactions biotiques. Glycolyse 2014 m'a conforté dans une idée que j'étais entrain d'appréhender en listant les voies métaboliques de KEGG en partant du simulateur 2025: ces voies ont existé depuis le départ (prébiotiques) dans le système abiotique hydrothermal. *Le contrôle dual: C'est en lisant l'introduction de acP 2016 du chapitre 5, la non adhésion de l'auteur aux investigations de Muller comme je l'ai fait auparavant, m'a encouragé à imaginer un processus qui pourrait se produire dans les sources hydrothermales qui contraindrait ces voies métaboliques égales à celles biotiques actuelles du point de vue du substrat et bien sûr thermodynamique. *: - L'analogie s'est imposée immédiatement: dans le biotique actuel les enzymes créent et contrôlent le métabolisme de base (sucres acides nucléotides minéraux etc.) et de même ce métabolisme contrôle ces enzymes. C'est ce que j’appelle le contrôle dual, qui se fait dans les 2 sens. Mon idée est apparue alors immédiatement, ce sont les voies que je listais auparavant qui se concrétisent. Le métabolisme de base c'est celui des sources hydrothermales, vues alors comme un écosystème biotique hydrothermale, et les enzymes ce sont les aas libres qu'il produit. C'est le contrôle dual prébiotique. *: - La caractéristique principale de ce métabolisme prébiotique qui se crée dans cet écosystème c'est qu'il se fait par étapes. *:: + 1ère étape: simulateur 2025 et krebs 2024 auxquels il faut ajouter PP 2026: Les analogues sont NAD (formiate +H2 +NiFe) et NH4. *::: * acides aminés: Ala Gly Asp Glu; enzymes, Ec1411 Ala(5808) Ec261.44 Gly(3043) Ec261.35 Asp(144) Ec1412 Glu(4450) *::: * céto-acides: Pyruvate Glyoxylate oxaloacetate ceto-glutarate; Krebs 2024 *::: * OH-acides : Lactate Glycolate Malate OH-céto-Glutarate. Correspondant aux enzymes ; Ec111.27 Lac(4198) Ec111.26 Glc(2328) Ec111.37 Mal(8815) Ec111.38 Pyr(5455)[Pyruvate Malate] Ec111.399 OH-Glu(10321) *:: + 2ème étape, création de Pro (5): c'est le résultat de Glu-P sous l'action de PP, suivie de l'action de l'analogue de NAD comme dans la 1ère étape. L'analogue de ATP est PP qui produit un analogue plus puissant PEP 2017. La 1ère étape a produit aussi les alpha céto-acides: cAla (Lactate) cAsp (Malate) cGly (glycolate) cGlu (alpha céto-glutarate). k13vnyk4pvwisb1vetswhkrvsv3axou 987465 987464 2026-10-16T10:33:57Z Mekkiwik 5298 /* Le contrôle dual */ 987465 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = biologie | parent = [[Recherche:Laboratoire d'études prébiotiques|Laboratoire d'études prébiotiques]] }} {{Hypothèse | titre = Chiralité prébiotique 2 | parent = [[Recherche:Département:Biologie|Département de recherche en Biologie]] | image = {{idfaculté/logo/biologie}} }} <div style="text-align:center;"><span style="font-size:180%;"> '''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:</br> l'auto-organisation prébiotique.'''</span></div> ==pense bête 1== *L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1. *Définir l'auto-organisation au stade prébiotique *Les erreurs par rapport à cette organisation sont *: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? *: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage. *Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome: *: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite. *: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques. *L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome *: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1. *: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K. *: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine. *: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones. *Auto-organisation des liposomes *: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive? *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome. *: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas. *: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture. *: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions? *: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale. *: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes *: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après. ==pense bête 2== *L'auto-organisation aas + acides gras *: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale *: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe. *: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras. *: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche. *Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras. *# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline *# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides *# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD *# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4--- *# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D? *# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH *# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G Alanine A Histidine H *# - Les stéroides chez les procaryotes ==pense bête 3== *Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre *: - soupe prébiotique *: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique *: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique *: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle. *: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs. *: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées. *: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication. *: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique. *: - étape transcription/ traduction *: - étape réplication/division ==pense bête 4== *Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. *Extraits d'internet: *: - "''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''" *: - La membrane externe des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe</ref>. *: - La membrane interne des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne</ref>. *: - MAM <ref>https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&_x_tr_tl=fr&_x_tr_hl=fr&_x_tr_pto=rq</ref> *: - La mitochondrie <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie</ref> *: - Génome mitochondrial <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial</ref>: aucun gène de synthèse d'un phospholipide *: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse</ref> *: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: "Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle." dans RL fonctions de reticulum endoplasmique <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique</ref>. *Étape de cristallisation 2: *Étape de polymérisation 2: ==pense bête 5== *Étape des eucaryotes 3: *: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel. *: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte. *Hydrogénosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome</ref> et mitosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome</ref>: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes. *Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster <ref>https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf</ref> (page 3). *La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau. ==pense bête 6== *auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome. *Les contraintes résultantes: 4 exemples, *#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, *#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, *#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. *#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte</ref>, paragraphe 3 *#: - "Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré." *#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases. *#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D</ref> de wikipédia, "Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D" il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L. *#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré "qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries". *#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début) *#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L. *# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. *#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00040</ref> LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. *#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00010</ref>qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. *# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation. *polymérisation 2: *: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible. *: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques. *: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier. *: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome. *: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation. *: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace. *: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces. ==pense bête 7== *Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2. *Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane. *Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L, elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D. *Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite. ==pense bête 8== *Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD .... *: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217 *: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln. *: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. *: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP). *: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP] *: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA. *: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est *:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+ + 2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===> dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées. *:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF. * En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, *: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas *: - Asp donne Asn et Ala *: - Glu donne Gln *: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique. *Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse *Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras. ==pense bête 9== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8. *: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P *:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) <> Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)<span style="background-color: #ffff00;"> > </span>Fructose 6P + P, '''*'''531.27 <> arabino 6P, '''*'''412.43 <> Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) <> Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) <> R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) <> R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) <> PRPP. *:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) <> dR-5P, '''*'''5427 (mutase) <> dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) <> dR + ATP. *:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. *: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His *:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) > carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) > Asp-CB, '''*'''3523 > orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') > orotate, '''*'''241.10 (PRPP) > orotidine-P, '''*'''411.23 > UMP. *:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) > CTP *:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) > dRU, '''*'''271.21 (dGTP) > dUMP *:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 < > base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C *:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP > dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier) *:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) > R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) > RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) > RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) > RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) > Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) > AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) > AIR-C-CO2H (CAIR), '''*'''6326 (ATP Asp) > CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 > carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) > FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) > IMP +H2O. *:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) > IMP-sucino, '''*'''4322 > AMP + fumarate. *:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) > XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) > GMP *:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) > dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) > dAMP et dGMP *:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) > PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) > 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) > R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) > Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) > Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) > oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) > P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') > Histidinal puis His. *: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs. *:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') > H2O2 (ou succinate) + iminoAsp > en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') > quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) > Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) > NAD+, '''*'''271.23 (ATP) > NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP). *:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) > pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) > 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) > 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) > butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) > lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) > Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP > dATP > CTP > UTP) > FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) > FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) > FADH2 et (FMN NAD) > FMNH2. *:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) > Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) > idem. *:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) > formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 > neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 > dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) > PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) > dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) > dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') > tetrahydrofolate. *::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) > Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) > prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) > chorismate, '''*'''261.85 (NH3) > amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) > 4-amino-benzoate et pyruvate. *:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr''' pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) > aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') > CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 > CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) > dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') > pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) > pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) > ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) > P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 > P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) > PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) > CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP). *: - Synthèse des aas *:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, *::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) > indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') > Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) > Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) > anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') > '''PRPP''' Anthranilate *::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) > Gly '''OH-Pyruvate''' *::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') > Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') > '''OH-Thr''' (voir synthèse B6) *::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) > Cys, idem (Ser '''HomoCys''') > '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) > Cys NH3 '''Oxo-butanoate''' *::: - Asp > Asn et '''*'''411.12 (Asp) > Ala et CO2 *::: - Glu > Gln *::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') > Urocanate NH3 "MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine", '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) > Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) > Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) > formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') > Histamine et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') > NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) > Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) > Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) > Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) > formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) > Formate et Asp. *::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui >nt 7 aas dérivés. Pour His >rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr. ==pense bête 10== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres. *: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr. *: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé. *: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met. *: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA): les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas. ==pense bête 11== *Tanger le 7/12/25 * Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG). * C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs. * L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment. *Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate</ref>. Le C de CO2 est lié à N de NH2. *Les aminonitriles: *: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. *: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp. *: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42. *:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde. *:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes. * L'histidine * Les aromatiques * Lysine ornitine et proline ==pense bête 12== *Paris le 27/02/26 *Les lectures *: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015 *: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005 *: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024, *Plan *: - postulat: ça s'est fait tout seul *: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique *: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique *: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports) *Les aas abiotiques: *: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C *:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025 *:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24) *:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation *:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation. *:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde) *:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement) *: - autres *:# Ser, aubrey faible *:# Thr, plus acétate *:# Asn, NH3 *:# Gln, NH3 *: - Formose *:# His, erythrose formamidine HCN *: - FTT *:# Trp, indole plus Ser ou Fritz *:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN *:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN *:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin *:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin *:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser *:# Met, homocystéine plus CH3 *: - Réactions quasi biotiques *:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline *:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3 ===notes des lectures=== *Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure). *Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h *Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. *: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:"Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides." *: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: "L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019)." J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr ==pense bête 13== *Paris 29/6/26 *Article de départ *: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1). ===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs=== *hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3. ====Pyruvate bis==== *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) *:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne <> P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction) *: - *oxaloacetate + Pi donne '''|>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *: - *oxaloacetate + PP donne <> P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique <--- *:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne <> Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? <--- c'est mon hypothèse pour EC2791 *: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne <> P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2 EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' <--- *Pathway: glycolyse suite *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 (R00658) hydro-lyase <--- *: - *Glycérate-2P donne <> Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase *: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''') EC121.12 (R01061) oxydoréductase <--- *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase <--- *Pathway: Aspartate *: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''') EC1411 (R00396) oxydoréductase *:: + Contradiction '''subs/prod''' ====Glycolate bis==== *Pathway: glyoxylate *: - *Glycolate + Acceptor '''donne |>''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase *:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS? *:: + '''Formate'''? *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |>''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase *: - *Asp + NAD (formate) '''donne <|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410 *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase *:: + Contains pyridoxal phospate. *:: + ''confirmer que Cys est produite avant'' *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant'' *: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |>''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (<u>en labo sans enzyme mais très faible</u>) *:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 <ref>https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84</ref> nitrile hydratase.'' *: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |>''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase ====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate propionate phosphite==== *Compound, phosphite. Voir article sur Phosphite dans les sources hydrothermales <ref>https://www.biorxiv.org/content/10.64898/2025.12.19.695421v2.full</ref>. *: -Phosphite +NAD+ +H2O donne phosphate +NADH +H+ EC1.20.1.1 R05746 oxydoreductase. 146 bactéries, rien d'autre. Enx, enterobacter, 341 aas. Entrée créée en 2001 MAJ 2025. *: -Phosphite +AMP +NAD+ donne ADP +NADH +H+ EC1.20.1.2 R13633 oxydoreductase. Une seule référence <ref>https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.2309743120</ref>. Entrée créée en 2025. *Pathway: pyruvate métabolisme *: -*'''Ethanol''' + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein) bi ecocyc de ethanol ΔG=3.10kcal/mol. eco 891 aas. 8769 êtres dont 200 archées *: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate). 6796 êtres dont 132 archées *: -*'''Acetate''' +ATP donne <> Acetyl-P +ADP EC2721 R00315 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=-6.97 kcal/mol, 400 aas. 7664 êtres dont 28 archées *: -*'''Acetate''' +PP donne <> Acetyl-P +Pi EC272.12 R00320 kinase. Métacyc sens indéfini. Entamoeba histolytica seule référence de 1975 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/0006291X75905136?via%3Dihub</ref> *: -*'''Propionate''' +ATP donne <> Propionyl-P +ADP EC2721 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 7665 êtres dont 29 archées *: -*'''Propionate''' +ATP donne <> Propionyl-P +ADP EC272.15 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 375 bactéries pas d'archées *:: + comment: Involved in the anaerobic degradation of L-threonine in bacteria. Voir dans propanoate pathway EC123- de 2-oxobutanoate vers propanoyle-P, flèche sans enzyme. Le 2-oxobutanoate vient de la Thr. *: - *<u>Acetate + ''ATP +CoA donne <> Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''</u> archées *: - *<u>''Propanoyl-CoA +Formate donne <> 2-Oxobutanoate +CoA EC231.54 R06987 Formate lyase''</u> *: - *<u>''Acetyl-CoA +Formate donne <> Pyruvate +CoA EC231.54 R00212 Formate lyase''</u> *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10701</ref>, attention activation de l'enzyme par flavodoxin/ferredoxin-NADP+ reductase. *: - *'''Methanol''' + NAD donne <> formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein) *: -*formaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase *: - *'''Lactate''' + NAD donne <> '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase. 4141 êtres dont 16 archées *Pathway: glyoxylate métabolisme *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glyoxylate +NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase Metacyc bi. 2272 êtres dont 124 archées (mieux que ec111.29, voir Ser). *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glycolaldehyde +NAD +H2O EC121.21 R01333 aldehyde dehydrogenase ecocyc di de aldehyde ΔG=-17.03kcal/mol *: - *OH-pyruvate '''donne |>''' Glycolaldehyde +CO2 EC411.40 R01393 carboxylase Metacyc bi *Pathway: methane métabolisme *: - *'''Methanol''' + NAD '''donne |>''' formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase Metacyc di *Pathway: cysteine methionine *: - *'''Methanol''' + H2S donne <??> '''Methane thiol''' <u>ou bien le methane thiol est basique comme le methanol</u> *: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase *:: + *Asp + ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase *:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne <|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase *:: + *Asp-semialdehyde + NAD donne <> L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase *:: + *'''acety-CoA''' + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (B6 protein) ====Pyruvate==== =====Glycolyse===== *Pathway: Pyruvate *: - *Pyruvate +HCO3- +ATP '''donne |>''' Oxaloacetate +ADP +Pi EC6411 R00344 ligase metacyc de ATP (A biotinyl-protein) *: - *Malate +NADP donne <> Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc de Malate (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol *:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate. *: - *Malate +NAD+ donne <> Pyruvate +NADH +CO2 +H+ EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc et metacyc direct de Malate ΔG=-0.32Kcal/mol *:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate +H+ (non réversible) <ref>https://biocyc.org/reaction?orgid=ECOLI&id=1.1.1.39-RXN</ref>. *:: + thermodynamiquement Ec111.38 est réversible à cause de son ΔG=-0.32Kcal/mol. Mais dans la cellule elle a pour objet de produire du CO2 lors de l'accumulation de NAD+. Décompte génomes a b e: 458 9991 1295 *: - *Malate +NAD donne <> Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=4.46Kcal/mol *: - *oxaloacetate + Pi '''donne |>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 900 aas. *: - *oxaloacetate '''+PP''' donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bi son ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + abe: 0 250 10; grosse enzyme 1100 aas. Energie de liaison de PP 47.8 Kcal/mol et 1ère et 2ème PP dans ATP, sont égales à 7.3Kcal/mol; P-enolpyruvate 14.8kcal/mol *:: + Also catalyses the reaction: P-enolpyruvate + Pi = pyruvate + PP. <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/12/26/5247/105472/Carboxytransphosphorylase-VII-Phosphoenolpyruvate?redirectedFrom=fulltext</ref> *:: + ''Pyruvate +PP donne <> P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique? c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse) *: - *oxaloacetate +ATP donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +ADP EC411.49 R00341 kinase ecocyc de ATP (shem bi) ΔG=-7.02Kcal/mol *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 520 aas. *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP '''donne <|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 R00200 kinase biocyc de ADP ΔG=-2.23Kcal/mol *: - *Pyruvate +ATP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 R00206 dikinase (multi-step reaction) metacyc de ATP ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP +H2O donne <> P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 R00199 dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 R00658 hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> '''Glycérate-3P''' EC542.11 R01518 mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol *: - *Glycérate-3P + ATP donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 R01061 dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=8.23''' Kcal/mol (gauche-droite) *: - *Fructose-6P '''+PP''' donne <> Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini) *:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule. *:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; enzyme 300-600 aas. *: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |>''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) phosphorylase de f1.6 à f6 ΔG=6.89Kcal/mol) *: - *Fructose-6P +ATP '''donne |>''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol) =====Formation des aas à partir du pyruvate===== *Pathway: Ala Asp Glu *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) Metacyc bi. 5728 êtres dont 243 archées *Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate *: - voie P-Ser *: - *Glycérate-3P +NAD +H2O donne <> P-OH-Pyruvate +NAD EC111.95 R01513 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.03 kcal/mol. 10084 êtres dont 434 archées *: - *O-P-Ser +2-oxoGlu donne <> P-OH-Pyruvate +Glu EC261.52 R04173 transaminase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=0.08 kcal/mol. 8871 êtres dont 71 archées *: - *O-P-Ser +H2O '''donne |>''' L-Ser +Pi EC3133 R00582 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=9.27 kcal/mol. 8278 êtres dont 366 archées *: - voie Glycerate *: - *'''Glycérate-3P''' + H2O '''donne |>''' Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase. 1 seule référence de 1971 "sugarcane leaves" *:: + *Glycéraldéhyde +NAD +H2O donne <> Glycérate +NAD EC1213 R01752 oxydoréductase. 6796 êtres dont 132 archées pas de metacyc *:: + *Glycéraldéhyde +DHAP donne <> Fructose-1P EC412.13 R02568 lyase. Metacyc direct de Fructose. 11542 êtres dont 459 archées *::: * Pour obtenir Fructose-1P à partir de Fructose-6P, il faut 4 enzymes EC111.17, 313.22, 111.11, 2713 (une kinase) <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00051</ref> *::: * Le Glycéraldéhyde libre est bloqué comme le Glycerol <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00561</ref>. Il est rapidement transformé en Glycéraldéhyde-3P EC271.28 *:: + *Mannitol-1P +NAD donne <> Fructose-6P +NAD EC111.17 R00758 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.60 kcal/mol. 1867 êtres dont 2 archées *:: + *Mannitol +Pi donne <> Mannitol-1P +H2O EC313.22 R02167 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=7.22 kcal/mol. 2063 êtres dont 1 archées *:: + *Mannitol +NAD donne <> Fructose +NAD EC111.11 R00868 oxydoréductase. Metacyc bi. 443 êtres dont 0 archées (Ec111.67 1312,Ec111.67 83) *:: + *Fructose +ATP '''donne |>''' Fructose-1P +ADP EC2713 R00866 kinase. Metacyc direct de Fructose. 907 êtres dont 52 archées *: - *Glycerate + NAD donne <> Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase. 2077 êtres, eucaryotes, bactéries, 9 archées MM et 1 METB. Metacyc bi. *: - *'''Ser''' + Pyruvate donne <> Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein). 2913 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + Glyoxylate donne <> '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein). 2880 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + H2S '''donne |>''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein) 3754 êtres, eucaryotes, bactéries, 36 archées. pas de RHEA *: - *Ser +Acetyl-CoA donne <> O-Acetyl-Ser +CoA EC231.30 (R00586) transferase (sans B6) 8266 êtres, eucaryotes, bactéries, 170 archées. *:: + voie de E.Coli suivie de EC251.47 donne Cys avec B6. 8282 êtres *: - *'''Thr''' donne <> Gly + Acetaldehyde EC412.48 (R00751) transaminase (B6 protein) 6788 êtres, eucaryotes, bactéries, 100 archées. Ecocyc bi, ΔG=1.0 kcal/mol *: - *Thr '''donne |>''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein) *Pathway: Val Leu Ile biosynthese *: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat) *: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |>''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction) *: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne <> 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase *: - *Aceto-Lactate + NAD donne <> 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase *: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase *: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase *: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |>''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase *: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |>''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase *: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne <|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating *: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne <|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating *: - * *: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |>''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase *: - *2-isopropylmalate donne <> 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase *: - *2-isopropylmaleate + H2O donne <> 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase *: - *3-isopropylmalate + NAD donne <> 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase *: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée *: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne <|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating *Synthèse *: - 2 groupes *:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6, *::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate *::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate *::: * Cys: consomme H2S, basique *::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate *:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6 *::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD *::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA =====Formation de Asp et Asn ===== *Pathway: Glyoxylate *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |>''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp''' *: - *Asp + NAD '''donne <|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6) *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi *Pathway: Ala Asp Glu *: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |>''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase (sans B6) *: - *Asp +2-oxoglutarate donne <> Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase (avec B6) *: - *Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino lyase ecocyc bi ΔG=+3.19 Kcal/mol de Asp (sans B6) *: - *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *:: + Malate vient directement de Pyruvate *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein) *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6) *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique? *: - Voie Glyoxylate: *:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu. *:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate. *: - voie Ala Asp Glu *:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp. *: - voie cyanoamino acide: *:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude? *: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref>. *:: + =====Formation de Lys===== *Pathway: Lysine *: - *Asp + ATP '''donne |>''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''4-Asp-P''' *: - *4-Asp-P +NAD '''donne <|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-4-semialdehyde''' *: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |>''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase '''4Hydro-dipicolinate''' *: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne <|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase (spontanée: +H2O donne <> '''L-2-Amino-6-oxopimelate''') *: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne <> L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &emsp;&emsp; '''diaminopimelate''' *: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |>''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &emsp;&emsp; '''L-Lys''' (B6 protein) *: - *Lys +acetyl-P '''donne |>''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &emsp;&emsp; '''N6-acetyl-Lys''' *: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne <> N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein) *: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne <> 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &emsp; '''5-Acetamido-pentanoate''' *: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne <> 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &emsp; '''5-Aminopentanoate''' *: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne <> Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein) *: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne <> Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras) *Synthèse *: - étapes: 6 à partir de Asp *: - produit: NH3, CO2 *: - consomme: Asp, Pyruvate *: - utilise: ATP, 3 NAD *: - B6: avec B6 =====Formation des Riboses et dRiboses===== *Pathway: Pentoses phosphates *: - *D-Arabinulose-P donne <> '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase 185 aas metacyc direct de Arabi. 1303 êtres dont 291 archées *: - *D-Arabinulose-P donne <> D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase 211 aas metacyc bi. 1214 êtres dont 295 archées *: - *D-Ribose-5P donne <> D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase 219 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-6.13 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P donne <> D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-1.93 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P +ADP '''donne |>''' D-Ribose-1,5P2 +AMP EC271.212 (R11535) P-transferase 294 aas metacyc de ADP *: - *D-Ribose-1,5P2 + ATP '''donne |>''' PRPP +ADP EC274.23 (R06836) P-transferase 185 aas metacyc de ATP ecocyc bi ΔG=-2.03 kcal/mol *: - *D-Ribose-5P + ATP donne <> PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase 315 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-25.84 kcal/mol *: - * *: - *D-dRibose-5P donne <> '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase 259 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=5.12 kcal/mol *: - *D-dRibose-1P donne <> D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=?? comme Ribose? *Synthèse *: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose *: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P *: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde. *: - utilise: AMP; et rien *: - Note: PRPP peut être obtenu par 2 P-transférases qui peuvent utiliser PEP =====Formation de l'ATP===== *Pathway: purines *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +ADP +Pi EC6347 R01053 amido transférase oiseaux (article unique 1968 <ref>https://www.jbc.org/article/S0021-9258(18)91922-8/pdf</ref>) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. homo4mères *: - *PRA +Gly +ATP '''donne |>''' 5P-Ribosylglycinamide +ADP +Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-6.27 '''GAR''' *:: + ecocyc: séquentiel et ordonné. Tunnel. Monomère <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10792</ref> *: - *GAR +ATP +Formate '''donne |>''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-8.97 '''FGAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG11809</ref>, monomere *:: + EC2122 THF sans ATP R04325 ecocyc et Meta bi ΔG=16.47 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10799</ref>, monomere *: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |>''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20 '''FGAM''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10797</ref> 3 sites Gln d'abord, puis ATP puis FGAR. Monomère. Fusion de 3 enzymes. *: - *FGAM +ATP '''donne |>''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ecocyc et metacyc direct de ATP ΔG=9.97 '''AIR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10798</ref>. Pas de couplage, ATP attaque FGAM puis cyclase. Dimère. *: - *[AIR +HCO3- +ATP '''donne |>''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC634.18 R07404 ecocyc et Meta de ATP ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10796</ref>. dimère. Nonenzymatic carboxylation of AIR occurs. *: - *[AIRC donne <> 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=6.32 Metacyc et ecocyc de carboxyamno '''CAIR'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10793</ref>. octamère. Réversible si EC6336 est absente *: - *5-amino-1-(5-phospho-D-ribosyl)imidazole-4-carboxylate donne <> AIR +CO2 EC411.21 R04209 carboxylase Metacyc bi '''CAIR''' *: - *CAIR +Asp +ATP donne <> (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase ΔG=-7.66 '''SAICAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10791</ref>. Trimère. les sites ne sont pas élucidés. *: - *SAICAR donne <> 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase ΔG=9.84 ecocyc direct Metacyc bi '''AICAR''' *: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |>''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase '''Metacyc bi FAICAR''' *:: + EC2123 THF sans ATP R04560 ecocyc et Meta bi ΔG=18.96 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10795</ref>, monomere *: - *IMP +H2O donne <> FAICAR EC354.10 R01127 cyclase ΔG=26.85 ecocyc et Metacyc bi '''IMP''' *: - *IMP +GTP +Asp '''donne |>''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-103.56 '''car-AMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10790</ref>. dimère. Les binding sites sont élucidés. *: - *car-AMP '''donne |>''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase ΔG=55.05 ecocyc direct metacyc bi '''AMP''' *: - *IMP +NAD +H2O '''donne |>''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase ecocyc et Metacyc bi ΔG=2.43 '''XMP''' *: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |>''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-5.44 '''GMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10420</ref>. dimère. Sans Gln il n'y a que 2 binding sites, ATP et XMP. Le contrôle est strict avec Gln mais pas avec NH3. *: - *GMP,AMP +ATP donne <> GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &emsp;&emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP''' *: - *GMP,AMP +ADP donne <> Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &emsp;&emsp;'''Guanosine, Adenosine''' *: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne <> G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &emsp;&emsp;'''G, A''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne <> G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &emsp;&emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |>''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &emsp;&emsp;'''dGMP,dAMP''' *: - *dGMP,dAMP +ATP donne <> dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &emsp;&emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP''' *Synthèse *: - étapes: 12 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP *: - produit: 2 Fumarate CO2 *: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 Gly *: - utilise: 7 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une carboxylase et une cyclase n'utilisent pas ADP. *: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP. =====La synthèse de novo de l'ATP et le couplage de 2 réactions===== *Problématique: *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase *: - Dans la réaction R01053 l'enzyme EC6347 en fait 2 réactions en parallèle: *:: + L'hydrolyse ATP +H2O '''donne |>''' ADP +Pi, fournit à l'enzyme l'énergie nécessaire pour lier NH3 au Ribose *:: + Ribose-5P +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +H2O *: - La réaction R01053 est directionnelle. C'est le cas des autres réactions faisant intervenir 3 substrats. *: - Avant l'apparition des polypeptides la probabilité de la rencontre des 3 substrats est très faible et c'est le rôle principale de l'enzyme que de les réunir. Dans mon hypothèse, l'environnement avec ses aas libres favorisant tant soit peu la réaction, il est difficile d'imaginer que l'énergie libérée par l’hydrolyse de l'ATP soit récupérée à distance par la ligase. Elle est tout simplement diffusée dans son environnement. Il y a ainsi 7 couplages avec 3 molécules pour le substrat dont 6 avec ATP et une avec GTP. *: - L'enzyme EC6347 peut être remplacée par EC242.14 qui est bidirectionnelle et peut être vue comme le résultat (pas la somme) de 2 transaminases indépendantes. Une à 2 substrats utilisant NH3 et produisant 5P-Ribosylamine +PP qui sont utilisés avec Glu par la 2ème à 3 substrats produisant Gln. Gln peut être produit donc avant l'apparition de l'ATP. *:: + PRPP +NH3 donne <> 5P-ribosylamine +PP *:: + 5P-Ribosylamine +PP +Glu donne <> Gln +PRPP *: - L'enzyme EC6331 n'a que 2 molécules comme substrat comme les kinases et peut être envisagée avant l'apparition de l'ATP en remplaçant celle-ci par PEP. *Comment résoudre le couplage prébiotique nécessaire à la synthèse de novo de l'ATP nécessitant 7 couplages successifs. *: - Dans les réactions que j'ai réunies pour le proto-métabolisme il n'y a que 5 autres couplages non sucessifs: 2 pour CoA 1 pour acetyl-CoA et 2 pour THF. *: - Il faut des concentrations élevées de PEP NH3 Formate Asp Gly Pi *: - Est-ce que les 9 autres aas existants peuvent aider ces couplages: Cys Ser Thr Ala Lys Glu Gln Pro Arg. Et les ceto-acides: Lactate malate oxaloacetate fumarate oxo-glutarate pyruvate; et les acides glycolate acétate propionate =====Formation de l'Uracile===== *Pathway: arginine *: - *ATP +HCO3- +NH3 donne <> Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &emsp;&emsp;'''Carbamoyl-P''' *Pathway: pyrimidines *: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |>''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &emsp;&emsp;'''N-Carbamoyl-Asp''' *: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne <> N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &emsp;&emsp;'''(S)Dihydroorotate''' *: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne <> Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &emsp;&emsp;'''Orotate''' *::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. *:: + *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *::: * Malate vient directement de Pyruvate.Voir Krebs et pyruvate *:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase *: - *Orotidine-5'P +PP donne <> Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &emsp;&emsp;'''Orotidine-5'P''' *: - *Orotidine-5'P '''donne |>''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &emsp;&emsp;'''UMP''' *: - *UMP +Pi '''donne |>''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &emsp;&emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''') *: - *UMP +ATP donne <> UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &emsp;&emsp;'''UDP''' (idem CDP) *: - *UDP +ATP donne <> UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &emsp;&emsp;'''UTP''' (idem CTP) *: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |>''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &emsp;&emsp;'''CTP''' *: - * *: - *Uracil +dRibose-1P donne <> dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &emsp;&emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''') *:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase. *: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP *: - * *: - *dR-base1 +base2 donne <> dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dR-Base1 Base2''' *: - *dUridine +C donne <> dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dCytidine''' *: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP *: - * *: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |>''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &emsp;&emsp;'''dTMP''' et '''DHF''' *: - *dTMP +H2O '''donne |>''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &emsp;&emsp;'''Thymidine''' *: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine *Synthèse *: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP *: - produit: succinate, PP, CO2 *: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP *: - utilise: ADP '''FMN''' *: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine *: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase *: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase. =====Formation de His===== *Pathway: histidine *: - *ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |>''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &emsp;&emsp;'''PRPP-AMP''' *: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |>''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &emsp;&emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |>''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &emsp;&emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |>''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR *: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |>''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne <> Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &emsp;&emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein) *: - *Histidinol-P '''donne |>''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &emsp;&emsp;'''Histidinol''' *: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |>''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidinal''' *: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |>''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidine''' *Synthèse *: - Étapes: 10 à partir de ATP *: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines) *: - consomme: ATP, PRPP, NH3 *: - Utilise: 2 NAD *: - B6: avec B6 =====Récapitulation aas===== *Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |> <u>'''Ala''' sans B6</u> *Pyruvate (Glycolyse); Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne <> Pyruvate + '''Ser''' avec B6 *Glycolate; Glycolate + NAD donne <> Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne <> HxP + '''Gly''' avec B6 *H2S; Ser + H2S donne |> H2O + '''Cys''' avec B6 *Ethanol; Ethanol + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne <> '''Thr''' avec B6 *Pyruvate; 2 Pyruvate donne |> Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-Lactate NAD <> v1, v1+NAD donne <> v2; v2 donne |> v3 + H2O; v3 +NH3 donne |> H2O + <u>'''Val''' sans B6</u> *Thr donne |> Oxobutanoate + NH3 avec B6 *Pyruvate + Oxobutanoate donne |> Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD <> l1, NAD <> l2; l2 donne |> l3 + H2O; l3 +NH3 donne |> H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr *Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |> A1 (avec B6), A1 donne |> A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |> NAD + <u>'''Asp''' (sans B6)</u> * voie Pyruvate *: - Pyruvate +ATP+H2O donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi *: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne <> oxaloacetate + ATP *: - Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)''' *Asp +ATP +NH3 donne |> AMP + PP + <u>'''Asn''' (sans B6)</u> *Asp + ATP donne |> 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6 * Après formation de l'ATP *: - ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6 =====B6 Pyridoxal-P===== *D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser *Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref> *: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu *Biosynthèse de B6 *: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu. *: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant: *:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a <u>molecular tunnel that is almost 100 A in length</u> [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6] *:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a <u>substrate-protective tunnel</u> to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''. *:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and <u>channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel</u>. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants. *: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul. *Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P *: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |>''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi <u>EC4336</u> R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine''' *: -* *: -*Pyridoxal +ATP '''donne |>''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine +ATP '''donne |>''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P''' *: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |>''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne <> Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne <> Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne <> Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal''' *: -* *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +NADP donne <> Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -* *: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6. *: -*L-Ala donne <> D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6 *: -*Pyruvate + D-Glu donne <> D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6 *Synthèse *: - Étapes: une seule *: - produit: directement le pyridoxal seul! *: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate. *: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.) =====NAD nicotinamide adenine dinucléotide===== *Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]] *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) *Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp *: -*Asp + NAD '''donne |>''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp''' *: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne <|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate''' *:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity. *Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes) *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *: - * *: -*Quinolinate + PRPP '''donne <|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide''' *: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne <> Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD''' *:: + '''ATP en substrat''' *: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |>''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+''' *:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln. *: -*NAD + ATP '''donne |>''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+''' *Synthèse *: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN) *: - produit: 2 PP *: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP *: - Utilise: 2 ATP, FAD *: - B6: néant *: - comparaison des 2 voies: *:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S]. *:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution. =====FMN FAD riboflavines===== *Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques. *Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP '''donne <|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil''' *: -*P-ribitylamino-uracil + H2O '''donne |>''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil''' *: -*Ribulose-5P '''donne |>''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P''' *: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |>''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine''' *: -*2 ribitylLumazine '''donne |>''' Riboflavin + ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin''' *:: + A flavoprotein (riboflavin). *: -*Riboflavin + ATP '''donne |>''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN''' *: -*FMN + ATP '''donne |>''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD''' *Synthèse *: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD *: - produit: 2 Formates, NH3 *: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP *: - Utilise: ATP, NADP =====Phe Tyr Trp===== *Les aas aromatiques. Chorismate nécessite FMN. *Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose *: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |>''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase Metacyc de P2 à 1 P '''céto-Fructose-1P''' *:: +*D-Lactate +NAD donne <> Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase ecocyc (schem bi) RL ΔG=+3.33 '''D-Lactate''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne <> D-Lactate +NAD EC121.23 R01735 oxydoreductase pas de REHA '''D-Lactaldehyde''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne <> Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase Metacyc bi '''Methylglyoxal''' *: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |>''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase Metacyc de Asp '''heptulosonate''' *:: +*Asp +ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''Asp-P''' *:: +*Asp-P +NADP '''donne <|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-semialdehyde''' *: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |>''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate''' *: -*Dehydroquinate donne <> Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate''' *: -*Shikimate +NAD donne <> Dehydroshikimate +NAD EC111.24 R06847 oxydoreductase ecocyc LR de shikimate ΔG=-12.20 '''Shikimate''' *: -*Shikimate +ATP '''donne |>''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase ecocyc LR de ATP ΔG=-16.06 '''Shikimate-3P''' *: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate <> Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P''' *: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |>''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate''' *::: .. Requires '''FMN''' *: -*Chorismate donne <> Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate''' *: -*Prephenate donne <> Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate''' *: -*Phe +NAD +H2O donne <> Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6) *: -*Prephenate +NAD donne <> OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate''' *: -*Tyr +NAD +H2O donne <> OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6) *: -*Chorismate +NH3 '''donne |>''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate''' *::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit. *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne <> Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P''' *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne <> Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P''' *: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne <> Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P''' *: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne <> Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' <u>(avec B6)</u> *: - * *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *Synthèse *: - Etapes *:: + Voie commune 11 étapes *:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun *:: + Trp 5 étapes *:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée *: - Produit *:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3 *:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun *:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P *:: + Quinolinate: H2O (rien) *: - Consomme *:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate *:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun *:: + Trp: NH3, PRPP, Ser *:: + Quinolinate, '''2 fois O2''' *: - Utilise *:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP *:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr *:: + Trp: rien *:: + Quinolinate: '''FAD''' *: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6. =====TPP Thiamine pyrophosphate===== *Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas. *Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5. *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire. *:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea. *: -*NAD + Gly +H2S '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |>''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante *: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |>''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P''' *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His). *:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. *: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |>''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P''' *: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne <|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP''' *Biosynthèse de la Thiamine *: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |>''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P''' *: -*Thiamine-P +ATP '''donne |>''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP''' *: -*Thiamine-P +H2O '''donne |>''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine''' *: -*Thiamine +H2O '''donne |>''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole''' *: -*Thiazole +ATP '''donne |>''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P''' *: -*Pyrimidine +ATP '''donne |>''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys) *:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea. *: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP *:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide. *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons. *:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis. *Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP *: - produit: *:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; *:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme) *:: + CO2 PP *: - consomme: *:: + NAD Gly H2S *:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6 *:: + énergie *: - Utilise: *:: + rien *:: + ATP *:: + ATP =====CoA Coenzyme A===== *La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine. *: -*Acetolactate + NADP '''donne <|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*Dimethyl-malate +NAD donne <> methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate''' *: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne <> Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate''' *: -*Pantoate + NAD donne <> Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate''' *: -*Asp '''donne |>''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala''' *:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group. *: -*beta-Ala + Pantoate +ATP '''donne |>''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate''' *: -*beta-Ala + Pantoate '''donne |>''' Pantothenate +H2O EC351.22 R02474 hydrolase '''Pantothenate''' *:: + Article 1966 <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/5/2/399/99824/The-Bacterial-Degradation-of-Pantothenic-Acid-II?redirectedFrom=fulltext</ref>, pseudomonas P-2. *: -*Pantothenate +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate''' *: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives. *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantoate + Cys +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +AMP +PP EC632.51 R04230 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |>''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantetheine +ATP donne <> dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA''' *: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |>''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA''' *Synthèse *: - 13 étapes de Pyruvate à CoA *: - produit: 3 CO2; 3 PP *: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys *: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP *: - B6: pas de B6 =====Val Ile Leu===== *Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul. *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *: -*Acetolactate donne <> OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate donne <> methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' *: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |>''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6) *: -*Ile *: -*Thr '''donne |>''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6) *: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate''' *: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne <> OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate donne <> 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate''' *: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |>''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6) *: -*Leu *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val *: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |>''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate''' *:: +*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*2-Isopropyl-malate donne <> 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate''' *: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne <> 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate''' *: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne <> 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate''' *: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 <u>spontanée</u> R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate''' *: -*Leu +NAD +H2O '''donne <|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6) *Synthèse *: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu. *: - produit *:: + Val: CO2 *:: + Ile: CO2 NH3 *:: + Leu: CO2 *: - consomme *:: + Val: 2 Pyruvate NH3 *:: + Ile: Thr NH3 *:: + Leu: Acetate NH3 *: - Utilise *:: + Val: NADP NAD *:: + Ile: NADP NAD *:: + Leu: ATP CoA 2 NAD *: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6 =====Methionine Met===== *Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. *Pathway: cysteine methionine *: -*acetyl-CoA + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' *: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6) *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (avec B6) *: -*Met +ATP +H2O '''donne |>''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase *: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |>''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met''' voie des sulfures *: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |>''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6) *Synthèse *: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met. *: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici. *: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. *: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol *: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate. *: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP. *:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met. *:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6. =====Glutamate Glu Gln===== *Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs *: -*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne <> Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' *: -*Citrate donne <> Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' *: -*Cis-aconitate +H2O donne <> Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' *: -*Iso-citrate +NADP donne <> oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' *: -*oxalosuccinate donne <> 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' *: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne <> Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6) *: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |>''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase ΔG=-6.77 kcal/mol 469 aas direct de Glu '''Gln''' (sans B6) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 kcal/mol '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. Homo tetramer. 505 aas. *Synthèse *: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln *: - produit: CO2, CoA, Glu *: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3 *: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP *: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln *: - Gln sans ATP: EC242.14. Dans le commentaire NH3 peut remplacer Gln. A partir de là on obtient PRA et PP. PRA est très instable, aussi en présence de Glu et de PP se forme PRPP et Gln avec un ΔG=2.05 kacl/mol meilleur qu'avec l'ATP et favorable à la réversibilité. Donc PRPP + NH3 + Glu donne Gln, peut être en petite quantité, mais peut être entraînée par l'ensemble des autres aas. =====Arginine Arg Pro===== *Nécessite CoA et Glu *: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |>''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu''' *: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |>''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P''' *: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde''' *: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne <|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6) *: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne <> Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine''' *: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase ΔG=6.17 kcal/mol bi metacyc ecocyc, eco 297 aas. 2630 êtres dont 645 archées '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-5-semialdehyde donne <> Pyrroline-5-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *: -* *Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.) *: -*Glu +ATP '''donne |>''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' *: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' *: -*Ornithine +2-oxoglutarate donne <> Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6) *:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' (sans B6) *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-semialdehyde donne <> Pyroline-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *Synthèse sans CoA *: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée *: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P *: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2 *: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD *: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro. =====THF pour TMP===== *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |>''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P''' *: -*Dihydroneopterin-P '''donne |>''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin''' *:: +*Chorismate +Gln '''donne |>''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' *::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate *:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |>''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6) *: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |>''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate''' *: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |>''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10327</ref>. ATP-dependant reaction, est-ce que ATP a un site propre pour son hydrolyse? *: -*THF +NADP '''donne <|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF''' *: -* *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate. *: -* *: -*THF +ATP +Formate donne <> Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF''' eucaryotes *: -*Formyl-THF +P-Ribosylglycinamide donne <> THF +P-Ribosyl-N-formylglycinamide EC2122 R04325 formyl ligase '''Formyl-THF''' bactéries *:: + ecocyc: <ref>https://www.kegg.jp/entry/eco:b2500</ref>, voir formation ATP *: -*Methenyl-THF +H2O donne <> Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF''' *: -*Methylene-THF +NADP donne <> Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF''' *: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |>''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine) *Synthèse *: - 12 étapes de GTP à TMP *: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate *: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3 *: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP =====Acides gras===== *Commencent avec Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA '''donne |>''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne <> Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA donne <> Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA''' *: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne <|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA''' *: - * *: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |>''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA''' *:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl *: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne <> trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA''' *: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à 16 carbones *: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |>''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate''' *Dégradation *: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |>''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |>''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne <> trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA''' *: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA donne <> Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA''' ==essai 1== <pre> Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques. Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu. Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé. Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers. C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation. L'auto-organisation prébiotique *partir du postulat *pas de catalyse minérale des liaisons covalentes *liposome aux interactions faibles *grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis *Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies. *échanges avec l'extérieur *Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau. *A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. *homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme. *L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira. </pre> ==essai 2== *PLD de krishnamurty <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> *Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique *La question de CTP pour l'initialisation de la membrane ===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique=== *Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique: *: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation. *: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle. *: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité. ==essai 3== 12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion. *Deux points importants de la critique du passé de mes essais: *: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? *: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques? *Le nouveau concept *: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile. *: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. *: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile. ==essai 4== 21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a? * Les lectures: *: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).<ref>https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full</ref> *: - Les expériences en laboratoire *:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 <ref> https://theses.hal.science/tel-05407367</ref> *:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 <ref>https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/</ref> *:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 <ref>https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116</ref> * Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides. * Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction *: - en profondeur, avec des températures (>300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction *: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales. *: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (<100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec <u>R.Pascal</u>: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691</ref> *: - <u>Formation des pores d'échange dans la bicouche</u>: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse. *: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP <ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol</ref>. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66. ==essai 5== 15/06/26 Paris. *Les 5 principes *#L'auto-organisation *#La continuité *#La séquestration et la néguentropie *#La différence réaction abiotique/biotique *#L'autonomie *L'environnement prébiotique *: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques *:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire) *:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4 *:# Les minéraux dont les phosphates *:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate *:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3 *: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) *: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes. ===L'auto-organisation=== *Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales. ==essai 6== ===Le processus néguentropique=== *Paris le 5/8/26 ===Introduction à la problématique de la recherche sur les origines de la vie=== *Paris le 2/9/26 *Les ribosomes miroir <ref>https://fr.scienceaq.com/Chemistry/1001083878.html</ref> *RNA polymérase <ref>https://fondation-inserm.org/les-bacteries-miroirs-menace-ou-curiosite-scientifique</ref> ====Le contrôle dual==== *Paris 14.10.26 *Simulateur hydrothermales 2025: formiate acétate pyruvate méthanol NH4 glycolate lactate propionate éthanol, pas de P H2S *Krebs 2024: d'où vient oxaloacétate? CO2 pyruvate oxaloacétate glyoxylate H2+Formiate (équivalent NAD), pas de P H2S, NiFe 22°C pression atmosphérique. *PP 2026: PP est proposé pour remplacer ATP, l'article '''acP de 2016''' propose l'acétyl-P très fragile et peu fréquent. *Moi je propose PEP 2017. *Glycolyse 2014: plusieurs réactions (des isomérase) de l'interconversion des sucres se fait dans l'eau sans enzymes. La non adhésion aux investigations de Muller depuis 1953, recherche des réactions abiotiques qui produisent des molécules biotiques (formaldéhyde adénine...) ne ressemblent aucunement aux réactions biotiques. Glycolyse 2014 m'a conforté dans une idée que j'étais entrain d'appréhender en listant les voies métaboliques de KEGG en partant du simulateur 2025: ces voies ont existé depuis le départ (prébiotiques) dans le système abiotique hydrothermal. *Le contrôle dual: C'est en lisant l'introduction de acP 2016 du chapitre 5, la non adhésion de l'auteur aux investigations de Muller comme je l'ai fait auparavant, m'a encouragé à imaginer un processus qui pourrait se produire dans les sources hydrothermales qui contraindrait ces voies métaboliques égales à celles biotiques actuelles du point de vue du substrat et bien sûr thermodynamique. *: - L'analogie s'est imposée immédiatement: dans le biotique actuel les enzymes créent et contrôlent le métabolisme de base (sucres acides nucléotides minéraux etc.) et de même ce métabolisme contrôle ces enzymes. C'est ce que j’appelle le contrôle dual, qui se fait dans les 2 sens. Mon idée est apparue alors immédiatement, ce sont les voies que je listais auparavant qui se concrétisent. Le métabolisme de base c'est celui des sources hydrothermales, vues alors comme un écosystème biotique hydrothermale, et les enzymes ce sont les aas libres qu'il produit. C'est le contrôle dual prébiotique. *: - La caractéristique principale de ce métabolisme prébiotique qui se crée dans cet écosystème c'est qu'il se fait par étapes. *:: + 1ère étape: simulateur 2025 et krebs 2024 auxquels il faut ajouter PP 2026: Les analogues sont NAD (formiate +H2 +NiFe) et NH4. *::: * céto-acides: Pyruvate Glyoxylate oxaloacetate ceto-glutarate; Krebs 2024 *::: * acides aminés: Ala Gly Asp Glu; enzymes, Ec1411 Ala(5808) Ec261.44 Gly(3043) Ec261.35 Asp(144) Ec1412 Glu(4450) *::: * OH-acides : Lactate Glycolate Malate OH-céto-Glutarate. Correspondant aux enzymes ; Ec111.27 Lac(4198) Ec111.26 Glc(2328) Ec111.37 Mal(8815) Ec111.38 Pyr(5455)[Pyruvate Malate] Ec111.399 OH-Glu(10321) *:: + 2ème étape, création de Pro (5): c'est le résultat de Glu-P sous l'action de PP, suivie de l'action de l'analogue de NAD comme dans la 1ère étape. L'analogue de ATP est PP qui produit un analogue plus puissant PEP 2017. La 1ère étape a produit aussi les alpha céto-acides: cAla (Lactate) cAsp (Malate) cGly (glycolate) cGlu (alpha céto-glutarate). 1th694iuuj7814wrhmrif809js3ecph 987466 987465 2026-10-16T10:42:32Z Mekkiwik 5298 /* Le contrôle dual */ 987466 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = biologie | parent = [[Recherche:Laboratoire d'études prébiotiques|Laboratoire d'études prébiotiques]] }} {{Hypothèse | titre = Chiralité prébiotique 2 | parent = [[Recherche:Département:Biologie|Département de recherche en Biologie]] | image = {{idfaculté/logo/biologie}} }} <div style="text-align:center;"><span style="font-size:180%;"> '''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:</br> l'auto-organisation prébiotique.'''</span></div> ==pense bête 1== *L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1. *Définir l'auto-organisation au stade prébiotique *Les erreurs par rapport à cette organisation sont *: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? *: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage. *Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome: *: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite. *: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques. *L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome *: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1. *: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K. *: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine. *: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones. *Auto-organisation des liposomes *: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive? *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome. *: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas. *: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture. *: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions? *: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale. *: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes *: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après. ==pense bête 2== *L'auto-organisation aas + acides gras *: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale *: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe. *: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras. *: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche. *Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras. *# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline *# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides *# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD *# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4--- *# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D? *# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH *# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G Alanine A Histidine H *# - Les stéroides chez les procaryotes ==pense bête 3== *Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre *: - soupe prébiotique *: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique *: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique *: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle. *: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs. *: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées. *: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication. *: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique. *: - étape transcription/ traduction *: - étape réplication/division ==pense bête 4== *Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. *Extraits d'internet: *: - "''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''" *: - La membrane externe des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe</ref>. *: - La membrane interne des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne</ref>. *: - MAM <ref>https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&_x_tr_tl=fr&_x_tr_hl=fr&_x_tr_pto=rq</ref> *: - La mitochondrie <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie</ref> *: - Génome mitochondrial <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial</ref>: aucun gène de synthèse d'un phospholipide *: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse</ref> *: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: "Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle." dans RL fonctions de reticulum endoplasmique <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique</ref>. *Étape de cristallisation 2: *Étape de polymérisation 2: ==pense bête 5== *Étape des eucaryotes 3: *: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel. *: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte. *Hydrogénosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome</ref> et mitosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome</ref>: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes. *Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster <ref>https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf</ref> (page 3). *La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau. ==pense bête 6== *auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome. *Les contraintes résultantes: 4 exemples, *#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, *#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, *#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. *#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte</ref>, paragraphe 3 *#: - "Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré." *#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases. *#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D</ref> de wikipédia, "Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D" il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L. *#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré "qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries". *#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début) *#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L. *# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. *#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00040</ref> LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. *#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00010</ref>qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. *# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation. *polymérisation 2: *: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible. *: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques. *: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier. *: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome. *: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation. *: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace. *: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces. ==pense bête 7== *Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2. *Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane. *Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L, elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D. *Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite. ==pense bête 8== *Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD .... *: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217 *: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln. *: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. *: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP). *: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP] *: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA. *: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est *:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+ + 2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===> dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées. *:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF. * En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, *: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas *: - Asp donne Asn et Ala *: - Glu donne Gln *: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique. *Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse *Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras. ==pense bête 9== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8. *: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P *:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) <> Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)<span style="background-color: #ffff00;"> > </span>Fructose 6P + P, '''*'''531.27 <> arabino 6P, '''*'''412.43 <> Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) <> Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) <> R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) <> R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) <> PRPP. *:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) <> dR-5P, '''*'''5427 (mutase) <> dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) <> dR + ATP. *:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. *: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His *:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) > carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) > Asp-CB, '''*'''3523 > orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') > orotate, '''*'''241.10 (PRPP) > orotidine-P, '''*'''411.23 > UMP. *:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) > CTP *:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) > dRU, '''*'''271.21 (dGTP) > dUMP *:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 < > base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C *:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP > dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier) *:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) > R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) > RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) > RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) > RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) > Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) > AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) > AIR-C-CO2H (CAIR), '''*'''6326 (ATP Asp) > CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 > carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) > FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) > IMP +H2O. *:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) > IMP-sucino, '''*'''4322 > AMP + fumarate. *:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) > XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) > GMP *:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) > dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) > dAMP et dGMP *:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) > PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) > 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) > R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) > Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) > Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) > oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) > P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') > Histidinal puis His. *: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs. *:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') > H2O2 (ou succinate) + iminoAsp > en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') > quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) > Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) > NAD+, '''*'''271.23 (ATP) > NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP). *:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) > pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) > 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) > 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) > butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) > lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) > Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP > dATP > CTP > UTP) > FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) > FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) > FADH2 et (FMN NAD) > FMNH2. *:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) > Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) > idem. *:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) > formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 > neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 > dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) > PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) > dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) > dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') > tetrahydrofolate. *::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) > Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) > prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) > chorismate, '''*'''261.85 (NH3) > amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) > 4-amino-benzoate et pyruvate. *:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr''' pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) > aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') > CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 > CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) > dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') > pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) > pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) > ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) > P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 > P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) > PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) > CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP). *: - Synthèse des aas *:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, *::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) > indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') > Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) > Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) > anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') > '''PRPP''' Anthranilate *::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) > Gly '''OH-Pyruvate''' *::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') > Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') > '''OH-Thr''' (voir synthèse B6) *::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) > Cys, idem (Ser '''HomoCys''') > '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) > Cys NH3 '''Oxo-butanoate''' *::: - Asp > Asn et '''*'''411.12 (Asp) > Ala et CO2 *::: - Glu > Gln *::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') > Urocanate NH3 "MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine", '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) > Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) > Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) > formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') > Histamine et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') > NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) > Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) > Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) > Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) > formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) > Formate et Asp. *::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui >nt 7 aas dérivés. Pour His >rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr. ==pense bête 10== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres. *: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr. *: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé. *: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met. *: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA): les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas. ==pense bête 11== *Tanger le 7/12/25 * Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG). * C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs. * L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment. *Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate</ref>. Le C de CO2 est lié à N de NH2. *Les aminonitriles: *: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. *: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp. *: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42. *:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde. *:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes. * L'histidine * Les aromatiques * Lysine ornitine et proline ==pense bête 12== *Paris le 27/02/26 *Les lectures *: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015 *: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005 *: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024, *Plan *: - postulat: ça s'est fait tout seul *: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique *: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique *: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports) *Les aas abiotiques: *: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C *:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025 *:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24) *:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation *:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation. *:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde) *:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement) *: - autres *:# Ser, aubrey faible *:# Thr, plus acétate *:# Asn, NH3 *:# Gln, NH3 *: - Formose *:# His, erythrose formamidine HCN *: - FTT *:# Trp, indole plus Ser ou Fritz *:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN *:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN *:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin *:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin *:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser *:# Met, homocystéine plus CH3 *: - Réactions quasi biotiques *:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline *:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3 ===notes des lectures=== *Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure). *Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h *Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. *: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:"Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides." *: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: "L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019)." J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr ==pense bête 13== *Paris 29/6/26 *Article de départ *: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1). ===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs=== *hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3. ====Pyruvate bis==== *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) *:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne <> P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction) *: - *oxaloacetate + Pi donne '''|>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *: - *oxaloacetate + PP donne <> P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique <--- *:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne <> Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? <--- c'est mon hypothèse pour EC2791 *: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne <> P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2 EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' <--- *Pathway: glycolyse suite *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 (R00658) hydro-lyase <--- *: - *Glycérate-2P donne <> Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase *: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''') EC121.12 (R01061) oxydoréductase <--- *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase <--- *Pathway: Aspartate *: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''') EC1411 (R00396) oxydoréductase *:: + Contradiction '''subs/prod''' ====Glycolate bis==== *Pathway: glyoxylate *: - *Glycolate + Acceptor '''donne |>''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase *:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS? *:: + '''Formate'''? *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |>''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase *: - *Asp + NAD (formate) '''donne <|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410 *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase *:: + Contains pyridoxal phospate. *:: + ''confirmer que Cys est produite avant'' *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant'' *: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |>''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (<u>en labo sans enzyme mais très faible</u>) *:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 <ref>https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84</ref> nitrile hydratase.'' *: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |>''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase ====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate propionate phosphite==== *Compound, phosphite. Voir article sur Phosphite dans les sources hydrothermales <ref>https://www.biorxiv.org/content/10.64898/2025.12.19.695421v2.full</ref>. *: -Phosphite +NAD+ +H2O donne phosphate +NADH +H+ EC1.20.1.1 R05746 oxydoreductase. 146 bactéries, rien d'autre. Enx, enterobacter, 341 aas. Entrée créée en 2001 MAJ 2025. *: -Phosphite +AMP +NAD+ donne ADP +NADH +H+ EC1.20.1.2 R13633 oxydoreductase. Une seule référence <ref>https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.2309743120</ref>. Entrée créée en 2025. *Pathway: pyruvate métabolisme *: -*'''Ethanol''' + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein) bi ecocyc de ethanol ΔG=3.10kcal/mol. eco 891 aas. 8769 êtres dont 200 archées *: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate). 6796 êtres dont 132 archées *: -*'''Acetate''' +ATP donne <> Acetyl-P +ADP EC2721 R00315 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=-6.97 kcal/mol, 400 aas. 7664 êtres dont 28 archées *: -*'''Acetate''' +PP donne <> Acetyl-P +Pi EC272.12 R00320 kinase. Métacyc sens indéfini. Entamoeba histolytica seule référence de 1975 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/0006291X75905136?via%3Dihub</ref> *: -*'''Propionate''' +ATP donne <> Propionyl-P +ADP EC2721 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 7665 êtres dont 29 archées *: -*'''Propionate''' +ATP donne <> Propionyl-P +ADP EC272.15 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 375 bactéries pas d'archées *:: + comment: Involved in the anaerobic degradation of L-threonine in bacteria. Voir dans propanoate pathway EC123- de 2-oxobutanoate vers propanoyle-P, flèche sans enzyme. Le 2-oxobutanoate vient de la Thr. *: - *<u>Acetate + ''ATP +CoA donne <> Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''</u> archées *: - *<u>''Propanoyl-CoA +Formate donne <> 2-Oxobutanoate +CoA EC231.54 R06987 Formate lyase''</u> *: - *<u>''Acetyl-CoA +Formate donne <> Pyruvate +CoA EC231.54 R00212 Formate lyase''</u> *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10701</ref>, attention activation de l'enzyme par flavodoxin/ferredoxin-NADP+ reductase. *: - *'''Methanol''' + NAD donne <> formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein) *: -*formaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase *: - *'''Lactate''' + NAD donne <> '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase. 4141 êtres dont 16 archées *Pathway: glyoxylate métabolisme *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glyoxylate +NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase Metacyc bi. 2272 êtres dont 124 archées (mieux que ec111.29, voir Ser). *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glycolaldehyde +NAD +H2O EC121.21 R01333 aldehyde dehydrogenase ecocyc di de aldehyde ΔG=-17.03kcal/mol *: - *OH-pyruvate '''donne |>''' Glycolaldehyde +CO2 EC411.40 R01393 carboxylase Metacyc bi *Pathway: methane métabolisme *: - *'''Methanol''' + NAD '''donne |>''' formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase Metacyc di *Pathway: cysteine methionine *: - *'''Methanol''' + H2S donne <??> '''Methane thiol''' <u>ou bien le methane thiol est basique comme le methanol</u> *: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase *:: + *Asp + ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase *:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne <|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase *:: + *Asp-semialdehyde + NAD donne <> L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase *:: + *'''acety-CoA''' + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (B6 protein) ====Pyruvate==== =====Glycolyse===== *Pathway: Pyruvate *: - *Pyruvate +HCO3- +ATP '''donne |>''' Oxaloacetate +ADP +Pi EC6411 R00344 ligase metacyc de ATP (A biotinyl-protein) *: - *Malate +NADP donne <> Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc de Malate (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol *:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate. *: - *Malate +NAD+ donne <> Pyruvate +NADH +CO2 +H+ EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc et metacyc direct de Malate ΔG=-0.32Kcal/mol *:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate +H+ (non réversible) <ref>https://biocyc.org/reaction?orgid=ECOLI&id=1.1.1.39-RXN</ref>. *:: + thermodynamiquement Ec111.38 est réversible à cause de son ΔG=-0.32Kcal/mol. Mais dans la cellule elle a pour objet de produire du CO2 lors de l'accumulation de NAD+. Décompte génomes a b e: 458 9991 1295 *: - *Malate +NAD donne <> Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=4.46Kcal/mol *: - *oxaloacetate + Pi '''donne |>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 900 aas. *: - *oxaloacetate '''+PP''' donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bi son ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + abe: 0 250 10; grosse enzyme 1100 aas. Energie de liaison de PP 47.8 Kcal/mol et 1ère et 2ème PP dans ATP, sont égales à 7.3Kcal/mol; P-enolpyruvate 14.8kcal/mol *:: + Also catalyses the reaction: P-enolpyruvate + Pi = pyruvate + PP. <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/12/26/5247/105472/Carboxytransphosphorylase-VII-Phosphoenolpyruvate?redirectedFrom=fulltext</ref> *:: + ''Pyruvate +PP donne <> P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique? c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse) *: - *oxaloacetate +ATP donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +ADP EC411.49 R00341 kinase ecocyc de ATP (shem bi) ΔG=-7.02Kcal/mol *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 520 aas. *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP '''donne <|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 R00200 kinase biocyc de ADP ΔG=-2.23Kcal/mol *: - *Pyruvate +ATP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 R00206 dikinase (multi-step reaction) metacyc de ATP ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP +H2O donne <> P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 R00199 dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 R00658 hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> '''Glycérate-3P''' EC542.11 R01518 mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol *: - *Glycérate-3P + ATP donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 R01061 dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=8.23''' Kcal/mol (gauche-droite) *: - *Fructose-6P '''+PP''' donne <> Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini) *:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule. *:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; enzyme 300-600 aas. *: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |>''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) phosphorylase de f1.6 à f6 ΔG=6.89Kcal/mol) *: - *Fructose-6P +ATP '''donne |>''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol) =====Formation des aas à partir du pyruvate===== *Pathway: Ala Asp Glu *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) Metacyc bi. 5728 êtres dont 243 archées *Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate *: - voie P-Ser *: - *Glycérate-3P +NAD +H2O donne <> P-OH-Pyruvate +NAD EC111.95 R01513 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.03 kcal/mol. 10084 êtres dont 434 archées *: - *O-P-Ser +2-oxoGlu donne <> P-OH-Pyruvate +Glu EC261.52 R04173 transaminase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=0.08 kcal/mol. 8871 êtres dont 71 archées *: - *O-P-Ser +H2O '''donne |>''' L-Ser +Pi EC3133 R00582 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=9.27 kcal/mol. 8278 êtres dont 366 archées *: - voie Glycerate *: - *'''Glycérate-3P''' + H2O '''donne |>''' Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase. 1 seule référence de 1971 "sugarcane leaves" *:: + *Glycéraldéhyde +NAD +H2O donne <> Glycérate +NAD EC1213 R01752 oxydoréductase. 6796 êtres dont 132 archées pas de metacyc *:: + *Glycéraldéhyde +DHAP donne <> Fructose-1P EC412.13 R02568 lyase. Metacyc direct de Fructose. 11542 êtres dont 459 archées *::: * Pour obtenir Fructose-1P à partir de Fructose-6P, il faut 4 enzymes EC111.17, 313.22, 111.11, 2713 (une kinase) <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00051</ref> *::: * Le Glycéraldéhyde libre est bloqué comme le Glycerol <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00561</ref>. Il est rapidement transformé en Glycéraldéhyde-3P EC271.28 *:: + *Mannitol-1P +NAD donne <> Fructose-6P +NAD EC111.17 R00758 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.60 kcal/mol. 1867 êtres dont 2 archées *:: + *Mannitol +Pi donne <> Mannitol-1P +H2O EC313.22 R02167 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=7.22 kcal/mol. 2063 êtres dont 1 archées *:: + *Mannitol +NAD donne <> Fructose +NAD EC111.11 R00868 oxydoréductase. Metacyc bi. 443 êtres dont 0 archées (Ec111.67 1312,Ec111.67 83) *:: + *Fructose +ATP '''donne |>''' Fructose-1P +ADP EC2713 R00866 kinase. Metacyc direct de Fructose. 907 êtres dont 52 archées *: - *Glycerate + NAD donne <> Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase. 2077 êtres, eucaryotes, bactéries, 9 archées MM et 1 METB. Metacyc bi. *: - *'''Ser''' + Pyruvate donne <> Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein). 2913 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + Glyoxylate donne <> '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein). 2880 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + H2S '''donne |>''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein) 3754 êtres, eucaryotes, bactéries, 36 archées. pas de RHEA *: - *Ser +Acetyl-CoA donne <> O-Acetyl-Ser +CoA EC231.30 (R00586) transferase (sans B6) 8266 êtres, eucaryotes, bactéries, 170 archées. *:: + voie de E.Coli suivie de EC251.47 donne Cys avec B6. 8282 êtres *: - *'''Thr''' donne <> Gly + Acetaldehyde EC412.48 (R00751) transaminase (B6 protein) 6788 êtres, eucaryotes, bactéries, 100 archées. Ecocyc bi, ΔG=1.0 kcal/mol *: - *Thr '''donne |>''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein) *Pathway: Val Leu Ile biosynthese *: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat) *: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |>''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction) *: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne <> 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase *: - *Aceto-Lactate + NAD donne <> 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase *: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase *: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase *: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |>''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase *: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |>''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase *: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne <|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating *: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne <|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating *: - * *: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |>''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase *: - *2-isopropylmalate donne <> 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase *: - *2-isopropylmaleate + H2O donne <> 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase *: - *3-isopropylmalate + NAD donne <> 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase *: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée *: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne <|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating *Synthèse *: - 2 groupes *:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6, *::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate *::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate *::: * Cys: consomme H2S, basique *::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate *:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6 *::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD *::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA =====Formation de Asp et Asn ===== *Pathway: Glyoxylate *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |>''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp''' *: - *Asp + NAD '''donne <|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6) *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi *Pathway: Ala Asp Glu *: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |>''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase (sans B6) *: - *Asp +2-oxoglutarate donne <> Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase (avec B6) *: - *Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino lyase ecocyc bi ΔG=+3.19 Kcal/mol de Asp (sans B6) *: - *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *:: + Malate vient directement de Pyruvate *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein) *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6) *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique? *: - Voie Glyoxylate: *:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu. *:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate. *: - voie Ala Asp Glu *:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp. *: - voie cyanoamino acide: *:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude? *: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref>. *:: + =====Formation de Lys===== *Pathway: Lysine *: - *Asp + ATP '''donne |>''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''4-Asp-P''' *: - *4-Asp-P +NAD '''donne <|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-4-semialdehyde''' *: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |>''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase '''4Hydro-dipicolinate''' *: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne <|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase (spontanée: +H2O donne <> '''L-2-Amino-6-oxopimelate''') *: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne <> L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &emsp;&emsp; '''diaminopimelate''' *: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |>''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &emsp;&emsp; '''L-Lys''' (B6 protein) *: - *Lys +acetyl-P '''donne |>''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &emsp;&emsp; '''N6-acetyl-Lys''' *: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne <> N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein) *: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne <> 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &emsp; '''5-Acetamido-pentanoate''' *: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne <> 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &emsp; '''5-Aminopentanoate''' *: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne <> Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein) *: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne <> Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras) *Synthèse *: - étapes: 6 à partir de Asp *: - produit: NH3, CO2 *: - consomme: Asp, Pyruvate *: - utilise: ATP, 3 NAD *: - B6: avec B6 =====Formation des Riboses et dRiboses===== *Pathway: Pentoses phosphates *: - *D-Arabinulose-P donne <> '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase 185 aas metacyc direct de Arabi. 1303 êtres dont 291 archées *: - *D-Arabinulose-P donne <> D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase 211 aas metacyc bi. 1214 êtres dont 295 archées *: - *D-Ribose-5P donne <> D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase 219 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-6.13 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P donne <> D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-1.93 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P +ADP '''donne |>''' D-Ribose-1,5P2 +AMP EC271.212 (R11535) P-transferase 294 aas metacyc de ADP *: - *D-Ribose-1,5P2 + ATP '''donne |>''' PRPP +ADP EC274.23 (R06836) P-transferase 185 aas metacyc de ATP ecocyc bi ΔG=-2.03 kcal/mol *: - *D-Ribose-5P + ATP donne <> PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase 315 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-25.84 kcal/mol *: - * *: - *D-dRibose-5P donne <> '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase 259 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=5.12 kcal/mol *: - *D-dRibose-1P donne <> D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=?? comme Ribose? *Synthèse *: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose *: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P *: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde. *: - utilise: AMP; et rien *: - Note: PRPP peut être obtenu par 2 P-transférases qui peuvent utiliser PEP =====Formation de l'ATP===== *Pathway: purines *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +ADP +Pi EC6347 R01053 amido transférase oiseaux (article unique 1968 <ref>https://www.jbc.org/article/S0021-9258(18)91922-8/pdf</ref>) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. homo4mères *: - *PRA +Gly +ATP '''donne |>''' 5P-Ribosylglycinamide +ADP +Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-6.27 '''GAR''' *:: + ecocyc: séquentiel et ordonné. Tunnel. Monomère <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10792</ref> *: - *GAR +ATP +Formate '''donne |>''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-8.97 '''FGAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG11809</ref>, monomere *:: + EC2122 THF sans ATP R04325 ecocyc et Meta bi ΔG=16.47 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10799</ref>, monomere *: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |>''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20 '''FGAM''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10797</ref> 3 sites Gln d'abord, puis ATP puis FGAR. Monomère. Fusion de 3 enzymes. *: - *FGAM +ATP '''donne |>''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ecocyc et metacyc direct de ATP ΔG=9.97 '''AIR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10798</ref>. Pas de couplage, ATP attaque FGAM puis cyclase. Dimère. *: - *[AIR +HCO3- +ATP '''donne |>''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC634.18 R07404 ecocyc et Meta de ATP ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10796</ref>. dimère. Nonenzymatic carboxylation of AIR occurs. *: - *[AIRC donne <> 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=6.32 Metacyc et ecocyc de carboxyamno '''CAIR'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10793</ref>. octamère. Réversible si EC6336 est absente *: - *5-amino-1-(5-phospho-D-ribosyl)imidazole-4-carboxylate donne <> AIR +CO2 EC411.21 R04209 carboxylase Metacyc bi '''CAIR''' *: - *CAIR +Asp +ATP donne <> (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase ΔG=-7.66 '''SAICAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10791</ref>. Trimère. les sites ne sont pas élucidés. *: - *SAICAR donne <> 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase ΔG=9.84 ecocyc direct Metacyc bi '''AICAR''' *: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |>''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase '''Metacyc bi FAICAR''' *:: + EC2123 THF sans ATP R04560 ecocyc et Meta bi ΔG=18.96 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10795</ref>, monomere *: - *IMP +H2O donne <> FAICAR EC354.10 R01127 cyclase ΔG=26.85 ecocyc et Metacyc bi '''IMP''' *: - *IMP +GTP +Asp '''donne |>''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-103.56 '''car-AMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10790</ref>. dimère. Les binding sites sont élucidés. *: - *car-AMP '''donne |>''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase ΔG=55.05 ecocyc direct metacyc bi '''AMP''' *: - *IMP +NAD +H2O '''donne |>''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase ecocyc et Metacyc bi ΔG=2.43 '''XMP''' *: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |>''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-5.44 '''GMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10420</ref>. dimère. Sans Gln il n'y a que 2 binding sites, ATP et XMP. Le contrôle est strict avec Gln mais pas avec NH3. *: - *GMP,AMP +ATP donne <> GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &emsp;&emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP''' *: - *GMP,AMP +ADP donne <> Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &emsp;&emsp;'''Guanosine, Adenosine''' *: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne <> G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &emsp;&emsp;'''G, A''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne <> G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &emsp;&emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |>''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &emsp;&emsp;'''dGMP,dAMP''' *: - *dGMP,dAMP +ATP donne <> dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &emsp;&emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP''' *Synthèse *: - étapes: 12 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP *: - produit: 2 Fumarate CO2 *: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 Gly *: - utilise: 7 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une carboxylase et une cyclase n'utilisent pas ADP. *: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP. =====La synthèse de novo de l'ATP et le couplage de 2 réactions===== *Problématique: *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase *: - Dans la réaction R01053 l'enzyme EC6347 en fait 2 réactions en parallèle: *:: + L'hydrolyse ATP +H2O '''donne |>''' ADP +Pi, fournit à l'enzyme l'énergie nécessaire pour lier NH3 au Ribose *:: + Ribose-5P +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +H2O *: - La réaction R01053 est directionnelle. C'est le cas des autres réactions faisant intervenir 3 substrats. *: - Avant l'apparition des polypeptides la probabilité de la rencontre des 3 substrats est très faible et c'est le rôle principale de l'enzyme que de les réunir. Dans mon hypothèse, l'environnement avec ses aas libres favorisant tant soit peu la réaction, il est difficile d'imaginer que l'énergie libérée par l’hydrolyse de l'ATP soit récupérée à distance par la ligase. Elle est tout simplement diffusée dans son environnement. Il y a ainsi 7 couplages avec 3 molécules pour le substrat dont 6 avec ATP et une avec GTP. *: - L'enzyme EC6347 peut être remplacée par EC242.14 qui est bidirectionnelle et peut être vue comme le résultat (pas la somme) de 2 transaminases indépendantes. Une à 2 substrats utilisant NH3 et produisant 5P-Ribosylamine +PP qui sont utilisés avec Glu par la 2ème à 3 substrats produisant Gln. Gln peut être produit donc avant l'apparition de l'ATP. *:: + PRPP +NH3 donne <> 5P-ribosylamine +PP *:: + 5P-Ribosylamine +PP +Glu donne <> Gln +PRPP *: - L'enzyme EC6331 n'a que 2 molécules comme substrat comme les kinases et peut être envisagée avant l'apparition de l'ATP en remplaçant celle-ci par PEP. *Comment résoudre le couplage prébiotique nécessaire à la synthèse de novo de l'ATP nécessitant 7 couplages successifs. *: - Dans les réactions que j'ai réunies pour le proto-métabolisme il n'y a que 5 autres couplages non sucessifs: 2 pour CoA 1 pour acetyl-CoA et 2 pour THF. *: - Il faut des concentrations élevées de PEP NH3 Formate Asp Gly Pi *: - Est-ce que les 9 autres aas existants peuvent aider ces couplages: Cys Ser Thr Ala Lys Glu Gln Pro Arg. Et les ceto-acides: Lactate malate oxaloacetate fumarate oxo-glutarate pyruvate; et les acides glycolate acétate propionate =====Formation de l'Uracile===== *Pathway: arginine *: - *ATP +HCO3- +NH3 donne <> Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &emsp;&emsp;'''Carbamoyl-P''' *Pathway: pyrimidines *: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |>''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &emsp;&emsp;'''N-Carbamoyl-Asp''' *: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne <> N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &emsp;&emsp;'''(S)Dihydroorotate''' *: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne <> Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &emsp;&emsp;'''Orotate''' *::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. *:: + *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *::: * Malate vient directement de Pyruvate.Voir Krebs et pyruvate *:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase *: - *Orotidine-5'P +PP donne <> Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &emsp;&emsp;'''Orotidine-5'P''' *: - *Orotidine-5'P '''donne |>''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &emsp;&emsp;'''UMP''' *: - *UMP +Pi '''donne |>''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &emsp;&emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''') *: - *UMP +ATP donne <> UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &emsp;&emsp;'''UDP''' (idem CDP) *: - *UDP +ATP donne <> UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &emsp;&emsp;'''UTP''' (idem CTP) *: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |>''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &emsp;&emsp;'''CTP''' *: - * *: - *Uracil +dRibose-1P donne <> dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &emsp;&emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''') *:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase. *: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP *: - * *: - *dR-base1 +base2 donne <> dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dR-Base1 Base2''' *: - *dUridine +C donne <> dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dCytidine''' *: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP *: - * *: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |>''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &emsp;&emsp;'''dTMP''' et '''DHF''' *: - *dTMP +H2O '''donne |>''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &emsp;&emsp;'''Thymidine''' *: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine *Synthèse *: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP *: - produit: succinate, PP, CO2 *: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP *: - utilise: ADP '''FMN''' *: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine *: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase *: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase. =====Formation de His===== *Pathway: histidine *: - *ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |>''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &emsp;&emsp;'''PRPP-AMP''' *: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |>''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &emsp;&emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |>''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &emsp;&emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |>''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR *: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |>''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne <> Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &emsp;&emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein) *: - *Histidinol-P '''donne |>''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &emsp;&emsp;'''Histidinol''' *: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |>''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidinal''' *: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |>''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidine''' *Synthèse *: - Étapes: 10 à partir de ATP *: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines) *: - consomme: ATP, PRPP, NH3 *: - Utilise: 2 NAD *: - B6: avec B6 =====Récapitulation aas===== *Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |> <u>'''Ala''' sans B6</u> *Pyruvate (Glycolyse); Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne <> Pyruvate + '''Ser''' avec B6 *Glycolate; Glycolate + NAD donne <> Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne <> HxP + '''Gly''' avec B6 *H2S; Ser + H2S donne |> H2O + '''Cys''' avec B6 *Ethanol; Ethanol + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne <> '''Thr''' avec B6 *Pyruvate; 2 Pyruvate donne |> Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-Lactate NAD <> v1, v1+NAD donne <> v2; v2 donne |> v3 + H2O; v3 +NH3 donne |> H2O + <u>'''Val''' sans B6</u> *Thr donne |> Oxobutanoate + NH3 avec B6 *Pyruvate + Oxobutanoate donne |> Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD <> l1, NAD <> l2; l2 donne |> l3 + H2O; l3 +NH3 donne |> H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr *Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |> A1 (avec B6), A1 donne |> A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |> NAD + <u>'''Asp''' (sans B6)</u> * voie Pyruvate *: - Pyruvate +ATP+H2O donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi *: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne <> oxaloacetate + ATP *: - Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)''' *Asp +ATP +NH3 donne |> AMP + PP + <u>'''Asn''' (sans B6)</u> *Asp + ATP donne |> 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6 * Après formation de l'ATP *: - ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6 =====B6 Pyridoxal-P===== *D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser *Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref> *: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu *Biosynthèse de B6 *: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu. *: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant: *:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a <u>molecular tunnel that is almost 100 A in length</u> [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6] *:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a <u>substrate-protective tunnel</u> to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''. *:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and <u>channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel</u>. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants. *: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul. *Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P *: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |>''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi <u>EC4336</u> R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine''' *: -* *: -*Pyridoxal +ATP '''donne |>''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine +ATP '''donne |>''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P''' *: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |>''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne <> Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne <> Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne <> Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal''' *: -* *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +NADP donne <> Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -* *: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6. *: -*L-Ala donne <> D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6 *: -*Pyruvate + D-Glu donne <> D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6 *Synthèse *: - Étapes: une seule *: - produit: directement le pyridoxal seul! *: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate. *: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.) =====NAD nicotinamide adenine dinucléotide===== *Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]] *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) *Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp *: -*Asp + NAD '''donne |>''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp''' *: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne <|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate''' *:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity. *Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes) *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *: - * *: -*Quinolinate + PRPP '''donne <|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide''' *: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne <> Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD''' *:: + '''ATP en substrat''' *: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |>''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+''' *:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln. *: -*NAD + ATP '''donne |>''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+''' *Synthèse *: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN) *: - produit: 2 PP *: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP *: - Utilise: 2 ATP, FAD *: - B6: néant *: - comparaison des 2 voies: *:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S]. *:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution. =====FMN FAD riboflavines===== *Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques. *Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP '''donne <|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil''' *: -*P-ribitylamino-uracil + H2O '''donne |>''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil''' *: -*Ribulose-5P '''donne |>''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P''' *: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |>''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine''' *: -*2 ribitylLumazine '''donne |>''' Riboflavin + ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin''' *:: + A flavoprotein (riboflavin). *: -*Riboflavin + ATP '''donne |>''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN''' *: -*FMN + ATP '''donne |>''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD''' *Synthèse *: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD *: - produit: 2 Formates, NH3 *: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP *: - Utilise: ATP, NADP =====Phe Tyr Trp===== *Les aas aromatiques. Chorismate nécessite FMN. *Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose *: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |>''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase Metacyc de P2 à 1 P '''céto-Fructose-1P''' *:: +*D-Lactate +NAD donne <> Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase ecocyc (schem bi) RL ΔG=+3.33 '''D-Lactate''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne <> D-Lactate +NAD EC121.23 R01735 oxydoreductase pas de REHA '''D-Lactaldehyde''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne <> Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase Metacyc bi '''Methylglyoxal''' *: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |>''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase Metacyc de Asp '''heptulosonate''' *:: +*Asp +ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''Asp-P''' *:: +*Asp-P +NADP '''donne <|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-semialdehyde''' *: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |>''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate''' *: -*Dehydroquinate donne <> Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate''' *: -*Shikimate +NAD donne <> Dehydroshikimate +NAD EC111.24 R06847 oxydoreductase ecocyc LR de shikimate ΔG=-12.20 '''Shikimate''' *: -*Shikimate +ATP '''donne |>''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase ecocyc LR de ATP ΔG=-16.06 '''Shikimate-3P''' *: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate <> Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P''' *: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |>''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate''' *::: .. Requires '''FMN''' *: -*Chorismate donne <> Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate''' *: -*Prephenate donne <> Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate''' *: -*Phe +NAD +H2O donne <> Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6) *: -*Prephenate +NAD donne <> OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate''' *: -*Tyr +NAD +H2O donne <> OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6) *: -*Chorismate +NH3 '''donne |>''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate''' *::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit. *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne <> Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P''' *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne <> Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P''' *: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne <> Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P''' *: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne <> Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' <u>(avec B6)</u> *: - * *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *Synthèse *: - Etapes *:: + Voie commune 11 étapes *:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun *:: + Trp 5 étapes *:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée *: - Produit *:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3 *:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun *:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P *:: + Quinolinate: H2O (rien) *: - Consomme *:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate *:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun *:: + Trp: NH3, PRPP, Ser *:: + Quinolinate, '''2 fois O2''' *: - Utilise *:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP *:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr *:: + Trp: rien *:: + Quinolinate: '''FAD''' *: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6. =====TPP Thiamine pyrophosphate===== *Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas. *Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5. *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire. *:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea. *: -*NAD + Gly +H2S '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |>''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante *: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |>''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P''' *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His). *:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. *: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |>''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P''' *: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne <|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP''' *Biosynthèse de la Thiamine *: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |>''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P''' *: -*Thiamine-P +ATP '''donne |>''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP''' *: -*Thiamine-P +H2O '''donne |>''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine''' *: -*Thiamine +H2O '''donne |>''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole''' *: -*Thiazole +ATP '''donne |>''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P''' *: -*Pyrimidine +ATP '''donne |>''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys) *:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea. *: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP *:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide. *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons. *:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis. *Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP *: - produit: *:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; *:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme) *:: + CO2 PP *: - consomme: *:: + NAD Gly H2S *:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6 *:: + énergie *: - Utilise: *:: + rien *:: + ATP *:: + ATP =====CoA Coenzyme A===== *La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine. *: -*Acetolactate + NADP '''donne <|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*Dimethyl-malate +NAD donne <> methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate''' *: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne <> Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate''' *: -*Pantoate + NAD donne <> Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate''' *: -*Asp '''donne |>''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala''' *:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group. *: -*beta-Ala + Pantoate +ATP '''donne |>''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate''' *: -*beta-Ala + Pantoate '''donne |>''' Pantothenate +H2O EC351.22 R02474 hydrolase '''Pantothenate''' *:: + Article 1966 <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/5/2/399/99824/The-Bacterial-Degradation-of-Pantothenic-Acid-II?redirectedFrom=fulltext</ref>, pseudomonas P-2. *: -*Pantothenate +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate''' *: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives. *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantoate + Cys +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +AMP +PP EC632.51 R04230 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |>''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantetheine +ATP donne <> dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA''' *: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |>''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA''' *Synthèse *: - 13 étapes de Pyruvate à CoA *: - produit: 3 CO2; 3 PP *: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys *: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP *: - B6: pas de B6 =====Val Ile Leu===== *Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul. *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *: -*Acetolactate donne <> OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate donne <> methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' *: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |>''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6) *: -*Ile *: -*Thr '''donne |>''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6) *: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate''' *: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne <> OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate donne <> 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate''' *: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |>''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6) *: -*Leu *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val *: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |>''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate''' *:: +*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*2-Isopropyl-malate donne <> 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate''' *: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne <> 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate''' *: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne <> 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate''' *: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 <u>spontanée</u> R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate''' *: -*Leu +NAD +H2O '''donne <|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6) *Synthèse *: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu. *: - produit *:: + Val: CO2 *:: + Ile: CO2 NH3 *:: + Leu: CO2 *: - consomme *:: + Val: 2 Pyruvate NH3 *:: + Ile: Thr NH3 *:: + Leu: Acetate NH3 *: - Utilise *:: + Val: NADP NAD *:: + Ile: NADP NAD *:: + Leu: ATP CoA 2 NAD *: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6 =====Methionine Met===== *Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. *Pathway: cysteine methionine *: -*acetyl-CoA + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' *: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6) *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (avec B6) *: -*Met +ATP +H2O '''donne |>''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase *: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |>''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met''' voie des sulfures *: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |>''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6) *Synthèse *: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met. *: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici. *: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. *: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol *: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate. *: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP. *:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met. *:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6. =====Glutamate Glu Gln===== *Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs *: -*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne <> Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' *: -*Citrate donne <> Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' *: -*Cis-aconitate +H2O donne <> Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' *: -*Iso-citrate +NADP donne <> oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' *: -*oxalosuccinate donne <> 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' *: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne <> Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6) *: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |>''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase ΔG=-6.77 kcal/mol 469 aas direct de Glu '''Gln''' (sans B6) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 kcal/mol '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. Homo tetramer. 505 aas. *Synthèse *: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln *: - produit: CO2, CoA, Glu *: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3 *: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP *: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln *: - Gln sans ATP: EC242.14. Dans le commentaire NH3 peut remplacer Gln. A partir de là on obtient PRA et PP. PRA est très instable, aussi en présence de Glu et de PP se forme PRPP et Gln avec un ΔG=2.05 kacl/mol meilleur qu'avec l'ATP et favorable à la réversibilité. Donc PRPP + NH3 + Glu donne Gln, peut être en petite quantité, mais peut être entraînée par l'ensemble des autres aas. =====Arginine Arg Pro===== *Nécessite CoA et Glu *: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |>''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu''' *: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |>''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P''' *: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde''' *: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne <|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6) *: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne <> Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine''' *: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase ΔG=6.17 kcal/mol bi metacyc ecocyc, eco 297 aas. 2630 êtres dont 645 archées '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-5-semialdehyde donne <> Pyrroline-5-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *: -* *Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.) *: -*Glu +ATP '''donne |>''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' *: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' *: -*Ornithine +2-oxoglutarate donne <> Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6) *:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' (sans B6) *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-semialdehyde donne <> Pyroline-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *Synthèse sans CoA *: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée *: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P *: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2 *: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD *: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro. =====THF pour TMP===== *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |>''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P''' *: -*Dihydroneopterin-P '''donne |>''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin''' *:: +*Chorismate +Gln '''donne |>''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' *::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate *:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |>''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6) *: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |>''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate''' *: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |>''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10327</ref>. ATP-dependant reaction, est-ce que ATP a un site propre pour son hydrolyse? *: -*THF +NADP '''donne <|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF''' *: -* *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate. *: -* *: -*THF +ATP +Formate donne <> Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF''' eucaryotes *: -*Formyl-THF +P-Ribosylglycinamide donne <> THF +P-Ribosyl-N-formylglycinamide EC2122 R04325 formyl ligase '''Formyl-THF''' bactéries *:: + ecocyc: <ref>https://www.kegg.jp/entry/eco:b2500</ref>, voir formation ATP *: -*Methenyl-THF +H2O donne <> Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF''' *: -*Methylene-THF +NADP donne <> Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF''' *: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |>''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine) *Synthèse *: - 12 étapes de GTP à TMP *: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate *: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3 *: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP =====Acides gras===== *Commencent avec Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA '''donne |>''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne <> Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA donne <> Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA''' *: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne <|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA''' *: - * *: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |>''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA''' *:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl *: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne <> trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA''' *: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à 16 carbones *: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |>''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate''' *Dégradation *: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |>''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |>''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne <> trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA''' *: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA donne <> Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA''' ==essai 1== <pre> Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques. Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu. Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé. Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers. C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation. L'auto-organisation prébiotique *partir du postulat *pas de catalyse minérale des liaisons covalentes *liposome aux interactions faibles *grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis *Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies. *échanges avec l'extérieur *Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau. *A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. *homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme. *L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira. </pre> ==essai 2== *PLD de krishnamurty <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> *Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique *La question de CTP pour l'initialisation de la membrane ===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique=== *Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique: *: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation. *: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle. *: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité. ==essai 3== 12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion. *Deux points importants de la critique du passé de mes essais: *: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? *: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques? *Le nouveau concept *: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile. *: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. *: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile. ==essai 4== 21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a? * Les lectures: *: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).<ref>https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full</ref> *: - Les expériences en laboratoire *:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 <ref> https://theses.hal.science/tel-05407367</ref> *:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 <ref>https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/</ref> *:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 <ref>https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116</ref> * Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides. * Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction *: - en profondeur, avec des températures (>300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction *: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales. *: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (<100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec <u>R.Pascal</u>: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691</ref> *: - <u>Formation des pores d'échange dans la bicouche</u>: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse. *: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP <ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol</ref>. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66. ==essai 5== 15/06/26 Paris. *Les 5 principes *#L'auto-organisation *#La continuité *#La séquestration et la néguentropie *#La différence réaction abiotique/biotique *#L'autonomie *L'environnement prébiotique *: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques *:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire) *:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4 *:# Les minéraux dont les phosphates *:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate *:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3 *: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) *: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes. ===L'auto-organisation=== *Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales. ==essai 6== ===Le processus néguentropique=== *Paris le 5/8/26 ===Introduction à la problématique de la recherche sur les origines de la vie=== *Paris le 2/9/26 *Les ribosomes miroir <ref>https://fr.scienceaq.com/Chemistry/1001083878.html</ref> *RNA polymérase <ref>https://fondation-inserm.org/les-bacteries-miroirs-menace-ou-curiosite-scientifique</ref> ====Le contrôle dual==== *Paris 14.10.26 *Simulateur hydrothermales 2025: formiate acétate pyruvate méthanol NH4 glycolate lactate propionate éthanol, pas de P H2S *Krebs 2024: d'où vient oxaloacétate? CO2 pyruvate oxaloacétate glyoxylate H2+Formiate (équivalent NAD), pas de P H2S, NiFe 22°C pression atmosphérique. *PP 2026: PP est proposé pour remplacer ATP, l'article '''acP de 2016''' propose l'acétyl-P très fragile et peu fréquent. *Moi je propose PEP 2017. *Glycolyse 2014: plusieurs réactions (des isomérase) de l'interconversion des sucres se fait dans l'eau sans enzymes. La non adhésion aux investigations de Muller depuis 1953, recherche des réactions abiotiques qui produisent des molécules biotiques (formaldéhyde adénine...) ne ressemblent aucunement aux réactions biotiques. Glycolyse 2014 m'a conforté dans une idée que j'étais entrain d'appréhender en listant les voies métaboliques de KEGG en partant du simulateur 2025: ces voies ont existé depuis le départ (prébiotiques) dans le système abiotique hydrothermal. *Le contrôle dual: C'est en lisant l'introduction de acP 2016 du chapitre 5, la non adhésion de l'auteur aux investigations de Muller comme je l'ai fait auparavant, m'a encouragé à imaginer un processus qui pourrait se produire dans les sources hydrothermales qui contraindrait ces voies métaboliques égales à celles biotiques actuelles du point de vue du substrat et bien sûr thermodynamique. *: - L'analogie s'est imposée immédiatement: dans le biotique actuel les enzymes créent et contrôlent le métabolisme de base (sucres acides nucléotides minéraux etc.) et de même ce métabolisme contrôle ces enzymes. C'est ce que j’appelle le contrôle dual, qui se fait dans les 2 sens. Mon idée est apparue alors immédiatement, ce sont les voies que je listais auparavant qui se concrétisent. Le métabolisme de base c'est celui des sources hydrothermales, vues alors comme un écosystème biotique hydrothermale, et les enzymes ce sont les aas libres qu'il produit. C'est le contrôle dual prébiotique. *: - La caractéristique principale de ce métabolisme prébiotique qui se crée dans cet écosystème c'est qu'il se fait par étapes. *:: + 1ère étape: simulateur 2025 et krebs 2024 auxquels il faut ajouter PP 2026: Les analogues sont NAD (formiate +H2 +NiFe) et NH4. *::: * céto-acides: Pyruvate Glyoxylate oxaloacetate ceto-glutarate, Krebs 2024; Formiate Acetate Pyruvate Glycolate propionate NH4 Methanol Ethanol Lactate, Simulateur 2025. *::: * acides aminés: Ala Gly Asp Glu; enzymes, Ec1411 Ala(5808) Ec261.44 Gly(3043) Ec261.35 Asp(144) Ec1412 Glu(4450) *::: * OH-acides : Lactate Glycolate Malate OH-céto-Glutarate. Correspondant aux enzymes ; Ec111.27 Lac(4198) Ec111.26 Glc(2328) Ec111.37 Mal(8815) Ec111.38 Pyr(5455)[Pyruvate Malate] Ec111.399 OH-Glu(10321) *:: + 2ème étape, création de Pro (5): c'est le résultat de Glu-P sous l'action de PP, suivie de l'action de l'analogue de NAD comme dans la 1ère étape. L'analogue de ATP est PP qui produit un analogue plus puissant PEP 2017. La 1ère étape a produit aussi les alpha céto-acides: cAla (Lactate) cAsp (Malate) cGly (glycolate) cGlu (alpha céto-glutarate). fa9trnswa3r0wqme1hnaqdyf4bz8u55 987467 987466 2026-10-16T10:48:02Z Mekkiwik 5298 /* Le contrôle dual */ 987467 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = biologie | parent = [[Recherche:Laboratoire d'études prébiotiques|Laboratoire d'études prébiotiques]] }} {{Hypothèse | titre = Chiralité prébiotique 2 | parent = [[Recherche:Département:Biologie|Département de recherche en Biologie]] | image = {{idfaculté/logo/biologie}} }} <div style="text-align:center;"><span style="font-size:180%;"> '''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:</br> l'auto-organisation prébiotique.'''</span></div> ==pense bête 1== *L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1. *Définir l'auto-organisation au stade prébiotique *Les erreurs par rapport à cette organisation sont *: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? *: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage. *Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome: *: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite. *: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques. *L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome *: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1. *: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K. *: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine. *: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones. *Auto-organisation des liposomes *: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive? *: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome. *: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas. *: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture. *: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions? *: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale. *: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes *: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après. ==pense bête 2== *L'auto-organisation aas + acides gras *: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale *: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe. *: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras. *: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche. *Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras. *# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline *# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides *# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD *# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4--- *# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D? *# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH *# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G Alanine A Histidine H *# - Les stéroides chez les procaryotes ==pense bête 3== *Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre *: - soupe prébiotique *: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique *: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique *: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle. *: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs. *: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées. *: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication. *: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique. *: - étape transcription/ traduction *: - étape réplication/division ==pense bête 4== *Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. *Extraits d'internet: *: - "''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''" *: - La membrane externe des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe</ref>. *: - La membrane interne des mitochondries <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne</ref>. *: - MAM <ref>https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&_x_tr_tl=fr&_x_tr_hl=fr&_x_tr_pto=rq</ref> *: - La mitochondrie <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie</ref> *: - Génome mitochondrial <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial</ref>: aucun gène de synthèse d'un phospholipide *: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse</ref> *: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: "Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle." dans RL fonctions de reticulum endoplasmique <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique</ref>. *Étape de cristallisation 2: *Étape de polymérisation 2: ==pense bête 5== *Étape des eucaryotes 3: *: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel. *: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte. *Hydrogénosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome</ref> et mitosome <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome</ref>: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes. *Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster <ref>https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf</ref> (page 3). *La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau. ==pense bête 6== *auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome. *Les contraintes résultantes: 4 exemples, *#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, *#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, *#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. *#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte</ref>, paragraphe 3 *#: - "Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré." *#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases. *#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D</ref> de wikipédia, "Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D" il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L. *#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré "qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries". *#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début) *#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L. *# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. *#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00040</ref> LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. *#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00010</ref>qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. *# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation. *polymérisation 2: *: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible. *: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques. *: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier. *: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome. *: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation. *: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace. *: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces. ==pense bête 7== *Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2. *Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane. *Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L, elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D. *Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite. ==pense bête 8== *Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD .... *: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217 *: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln. *: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. *: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP). *: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP] *: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA. *: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est *:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+ + 2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===> dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées. *:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF. * En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, *: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas *: - Asp donne Asn et Ala *: - Glu donne Gln *: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique. *Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse *Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras. ==pense bête 9== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8. *: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires. *: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P *:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) <> Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)<span style="background-color: #ffff00;"> > </span>Fructose 6P + P, '''*'''531.27 <> arabino 6P, '''*'''412.43 <> Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) <> Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) <> R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) <> R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) <> PRPP. *:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) <> dR-5P, '''*'''5427 (mutase) <> dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) <> dR + ATP. *:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. *: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His *:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) > carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) > Asp-CB, '''*'''3523 > orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') > orotate, '''*'''241.10 (PRPP) > orotidine-P, '''*'''411.23 > UMP. *:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) > CTP *:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) > dRU, '''*'''271.21 (dGTP) > dUMP *:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 < > base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C *:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP > dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier) *:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) > R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) > RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) > RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) > RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) > Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) > AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) > AIR-C-CO2H (CAIR), '''*'''6326 (ATP Asp) > CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 > carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) > FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) > IMP +H2O. *:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) > IMP-sucino, '''*'''4322 > AMP + fumarate. *:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) > XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) > GMP *:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) > dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) > dAMP et dGMP *:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) > PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) > 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) > R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) > Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) > Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) > oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) > P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') > Histidinal puis His. *: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs. *:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') > H2O2 (ou succinate) + iminoAsp > en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') > quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) > Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) > NAD+, '''*'''271.23 (ATP) > NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP). *:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) > pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) > 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) > 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) > butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) > lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) > Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP > dATP > CTP > UTP) > FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) > FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) > FADH2 et (FMN NAD) > FMNH2. *:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) > Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) > idem. *:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) > formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 > neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 > dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) > PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) > dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) > dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') > tetrahydrofolate. *::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) > Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) > prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) > chorismate, '''*'''261.85 (NH3) > amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) > 4-amino-benzoate et pyruvate. *:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr''' pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) > aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') > CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 > CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) > dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') > pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) > pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) > ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) > P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 > P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) > PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) > CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP). *: - Synthèse des aas *:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, *::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) > indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') > Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) > Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) > anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') > '''PRPP''' Anthranilate *::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) > Gly '''OH-Pyruvate''' *::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') > Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') > '''OH-Thr''' (voir synthèse B6) *::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) > Cys, idem (Ser '''HomoCys''') > '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) > Cys NH3 '''Oxo-butanoate''' *::: - Asp > Asn et '''*'''411.12 (Asp) > Ala et CO2 *::: - Glu > Gln *::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') > Urocanate NH3 "MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine", '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) > Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) > Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) > formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') > Histamine et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') > NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) > Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) > Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) > Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) > formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) > Formate et Asp. *::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui >nt 7 aas dérivés. Pour His >rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr. ==pense bête 10== * Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc) *Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres. *: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr. *: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé. *: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met. *: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA): les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas. ==pense bête 11== *Tanger le 7/12/25 * Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG). * C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs. * L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment. *Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés <ref>https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate</ref>. Le C de CO2 est lié à N de NH2. *Les aminonitriles: *: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. *: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp. *: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42. *:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde. *:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes. * L'histidine * Les aromatiques * Lysine ornitine et proline ==pense bête 12== *Paris le 27/02/26 *Les lectures *: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015 *: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005 *: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024, *Plan *: - postulat: ça s'est fait tout seul *: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique *: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique *: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports) *Les aas abiotiques: *: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C *:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025 *:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026) *:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24) *:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation *:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation. *:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde) *:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement) *: - autres *:# Ser, aubrey faible *:# Thr, plus acétate *:# Asn, NH3 *:# Gln, NH3 *: - Formose *:# His, erythrose formamidine HCN *: - FTT *:# Trp, indole plus Ser ou Fritz *:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN *:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN *:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin *:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin *:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser *:# Met, homocystéine plus CH3 *: - Réactions quasi biotiques *:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline *:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3 ===notes des lectures=== *Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure). *Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h *Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. *: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:"Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides." *: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: "L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019)." J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr ==pense bête 13== *Paris 29/6/26 *Article de départ *: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10). *: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1). ===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs=== *hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3. ====Pyruvate bis==== *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) *:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne <> P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction) *: - *oxaloacetate + Pi donne '''|>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *: - *oxaloacetate + PP donne <> P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique <--- *:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne <> Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? <--- c'est mon hypothèse pour EC2791 *: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne <> P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2 EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' <--- *Pathway: glycolyse suite *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 (R00658) hydro-lyase <--- *: - *Glycérate-2P donne <> Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase *: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''') EC121.12 (R01061) oxydoréductase <--- *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase <--- *Pathway: Aspartate *: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''') EC1411 (R00396) oxydoréductase *:: + Contradiction '''subs/prod''' ====Glycolate bis==== *Pathway: glyoxylate *: - *Glycolate + Acceptor '''donne |>''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase *:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS? *:: + '''Formate'''? *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |>''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase *: - *Asp + NAD (formate) '''donne <|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410 *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase *:: + A pyridoxal-phosphate protein. *:: + Contradiction '''subs/prod''' *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase *:: + Contains pyridoxal phospate. *:: + ''confirmer que Cys est produite avant'' *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *:: + Contradiction '''subs/prod''' *: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant'' *: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |>''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (<u>en labo sans enzyme mais très faible</u>) *:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 <ref>https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84</ref> nitrile hydratase.'' *: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |>''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410 *:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)'' *:: + '''subs/prod''' non fourni *: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |>''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase ====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate propionate phosphite==== *Compound, phosphite. Voir article sur Phosphite dans les sources hydrothermales <ref>https://www.biorxiv.org/content/10.64898/2025.12.19.695421v2.full</ref>. *: -Phosphite +NAD+ +H2O donne phosphate +NADH +H+ EC1.20.1.1 R05746 oxydoreductase. 146 bactéries, rien d'autre. Enx, enterobacter, 341 aas. Entrée créée en 2001 MAJ 2025. *: -Phosphite +AMP +NAD+ donne ADP +NADH +H+ EC1.20.1.2 R13633 oxydoreductase. Une seule référence <ref>https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.2309743120</ref>. Entrée créée en 2025. *Pathway: pyruvate métabolisme *: -*'''Ethanol''' + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein) bi ecocyc de ethanol ΔG=3.10kcal/mol. eco 891 aas. 8769 êtres dont 200 archées *: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate). 6796 êtres dont 132 archées *: -*'''Acetate''' +ATP donne <> Acetyl-P +ADP EC2721 R00315 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=-6.97 kcal/mol, 400 aas. 7664 êtres dont 28 archées *: -*'''Acetate''' +PP donne <> Acetyl-P +Pi EC272.12 R00320 kinase. Métacyc sens indéfini. Entamoeba histolytica seule référence de 1975 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/0006291X75905136?via%3Dihub</ref> *: -*'''Propionate''' +ATP donne <> Propionyl-P +ADP EC2721 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 7665 êtres dont 29 archées *: -*'''Propionate''' +ATP donne <> Propionyl-P +ADP EC272.15 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 375 bactéries pas d'archées *:: + comment: Involved in the anaerobic degradation of L-threonine in bacteria. Voir dans propanoate pathway EC123- de 2-oxobutanoate vers propanoyle-P, flèche sans enzyme. Le 2-oxobutanoate vient de la Thr. *: - *<u>Acetate + ''ATP +CoA donne <> Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''</u> archées *: - *<u>''Propanoyl-CoA +Formate donne <> 2-Oxobutanoate +CoA EC231.54 R06987 Formate lyase''</u> *: - *<u>''Acetyl-CoA +Formate donne <> Pyruvate +CoA EC231.54 R00212 Formate lyase''</u> *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10701</ref>, attention activation de l'enzyme par flavodoxin/ferredoxin-NADP+ reductase. *: - *'''Methanol''' + NAD donne <> formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein) *: -*formaldehyde + NAD + H2O donne <> '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase *: - *'''Lactate''' + NAD donne <> '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase. 4141 êtres dont 16 archées *Pathway: glyoxylate métabolisme *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glyoxylate +NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase Metacyc bi. 2272 êtres dont 124 archées (mieux que ec111.29, voir Ser). *: - *'''Glycolate''' + NAD donne <> Glycolaldehyde +NAD +H2O EC121.21 R01333 aldehyde dehydrogenase ecocyc di de aldehyde ΔG=-17.03kcal/mol *: - *OH-pyruvate '''donne |>''' Glycolaldehyde +CO2 EC411.40 R01393 carboxylase Metacyc bi *Pathway: methane métabolisme *: - *'''Methanol''' + NAD '''donne |>''' formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase Metacyc di *Pathway: cysteine methionine *: - *'''Methanol''' + H2S donne <??> '''Methane thiol''' <u>ou bien le methane thiol est basique comme le methanol</u> *: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase *:: + *Asp + ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase *:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne <|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase *:: + *Asp-semialdehyde + NAD donne <> L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase *:: + *'''acety-CoA''' + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (B6 protein) ====Pyruvate==== =====Glycolyse===== *Pathway: Pyruvate *: - *Pyruvate +HCO3- +ATP '''donne |>''' Oxaloacetate +ADP +Pi EC6411 R00344 ligase metacyc de ATP (A biotinyl-protein) *: - *Malate +NADP donne <> Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc de Malate (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol *:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate. *: - *Malate +NAD+ donne <> Pyruvate +NADH +CO2 +H+ EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc et metacyc direct de Malate ΔG=-0.32Kcal/mol *:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate +H+ (non réversible) <ref>https://biocyc.org/reaction?orgid=ECOLI&id=1.1.1.39-RXN</ref>. *:: + thermodynamiquement Ec111.38 est réversible à cause de son ΔG=-0.32Kcal/mol. Mais dans la cellule elle a pour objet de produire du CO2 lors de l'accumulation de NAD+. Décompte génomes a b e: 458 9991 1295 *: - *Malate +NAD donne <> Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=4.46Kcal/mol *: - *oxaloacetate + Pi '''donne |>''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc *:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 900 aas. *: - *oxaloacetate '''+PP''' donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bi son ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + abe: 0 250 10; grosse enzyme 1100 aas. Energie de liaison de PP 47.8 Kcal/mol et 1ère et 2ème PP dans ATP, sont égales à 7.3Kcal/mol; P-enolpyruvate 14.8kcal/mol *:: + Also catalyses the reaction: P-enolpyruvate + Pi = pyruvate + PP. <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/12/26/5247/105472/Carboxytransphosphorylase-VII-Phosphoenolpyruvate?redirectedFrom=fulltext</ref> *:: + ''Pyruvate +PP donne <> P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique? c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse) *: - *oxaloacetate +ATP donne <> P-enol-pyruvate +CO2 +ADP EC411.49 R00341 kinase ecocyc de ATP (shem bi) ΔG=-7.02Kcal/mol *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 520 aas. *Pathway: glycolyse *: - *Pyruvate +ATP '''donne <|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 R00200 kinase biocyc de ADP ΔG=-2.23Kcal/mol *: - *Pyruvate +ATP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 R00206 dikinase (multi-step reaction) metacyc de ATP ΔG est ~ 0 (gemini) *:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne <> P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse'' *: - *Pyruvate +ATP +H2O donne <> P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 R00199 dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> P-enol-pyruvate +H2O EC421.11 R00658 hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol *: - *Glycérate-2P donne <> '''Glycérate-3P''' EC542.11 R01518 mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol *: - *Glycérate-3P + ATP donne <> Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne <> Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 R01061 dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol *: - *Glycéraldéhyde-3P donne <> Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol *: - *Fructose-1,6P2 donne <> Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P EC412.13 (R01068) lyase bi '''ΔG=8.23''' Kcal/mol (gauche-droite) *: - *Fructose-6P '''+PP''' donne <> Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini) *:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule. *:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea. *:: + a b e: comme 111.38, 458 9991 1295; enzyme 300-600 aas. *: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |>''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) phosphorylase de f1.6 à f6 ΔG=6.89Kcal/mol) *: - *Fructose-6P +ATP '''donne |>''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol) =====Formation des aas à partir du pyruvate===== *Pathway: Ala Asp Glu *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) Metacyc bi. 5728 êtres dont 243 archées *Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate *: - voie P-Ser *: - *Glycérate-3P +NAD +H2O donne <> P-OH-Pyruvate +NAD EC111.95 R01513 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.03 kcal/mol. 10084 êtres dont 434 archées *: - *O-P-Ser +2-oxoGlu donne <> P-OH-Pyruvate +Glu EC261.52 R04173 transaminase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=0.08 kcal/mol. 8871 êtres dont 71 archées *: - *O-P-Ser +H2O '''donne |>''' L-Ser +Pi EC3133 R00582 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=9.27 kcal/mol. 8278 êtres dont 366 archées *: - voie Glycerate *: - *'''Glycérate-3P''' + H2O '''donne |>''' Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase. 1 seule référence de 1971 "sugarcane leaves" *:: + *Glycéraldéhyde +NAD +H2O donne <> Glycérate +NAD EC1213 R01752 oxydoréductase. 6796 êtres dont 132 archées pas de metacyc *:: + *Glycéraldéhyde +DHAP donne <> Fructose-1P EC412.13 R02568 lyase. Metacyc direct de Fructose. 11542 êtres dont 459 archées *::: * Pour obtenir Fructose-1P à partir de Fructose-6P, il faut 4 enzymes EC111.17, 313.22, 111.11, 2713 (une kinase) <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00051</ref> *::: * Le Glycéraldéhyde libre est bloqué comme le Glycerol <ref>https://www.kegg.jp/pathway/map00561</ref>. Il est rapidement transformé en Glycéraldéhyde-3P EC271.28 *:: + *Mannitol-1P +NAD donne <> Fructose-6P +NAD EC111.17 R00758 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.60 kcal/mol. 1867 êtres dont 2 archées *:: + *Mannitol +Pi donne <> Mannitol-1P +H2O EC313.22 R02167 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=7.22 kcal/mol. 2063 êtres dont 1 archées *:: + *Mannitol +NAD donne <> Fructose +NAD EC111.11 R00868 oxydoréductase. Metacyc bi. 443 êtres dont 0 archées (Ec111.67 1312,Ec111.67 83) *:: + *Fructose +ATP '''donne |>''' Fructose-1P +ADP EC2713 R00866 kinase. Metacyc direct de Fructose. 907 êtres dont 52 archées *: - *Glycerate + NAD donne <> Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase. 2077 êtres, eucaryotes, bactéries, 9 archées MM et 1 METB. Metacyc bi. *: - *'''Ser''' + Pyruvate donne <> Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein). 2913 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + Glyoxylate donne <> '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein). 2880 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi *: - *Ser + H2S '''donne |>''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein) 3754 êtres, eucaryotes, bactéries, 36 archées. pas de RHEA *: - *Ser +Acetyl-CoA donne <> O-Acetyl-Ser +CoA EC231.30 (R00586) transferase (sans B6) 8266 êtres, eucaryotes, bactéries, 170 archées. *:: + voie de E.Coli suivie de EC251.47 donne Cys avec B6. 8282 êtres *: - *'''Thr''' donne <> Gly + Acetaldehyde EC412.48 (R00751) transaminase (B6 protein) 6788 êtres, eucaryotes, bactéries, 100 archées. Ecocyc bi, ΔG=1.0 kcal/mol *: - *Thr '''donne |>''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein) *Pathway: Val Leu Ile biosynthese *: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat) *: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |>''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction) *: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne <> 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase *: - *Aceto-Lactate + NAD donne <> 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase *: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase *: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne <> 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase *: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |>''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase *: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |>''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase *: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne <|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating *: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne <|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating *: - * *: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |>''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase *: - *2-isopropylmalate donne <> 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase *: - *2-isopropylmaleate + H2O donne <> 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase *: - *3-isopropylmalate + NAD donne <> 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase *: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée *: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne <|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating *Synthèse *: - 2 groupes *:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6, *::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate *::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate *::: * Cys: consomme H2S, basique *::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate *:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6 *::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD *::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD *::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA =====Formation de Asp et Asn ===== *Pathway: Glyoxylate *: - *Ala + glyoxylate '''donne |>''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne <|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein) *: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |>''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp''' *: - *Asp + NAD '''donne <|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6) *:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ? *:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The <u>substrate, 2-iminosuccinate, </u>is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 <ref>https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21</ref>, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.'' *: - *Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi *Pathway: Ala Asp Glu *: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |>''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase (sans B6) *: - *Asp +2-oxoglutarate donne <> Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase (avec B6) *: - *Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino lyase ecocyc bi ΔG=+3.19 Kcal/mol de Asp (sans B6) *: - *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *:: + Malate vient directement de Pyruvate *Pathway: cyanoamino acide métabolisme *: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |>''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase *:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.'' *:: + '''Formate'''? *: - *Cys + HCN '''donne |>''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein) *: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |>''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6) *:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.'' *: - *Asn '''donne <|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase *Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique? *: - Voie Glyoxylate: *:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu. *:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate. *: - voie Ala Asp Glu *:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp. *: - voie cyanoamino acide: *:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude? *: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref>. *:: + =====Formation de Lys===== *Pathway: Lysine *: - *Asp + ATP '''donne |>''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''4-Asp-P''' *: - *4-Asp-P +NAD '''donne <|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-4-semialdehyde''' *: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |>''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase '''4Hydro-dipicolinate''' *: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne <|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase (spontanée: +H2O donne <> '''L-2-Amino-6-oxopimelate''') *: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne <> L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &emsp;&emsp; '''diaminopimelate''' *: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |>''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &emsp;&emsp; '''L-Lys''' (B6 protein) *: - *Lys +acetyl-P '''donne |>''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &emsp;&emsp; '''N6-acetyl-Lys''' *: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne <> N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein) *: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne <> 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &emsp; '''5-Acetamido-pentanoate''' *: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne <> 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &emsp; '''5-Aminopentanoate''' *: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne <> Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 <u>'''transaminase'''</u> &emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein) *: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne <> Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras) *Synthèse *: - étapes: 6 à partir de Asp *: - produit: NH3, CO2 *: - consomme: Asp, Pyruvate *: - utilise: ATP, 3 NAD *: - B6: avec B6 =====Formation des Riboses et dRiboses===== *Pathway: Pentoses phosphates *: - *D-Arabinulose-P donne <> '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase 185 aas metacyc direct de Arabi. 1303 êtres dont 291 archées *: - *D-Arabinulose-P donne <> D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase 211 aas metacyc bi. 1214 êtres dont 295 archées *: - *D-Ribose-5P donne <> D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase 219 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-6.13 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P donne <> D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-1.93 kcal/mol *: - *D-Ribose-1P +ADP '''donne |>''' D-Ribose-1,5P2 +AMP EC271.212 (R11535) P-transferase 294 aas metacyc de ADP *: - *D-Ribose-1,5P2 + ATP '''donne |>''' PRPP +ADP EC274.23 (R06836) P-transferase 185 aas metacyc de ATP ecocyc bi ΔG=-2.03 kcal/mol *: - *D-Ribose-5P + ATP donne <> PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase 315 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-25.84 kcal/mol *: - * *: - *D-dRibose-5P donne <> '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase 259 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=5.12 kcal/mol *: - *D-dRibose-1P donne <> D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=?? comme Ribose? *Synthèse *: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose *: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P *: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde. *: - utilise: AMP; et rien *: - Note: PRPP peut être obtenu par 2 P-transférases qui peuvent utiliser PEP =====Formation de l'ATP===== *Pathway: purines *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +ADP +Pi EC6347 R01053 amido transférase oiseaux (article unique 1968 <ref>https://www.jbc.org/article/S0021-9258(18)91922-8/pdf</ref>) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. homo4mères *: - *PRA +Gly +ATP '''donne |>''' 5P-Ribosylglycinamide +ADP +Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-6.27 '''GAR''' *:: + ecocyc: séquentiel et ordonné. Tunnel. Monomère <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10792</ref> *: - *GAR +ATP +Formate '''donne |>''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-8.97 '''FGAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG11809</ref>, monomere *:: + EC2122 THF sans ATP R04325 ecocyc et Meta bi ΔG=16.47 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10799</ref>, monomere *: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |>''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20 '''FGAM''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10797</ref> 3 sites Gln d'abord, puis ATP puis FGAR. Monomère. Fusion de 3 enzymes. *: - *FGAM +ATP '''donne |>''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ecocyc et metacyc direct de ATP ΔG=9.97 '''AIR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10798</ref>. Pas de couplage, ATP attaque FGAM puis cyclase. Dimère. *: - *[AIR +HCO3- +ATP '''donne |>''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC634.18 R07404 ecocyc et Meta de ATP ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10796</ref>. dimère. Nonenzymatic carboxylation of AIR occurs. *: - *[AIRC donne <> 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=6.32 Metacyc et ecocyc de carboxyamno '''CAIR'''] bacteries *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10793</ref>. octamère. Réversible si EC6336 est absente *: - *5-amino-1-(5-phospho-D-ribosyl)imidazole-4-carboxylate donne <> AIR +CO2 EC411.21 R04209 carboxylase Metacyc bi '''CAIR''' *: - *CAIR +Asp +ATP donne <> (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase ΔG=-7.66 '''SAICAR''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10791</ref>. Trimère. les sites ne sont pas élucidés. *: - *SAICAR donne <> 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase ΔG=9.84 ecocyc direct Metacyc bi '''AICAR''' *: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |>''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase '''Metacyc bi FAICAR''' *:: + EC2123 THF sans ATP R04560 ecocyc et Meta bi ΔG=18.96 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10795</ref>, monomere *: - *IMP +H2O donne <> FAICAR EC354.10 R01127 cyclase ΔG=26.85 ecocyc et Metacyc bi '''IMP''' *: - *IMP +GTP +Asp '''donne |>''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-103.56 '''car-AMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10790</ref>. dimère. Les binding sites sont élucidés. *: - *car-AMP '''donne |>''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase ΔG=55.05 ecocyc direct metacyc bi '''AMP''' *: - *IMP +NAD +H2O '''donne |>''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase ecocyc et Metacyc bi ΔG=2.43 '''XMP''' *: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |>''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-5.44 '''GMP''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10420</ref>. dimère. Sans Gln il n'y a que 2 binding sites, ATP et XMP. Le contrôle est strict avec Gln mais pas avec NH3. *: - *GMP,AMP +ATP donne <> GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &emsp;&emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP''' *: - *GMP,AMP +ADP donne <> Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &emsp;&emsp;'''Guanosine, Adenosine''' *: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne <> G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &emsp;&emsp;'''G, A''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne <> G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &emsp;&emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' *: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |>''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &emsp;&emsp;'''dGMP,dAMP''' *: - *dGMP,dAMP +ATP donne <> dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &emsp;&emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP''' *Synthèse *: - étapes: 12 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP *: - produit: 2 Fumarate CO2 *: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 Gly *: - utilise: 7 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une carboxylase et une cyclase n'utilisent pas ADP. *: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP. =====La synthèse de novo de l'ATP et le couplage de 2 réactions===== *Problématique: *: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase *: - Dans la réaction R01053 l'enzyme EC6347 en fait 2 réactions en parallèle: *:: + L'hydrolyse ATP +H2O '''donne |>''' ADP +Pi, fournit à l'enzyme l'énergie nécessaire pour lier NH3 au Ribose *:: + Ribose-5P +NH3 '''donne |>''' 5P-ribosylamine +H2O *: - La réaction R01053 est directionnelle. C'est le cas des autres réactions faisant intervenir 3 substrats. *: - Avant l'apparition des polypeptides la probabilité de la rencontre des 3 substrats est très faible et c'est le rôle principale de l'enzyme que de les réunir. Dans mon hypothèse, l'environnement avec ses aas libres favorisant tant soit peu la réaction, il est difficile d'imaginer que l'énergie libérée par l’hydrolyse de l'ATP soit récupérée à distance par la ligase. Elle est tout simplement diffusée dans son environnement. Il y a ainsi 7 couplages avec 3 molécules pour le substrat dont 6 avec ATP et une avec GTP. *: - L'enzyme EC6347 peut être remplacée par EC242.14 qui est bidirectionnelle et peut être vue comme le résultat (pas la somme) de 2 transaminases indépendantes. Une à 2 substrats utilisant NH3 et produisant 5P-Ribosylamine +PP qui sont utilisés avec Glu par la 2ème à 3 substrats produisant Gln. Gln peut être produit donc avant l'apparition de l'ATP. *:: + PRPP +NH3 donne <> 5P-ribosylamine +PP *:: + 5P-Ribosylamine +PP +Glu donne <> Gln +PRPP *: - L'enzyme EC6331 n'a que 2 molécules comme substrat comme les kinases et peut être envisagée avant l'apparition de l'ATP en remplaçant celle-ci par PEP. *Comment résoudre le couplage prébiotique nécessaire à la synthèse de novo de l'ATP nécessitant 7 couplages successifs. *: - Dans les réactions que j'ai réunies pour le proto-métabolisme il n'y a que 5 autres couplages non sucessifs: 2 pour CoA 1 pour acetyl-CoA et 2 pour THF. *: - Il faut des concentrations élevées de PEP NH3 Formate Asp Gly Pi *: - Est-ce que les 9 autres aas existants peuvent aider ces couplages: Cys Ser Thr Ala Lys Glu Gln Pro Arg. Et les ceto-acides: Lactate malate oxaloacetate fumarate oxo-glutarate pyruvate; et les acides glycolate acétate propionate =====Formation de l'Uracile===== *Pathway: arginine *: - *ATP +HCO3- +NH3 donne <> Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &emsp;&emsp;'''Carbamoyl-P''' *Pathway: pyrimidines *: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |>''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &emsp;&emsp;'''N-Carbamoyl-Asp''' *: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne <> N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &emsp;&emsp;'''(S)Dihydroorotate''' *: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne <> Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &emsp;&emsp;'''Orotate''' *::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. *:: + *Malate donne <> Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate *::: * Malate vient directement de Pyruvate.Voir Krebs et pyruvate *:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |>''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase *: - *Orotidine-5'P +PP donne <> Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &emsp;&emsp;'''Orotidine-5'P''' *: - *Orotidine-5'P '''donne |>''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &emsp;&emsp;'''UMP''' *: - *UMP +Pi '''donne |>''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &emsp;&emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''') *: - *UMP +ATP donne <> UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &emsp;&emsp;'''UDP''' (idem CDP) *: - *UDP +ATP donne <> UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &emsp;&emsp;'''UTP''' (idem CTP) *: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |>''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &emsp;&emsp;'''CTP''' *: - * *: - *Uracil +dRibose-1P donne <> dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &emsp;&emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''') *:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase. *: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP *: - * *: - *dR-base1 +base2 donne <> dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dR-Base1 Base2''' *: - *dUridine +C donne <> dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &emsp;&emsp;'''dCytidine''' *: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP *: - * *: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |>''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &emsp;&emsp;'''dTMP''' et '''DHF''' *: - *dTMP +H2O '''donne |>''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &emsp;&emsp;'''Thymidine''' *: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine *Synthèse *: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP *: - produit: succinate, PP, CO2 *: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP *: - utilise: ADP '''FMN''' *: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine *: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase *: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase. =====Formation de His===== *Pathway: histidine *: - *ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |>''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &emsp;&emsp;'''PRPP-AMP''' *: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |>''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &emsp;&emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |>''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &emsp;&emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P''' *: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |>''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR *: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |>''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &emsp;&emsp;'''Imidazole-glycerol-3P''' *: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne <> Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &emsp;&emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein) *: - *Histidinol-P '''donne |>''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &emsp;&emsp;'''Histidinol''' *: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |>''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidinal''' *: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |>''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &emsp;&emsp;'''Histidine''' *Synthèse *: - Étapes: 10 à partir de ATP *: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines) *: - consomme: ATP, PRPP, NH3 *: - Utilise: 2 NAD *: - B6: avec B6 =====Récapitulation aas===== *Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |> <u>'''Ala''' sans B6</u> *Pyruvate (Glycolyse); Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne <> Pyruvate + '''Ser''' avec B6 *Glycolate; Glycolate + NAD donne <> Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne <> HxP + '''Gly''' avec B6 *H2S; Ser + H2S donne |> H2O + '''Cys''' avec B6 *Ethanol; Ethanol + NAD donne <> Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne <> '''Thr''' avec B6 *Pyruvate; 2 Pyruvate donne |> Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-Lactate NAD <> v1, v1+NAD donne <> v2; v2 donne |> v3 + H2O; v3 +NH3 donne |> H2O + <u>'''Val''' sans B6</u> *Thr donne |> Oxobutanoate + NH3 avec B6 *Pyruvate + Oxobutanoate donne |> Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP'''); *: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD <> l1, NAD <> l2; l2 donne |> l3 + H2O; l3 +NH3 donne |> H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr *Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |> A1 (avec B6), A1 donne |> A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |> NAD + <u>'''Asp''' (sans B6)</u> * voie Pyruvate *: - Pyruvate +ATP+H2O donne <> P-enol-pyruvate + AMP+Pi *: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne <> oxaloacetate + ATP *: - Gly +oxaloacetate '''donne <|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)''' *Asp +ATP +NH3 donne |> AMP + PP + <u>'''Asn''' (sans B6)</u> *Asp + ATP donne |> 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6 * Après formation de l'ATP *: - ATP +PRPP donne <> 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &emsp;&emsp;'''PRPP-ATP''' *: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6 =====B6 Pyridoxal-P===== *D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser *Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. <ref>https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel</ref> *: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu *Biosynthèse de B6 *: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu. *: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant: *:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a <u>molecular tunnel that is almost 100 A in length</u> [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6] *:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a <u>substrate-protective tunnel</u> to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''. *:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and <u>channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel</u>. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants. *: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul. *Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P *: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |>''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi <u>EC4336</u> R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |>''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine''' *: -* *: -*Pyridoxal +ATP '''donne |>''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxine +ATP '''donne |>''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P''' *: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |>''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P''' *: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *: -* *: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne <> Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne <> Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne <> Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal''' *: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne <> Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal''' *: -* *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +O2 donne <> Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -*Pyridoxal +NADP donne <> Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine''' *: -* *: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |>''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P''' *Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6. *: -*L-Ala donne <> D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6 *: -*Pyruvate + D-Glu donne <> D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6 *Synthèse *: - Étapes: une seule *: - produit: directement le pyridoxal seul! *: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate. *: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.) =====NAD nicotinamide adenine dinucléotide===== *Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]] *: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne <|''' Pyruvate + NH3 + NAD EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) *Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp *: -*Asp + NAD '''donne |>''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp''' *: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne <|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate''' *:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity. *Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes) *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *: - * *: -*Quinolinate + PRPP '''donne <|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide''' *: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne <> Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD''' *:: + '''ATP en substrat''' *: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |>''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+''' *:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln. *: -*NAD + ATP '''donne |>''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+''' *Synthèse *: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN) *: - produit: 2 PP *: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP *: - Utilise: 2 ATP, FAD *: - B6: néant *: - comparaison des 2 voies: *:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S]. *:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution. =====FMN FAD riboflavines===== *Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques. *Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP '''donne <|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil''' *: -*P-ribitylamino-uracil + H2O '''donne |>''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil''' *: -*Ribulose-5P '''donne |>''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P''' *: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |>''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine''' *: -*2 ribitylLumazine '''donne |>''' Riboflavin + ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin''' *:: + A flavoprotein (riboflavin). *: -*Riboflavin + ATP '''donne |>''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN''' *: -*FMN + ATP '''donne |>''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD''' *Synthèse *: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD *: - produit: 2 Formates, NH3 *: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP *: - Utilise: ATP, NADP =====Phe Tyr Trp===== *Les aas aromatiques. Chorismate nécessite FMN. *Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose *: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |>''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase Metacyc de P2 à 1 P '''céto-Fructose-1P''' *:: +*D-Lactate +NAD donne <> Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase ecocyc (schem bi) RL ΔG=+3.33 '''D-Lactate''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne <> D-Lactate +NAD EC121.23 R01735 oxydoreductase pas de REHA '''D-Lactaldehyde''' *:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne <> Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase Metacyc bi '''Methylglyoxal''' *: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |>''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase Metacyc de Asp '''heptulosonate''' *:: +*Asp +ATP '''donne |>''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''Asp-P''' *:: +*Asp-P +NADP '''donne <|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-semialdehyde''' *: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |>''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate''' *: -*Dehydroquinate donne <> Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate''' *: -*Shikimate +NAD donne <> Dehydroshikimate +NAD EC111.24 R06847 oxydoreductase ecocyc LR de shikimate ΔG=-12.20 '''Shikimate''' *: -*Shikimate +ATP '''donne |>''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase ecocyc LR de ATP ΔG=-16.06 '''Shikimate-3P''' *: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate <> Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P''' *: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |>''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate''' *::: .. Requires '''FMN''' *: -*Chorismate donne <> Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate''' *: -*Prephenate donne <> Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate''' *: -*Phe +NAD +H2O donne <> Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6) *: -*Prephenate +NAD donne <> OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate''' *: -*Tyr +NAD +H2O donne <> OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6) *: -*Chorismate +NH3 '''donne |>''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate''' *::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit. *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne <> Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P''' *: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne <> Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P''' *: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne <> Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P''' *: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne <> Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' <u>(avec B6)</u> *: - * *: - * *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD **** *: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |>''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate''' *: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |>''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde''' *: -*muconate semi-aldehyde '''donne |>''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate''' *Synthèse *: - Etapes *:: + Voie commune 11 étapes *:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun *:: + Trp 5 étapes *:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée *: - Produit *:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3 *:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun *:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P *:: + Quinolinate: H2O (rien) *: - Consomme *:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate *:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun *:: + Trp: NH3, PRPP, Ser *:: + Quinolinate, '''2 fois O2''' *: - Utilise *:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP *:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr *:: + Trp: rien *:: + Quinolinate: '''FAD''' *: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6. =====TPP Thiamine pyrophosphate===== *Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas. *Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5. *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire. *:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea. *: -*NAD + Gly +H2S '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |>''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante *: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |>''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P''' *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His). *:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. *: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |>''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P''' *: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne <|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP''' *Biosynthèse de la Thiamine *: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |>''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P''' *: -*Thiamine-P +ATP '''donne |>''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP''' *: -*Thiamine-P +H2O '''donne |>''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine''' *: -*Thiamine +H2O '''donne |>''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole''' *: -*Thiazole +ATP '''donne |>''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P''' *: -*Pyrimidine +ATP '''donne |>''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys) *:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea. *: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |>''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol''' *Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP *:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide. *Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons. *:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis. *Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP *: - produit: *:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; *:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme) *:: + CO2 PP *: - consomme: *:: + NAD Gly H2S *:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6 *:: + énergie *: - Utilise: *:: + rien *:: + ATP *:: + ATP =====CoA Coenzyme A===== *La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine. *: -*Acetolactate + NADP '''donne <|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*Dimethyl-malate +NAD donne <> methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate''' *: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne <> Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate''' *: -*Pantoate + NAD donne <> Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate''' *: -*Asp '''donne |>''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala''' *:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group. *: -*beta-Ala + Pantoate +ATP '''donne |>''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate''' *: -*beta-Ala + Pantoate '''donne |>''' Pantothenate +H2O EC351.22 R02474 hydrolase '''Pantothenate''' *:: + Article 1966 <ref>https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/5/2/399/99824/The-Bacterial-Degradation-of-Pantothenic-Acid-II?redirectedFrom=fulltext</ref>, pseudomonas P-2. *: -*Pantothenate +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate''' *: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives. *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantoate + Cys +ATP '''donne |>''' P-Pantothenate-Cys +AMP +PP EC632.51 R04230 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys''' *: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |>''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10004</ref> Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage. *: -*P-Pantetheine +ATP donne <> dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA''' *: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |>''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA''' *Synthèse *: - 13 étapes de Pyruvate à CoA *: - produit: 3 CO2; 3 PP *: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys *: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP *: - B6: pas de B6 =====Val Ile Leu===== *Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul. *: -*2 Pyruvate '''donne |>''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate''' *: -*Acetolactate donne <> OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate donne <> methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate''' *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' *: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |>''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6) *: -*Ile *: -*Thr '''donne |>''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6) *: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |>''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate''' *: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne <> OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP donne <> OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate''' *: -*2(OH)-methylpentanoate donne <> 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate''' *: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |>''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6) *: -*Leu *: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |>''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val *: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |>''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate''' *:: +*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*2-Isopropyl-malate donne <> 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate''' *: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne <> 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate''' *: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne <> 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate''' *: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |>''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 <u>spontanée</u> R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate''' *: -*Leu +NAD +H2O '''donne <|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6) *Synthèse *: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu. *: - produit *:: + Val: CO2 *:: + Ile: CO2 NH3 *:: + Leu: CO2 *: - consomme *:: + Val: 2 Pyruvate NH3 *:: + Ile: Thr NH3 *:: + Leu: Acetate NH3 *: - Utilise *:: + Val: NADP NAD *:: + Ile: NADP NAD *:: + Leu: ATP CoA 2 NAD *: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6 =====Methionine Met===== *Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. *Pathway: cysteine methionine *: -*acetyl-CoA + L-homoserine '''donne |>''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' *: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |>''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6) *: -*Methionine + H2O '''donne |>''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase (avec B6) *: -*Met +ATP +H2O '''donne |>''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase *: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |>''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met''' voie des sulfures *: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |>''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6) *Synthèse *: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met. *: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici. *: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. *: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol *: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate. *: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP. *:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met. *:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6. =====Glutamate Glu Gln===== *Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs *: -*Acetate + CoA +ATP donne <> Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate) *: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne <> Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' *: -*Citrate donne <> Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' *: -*Cis-aconitate +H2O donne <> Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' *: -*Iso-citrate +NADP donne <> oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' *: -*oxalosuccinate donne <> 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' *: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne <> Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6) *: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |>''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase ΔG=-6.77 kcal/mol 469 aas direct de Glu '''Gln''' (sans B6) *: - *PRPP +Gln '''donne <|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 kcal/mol '''PRA''' *:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10794</ref>. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. Homo tetramer. 505 aas. *Synthèse *: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln *: - produit: CO2, CoA, Glu *: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3 *: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP *: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln *: - Gln sans ATP: EC242.14. Dans le commentaire NH3 peut remplacer Gln. A partir de là on obtient PRA et PP. PRA est très instable, aussi en présence de Glu et de PP se forme PRPP et Gln avec un ΔG=2.05 kacl/mol meilleur qu'avec l'ATP et favorable à la réversibilité. Donc PRPP + NH3 + Glu donne Gln, peut être en petite quantité, mais peut être entraînée par l'ensemble des autres aas. =====Arginine Arg Pro===== *Nécessite CoA et Glu *: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |>''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu''' *: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |>''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P''' *: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde''' *: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne <|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6) *: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne <> Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine''' *: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase ΔG=6.17 kcal/mol bi metacyc ecocyc, eco 297 aas. 2630 êtres dont 645 archées '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-5-semialdehyde donne <> Pyrroline-5-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *: -* *Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.) *: -*Glu +ATP '''donne |>''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' *: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne <|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' *: -*Ornithine +2-oxoglutarate donne <> Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6) *:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |>''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P''' *: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |>''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' (sans B6) *: -*Arg +H2O donne <> Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6) *: -*Glu-semialdehyde donne <> Pyroline-carboxylate +H2O <u>spontanée</u> R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' *: -*Pro +NAD donne <> Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6) *Synthèse sans CoA *: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée *: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P *: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2 *: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD *: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro. =====THF pour TMP===== *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF *: -*GTP +4 H2O '''donne |>''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine''' *: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |>''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P''' *: -*Dihydroneopterin-P '''donne |>''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin''' *:: +*Chorismate +Gln '''donne |>''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' *::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate *:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |>''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6) *: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |>''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate''' *: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |>''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate''' *:: + ecocyc: <ref>https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&id=EG10327</ref>. ATP-dependant reaction, est-ce que ATP a un site propre pour son hydrolyse? *: -*THF +NADP '''donne <|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF''' *: -* *Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate. *: -* *: -*THF +ATP +Formate donne <> Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF''' eucaryotes *: -*Formyl-THF +P-Ribosylglycinamide donne <> THF +P-Ribosyl-N-formylglycinamide EC2122 R04325 formyl ligase '''Formyl-THF''' bactéries *:: + ecocyc: <ref>https://www.kegg.jp/entry/eco:b2500</ref>, voir formation ATP *: -*Methenyl-THF +H2O donne <> Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF''' *: -*Methylene-THF +NADP donne <> Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF''' *: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |>''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine) *Synthèse *: - 12 étapes de GTP à TMP *: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate *: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3 *: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP =====Acides gras===== *Commencent avec Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA '''donne |>''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne <> Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA''' *: -*3-OH-butanoyl-CoA donne <> Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA''' *: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne <|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA''' *: - * *: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |>''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA''' *:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl *: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne <> trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA''' *: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à 16 carbones *: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne <|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |>''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate''' *Dégradation *: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |>''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA''' *: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |>''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne <> trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA''' *: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne <> 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA''' *: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne <> 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA''' *: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA *: -*2 Acetyl-CoA donne <> Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA''' ==essai 1== <pre> Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques. Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu. Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé. Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers. C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation. L'auto-organisation prébiotique *partir du postulat *pas de catalyse minérale des liaisons covalentes *liposome aux interactions faibles *grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis *Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies. *échanges avec l'extérieur *Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau. *A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. *homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme. *L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira. </pre> ==essai 2== *PLD de krishnamurty <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X</ref> *Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique *La question de CTP pour l'initialisation de la membrane ===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique=== *Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique: *: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation. *: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle. *: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité. ==essai 3== 12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion. *Deux points importants de la critique du passé de mes essais: *: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? *: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques? *Le nouveau concept *: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile. *: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. *: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile. ==essai 4== 21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a? * Les lectures: *: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).<ref>https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full</ref> *: - Les expériences en laboratoire *:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 <ref> https://theses.hal.science/tel-05407367</ref> *:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 <ref>https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/</ref> *:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 <ref>https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116</ref> * Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides. * Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction *: - en profondeur, avec des températures (>300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction *: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales. *: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (<100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec <u>R.Pascal</u>: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 <ref>https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691</ref> *: - <u>Formation des pores d'échange dans la bicouche</u>: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse. *: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP <ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol</ref>. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66. ==essai 5== 15/06/26 Paris. *Les 5 principes *#L'auto-organisation *#La continuité *#La séquestration et la néguentropie *#La différence réaction abiotique/biotique *#L'autonomie *L'environnement prébiotique *: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques *:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire) *:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4 *:# Les minéraux dont les phosphates *:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate *:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3 *: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) *: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes. ===L'auto-organisation=== *Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales. ==essai 6== ===Le processus néguentropique=== *Paris le 5/8/26 ===Introduction à la problématique de la recherche sur les origines de la vie=== *Paris le 2/9/26 *Les ribosomes miroir <ref>https://fr.scienceaq.com/Chemistry/1001083878.html</ref> *RNA polymérase <ref>https://fondation-inserm.org/les-bacteries-miroirs-menace-ou-curiosite-scientifique</ref> ====Le contrôle dual==== *Paris 14.10.26 *Simulateur hydrothermales 2025: formiate acétate pyruvate méthanol NH4 glycolate lactate propionate éthanol, pas de P H2S *Krebs 2024: d'où vient oxaloacétate? CO2 pyruvate oxaloacétate glyoxylate H2+Formiate (équivalent NAD), pas de P H2S, NiFe 22°C pression atmosphérique. *PP 2026: PP est proposé pour remplacer ATP, l'article '''acP de 2016''' propose l'acétyl-P très fragile et peu fréquent. *Moi je propose PEP 2017. *Glycolyse 2014: plusieurs réactions (des isomérase) de l'interconversion des sucres se fait dans l'eau sans enzymes. La non adhésion aux investigations de Muller depuis 1953, recherche des réactions abiotiques qui produisent des molécules biotiques (formaldéhyde adénine...) ne ressemblent aucunement aux réactions biotiques. Glycolyse 2014 m'a conforté dans une idée que j'étais entrain d'appréhender en listant les voies métaboliques de KEGG en partant du simulateur 2025: ces voies ont existé depuis le départ (prébiotiques) dans le système abiotique hydrothermal. *Le contrôle dual: C'est en lisant l'introduction de acP 2016 du chapitre 5, la non adhésion de l'auteur aux investigations de Muller comme je l'ai fait auparavant, m'a encouragé à imaginer un processus qui pourrait se produire dans les sources hydrothermales qui contraindrait ces voies métaboliques égales à celles biotiques actuelles du point de vue du substrat et bien sûr thermodynamique. *: - L'analogie s'est imposée immédiatement: dans le biotique actuel les enzymes créent et contrôlent le métabolisme de base (sucres acides nucléotides minéraux etc.) et de même ce métabolisme contrôle ces enzymes. C'est ce que j’appelle le contrôle dual, qui se fait dans les 2 sens. Mon idée est apparue alors immédiatement, ce sont les voies que je listais auparavant qui se concrétisent. Le métabolisme de base c'est celui des sources hydrothermales, vues alors comme un écosystème biotique hydrothermale, et les enzymes ce sont les aas libres qu'il produit. C'est le contrôle dual prébiotique. *: - La caractéristique principale de ce métabolisme prébiotique qui se crée dans cet écosystème c'est qu'il se fait par étapes. *:: + 1ère étape: simulateur 2025 et krebs 2024 auxquels il faut ajouter PP 2026: Les analogues sont NAD (Formiate +H2 +NiFe) et NH4. *::: * céto-acides: Pyruvate Glyoxylate oxaloacetate ceto-glutarate, Krebs 2024; Formiate Acetate Pyruvate Glycolate propionate NH4 Methanol Ethanol Lactate, Simulateur 2025. *::: * acides aminés: Ala Gly Asp Glu; enzymes, Ec1411 Ala(5808) Ec261.44 Gly(3043) Ec261.35 Asp(144) Ec1412 Glu(4450) *::: * OH-acides : Lactate Glycolate Malate OH-céto-Glutarate. Correspondant aux enzymes ; Ec111.27 Lac(4198) Ec111.26 Glc(2328) Ec111.37 Mal(8815) Ec111.38 Pyr(5455)[Pyruvate Malate] Ec111.399 OH-Glu(10321) *:: + 2ème étape, création de Pro (5): c'est le résultat de Glu-P sous l'action de PP, suivie de l'action de l'analogue de NAD comme dans la 1ère étape. L'analogue de ATP est PP qui produit un analogue plus puissant PEP 2017. La 1ère étape a produit aussi les alpha céto-acides: cAla (Lactate) cAsp (Malate) cGly (glycolate) cGlu (alpha céto-glutarate). 0ns2ycqnjkfp95bvyuutwry4lpc35ue 0 87390 987451 987400 2026-10-16T08:39:20Z Phl7605 31541 /* Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe */ 987451 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale « théorème de la puissance cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le système discret ou continu étant déformable ou non. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math> <math>\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math> <math>\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> selon «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»,}} on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> puis «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math>}} <math>\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>».</ref> puis {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Ayant établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> pour <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » on en déduit que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> »}} et que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ».}} === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis"> C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans lequel <math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> et <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, * on multiplie par <math>\;dt\;</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» dans lequel <math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> et <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> puis * on intègre entre <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math> est la variation d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> et <math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque - bis" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =</math> {{Nobr|<math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>»}} dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math> est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math> et * de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;</math> s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =</math>}} <math>\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et * de la variation de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>», <br>«<math>\;\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et positionnement de masselottes apparemment identiques <math>\;\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\;</math> de part et d'autre du point <math>\;C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\;\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », seule l'extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\;\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\;O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle {{Nobr|gradué<math>\big)</math>,}} la conséquence de ce choix étant que {{Al|5}}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » adopte, après quelques oscillations, <center>une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>»</center> {{Al|5}} en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\;\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\;\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\;C\;</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice {{Nobr|droite <ref name="hélice droite ou gauche"/>}} d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Considérant le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>support des fils de torsion<math>\big)\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, le solide étant, à l'instant <math>\;t</math>, d'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)</math> <math>\;\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)</math>, on rappelle ci-dessous le bilan des actions extérieures s'exerçant sur le solide dont le moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> est non nul en explicitant la puissance développée par ces actions à l'instant <math>\;t</math>, le solide étant, à cet instant, de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math> : * l'action que le fil de torsion supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil supérieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * {{Al|2}} celle que le fil de torsion inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil inférieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)</math>, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un pendule de torsion amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti <math>\;\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}aux deux couples de torsion des fils supérieur et inférieur s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » il faut ajouter le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion amorti, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant non amorti à un degré de liberté <math>\;\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le schéma de face du pendule pesant étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> en considérant une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation tel que son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\;O</math>, d'axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>», <math>\;G\;</math> étant repéré, à l'instant <math>\;t</math>, par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <math>\;\big[</math>noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]</math>, la détermination de l'équation différentielle en «<math>\;\theta(t)\;</math>» du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nécessite de rappeler les actions extérieures s'exerçant sur lui ainsi que la puissance développée par chacune d'elles dans le but d'utiliser le théorème de la puissance cinétique, ce sont : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> mais si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le poids étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_pesant#cite_note-existence_des_trois_composantes_de_la_r%C3%A9action-14|¹⁴]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » que la réaction du point <math>\;O\;</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> s'écrirait <math>\;\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même que la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>», sans oublier qu'à cette force il faut ajouter un couple de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O\;</math> donc de moment scalaire «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>».</ref> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\;\perp\;</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par la réaction du pivot et de son couple de réaction étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math> soit finalement, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\;\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\;</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\;\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math> [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant amorti <math>\;\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}au poids du solide, seule action extérieure à moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> non nul dans un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> il faut, dans un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref>, ajouter les forces de frottement fluide linéaire dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans le paragraphe précité <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]</math>, la puissance des forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, l'équation différentielle <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math>. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir <math>\;\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lequel <math>\;\Delta\;</math> est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> et orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\big]\;</math> étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref> <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> étant la composante de <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\Delta</math>.</ref>, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant <math>\;t\;</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>» et par suite «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» <ref> Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> à partir du point d'application <math>\;M\;</math> de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction <math>\;\ldots\;</math> mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\;\vec{\Gamma}\;</math> d'où <math>\;\ldots\;</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\;\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\;\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction <ref> Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de <math>\;d \alpha\;</math> ne dépend que de <math>\;\alpha</math>.</ref>, on en déduit le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> est définie par «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> c.-à-d. «<math>\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; {{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\;\alpha = 0\;</math> on en déduit <math>\;cste = 0\;</math> d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <center>«<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math> présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|<math>\;\big(</math>orientée}} par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;</math> étant le couple de torsion de moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion />, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant <math>\;t\;</math> par «<math>\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>, l'énergie cinétique du pendule au même instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>», <math>\;J_{CO_{\text{sup}}}\;</math> étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> on en déduit <center>l'énergie mécanique du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> selon <br>«<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ;</center> {{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u>. [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti <math>\;\big(</math>dont la photographe est ci-contre<math>\big)\;</math> étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils de torsion : * le couple de torsion du fil supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> soit <math>\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et * le couple de torsion du fil inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =</math> <math>-d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> soit <math>\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" />, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; {{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit <center>«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» ; {{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion <math>\;\big(</math>c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils<math>\big)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel {{Nobr|«<math>\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» et <br>«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\alpha\;</math> dans le 1^er exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui <math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> du 2^ème exemple de pendule de torsion du même paragraphe <br>{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}\;</math>» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> soit «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =</math> <math>\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» d’où <math>\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;</math> sachant que <math>\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace</math>» ; {{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;</math>» dans lequel «<math>\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» ou encore «<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>«<math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} 6wjc0l49rts0c19er6up1tczydieu3g 987452 987451 2026-10-16T08:49:51Z Phl7605 31541 /* Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe */ 987452 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}« théorème de la puissance cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le système discret ou continu étant déformable ou non. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math> <math>\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math> <math>\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> selon «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»,}} on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> puis «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math>}} <math>\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>».</ref> puis {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Ayant établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> pour <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » on en déduit que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> »}} et que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ».}} === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis"> C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans lequel <math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> et <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, * on multiplie par <math>\;dt\;</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» dans lequel <math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> et <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> puis * on intègre entre <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math> est la variation d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> et <math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque - bis" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =</math> {{Nobr|<math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>»}} dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math> est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math> et * de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;</math> s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =</math>}} <math>\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et * de la variation de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>», <br>«<math>\;\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et positionnement de masselottes apparemment identiques <math>\;\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\;</math> de part et d'autre du point <math>\;C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\;\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », seule l'extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\;\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\;O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle {{Nobr|gradué<math>\big)</math>,}} la conséquence de ce choix étant que {{Al|5}}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » adopte, après quelques oscillations, <center>une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>»</center> {{Al|5}} en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\;\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\;\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\;C\;</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice {{Nobr|droite <ref name="hélice droite ou gauche"/>}} d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Considérant le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>support des fils de torsion<math>\big)\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, le solide étant, à l'instant <math>\;t</math>, d'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)</math> <math>\;\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)</math>, on rappelle ci-dessous le bilan des actions extérieures s'exerçant sur le solide dont le moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> est non nul en explicitant la puissance développée par ces actions à l'instant <math>\;t</math>, le solide étant, à cet instant, de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math> : * l'action que le fil de torsion supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil supérieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * {{Al|2}} celle que le fil de torsion inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil inférieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)</math>, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un pendule de torsion amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti <math>\;\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}aux deux couples de torsion des fils supérieur et inférieur s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » il faut ajouter le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion amorti, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant non amorti à un degré de liberté <math>\;\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le schéma de face du pendule pesant étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> en considérant une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation tel que son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\;O</math>, d'axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>», <math>\;G\;</math> étant repéré, à l'instant <math>\;t</math>, par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <math>\;\big[</math>noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]</math>, la détermination de l'équation différentielle en «<math>\;\theta(t)\;</math>» du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nécessite de rappeler les actions extérieures s'exerçant sur lui ainsi que la puissance développée par chacune d'elles dans le but d'utiliser le théorème de la puissance cinétique, ce sont : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> mais si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le poids étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_pesant#cite_note-existence_des_trois_composantes_de_la_r%C3%A9action-14|¹⁴]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » que la réaction du point <math>\;O\;</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> s'écrirait <math>\;\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même que la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>», sans oublier qu'à cette force il faut ajouter un couple de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O\;</math> donc de moment scalaire «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>».</ref> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\;\perp\;</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par la réaction du pivot et de son couple de réaction étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math> soit finalement, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\;\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\;</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\;\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math> [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant amorti <math>\;\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}au poids du solide, seule action extérieure à moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> non nul dans un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> il faut, dans un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref>, ajouter les forces de frottement fluide linéaire dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans le paragraphe précité <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]</math>, la puissance des forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, l'équation différentielle <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math>. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir <math>\;\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lequel <math>\;\Delta\;</math> est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> et orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\big]\;</math> étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref> <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> étant la composante de <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\Delta</math>.</ref>, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant <math>\;t\;</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>» et par suite «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» <ref> Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> à partir du point d'application <math>\;M\;</math> de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction <math>\;\ldots\;</math> mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\;\vec{\Gamma}\;</math> d'où <math>\;\ldots\;</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\;\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\;\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction <ref> Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de <math>\;d \alpha\;</math> ne dépend que de <math>\;\alpha</math>.</ref>, on en déduit le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> est définie par «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> c.-à-d. «<math>\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; {{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\;\alpha = 0\;</math> on en déduit <math>\;cste = 0\;</math> d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <center>«<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math> présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|<math>\;\big(</math>orientée}} par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;</math> étant le couple de torsion de moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion />, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant <math>\;t\;</math> par «<math>\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>, l'énergie cinétique du pendule au même instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>», <math>\;J_{CO_{\text{sup}}}\;</math> étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> on en déduit <center>l'énergie mécanique du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> selon <br>«<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ;</center> {{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u>. [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti <math>\;\big(</math>dont la photographe est ci-contre<math>\big)\;</math> étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils de torsion : * le couple de torsion du fil supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> soit <math>\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et * le couple de torsion du fil inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =</math> <math>-d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> soit <math>\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" />, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; {{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit <center>«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» ; {{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion <math>\;\big(</math>c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils<math>\big)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel {{Nobr|«<math>\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» et <br>«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\alpha\;</math> dans le 1^er exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui <math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> du 2^ème exemple de pendule de torsion du même paragraphe <br>{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}\;</math>» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> soit «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =</math> <math>\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» d’où <math>\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;</math> sachant que <math>\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace</math>» ; {{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;</math>» dans lequel «<math>\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» ou encore «<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>«<math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} sc425gnq3vsnmn63v4tu3ysovo9n15n 987453 987452 2026-10-16T08:51:14Z Phl7605 31541 /* Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe */ 987453 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le système discret ou continu étant déformable ou non. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math> <math>\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math> <math>\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> selon «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»,}} on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> puis «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math>}} <math>\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>».</ref> puis {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Ayant établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> pour <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » on en déduit que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> »}} et que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ».}} === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis"> C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans lequel <math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> et <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, * on multiplie par <math>\;dt\;</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» dans lequel <math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> et <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> puis * on intègre entre <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math> est la variation d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> et <math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque - bis" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =</math> {{Nobr|<math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>»}} dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math> est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math> et * de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;</math> s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =</math>}} <math>\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et * de la variation de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>», <br>«<math>\;\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et positionnement de masselottes apparemment identiques <math>\;\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\;</math> de part et d'autre du point <math>\;C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\;\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », seule l'extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\;\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\;O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle {{Nobr|gradué<math>\big)</math>,}} la conséquence de ce choix étant que {{Al|5}}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » adopte, après quelques oscillations, <center>une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>»</center> {{Al|5}} en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\;\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\;\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\;C\;</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice {{Nobr|droite <ref name="hélice droite ou gauche"/>}} d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Considérant le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>support des fils de torsion<math>\big)\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, le solide étant, à l'instant <math>\;t</math>, d'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)</math> <math>\;\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)</math>, on rappelle ci-dessous le bilan des actions extérieures s'exerçant sur le solide dont le moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> est non nul en explicitant la puissance développée par ces actions à l'instant <math>\;t</math>, le solide étant, à cet instant, de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math> : * l'action que le fil de torsion supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil supérieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * {{Al|2}} celle que le fil de torsion inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil inférieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)</math>, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un pendule de torsion amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti <math>\;\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}aux deux couples de torsion des fils supérieur et inférieur s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » il faut ajouter le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion amorti, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant non amorti à un degré de liberté <math>\;\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le schéma de face du pendule pesant étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> en considérant une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation tel que son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\;O</math>, d'axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>», <math>\;G\;</math> étant repéré, à l'instant <math>\;t</math>, par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <math>\;\big[</math>noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]</math>, la détermination de l'équation différentielle en «<math>\;\theta(t)\;</math>» du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nécessite de rappeler les actions extérieures s'exerçant sur lui ainsi que la puissance développée par chacune d'elles dans le but d'utiliser le théorème de la puissance cinétique, ce sont : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> mais si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le poids étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_pesant#cite_note-existence_des_trois_composantes_de_la_r%C3%A9action-14|¹⁴]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » que la réaction du point <math>\;O\;</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> s'écrirait <math>\;\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même que la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>», sans oublier qu'à cette force il faut ajouter un couple de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O\;</math> donc de moment scalaire «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>».</ref> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\;\perp\;</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par la réaction du pivot et de son couple de réaction étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math> soit finalement, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\;\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\;</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\;\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math> [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant amorti <math>\;\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}au poids du solide, seule action extérieure à moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> non nul dans un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> il faut, dans un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref>, ajouter les forces de frottement fluide linéaire dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans le paragraphe précité <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]</math>, la puissance des forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, l'équation différentielle <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math>. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir <math>\;\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lequel <math>\;\Delta\;</math> est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> et orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\big]\;</math> étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref> <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> étant la composante de <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\Delta</math>.</ref>, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant <math>\;t\;</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>» et par suite «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» <ref> Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> à partir du point d'application <math>\;M\;</math> de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction <math>\;\ldots\;</math> mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\;\vec{\Gamma}\;</math> d'où <math>\;\ldots\;</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\;\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\;\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction <ref> Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de <math>\;d \alpha\;</math> ne dépend que de <math>\;\alpha</math>.</ref>, on en déduit le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> est définie par «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> c.-à-d. «<math>\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; {{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\;\alpha = 0\;</math> on en déduit <math>\;cste = 0\;</math> d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <center>«<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math> présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|<math>\;\big(</math>orientée}} par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;</math> étant le couple de torsion de moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion />, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant <math>\;t\;</math> par «<math>\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>, l'énergie cinétique du pendule au même instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>», <math>\;J_{CO_{\text{sup}}}\;</math> étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> on en déduit <center>l'énergie mécanique du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> selon <br>«<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ;</center> {{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u>. [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti <math>\;\big(</math>dont la photographe est ci-contre<math>\big)\;</math> étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils de torsion : * le couple de torsion du fil supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> soit <math>\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et * le couple de torsion du fil inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =</math> <math>-d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> soit <math>\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" />, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; {{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit <center>«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» ; {{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion <math>\;\big(</math>c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils<math>\big)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel {{Nobr|«<math>\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» et <br>«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\alpha\;</math> dans le 1^er exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui <math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> du 2^ème exemple de pendule de torsion du même paragraphe <br>{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}\;</math>» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> soit «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =</math> <math>\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» d’où <math>\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;</math> sachant que <math>\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace</math>» ; {{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;</math>» dans lequel «<math>\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» ou encore «<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>«<math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} qfzgn669zmigy4ty77zvn6m6wn82m7f 987454 987453 2026-10-16T08:54:42Z Phl7605 31541 /* Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final */ 987454 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le système discret ou continu étant déformable ou non. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math> <math>\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math> <math>\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> selon «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»,}} on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> puis «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math>}} <math>\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>».</ref> puis {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Ayant établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> pour <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » on en déduit que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> »}} et que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ».}} === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis"> C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans lequel <math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> et <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, * on multiplie par <math>\;dt\;</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» dans lequel <math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> et <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> puis * on intègre entre <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math> est la variation d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> et <math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque - bis" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =</math> {{Nobr|<math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>»}} dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math> est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math> et * de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;</math> s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =</math>}} <math>\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et * de la variation de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>», <br>«<math>\;\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et positionnement de masselottes apparemment identiques <math>\;\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\;</math> de part et d'autre du point <math>\;C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\;\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », seule l'extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\;\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\;O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle {{Nobr|gradué<math>\big)</math>,}} la conséquence de ce choix étant que {{Al|5}}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » adopte, après quelques oscillations, <center>une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>»</center> {{Al|5}} en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\;\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\;\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\;C\;</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice {{Nobr|droite <ref name="hélice droite ou gauche"/>}} d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Considérant le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>support des fils de torsion<math>\big)\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, le solide étant, à l'instant <math>\;t</math>, d'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)</math> <math>\;\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)</math>, on rappelle ci-dessous le bilan des actions extérieures s'exerçant sur le solide dont le moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> est non nul en explicitant la puissance développée par ces actions à l'instant <math>\;t</math>, le solide étant, à cet instant, de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math> : * l'action que le fil de torsion supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil supérieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * {{Al|2}} celle que le fil de torsion inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil inférieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)</math>, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un pendule de torsion amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti <math>\;\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}aux deux couples de torsion des fils supérieur et inférieur s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » il faut ajouter le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion amorti, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant non amorti à un degré de liberté <math>\;\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le schéma de face du pendule pesant étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> en considérant une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation tel que son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\;O</math>, d'axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>», <math>\;G\;</math> étant repéré, à l'instant <math>\;t</math>, par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <math>\;\big[</math>noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]</math>, la détermination de l'équation différentielle en «<math>\;\theta(t)\;</math>» du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nécessite de rappeler les actions extérieures s'exerçant sur lui ainsi que la puissance développée par chacune d'elles dans le but d'utiliser le théorème de la puissance cinétique, ce sont : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> mais si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le poids étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_pesant#cite_note-existence_des_trois_composantes_de_la_r%C3%A9action-14|¹⁴]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » que la réaction du point <math>\;O\;</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> s'écrirait <math>\;\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même que la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>», sans oublier qu'à cette force il faut ajouter un couple de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O\;</math> donc de moment scalaire «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>».</ref> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\;\perp\;</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par la réaction du pivot et de son couple de réaction étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math> soit finalement, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\;\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\;</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\;\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math> [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant amorti <math>\;\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}au poids du solide, seule action extérieure à moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> non nul dans un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> il faut, dans un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref>, ajouter les forces de frottement fluide linéaire dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans le paragraphe précité <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]</math>, la puissance des forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, l'équation différentielle <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math>. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir <math>\;\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lequel <math>\;\Delta\;</math> est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> et orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\big]\;</math> étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref> <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> étant la composante de <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\Delta</math>.</ref>, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant <math>\;t\;</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>» et par suite «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» <ref> Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> à partir du point d'application <math>\;M\;</math> de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction <math>\;\ldots\;</math> mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\;\vec{\Gamma}\;</math> d'où <math>\;\ldots\;</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\;\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\;\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction <ref> Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de <math>\;d \alpha\;</math> ne dépend que de <math>\;\alpha</math>.</ref>, on en déduit le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> est définie par «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> c.-à-d. «<math>\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; {{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\;\alpha = 0\;</math> on en déduit <math>\;cste = 0\;</math> d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <center>«<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math> présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|<math>\;\big(</math>orientée}} par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;</math> étant le couple de torsion de moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion />, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant <math>\;t\;</math> par «<math>\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>, l'énergie cinétique du pendule au même instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>», <math>\;J_{CO_{\text{sup}}}\;</math> étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> on en déduit <center>l'énergie mécanique du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> selon <br>«<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ;</center> {{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u>. [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti <math>\;\big(</math>dont la photographe est ci-contre<math>\big)\;</math> étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils de torsion : * le couple de torsion du fil supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> soit <math>\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et * le couple de torsion du fil inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =</math> <math>-d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> soit <math>\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" />, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; {{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit <center>«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» ; {{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion <math>\;\big(</math>c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils<math>\big)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel {{Nobr|«<math>\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» et <br>«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\alpha\;</math> dans le 1^er exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui <math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> du 2^ème exemple de pendule de torsion du même paragraphe <br>{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}\;</math>» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> soit «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =</math> <math>\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» d’où <math>\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;</math> sachant que <math>\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace</math>» ; {{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;</math>» dans lequel «<math>\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» ou encore «<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>«<math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} 4fbrp6clmvphbchy725dpqyfj4uid9g 987455 987454 2026-10-16T09:01:18Z Phl7605 31541 /* Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final */ 987455 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math> <math>\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math> <math>\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> selon «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»,}} on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> puis «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math>}} <math>\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>».</ref> puis {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Ayant établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> pour <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » on en déduit que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> »}} et que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ».}} === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis"> C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans lequel <math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> et <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, * on multiplie par <math>\;dt\;</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» dans lequel <math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> et <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> puis * on intègre entre <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math> est la variation d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> et <math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque - bis" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =</math> {{Nobr|<math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>»}} dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math> est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math> et * de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;</math> s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =</math>}} <math>\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et * de la variation de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>», <br>«<math>\;\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et positionnement de masselottes apparemment identiques <math>\;\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\;</math> de part et d'autre du point <math>\;C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\;\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », seule l'extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\;\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\;O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle {{Nobr|gradué<math>\big)</math>,}} la conséquence de ce choix étant que {{Al|5}}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » adopte, après quelques oscillations, <center>une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>»</center> {{Al|5}} en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\;\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\;\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\;C\;</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice {{Nobr|droite <ref name="hélice droite ou gauche"/>}} d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Considérant le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>support des fils de torsion<math>\big)\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, le solide étant, à l'instant <math>\;t</math>, d'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)</math> <math>\;\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)</math>, on rappelle ci-dessous le bilan des actions extérieures s'exerçant sur le solide dont le moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> est non nul en explicitant la puissance développée par ces actions à l'instant <math>\;t</math>, le solide étant, à cet instant, de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math> : * l'action que le fil de torsion supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil supérieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * {{Al|2}} celle que le fil de torsion inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil inférieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)</math>, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un pendule de torsion amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti <math>\;\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}aux deux couples de torsion des fils supérieur et inférieur s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » il faut ajouter le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion amorti, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant non amorti à un degré de liberté <math>\;\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le schéma de face du pendule pesant étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> en considérant une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation tel que son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\;O</math>, d'axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>», <math>\;G\;</math> étant repéré, à l'instant <math>\;t</math>, par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <math>\;\big[</math>noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]</math>, la détermination de l'équation différentielle en «<math>\;\theta(t)\;</math>» du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nécessite de rappeler les actions extérieures s'exerçant sur lui ainsi que la puissance développée par chacune d'elles dans le but d'utiliser le théorème de la puissance cinétique, ce sont : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> mais si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le poids étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_pesant#cite_note-existence_des_trois_composantes_de_la_r%C3%A9action-14|¹⁴]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » que la réaction du point <math>\;O\;</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> s'écrirait <math>\;\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même que la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>», sans oublier qu'à cette force il faut ajouter un couple de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O\;</math> donc de moment scalaire «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>».</ref> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\;\perp\;</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par la réaction du pivot et de son couple de réaction étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math> soit finalement, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\;\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\;</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\;\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math> [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant amorti <math>\;\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}au poids du solide, seule action extérieure à moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> non nul dans un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> il faut, dans un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref>, ajouter les forces de frottement fluide linéaire dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans le paragraphe précité <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]</math>, la puissance des forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, l'équation différentielle <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math>. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir <math>\;\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lequel <math>\;\Delta\;</math> est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> et orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\big]\;</math> étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref> <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> étant la composante de <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\Delta</math>.</ref>, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant <math>\;t\;</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>» et par suite «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» <ref> Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> à partir du point d'application <math>\;M\;</math> de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction <math>\;\ldots\;</math> mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\;\vec{\Gamma}\;</math> d'où <math>\;\ldots\;</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\;\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\;\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction <ref> Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de <math>\;d \alpha\;</math> ne dépend que de <math>\;\alpha</math>.</ref>, on en déduit le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> est définie par «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> c.-à-d. «<math>\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; {{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\;\alpha = 0\;</math> on en déduit <math>\;cste = 0\;</math> d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <center>«<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math> présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|<math>\;\big(</math>orientée}} par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;</math> étant le couple de torsion de moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion />, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant <math>\;t\;</math> par «<math>\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>, l'énergie cinétique du pendule au même instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>», <math>\;J_{CO_{\text{sup}}}\;</math> étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> on en déduit <center>l'énergie mécanique du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> selon <br>«<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ;</center> {{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u>. [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti <math>\;\big(</math>dont la photographe est ci-contre<math>\big)\;</math> étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils de torsion : * le couple de torsion du fil supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> soit <math>\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et * le couple de torsion du fil inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =</math> <math>-d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> soit <math>\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" />, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; {{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit <center>«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» ; {{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion <math>\;\big(</math>c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils<math>\big)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel {{Nobr|«<math>\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» et <br>«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\alpha\;</math> dans le 1^er exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui <math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> du 2^ème exemple de pendule de torsion du même paragraphe <br>{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}\;</math>» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> soit «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =</math> <math>\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» d’où <math>\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;</math> sachant que <math>\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace</math>» ; {{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;</math>» dans lequel «<math>\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» ou encore «<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>«<math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} e5byd62bhfn09g580d42ijdu77ieeot 987456 987455 2026-10-16T09:06:57Z Phl7605 31541 /* Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final */ 987456 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord * le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math> <math>\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math> <math>\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> selon «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»,}} on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> puis «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math>}} <math>\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>».</ref> puis {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Ayant établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> pour <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » on en déduit que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> »}} et que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ».}} === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis"> C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans lequel <math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> et <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, * on multiplie par <math>\;dt\;</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» dans lequel <math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> et <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> puis * on intègre entre <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math> est la variation d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> et <math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque - bis" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =</math> {{Nobr|<math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>»}} dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math> est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math> et * de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;</math> s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =</math>}} <math>\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et * de la variation de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>», <br>«<math>\;\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et positionnement de masselottes apparemment identiques <math>\;\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\;</math> de part et d'autre du point <math>\;C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\;\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », seule l'extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\;\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\;O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle {{Nobr|gradué<math>\big)</math>,}} la conséquence de ce choix étant que {{Al|5}}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » adopte, après quelques oscillations, <center>une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>»</center> {{Al|5}} en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\;\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\;\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\;C\;</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice {{Nobr|droite <ref name="hélice droite ou gauche"/>}} d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Considérant le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>support des fils de torsion<math>\big)\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, le solide étant, à l'instant <math>\;t</math>, d'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)</math> <math>\;\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)</math>, on rappelle ci-dessous le bilan des actions extérieures s'exerçant sur le solide dont le moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> est non nul en explicitant la puissance développée par ces actions à l'instant <math>\;t</math>, le solide étant, à cet instant, de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math> : * l'action que le fil de torsion supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil supérieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * {{Al|2}} celle que le fil de torsion inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil inférieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)</math>, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un pendule de torsion amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti <math>\;\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}aux deux couples de torsion des fils supérieur et inférieur s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » il faut ajouter le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion amorti, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant non amorti à un degré de liberté <math>\;\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le schéma de face du pendule pesant étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> en considérant une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation tel que son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\;O</math>, d'axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>», <math>\;G\;</math> étant repéré, à l'instant <math>\;t</math>, par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <math>\;\big[</math>noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]</math>, la détermination de l'équation différentielle en «<math>\;\theta(t)\;</math>» du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nécessite de rappeler les actions extérieures s'exerçant sur lui ainsi que la puissance développée par chacune d'elles dans le but d'utiliser le théorème de la puissance cinétique, ce sont : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> mais si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le poids étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_pesant#cite_note-existence_des_trois_composantes_de_la_r%C3%A9action-14|¹⁴]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » que la réaction du point <math>\;O\;</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> s'écrirait <math>\;\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même que la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>», sans oublier qu'à cette force il faut ajouter un couple de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O\;</math> donc de moment scalaire «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>».</ref> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\;\perp\;</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par la réaction du pivot et de son couple de réaction étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math> soit finalement, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\;\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\;</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\;\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math> [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant amorti <math>\;\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}au poids du solide, seule action extérieure à moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> non nul dans un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> il faut, dans un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref>, ajouter les forces de frottement fluide linéaire dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans le paragraphe précité <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]</math>, la puissance des forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, l'équation différentielle <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math>. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir <math>\;\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lequel <math>\;\Delta\;</math> est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> et orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\big]\;</math> étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref> <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> étant la composante de <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\Delta</math>.</ref>, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant <math>\;t\;</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>» et par suite «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» <ref> Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> à partir du point d'application <math>\;M\;</math> de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction <math>\;\ldots\;</math> mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\;\vec{\Gamma}\;</math> d'où <math>\;\ldots\;</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\;\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\;\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction <ref> Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de <math>\;d \alpha\;</math> ne dépend que de <math>\;\alpha</math>.</ref>, on en déduit le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> est définie par «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> c.-à-d. «<math>\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; {{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\;\alpha = 0\;</math> on en déduit <math>\;cste = 0\;</math> d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <center>«<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math> présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|<math>\;\big(</math>orientée}} par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;</math> étant le couple de torsion de moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion />, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant <math>\;t\;</math> par «<math>\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>, l'énergie cinétique du pendule au même instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>», <math>\;J_{CO_{\text{sup}}}\;</math> étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> on en déduit <center>l'énergie mécanique du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> selon <br>«<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ;</center> {{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u>. [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti <math>\;\big(</math>dont la photographe est ci-contre<math>\big)\;</math> étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils de torsion : * le couple de torsion du fil supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> soit <math>\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et * le couple de torsion du fil inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =</math> <math>-d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> soit <math>\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" />, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; {{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit <center>«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» ; {{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion <math>\;\big(</math>c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils<math>\big)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel {{Nobr|«<math>\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» et <br>«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\alpha\;</math> dans le 1^er exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui <math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> du 2^ème exemple de pendule de torsion du même paragraphe <br>{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}\;</math>» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> soit «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =</math> <math>\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» d’où <math>\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;</math> sachant que <math>\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace</math>» ; {{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;</math>» dans lequel «<math>\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» ou encore «<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>«<math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} 2cq77dlw0s0ywvpsqhm5nx1zt4oqe9c 987457 987456 2026-10-16T09:09:10Z Phl7605 31541 /* Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final */ 987457 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math> <math>\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math> <math>\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> selon «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»,}} on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> puis «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math>}} <math>\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>».</ref> puis {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Ayant établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> pour <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » on en déduit que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> »}} et que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ».}} === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis"> C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans lequel <math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> et <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, * on multiplie par <math>\;dt\;</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» dans lequel <math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> et <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> puis * on intègre entre <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math> est la variation d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> et <math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque - bis" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =</math> {{Nobr|<math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>»}} dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math> est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math> et * de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;</math> s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =</math>}} <math>\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et * de la variation de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>», <br>«<math>\;\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et positionnement de masselottes apparemment identiques <math>\;\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\;</math> de part et d'autre du point <math>\;C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\;\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », seule l'extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\;\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\;O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle {{Nobr|gradué<math>\big)</math>,}} la conséquence de ce choix étant que {{Al|5}}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » adopte, après quelques oscillations, <center>une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>»</center> {{Al|5}} en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\;\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\;\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\;C\;</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice {{Nobr|droite <ref name="hélice droite ou gauche"/>}} d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Considérant le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>support des fils de torsion<math>\big)\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, le solide étant, à l'instant <math>\;t</math>, d'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)</math> <math>\;\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)</math>, on rappelle ci-dessous le bilan des actions extérieures s'exerçant sur le solide dont le moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> est non nul en explicitant la puissance développée par ces actions à l'instant <math>\;t</math>, le solide étant, à cet instant, de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math> : * l'action que le fil de torsion supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil supérieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * {{Al|2}} celle que le fil de torsion inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil inférieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)</math>, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un pendule de torsion amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti <math>\;\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}aux deux couples de torsion des fils supérieur et inférieur s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » il faut ajouter le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion amorti, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant non amorti à un degré de liberté <math>\;\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le schéma de face du pendule pesant étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> en considérant une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation tel que son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\;O</math>, d'axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>», <math>\;G\;</math> étant repéré, à l'instant <math>\;t</math>, par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <math>\;\big[</math>noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]</math>, la détermination de l'équation différentielle en «<math>\;\theta(t)\;</math>» du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nécessite de rappeler les actions extérieures s'exerçant sur lui ainsi que la puissance développée par chacune d'elles dans le but d'utiliser le théorème de la puissance cinétique, ce sont : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> mais si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le poids étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_pesant#cite_note-existence_des_trois_composantes_de_la_r%C3%A9action-14|¹⁴]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » que la réaction du point <math>\;O\;</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> s'écrirait <math>\;\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même que la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>», sans oublier qu'à cette force il faut ajouter un couple de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O\;</math> donc de moment scalaire «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>».</ref> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\;\perp\;</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par la réaction du pivot et de son couple de réaction étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math> soit finalement, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\;\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\;</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\;\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math> [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant amorti <math>\;\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}au poids du solide, seule action extérieure à moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> non nul dans un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> il faut, dans un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref>, ajouter les forces de frottement fluide linéaire dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans le paragraphe précité <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]</math>, la puissance des forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, l'équation différentielle <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math>. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir <math>\;\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lequel <math>\;\Delta\;</math> est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> et orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\big]\;</math> étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref> <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> étant la composante de <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\Delta</math>.</ref>, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant <math>\;t\;</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>» et par suite «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» <ref> Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> à partir du point d'application <math>\;M\;</math> de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction <math>\;\ldots\;</math> mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\;\vec{\Gamma}\;</math> d'où <math>\;\ldots\;</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\;\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\;\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction <ref> Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de <math>\;d \alpha\;</math> ne dépend que de <math>\;\alpha</math>.</ref>, on en déduit le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> est définie par «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> c.-à-d. «<math>\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; {{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\;\alpha = 0\;</math> on en déduit <math>\;cste = 0\;</math> d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <center>«<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math> présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|<math>\;\big(</math>orientée}} par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;</math> étant le couple de torsion de moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion />, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant <math>\;t\;</math> par «<math>\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>, l'énergie cinétique du pendule au même instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>», <math>\;J_{CO_{\text{sup}}}\;</math> étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> on en déduit <center>l'énergie mécanique du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> selon <br>«<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ;</center> {{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u>. [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti <math>\;\big(</math>dont la photographe est ci-contre<math>\big)\;</math> étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils de torsion : * le couple de torsion du fil supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> soit <math>\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et * le couple de torsion du fil inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =</math> <math>-d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> soit <math>\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" />, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; {{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit <center>«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» ; {{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion <math>\;\big(</math>c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils<math>\big)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel {{Nobr|«<math>\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» et <br>«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\alpha\;</math> dans le 1^er exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui <math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> du 2^ème exemple de pendule de torsion du même paragraphe <br>{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}\;</math>» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> soit «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =</math> <math>\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» d’où <math>\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;</math> sachant que <math>\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace</math>» ; {{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;</math>» dans lequel «<math>\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» ou encore «<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>«<math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} qbssecf95idqw1e2pl8xvevlm1u1jba 987458 987457 2026-10-16T09:11:51Z Phl7605 31541 /* Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final */ 987458 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math> <math>\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math> <math>\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> selon «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»,}} on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> puis «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math>}} <math>\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>».</ref> puis {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Ayant établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> pour <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » on en déduit que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> »}} et que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ».}} === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis"> C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans lequel <math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> et <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, * on multiplie par <math>\;dt\;</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» dans lequel <math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> et <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> puis * on intègre entre <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math> est la variation d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> et <math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque - bis" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =</math> {{Nobr|<math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>»}} dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math> est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math> et * de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;</math> s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =</math>}} <math>\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et * de la variation de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>», <br>«<math>\;\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et positionnement de masselottes apparemment identiques <math>\;\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\;</math> de part et d'autre du point <math>\;C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\;\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », seule l'extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\;\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\;O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle {{Nobr|gradué<math>\big)</math>,}} la conséquence de ce choix étant que {{Al|5}}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » adopte, après quelques oscillations, <center>une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>»</center> {{Al|5}} en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\;\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\;\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\;C\;</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice {{Nobr|droite <ref name="hélice droite ou gauche"/>}} d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Considérant le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>support des fils de torsion<math>\big)\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, le solide étant, à l'instant <math>\;t</math>, d'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)</math> <math>\;\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)</math>, on rappelle ci-dessous le bilan des actions extérieures s'exerçant sur le solide dont le moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> est non nul en explicitant la puissance développée par ces actions à l'instant <math>\;t</math>, le solide étant, à cet instant, de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math> : * l'action que le fil de torsion supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil supérieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * {{Al|2}} celle que le fil de torsion inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil inférieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)</math>, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un pendule de torsion amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti <math>\;\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}aux deux couples de torsion des fils supérieur et inférieur s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » il faut ajouter le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion amorti, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant non amorti à un degré de liberté <math>\;\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le schéma de face du pendule pesant étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> en considérant une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation tel que son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\;O</math>, d'axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>», <math>\;G\;</math> étant repéré, à l'instant <math>\;t</math>, par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <math>\;\big[</math>noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]</math>, la détermination de l'équation différentielle en «<math>\;\theta(t)\;</math>» du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nécessite de rappeler les actions extérieures s'exerçant sur lui ainsi que la puissance développée par chacune d'elles dans le but d'utiliser le théorème de la puissance cinétique, ce sont : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> mais si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le poids étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_pesant#cite_note-existence_des_trois_composantes_de_la_r%C3%A9action-14|¹⁴]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » que la réaction du point <math>\;O\;</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> s'écrirait <math>\;\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même que la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>», sans oublier qu'à cette force il faut ajouter un couple de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O\;</math> donc de moment scalaire «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>».</ref> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\;\perp\;</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par la réaction du pivot et de son couple de réaction étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math> soit finalement, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\;\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\;</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\;\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math> [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant amorti <math>\;\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}au poids du solide, seule action extérieure à moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> non nul dans un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> il faut, dans un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref>, ajouter les forces de frottement fluide linéaire dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans le paragraphe précité <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]</math>, la puissance des forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, l'équation différentielle <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math>. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir <math>\;\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lequel <math>\;\Delta\;</math> est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> et orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\big]\;</math> étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref> <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> étant la composante de <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\Delta</math>.</ref>, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant <math>\;t\;</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>» et par suite «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» <ref> Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> à partir du point d'application <math>\;M\;</math> de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction <math>\;\ldots\;</math> mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\;\vec{\Gamma}\;</math> d'où <math>\;\ldots\;</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\;\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\;\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction <ref> Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de <math>\;d \alpha\;</math> ne dépend que de <math>\;\alpha</math>.</ref>, on en déduit le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> est définie par «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> c.-à-d. «<math>\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; {{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\;\alpha = 0\;</math> on en déduit <math>\;cste = 0\;</math> d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <center>«<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math> présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|<math>\;\big(</math>orientée}} par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;</math> étant le couple de torsion de moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion />, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant <math>\;t\;</math> par «<math>\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>, l'énergie cinétique du pendule au même instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>», <math>\;J_{CO_{\text{sup}}}\;</math> étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> on en déduit <center>l'énergie mécanique du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> selon <br>«<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ;</center> {{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u>. [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti <math>\;\big(</math>dont la photographe est ci-contre<math>\big)\;</math> étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils de torsion : * le couple de torsion du fil supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> soit <math>\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et * le couple de torsion du fil inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =</math> <math>-d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> soit <math>\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" />, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; {{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit <center>«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» ; {{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion <math>\;\big(</math>c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils<math>\big)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel {{Nobr|«<math>\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» et <br>«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\alpha\;</math> dans le 1^er exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui <math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> du 2^ème exemple de pendule de torsion du même paragraphe <br>{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}\;</math>» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> soit «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =</math> <math>\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» d’où <math>\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;</math> sachant que <math>\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace</math>» ; {{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;</math>» dans lequel «<math>\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» ou encore «<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>«<math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} rm822ajtt9zjez8ml575x841sleotje 987459 987458 2026-10-16T09:14:53Z Phl7605 31541 /* Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final */ 987459 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math> <math>\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math> <math>\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> selon «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»,}} on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> puis «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math>}} <math>\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>».</ref> puis {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Ayant établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> pour <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » on en déduit que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> »}} et que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ».}} === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis"> C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans lequel <math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> et <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, * on multiplie par <math>\;dt\;</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» dans lequel <math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> et <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> puis * on intègre entre <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math> est la variation d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> et <math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque - bis" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =</math> {{Nobr|<math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>»}} dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math> est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math> et * de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;</math> s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =</math>}} <math>\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et * de la variation de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>», <br>«<math>\;\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et positionnement de masselottes apparemment identiques <math>\;\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\;</math> de part et d'autre du point <math>\;C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\;\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », seule l'extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\;\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\;O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle {{Nobr|gradué<math>\big)</math>,}} la conséquence de ce choix étant que {{Al|5}}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » adopte, après quelques oscillations, <center>une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>»</center> {{Al|5}} en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\;\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\;\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\;C\;</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice {{Nobr|droite <ref name="hélice droite ou gauche"/>}} d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Considérant le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>support des fils de torsion<math>\big)\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, le solide étant, à l'instant <math>\;t</math>, d'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)</math> <math>\;\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)</math>, on rappelle ci-dessous le bilan des actions extérieures s'exerçant sur le solide dont le moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> est non nul en explicitant la puissance développée par ces actions à l'instant <math>\;t</math>, le solide étant, à cet instant, de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math> : * l'action que le fil de torsion supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil supérieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * {{Al|2}} celle que le fil de torsion inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil inférieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)</math>, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un pendule de torsion amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti <math>\;\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}aux deux couples de torsion des fils supérieur et inférieur s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » il faut ajouter le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion amorti, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant non amorti à un degré de liberté <math>\;\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le schéma de face du pendule pesant étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> en considérant une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation tel que son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\;O</math>, d'axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>», <math>\;G\;</math> étant repéré, à l'instant <math>\;t</math>, par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <math>\;\big[</math>noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]</math>, la détermination de l'équation différentielle en «<math>\;\theta(t)\;</math>» du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nécessite de rappeler les actions extérieures s'exerçant sur lui ainsi que la puissance développée par chacune d'elles dans le but d'utiliser le théorème de la puissance cinétique, ce sont : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> mais si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le poids étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_pesant#cite_note-existence_des_trois_composantes_de_la_r%C3%A9action-14|¹⁴]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » que la réaction du point <math>\;O\;</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> s'écrirait <math>\;\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même que la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>», sans oublier qu'à cette force il faut ajouter un couple de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O\;</math> donc de moment scalaire «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>».</ref> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\;\perp\;</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par la réaction du pivot et de son couple de réaction étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math> soit finalement, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\;\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\;</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\;\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math> [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant amorti <math>\;\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}au poids du solide, seule action extérieure à moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> non nul dans un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> il faut, dans un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref>, ajouter les forces de frottement fluide linéaire dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans le paragraphe précité <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]</math>, la puissance des forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, l'équation différentielle <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math>. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir <math>\;\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lequel <math>\;\Delta\;</math> est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> et orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\big]\;</math> étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref> <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> étant la composante de <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\Delta</math>.</ref>, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant <math>\;t\;</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>» et par suite «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» <ref> Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> à partir du point d'application <math>\;M\;</math> de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction <math>\;\ldots\;</math> mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\;\vec{\Gamma}\;</math> d'où <math>\;\ldots\;</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\;\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\;\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction <ref> Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de <math>\;d \alpha\;</math> ne dépend que de <math>\;\alpha</math>.</ref>, on en déduit le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> est définie par «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> c.-à-d. «<math>\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; {{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\;\alpha = 0\;</math> on en déduit <math>\;cste = 0\;</math> d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <center>«<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math> présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|<math>\;\big(</math>orientée}} par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;</math> étant le couple de torsion de moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion />, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant <math>\;t\;</math> par «<math>\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>, l'énergie cinétique du pendule au même instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>», <math>\;J_{CO_{\text{sup}}}\;</math> étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> on en déduit <center>l'énergie mécanique du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> selon <br>«<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ;</center> {{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u>. [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti <math>\;\big(</math>dont la photographe est ci-contre<math>\big)\;</math> étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils de torsion : * le couple de torsion du fil supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> soit <math>\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et * le couple de torsion du fil inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =</math> <math>-d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> soit <math>\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" />, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; {{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit <center>«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» ; {{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion <math>\;\big(</math>c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils<math>\big)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel {{Nobr|«<math>\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» et <br>«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\alpha\;</math> dans le 1^er exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui <math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> du 2^ème exemple de pendule de torsion du même paragraphe <br>{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}\;</math>» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> soit «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =</math> <math>\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» d’où <math>\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;</math> sachant que <math>\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace</math>» ; {{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;</math>» dans lequel «<math>\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» ou encore «<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>«<math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} q9awg5ma2hw4hqmeziy0vqyzviwpj2d 987460 987459 2026-10-16T09:21:25Z Phl7605 31541 /* Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final */ 987460 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math> <math>\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math> <math>\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> selon «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»,}} on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> puis «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math>}} <math>\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>».</ref> puis {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Ayant établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> pour <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » on en déduit que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> »}} et que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ».}} === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis"> C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans lequel <math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> et <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, * on multiplie par <math>\;dt\;</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» dans lequel <math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> et <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> puis * on intègre entre <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math> est la variation d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> et <math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque - bis" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =</math> {{Nobr|<math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>»}} dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math> est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math> et * de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;</math> s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =</math>}} <math>\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et * de la variation de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>», <br>«<math>\;\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et positionnement de masselottes apparemment identiques <math>\;\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\;</math> de part et d'autre du point <math>\;C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\;\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », seule l'extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\;\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\;O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle {{Nobr|gradué<math>\big)</math>,}} la conséquence de ce choix étant que {{Al|5}}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » adopte, après quelques oscillations, <center>une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>»</center> {{Al|5}} en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\;\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\;\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\;C\;</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice {{Nobr|droite <ref name="hélice droite ou gauche"/>}} d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Considérant le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>support des fils de torsion<math>\big)\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, le solide étant, à l'instant <math>\;t</math>, d'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)</math> <math>\;\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)</math>, on rappelle ci-dessous le bilan des actions extérieures s'exerçant sur le solide dont le moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> est non nul en explicitant la puissance développée par ces actions à l'instant <math>\;t</math>, le solide étant, à cet instant, de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math> : * l'action que le fil de torsion supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil supérieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * {{Al|2}} celle que le fil de torsion inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil inférieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)</math>, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un pendule de torsion amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti <math>\;\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}aux deux couples de torsion des fils supérieur et inférieur s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » il faut ajouter le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion amorti, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant non amorti à un degré de liberté <math>\;\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le schéma de face du pendule pesant étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> en considérant une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation tel que son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\;O</math>, d'axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>», <math>\;G\;</math> étant repéré, à l'instant <math>\;t</math>, par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <math>\;\big[</math>noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]</math>, la détermination de l'équation différentielle en «<math>\;\theta(t)\;</math>» du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nécessite de rappeler les actions extérieures s'exerçant sur lui ainsi que la puissance développée par chacune d'elles dans le but d'utiliser le théorème de la puissance cinétique, ce sont : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> mais si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le poids étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_pesant#cite_note-existence_des_trois_composantes_de_la_r%C3%A9action-14|¹⁴]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » que la réaction du point <math>\;O\;</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> s'écrirait <math>\;\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même que la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>», sans oublier qu'à cette force il faut ajouter un couple de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O\;</math> donc de moment scalaire «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>».</ref> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\;\perp\;</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par la réaction du pivot et de son couple de réaction étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math> soit finalement, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\;\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\;</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\;\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math> [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant amorti <math>\;\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}au poids du solide, seule action extérieure à moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> non nul dans un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> il faut, dans un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref>, ajouter les forces de frottement fluide linéaire dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans le paragraphe précité <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]</math>, la puissance des forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, l'équation différentielle <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math>. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir <math>\;\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lequel <math>\;\Delta\;</math> est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> et orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\big]\;</math> étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref> <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> étant la composante de <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\Delta</math>.</ref>, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant <math>\;t\;</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>» et par suite «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» <ref> Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> à partir du point d'application <math>\;M\;</math> de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction <math>\;\ldots\;</math> mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\;\vec{\Gamma}\;</math> d'où <math>\;\ldots\;</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\;\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\;\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction <ref> Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de <math>\;d \alpha\;</math> ne dépend que de <math>\;\alpha</math>.</ref>, on en déduit le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> est définie par «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> c.-à-d. «<math>\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; {{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\;\alpha = 0\;</math> on en déduit <math>\;cste = 0\;</math> d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <center>«<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math> présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|<math>\;\big(</math>orientée}} par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;</math> étant le couple de torsion de moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion />, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant <math>\;t\;</math> par «<math>\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>, l'énergie cinétique du pendule au même instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>», <math>\;J_{CO_{\text{sup}}}\;</math> étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> on en déduit <center>l'énergie mécanique du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> selon <br>«<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ;</center> {{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u>. [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti <math>\;\big(</math>dont la photographe est ci-contre<math>\big)\;</math> étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils de torsion : * le couple de torsion du fil supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> soit <math>\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et * le couple de torsion du fil inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =</math> <math>-d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> soit <math>\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" />, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; {{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit <center>«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» ; {{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion <math>\;\big(</math>c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils<math>\big)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel {{Nobr|«<math>\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» et <br>«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\alpha\;</math> dans le 1^er exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui <math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> du 2^ème exemple de pendule de torsion du même paragraphe <br>{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}\;</math>» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> soit «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =</math> <math>\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» d’où <math>\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;</math> sachant que <math>\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace</math>» ; {{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;</math>» dans lequel «<math>\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» ou encore «<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>«<math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} o7pqfcd60lehrwp93k264dh4w3zzyyt 987461 987460 2026-10-16T09:23:31Z Phl7605 31541 /* Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final */ 987461 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math> <math>\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math> <math>\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> selon «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»,}} on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> puis «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math>}} <math>\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>».</ref> puis {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Ayant établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> pour <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » on en déduit que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> »}} et que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ».}} === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis"> C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans lequel <math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> et <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, * on multiplie par <math>\;dt\;</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» dans lequel <math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> et <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> puis * on intègre entre <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math> est la variation d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> et <math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque - bis" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =</math> {{Nobr|<math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>»}} dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math> est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math> et * de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;</math> s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =</math>}} <math>\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et * de la variation de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>», <br>«<math>\;\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et positionnement de masselottes apparemment identiques <math>\;\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\;</math> de part et d'autre du point <math>\;C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\;\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », seule l'extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\;\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\;O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle {{Nobr|gradué<math>\big)</math>,}} la conséquence de ce choix étant que {{Al|5}}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » adopte, après quelques oscillations, <center>une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>»</center> {{Al|5}} en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\;\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\;\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\;C\;</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice {{Nobr|droite <ref name="hélice droite ou gauche"/>}} d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Considérant le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>support des fils de torsion<math>\big)\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, le solide étant, à l'instant <math>\;t</math>, d'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)</math> <math>\;\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)</math>, on rappelle ci-dessous le bilan des actions extérieures s'exerçant sur le solide dont le moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> est non nul en explicitant la puissance développée par ces actions à l'instant <math>\;t</math>, le solide étant, à cet instant, de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math> : * l'action que le fil de torsion supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil supérieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * {{Al|2}} celle que le fil de torsion inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil inférieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)</math>, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un pendule de torsion amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti <math>\;\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}aux deux couples de torsion des fils supérieur et inférieur s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » il faut ajouter le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion amorti, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant non amorti à un degré de liberté <math>\;\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le schéma de face du pendule pesant étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> en considérant une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation tel que son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\;O</math>, d'axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>», <math>\;G\;</math> étant repéré, à l'instant <math>\;t</math>, par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <math>\;\big[</math>noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]</math>, la détermination de l'équation différentielle en «<math>\;\theta(t)\;</math>» du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nécessite de rappeler les actions extérieures s'exerçant sur lui ainsi que la puissance développée par chacune d'elles dans le but d'utiliser le théorème de la puissance cinétique, ce sont : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> mais si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le poids étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_pesant#cite_note-existence_des_trois_composantes_de_la_r%C3%A9action-14|¹⁴]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » que la réaction du point <math>\;O\;</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> s'écrirait <math>\;\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même que la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>», sans oublier qu'à cette force il faut ajouter un couple de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O\;</math> donc de moment scalaire «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>».</ref> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\;\perp\;</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par la réaction du pivot et de son couple de réaction étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math> soit finalement, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\;\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\;</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\;\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math> [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant amorti <math>\;\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}au poids du solide, seule action extérieure à moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> non nul dans un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> il faut, dans un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref>, ajouter les forces de frottement fluide linéaire dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans le paragraphe précité <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]</math>, la puissance des forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, l'équation différentielle <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math>. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir <math>\;\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lequel <math>\;\Delta\;</math> est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> et orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\big]\;</math> étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref> <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> étant la composante de <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\Delta</math>.</ref>, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant <math>\;t\;</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>» et par suite «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» <ref> Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> à partir du point d'application <math>\;M\;</math> de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction <math>\;\ldots\;</math> mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\;\vec{\Gamma}\;</math> d'où <math>\;\ldots\;</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\;\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\;\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction <ref> Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de <math>\;d \alpha\;</math> ne dépend que de <math>\;\alpha</math>.</ref>, on en déduit le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> est définie par «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> c.-à-d. «<math>\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; {{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\;\alpha = 0\;</math> on en déduit <math>\;cste = 0\;</math> d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <center>«<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math> présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|<math>\;\big(</math>orientée}} par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;</math> étant le couple de torsion de moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion />, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant <math>\;t\;</math> par «<math>\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>, l'énergie cinétique du pendule au même instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>», <math>\;J_{CO_{\text{sup}}}\;</math> étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> on en déduit <center>l'énergie mécanique du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> selon <br>«<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ;</center> {{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u>. [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti <math>\;\big(</math>dont la photographe est ci-contre<math>\big)\;</math> étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils de torsion : * le couple de torsion du fil supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> soit <math>\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et * le couple de torsion du fil inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =</math> <math>-d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> soit <math>\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" />, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; {{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit <center>«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» ; {{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion <math>\;\big(</math>c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils<math>\big)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel {{Nobr|«<math>\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» et <br>«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\alpha\;</math> dans le 1^er exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui <math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> du 2^ème exemple de pendule de torsion du même paragraphe <br>{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}\;</math>» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> soit «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =</math> <math>\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» d’où <math>\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;</math> sachant que <math>\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace</math>» ; {{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;</math>» dans lequel «<math>\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» ou encore «<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>«<math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} 426a6j3yg21vkln9pwv1s35i0br7idr 987462 987461 2026-10-16T09:36:51Z Phl7605 31541 /* Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final */ 987462 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math> <math>\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis * le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math> <math>\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> selon «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»,}} on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> puis «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math>}} <math>\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>».</ref> puis {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Ayant établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> pour <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » on en déduit que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> »}} et que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ».}} === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis"> C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans lequel <math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> et <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, * on multiplie par <math>\;dt\;</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» dans lequel <math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> et <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> puis * on intègre entre <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math> est la variation d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> et <math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque - bis" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =</math> {{Nobr|<math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>»}} dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math> est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math> et * de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;</math> s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =</math>}} <math>\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et * de la variation de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>», <br>«<math>\;\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et positionnement de masselottes apparemment identiques <math>\;\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\;</math> de part et d'autre du point <math>\;C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\;\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », seule l'extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\;\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\;O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle {{Nobr|gradué<math>\big)</math>,}} la conséquence de ce choix étant que {{Al|5}}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » adopte, après quelques oscillations, <center>une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>»</center> {{Al|5}} en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\;\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\;\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\;C\;</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice {{Nobr|droite <ref name="hélice droite ou gauche"/>}} d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Considérant le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>support des fils de torsion<math>\big)\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, le solide étant, à l'instant <math>\;t</math>, d'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)</math> <math>\;\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)</math>, on rappelle ci-dessous le bilan des actions extérieures s'exerçant sur le solide dont le moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> est non nul en explicitant la puissance développée par ces actions à l'instant <math>\;t</math>, le solide étant, à cet instant, de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math> : * l'action que le fil de torsion supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil supérieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * {{Al|2}} celle que le fil de torsion inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil inférieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)</math>, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un pendule de torsion amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti <math>\;\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}aux deux couples de torsion des fils supérieur et inférieur s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » il faut ajouter le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion amorti, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant non amorti à un degré de liberté <math>\;\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le schéma de face du pendule pesant étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> en considérant une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation tel que son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\;O</math>, d'axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>», <math>\;G\;</math> étant repéré, à l'instant <math>\;t</math>, par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <math>\;\big[</math>noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]</math>, la détermination de l'équation différentielle en «<math>\;\theta(t)\;</math>» du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nécessite de rappeler les actions extérieures s'exerçant sur lui ainsi que la puissance développée par chacune d'elles dans le but d'utiliser le théorème de la puissance cinétique, ce sont : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> mais si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le poids étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_pesant#cite_note-existence_des_trois_composantes_de_la_r%C3%A9action-14|¹⁴]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » que la réaction du point <math>\;O\;</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> s'écrirait <math>\;\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même que la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>», sans oublier qu'à cette force il faut ajouter un couple de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O\;</math> donc de moment scalaire «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>».</ref> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\;\perp\;</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par la réaction du pivot et de son couple de réaction étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math> soit finalement, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\;\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\;</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\;\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math> [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant amorti <math>\;\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}au poids du solide, seule action extérieure à moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> non nul dans un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> il faut, dans un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref>, ajouter les forces de frottement fluide linéaire dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans le paragraphe précité <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]</math>, la puissance des forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, l'équation différentielle <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math>. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir <math>\;\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lequel <math>\;\Delta\;</math> est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> et orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\big]\;</math> étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref> <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> étant la composante de <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\Delta</math>.</ref>, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant <math>\;t\;</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>» et par suite «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» <ref> Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> à partir du point d'application <math>\;M\;</math> de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction <math>\;\ldots\;</math> mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\;\vec{\Gamma}\;</math> d'où <math>\;\ldots\;</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\;\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\;\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction <ref> Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de <math>\;d \alpha\;</math> ne dépend que de <math>\;\alpha</math>.</ref>, on en déduit le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> est définie par «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> c.-à-d. «<math>\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; {{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\;\alpha = 0\;</math> on en déduit <math>\;cste = 0\;</math> d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <center>«<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math> présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|<math>\;\big(</math>orientée}} par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;</math> étant le couple de torsion de moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion />, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant <math>\;t\;</math> par «<math>\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>, l'énergie cinétique du pendule au même instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>», <math>\;J_{CO_{\text{sup}}}\;</math> étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> on en déduit <center>l'énergie mécanique du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> selon <br>«<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ;</center> {{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u>. [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti <math>\;\big(</math>dont la photographe est ci-contre<math>\big)\;</math> étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils de torsion : * le couple de torsion du fil supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> soit <math>\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et * le couple de torsion du fil inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =</math> <math>-d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> soit <math>\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" />, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; {{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit <center>«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» ; {{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion <math>\;\big(</math>c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils<math>\big)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel {{Nobr|«<math>\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» et <br>«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\alpha\;</math> dans le 1^er exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui <math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> du 2^ème exemple de pendule de torsion du même paragraphe <br>{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}\;</math>» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> soit «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =</math> <math>\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» d’où <math>\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;</math> sachant que <math>\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace</math>» ; {{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;</math>» dans lequel «<math>\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» ou encore «<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>«<math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} eb8hjxuvff6j52t7vnhziv2gn4blmix 987463 987462 2026-10-16T09:38:49Z Phl7605 31541 /* Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final */ 987463 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math> <math>\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis * le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math> <math>\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> selon «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»,}} on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> puis «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math>}} <math>\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>».</ref> puis {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Ayant établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> pour <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » on en déduit que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> »}} et que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ».}} === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis"> C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans lequel <math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> et <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, * on multiplie par <math>\;dt\;</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» dans lequel <math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> et <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> puis * on intègre entre <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math> est la variation d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> et <math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque - bis" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =</math> {{Nobr|<math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>»}} dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math> est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math> et * de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;</math> s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =</math>}} <math>\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et * de la variation de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>», <br>«<math>\;\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et positionnement de masselottes apparemment identiques <math>\;\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\;</math> de part et d'autre du point <math>\;C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\;\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », seule l'extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\;\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\;O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle {{Nobr|gradué<math>\big)</math>,}} la conséquence de ce choix étant que {{Al|5}}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » adopte, après quelques oscillations, <center>une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>»</center> {{Al|5}} en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\;\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\;\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\;C\;</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice {{Nobr|droite <ref name="hélice droite ou gauche"/>}} d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Considérant le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>support des fils de torsion<math>\big)\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, le solide étant, à l'instant <math>\;t</math>, d'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)</math> <math>\;\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)</math>, on rappelle ci-dessous le bilan des actions extérieures s'exerçant sur le solide dont le moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> est non nul en explicitant la puissance développée par ces actions à l'instant <math>\;t</math>, le solide étant, à cet instant, de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math> : * l'action que le fil de torsion supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil supérieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * {{Al|2}} celle que le fil de torsion inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil inférieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)</math>, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un pendule de torsion amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti <math>\;\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}aux deux couples de torsion des fils supérieur et inférieur s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » il faut ajouter le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion amorti, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant non amorti à un degré de liberté <math>\;\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le schéma de face du pendule pesant étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> en considérant une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation tel que son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\;O</math>, d'axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>», <math>\;G\;</math> étant repéré, à l'instant <math>\;t</math>, par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <math>\;\big[</math>noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]</math>, la détermination de l'équation différentielle en «<math>\;\theta(t)\;</math>» du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nécessite de rappeler les actions extérieures s'exerçant sur lui ainsi que la puissance développée par chacune d'elles dans le but d'utiliser le théorème de la puissance cinétique, ce sont : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> mais si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le poids étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_pesant#cite_note-existence_des_trois_composantes_de_la_r%C3%A9action-14|¹⁴]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » que la réaction du point <math>\;O\;</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> s'écrirait <math>\;\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même que la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>», sans oublier qu'à cette force il faut ajouter un couple de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O\;</math> donc de moment scalaire «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>».</ref> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\;\perp\;</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par la réaction du pivot et de son couple de réaction étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math> soit finalement, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\;\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\;</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\;\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math> [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant amorti <math>\;\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}au poids du solide, seule action extérieure à moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> non nul dans un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> il faut, dans un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref>, ajouter les forces de frottement fluide linéaire dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans le paragraphe précité <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]</math>, la puissance des forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, l'équation différentielle <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math>. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir <math>\;\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lequel <math>\;\Delta\;</math> est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> et orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\big]\;</math> étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref> <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> étant la composante de <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\Delta</math>.</ref>, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant <math>\;t\;</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>» et par suite «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» <ref> Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> à partir du point d'application <math>\;M\;</math> de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction <math>\;\ldots\;</math> mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\;\vec{\Gamma}\;</math> d'où <math>\;\ldots\;</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\;\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\;\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction <ref> Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de <math>\;d \alpha\;</math> ne dépend que de <math>\;\alpha</math>.</ref>, on en déduit le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> est définie par «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> c.-à-d. «<math>\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; {{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\;\alpha = 0\;</math> on en déduit <math>\;cste = 0\;</math> d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <center>«<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math> présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|<math>\;\big(</math>orientée}} par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;</math> étant le couple de torsion de moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion />, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant <math>\;t\;</math> par «<math>\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>, l'énergie cinétique du pendule au même instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>», <math>\;J_{CO_{\text{sup}}}\;</math> étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> on en déduit <center>l'énergie mécanique du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> selon <br>«<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ;</center> {{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u>. [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti <math>\;\big(</math>dont la photographe est ci-contre<math>\big)\;</math> étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils de torsion : * le couple de torsion du fil supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> soit <math>\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et * le couple de torsion du fil inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =</math> <math>-d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> soit <math>\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" />, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; {{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit <center>«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» ; {{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion <math>\;\big(</math>c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils<math>\big)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel {{Nobr|«<math>\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» et <br>«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\alpha\;</math> dans le 1^er exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui <math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> du 2^ème exemple de pendule de torsion du même paragraphe <br>{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}\;</math>» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> soit «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =</math> <math>\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» d’où <math>\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;</math> sachant que <math>\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace</math>» ; {{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;</math>» dans lequel «<math>\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» ou encore «<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>«<math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} gcvv27dle5h5li5t9zwfcsxxmn2ewai